MestradoemEngenhariaMecânica Mecânicanãolinearldinis/aula4msnl.pdf · Conclusões 25 de Outubrode 2005 3 Introdução Notas gerais Mat. Isotróp. Incompres. Compres. Formas part

1

Silvestre T Pinho

Mestrado em Engenharia MecânicaMecânica não linear

Dra. Lúcia Dinis

Hiperelasticidade

25 de Outubro de 2005

Conclusões

25 de Outubro de 2005 2

Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Objectivos

• Perceber o que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelásticotem dissipação nula

• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)

• Conhecer e saber usar algumas formas particulares da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Sumário da aula

• Introdução

• Notas gerais

• Materais hiperelásticos isotrópicos

• Materiais hiperelásticos incompressíveis

• Materiais hiperelásticos compressíveis

• Formas particulares da energia de deformação

• Recapitulação e conclusões

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

O que é hiperelasticidade?

From http://www.fitnessheaven.com/resources/adam03/ency/article/003280.asp

Para os médicos... é uma doença da pele.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos Materiais

Não elásticos Elásticos

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Carregamento Descarregamento

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é:

•um modelo material (ou modelo constitutivo) em que a relação tensão vs. deformação é reversível

(seja esta relação linear ou não)

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ


Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



Um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) é:(outra forma da definição)

•um modelo material (ou modelo constitutivo) em que o estado de tensão em cada momento depende apenas do estado de deformação naquele momento (e eventualmente da temperatura), mas não da história de deformação

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


•No entanto, um modelo material elástico (ou Cauchy-elástico) não garante que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo é independente do percurso


ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


•Se a lei constitutiva puder ser expressa

na forma , isto é, se a função de energia

de deformação Ψ existir, então podemos provar (com base na segunda lei da termodinâmica) que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo é independente do percurso

)(FP f=

FP

∂

Ψ∂=

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

O que é hiperelasticidade?Modelos materiais elásticos para grandes deformações

Hipoelásticos Hiperelásticos

Green (1839, 1841)

Os materiais hiperelásticostambém são chamados super-elásticos perfeitamente elásticos ou Green-elásticos

tal que a relação não pode ser derivada de uma função de energia acumulada

( – taxa de tensão de Kirchhoff

d – taxa de deformação)

da :*

=τ

*

τ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


•Formalmente, define-se um material hiperelástico como sendo um material para o qual existe uma função de energia livre de Helmholtz (ou energia de deformação ou energia armazenada) ψ tal que:

iK

iKF

P∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂= ou

FP

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Exemplo de uso de um modelo hiperelástico

Computation of a hyperelastic membrane at finite strains. The deformation (no scaling) is displayed. The material law is based on a polyconvex and coercive strain-energy function proprosed by Hartmann and Neff. The mesh consists of six hexahedral elements of high order (p=7)From http://www.inf.bauwesen.tu-muenchen.de/~duester/projekt_hyper/hyper.html

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos

• Existe uma energia livre de Helmholtz Ψ , a qual é definida por unidade de volume na configuração de referência, e não por unidade de massa.

Material heterogeneo: ( )XF,Ψ=Ψ Materiao homogéneo: ( )FΨ=Ψ

• Se ( )XF,Ψ=Ψ , isto é, a energia livre de Helmholtz

Ψ é apenas função de F (ou outro tensor de deformação, para além (eventualemente) da posição do ponto material), então também é chamada energia de deformação ou energia acumulada.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Por definição de Ψ ,

F

FP

∂

Ψ∂=

)( ou

iK

iKF

P∂

Ψ∂=

)(F

E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de iK

E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( T

J PF1−=σ ), obtemos:

T

J

∂

Ψ∂= −

F

FF

)(1σ ou

T

jK

iKijF

FJ

∂

Ψ∂= − )(1 F

σ

As equações anteriores são designadas por equações As equações anteriores são designadas por equações constitutivas ou equações de estado. O modelo resultante chama-se modelo material ou modelo constitutivo.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Desigualdade de Clausius-Planck (1ª e 2ª leis da termodinâmica), ignorando efeitos térmicos:

&

0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como

2/int

C:SF:P && ==w

e intD é a dissipação interna ou produção local de

entropia.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Para um modelo material hiperelástico,

Logo um modelo material hiperelástico tem produção local de entropia nula.

0intint ≥Ψ−= &wD em que

Para um

int=D

Logo um modelo material hiperelástico tem produção loc

Para um modelo material hiperelástico,

: =∂

Ψ∂− F

FF:P &&


material hiperelástico,

: =

∂

Ψ∂− F

FP &


material hiperelástico,

0

Logo um modelo material hiperelástico tem produção local

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Limitações para a função Ψ : • (condição de normalização)

• 0)( =Ψ I (condição de normalização) •• E logo para a configuração deformada 0)( ≥Ψ F

• ∞→Ψ⇒∞→ )(FJ

• ∞→Ψ⇒→ +)(0 FJ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasFormas equivalentes da energia de deformação

Objectividade:

• a energia de deformação de um material deformado não é afectada por uma subsequente rotação e/ou translação do material deformado

Pode-se demonstrar a partir da objectividade da energia de deformação que

• )()( QFF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q

• Para TRQ = , conclui-se que )()( UF Ψ=Ψ

(decomposição polar)

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasFormas reduzidas das equações constitutivas

Usando a regra da diferenciação em cadeia, é possível provar que:

T

T

FC

C

F

F

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂ )(2

)(

O que pode ser usado para obter formas reduzidas das O que pode ser usado para obter formas reduzidas das equações constitutivas em termos das:

• Tensões de Cauchy equações constitutivas em termos das:

• Tensões de Cauchy •

Tensões de Cauchy • Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff • Segundas tensões de Piola-Kirchhoff • Segundas tensões de Piola-Kirchhoff

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Tensões de Cauchy

T

TT

JJ FC

CF

F

FF

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂= −− )(

2)( 11σ ou

jL

T

KL

iK

T

jK

iKij FC

FJF

FJ

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂= −− )(

2)( 11 CF

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff

C

CFP

∂

Ψ∂=

)(2 ou

KL

iLiKC

FP∂

Ψ∂=

)(2

C

Segundas tensões de Piola-Kirchhoff

E

E

C

CS

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂=

)()(2 ou

KLKL

iKEC

S∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂=

)()(2

EC

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasTrabalho feito por materiais hiperelásticos

=W

inicial e final: independente da trajerctória. • Para processos fechados (

21FF = ), o trabalho é

sempre nulo.

d2

1

F:P =∫t

t

t& d)(2

1

F:F

F=

∂

Ψ∂∫t

t

t& )()( 12 FF Ψ−Ψ=

• Ao contrário de materiais Cauchy-elásticos, o trabalho feito pelo campo de tensões num material hiperelástico depende apenas das configurações inicial e final: independente da trajectória.

d)(

2

1

F=

Ψ∫t

t

tDt

D

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosDefinições

• A resposta do material (tensão vs. deformação) é a mesma em todas as direcções.

•• Formalmente, em hiperelasticidade, pode ser

demonstrado que um material é isotrópico quando )()(

TFQF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q

• Alternativamente, a condição anterior pode ser expressa como: )()(

TQCQC Ψ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosEquações constitutivas em termos de invariantes

• Pode-se demonstrar que se uma função tensorial (Ψ ) é invariante perante uma rotação (isotropia), então pode ser expressa em termos dos invariantes do seu argumento:

[ ])(),(),()( 321 CCCC IIIΨ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Aplicando regra da diferenciação em cadeia,

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂= −1

3

3

22

1

1

2)(

2 CCIC

CS

II

III

I

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


E, tendo em conta a relação entre o segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( T

J FSF1−=σ ) e que T

FFb = , obtemos:

∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂= − 2

22

1

13

3

12 bbI

III

IIIJσ ou

∂

Ψ∂−+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂= −− 1

2

3

13

3

2

2

12 bbI

II

III

IIJσ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosEq. constitutivas em termos dos alongamentos relativos principais

• Se Ψ é invariante, então pode ser expressa em termos dos alongamentos relativos principais:

[ ])(),(),()( 321 CCCC λλλΨ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisIntrodução

• Vários tipos de polímeros e tecidos vivos (biomacânica) podem ser consideravelmente deformados sem apreciáveis alterações de volume

•• Para esses casos, é comum tratá-los como

incompressíveis • Condição de incompressibilidade: • Condição de incompressibilidade: 1=J •

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisFunção de energy de deformação

Condição de incompressibilidade: • Para obter equações constitutivas para um material

hiperelástico incompressível, postula-se a seguinte função de energia armazenada:

)1()( −−Ψ=Ψ JpF

onde p é um multiplicador de Lagrange que se pode identificar com a pressão hidrostática.

• só pode ser determinado a partir das equações de identificar com a pressão hidrostática. • p só pode ser determinado a partir das equações de

equilíbrio e das condições de fronteira

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisFunção de energy de deformação

Por definição de material hiperelástico, o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff vem:

F

FFP

∂

Ψ∂+−= − )(T

p

O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como: F∂

O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como:

C

CC

F

FFFFS

∂

Ψ∂+−=

∂

Ψ∂+−= −−−− )(

2)( 111

ppT

E o tensor de Cauchy vem: CF ∂∂

E o tensor de Cauchy vem: T

T pp

∂

Ψ∂+−=

∂

Ψ∂+−=

F

FFIF

F

FI

)()(σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidade isotrópica incompressível

• Uma função de energia de deformação apropriada é dada por

1[ ] )1(2

1,

321−−Ψ=Ψ IpII

• O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é 2

• O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é dado por:

CICS22

1

1

122

III

Ip

∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+−= −

• E o tensor das tensões e Cauchy 1

21

22−

∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂+−= bbI

IIpσ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidade isotrópica incompressível

• Em termos dos alongamentos relativos principais,

( ) )1(2

1,, 321 −−Ψ=Ψ Jpλλλ

As tensões principais de Cauchy podem ser obtidas como:

i

ii pλ

λσ∂

Ψ∂+−=

E as tensões principais de Piola-Kirchhoff E as tensões principais de Piola-Kirchhoff

ii

i pPλλ ∂

Ψ∂+−=

1 e

iii

i pSλλλ ∂

Ψ∂+

−=

112

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisIntrodução

• Um material que pode sofrer variações de volume é dito compressível. As espumas são exemplos de materiais que suportam deformações finitas com mudança de volume

• É útil dividir-se o comportamento do material numa

componente volumétrica e numa componente isocórica (ou de desvio ou de corte). Por exemplo para materiais quase incompressíveis, esta divisão evita complicações numéricas ao usar elementos finitos

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDecomposição

• Decomposição de F e C numa componente dilatacional (volume variável) e distorcional (volume constante):

( )FIF3/1

J= e ( )CIC3/2

J=

• C tensor direito de Cauchy-Green modificado

( )

• F gradiente de deformação modificado

• 1det321

== λλλF ( ) 1detdet2

== FC

• ii J λλ 3/1−= - alongamentos relativos principais modificados

Componente dilatacional componente distorcional

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisEnergia de deformação

Postula-se que a função de energia de deformação pode ser desacoplada: deacoplada:

)()()(isovol

CC Ψ+Ψ=Ψ J Usando a expressão da segunda lei da termodinâmica sob a

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDissipação

Usando a expressão da segunda lei da termodinâmica sob a forma da desigualdade de Clausius-Plank,

&

0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como

2/int C:SF:P && ==w

e intD é a dissipação interna ou produção local de entropia...

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDissipação� Lei constitutiva

...pode obter-se para um material hiperelástico (dissipação nula):

02

:d

)(d2:

d

)(diso3/21vol

int =

Ψ−

Ψ−= −− C

C

CCS

&

PJJ

JJD

• O termo entre parenteses é nulo e permite definir as segundas tensões de Piola-Kirchhoff para um material hiperelástico compressível, as quais podem ser divididas numa componente volumétrica e numa componente isocórica...

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoIntrodução

• A resposta de materiais hiperelásticos é derivada da função de energia de deformação Ψ

• Existem várias formas para essa função, propostas

• Existem várias formas para essa função, propostas por diferentes autores

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis

Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos • Função energia de deformação em termos dos

alongamentos relativos principais:

( ) ( )3,,321

1

321−++=Ψ=Ψ ∑

=

ppp

N

p p

p αααλλλ

α

µλλλ

• - número inteiro positivo que controla o número • N - número inteiro positivo que controla o número de termos

• pµ - módulos de corte

• α• pα - constantes adimensionais

• 3=N � excelente correlação com dados experimentais

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos

Exemplo Considere uma membrana incompressível hiperelástica sob deformação biaxial. O campo de deslocamentos pode ser expresso em termos dos alongamentos relativos principais de acordo com:

111Xx λ= ,

222Xx λ= ,

3

21

3

1Xx

λλ= .

Determine o campo de tensões de Cauchy em função dos alongamentos relativos principais, usando o modelo de Odgen.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos Solução:

Ψ∂1. Material incompressível:

i

ii pλ

λσ∂

Ψ∂+−=

2. Modelo de Odgen:

( ) ( )3,, 321

1

321 −++=Ψ=Ψ ∑=

ppp

N

p p

p αααλλλ

α

µλλλ

3. Incompressibilidade: 21

3

1

λλλ =

4. Substituindo (2) em (1): 4. Substituindo (2) em (1):

( )p

i

N

p

pi pα

λµσ ∑=

+−=1

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos

4. Substituindo (2) em (1):

( )p

i

N

p

pi pα

λµσ ∑=

+−=1

5. ?=p 5. ?=p

Estado plano de tensão: 03

=σ Usando (4) com 3=i , obtem-se

( )p

N

p

ppα

λµ3

1

∑=

=

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) • Função energia de deformação em termos dos Usando (4) com 3=i , obtem-se

( )p

N

p

ppα

λµ3

1

∑=

=

λ6. Pode-se substituir p (obtido em (5)) e exprimir 3

λ em

função de 1

λ e 2

λ (3):

[ ]( )[ ]pp

N

p

p

ααλλλµσ

−

=

−=∑ 211

1

1

( )[ ]pp

N

p

p

ααλλλµσ

−

=

−=∑ 212

1

2

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean e Varga para materiais incompressíveis

• São casos particulares do modelo de Ogden

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Mooney-Rivlin para materais incompressíveis

É igual ao modelo de Odgen

( ) ( )3,,321

1

321−++=Ψ=Ψ ∑

=

ppp

N

p p

p αααλλλ

α

µλλλ com 2=N , 2

1=α

e 22

−=α : e 2 :

( ) ( )( ) ( )33

33

2211

2

3

2

2

2

12

2

3

2

2

2

11

−+−=Ψ

−+++−++=Ψ −−−

IcIc

cc λλλλλλ

Com 2/

11µ=c e 2/

22µ=c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



( ) ( )3,,321

1

321−++=Ψ=Ψ ∑

=

ppp

N

p p

p αααλλλ

α

µλλλ com 1=N e

21 =α :

1

( )( )3

3

11

2

3

2

2

2

11

−=Ψ

−++=Ψ

Ic

c λλλ

Modelo neo-Hookean para materais incompressíveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Varga para materais incompressíveis


( ) ( )3,,321

1

321−++=Ψ=Ψ ∑

=

ppp

N

p p

p αααλλλ

α

µλλλ com 1=N e

11

=α : 1

( )33211

−++=Ψ λλλc com 11µ=c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemplo

Exemplo Insuflamento de um balão atmosférico. Objectivo: Calcular a pressão dentro do balão p e a tensão circunferencial (de Cauchy) σ em função do alongamento relativo circunferencial.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


p

h, r

Geometria corrente

Geometria inicial

H=0.1 m

R=10 m

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Geometria: Raio inicial: m10=R Espessura inicial: m1.0=H Propriedades mecânicas ( 2

N/m5

10225.4 ⋅=µ ): Ogden:

2

2

2

N/m

N/m

N/m

5

33

5

22

5

11

101.00.2

10012.00.5

103.63.1

⋅−=−=

⋅==

⋅==

µα

µα

µα

Mooney-Rivlin: µ4375.0

1=c e µ0625.0

2=c

Neo-Hookean: µ2

1=c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


1. Devido à simetria, 21

λλλ == 2. Usando a solução do exercício anterior: 2. Usando a solução do exercício anterior:

( )[ ]pp

N

p

p

ααλλλµσ

−

=

−=∑ 211

1

1

( )[ ]pp

N

p

p

ααλλλµσ

−

=

−=∑ 212

1

2

E a simetria, obtemos:

[ ]pp

N

p

p

ααλλµσ

2

1

−

=

−=∑

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressíveis - exemploE a simetria, obtemos:

[ ]pp

N

p

p

ααλλµσ

2

1

−

=

−=∑

3. A pressão é determinada pelas equações de equilíbrio:

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


p σσ

r

σr

hp 2=

h

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


[ ]pp

N

p

p

ααλλµσ

2

1

−

=

−=∑


σr

hp 2=

r

4. cinemática: =λ5. Incompressibilidade:

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


2πR

2πr

R

r=λ

H

h

H

h=3λ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


[ ]pp

N

p

p

ααλλµσ

2

1

−

=

−=∑


σr

hp 2=

r

4. cinemática: Rr /=λ 4. cinemática: Rr / 5. Incompressibilidade: λλ /13 = 2 5. Incompressibilidade: 3 6. Usando (2), (3), (4), (5) e (6):

[ ]323

1

2−−−

=

−= ∑ pp

N

p

pR

Hp

ααλλµ

Hh /3

=λ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


0

10

20

30

40

1 3 5 7 9

Alongamento relativo λ

Tensão de Cauchy (MPa)

Ogden

Mooney-Rivlin

neo-Hookean

Varga

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


0

2

4

6

1 3 5 7 9

Alongamento relativo

Pressão interna (kPa) Ogden

Mooney-Rivlin

neo-Hookean

Varga

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos de Yeoh, e de Arruda e Boyce para materiais incompressíveis

incompressíveis • Adequado para borracha contendo negro de carbono

e/ou sílica

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Yeoh para materiais incompressíveis

( ) ( ) ( )3

33

2

2211333 −+−+−=Ψ IcIcIc

Modelo de Arruda e Boyce

• Com base numa expansão de Taylor • Com base numa expansão de Taylor

( ) ( )( ) ( ) ( )

+−+−+−=Ψ ...27

1050

119

20

13

2

1 3

12

2

11I

nI

nIµ

onde n é o número de segmentos numa cadeia

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Modelo de Ogden para materiais compressíveis

),,()(321isovol

λλλΨ+Ψ=Ψ J

Com ( )1ln)(

2

vol−+=Ψ −− ββκβ JJJ

( )∑=

−=ΨN

p

i

p

p p

1

321iso 1),,(α

λα

µλλλ

Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressíveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Modelo de Simo e Miehe: Igual ao modelo de Odgen, mas com Modelo de Simo e Miehe: Igual ao modelo de Odgen, mas com

( )JJJ ln214

1)(

2

vol−−=Ψ κ

4

• É possível formular os modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean, Varga, e de Arruda e Boyce para materiais compressíveis, usando o mesmo formalismo

Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressíveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Recapitulação

• O que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelástico tem dissipação nula

• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)

• Como usar algumas formas particulares da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Conclusões

• Modelo hiperelástico � dissipação nula

• Hiperelasticidade + Mecânica não linear �descrição adequada do comportamento de vários materiais reais (eg borrachas) no domínio das grandes deformações

• Para cada material (ou tipo de material), deve ser escolhida uma forma apropriada da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Referências

• G A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics, A continuum approach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, England, 2000.

• L E Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, Inc, USA, 1969.

• I Doghri. Mechanics of Deformable Solids, Linear and nonlinear, analytical and computational aspects. Springer-Verlag, Germany, 2000.

• V A Lubarda. Elastoplasticity theory. CRC Press LLC, 2002

• G T Mase, G E Mase. Continuum Mechanics for Engineers, Second Edition, CRC Press LLC, 1999

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

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MestradoemEngenhariaMecânica Mecânicanãolinearldinis/aula4msnl.pdf · Conclusões 25 de Outubrode 2005 3 Introdução Notas gerais Mat. Isotróp. Incompres. Compres. Formas part