POLINÔMIOS

Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma

∑=

=+++++=n

0i

ii

nn

33

2210 xaxa...xaxaxaa)x(P em que cada ai é um número complexo (ou

real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do

polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente.

Exemplos:

1) P(x) = x3+2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3. Note que segundo a notação acima

temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1.

2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1.

3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7.

Observe que P(x) = x2 + x + x ½ +2 não é um polinômio devido ao expoente ½. Similarmente,

Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2.

Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do

polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do polinômio P(x).

Exemplos:

1) Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em

x=3.

Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1 – 3 +2 = 0

e P(2) = 22 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0.

2) As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que

Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0.

Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto

de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio

Q(x) tal que )x(Q)ax()x(P −= .

Exemplo: Já vimos que x = 1 é raiz do polinômio P(x) = x2 -3x + 2 então P(x) pode ser reescrito

por )x(Q)1x()x(P −= . No caso, o polinômio Q(x) é dado por 2x)x(Q −= , já que

)2x)(1x(2x3x)x(P 2 −−=+−= .

Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo

polinômio x–a, ou seja, ax)x(P)x(Q

−= . No exemplo acima, 2x

1x2x3x)x(Q

2

−=−

+−= .

Observe ainda que, neste caso, o grau de Q(x) é um a menos do que o grau de P(x).

Divisão de polinômios - algoritmo de Briot-Ruffini

Quando dividimos dois polinômios, obtemos um quociente e um resto da divisão. Isto é, se

dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o quociente) e

R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= .

Existem algumas técnicas para dividirmos polinômios. Uma das mais utilizadas é o algoritmo de

Briot-Ruffini. Esta é uma técnica prática, mas que só deve ser utilizada para efetuarmos a

divisão do polinômio P(x) por um binômio da forma x–a. A explicação do algoritmo será feita

através de um exemplo.

Exemplo:

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x2 –3x + 2 pelo polinômio

1x)x(D −= .

Sendo 1 a raiz do binômio D(x), pois D(1) = 0, temos que )x(R)x(Q)1x()x(P +⋅−= .

Escreva o polinômio P(x) com as potências em x, ordenadas decrescentemente.

Assim, os coeficientes do polinômio P(x) = x2 – 3x + 2 ordenado e completo são 1, -3 e 2.

Escreva estes números em uma tabela do seguinte modo:

raiz de D(x) = x–1 coeficientes de P(x)

1 1 -3 2

Copie o primeiro coeficiente de P(x) na linha abaixo:

1 1 -3 2

1

Multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) por este coeficiente que foi copiado (ou seja, 1) e adicione

ao segundo coeficiente de P(x) (ou seja, -3). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do

segundo coeficiente de P(x).

Temos: 231)3(11 −=−=−+⋅ e na tabela:

1 1 -3 2

1 -2

Repita o procedimento para o próximo número: multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) pelo novo

número que foi colocado na segunda linha (ou seja, -2) e adicione ao terceiro coeficiente de

P(x) (ou seja, 2). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do terceiro coeficiente de P(x).

Temos: 0222)2(1 =+−=+−⋅ e na tabela:

1 1 -3 2

1 -2 0

Para ler o resultado obtido, temos que separar o último número calculado (ou seja, 0). Este é o

resto da divisão. Assim, R(x) = 0.

Os outros números calculados são os coeficientes do quociente Q(x) da divisão, na ordem em

que aparecem.

Note que como o grau de Q(x) é um a menos que o grau de P(x), então Q(x) é um polinômio de

grau 1, pois P(x) é de grau 2.

No exemplo acima, os coeficientes do quociente são 1 e -2, ou seja, o quociente é o polinômio

Q(x) = 1x + (-2) = x – 2.

Assim, ao dividirmos P(x) = x2 -3x + 2 pelo binômio D(x) = x – 1, vamos obter o quociente

2x)x(Q −= e o resto R(x) = 0. De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é

0)2x)(1x(2x3x2 +−−=+− .

Exemplo:

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = – 4x3 + 2x + 10 pelo binômio

2x)x(D += .

Note que

A raiz do binômio D(x) é x = -2.

Os coeficientes ordenados e completos do polinômio P(x) = -4x3 +2x + 10 = -4x3 + 0x2 + 2x + 10

são -4, 0, 2 e 10 (lembre de considerar o coeficiente de x2).

-2 -4 0 2 10

-4 8 -14 38

Assim, ao dividirmos P(x) = -4x3 +2x + 10 pelo binômio D(x) = x + 2, vamos obter o

quociente Q(x) = -4x2 + 8x – 14 e o resto R(x) = 38.

De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é 38)14x8x4)(2x(10x2x4 23 +−+−+=++− .

Exemplo:

Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio

1x)x(D 2 −= .

Note que não podemos aplicar diretamente o dispositivo de Briott-Ruffini, já que o polinômio

D(x) = x2 -1 não é da forma x-a. Mas, sabemos que D(x)=x2 –1=(x+1)(x–1), e então para dividir

do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio D(x) = x2 –1, basta dividir P(x) = x4 –1 pelo polinômio

x + 1, e em seguida dividir o resultado obtido por x – 1.

Dividindo dividir P(x) = x4 - 1 pelo polinômio x + 1:

-1 1 0 0 0 -1

1 -1 1 -1 0

Ou seja, 1xxx1x1x 23

4

−+−=+−

, e o resto da divisão foi zero.

O próximo passo é dividir x3 - x2 + x - 1 por x – 1:

1 1 -1 1 -1

1 0 1 0

Ou seja, 1x1x

1xxx 223

+=−

−+− e o resto da divisão foi zero.

Portanto 1x1x

1xxx)1x)(1x(

1x1x1x 2

234

2

4

+=−

−+−=−+

−=−−

.

Divisão de polinômios - Divisão pelo método das chaves

Muitas vezes, não podemos aplicar o dispositivo acima, ou sua aplicação passa a ser

trabalhosa. Nesses casos, podemos optar por usar o método básico da divisão (método das

chaves) que se parece bastante com a divisão algébrica.

Este método consiste em fazermos a divisão no seguinte formato

P(x) D(x)

R(X) Q(x)

em que, se dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o

quociente) e R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= .

Exemplo:

Divida P(x) = 3x3 – 9x2 + 9x - 3 por D(x) = x2 – 2x + 1.

Primeiro, organizamos os dois polinômios como em uma conta usual de divisão.

3x3 - 9x2 + 9x - 3 x2 – 2x + 1

Divida o termo de maior grau de P(x) pelo de maior grau de D(x): x3x

x32

3= , obtendo-se o

primeiro termo de Q(x).

Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (3x) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal

trocado, sob os termos semelhantes de P(x).

3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1

-3x3 +6x2 - 3x 3x

Na coluna da esquerda, somam-se os termos semelhantes.

3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1

-3x3 +6x2 - 3x 3x

-3x2 +6x -3

Repete-se o procedimento, dividindo-se o termo de maior grau de –3x2+6x–3 pelo de maior

grau de D(x): 3x

x32

2−=− , obtendo-se o segundo termo de Q(x).

Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (-3) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal

trocado, sob os termos semelhantes de –3x2+6x–3, para então somarmos os termos

semelhantes.

3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1

-3x3 +6x2 - 3x 3x -3

-3x2 +6x -3

3x2 +6x -3

0

O procedimento se encerra quando o polinômio da “esquerda” (que será o resto da divisão)

tiver grau menor que do polinômio D(x).

Assim, pelo procedimento acima, temos que o resto da divisão de P(x)=3x3 -9x2 + 9x – 3 por

D(x)=x2 - 2x + 1 é zero (R(x)=0) e o quociente é Q(x)=3x -3.

Portanto, escrevendo, como antes, na forma )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= , temos

3x3 –9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3)+0, ou seja, 3x3 -9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3).

Note que neste caso, ao dividirmos 3x3 – 9x2 + 9x – 3 por x2 - 2x + 1, obtemos 3x –3, ou seja,

3x312x-x

39x9x-3x2

23

−=+

++.

Exemplo:

Divida 6x3 – x + 10 por 2x2 – 3x:

6x3 – x + 10 2x2 – 3x

O procedimento é análogo ao exemplo anterior, lembrando que para somar polinômios temos

que somar os coeficientes dos termos com o mesmo grau, isto é, somar x3 com x3, x2 com x2...

6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x

-6x3+9x2 3x

9x2 –x +10

E, então:

6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x

-6x3+9x2 3x + 4,5

9x2 – x +10

-9x2 + 13,5x

12,5 x +10

Como o grau de 12,5 x +10 é menor do que o grau de 2x2 – 3x então a divisão está terminada e

temos que 6x3 – x + 10 = (2x2 – 3x)( 3x + 4,5) + 12,5 x +10.

PRODUTOS NOTÁVEIS

Na multiplicação de expressões algébricas, algumas vezes é possível determinar o

produto sem efetuar a operação. Nesses casos, os resultados são conhecidos como produtos

notáveis.

Quadrado da soma de dois termos ou quadrado perfeito

Observe a figura ABCD formada por dois quadrados e dois retângulos. O quadrado

ABCD tem 5cm de lado e sua área é:

A B

52 = 25cm2

C D

Podemos desdobrar o quadrado ABCD em quatro quadriláteros:

3cm 3cm 2cm 2cm 333 3cm 2cm 3cm 2cm

Comparando a área do quadrado ABCD com a soma das áreas dos quatros quadriláteros,

podemos escreve, ( 3 + 2 )2 = 32 + 2 . 3 . 2 + 22

Portanto:

O quadrado da soma de dois termos ( a + b )2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) , mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2).

Escrevemos:

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Exemplos:

1x2x11x2x)1x( 222 ++=+⋅⋅+=+

25x20x455)x2(2)x2()5x2( 36232323 ++=+⋅⋅+=+

Exemplo: Fatore 4x2+4x+1.

Note que 2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 +=+⋅⋅+=++

Assim, 22 )1x2(1x4x4 +=++ .

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2), menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2).

Escrevemos:

( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Exemplos:

16x8x44x2x)4x( 2222 +−=+⋅⋅−=−

9y12y433y22)y2()3y2( 2222 +−=+⋅⋅−=−

Produto da soma pela diferença: O produto da soma pela diferença de dois termos (a+b) . (a-b) é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (-b2).

Escrevemos:

(a+b) (a –b) = a2 – b2

Note que expressão acima é verdadeira visto que se fizermos a distributiva de ( a – b)(a + b)

obteremos 2222 babababa)ba)(ba( −=−+−=+− .

Exemplos:

(x-2). (x+2)= x2 - 22 = x2 – 4

(x-y) (x+y)=x2 – y2 242222 1x1)x()1x)(1x( −=−=+−

Cubo da soma de dois termos ou cubo perfeito

Observe o desenvolvimento das potências a seguir:

(x+1)3 = (x + 1)2 (x+1)= (x2 +2x +1) (x+1)=

= x2 .x + x2 .1 + 2x . x + 2x . 1 + 1.x + 1.1=

= x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1=

= x3 + 3x2 + 3x + 1

O cubo da soma de dois termos (a+b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo (+3 a2b), mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), mais o cubo do segundo termo (+b3).

Escrevemos:

(a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

Exemplos: 3232233 xx6x128xx23x232)x2( +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+

91

3xxx

31

31x3

31x3x

31x 23

3223

3

+++=

+

⋅⋅+⋅⋅+=

+

Cubo da diferença de dois termos

Observe o desenvolvimento a seguir:

(x – 1)3 = (x-1)2 (x-1) = (x2 – 2x + 1) (x-1)=

= x2 .x – x2 .1 – 2x . x – 2x(-1) + 1.x + 1. (-1)=

= x3 – x2 – 2x2 + 2x + x –1= x3 – 3x2 + 3x -1

O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo (-3 a2b), mais três vezes o primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), menos o cubo do segundo termo (-b3). Escrevemos:

(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 - b3 Exemplos:

8y12y6y22y32y3y)2y( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−

( ) 3232233 bb3b31bb13b131b1 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−

FATORAÇÃO

Definição: Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores.

Em geral, quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos que a expressão seja

reescrita como produto de fatores os mais simples possíveis.

Temos algumas regras muito utilizadas para fatorar polinômios e que merecem destaque.

Fator Comum ax + bx = (a+b) x

Ex: 2x2 + 4x – 6xy = 2x(x + 2 - 3y)

(fator comum = 2x)

Agrupamento ax + bx + ay + by = (a+b) x + (a+b) y = (a+b) (x+y)

Ex: 2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2y2(a + b) + x(b + a) = (a + b)(2y2 + x)

Trinômio Quadrado Perfeito

( )222 babab2a +=++

( )222 babab2a −=+−

Ex: 2222 )3x(33x2x9x6x +=+⋅⋅+=++

2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 −=+⋅⋅−=+−

Trinômio do Segundo Grau

Sejam x1 e x2 raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), com 0≥∆ . A soma S dessas raízes é S = x1 + x2 = – b/a O produto P dessas raízes é P = x1.x2 = c/a Observando esses resultados, podemos escrever a equação do 2º grau citada: ax2 + bx + c = 0 (dividindo por a) x2 + b/a x + c/a = 0 Assim: x2 – Sx + P = 0

Ex: )3x)(2x(6x5x2 ++=++ , já que 325 += e 326 ⋅= .

Diferença de dois Quadrados

( )( )yxyxyx 22 −+=−

Ex: )7x)(7x(7x49x 222 −+=−=−

)1x3)(1x3(1)x3(1x9 222 −+=−=−

)1x)(1x)(1x()1x)(1x(1)x(1x 2222224 −++=−+=−=−

Soma e Diferença de Dois Cubos

( )( )2233 yxyxyxyx +−+=+

( )( )2233 yxyxyxyx ++−=−

Ex: )4x2x)(2x()22xx)(2x(2x8x 222333 +−+=+⋅−+=+=+

( ) )9x6x4)(3x2(33x2)x2()3x2(3)x2(27x8 222333 ++−=+⋅+−=−=−

Cubo Perfeito

( )33223 yxyxy3yx3x +=+++

( )33223 yxyxy3yx3x −=−+−

Ex: 3322323 )1x(11x31x3x1x3x3x +=+⋅⋅+⋅⋅+=+++

3322323 )2x(22x32x3x8x12x6x −=−⋅⋅+⋅⋅−=−+−

Polinômio de segundo grau

)rx)(rx(acbxax 212 −−=++ , onde r1 e r2 são as raízes (complexas ou reais) do polinômio

cbxax2 ++ , que podem ser encontradas facilmente pela fórmula de Baskara

a2ac4bbr

2 −±−= .

Ex: Como 2r1 = e 3r2 = são raízes do polinômio 6x5x2 +− então

)3x)(2x(6x5x2 −−=+− .

Como 1r1 −= e 4r2 = são raízes do polinômio 4x3x2 −− então

)4x)(1x()4x))(1(x(4x3x2 −+=−−−=−− .

SIMPLIFICAÇÔES DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS MDC (máximo divisor comum) é dado pelo produto dos fatores com os menores expoentes. MMC (mínimo múltiplo comum) é dado pelo produto dos fatores comuns tomados com os

maiores expoentes. Exemplo:

Simplificar, efetuando as operações indicadas:

22 yxxy2

yxy

yxx

−+

−+

+= MMC = ( )( ) ( )22 yxyxyx −=−+

( )

( )( )( )( ) yx

yxyxyxyxyx

yxyx

yxxy2yxyxyx

yxxy2

yx)yx(y

yx)yx(x

22

2

22

22

222222

−+=

+−++=

=−+=

−+++−=

−+

−++

−−=

NÃO COMETAM MAIS ESTES ERROS

CERTO ERRADO

( )2ba − ( ) 222 bab2aba +−=−

( )( ) 22 bababa −=+− ( ) 222 baba −=−

( )2ba + ( ) 222 bab2aba ++=+ ( ) 222 baba +=+

( )ba +− ( ) baba −−=+− ( ) baba +−=+−

( )ba −− ( ) baba +−=−− ( ) baba −−=−−

bba + 1

ba

bb

ba

bba +=+=+ a

bba =+

b1

a1 +

abab

b1

a1 +=+

ba1

b1

a1

+=+

b1

a1 −

abab

b1

a1 −=−

ba1

b1

a1

−=−

.a

ba − ab1

ab

aa

aba −=−=− b

aba −=−

ba + ( ) 21baba +=+ baba +=+

Bibliografia: 1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São

Paulo, 2002.

2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.6. Atual editora. São Paulo, 2000.

EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS 1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo.

a) 8x2x)x(P 2 −+=

b) xx2x)x(G 23 +−=

c) 2x3x)x(F 2 +−=

2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma

)x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente.

a) 1x4x2x)x(P 23 +−+= e 1x)x(D −=

b) 4x3x)x(P 24 −−= e 2x)x(D +=

c) 2x3xx)x(P 23 −+−= e 3x2x)x(D 2 +−=

d) 2xx)x(P 34 −+= e 5xx)x(D 2 +−=

3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo.

a) ( x + 1 )2

b) ( a + 5 )2

c) ( a2 + 1 )2

d) ( 3y + 2 )2

e) 2

4y

2x

+

f) ( 2a + 10 )2

g) ( x2 + y2 ) 2

h) ( 2xy + 5 )2

i) ( 2 – s )2

j) (2m – n )2

k) 2

3y

2x

−

l) (a2 – b2 )2

m) 2

21a

−

n) ( )223 ab3a −

o) (2+m) (2-m)

p)

−

+

2d

3c

2d

3c

q) ( 1 – 3v) (1 + 3v)

r) ( 1 + a )3

s) 3

3s

2x

+

t) ( 2c + 3d)3

u) (2 – x)3

v) (a2 – 2)3

w) 3

s21

−

x) (3m – 2n )3

y) (2m –b) (2m + b)

z) 3

43a

+

4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo.

a) 222232 zx3zyx5zx2zx +−−

b) 2222222 yt3zy5xyt12xyz20tx12zx20 −+−+−

c) ( ) ( ) ( )22 cz5)cz5(yx2yx ++++−+

d) 43

x1263

x9 2 ++

e) ( ) ( ) 2222 36191219 xxxx ++−+

f) nn xx 236 +

g) 2222

36316

ybabxyxa +−

5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias.

a) xy

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

22 22.

+

+−+

−+

+−−

−+

b) 2

22

44

22

22

2

4.

42

x

yx

yx

yx

yx

xyx

xyx

x −

−+

++

++

−

c) 2222

22

xa

bx

ba

xa

+÷−

d)

bb

aba1

1

113

+−

+

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS

1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2

2) a) 1x3x)x(Q 2 −+= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 01x3x1x1x4x2x 223 +−+−=+−+

b) 2xx2x)x(Q 23 −+−= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 02xx2x2x4x3x 2324 +−+−+=−−

c) 1x)x(Q += ; 5x2)x(R −= portanto, ( )( ) 5x21x3x2x2x3xx 223 −+++−=−+−

d) 3x2x)x(Q 2 −+= ; 13x13)x(R +−= portanto,

( )( ) 13133252 2234 +−−++−=−+ xxxxxxx

3)

a) x2 + 2x + 1

b) a2 + 10a + 25

c) a4 + 2 a2 + 1

d) 9y2 + 12y + 4

e) 16y

4xy

4x 22

++

f) 4 a2 +40a + 100

g) x4 + 2x2y2 + y4

h) 4x2y2 + 20xy +

25

i) 4 – 4s + s2

j) 4m2 – 4mn + n2

k) 2 2

4 3 9x xy y− +

l) a4 – 2a2b2 + b4

m) 2 14

a a− +

n) 6 4 2 2 46 9a a b a b− +

o) 4-m2

p) 2 2

9 4c d−

q) 1 – 9v2

r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3

s) 3 2 2 3

8 4 6 27x x s xs s+ + +

t) 8c3 + 36c2d + 54cd2 + 27d3

u) 8 – 12x + 6x2 – x3

v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8

w) 2 31 3 38 4 2

s s s− + −

x) 27m3-54m2n+36mn2-8n3

y) 4m2 – b2

z) 3 21 416 64

27 3a a a+ + +

4)

a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z)

b) 2 2(2 ) (5 3 )x y z t+ −

c) 2( 5 )x y z c+ − −

d)

+

+

41x

31x9

e) 4(3 1)x −

f) 2 (6 1)n nx x +

g) 2

by64

ax

−

5)a)

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

( ) ( )2 2 2( ) 2 2 2( )( )( ). . .

( ) ( ) 2 2( )( )

4 2( ). 4

2( )

x y x y x y x yx y x y x xy y x xy y x yx y x y x y x y

x y x y xy xy xyx y x y x xy y x xy yx y x y x y x y

xy x yxyx y

+ − + − −−+ + + + − + − +− + + −= = =

+ − + + − + + + − ++− + + −

+ =+

b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2)

2 2 2 2 2

2 2 4 4 22 4

( ).4

x x x x y x yx y x y x y x y x

−+ + + =− + + −

=2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( )

( ).( )( )( ) 4

x x y x y x x y x y x x y x y x y x y x y

x y x y x y x

+ + + − + + + − + + −

+ − +=

=4 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 2 2

2 2 22 2 4 1

( ).4

x x y x y xy x x y x y xy x x y x y

x y x

+ + + + + − − + − +

+=

=4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 1 4 ( ) 1

( ). . 14 4

x x y x x y

x y x x y x

+ += =+ +

c) 2 2 2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 2 2 3.

a x bx a x a x a xbxa b a x a b a b x

− − + −÷ = =+

d)

3

3 23 3

2 3 2 2 2 2

1 1 11 ( 1)( 1) 1

.1 1 1 ( 1)1

ba b b b b b bab ab

b b ab b b ab b b abbb b

+++ + − + += = = =

− + − + − +− +