Upload
dangliem
View
234
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TÓPI
CO
Gil da Costa Marques
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Introdução9.1 Newton e o Movimento Circular Uniforme9.2 Variáveis no Movimento Circular e as Condições Iniciais9.3 Cinemática do Movimento Circular
9.3.1 Velocidade angular, velocidade escalar e velocidade vetorial9.3.2 Aceleração angular, vetorial e centrípeta
9.4 A dinâmica do Movimento Circular9.5 Movimento Circular Uniforme9.6 Movimento Circular num Campo Gravitacional
Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
191
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
IntroduçãoAlguns movimentos recebem nomes em função da curva que descreve a trajetória da partí-
cula. Assim, quando a trajetória é uma circunferência, o movimento é dito circular.
Esse movimento tem grande importância histórica, pois, na Antiguidade, acreditava-se que
ele, ou um conjunto deles, descrevia o movimento dos corpos celestes.
Na filosofia grega, a geometria desempenhava um papel essencial em todas as atividades inte-
lectuais, além de ter-se tornado básica, àquela época, no treinamento filosófico. A geometria era
tida como uma combinação perfeita de lógica e beleza. Alguns creditavam isso à sua origem divina.
Platão (427 a.C. - 347 a.C.) afirmava que “Deus é geômetra”. A crença na geometria como
manifestação da divindade levou Platão e vários filósofos gregos a descrever o movimento dos
corpos celestes a partir de movimentos uniformes e trajetórias perfeitas. Trajetórias perfeitas
equivalem a trajetórias circulares. Daí a crença dos filósofos gregos de que os corpos celestes
revolviam em torno da Terra em esferas cristalinas concêntricas.
No mesmo século IV a.C., Eudóxio, um contemporâneo de Platão, fez um dos primeiros
trabalhos realmente importantes no campo da Astronomia Científica. Dessa forma, esperava-se
que as especulações filosóficas viessem a desempenhar um papel cada vez menos significativo
na Astronomia. No engenhoso esquema de Eudóxio, a órbita circular de cada planeta estava
fixada sobre uma esfera, a qual tinha a liberdade de girar. Cada esfera que transportava um
determinado planeta estava ligada nos polos a uma esfera secundária concêntrica exterior, que
girava sobre um eixo diferente. Essa esfera, por sua vez, estaria ligada a uma terceira esfera, caso
fosse necessário. Com um número de 27 esferas concêntricas giratórias, cada uma girando
simultaneamente sobre um eixo independente, Eudóxio conseguiu explicar os movimentos
aparentes dos planetas, dentro dos limites de precisão possíveis de serem atingidos na época.
Aristóteles defendeu, com base na dinâmica proposta por ele, a ideia de que a Terra deve
estar no centro do Universo. Para ele, o lugar natural de todos os corpos pesados seria o centro
do Universo. Assim, o fato de uma pedra cair em direção ao centro da Terra seria apenas uma
consequência do fato de que o centro da Terra coincide com o centro do Universo, que seria
o lugar próprio de todas as coisas.
Para a descrição dos movimentos dos astros, Aristóteles, em seu modelo, fez uso de 55 esferas
cristalinas revolvendo em torno da Terra. Constata-se, nesse ponto, que a doutrina de Aristóteles
192 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
sugere que as leis físicas não são universais. No firmamento, as órbitas seriam regulares e perfei-
tas. No nosso mundo, aplicar-se-ia um outro princípio - o do movimento em busca do lugar
próprio de cada objeto. No Universo, os corpos celestes se movem pela sua “divindade”.
Ptolomeu (100 d.C. - 170 d.C.), um dos grandes astrônomos da Antiguidade, ampliou o
catálogo de estrelas de Hiparco. Suas observações foram publicadas no livro Almajesto.
Ptolomeu consolidou o modelo aristotélico do movimenta dos corpos celestes. Com ele a
Terra continuou (e daí por muitos anos) no centro da esfera celeste (o modelo geocêntrico).
No modelo geocêntrico, o Sol, os planetas e as estrelas girariam em torno da Terra. Só depois
de cerca de 2.000 anos o modelo geocêntrico defendido por Aristóteles foi derrubado, como
resultado de mais observações e novas teorias, pelo modelo heliocêntrico de Copérnico.
O modelo de Ptolomeu fazia uso de movimentos circulares uniformes, os chamados epici-
clos. Fazia, portanto, uso de círculos e movimentos uniformes. No que se decidiu chamar de
sistema de Ptolomeu, os planetas se moveriam em pequenos círculos, denominados epiciclos,
cujos centros de curvatura se moveriam em círculos com raios de curvatura maiores. Estes úl-
timos círculos são denominados deferentes. O uso de círculos estava de acordo com a ideia da
perfeição preconizada por Platão. O maior sucesso desse modelo estava na descrição do movi-
mento dito retrógrado dos planetas, movimentos esses que não se coadunavam com a ideia de
uma órbita descrita por apenas um círculo.
O modelo de Ptolomeu introduziu duas importantes alterações
em relação ao modelo baseado nos epiciclos. Nesse modelo, o
centro do deferente não coincidia com o centro da Terra. Além
disso, introduzia o equante, um ponto localizado numa posição
oposta em relação ao centro do deferente, e à igual distância deste.
Propunha, nesse modelo, que o movimento uniforme dos epiciclos
seria uniforme, mas em relação a esse ponto, ou seja, a taxa com que
o planeta se move num epiciclo era tal a fazer com que o ângulo
entre o centro do epiciclo e o planeta tivesse o mesmo valor do
ângulo entre a Terra e o Sol.
Figura 9.1: Modelo de Ptolomeu, os chamados Epiciclos. / Fonte: Cepa.
193
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
9.1 Newton e o Movimento Circular UniformeFoi Newton o primeiro a entender o movimento circular do ponto de vista da dinâmica.
Newton analisou o movimento da Lua, a qual, como sabemos, tem uma trajetória praticamente
circular. Com base nesse estudo, Newton estabeleceu as bases para a Teoria da Gravitação Universal.
A análise de Newton lhe permitiu entender que o movimento circular uniforme é, de fato,
acelerado. Não fosse por isso, e de acordo com a lei da inércia, o móvel sairia pela tangente.
Nessa óptica, pode-se dizer que a Lua cai continuamente sobre a Terra sem, contudo, jamais
atingi-la, e isso porque a Lua é continuamente atraída pela Terra por meio da força gravitacional.
9.2 Variáveis no Movimento CircularNo estudo do movimento circular, que ocorre no plano, lançamos mão das variáveis polares.
A variável ρ, no entanto, é fixa e dada pelo valor R, do raio da circunferência, isto é:
9.1
E isso simplifica o estudo do movimento, uma vez que agora temos apenas uma variável
angular, a qual deverá ser determinada em função do tempo a partir das leis de Newton, uma
vez conhecidas as forças.
Assim, a única variável no movimento circular é a variável φ,
uma variável angular. No entanto, a partir dela e do raio da circun-
ferência, podemos definir a variável espaço s, a qual é determinada,
como vimos no tópico 4 “Vetores”, a partir da distância percorrida
ao longo do círculo. Escrevemos a relação:
9.2
Rρ =
Figura 9.2: Variável angular na descrição do movimento. / Fonte: Cepa
( ) ( )S t t R= ϕ
194 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
Assim, para especificar a posição de um móvel ao longo da circunferência, podemos recorrer
a qualquer uma das duas alternativas: ou especificamos o espaço ao longo da circunferência ou
o ângulo associado à posição dele. É nesse sentido que falamos de variável angular, pois pode-
mos, através da determinação do ângulo, especificar a posição do objeto. É importante estar
atento ao sinal do ângulo. Atribuímos
valores positivos à variável angular de
acordo com a orientação do eixo da
variável espaço. O mesmo se pode dizer
dos valores negativos atribuídos à variá-
vel angular (vide Figura 9.3).
No caso da coordenada espaço, procedemos da forma já conhecida, isto é, escolhemos um
ponto ao longo da circunferência como origem dos espaços e depois orientamos os espaços.
Ao darmos uma volta completa ao longo da circunferência (isto é, ao voltarmos ao mesmo
ponto de onde saímos) percorreremos uma distância dada por:
9.3
Essa distância é conhecida como o comprimento da circunferência de raio R.
Assim, para um objeto em movimento sobre a circunferência, temos, utilizando coordenadas
polares, que o vetor de posição é dado por:
9.4
Exemplos
• ExEmplo 01:Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular con-
tida no plano x0y, conforme esquematizado na Figura 9.4. O
raio da circunferência, nesse caso, é R = 5 m.
No instante t0 = 0 ela passa pelo ponto A, que será adotado
como ponto de referência para a determinação da coordena-
da espaço ao longo da circunferência (indicada pela letra s).
Figura 9.3: Variáveis do movimento circular. / Fonte: Cepa
2d R= π
( )cos senr Re R i jρ= ≡ ϕ + ϕ
Figura 9.4 / Fonte: Cepa
195
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
A variável angular, φ(t), é determinada a partir do ângulo que a reta iniciada na origem, e passando
pelo ponto em questão, forma com o eixo 0x. Ela assume valores positivos quando percorremos a
circunferência no sentido anti-horário a partir da origem (o ponto A), e assume valores negativos
quando percorrida no sentido horário.
a. Escreva a expressão analítica do vetor posição r(t) e a coordenada espaço s(t) para um instante
de tempo qualquer (t).→ Solução
Levando-se em conta que as coordenadas x e y são dadas como projeções sobre os respectivos eixos,
temos, adotando-se o metro como unidade:
Portanto, o vetor posição é dado por:
9.5
E a variável espaço, conforme a equação 9.2 do texto, é dada por:
9.6
b. Escreva as expressões para o vetor posição e a respectiva coordenada espaço quando a partícula
passar pelos pontos B e C, conforme indicados na figura.
→ Solução
No ponto B, o valor da variável angular é
9.7
Figura 9.5 / Fonte: Cepa
x = 5cosφy = 5senφ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5cos 5sen 5 cos senr t t i t j t i t j= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ = ϕ ⋅ + ϕ ⋅
( ) ( ) ( )5s t R t t= ⋅ϕ = ϕ
rad2Bπ
ϕ =
196 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
Portanto, utilizando as expressões acima, obtemos:
No ponto C, o valor da variável angular é:
9.8
Logo,
•
•
( ) ( ) ( )( ) ( )
5cos 5sen 5 0 m
5 5 m 15,7 mC
C
r i j i j
s
= π ⋅ + π ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ⋅ π = π =
9.3 Cinemática do Movimento Circular9.3.1 Velocidade angular, velocidade escalar e velocidade vetorial
Definimos a velocidade angular como a taxa com que o ângulo se altera com o tempo, ou
seja, a velocidade angular é a taxa instantânea de variação da variável angular:
9.9
A velocidade escalar, definida como a taxa com que os espaços mudam com o tempo, é dada,
utilizando 9.9, por:
9.10
•
•
( )
( )
5cos 5sen 0 5 m2 2
5 2,5 m 7,85 m2
B
B
r i j i j
s
π π = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ π = ⋅ = π =
radBϕ = π
( )( ) d ttdtϕ
ω ≡
( ) ( )( ) ( )dS t d tv t R t Rdt dt
ϕ≡ = = ω
197
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Observe que a velocidade vetorial, derivando o vetor de posição em relação ao tempo, é
dada pela expressão:
9.11
Portanto, a velocidade é sempre tangente à circunferência e seu módulo é igual à velocidade
escalar definida em 9.10.
Exemplos• ExEmplo 02:Admitamos que a variável angular associada ao movi-
mento circular do Exemplo 01 varia segundo a lei:
9.12i
onde o tempo é medido em segundos e o ângulo é
medido em radianos.
As condições iniciais constam da Figura 9.6.
a. Qual o intervalo de tempo necessário para a partícula
completar uma volta?
→ Solução
Num instante t = t1 a variável angular associada à partícula é φ(t1) = (π/20)⋅t1 e, num instante poste-
rior, t = t2, ela é φ(t2) = (π/20)⋅t2. O ângulo associado ao intervalo Δt = t2 − t1 é dado por:
9.13
Ao completar uma volta, o vetor posição r(t) terá descrito um ângulo Δφ = 2π rad; portanto,
substituindo-se tal valor na expressão acima, obtemos:
( )cos sendedr dv R R j i R e
dt dt dtρ
ϕϕ
≡ = ≡ ϕ − ϕ = ω
Figura 9.6 / Fonte: Cepa
( ) .20
t tπϕ =
( )2 120 20t t tπ π
∆ϕ = − = ∆
( )volta volta202 2 40 s
20t tπ
π = ∆ → ∆ = π ⋅ =π
198 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
b. Qual a velocidade angular do movimento?
→ Solução
A velocidade angular pode ser determinada pela taxa de variação instantânea definida na equação
9.9. Assim, nesse caso, temos:
c. Qual é a velocidade escalar?
→ Solução
A partir da equação 9.10 temos a relação: v(t) = R.ω(t). Sendo ω(t) = (π/20) rad/s e R = 5 m, por
substituição, obtemos:
Como “rad” é uma unidade matemática, a sua unidade é 1. Assim, v(t) = (π/4) rad.m/s = (π/4) m/s.
d. Qual é a velocidade vetorial?
→ Solução
Temos duas alternativas equivalentes para responder a essa questão.
1ª alternativa:
Na primeira delas, utilizamos a expressão do texto para a
velocidade no movimento circular. Escrevemos:
9.14i
onde eϕ
é o versor na direção tangencial à circunferência,
conforme ilustra a Figura 9.7.
Apesar de o módulo da velocidade ser constante
(v = π/4 m/s), o vetor v é variável, pois o versor eϕ
muda
constantemente de direção, conforme a partícula se movi-
menta ao longo da circunferência, ou seja, depende da
evolução, com relação ao tempo, da variável angular φ(t).
( ) ( ) ( )20 rad s20 20
d td t d tt
dt dt dt
π ϕ π π ω = = = =
( ) ( )5 m rad s rad m s20 4
v t π π = = ⋅
Figura 9.7 / Fonte: Cepa
( )m s4
v v e R e eϕ ϕ ϕπ = ⋅ = ω =
199
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
2ª alternativa:
Na segunda alternativa, escrevemos a expressão analítica do vetor posição em função da variável
angular e dos versores nas direções x e y, conforme a equação do texto:
r(t) = [R⋅cosφ(t)]⋅i
+ [R⋅senφ(t)]⋅ j
A derivada de primeira ordem em relação ao tempo fornece a velocidade vetorial: ( ) drv tdt
=
.
Substituindo R = 5 m e φ(t) = (π/20.t) e derivando, temos:
Essa equação mostra que v muda continuamente no decorrer do movimento, pois o cosseno e o
seno mudam com o tempo. Por exemplo, para o instante t = 0, tem-se:
E, para o instante t = 10 s, tem-se:
Observe que o módulo de v é v = π/4 m/s, constante; o que muda são a direção e o sentido de v.
• ExEmplo 03:a. Mostre, utilizando argumentos geométricos, que
9.15
( ) 5 cos . . sen .20 20
5 sen . . 5 .cos . .20 20 20 20
sen . . .cos . .4 20 4 20
dr dv t t i t jdt dt
t i t j
t i t j
π π = = + ⋅ π π π π − ⋅ + =
π π π π − ⋅ +
( )0 .sen .0 . .cos .0 . 0. .4 20 4 20 4
v t i j i jπ π π π π = = − + = +
( )10 s .sen .10 . .cos .10 . . 0.4 20 4 20 4
v t i j i jπ π π π π = = − + = − +
( ) ( ) ( ) ( )cos . sen . e sen . cos .e i j e i jρ ϕ= ϕ + ϕ = − ϕ + ϕ
200 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
→ Solução
Os vetores eρ
e eϕ
são dois versores (vetores de módulos unitários) definidos nas direções radial e
tangencial em cada ponto da trajetória.
A Figura 9.8 ilustra as direções tangencial e radial com os respectivos versores. No destaque, são
mostradas as projeções de cada versor nas direções dos eixos 0x e 0y, que podem ser assim escritos:
9.16
Considerando-se que ambos são versores (vetores de módulo igual a 1) tem-se, da expressão acima, que:
9.17
Igualmente obtemos, por meio de argumentos geométricos, que:
9.18
Lembrando que |eρ |= 1, segue-se da expressão acima o resultado já conhecido:
9.19
Figura 9.8 / Fonte: Cepa
sen . cos .e e i e jϕ ϕ ϕ= − ϕ + ϕ
sen . cos .e i jϕ = − ϕ + ϕ
cos . sen .e e i e jρ ρ ρ= ϕ + ϕ
cos . sen .e i jρ = ϕ + ϕ
201
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
A velocidade vetorial da partícula em Movimento Circular é v = v.eϕ
. Se v = π/4 m/s; o vetor v, em
função dos versores cartesianos i
e j
, é
9.20
b. Determine (deρ )/dt e (deϕ
)/dt dado que a velocidade angular é constante.
→ Solução
Portanto,
9.21
Portanto,
9.22
( )sen . cos . sen . cos .4 4 4
v i j i iπ π π = − ϕ + ϕ = − ϕ + ϕ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sen . cos . sen . cos .
sen cos. . cos . sen .
cos . sen . .
d i jde d i d jdt dt dt dt
d dd di j i jdt dt dt dt
i j e
ϕ
ρ
− ϕ + ϕ − ϕ ϕ= = +
− ϕ ϕϕ ϕ= + = ω − ϕ + ω − ϕ
= −ω ϕ + ϕ = −ω
( ). direção radialde
edt
ϕρ= −ω
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
cos . sen . cos . sen .
cos sen. . sen . cos .
sen . cos . .
d i jde d i d jdt dt dt dt
d dd di j i jdt dt dt dt
i j e
ρ
ϕ
ϕ + ϕ ϕ ϕ= = +
ϕ ϕϕ ϕ= + = ω − ϕ + ω ϕ
= ω − ϕ + ϕ = ω
( ). direção tangencialde
edt
ρϕ= −ω
202 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
9.3.2 Aceleração angular, vetorial e centrípeta
Definimos a aceleração angular como a taxa, por unidade de tempo, com que a velocidade
angular muda com o tempo:
9.23
enquanto a aceleração escalar, definida como a derivada com respeito ao tempo da velocidade
escalar, se escreve como:
9.24
Observe, no entanto, que a aceleração vetorial, dada por:
9.25
tem duas componentes: aquela tangente à curva é igual à aceleração escalar dada por 9.23;
a outra componente - a componente radial - tem o nome de aceleração centrípeta e tem a
forma geral calculada por Newton no caso do movimento uniforme. De fato, utilizando 9.25,
podemos escrevê-la de duas formas equivalentes:
9.26
Veja que ela aponta sempre para o centro da circunferência, daí derivando o seu nome:
aceleração que aponta para o centro.
2
2
( ) ( )( ) d t d ttdt dtω ϕ
α ≡ =
( ) ( )( ) ( )dv t d ta t R t Rdt dt
ω≡ = = α
2dedv d da R e R R e R edt dt dt dt ρ
ϕϕ ϕ
ω ω≡ = + ω = − ω
22
centrípetava R e eRρ ρ= − ω = −
203
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Exemplos• ExEmplo 04:
Um objeto é colocado em movimento circular de raio
R = 1,2 m, conforme ilustra a Figura 9.9.
A variável angular φ varia em função do tempo (expresso
em segundos), conforme a equação horária:
9.27i
a. Escrever as equações horárias da velocidade angular ω(t) e da aceleração angular α(t).→ Solução
As equações 9.10 e 9.23 do texto definem a velocidade e a aceleração angulares. Então,
Velocidade angular:
9.28
A aceleração angular é a taxa de variação instantânea da velocidade angular. Nesse caso, obtemos:
9.29
b. Escrever a equação horária para a velocidade escalar e a aceleração tangencial ou escalar. Parti-
cularizar para o caso t = 2 s.
→ Solução
A função s(t) pode ser obtida por meio da relação entre o ângulo e o raio, ou seja,
9.30
Assim, no sistema SI, a velocidade escalar é dada por:
9.31
Figura 9.9 / Fonte: Cepa
( ) 2
12t tπ
ϕ =
( ) ( )2
126
d td tt t
dt dt
π ϕ π ω = = =
( ) ( ) 26 rad s6
d td tt
dt dt
π ω π α = = =
( ) ( ) ( ) ( )2 2. 1,2 0,112
s t R t t tπ = ϕ = ⋅ = π
( ) ( )( )
( )( )
20,10,2
d tds tv t t
d t dt π = = = π
204 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
Donde se infere que, para t = 2 s, a velocidade é dada por:
A aceleração tangencial ou aceleração escalar é a taxa de variação instantânea da velocidade escalar.
Assim sendo, para v(t) = (0,2π)t, e de acordo com a definição 9.23, temos:
Assim, tento em vista que a aceleração tangencial é constante, no instante t = 2s temos que:
c. Escrever a expressão da aceleração centrípeta do objeto em função do tempo e, em particular,
para t = 2 s.
→ Solução
A equação 9.26 define a aceleração centrípeta ou radial no caso de movimento circular. Para o
instante t = 2 s, temos que v = 0,4.π m/s e, sendo R = 1,2 m, a aceleração centrípeta é dada por:
A aceleração centrípeta tem módulo constante, 2
2centr
4 m/s3
a π=
, direção radial e apontando para
o centro da circunferência.
d. Escreva a expressão cartesiana da aceleração vetorial em função do tempo e, em particular, para t = 2 s.
→ Solução
A aceleração vetorial, conforme o texto, é dada por:
9.32
A aceleração vetorial pode, igualmente, ser assim expressa sob a forma:
9.33
( )2 s 0,4 m sv t = = π
( ) ( ) ( ) ( )2tang
0,2 .0,2. m s constante
dv t d tt a
dt dtπ
α = = = = π
( ) 2tang 0,2. m s t aα = = π
( )22 2
centr
0,4 4 . 1,2 3
va e e eR ρ ρ ρ
π π= − = − ⋅ = −
2dedv d da R e R R e R edt dt dt dt
ϕϕ ϕ ρ
ω ω≡ = + ω = − ω
2
tang radialva a e a e e eRϕ ρ ϕ ρ= ⋅ + ⋅ = α −
205
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Particularizando para t = 2 s, temos as componentes da aceleração dadas por:
Para determinar a aceleração vetorial no instante t = 2 s, devemos substituir as expressões para a
velocidade escalar e a aceleração escalar, já determinadas no item (b). Assim,
E, portanto,
9.4 A dinâmica do Movimento CircularNeste tópico, lançaremos mão das coordenadas polares para desenvolver o estudo do movi-
mento circular à luz da dinâmica Newtoniana.
Lembrando que as duas componentes da força - azimutal e radial - são definidas como
projeções sobre os vetores da base definidos como:
9.34
E que a equação de Newton se escreve, em coordenadas polares, como:
9.35
( )
2tang
22
centr
0,2 m s
0,41,2
dvadt
VaR
α = = = π
π−= =
( ) [ ] [ ]2 2 20,2 2a 0,21,2 10 30
t tt e e e eϕ ρ ϕ ρ
π π π = π − ⋅ = −
( )22 22 s
10 15a t e eϕ ρ
π π = = −
F F e
F F eρ ρ
ϕ ϕ
≡ ⋅
≡ ⋅
ma Fma F
ρ ρ
ϕ ϕ
=
=
206 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
a qual tem uma forma semelhante à da equação de Newton em coordenadas cartesianas.Lem-
brando, do tópico 5 “Cinemática Vetorial”, que a aceleração em coordenadas polares é dada por:
9.36
as equações se transformam agora em equações para as coordenadas ρ e φ. Essas equações são:
9.37
No caso do movimento circular, vemos, a partir das equações acima, que ele ocorre desde
que sejam satisfeitas as seguintes condições:
9.38
A primeira equação implica que a componente radial da força deve ser igual à massa vezes
a aceleração centrípeta:
9.39
Daí implicando que o movimento circular só ocorre se a força que age sobre a partícula tiver
uma direção radial, isto é, dirigida para o centro, de tal forma que:
9.40
enquanto a segunda equação é equivalente à condição de que a massa vezes a aceleração escalar
seja igual à componente da força na direção tangencial à circunferência.
9.41
22 2
2 22d d d d da e edt dt dt dt dtρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ϕ ≡ −ρ + +ρ
22
2
2
22
d dm Fdt dt
d d dm Fdt dt dt
ρ
ϕ
ρ ϕ −ρ = ρ ϕ ϕ
+ρ =
2
2
2
dmR Fdt
dmR Fdt
ρ
ϕ
ϕ − = ϕ=
2cpa R= − ω
22 vF mR m
Rρ = − ω = −
( ) ( )ma t mR t Fϕ= α =
207
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Exemplos
• ExEmplo 05:Um carro com massa total de 800 kg entra numa curva de raio R = 500 m com velocidade
v0 = 40 m/s e aceleração tangencial (nesse caso, igual à aceleração escalar) atang = α = 6 m/s². A pista
está contida num plano horizontal e o atrito é suficiente para manter o carro na trajetória circular
sem escorregamentos.
a. Qual a força tangencial?
b. Qual a força radial no instante t0 = 0?
→ Solução
A Figura 9.10 representa o DCL do carro.
Apresentamos, na Figura 9.10, três direções associadas a
uma determinada posição do carro: a vertical (normalmen-
te associada ao eixo z); a radial, associada ao termo do versor
eρ
e a componente tangencial à trajetória circular, associada
ao termo da velocidade vetorial contendo o versor eϕ
.
Na direção vertical, atuam a força gravitacional p e a
reação N
da pista sobre os pneus do carro. Nessa direção
tem-se equilíbrio; logo,
Para a direção tangencial escrevemos:
9.42
onde aφ = α é a aceleração escalar (tangencial à trajetória).
Na direção radial, a força é igual ao produto da massa pela aceleração centrípeta:
9.43
Se o carro se movimentar com velocidade escalar constante (o velocímetro registrando velocidade
de mesmo valor), a aceleração tangencial é aφ = 0 e a força tangencial, por consequência, é nula.
Figura 9.10 / Fonte: Cepa
N p= −
F e ma e m eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = α
2
radvF F e m eRρ ρ ρ= = −
208 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
a. Qual a força tangencial?
b. Qual a força na direção radial?
Vamos considerar o instante t = 0 como aquele em que v = 40 m/s. Da expressão 9.43 segue-se que,
quando expressa em newtons, a força radial é dada por
O sinal negativo indica que o sentido da força radial é para o centro, uma vez que o versor eρ
tem
direção radial, mas o sentido é aquele que indica o afastamento do centro.
9.5 Movimento Circular UniformeO movimento circular uniforme ocorre quando a força tangencial que age sobre o móvel
se anula:
9.44
Portanto, de 9.43 segue-se que, no movimento circular uniforme, a aceleração angular se anula:
9.45
Para a ocorrência de movimento circular uniforme faz-se necessário, assim, que a força seja
uma força central, ou seja, que a força aponte sempre para o centro. Essa exigência vem da
equação 9.42:
9.46
( ) ( ) ( ). 800 kg 6 m s . 4.800. newtonsF m a e eϕ ϕ ϕ ϕ= = =
( ) ( )2
240800 800 kg 3,2 m s 2.560
500F e e e eρ ρ ρ ρ ρ
= × − = × − = −
0Fϕ =
0( ) 0tα = ⇒ω= ω
0Fϕ =
209
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Como vimos anteriormente, a força central deve ser sempre atrativa e isso decorre da equação:
9.47
Assim, é importante entender que a despeito de o movimento ser uniforme, ele é um
movimento acelerado.
O movimento circular uniforme é um movimento periódico que se repete a intervalos de
tempo regulares. O seu período é dado por:
9.48
Exemplos
• ExEmplo 06:Um disco (B) de massa m = 2 kg é pos-
to em MCU de raio R = 0,5 m sobre
uma plataforma horizontal sem atrito. A
velocidade escalar é constante e dada por:
v = 1 m/s.
Ele é preso à extremidade de um fio leve e
flexível, que passa por um orifício através
do qual ele pode deslizar sem atrito. Na
outra extremidade do fio pende um obje-
to, A, que permanece no mesmo nível em
relação ao solo (sem subir nem descer).
Adotando-se g = 10 m/s²; pergunta-se:
a. Qual a aceleração do objeto?
→ Solução
O movimento é circular e uniforme; logo, a aceleração tangencial é nula. Portanto, a velocidade
escalar é constante. A aceleração centrípeta (na direção radial) tem módulo dado por:
( )20mR Fρ− ω =
0
2T π=ω
Figura 9.11 / Fonte: Cepa
2
22
cp
m1s 2 m s
0,5 mvaR
− = − = = −
210 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
Sendo aφ = α = (dv)/(dt) = 0, a aceleração do objeto tem apenas a componente centrípeta
(acp = −2 m/s2), ou seja,
O versor eρ
tem direção radial e aponta para fora do centro da circunferência. A aceleração centrípeta
aponta, portanto, para o centro da circunferência. Daí o sinal negativo.
b. Qual o período do movimento circular executado pelo disco?
→ Solução
De acordo com a equação 9.10 podemos escrever que v = ω0⋅R, onde ω0 = velocidade angular
constante do MCU. Portanto, podemos escrever que ω0 = v/R. Substituindo, na equação 9.48 que
define o período no MCU, temos que:
9.49
Substituindo as grandezas v = 1 m/s e R = 0,5 m, temos: 2 3,14 0,5 m 3,14 s
1 m/sT × ×= = .
Portanto, o objeto percorre a circunferência de raio R = 0,5 m em 3,14 s.
c. Qual o peso do objeto A dependurado na extremidade do fio?
→ Solução
Vamos desenhar um DCL do objeto em MCU.
Sobre o objeto (Figura 9.12) atuam três
forças: duas na direção vertical, que se anu-
lam (N
= −p), pois o objeto não se move
nessa direção. Na direção radial, por outro
lado, atua apenas a força tensora T do fio.
Como o objeto A não sobe nem desce, ele se
encontra em equilíbrio, ou seja, T = peso de
A. Portanto, a força radial é, em módulo, igual
ao produto da massa pela aceleração centrípeta:
Dessa expressão, segue-se que: o peso de A = mg = T = 4 newtons.
( )2cp 2. m sa eρ= −
2 2 RT v vR
π π= =
Figura 9.12 / Fonte: Cepa
2
22
m1s. 2 kg) 2 kg 2 m s 4 newtons
0,5 mvT mR
= = = × =
211
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
• ExEmplo 07:A massa de um pêndulo de comprimento L = 5 m é solta de uma determinada altura e passa no
ponto mais baixo de sua trajetória (ponto B da Figura 9.13) com velocidade v = 6 m/s.
Se a massa tem o valor m = 4 kg, qual a intensidade da força tensora no fio no ponto B? Desprezar
a resistência do ar e considerar g = 10 N/kg = 10 m/s².
→ Solução
Para analisar o movimento, consideremos o DCL da massa
pendular num ponto qualquer de sua trajetória circular
(Figura 9.14).
Na massa presa ao fio atuam duas forças: a força tensora do
fio T
e o peso p. Com a escolha dos eixos da Figura 9.14, as componentes
da força peso são:
• pρ = p⋅eρ = pcosφ (componente radial da força peso)
• pφ = p⋅eϕ = psenφ (componente tangencial da força peso).
A força tensora T
atua sempre na direção radial.
Considerando que neste ponto a velocidade tangencial
(ou escalar) seja v, podemos escrever, usando a 2ª Lei de Newton:
Direção tangencial Direção radial
tang tang
tang
sen .
sen sen sen
F F p m ap mga a g
m m
ϕ
ϕ
= = ϕ =
ϕ ϕ= = = = ϕ
Portanto:
atang = aφ = gsenφ
2
radial cosvF F m T pLϕ
= = = − ϕ
Portanto:
T = m(v2/L) + pcosφ
Figura 9.13 / Fonte: Cepa
Figura 9.14 / Fonte: Cepa
212 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
O que ocorre com os módulos da aceleração escalar atang e da força tensora T conforme a massa
pendular se mova em direção ao ponto B?
À medida que o ângulo φ decresce, o valor de senφ decresce e o de cosφ cresce. Desse modo,
atang = gsenφ decresce e a tração T = m(v2/L) + pcosφ aumenta (devido ao crescimento de pcosφ).
Quando a massa pendular passar pelo ponto B, o ângulo φ = 0° → sen0° = 0 e cos0° = 1 e, portanto,
no ponto B temos:
Direção tangencial Direção radial
( ) ( )tang B B 0a aϕ= =( ) ( )
2B
B
2
B
B
m6s4 kg 4 kg 10 N kg
5
68,8 newtons
vT m pL
Tm
T
= +
= + ×
=
Observe que, na situação em que vB = 0 → TB = 0 + p, a tração no fio terá a mesma intensidade do peso.
9.6 Movimento Circular num Campo GravitacionalA ideia de descrever o movimento dos astros no céu a partir de órbitas circulares é de Platão.
Foi aperfeiçoada pelos seus seguidores, especialmente com a ideia dos epiciclos. Platão não
estava muito enganado. Os planetas se movem em órbitas elípticas, mas órbitas circulares são
possíveis. Uma circunferência é um caso particular de uma elipse.
Figura 9.15: Sistema solar. / Fonte: Cepa
213
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
No caso da força gravitacional exercida por um objeto esférico de massa M sobre um objeto
de massa m, escrevemos essa força em coordenadas polares da seguinte forma:
9.50
Sendo R o raio da órbita circular, a lei de Newton se escreve, de acordo com 9.26, da
seguinte forma:
9.51
Como a aceleração centrípeta é dada por
9.52
de 9.52, segue que a velocidade angular é dada, em função do raio, pela seguinte expressão:
9.53
O aspecto relevante no movimento circular num campo gravitacional é a existência de uma
relação bastante geral entre a velocidade angular e o raio da trajetória e essa relação é:
9.54
Ela é o análogo da lei de Kepler quando aplicada para o movimento circular. De fato, de
9.54 e 9.48, segue-se que o quadrado do período numa órbita circular é proporcional ao
cubo do “semieixo maior” de uma esfera (pois o seu semieixo maior coincide com o semieixo
menor). De fato, substituindo 9.48 em 9.54, obtemos, para o período,
9.55
2
mMGF eρ= −ρ
cp 2
1ma mMGR
= −
( )2
2cp 0
va RR
= − ω = −
23
MGR
ω =
2 30 R MGω =
( )22 32
T RMGπ
=
214 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos
Dessa relação segue-se que a cada período corresponde um valor do
raio. De grande interesse para as telecomunicações são os satélites geo-
estacionários. Neles, o período é igual ao período de rotação da Terra.
9.56
Nesse caso, o satélite fica sempre num ponto fixo acima da su-
perfície terrestre. O raio nesse caso é dado por: R = 35,786 km.
Exemplos
• ExEmplo 08:Os satélites “geoestacionários” são aqueles que se encon-
tram “parados” em relação a um ponto fixo na superficie
terrestre (em geral, sobre a linha do equador terrestre).
Por isso, são usados como satélites de comunicação. Con-
sidere um satélite geoestacionário com órbita circular de
raio R concêntrica com o globo terrestre.
Adotando um sistema de referencial polar com centro no
planeta Terra, determinar:
a. O período Tsat do movimento circular do satélite.
→ Solução
A condição para que um satélite seja geoestacionário é equivalente à condição de que sua velocidade
angular (ωsat) seja igual à velocidade angular associada ao deslocamento de um ponto no equador terrestre:
9.57
9.58
Para isso, basta que os períodos sejam iguais. Tendo em vista que o período de rotação da Terra é de
24 horas, temos:
9.59
Figura 9.16 / Fonte: Cepa
rot 24T T hs= =
Figura 9.17: Satélite. / Fonte: Cepa
eqdrot
2Tπ
ω =
eqd satω = ω
sat rot 24 h 86.400 sT T= ≅ =
215
MOVIMENTO CIRCULAR 9
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
b. O raio R da órbita do satélite.
→ Solução
A força na direção radial agindo sobre o satélite é a força de atração gravitacional entre o satélite
e a Terra. Ela o atrai para o centro da Terra. Denominando m a massa do satélite, e lembrando
que a massa da Terra é M = 6 × 1024 kg; que a constante da gravitação universal é dada por
G = 6,67 × 10-11 (Nm2)/kg2 e denominando R como a distância do satélite até o centro da Terra,
podemos escrever:
9.60
A partir da lei de Newton podemos escrever:
9.61
donde inferimos que 2
MR Gv
= . Lembramos que 2 Rv RTπ
= ω = . Assim, em termos do período, a
distância até o centro da Terra obedece à relação 2
2 24MTR G
R=
π, donde inferimos que ela é dada por:
23
24MTR G=π
.
A partir dos dados já obtidos, concluímos que o raio da órbita do satélite é R ≅ 42.300 km. Sendo
RTerra = 6.380 km, a altitude do satélite é h = R − RTerra = 42.312 - 6.380 ≈ 36.000 km.
Fradial = Fgravitacional
2
2
.v M mm GR R=