MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Caroline MeloEduardo CotrimGuilherme Henrique dos SantosMichele Silva Valdinei Euzébio Rodrigues

Universidade Federal de São Paulo – Campus DiademaUC: Física IProfessora: Rose Clívia Santos Data de realização do experimento: 16/04/2011Turma A – Ciclo básico

1. Resumo

Visando estudar os movimentos retilíneos uniforme e uniformemente variável foi realizado um procedimento dividido em duas partes. Na primeira parte foi abordado o estudo do movimento uniforme. A velocidade pode ser calculada devido à obtenção da distância e do tempo através de análises experimentais. Na segunda parte do estudo verificou-se as características do movimento uniformemente variado descrito pelo material utilizado. Através desses procedimentos foi possível descrever as equações horárias, assim como tracejar-se um gráfico representando e comprovando os efeitos de tais movimentos.

2. Introdução

Movimento retilíneo é o movimento em que o corpo ou ponto material se desloca apenas em trajetórias retas quer seja horizontal, quer seja vertical. Para tanto, ou a velocidade se mantém constante ou a variação da velocidade dá-se somente em módulo, nunca em direção. A aceleração, se houver variação, também variará apenas em módulo e nunca em direção, e deverá orientar-se sempre em paralelo com a velocidade.1

Os movimentos retilíneos podem ser divididos em: Movimento Retilíneo Uniforme e Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.

No Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), o vetor velocidade é constante no decorrer do tempo (não varia em módulo, sentido ou direção), e, portanto a aceleração é nula. Em intervalos de tempo iguais, um corpo se desloca com distâncias iguais. Uma vez que não há aceleração sobre qualquer corpo que esteja em MRU, de acordo com a primeira lei de Newton - Lei da Inércia, a resultante das forças aplicadas é nula. Para esse movimento pode-se afirmar que a velocidade média determinada para qualquer intervalo de tempo é igual à velocidade escalar instantânea determinada para qualquer tempo, ou simplesmente dizemos velocidade.1,2

[1]

No movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), o corpo sofre uma aceleração constante. O conceito de aceleração está sempre relacionado com uma mudança na velocidade. No MRUV variam a posição e a velocidade, sendo que a velocidade varia sempre na mesma razão, por isso o movimento é chamado de uniformemente variado e o gráfico que representa a velocidade em função do tempo é uma reta (Figura 1). Para que o movimento ainda seja retilíneo, a aceleração deve ter a mesma direção da velocidade (Figura 2). Caso a aceleração tenha o mesmo sentido da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo

Uniformemente Acelerado. Caso a aceleração tenha sentido contrário da velocidade, o movimento pode ser chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Retardado.1,2

Figura 1: Gráfico da velocidade pelo tempo no Movimento Uniformemente Variado.

Figura 2: Gráfico da aceleração pelo tempo no Movimento Uniformemente Variado.

Dada a aceleração pode-se obter a variação de velocidade v-v0 (Δv) entre os instantes t0 e t, mediante integração, ou graficamente (Figura 3).3

[2]

Figura 3: Gráfico da variação da velocidade entre os instantes t0 e t.

Dada a velocidade em função do tempo, obtemos o deslocamento x-x0 do móvel entre os instantes t0 e t, graficamente (área de um retângulo + área de um triângulo – Figura 3), ou integrando:3

[3]

3. Objetivo

O experimento proposto teve como principal objetivo o estudo dos movimentos uniforme e uniformemente acelerado, tendo como objetivo específico a determinação de velocidades de uma esfera metálica em diferentes posições de um plano inclinado, a descrição dos movimentos já citados, a determinação das funções horárias dos movimentos, a comparação e a resolução algébrica e experimental do problema da posição e instante do encontro de dois móveis no movimento uniforme (sobre uma mesma trajetória), além de traçar e interpretar gráficos dos dois movimentos.

4. Materiais e métodos

Para a realização do experimento utilizou-se os seguintes materiais:

Plano inclinado com ajuste angular regulável, escala de 0 a 45 graus, com divisão de um grau e indicador de inclinação;

Esfera metálica de 8,0mm de diâmetro confinada em um tubo de 400,0mm contendo óleo;

Esfera metálica;

Imã encapsulado;

Cronômetro;

Régua;

Fita adesiva.

Com os materiais listados anteriormente foi possível realizar o experimento utilizando alguns métodos simples, como por exemplo:

Tempo transcorrido do móvel em um determinado espaço, ou seja, cronometragem do tempo.

Lançamento de uma esfera em um plano inclinado a partir da inércia, tendo apenas a gravidade como força de aceleração.

Medição de distancia em milímetros para determinar o espaço percorrido pela esfera.

O estudo do movimento retilíneo foi dividido em duas partes sendo a primeira o estudo do movimento retilíneo uniforme abordando o problema clássico da posição e instante de encontro de dois móveis e a segunda parte do experimento a caracterização do movimento uniformemente acelerado.

Na primeira parte do experimento foi montado o plano inclinado com ângulo de 15° com a sua base. Com a utilização de um imã, a esfera metálica presente no fluido foi posicionada na marca de 0mm. Após o posicionamento o imã foi retirado e o tempo para a esfera percorrer 400mm foi cronometrado e marcado na tabela 2, esse procedimento foi realizado mais 9 vezes.

Dos dados obtidos foram feitas outas duas tabelas, uma com os parâmetros do movimento da esfera metálica e a outra com a velocidade média e a incerteza para a esfera metálica, obtida dos dados do tempo cronometrado e da distancia percorrida pela esfera de 400mm.

Com uma bolha presente no fluido foi realizado o mesmo procedimento realizado com a esfera metálica. Porém a bolha era posicionada em 400mm e era cronometrado o tempo para que ela alcançasse 0mm. As mesmas tabelas foram

preenchidas com os dados da bolha para estudo do tempo de encontro da bolha com a esfera metálica.

Disposto de todos os dados obtidos na primeira parte do experimento, foram escritas as funções horárias do movimento uniforme da bolha e da esfera, determinada a posição e instante de encontro dos dois móveis a partir das funções horárias estabelecidas, feito experimentalmente a cronometragem do tempo de encontro da esfera e da bolha e feito a comparação entre os dados calculados e experimentais.

Na segunda parte do ensaio, foi realizado o estudo para caracterização do movimento retilíneo uniformemente acelerado. Para isso o plano foi montado em uma inclinação de 5° com sua base e cronometrado o tempo para uma esfera de aço percorrer 100, 200, 300 e 400mm, esse procedimento foi realizado 10 vezes para cada. O tempo obtido foi anotado na tabela 6, com suas respectivas incertezas na média calculada ao fim da tabela.

Em seguida com os dados obtidos, foi desenhada uma tabela com as posições marcadas na escala fixa do plano inclinado, uma tabela com as velocidades médias da esfera para o movimento uniformemente acelerado e um gráfico de posição x tempo. Também foi efetuado o cálculo da aceleração e de ∆x percorrido pela esfera, comparado o valor de ∆x obtido através do gráfico com o valor medido no plano e o cálculo das velocidades instantâneas em cada ponto.

5. Resultados e Discussão

5.1 Partes 1 – Movimento Uniforme – Problema da posição e instante de encontro de dois móveis

Velocidade Média da Esfera e da Bolha

A Tabela 1 mostra os parâmetros utilizados no decorrer do experimento, ou seja, mostra as posições: final e inicial. Estes parâmetros são evidenciados tanto para a esfera metálica quanto para a bolha da coluna de água. Podemos notar que há somente o tempo inicial de ambos os móveis (esfera e bolha) que serão detalhados a seguir.

Tabela 1: Parâmetro da equação de movimento para a esfera metálica e a bolha

Esfera Bolha

Posição inicial

Posição final

Tempo inicial

Posição inicial

Posição final

Tempo inicial

x0 (mm) x ± δx (mm) T0 (s) x ± δx0 (mm) x0 (mm) T0 (s)

0 400 ± 0,5 0 400 ± 0,5 0 0

A Tabelas 2 mostram as medidas experimentais do tempo e da velocidade para a esfera e a bolha. Estas, também, contêm os respectivos erros, que foram calculados tomando-se por base a expressão [4]:

[4]

Tabela 2: Medidas do tempo transcorrido do movimento de uma esfera e da bolha no plano inclinado.

MedidaEsfera Bolha

Δt (s) Δt (s)

1 7,06 8,82

2 8,09 8,84

3 7,59 8,72

4 7,03 8,31

5 7,97 8,58

6 11,88 8,75

7 13,78 8,37

8 10,47 8,59

9 11,00 8,69

10 10,59 8,60

Média 9,546 ± 0,005 8,63 ± 0,005

Com os dados obtidos nas tabelas acima (Tabela 1 e 2) pode-se completar a tabela abaixo:

Tabela 3: Valores do deslocamento, intervalo de tempo médio e velocidade média e suas respectivas incertezas para o movimento da esfera e da bolha.

Esfera BolhaDeslocam

entoIntervalo de

tempo médioVelocidade

médiaDeslocame

ntoIntervalo de

tempo médio

Velocidade média

x ± δx (mm)

t ± δ t (s) v±δ v (mm/s) x ± δx (mm) t ± δ t (s) v±δ v (mm/s)

400 ± 0,5 9,546 ± 0,005 41,902 ± 1,36 x 10-3

400 ± 0,5 8,627± 0,005 46,366 ± 1,38 x 10 -3

Conclui-se que a equação horária para a esfera é:

X = X0 + V0t

X = 41,902t

Da mesma forma, a equação horária da bolha é:

X = X0 + V0t

X = 400 – 46,366t

Tendo-se as equações horárias, pode-se calcular a posição do encontro entre os dois móveis que foram representadas na tabela (Tabela 4) abaixo:

Tabela 4: Posição e instante de encontro dos dois móveis determinados a partir de cálculos algébricos e do procedimento experimental.

Cálculo algébrico Resultado ExperimentalPosição Tempo Posição Tempox (mm) t (s) x ± δx (mm) t ± δ t (s)189,858 4,531 190,124 ± 0,5 5,021 ± 0,005

O cálculo algébrico diferenciou-se muito pouco do experimental devido a erros ocasionados pelos equipamentos e também por atividade humana.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50100150200250300350400

Posição x tempo das funções horárias da esfera e da bolha

y = 41,902tLinear (y = 41,902t)Y = 400 – 46,366tLinear (Y = 400 – 46,366t)

tempo (s)

Posiç

ão (m

m)

Gráfico 1: posição x tempo das funções horárias da esfera e da bolha

Através do cálculo geométrico da área do gráfico obtém-se a velocidade média da partícula, pois a reta tangente do ponto do deslocamento em relação ao ângulo formado entre os eixos do gráfico (espaço por tempo) pode ser calculada através da derivação da função espaço no tempo, fórmula [5] que resulta na velocidade (coeficiente angular da reta tangente).

v=dxdt

[5]

5.2 Parte 2 – Movimento Uniformemente Variado

Na tabela 5 pode-se observar as posições iniciais, marcadas na escala fixa do plano inclinado, da esfera.

Tabela 5: Posições iniciais da escala fixa

Posições iniciais (mm)

x0 = (0 ± 0,5) x3 = (300 ± 0,5)

x1 = (100 ± 0,5) x4 = (400 ± 0,5)

x2 = (200 ± 0,5)

Já na tabela 6 representou-se o tempo gasto pela esfera para percorrer o mesmo espaço, ou seja, o mesmo x.

Tabela 6: Medidas experimentais dos tempos para a esfera metálica atingir a posição indicada no procedimento experimental.

Posição 100,0 mm 200,0 mm 300,0 mm 400,0 mmTempo T01 (s) T02 (s) T03 (s) T04 (s)

1 0,93 1,47 1,75 2,032 0,84 1,16 1,75 1,973 1,44 1,12 1,68 2,134 0,63 1,13 1,72 1,845 0,85 1,16 1,75 2,076 1,19 1,28 1,75 1,757 1,07 1,19 1,78 1,978 0,78 1,10 1,71 2,229 0,85 1,12 1,85 2,10

10 0,78 1,10 1,59 2,06Média 0,936 ± 0,005 1,183 ± 0,005 1,733 ± 0,005 2,014 ± 0,005

A partir destes resultados, calculou-se as velocidades médias da esfera em cada intervalo que foram representadas na tabela abaixo (Tabela 7):

Tabela 7: Velocidades médias da esfera para o movimento uniformemente acelerado (mm/s²).

v1=106,838±7,317×10−3 v3=173,110±3,332×10

−3

v2=169,061±4,910×10−3 v4=198,609±2,779×10

−3

Com os dados obtidos na Tabela 7, pode-se fazer o gráfico (Gráfico 2) de velocidade x tempo das velocidades médias obtidas em cada intervalo.

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

50

100

150

200

250

Tempo (s)

Velo

cidad

e (m

m/s

)

Gráfico 2: Velocidade x tempo das velocidades médias obtidas em cada intervalo

O movimento observado caracterizou-se por ser do tipo acelerado, ou seja, há um aumento do Δx com aceleração positiva e velocidade crescente. A partir do gráfico obteve-se o valor, em módulo, experimental do Δx percorrido pela esfera, assim como a sua aceleração.

Δx = 198 mm ± 0,5mm*

a = 85,130 mm/s2 ± 7,155 x 10-3mm**

*incerteza do próprio equipamento.

**incerteza calculada através da expressão de desvio padrão [4].

O valor do Δx medido no plano inclinado foi de 40 mm. Tal diferença ocorreu devido a imprecisão dos aparelhos durante o experimento.

Com a expressão [1] calculou-se as velocidades instantâneas da esfera metálica para o movimento uniformemente acelerado expressas na Tabela 8, abaixo.

Tabela 9: Velocidades instantâneas para o movimento uniformemente acelerado (mm/s²).

v1=79,681±5,342×10−3 v3=147,530±2,886×10

−3

v2=100,709±4,227×10−3 v4=171,451±2,484×10

−3

Com base nos dados obtidos no decorrer deste trabalho, pode-se então compreender e deduzir que a velocidade instantanea, dada pela expressão [1], é igual a duas vezes a velocidade média, dada pela expressão [9]:

x=x0+v0t+a t2

2[6]

∆ x=v0 t+a t 2

2[7]

∆ x=a t2

2, onde v0=0

a=dvdt

[8]

ou a=v inst .t

∆ x=v inst . t

2, dividindo ambos os lados por t

∆ xt

=v inst .2

v inst .=2v c .q . d . [9]

6. Conclusão

Movimento retilíneo é o movimento em que o corpo ou ponto material se desloca apenas em trajetórias retas quer seja horizontal ou vertical nos eixos

cartesianos x, y ou z. Para tanto, ou a velocidade e/ou a aceleração são constantes. Os movimentos podem ser classificados em uniforme e uniformemente variado.

No movimento uniforme não há presença de uma aceleração que altere o módulo da velocidade. Já no movimento uniformemente variado há presença de uma aceleração capaz de alterar o módulo da velocidade de um corpo ou levá-lo até um estado estacionado em relação a um referencial.

No estudo realizado foi obtido desvios e imprecisões grandes devido à velocidade de acionamento do botão “stop” do cronômetro e do rolamento da esfera que acaba rolando em torno do seu eixo. Desviando um pouco do estudo que era de movimentos retilíneos e a esfera entra em movimento rotacional.

7. Referências

[1]Tippler P.A, Mosca G., Física para cientistas e engenheiros, volume 01, tradução Fernando R. da Silva e Gisele M. R, Vieira, LTC, 5ª edição, Rio de Janeiro, 2006.

[2] Raymond A. Serway & John W. Jewett, Jr., "Principios de Física - Mecânica Clássica", Thompson, 3ª ed. (2002).

[3] http://www.fisica.ufs.br/egsantana/cinematica/circular/circular.htm

8. Anexos

8.1 Questões

1. O que ocorreu com os valores das velocidades médias? Explique qual é o tipo de movimento observado.

Os valores das velocidades médias foram aumentando com o aumento do comprimento de plano inclinado percorrido, ou seja, a velocidade para percorrer um trecho de 100mm de comprimento foi menor que a velocidade para percorrer um trecho de 200mm. Essa característica está relacionada ao movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Esse movimento é caracterizado pela presença de uma aceleração constante que aumenta ou diminui a velocidade de um corpo ao longo do tempo de modo que essa variação seja linearmente.

2. Construa o gráfico, posição x tempo para este movimento. Como é denominada a curva obtida neste gráfico? Neste caso, o que significa a derivada em qualquer ponto da curva?

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

50100150200250300350400450

Posição x tempo

Series2Linear (Series2)

tempo (s)

Posiç

ão (m

m)

A curva obtida no gráfico acima corresponde a uma curva que demonstra o deslocamento de um móvel com o tempo. A derivada desta curva em qualquer ponto corresponde à velocidade instantânea do móvel no ponto derivado.

3. Construa o gráfico posição x tempo². Determine através deste gráfico, a aceleração sofrida pelo móvel no intervalo (t1, t2).

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

100

200

300

400

500

f(x) = 86.8434102422894 x + 47.3074804944965R² = 0.968477711022011

Posição x tempo²

tempo t² (s²)

Posiç

ão X

(mm

)

A aceleração sofrida pelo móvel no intervalo (t1, t2) corresponde à média da soma da aceleração instantânea em cada ponto. Logo, a aceleração corresponde à equação da reta quando x corresponde a t1 e t2. Assim sendo a aceleração é:

a=86,843 t 1+47,307+86,843 t 2+47,307t 1+ t 2

a = (123,400mm/s + 169,000mm/s)/2,276s

a = 128,471 mm/s²

Como no movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante, é esperado que a aceleração seja a inclinação da reta média que daria uma aceleração de 86,843 mm/s². Porém com os cálculos realizados chegou-se numa aceleração de 128,471 mm/s² resultado muito acima do esperado. Mas quando realizado a comparação entre os gráficos, percebe-se que a inclinação da curva é maior que a da reta média, justificando o valor obtido nos cálculos.

O cálculo da aceleração pela equação da reta seria obtido pela derivação da equação da reta que ficaria como a seguir:

dydx

=86,843 x+47,307=86,843 x°+0=86,843mm/ s ²