CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1www.pontodosconcursos.com.br Contedo 1. Apresentao . ........................................................................................................ 22. Progresso Aritmtica . ........................................................................................... 23. Relao das questes comentadas . .................................................................... 214. Gabaritos . ............................................................................................................. 27 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 2www.pontodosconcursos.com.br 1.Apresentao SejabemvindoaoPontodosConcursos.Estaaaulademonstrativade MatemticaeRaciocnioLgicodocursovoltadoparaoSenadoFederal (Analista e Consultor Legislativo). MeunomeGuilhermeNeves.Soumatemticoecomeceialecionarem cursospreparatriosparaconcursosaos17anosdeidade,antesmesmode iniciar o meu curso de Bacharelado em Matemtica na UFPE. Minha vida como professorsempreesteveconectadacomosconcursospblicosnasmatrias dendolematemtica(matemticafinanceira,estatsticaeraciocniolgico). Sou autor do livro Raciocnio Lgico Essencial Editora Campus-Elsevier. AbancaorganizadoradoltimoconcursofoiaFGV.Destaforma,daremos preferncianaresoluodequestesdareferidabancaetodaateoriaser explicada em minuciosos detalhes. Nosso curso seguir o seguinte cronograma baseado no ltimo edital. Aula 0 (demonstrativa)Sequncias numricas. Progresses aritmticas. Aula 1Progresso Geomtrica. Nmeros inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas. Razes e propores. Regras de trs simples e compostas. Aula 2Porcentagens. Equaes e inequaes de 1.e de 2.graus. Funes e grficos. Aula 3Geometria Bsica Aula 4Juros simples e compostos Aula 5Conceitos bsicos de probabilidade e estatstica. Aula 6Estruturas lgicas, lgica da argumentao, diagramas lgico. (parte 1) Aula 7Estruturas lgicas, lgica da argumentao, diagramas lgico. (parte 2) 2.Progresso Aritmtica Progresso aritmtica uma sequncia formada por nmeros e que obedece determinada lei de formao. Considere uma sequncia de nmeros reais (o1, o2, o3, , on). Esta sequncia ser chamada de Progresso Aritmtica (P.A.) se cada termo, a partir do segundo, for igual soma do anterior com uma constante real r. O nmero real r denominado razo da progresso aritmtica. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3www.pontodosconcursos.com.br o1 o primeiro termo, o2 o segundo termo, e assim por diante. O termo on de ordem n chamado n-simo termo. Exemplos: Progresso Aritmtica Primeiro termo (o1)Razo (r) (2, S, 8, 11, 14, )2S(14, 11, 8, S, 2, -1, -4, )14-S(2, 2, 2, 2, 2, )2uPara calcular a razo de uma progresso aritmtica basta calcular a diferena entre dois termos consecutivos. No nosso primeiro exemplo, No segundo exemplo, r= S - 2 = 8 - S = = SNo terceiro exemplo, r= 11 - 14 = 8 - 11 = = -SClassificao r= 2 - 2 = 2 - 2 = = ui) A progresso aritmtica crescente se e somente se a razo positiva. Este caso corresponde ao nosso primeiro exemplo. ii) A progresso aritmtica decrescente se e somente se a razo negativa. Este caso corresponde ao nosso segundo exemplo. iii) A progresso aritmtica constante se e somente se razo igual a 0. Este caso corresponde ao nosso terceiro exemplo.

Frmula do Termo Geral Considere a progresso aritmtica (o1, o2, o3, , on). Existe uma expresso que permite calcular qualquer termo da progresso conhecidos um termo qualquer e a razo. Comecemos com a expresso bsica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razo. P. A.crcsccntc= r> uP. A.Jccrcsccntc= r< uP. A. constontc= r= uResumoCURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 4www.pontodosconcursos.com.br on = o1 +(n -1) rEmqueo1oprimeirotermo,rarazodaprogressoeonotermode ordem n (n-simo termo). Voltemos quela P.A. do nosso exemplo inicial: (2, 5, 8, 11, 14,...). Se quisermos calcular o prximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o prximo? 17 + 3 = 20. E assim podemos ir calculando termo a termo. O problema surge assim: Qual o milsimo termo dessa progresso? Se queremos calcular o milsimo termo, deveremos efetuar: o1.000 = o1 + (1.uuu - 1) ro1.000 = o1 + 999 ro1.000 = 2 + 999 S o1.000 = 2.999 Oempecilhodestafrmulaqueficamospresosaspodercalcularos termosdaprogressosesoubermosquemoprimeirotermo.Porm, podemosfazerumamodificaonestafrmuladeformaqueconhecendoum termoqualquerdaprogressoearazo,poderemoscalcularqualqueroutro termo da progresso. Vejamosumexemplo:Suponhaqueodcimotermo(o10)deumaprogresso aritmticasejaiguala25earazosejaiguala4.Qualovigsimostimo termo dessa progresso? Se voc prestar bem ateno frmula on = o1 +(n -1) r perceber que no poderemosutiliz-ladaformacomoestdisposta.Poisspodemosutiliz-la se soubermos o valor do primeiro termo. Vamos fazer uma analogia. Imagine que voc se encontra no dcimo andar de umprdioeprecisasubirparaovigsimostimoandar.Quantosandares precisosubir?Aresposta17andares.omesmoqueacontececomos termos de uma P.A.: Se estamos no dcimo termo e preciso me deslocar at ovigsimostimotermo,precisoavanar17termos(27 10 = 17). E para avanar cada termo, devemos adicionar a razo. Assim, o27 = o10 +17 ro27 = 2S + 17 4 = 9S.CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5www.pontodosconcursos.com.br AindafazendoaanalogiadaP.A.comosandaresdeumprdio,paradescer do vigsimo stimo andar para o dcimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razo (pois estamos voltando na P.A.). o10 = o27 - 17rSoma dos termos de uma Progresso Aritmtica o10 = 9S -17 4 = 2S Considere uma progresso aritmtica de n termos, a saber: (o1, o2, o3, , on)A soma dos n termos desta progresso igual a: Sn = (o1 +on) n2 Exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progresso aritmtica (2, 5, 8, 11, ...). Oprimeiropassocalcularomilsimotermo:esteclculofoiefetuado anteriormente e sabemos que o1.000 = 2.999. Assim, a soma dos mil primeiros termos dada por: Sn = (o1 +on) n2S1.000 = (o1 +o1.000) 1.uuu2S1.000 = (2 + 2.999) 1.uuu2S1.000 = (2 + 2.999) 1.uuu2 = 1.Suu.Suu Resolveremosagoraquestesenvolvendosequnciasnumricasemgerale questessobreprogressesaritmticas.Valeapenanotarquedasgrandes bancasqueorganizamconcursospblicos,duassedestacamemrelao sequncias numricas: FGV e FCC. Vamos em frente. 01.(MPU2007FCC)Consideretodososnmerosinteirosepositivos dispostos,sucessivamente,emlinhasecolunas,daformacomomostrado abaixo. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6www.pontodosconcursos.com.br Sefossepossvelcompletaressatabela,ento,naterceiracolunaena tricentsima quadragsima sexta linha apareceria o nmero a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626 Resoluo Observeosnmerosdaterceiracoluna:(3,10,17,...).Temosuma progressoaritmticaemqueoprimeirotermoiguala3earazo iguala7.Queremoscalcularotricentsimoquadragsimosextotermo. Devemos utilizar a frmula do termo geral de uma progresso aritmtica. Assim, o termo de ordem 346 dado por: o346 = o1 + S4S r= S + S4S 7 = 2.418Letra B 02. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequncia de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 20, o nmero total de bolinhas utilizadas ter sido de: a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 7www.pontodosconcursos.com.br Resoluo A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 bolinhas... TemosumaP.A.comprimeirotermoiguala4erazoiguala4.Para calcularmosototaldebolinhasutilizadasaoterminarafigura20,devemos calcular o vigsimo termo. o20 = o1 +19 rAssim, a soma dos vinte primeiros termos da progresso igual a o20 = 4 +19 4 = 8u S20 = (o1 +o20) 1u 2 =(4 + 8u) 2u2 = 84uLetra B 03. (Senado Federal/2008/FGV) Voc v abaixo os nmeros triangulares: 1, 3, 6, ... . O 60 nmero triangular : a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) 2016 Resoluo A FGV foi generosa em colocar a figura para que possamos entender o processo de formao dos nmeros triangulares. O primeiro nmero triangular igual a 1. O segundo nmero triangular igual a 1 + 2, ou seja, 3. O terceiro nmero triangular igual a 1 + 2 + 3, ou seja, 6. I1 = 1 +2 = S I3 = 1 + 2 + S = 6CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8www.pontodosconcursos.com.br Para calcular o sexagsimo nmero triangular, devemos calcular a soma 1 +2 +S +4 ++S8 +S9 +6u.Trata-se da soma de uma progresso aritmtica de 60 termos em que o primeiro termo igual a 1 o ltimo termo igual a 60. I60 = 1 + 2 + S + 4 + + S8 + S9 + 6u = (o1 +o60) n 2 =(1 + 6u) 6u2 = 1.8SuLetra A 04. (TCE/PB/2006/FCC) Usando palitos de fsforos inteiros possvel construir a seguinte sucesso de figuras compostas por tringulos: 251 24324251Seguindoomesmopadrodeconstruo,ento,paraobterumafigura composta de 25 tringulos, o total de palitos de fsforo que devero ser usados : a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 Resoluo Observeaquantidadedepalitosemcadafigura3,5,7,9,....Temosuma progresso aritmtica de primeiro termo igual a 3 e razo igual a 2. Temos que calcular o vigsimo quinto termo. a a r = + = + = palitos. Letra C 05.(SenadoFederal/2008/FGV)Osnmerosnaturaissocolocadosemum quadro, organizados como se mostra abaixo: O nmero 2008 est na coluna: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 9www.pontodosconcursos.com.br a) F b) B c) C d) I e) A Resoluo Observe a lei de formao de cada uma das colunas. A nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 1. C nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 2. E nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 3. G nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 4. I nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 5. H nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 6. F nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 7. D nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 8. B nmeros que divididos por 9 deixam resto igual a 0. Para descobrir em qual coluna encontra-se o nmero 2008, devemos dividir 2008 por 9. 2uu8 | 9 122S Como o resto da diviso igual a 1, conclumos que o nmero 2008 est na coluna A. Letra E 06. (CODESP 2010/FGV) Observe a sequncia numrica a seguir: 13527911413151761921238.... Mantida a lei de formao, os dois prximos algarismos na sequncia sero a) 25 b) 37 c) 27 d) 15 e) 05 Resoluo CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 10www.pontodosconcursos.com.br A lei de formao a seguinte: escreva 3 nmeros mpares, escreva um nmero par. Observe: 1 3 5 2 7 9 11 4 13 15 17 6 19 21 23 8... O prximo nmero mpar a ser escrito 25. Letra A 07. (CAERN 2010/FGV) Considere a sequncia de nmeros definida abaixo: - o primeiro termo vale 7; - o segundo termo vale 4; - do terceiro em diante, cada termo ser a diferena entre os dois termos anteriores, sendo essa diferena sempre expressa com sinal positivo. O 8 termo dessa sequncia vale a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0 Resoluo O primeiro termo 7 e o segundo termo 4. (7,4, ) Do terceiro em diante, cada termo ser a diferena entre os dois termos anteriores, sendo essa diferena sempre expressa com sinal positivo. O terceiro termo 7 -4 = S. (7,4,S, )O quarto termo 4 -S = 1. (7,4,S,1, )O quinto termo S -1 = 2. (7,4,S,1,2, )O sexto termo 2 -1 = 1. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 11www.pontodosconcursos.com.br (7,4,S,1,2,1 )O stimo termo 2 -1 = 1. (7,4,S,1,2,1,1, )O oitavo termo 1 -1 = u.(7,4,S,1,2,1,1,u )Letra E 08. (FNDE/2007/FGV) Na sequncia numrica 3, 10, 19, 30, 43, 58, ... , o termo seguinte ao 58 : a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) 79 Resoluo 3,10,19,30 ,43 , 58,... +7+9+11 +13 +15 Para manter o padro, devemos somar 17 ao nmero 58. Assim, o prximo nmero 58 + 17 = 75. Letra A 09. (FNDE/2007/FGV) Na sequncia de algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3, ... , o 2007 algarismo : a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 Resoluo Observeaperiodicidadedasequnciaacima.Humarepetiodos algarismos1,2,3,4,5,4,3,2,retornandonovamenteparaoalgarismo1.Temos ento uma repetio a cada 8 algarismos. Temos que200725087 = + (obtm-seesteresultadodividindo2007por8).Issoquerdizerqueogrupo 1,2,3,4,5,4,3,2 se repete 250 vezes e ainda restam 7 algarismos. Os prximos 7 algarismos so 1,2,3,4,5,4,3. Portanto o 2007 algarismo 3. Letra E CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 12www.pontodosconcursos.com.br 10.(EBDA2006/CETRO)Asformigas,quantomaisprximooinverno,mais elas trabalham. Em uma colnia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que serviro de alimento para todas. No primeiro dia as formigastrouxeram20folhas,nosegundodia,23eassimpordianteato trigsimo dia, ento o total de folhas armazenadas por essa colnia, foi de: (A) 920 (B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915 Resoluo A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma progresso aritmtica de razo 3. (2u, 2S, 26, ) Oproblemapedeototaldefolhasarmazenadasporessacolniaato trigsimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta progresso aritmtica. Para isto, devemos calcular o trigsimo termo. o30 = o1 +29 rAssim, a soma dos trinta primeiros termos ser o30 = 2u + 29 S = 1u7S30 = (o1 +o30) Su 2 =(2u + 1u7) Su2 = 1.9uSLetra C 11. (IMBEL 2004/CETRO) O 24 termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) (A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2 Resoluo O primeiro passo calcular a razo da progresso. Para isto,devemos calcular a diferena entre dois termos consecutivos. r = 2 - 12 =4 -12 =S2CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 13www.pontodosconcursos.com.br Sabemos que o primeiro termo igual a 1/2 e a razo igual a 3/2. Queremos calcular o 24 termo. Do 1 ao 24 termo deveremos avanar 23 termos. Assim, o24 = o1 +2S ro24 = 12 +2S S 2 =12 +692 =7u2 = SSLetra D 12.(Pref.MunicipaldeBarueri2006/CETRO)Adistnciaentreasplacasna estradadafiguraabaixosempreamesma.Umadasalternativasapresenta valorescorretoseorganizaoemordemcrescente,nodistanciamentoentre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a. a) km 23, km 25 e km 10. b) km 21,25 ;km 21,5 e km 220/12 c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 e) km 21, km 22 e km 23. Resoluo Se a distncia entre as placas na estrada da figura a mesma, ento os valores que sero escritos nas placas formaro uma Progresso Aritmtica crescente. O primeiro termo da progresso igual a 21 e o quinto termo da progresso igual a 22. Sabemos queo5 = o1 +4 rDessa forma, 22 = 21 + 4 r1 = 4 rCURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 14www.pontodosconcursos.com.br Assim, a progresso aritmtica ser: r= u,2S(21; 21,25; 21,5;21,75; 22) A resposta a alternativa c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12, pois85/4 = 21,25 e 261/12=21,75. Letra C 13.(TCEPB2006FCC)Considerequeaseguintesequnciadefigurasfoi construda segundo determinado padro. Mantido tal padro, o total de pontos da figura de nmero 25 dever ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 Resoluo A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figurapossui13pontos,eassimsucessivamente.Temosumaprogresso aritmtica com primeiro termos igual a 5 e razo igual a 4. O vigsimo quinto termo dado por: o25 = o1 + 24 r= S + 24 4 = 1u1Letra C 14.(TRTSC2005/FEPESE)Tisiuficousemparceiroparajogarbolade gude; ento pegou sua coleo de bolas de gude e formou uma sequncia de T (a inicial de seu nome), conforme a figura CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15www.pontodosconcursos.com.br Supondoqueoguriconseguiuformar10Tcompletos,pode-se,seguindoo mesmo padro, afirmar que ele possua: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. Resoluo A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira figurapossui13pontos,eassimsucessivamente.Temosumaprogresso aritmtica com primeiro termos igual a 5 e razo igual a 4. Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o dcimo T? Devemos somar os 10 primeiros termos desta progresso aritmtica. o10 = o1 +9 rDessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. dada por: o10 = S +9 4 = 41 S10 = (o1 +o10) 1u 2 =(S + 41) 1u2 = 2Su ComooproblemanoafirmouqueeleutilizouTODASassuasbolinhasde gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MNIMO 230 bolas de gude. Letra C 15.(AgenteAdministrativoDNOCS2010/FCC)Ostermosdasequncia(12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, . . .) so sucessivamente obtidos atravs de uma lei de formao. Se x e y so, respectivamente, o dcimo terceiro e o dcimo quarto termos dessa sequncia, ento: (A) x . y = 1.530 (B) y = x + 3 (C) x = y + 3 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 16www.pontodosconcursos.com.br (D) y = 2x (E) x/y = 33/34 Resoluo Observe que o raciocnio o seguinte: Adiciona-se 3, subtrai-se 6, multiplica-se por 2. 12 +3 = 1515 - = 99 2 = 1818 +3 = 2121 - = 1515 2 = 33 +3 = 3333 - = 2727 2 = 5454 +3 = 5757 - = 5151 2 = 1212 +3 = 15O dcimo terceiro termo 102 e o dcimo quarto termo 105. x = 12 e y = 15Letra B 16. (Agente de Estao Metro SP 2007/FCC) Considere que os termos da sequncia (820, 824, 412, 416, 208, 212, 106, ...) so obtidos sucessivamente segundodeterminadopadro.Mantidoessepadro,obtm-seodcimoeo dcimoprimeirotermosdessaseqncia,cujasomaumnmero compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 120. (D) 120 e 160. (E) 160 e 200. Resoluo CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 17www.pontodosconcursos.com.br Observe que utilizamos o seguinte raciocnio: adiciona-se 4, divide-se por 2. 82 +4 = 824824 2 = 412412 +4 = 4141 2 = 2828 +4 = 212212 2 = 11 +4 = 1111 2 = 5555 +4 = 5959 2 = 29, 5Odcimotermo59eodcimoprimeirotermo29,5.Asomadestes termos igual a 88,5. Letra C 17. (PM-BA 2009/FCC) Os termos da sequncia (25; 22; 11; 33; 30; 15; 45; 42; 21; 63; . . .) so obtidos segundo um determinado padro. De acordo com esse padro o dcimo terceiro termo da sequncia dever ser um nmero (A) no inteiro. (B) mpar. (C) maior do que 80. (D) divisvel por 4. (E) mltiplo de 11. Resoluo O padro adota o seguinte: subtrai-se 3, divide-se por 2 e multiplica-se por 3. 25 -3 = 2222 2 = 1111 3 = 3333 -3 = 33 2 = 1515 3 = 45CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 18www.pontodosconcursos.com.br 45 -3 = 4242 2 = 2121 3 = 33 -3 = Como 60 divisvel por 4, a resposta a letra D. 18. (AGPP Pref. de So Paulo 2008/FCC) Considere a seguinte seqncia de igualdades: 35 35 = 1 225 335 335 = 112 225 3335 3 335 = 11 122 225 33 335 33 335 = 1 111 222 225 . . . Combasenaanlisedostermosdessaseqncia,corretoafirmarquea soma dos algarismos do produto 33 333 335 33 333 335 (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 (E) 33 Resoluo Seguindo o padro, observa-se que: i) O ltimo algarismo 5. ii) A quantidade de algarismos 1 igual a quantidade de algarismos 3. iii) A quantidade de algarismos 2 uma unidade maior que a quantidade de algarismos 1. 33 333 335 33 333 335 Como h 7 algarismos 3, conclumos que h 7 algarismos 1 e 8 algarismos 2. Portanto: 33 333 335 33 333 335 = 1.111.111.222.222.225 A soma dos algarismos igual a 7 1 +8 2 +S = 7 +16 +S = 28Letra A 19.(TCE-SP2010/FCC)Considerequeosnmerosinteirosepositivosque aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critrio. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 19www.pontodosconcursos.com.br Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critrio, a soma dos nmeros que esto faltando (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14. Resoluo Esta uma questo de olho. Quem perceber que o raciocnio est nas diagonais, rapidamente resolve a questo. Continuando, teremos: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 20www.pontodosconcursos.com.br A soma dos nmeros que esto faltando : 1 +2 +S +4 +1 +2 +S +1 +2 +1 = 2uLetra A CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 21www.pontodosconcursos.com.br 3.Relao das questes comentadas01.(MPU2007FCC)Consideretodososnmerosinteirosepositivos dispostos,sucessivamente,emlinhasecolunas,daformacomomostrado abaixo. Sefossepossvelcompletaressatabela,ento,naterceiracolunaena tricentsima quadragsima sexta linha apareceria o nmero a) 2326 b) 2418 c) 2422 d) 3452 e) 3626 02. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequncia de figuras abaixo. Quando terminarmos a figura 20, o nmero total de bolinhas utilizadas ter sido de: a) 720 b) 840 c) 780 d) 680 e) 880 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 22www.pontodosconcursos.com.br 03. (Senado Federal/2008/FGV) Voc v abaixo os nmeros triangulares: 1, 3, 6, ... . O 60 nmero triangular : a) 1830 b) 1885 c) 1891 d) 1953 e) 2016 04. (TCE/PB/2006/FCC) Usando palitos de fsforos inteiros possvel construir a seguinte sucesso de figuras compostas por tringulos: Seguindoomesmopadrodeconstruo,ento,paraobterumafigura composta de 25 tringulos, o total de palitos de fsforo que devero ser usados : a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 05.(SenadoFederal/2008/FGV)Osnmerosnaturaissocolocadosemum quadro, organizados como se mostra abaixo: O nmero 2008 est na coluna: a) F b) B c) C d) I e) A CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 23www.pontodosconcursos.com.br 06. (CODESP 2010/FGV) Observe a sequncia numrica a seguir: 13527911413151761921238.... Mantida a lei de formao, os dois prximos algarismos na sequncia sero a) 25 b) 37 c) 27 d) 15 e) 05 07. (CAERN 2010/FGV) Considere a sequncia de nmeros definida abaixo: - o primeiro termo vale 7; - o segundo termo vale 4; - do terceiro em diante, cada termo ser a diferena entre os dois termos anteriores, sendo essa diferena sempre expressa com sinal positivo. O 8 termo dessa sequncia vale a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0 08. (FNDE/2007/FGV) Na sequncia numrica 3, 10, 19, 30, 43, 58, ... , o termo seguinte ao 58 : a) 75 b) 77 c) 76 d) 78 e) 79 09. (FNDE/2007/FGV) Na sequncia de algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3, ... , o 2007 algarismo : a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 24www.pontodosconcursos.com.br 10.(EBDA2006/CETRO)Asformigas,quantomaisprximooinverno,mais elas trabalham. Em uma colnia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a mais que o dia anterior, que serviro de alimento para todas. No primeiro dia as formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante at o tri-gsimo dia, ento o total de folhas armazenadas por essa colnia, foi de: (A) 920 (B) 905 (C) 1.905 (D) 1.920 (E) 1.915 11. (IMBEL 2004/CETRO) O 24 termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,. ....) (A) 38 (B) 28 (C) 45 (D) 35 (E) 73/2 12.(Pref.MunicipaldeBarueri2006/CETRO)Adistnciaentreasplacasna estradadafiguraabaixosempreamesma.Umadasalternativasapresenta valorescorretoseorganizaoemordemcrescente,nodistanciamentoentre as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C observadas no desenho, assinale-a. a) km 23, km 25 e km 10. b) km 21,25 ;km 21,5 e km 220/12 c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 e) km 21, km 22 e km 23. 13.(TCEPB2006FCC)Considerequeaseguintesequnciadefigurasfoi construda segundo determinado padro. Mantido tal padro, o total de pontos da figura de nmero 25 dever ser igual a CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 25www.pontodosconcursos.com.br a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 14.(TRTSC2005/FEPESE)Tisiuficousemparceiroparajogarbolade gude; ento pegou sua coleo de bolas de gude e formou uma sequncia de T (a inicial de seu nome), conforme a figura Supondoqueoguriconseguiuformar10Tcompletos,pode-se,seguindoo mesmo padro, afirmar que ele possua: a) exatamente 41 bolas de gude. b) menos de 220 bolas de gude. c) pelo menos 230 bolas de gude. d) mais de 300 bolas de gude. e) exatamente 300 bolas de gude. 15.(AgenteAdministrativoDNOCS2010/FCC)Ostermosdasequncia(12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, . . .) so sucessivamente obtidos atravs de uma lei de formao. Se x e y so, respectivamente, o dcimo terceiro e o dcimo quarto termos dessa sequncia, ento: (A) x . y = 1.530 (B) y = x + 3 (C) x = y + 3 (D) y = 2x (E) x/y = 33/34 16. (Agente de Estao Metro SP 2007/FCC) Considere que os termos da sequncia (820, 824, 412, 416, 208, 212, 106, ...) so obtidos sucessivamente segundodeterminadopadro.Mantidoessepadro,obtm-seodcimoeo dcimoprimeirotermosdessaseqncia,cujasomaumnmero compreendido entre (A) 0 e 40. (B) 40 e 80. (C) 80 e 120. (D) 120 e 160. (E) 160 e 200. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 26www.pontodosconcursos.com.br 17. (PM-BA 2009/FCC) Os termos da sequncia (25; 22; 11; 33; 30; 15; 45; 42; 21; 63; . . .) so obtidos segundo um determinado padro. De acordo com esse padro o dcimo terceiro termo da sequncia dever ser um nmero (A) no inteiro. (B) mpar. (C) maior do que 80. (D) divisvel por 4. (E) mltiplo de 11. 18. (AGPP Pref. de So Paulo 2008/FCC) Considere a seguinte seqncia de igualdades: 35 35 = 1 225 335 335 = 112 225 3335 3 335 = 11 122 225 33 335 33 335 = 1 111 222 225 . . . Combasenaanlisedostermosdessaseqncia,corretoafirmarquea soma dos algarismos do produto 33 333 335 33 333 335 (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 (E) 33 19.(TCE-SP2010/FCC)Considerequeosnmerosinteirosepositivosque aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critrio. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critrio, a soma dos nmeros que esto faltando (A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 27www.pontodosconcursos.com.br 4.Gabaritos01.B02.B03.A04.C05.E06.A07.E08.A09.E10.C11.D12.C13.C14.C15.B16.C17.D18.A19.ACURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 1www.pontodosconcursos.com.br Aula2SenadoFederal1. Apresentao........................................................................................................................22. Introduo.............................................................................................................................23. Juros......................................................................................................................................34. FormasdeRepresentaodaTaxadeJuros.........................................................................45. ElementosdaOperaodeJuros..........................................................................................56. RegimesdeCapitalizao......................................................................................................67. CapitalizaoSimples............................................................................................................68. CapitalizaoComposta........................................................................................................79. JurosSimples.........................................................................................................................810. Homogeneizaoentreataxaeoprazodecapitalizao..................................................1011. TaxasProporcionais............................................................................................................1012. JurosSimplesOrdinrios(Comerciais)eExatos..................................................................1213. Prazo,TaxaeCapitalMdios..............................................................................................3914. JurosCompostos.................................................................................................................47Frmula do Montante Composto............................................................................................48Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta.............................................48Conveno Linear e Conveno Exponencial.....................................................................4915. Relaodasquestescomentadas.....................................................................................5516. Gabaritos.............................................................................................................................62 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 2www.pontodosconcursos.com.br 1.ApresentaoOl pessoal! Bem vindo ao nosso curso de Matemtica e Raciocnio Lgico para o Senado Federal. Uma pequena modificao ser feita em nosso cronograma. Doravante, seguiremos o seguinte: Aula 0 (demonstrativa)Sequncias numricas. Progresses aritmticas. Aula 1Juros Simples e Compostos Aula 2Progresso Geomtrica. Nmeros inteiros, racionais e reais. Sistema legal de medidas. Razes e propores. Regras de trs simples e compostas. Aula 3Porcentagens. Equaes e inequaes de 1.e de 2.graus. Funes e grficos. Aula 4Geometria Bsica Aula 5Conceitos bsicos de probabilidade e estatstica. Aula 6Estruturas lgicas, lgica da argumentao, diagramas lgico. (parte 1) Aula 7Estruturas lgicas, lgica da argumentao, diagramas lgico. (parte 2) 2.IntroduoAMatemticaFinanceiraumacinciaquenosepreocupaapenascomo clculodosjurossimplesecompostos.Estaafunodeumdoscaptulos iniciaisdamatemticacomercial.AMatemticaFinanceiraoeloentreos mtodosmatemticoseosfenmenosfinanceiro-econmicos.umacincia quesepreocupacomaconstruodemodelosgerais,representaode variveismonetriasnalinhadotempo.MatemticaFinanceiraadisciplina queestudaoentendimentodosmodelosdeaplicao,avaliaode investimentos e captao de recursos. A operao bsica da matemtica financeira a operao de emprstimo. Algumdispedecertocapital,empresta-oporcertoperododetempo.Aps esseperodo,recebeoseucapitalacrescidodeumaremuneraopelo emprstimo. A essa remunerao denominamos juro. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3www.pontodosconcursos.com.br Existem diversas razes que justificam o pagamento dos juros na operao de emprstimo. O primeiro deles o custo de oportunidade. Obviamente, quando algumdisponibilizacertaquantiaparaseremprestada,deixardeinvestiro capitalemoutrosprojetos.Portanto,ono-usodestecapitaldeverser remunerado. Deve-selevaremconsideraoaperdadopoderdecompranalinhado tempo.Comoaumentogeneralizadodepreoscausadopelainflao,quem emprestaodinheiroquerpreservaropoderdecompra.Oelementoqueser responsvel por preservar o valor do dinheiro no tempo o juro. Osbancosemgeraltmdespesasadministrativaseobviamentetmo interesse de repassar essas despesas para os devedores. Umaspectodedestaqueodeconsiderarosvaloresemseumomentono tempo.Avaloraoquefazemosdealgoestdiretamenteassociadaao momento em que ocorre. 3.JurosOjuroodinheiropagopelodinheiroemprestado.ocustodocapitalde terceiros colocado nossa disposio. Algum que dispe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual),empresta-oaoutremporcertoperododetempo,eapsesseperodo recebeoseucapitaldevolta.Essecapitalaoserdevolvidodeverser remunerado. Essa remunerao chamada de juro. Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado perodo de tempo, costumamoscobrarojuro,detalmodoque,nofimdoprazoestipulado, disponhamosnosdaquantiaemprestada,comotambmdeumacrscimo que compense a no-utilizao do capital financeiro, por nossa parte, durante o perodo em que foi emprestado. A soma capital + juros chamada de montante e ser representada por M. Hontontc = Copitol +[uros Osjurossofixadosatravsdeumataxapercentualquesempresereferea uma unidade de tempo: dia, ms, bimestre, trimestre, semestre, ano,... . Utilizamos,usualmente,aletraiparadenotarataxadejuros.Aletraia inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.O elemento que faz a equivalncia dos valores ao longo do tempo o juro, que representa a remunerao do capital.CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 4www.pontodosconcursos.com.br Exemplo: i = 24% oo ono = 24% o. o. i = 6% oo trimcstrc = 6% o. t. i = S,S% oo Jio = S,S% o. J. Veremos ao longo deste curso, que no permitido em Matemtica Financeira operar com quantias em pocas diferentes. OobjetivodaMatemticaFinanceirapermitiracomparaodevaloresem diversasdatasdepagamentoourecebimentoeoelementochaveparaa comparao destes valores a taxa de juros. ImaginequeoBancoXcobraumataxade6%aomsnousodocheque especial.Eemdeterminadoms,Jooprecisoupegaremprestadodobanco R$ 2.000,00. Que valor Joo deve depositar na sua conta daqui a um ms para saldar a dvida?Vimosanteriormentequeaopegaralgumaquantiaemprestada,almde devolver o principal, deve-se remunerar o capital. Equantoseraremunerao?Quemresponderessaperguntaataxade juros. Se a taxa de juros de 6% ao ms e a quantia emprestada de R$ 2.000,00, entoparasaldaradvidadeve-sepagarosR$2.000,00emaisosjuros cobrados pelo banco. O juro que dever ser pago daqui a um ms ser 6% de R$ 2.000,00. Ou seja, ] = 6% Jc 2.uuu =61uu 2.uuu = 12u O valor total que Joo deve depositar na sua conta para saldar a dvida igual a 2.000+120=2.120. 4.FormasdeRepresentaodaTaxadeJurosimportanteobservarquenoclculoanterior,ataxadejuros6%foi transformadaemfraodecimalparapermitiraoperao.Assim,astaxasde juros tero duas representaes: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5www.pontodosconcursos.com.br ii) Sob a forma de frao decimal (taxa unitria): 6100 = u,u6Arepresentaoempercentagemacomumenteutilizada;entretanto, todos os clculos e desenvolvimentos de frmulas sero feitos atravs da notao em frao decimal. 5.ElementosdaOperaodeJurosNa situao descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operao de juros. Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao ms no uso do cheque especial.Eemdeterminadoms,Jooprecisoupegaremprestadodo bancoR$2.000,00.QuevalorJoodevedepositarnasuacontadaquia um ms para saldar a dvida?Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valoratual,montanteinicial,valordeaquisio,valorvista.Nonosso exemplo, o dinheiro que Joo pegou emprestado do banco. Temos ento, no nosso problema, que o capital igual aR$ 2.000,00. Juros(J)Tambmchamadoderendimento.Quandoumapessoa empresta a outra um valor monetrio, durante certo tempo, cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor denominado juro. Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo.Ataxaobrigatoriamentedeverexplicitaraunidadedetempo.Por exemplo, se Joo vai ao banco tomar um emprstimo e o gerente diz:- Ok! O seu emprstimo foi liberado! E a taxa de juros que ns cobramos de apenas 8%.Ora,ainformaodessegerenteestincompleta.Poisseosjurosforemde 8%aoano...timo!Eseessataxadejurosforaodia?PSSIMO!Portanto, perceba que a indicao da unidade da taxa de juros FUNDAMENTAL. Tempo(n)Quandofalamosemtempo,leia-seNMERODEPERODOS. No nosso exemplo, se Joo ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nmero deperodosseriaiguala3.Agora,imagineaseguintesituao.Toma-seum emprstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Joo demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dvida, o seu n, ou seja, o seu tempo no ser iguala6.Oseutemposeriguala3!!!Poisataxabimestral,eemum CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 6www.pontodosconcursos.com.br perodo de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e Joo usou o cheque especial durante apenas um ms. Montante(M)Podeserchamadodemontante,montantefinal,valor futuro. o valor de resgate. Obviamente o montante maior do que o capital inicial. O montante , em suma, o capital mais os juros. Podemos ento escrever que M = C + J. Asoperaesdeemprstimosofeitasgeralmenteporintermdiodeum bancoque,deumlado,captadinheirodeinteressadosemaplicarseus recursose,deoutro,emprestaessedinheiroaostomadoresinteressadosno emprstimo. 6.RegimesdeCapitalizaoDenominamosregimesdecapitalizaoaosdiferentesprocessoscomoos juros so gerados e agregados ao capital aplicado.Osjurossonormalmenteclassificadosemsimplesoucompostos, dependendodoprocessodeclculoutilizado.Ouseja,seumcapitalfor aplicado a certa taxa por perodo, por vrios intervalos ou perodos de tempo, o valordomontantepodesercalculadosegundoduasconvenesdeclculo, chamadasderegimesdecapitalizao:capitalizaosimples(juros simples)ecapitalizaocomposta(juroscompostos).Vejamosdois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalizao. 7.CapitalizaoSimplesDe acordo com esse regime, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos. Nessahiptese,osjurospagosdecadaperodosocalculadossempreem funo do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numrico visando a fixao desse conceito. Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos taxa de 20% a.a.Vamoscalcularosjurosgeradosemcadaperodoeomontanteapso perodo de aplicao. Comoaprprialeituradataxaindica:20%aoano(vinteporcentoaoano). Cadaano,dejuros,receberei20%.20%dequem?DocapitalaplicadoR$ CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 7www.pontodosconcursos.com.br 10.000,00.Ataxadejuros,noregimesimples,sempreincidesobreocapital inicial. Os juros gerados no primeiro ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu. Os juros gerados no segundo ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu. Os juros gerados no terceiro ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu. Os juros gerados no quarto ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu. Os juros gerados no quinto ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu. NaCAPITALIZAOSIMPLESosjurosgeradosemcadaperodoso sempreosmesmos,ouseja,ataxaincideapenassobreocapitalinicial. Dessa forma, o montante aps os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais5vezesR$2.000,00(juros).Concluso:omontanteigualaR$ 20.000,00 (lembre-se que o montante o capital inicial mais o juro). 8.CapitalizaoCompostaNoregimedecapitalizaocomposta,ojurogeradoemcadaperodo agrega-seaocapital,eessasomapassaarenderjurosparaoprximo perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros. Imagineaseguintesituao:GuilhermeaplicouR$10.000,00ajuros compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao. Os juros gerados no primeiro ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu e o montante aps o primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000. Osjurosgeradosnosegundoanoso 20100 12.uuu = 2.4uueomontante aps o segundo ano 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano so 20100 14.4uu = 2.88u e o montante aps o terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280. Os juros gerados no quarto ano so 20100 17.28u = S.4S6 e o montante aps o quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 8www.pontodosconcursos.com.br Osjurosgeradosnoquintoanoso 20100 2u.7S6 = 4.147,2ueomontante aps o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Observao:Seaoperaodejurosforefetuadaemapenasumperodo,o montanteserigualnosdoisregimes.Nonossoexemplo,separssemosa aplicaonoprimeiroms,teramosummontantedeR$12.000,00nosdois regimes de capitalizao. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. 9.JurosSimplesComovimosanteriormente,jurossimplessoaquelescalculadossempre sobre o capital inicial, sem incorporar sua base de clculo os juros auferidos nos perodos anteriores. Ou seja, os juros no so capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a frmula de juros simples. Imagine que voc aplique R$ 5.000,00 taxa de juros simples de 3% ao ms. Ento, ao final do primeiro ms de aplicao, o juro produzido ser: S% Jc S.uuu =S1uu S.uuu = 1Su Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro ms, basta multiplicar ataxadejurospelocapitalinicial.Como,soboregimedecapitalizao simples, os juros produzidos em cada perodo so sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 = 1.500. Apartirdesseexemplo,fcilcompreenderafrmulaparaoclculodojuro simples. Adotaremos as seguintes notaes: O juro produzido no primeiro perodo de aplicao igual ao produto do C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicao J juro simples produzido durante o perodo de aplicao. M montante ao final da aplicao CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 9www.pontodosconcursos.com.br capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n perodos de aplicao ser: J Ci n = (1) E,lembrandotambmqueomontanteasomadocapitalcomosjuros produzidos, temos a seguinte frmula abaixo: M C J = +(2) Substituindo a frmula (1) na frmula (2), temos ento a seguinte expresso: M C Ci n = + Em lgebra,Csignifica 1C , portanto, 1 M C Ci n = + Colocando o C em evidncia,(1 ) M C i n = + (3) de suma importncia memorizar as trs frmulas abaixo. J Ci n = (1) M C J = +(2) (1 ) M C i n = + (3) E devemos estar atentos ao seguinte fato: Deve-se utilizar a taxa na forma unitria. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30% , utilizamos 30100 = u,Su. J CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 10www.pontodosconcursos.com.br 10.HomogeneizaoentreataxaeoprazodecapitalizaoAtaxadejurosdeverestarexplicitadanamesmaunidadedetempo apresentadapeloprazodecapitalizao.Ouseja,deveexistirconcordncia entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo dever ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo dever ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Exemplos i=3% a.m.n=150 dias. A taxa est expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordncia entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. O ms comercial de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30. i=3% a.m. n= 5 meses Para efetuar a transformao da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais. Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para ummesmoperodo,osjurosgeradossejamomesmo.Noregimede capitalizao simples, taxas proporcionais so equivalentes. 11.TaxasProporcionaisDuas taxas so proporcionais quando a razo entre elas igual razo entre os respectivos perodos expressos na mesma unidade de tempo. Adefiniodetaxasproporcionaisnoestcondicionadaaoregimede capitalizao.Portanto,teremostaxasproporcionaistantonoregimede capitalizaosimplesquantonoregimedecapitalizaocomposta.Ofato importantequenoregimedecapitalizaosimplesastaxas proporcionais so equivalentes. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 11www.pontodosconcursos.com.br Simbolicamente, dizemos que a taxa i1 referente ao perodo t1 proporcional taxa i2 referente ao perodo t2 se i1i2 = t1t2 Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital aplicado a uma taxa de 3% ao ms por 12 meses. Neste exemplo,dizemos que 3% ao ms proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano o mesmo que 12 meses, tem-se: 2%24% =1 ms12 mcscs Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 ano 12 vezes maior do que o perodo de 1 ms, ento a taxa anual proporcional 12 vezes maior do que a taxa mensal. Exemplo: Determinar a taxa diria proporcional a 3% ao ms. Aplicando a definio de taxas proporcionais (lembre-se que o ms comercial possui 30 dias). imid= Su Jios1 Jio S%id= Su Jios1 Jio Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. id Su = S% 1 id = S%Su= u,1% oo Jio Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 dia 30 vezes menor do que o perodo de 1 ms, ento a taxa diria proporcional 30 vezes menor. id = imSu = S%Su= u,1% oo Jio CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 12www.pontodosconcursos.com.br 12.JurosSimplesOrdinrios(Comerciais)eExatosNaprtica,usualmente,adotadoojurosimplesordinrio(utilizaoano comercialcom360diasemesescom30dias).Ojurosimplesexato(utilizao anocivilcom365dias)somenteusadoquandoparaissoforexpresso explicitamente na operao. Osjurossoconsideradosordinriosoucomerciaisquandoutilizamoano comercialparaestabelecerahomogeneidadeentreataxaeotempo.Logo, emjurosordinrios,consideramosquetodososmesestm30diaseoano tem 360 dias. Jurosexatossoaquelesemqueseutilizaocalendriocivilpara verificarmosaquantidadedediasentreduasdatas.Logo,quandoomstem 31 dias deveremos considerar o total e no 30 dias. Para facilitar o clculo de juros nestas modalidades, fundamental efetuarmos oclculocomtaxaanualeotempoexpressoemdias.Paracalcularataxa equivalentediriadevemosdividirataxaanualpelonmerototaldediasdo ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemosficaratentosaofatodeoanoserounobissextonocasodejuros exatos. Podemos criar dois processos mnemnicos para saber quais anos so bissextos ou no. Para comear, os anos bissextos obrigatoriamente so pares. Um ano dito bissexto se for mltiplo de 4, exceto os que so mltiplos de 100, a no ser que sejam mltiplos de 400. Dica: Para verificar se um nmero divisvel por 4 basta dividir os ltimos dois dgitos do nmero por 4. Assim, 1998 no divisvel por 4 e, portanto, no bissexto. Uma maneira mais ldica de memorizar o seguinte: Os anos pares ou so anos de Olimpada ou so anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos so os anos de Olimpadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da Frana, o ano no foi bissexto. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 13www.pontodosconcursos.com.br 01.(SEFAZ-RJ2009/FGV)OvaloraserpagoporumemprstimodeR$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 Resoluo Temostodasasinformaesnecessriasparaoclculodosjurossimples:o capital,ataxaeotempo.Almdisso,ataxaeotempojconformidadeem relao unidade. Lembremos a frmula de juros simples: [ = C i n TemosqueocapitaligualaR$4.500,00,ataxaigualau,S% = u,S1uu = u,uuS ao dia e o tempo igual a 78 dias. [ = 4.Suu u,uuS 78 [ = 1.7SS O valor a ser pago o montante (capital + juros). H = C + [ H = 4.Suu + 1.7SS H = 6.2SS Letra A 02. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa dejurossimplesordinriosde15%aoano,produzindoummontantedeR$ 8.400,00. Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos : a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resoluo As unidades de tempo de referncia do perodo de aplicao e da taxa devem ser iguais, porm a taxa de juros e o perodo de aplicao no esto expressos CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 14www.pontodosconcursos.com.br na mesma unidade. Devemos traar a nossa estratgia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o perodo de capitalizao. Lembre-sequejuroordinrioumsinnimodejurocomercial.Destaforma, consideramos que cada ms tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias. Ora,seoanocomercialpossui360dias,entoos120diasdoproblema representam: 12uS6u = 1S Jo ono Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros igual a 15% =0,15aoanoeotempodeaplicaoiguala1/3doano.Lembremosa frmula do montante simples: H = C (1 + i n) O montante fornecido igual a R$ 8.400,00. 8.4uu = C _1 + u,1S 1S] 8.4uu = C (1 + u,uS) 8.4uu = C 1,uS C = 8.4uu1,uS= 8.uuu Desta forma, o capital aplicado igual a R$ 8.000,00. Letra E 03. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, taxa de 2,5% ao ms, triplica em: a) 75 mesesb) 80 mesesc) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses Resoluo Dizer que um capital triplica o mesmo que dizer que o montante final igual ao triplo do capital inicial. H = S C CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15www.pontodosconcursos.com.br Lembrando que o montante a soma do juro com o capital: C + [ = S C [ = 2 C Vamos substituir na expresso acima a frmula de juros simples. C i n = 2 C i n = 2 A taxa fornecida pelo enunciado igual a 2,5% ao ms. 2,S1uu n = 2 u,u2S n = 2 n =2u,u2S Comoefetuarestadiviso?Ora,odenominadorpossui3casasdecimais. Vamos ento igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as vrgulas. n = 2,uuuu,u2S = 2.uuu2S= 8u mcscs Letra B 04. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% Resoluo Noregimedecapitalizaosimplesastaxasproporcionaisso equivalentes. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 16www.pontodosconcursos.com.br Duas taxas so proporcionais quando a razo entre elas igual razo entre os respectivos perodos expressos na mesma unidade de tempo. Simbolicamente, dizemos que a taxa i1 referente ao perodo t1 proporcional taxa i2 referente ao perodo t2 se i1i2 = t1t2 Queremoscompararataxadiriacomataxasemestral.Lembre-sequeum semestreametadedeumano.Comooanocomercialtem360dias,um semestre tem 180 dias. idis=1 Jio18u Jios u,uS%is=118u O produto dos meios igual ao produto dos extremos. 1 is = 18u u,uS% is = 9% Poderamosterresolvidoutilizandooraciocnioseguinte:comoumsemestre tem180dias,entoataxasemestralserigualataxadiriamultiplicadapor 180. is = 18u u,uS% is = 9% Letra D 05. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simplesde5%aomsdurante2mesesedepoisreaplicadoaumataxade juros simples de 10% ao ms durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ 18.500,00 b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00 d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00 Resoluo CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 17www.pontodosconcursos.com.br Tm-se duas aplicaes a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a uma taxa de 5% ao ms, o montante ser igual a: H1 = C (1 +i1 n1) H1 = C (1 + u,uS 2) H1 = C 1,1 Este montante M1 ser o capital de uma nova aplicao. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao ms. O novo montante ser igual a: H2 = H1 (1 + i2 n2) H2 = C 1,1 (1 +u,1u 2) H2 = C 1,1 1,2 H2 = 1,S2 C O montante final igual a R$ 13.200,00. Portanto: 1,S2 C = 1S.2uu C = 1S.2uu1,S2= 1u.uuu O capital inicial de R$ 10.000,00. Letra E 06. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume vendido vista por R$48,00 ouaprazo,emdoispagamentosdeR$25,00cadaum,oprimeironoatoda compraeooutroummsdepois.Ataxamensaldejurosdofinanciamento aproximadamente igual a: A) 6,7%B) 7,7%C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7% Resoluo OvalorvistadeR$48,00.SeoindivduodumaentradadeR$25,00, ento ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um ms depois foi de R$ 25,00.Assim,ojurocobradofoideR$2,00.Observequeataxadejuross incide no valor devido e no sobre o valor j pago. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 18www.pontodosconcursos.com.br [ = C i n 2 = 2S i 1 i =22S u,u869 8,7% Letra C 07. (BESC 2004/FGV) Um artigo vendido, vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um ms aps a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67% Resoluo OvalorvistadeR$150,00.SeoindivduodumaentradadeR$80,00, ento ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um ms depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00. [ = C i n 1u = 7u i 1 i = 1u7u u,1428S7 14,29% Letra A 08.(SEFAZ-MS2006/FGV)Umartigocusta,vista,R$200,00epodeser compradoaprazocomumaentradadeR$100,00eumpagamentodeR$ 120,00 um ms aps a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30% CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 19www.pontodosconcursos.com.br Resoluo O valor vista de R$ 200,00. Se o indivduo d uma entrada de R$ 100,00, ento ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um ms depois foide R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00. [ = C i n 2u = 1uu i 1 i =2u1uu = 2u% Letra C 09. (Prefeitura de Ituporanga 2009 FEPESE) Quais so os juros simples de R$ 12.600,00, taxa de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? a) R$ 4.488,75 b) R$ 1.023,75 c) R$ 3.780,00 d) R$ 1.496,25 e) R$ 5.386,50 Resoluo As unidades de tempo de referncia do perodo de aplicao e da taxa devem ser iguais. Temostodasasinformaesnecessriasparaoclculodosjuros simples: o capital, a taxa e o tempo. O nico problema que a taxa de juros e o perodo de aplicao no esto expressos na mesma unidade. Devemos traar a nossa estratgia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o perodo de capitalizao. Sabemosqueumanoomesmoque12meses.Logo,4anossoo mesmo que 4 x 12 = 48 meses. Portanto, o perodo de capitalizao igual a 48 + 9 = 57 meses. J a taxa igual a 7,5% ao ano ou 0,075 ao ano. Paracalcularataxaequivalenteaoms,basta-nosdividiressataxapor12 (taxas proporcionais). Portanto a taxa de juros mensal ser igual a 0,075/12. Agora estamos prontos para aplicar a frmula de juros simples. [ = C i n TemosqueocapitaligualaR$12.600,00,ataxaigualau, u7S12,ao ms e o tempo igual a 57 meses. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 20www.pontodosconcursos.com.br [ = 12.6uu u,u7S12 S7 Como 12.600 dividido por 12 igual a 1.050, [ = 1.uSu u,u7S S7 [ = 4.488,7S Letra A 10. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operaes podem ocorrer por um perodo de apenasalgunsdias,tornandoconvenienteutilizarataxadiriaeobtendoos jurossegundoaconvenodoanociviloudoanocomercial.Ento,seum capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias taxa de juros simples de 9,3% aoms,emummsde31dias,omdulodadiferenaentreosvaloresdos juros comerciais e dos juros exatos a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resoluo Juros Comerciais OcapitaldeR$15.000,00foiaplicadodurante5diastaxadejurossimples de9,3%aoms.Paracalcularmosataxaequivalentediria,nestecaso, devemos dividir por 30. i = 9,S%Su= u,S1% oo Jio = u,uuS1 oo Jio O juro comercial dado por: [C= C i n = 1S.uuu u,uuS1 S = 2S2,Su Juros Exatos OcapitaldeR$15.000,00foiaplicadodurante5diastaxadejurossimples de9,3%aoms.Paracalcularmosataxaequivalentediria,nestecaso, devemos dividir por 31. i = 9,S%S1= u,S% oo Jio = u,uuS oo Jio O juro exato dado por: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 21www.pontodosconcursos.com.br [L = C i n = 1S.uuu u,uuS S = 22S,uu Aquestopedeomdulodadiferenaentreosjuroscomerciaiseosjuros exatos. [C -[L = 2S2,Su - 22S,uu = 7,Su Letra E 11.(BACEN2010CESGRANRIO)Umaplicadorvaiobterderesgateemum ttuloovalordeR$30.000,00.Sabendo-sequeaoperaorendeujuros simplesde5%aoms,porumperodode6meses,ovalororiginalda aplicao foi, em reais, de a) 21.066,67 b) 21.500,00 c) 22.222,66 d) 23.076,93 e) 23.599,99 Resoluo Observe que o perodo de aplicao e taxa de juros j esto em conformidade em termos de unidade. Sabemos que o montante no regime de capitalizao simples dado por H = C (1 + i n) O montante igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros de 5% = 0,05 ao ms e o tempo de aplicao de 6 meses. Su.uuu = C (1 + u,uS 6) Su.uuu = C 1,S C = 2S.u76,9S Letra D 12. (AFRE-CE 2006 ESAF) Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms rende R$ 1 608,00 em 100 dias? a) R$ 20 000,00. b) R$ 20 100,00. c) R$ 20 420,00. d) R$ 22 000,00. e) R$ 21 400,00. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 22www.pontodosconcursos.com.br Resoluo O enunciado forneceu a taxa, o juro e o tempo. Est faltando apenas o capital que foi aplicado. Para comear, a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma unidade! J que a taxa de 2,4% = 0,024 ao ms, devemos dividir a taxa mensal por 30 paracalcularataxadiria(issoporqueomscomercialcompostopor30 dias e em juros simples usamos o conceito de taxas proporcionais). Logo,0, 024. .30i a d = O rendimento (juro) igual a R$1.608,00 e o tempo igual a 100 dias. Lembremos a frmula do juro simples. J Ci n = De acordo com o enunciado: J = 1.608, i = 0,024/30 e n = 100. Logo, 0, 0241.608 10030C = Observe que 0,024.100 = 2,4.2, 41.60830C = E j que 2,4/30 = 0,08; 1.608 0, 08 C = 1.6080, 08C = 20.100 C = Letra B CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 23www.pontodosconcursos.com.br 13.(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010)UmcapitalnovalordeR$12.500,00 aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital aplicado, durante 15 meses, a juros simples a umataxaigualdaaplicaoanterior,produzindojurosnototaldeR$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Resoluo Primeira aplicao: Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do perodo de R$ 2.500,00. Sabemos a relao de juro simples: ]1 = C1 | n1 2. 5 = 12. 5 | 12 2. 5 = 15. | 2. 5 = 15. | | =2. 515. =251. 5 =1 Segunda aplicao:]2 = C2 | n2 5. 25 = C2 1 15 5. 25 = C2 14 C2 = 21. O segundo capital supera o primeiro em 21.000 12.500 = 8.500 Letra B 14. (AFRE-PB 2006 ESAF) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Aps 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00referenteaestaoperaoeoaplicaemoutrobanco,durante5 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 24www.pontodosconcursos.com.br meses,aumataxadejurossimplesigualaodobrodacorrespondente primeira aplicao. O montante no final do segundo perodo igual a a) R$ 12.535,00 b) R$ 12.550,00 c) R$ 12.650,00 d) R$ 12.750,00 e) R$ 12.862,00 Resoluo Temosduasaplicaesemregimesimples.Ataxadasegundaaplicao igualaodobrodataxadaprimeiraaplicao.Portanto,oprimeiropasso determinar a taxa da primeira aplicao. 1 aplicao: O capital igual a R$ 10.000,00 e o montante igual a R$ 10.900,00. Portanto o juro igual a J = 10.900 10.000 = 900. O tempo de aplicao de 6 meses. Assim, podemos aplicar a frmula de juros simples. J Ci n = 900 10.000 6 i = 900 60.000i = 90060.000i = 0, 015 i = 2 aplicao: Lembrandoqueataxadasegundaaplicaoodobrodataxadaprimeira aplicao, conclumos que a segunda taxa igual a 0,015 x 2 = 0,03. Ocapitalaplicadodasegundaaplicaoomontantedaprimeira aplicao.Portanto,ocapitalaplicadoigualaR$10.900,00.Otempode aplicao igual a 5 meses. Logo, o montante ser dado por (1 ) M C i n = + CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 25www.pontodosconcursos.com.br 10.900 (1 0, 03 5) M = + 10.900 1,15 M = 12.535 M = Letra A (UnB/CESPEDOCAS/PA-2004)MriodispunhadeumcapitaldeR$ 10.000,00.PartedessecapitaleleaplicounobancoBD,por1ano,taxade juros simples de 3% ao ms. O restante, Mrio aplicou no banco BM, tambm peloperodode1ano,taxadejurossimplesde5%aoms.Considerando que,aofinaldoperodo,MrioobteveR$4.500,00dejurosdasduas aplicaes, julgue os itens seguintes. 15.A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 16.OsjurosobtidospelaaplicaonobancoBMsuperaramemmaisdeR$ 500,00 os juros obtidos pela aplicao no banco BD. 17.Ao final do ano, o montante obtido pela aplicao no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Resoluo Vamos analisar a situao do enunciado e depois avaliar cada item. MriodispunhadeumcapitaldeR$10.000,00paraaplicaremdoisbancos: BDeBM.ChamemosocapitalaplicadonobancoBDdeDeocapital aplicado no banco BM de M. importante que voc utilize letras que faam referncia aos nomes que foram usados no enunciado da questo. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizarasletrasxey,pois,nofinal,teramosqueprocurarquemxe quem y! SeocapitaltotalR$10.000,entoanossaprimeiraequaoD+M= 10.000. Aplicao no Banco BD Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnobancoBDde3%aoms,entoo tempo de aplicao que de 1 ano ser escrito como 12 meses. Temos os seguintes dados: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 26www.pontodosconcursos.com.br Capital aplicado no Banco BD: D Taxa de juros: 3% ao ms = 0,03 ao ms. Tempo de aplicao: 12 meses. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = Jquenessaquestotemosaplicaesemdoisbancos,paranoconfundir colocaremos ndices nos dados das frmulas. BD BD BD BDJ C i n = Assim, 0, 03 12BDJ D = 0, 36BDJ D = Aplicao no Banco BM Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnobancoBMde5%aoms,entoo tempo de aplicao que de 1 ano ser escrita como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BM: M Taxa de juros: 5% ao ms = 0,05 ao ms. Tempo de aplicao: 12 meses. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = BM BM BM BMJ C i n = Assim, CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 27www.pontodosconcursos.com.br 0, 05 12BMJ M = 0, 60BMJ M = Oenunciadotambminformaqueaofinaldoperodo,MrioobteveR$ 4.500,00 de juros das duas aplicaes. Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00. 4.500BD BMJ J + = 0, 36 0, 60 4.500 D M + = Para no trabalhar com nmeros decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equao por 100! 36 60 450.000 D M + = Temos,ento,umsistemalinearcomduasequaeseduasincgnitas.A outraequaofoiescritanoinciodaresoluo.Ocapitaltotalaplicadonos dois bancos (BD e BM) igual a R$ 10.000,00. 10.000 D M + = Eis o sistema: 36 60 450.00010.000D MD M + =+ = Existem diversos mtodos para resolver esse sistema linear. Faremos de duas maneiras. Mtodo I Substituio Nessemtodo,devemosisolarumadasincgnitasemumadasequaese substituiressevalornaoutraequao.Claramente,nessecaso,maisfcil isolar qualquer uma das incgnitas na segunda equao. Vamos isolar o D. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 28www.pontodosconcursos.com.br 10.000 D M + = 10.000 D M = Devemos substituir essa expresso na primeira equao! 36 60 450.000 D M + = 36 (10.000 ) 60 450.000 M M + = 360.000 36 60 450.000 M M + = 360.000 24 450.000 M + = 24 90.000 M = 3.750 M = E como o capital total aplicado igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD igual a 10.000 3.750 = 6.250. 6.250 D = Mtodo II Adio Voltemos ao sistema linear. 36 60 450.00010.000 ( 36)D MD M + =+ = Nessemtodo,devemosmultiplicarambososmembrosdeumaequaopor algumfator,demodoquepossamossomarasequaesparaqueumadas incgnitas seja cancelada. Podemos,porexemplo,multiplicarambososmembrosdasegundaequao por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equaes, a incgnita D ser cancelada. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 29www.pontodosconcursos.com.br 36 60 450.00036 36 360.000D MD M + = = Ao somarmos as duas equaes membro a membro teremos: 36 36 0 D D =,60 36 24 M M M = 450.000 360.000 90.000 = Ou seja,36 60 450.00036 36 360.000 24 90.000D MD MM + = = = 3.750 M = E como o capital total aplicado igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD igual a 10.000 3.750 = 6.250. 6.250 D = Vamos analisar cada um dos itens de per si. 15.A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. J que M = 3.750,00, esse item est ERRADO. 16.Os juros obtidos pela aplicao no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicao no banco BD. Vamos calcular cada um dos juros. BD BD BD BDJ C i n = 6.250 0, 03 12 2.250BDJ = = CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 30www.pontodosconcursos.com.br BM BM BM BMJ C i n = 3750 0, 05 12 2.250BMJ = = Como os juros obtidos nos dois bancos so iguais, o item est ERRADO. 17.Aofinaldoano,omontanteobtidopelaaplicaonobancoBDfoi superior a R$ 8.000,00. Basta lembrar que o montante a soma do capital aplicado com o juro obtido. M C J = + 6.250 2.250 M = + 8.500 M = Assim, o item est CERTO. 18.(UnB/CESPECHESF2002)UmapessoarecebeuR$6.000,00de herana,sobacondiodeinvestirtodoodinheiroemdoistiposparticulares deaes,XeY.AsaesdotipoXpagam7%a.a.easaesdotipoY pagam9%a.a.AmaiorquantiaqueapessoapodeinvestirnasaesX,de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Resoluo SeocapitaltotalR$6.000,00,entoanossaprimeiraequaoX+Y= 6.000. Aplicao na ao X Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnaaoXde7%aoanoeotempode aplicao de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ao X: X Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 31www.pontodosconcursos.com.br Tempo de aplicao: 1 ano. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = Jquenessaquestotemosaplicaesemduasaes,paranoconfundir colocaremos ndices nos dados das frmulas. X X X XJ C i n = Assim, 0, 07 1XJ X = 0, 07XJ X = Aplicao na ao Y Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnaaoYde9%aoanoeotempode aplicao de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ao Y : Y Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano. Tempo de aplicao: 1 ano. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = Y Y Y YJ C i n = Assim, 0, 09 1YJ Y = CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 32www.pontodosconcursos.com.br 0, 09YJ Y = Oenunciadotambminformaqueaofinaldoperodo,apessoaobteveR$ 500,00 de juros das duas aplicaes. Ouseja,ojuroobtidonaaoXmaisojuroobtidonaaoYtotalizamR$ 500,00. 500X YJ J + = 0, 07 0, 09 500 X Y + = Para no trabalhar com nmeros decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equao por 100! 7 9 50.000 X Y + = Temos,ento,umsistemalinearcomduasequaeseduasincgnitas.A outraequaofoiescritanoinciodaresoluo.Ocapitaltotalaplicadonas duas aes (X e Y) igual aR$ 6.000,00. 6.000 X Y + = Eis o sistema: 7 9 50.0006.000X YX Y + =+ = Novamente os dois mtodos descritos na questo anterior. Mtodo I Substituio Nessemtodo,devemosisolarumadasincgnitasemumadasequaese substituiressevalornaoutraequao.Claramente,nessecaso,maisfcil isolar qualquer uma das incgnitas na segunda equao. Vamos isolar o Y, j que estamos querendo calcular o valor de X. 6.000 X Y + = 6.000 Y X = CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 33www.pontodosconcursos.com.br Devemos substituir essa expresso na primeira equao! 7 9 50.000 X Y + = 7 9 (6.000 ) 50.000 X X + = 7 54.000 9 50.000 X X + = 2 4.000 X = 2 4.000 X = 2.000 X = Letra C Mtodo II Adio Voltemos ao sistema linear. 7 9 50.0006.000 ( 9)X YX Y + =+ = Nessemtodo,devemosmultiplicarambososmembrosdeumaequaopor algumfator,demodoquepossamossomarasequaesparaqueumadas incgnitas seja cancelada. Podemos,porexemplo,multiplicarambososmembrosdasegundaequao por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equaes, a incgnita Y ser cancelada (cancelamos o Y pois queremos calcular o valor de X). 7 9 50.0009 9 54.000X YX Y + = = Ao somarmos as duas equaes membro a membro teremos: 7 9 2 X X X = ,CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 34www.pontodosconcursos.com.br 9 9 0 Y Y = 50.000 54.000 4.000 = Ou seja,7 9 50.0009 9 54.0002 4.0002.000X YX YXX + = = = = Letra C 19.(UnB/CESPECHESF2002)Umcapitalacrescidodosseusjuros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminudo dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Resoluo Sabemos que o juro simples dado por J Ci n = Assim, o juro simples de 21 meses 21 21 J Ci J Ci = = O juro simples de 13 meses 13 13 J Ci J Ci = = Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00 pode ser escrito algebricamente 21 7.050 C Ci + =. Omesmocapital,diminudodosseusjurossimplesde13meses,reduz-sea R$ 5.350,00 pode ser escrito algebricamente 13 5.350 C Ci =. Temos o seguinte sistema de equaes: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 35www.pontodosconcursos.com.br 21 7.05013 5.350C CiC Ci+ = = Podemosnovamenteresolverpelomtododaadiooupelomtododa substituio. Mtodo da Substituio Da segunda equao, podemos concluir que5.350 13 C Ci = + . Substituindo essa expresso na primeira equao do sistema: 21 7.050 C Ci + = 5.350 13 21 7.050 Ci Ci + + = 34 7.050 5.350 Ci = 34 1.700 Ci = 1.7005034Ci Ci = = De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equaes do sistema. Substituindo na primeira equao, obtemos: 21 7.050 C Ci + = 21 50 7.050 C + = 1.050 7.050 C + = 6.000 C =Letra D 20.(AFTE-RO2010FCC)Doiscapitaisforamaplicadosaumataxadejuros simples de 2% ao ms. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um anoeosegundo,durante8meses.Asomadosdoiscapitaiseasomados correspondentesjurossoiguaisaR$27.000,00eR$5.280,00, respectivamente. O valor do mdulo da diferena entre os dois capitais igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 36www.pontodosconcursos.com.br d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 Resoluo Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. J que a soma dos dois capitais igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que1 227.000 C C + = Lembre-sequeojurosimplescalculadodeacordocomafrmula J Ci n = ,emqueCocapitalaplicado,iataxadejuroseno nmero de perodos. Assim, o juro do primeiro capital ser 1 1 1 10, 02 12 0, 24 J C J C = = E o juro do segundo capital ser2 2 2 20, 02 8 0,16 J C J C = = A segunda equao pode ser escrita da seguinte forma: 1 25.280 J J + = 1 20, 24 0,16 5.280 C C + = Para no trabalhar com nmeros decimais (e facilitar um pouco nossas contas), podemos multiplicar ambos os membros dessa equao por 100. 1 224 16 528.000 C C + = Acabamos de formar o seguinte sistema linear: 1 21 227.00024 16 528.000C CC C+ = + = Faremos, por exemplo, pelo mtodo da substituio. Basta isolar na primeira equao o termo C2. 2 127.000 C C = Substitui-se essa expresso na segunda equao: 1 124 16 (27.000 ) 528.000 C C + = 1 124 432.000 16 528.000 C C + = CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 37www.pontodosconcursos.com.br 18 528.000 432.000 C = 18 96.000 C = 112.000 C = E como a soma dos dois capitais igual a 27.000, o segundo capital ser: 227.000 12.000 C = 215.000 C = O valor do mdulo da diferena entre os dois capitais igual a 15.000 12.000 = 3.000. Letra C 21. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor deR$30.000,00nofinaldoperodo.Casoestecapitaltivessesidoaplicado durante16mesesajurossimples,ecomamesmataxadejurosanterior,o valor do montante no final deste perodo teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00. Resoluo Sabemos que o montante a soma do capital com os juros. Logo, H = C + [ No regime simples, o juro calculado da seguinte maneira: [ = C i n Vejamos a primeira aplicao: 1 aplicao: C + [ = Su.uuu C +C i n = Su.uuu C +C i n = Su.uuu CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 38www.pontodosconcursos.com.br Como n = 10 meses, C + C i 1u = Su.uuu Lembre-se que em lgebra C significa C vezes 1. C 1 + C i 1u = Su.uuu Podemos colocar o C em evidncia. C (1 + 1u i) = Su.uuu C =Su.uuu1 + 1u i Vamos guardar esta equao. 2 aplicao: C + [ = SS.6uu C +C i n = SS.6uu C +C i n = SS.6uu Como n = 16 meses, C + C i 16 = SS.6uu Lembre-se que em lgebra C significa C vezes 1. C 1 + C i 16 = SS.6uu Podemos colocar o C em evidncia. C (1 + 16 i) = SS.6uu C =SS.6uu1 + 16 i Na primeira aplicao, descobrimos que C =Su.uuu1 + 1u i Podemos igualar as expresses: SS.6uu1 + 16 i =Su.uuu1 +1u i O produto dos meios igual ao produto dos extremos: Su.uuu (1 + 16 i) = SS.6uu (1 + 1u i) CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 39www.pontodosconcursos.com.br Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar. Suu (1 + 16 i) = SS6 (1 + 1u i) Suu + 4.8uu i = SS6 + S.S6u i 1.44u i = S6 i =S61.44u 1uu% = 2,S% = u,u2S Voltando equao descrita acima: C =Su.uuu1 + 1u i C =Su.uuu1 + 1u u,u2S = 24.uuu Letra D 13.Prazo,TaxaeCapitalMdiosApesar de este tpico no estar presente explicitamente no edital da FGV, esta bancajcolocouesteassuntoemprovasmesmosemexplicit-lonoedital (como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008). Vejamosalgunsexemplosnumricosparaumbomentendimentodos conceitosdestetpicoparaemseguidaapresentarmosasfrmulasdeprazo, taxa e capital mdio. PrazoMdioImagineaseguintesituao:Joofez2emprstimos,ajurossimples,deum mesmocredor.OprimeirofoideR$4.000,00aumataxade10%aoms durante4meses.OsegundofoideR$2.000,00aumataxade5%aoms durante 8 meses. O credor e Joo decidem substituir os prazos de vencimento dos dois emprstimos por um nico prazo, de forma que no haja prejuzo para o credor nem para o devedor Joo. Qual esse prazo? A condio de no haver prejuzo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situaes serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois emprstimos: 1 emprstimo CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 40www.pontodosconcursos.com.br [1 = 4.uuu 1u1uu 4 = 1.6uu2 emprstimo [2 = 2.uuu S1uu 8 = 8uu Dessa forma, Joo pagar R$ 1.600,00 referentes ao primeiro emprstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo emprstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Nossoobjetivotrocaroprazode4mesesdoprimeiroemprstimoeo prazode8mesesdosegundoemprstimodeformaqueojurototal permanea o mesmo (R$ 2.400,00). Oprazoquesubstituirtodososoutrossemalterarojurototal denominado prazo mdio. 4.uuu 1u1uu nm + 2.uuu S1uu nm = 2.4uu 4uu nm + 1uu nm = 2.4uu Suu nm = 2.4uu nm = 24Smcscs Devemosdividir24mesespor5.Ora,24mesesdivididopor5iguala4 meseserestoiguala4meses.Comoomscomercialpossui30dias,os4 meses de resto equivalem a 4 Su = 12u Jios. Devemos dividir 120 dias por 5 que igual a 24 dias. 24 mcscs |S 4 mcscs 4 mcscs 12u Jios |S u24 Jios Assim, o prazo mdio igual a 4 meses e 24 dias. Taxa Mdia Imagine a seguinte situao: Joo fez 2 emprstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao ms durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao ms durante 8 meses. O credor e Joo decidem substituir as taxas de CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 41www.pontodosconcursos.com.br juros dos dois emprstimos por uma nica taxa, de forma que no haja prejuzo para o credor nem para o devedor Joo. Qual essa taxa? A condio de no haver prejuzo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situaes serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois emprstimos: 1 emprstimo [1 = 4.uuu 1u1uu 4 = 1.6uu2 emprstimo [2 = 2.uuu S1uu 8 = 8uu Dessa forma, Joo pagar R$ 1.600,00 referentes ao primeiro emprstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo emprstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Ataxaquesubstituirtodasasoutrassemalterarojurototal denominado taxa mdia. 4.uuu im 4 + 2.uuu im 8 = 2.4uu 16.uuu im + 16.uuu im = 2.4uu S2.uuu im = 2.4uu im =2.4uuS2.uuu 1uu% = 7,S% Assim, a taxa mdia de 7,5% ao ms. Capital Mdio Imagine a seguinte situao: Joo fez 2 emprstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao ms durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao ms durante 8 meses. O credor e Joo decidem substituir os capitais dos dois emprstimos por um nico capital, de forma que no haja prejuzo para o credor nem para o devedor Joo. Qual esse capital? CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 42www.pontodosconcursos.com.br A condio de no haver prejuzo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situaes serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois emprstimos: 1 emprstimo [1 = 4.uuu 1u1uu 4 = 1.6uu2 emprstimo [2 = 2.uuu S1uu 8 = 8uu Dessa forma, Joo pagar R$ 1.600,00 referentes ao primeiro emprstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo emprstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Ocapitalquesubstituirtodososoutrossemalterarojurototal denominado capital mdio. Cm 1u1uu 4 + Cm S1uu 8 = 2.4uu u,4 Cm + u,4 Cm = 2.4uu u,8 Cm = 2.4uu Cm = S.uuu Assim, o capital mdio de R$ 3.000,00. Frmulas do Prazo Mdio, Taxa Mdia e Capital Mdio NestetpicodemonstraremosasfrmulasdePrazoMdio,TaxaMdiae CapitalMdioeemseguidaresolveremosdiversasquestesdeconcursos.A demonstrao ser feita para um caso particular de trs aplicaes, mas pode ser generalizada para um nmero qualquer de aplicaes. Frmula do Prazo Mdio ConsideretrscapitaisC1,C2e C3,,aplicadosstaxassimples|1,|2e |3,, pelos prazos n1,n2e n3,. O juro total obtidos com essas trs aplicaes de: CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 43www.pontodosconcursos.com.br [t = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 Nossoobjetivosubstituirostrsprazosporumnicoprazo nmdenominado prazo mdio de forma que o juro total permanea constante. [t = C1 i1 nm + C2 i2 nm + C3 i3 nm Dessa forma: C1 i1 nm + C2 i2 nm + C3 i3 nm = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 nm (C1 i1 +C2 i2 + C3 i3) = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 nm = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3C1 i1 + C2 i2 + C3 i3 nm =[1 + [2 + [3C1 i1 + C2 i2 + C3 i3 A partir desta frmula, podemos concluir que o prazo mdio a mdia ponderada dos prazos com fatores de ponderao os capitais e as taxas. Frmula da Taxa Mdia Procedendodamesmamaneiraqueoitem3.5.4.1(FrmuladoPrazoMdio),concluisequeataxamdiaamdiaaritmticadastaxas,tendocomofatoresdeponderaooscapitaiseosprazos.im =[1 + [2 +[3C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 Frmula do Capital Mdio Analogamenteaoscasosanteriores.Ocapitalmdioamdiaaritmticadoscapitais,tendocomofatoresdeponderaoosastaxaseosprazos.Cm =[1 + [2 + [3i1 n1 +i2 n2 + i3 n3 Exemplo Joo fez 2 emprstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao ms durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao ms durante 8 meses. Determine o prazo mdio, a taxa mdia e o capital mdio. ResoluoCURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 44www.pontodosconcursos.com.br Vejamos os juros pagos nos dois emprstimos: 1 emprstimo [1 = 4.uuu 1u1uu 4 = 1.6uu2 emprstimo [2 = 2.uuu S1uu 8 = 8uu Prazo mdio nm =[1 +[2C1 i1 + C2 i2nm =1.6uu + 8uu4.uuu u,1u + 2.uuu u,uS = 2.4uuSuu= 24Smcscs = 4 mcscs c 24 JiosTaxaMdiaim =[1 + [2C1 n1 + C2 n2im =1.6uu + 8uu4.uuu 4 + 2.uuu 8 =2.4uuS2.uuu 1uu% = 7,S% oo msCapitalMdioCm =[1 + [2i1 n1 + i2 n2Cm =1.6uu + 8uuu,1u 4 + u,uS 8 = 2.4uuu,8= S.uuu rcois22. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram aplicados mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo mdio da aplicao conjunta desses capitais, em meses : a) 12 b) 8 c) 10 CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 45www.pontodosconcursos.com.br d) 9,2 e) 7,5 Resoluo J que as taxas das quatro aplicaes so iguais, podemos dizer que todas as taxas so iguais a i. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicaes. [1 = Su.uuu i 12 = 6uu.uuu i [2 = 1uu.uuu 6 i = 6uu.uuu i Apliquemos a frmula do prazo mdio. nm =[1 +[2C1 i1 + C2 i2 nm = 6uu.uuu i + 6uu.uuu iSu.uuu i + 1uu.uuu i nm = 1.2uu.uuu i1Su.uuu i= 8 mcscs Letra B 23. (AFRF 2003/ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensaisde6%,4%,3%e1,5%,respectivamente.Obtenhaataxamdia mensal de aplicao destes capitais. a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5% Resoluo J que os prazos das quatro aplicaes so iguais, podemos dizer que todos os prazos so iguais a n. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicaes. [1 = 2.Suu u,u6 n = 1Su n [2 = S.Suu u,u4 n = 14u n [3 = 4.uuu u,uS n = 12u n CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 46www.pontodosconcursos.com.br [4 = S.uuu u,u1S n = 4S n Apliquemos a frmula da taxa mdia. im =[1 + [2 + [3 + [4C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 + C4 n4 im =1Su n +14u n +12u n +4S n2.Suu n + S.Suu n + 4.uuu n + S.uuu n im =4SS n1S.uuu n =4SS1S.uuu 1uu% = S,S% oo ms. Letra E 24.(AFRF2002.2/ESAF)OscapitaisdeR$7.000,00,R$6.000,00,R$ 3.000,00eR$4.000,00soaplicadosrespectivamentestaxasde6%,3%, 4% e 2% ao ms, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa mdia proporcional anual de aplicao destes capitais. a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% Resoluo Digamos que os prazos das aplicaes sejam todos iguais a n meses. Vamos calcular o juro simples de cada aplicao. [1 = 7.uuu u,u6 n = 42u n [2 = 6.uuu u,uS n = 18u n [3 = S.uuu u,u4 n = 12u n [4 = 4.uuu u,u2 n = 8u n Apliquemos a frmula da taxa mdia. im =[1 + [2 + [3 + [4C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 + C4 n4 im =42u n +18u n +12u n +8u n7.uuu n + 6.uuu n + S.uuu n + 4.uuu n CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 47www.pontodosconcursos.com.br im =8uu n2u.uuu n = im =8uu2u.uuu =8uu2u.uuu 1uu% = 4% oo ms. Como um ano o mesmo que 12 meses, ento para calcular a taxa proporcional anual basta multiplicar a taxa mensal por 12. im = 4% 12 oo ono = 48% oo ono Letra E 14.JurosCompostosNo regime de capitalizao composta, o juro gerado em cada perodo agrega-se ao capital,eessasomapassaarenderjurosparaoprximoperodo.Daquesurgea expresso juros sobre juros. Imagineaseguintesituao:GuilhermeaplicouR$10.000,00ajuroscompostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao. Osjurosgeradosnoprimeiroanoso 20100 1u.uuu = 2.uuueomontanteapso primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000. Osjurosgeradosnosegundoanoso 20100 12.uuu = 2.4uueomontanteapso segundo ano 12.000+2.400=14.400. Osjurosgeradosnoterceiroanoso 20100 14.4uu = 2.88ueomontanteapso terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280. Osjurosgeradosnoquartoanoso 20100 17.28u = S.4S6eomontanteapso quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736. Osjurosgeradosnoquintoanoso 20100 2u.7S6 = 4.147,2ueomontanteapso quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Perodo de Capitalizao O intervalo de tempo em que os juros so incorporados ao capital chamado de perodo de capitalizao. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 48www.pontodosconcursos.com.br Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalizao mensal, ento os juros so calculados todo ms e imediatamente incorporados ao capital. Capitalizao trimestral: os juros so calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. Casoaperiodicidadedataxaedonmerodeperodosnoestiveremnamesma unidadedetempo,deverserefetuadoumajusteprvioparaamesmaunidade antesdeefetuarmosqualquerclculo.Abordaremosesteassuntoemsees posteriores (taxas de juros). Frmula do Montante Composto Paracalcularomontantedeumacapitalizaocompostautilizaremosaseguinte frmula bsica: H = C (1 + i)n M montante (capital + juros). C Capital inicial aplicado. i taxa de juros n nmero de perodos. Observequeseacapitalizaobimestraleaplicaoserfeitadurante8meses, ento o nmero de perodos igual a 4 bimestres. Noutilizaremosumafrmulaespecficaparaoclculodosjuroscompostos.Sepor acasoemalgumaquestoprecisarmoscalcularojurocomposto,utilizaremosa relao: H = [ + C = [ = H -C Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta Considere a seguinte situao: Joo aplicar a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao ms. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes perodos de capitalizao: a) 1 ms b) 15 dias (meio ms) c) 2 meses Resoluo a) Capitalizao Simples CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 49www.pontodosconcursos.com.br HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 +u,1 1) = 1.1uu Capitalizao Composta HC = C (1 + i)n HC = 1.uuu (1 + u,1)1 = 1.1uu Observe que, para n = 1, o montante simples igual ao montante composto. b) Capitalizao Simples HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 + u,1 u,S) = 1.uSu Capitalizao Composta HC = C (1 + i)n HC= 1.uuu (1 +u,1)0,5 = 1.u48,81 Observe que, para n = u,S, o montante simples maior do que o montante composto. c) Capitalizao Simples HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 +u,1 2) = 1.2uu Capitalizao Composta HC = C (1 + i)n HC = 1.uuu (1 + u,1)2 = 1.21u Observe que, para n = 2, o montante simples menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relaes n = 1O montante simples igual ao montante composto. u < n < 1O montante simples maior do que o montante composto. n > 1O montante simples menor do que o montante composto. Conveno Linear e Conveno Exponencial Vimosqueseonmerodeperodosformenordoque1,maisvantajosoparao credor cobrar juros simples. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 50www.pontodosconcursos.com.br Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalizao composta, o nmero de perodos for fracionrio. Porexemplo,estamosfazendoumaaplicaoajuroscompostosdurante3mesese meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderamoscalcularomontantenoperodofracionriosoboregimesimples(para ganhar mais dinheiro obviamente). EmMatemticaFinanceira,quandoonmerodeperodosfracionrio,podemos calcular o montante de duas maneiras: - Conveno Exponencial - Conveno Linear Um capital de R$ 10.000,00 ser aplicado por 3 meses e meio taxa de 10% ao ms, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Conveno Exponencial Aconvenoexponencialdizqueoperodo,mesmofracionrio,serutilizadono expoente da expresso do montante. Assim,(1 )nM C i = + 3,510.000 (1 0,10) M = + 3,510.000 1,10 M = O valor 1,103,5 = 1,395964 dever ser fornecido pela questo. 10.000 1, 395964 M = 13.959, 64 M = - Conveno Linear Aconvenolinearconsiderajuroscompostosnaparteinteiradoperodoe,sobreo montante assim gerado, aplica juros simples no perodo fracionrio. Podemos resumir a seguinte frmula para a conveno linear: (1 ) (1 )IntfracM C i i n = + + Nessa formula Int significa a parte inteira do perodo e nfrac a parte fracionria do perodo. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 51www.pontodosconcursos.com.br 310.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 5) M = + + 310.000 1,10 1, 05 M = 13.975, 50 M = Como era de se esperar, o montante da conveno linear foi maior do que o montante da conveno exponencial. 25. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resoluo H = C (1 + i)n H = 2u.uuu (1 +u,Su)2 = 4S.uuu,uu Letra A 26. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimentopara3mesesdepois,aumataxacompostade4%aoms.Ovalorde resgatedessaoperaofoi,emreais,de(Nota:efetueasoperaescom4casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resoluo H = C (1 + i)n H = 2u.uuu 1,u43 O enunciado mandou efetuar as operaes com 4 casas decimais. 1,u4 1,u4 = 1,u816 1,u816 1,u4 = 1,124864 1,1249 H = 2u.uuu 1,u43 = 2u.uuu 1,1249 = 22.498,uu CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 52www.pontodosconcursos.com.br Letra E 27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicao de um capital no valordeR$12.500,00,durantedoisanos,aumataxadejuroscompostosde8%ao ano,soiguaisaosdaaplicaodeumoutrocapitalnovalorR$10.400,00,ajuros simples, taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resoluo Aplicao a juros compostos: H = C (1 + i)n H = 12.Suu (1 + u,u8)2 H = 14.S8u Assim,ojurocompostoadiferenaentreomontanteeocapitalaplicado14.580 12.500 = 2.080. Essejuroigualaodaaplicaotaxasimples.Arespostadotempodeaplicao serdadaemmeses.Comoataxade15%aoano,ataxaequivalentemensal 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao ms. [ = C i n 2.u8u = 1u.4uu u,u12S n 2.u8u = 1Su n n = 16 mcscs Letra D 28.(CEF2008CESGRANRIO)Ogrficoaseguirrepresentaasevoluesnotempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere taxa de juros utilizada. CURSO ON-LINE MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES 53www.pontodosconcursos.com.br Analisando-seogrfico,conclui-sequeparaocredormaisvantajosoemprestara juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. Resoluo O grfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o nmero de perodos da capitalizao for menor do que 1 o juro simples ser maior do que o juro composto. Letra E 29.(SEFAZ-RJ2007/FGV)Afraodeperodopelaconvenolinearproduzuma renda a e pela conveno exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) o = logn b b) o < b c) o = b d) o =bn e) o > b Resoluo Vimos que: n = 1O montante simples igual ao montante composto. u < n < 1O mon