PROF. 1o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · PADRÃO VOL. I. Direção Executiva: Fabio Benites Gestão Editorial: Maria Izadora Zarro ... com.br. Lá você também encontrará todas

PROF. 1o ANOMATEMÁTICA PADRÃO VOL. I

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa:

Literatura:

Matemática: Química:Sociologia:

Biologia: Geografia:História:Língua Espanhola: Química:

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Atualizações:

Leandro MaiaGustavo BertocheWilmington CollyerDuarte VieiraMontgomery Miranda / Bernardo PadulaLeila Noronha / Marcelo BeauclairMizael Souza Jaqueline HalackLeila Noronha / Marcelo BeauclairLeila Noronha / Marcelo BeauclairJoão Luiz / Gláucio PitangaWendel MedeirosAnne Nunes

Cid Medeiros Thiago Azeredo Guilherme BragaKarina PaimRenata Galdino

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você en-contrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender

“A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

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CONJUNTOS: QUAIS OS PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS?

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Conjuntos: quais os princi-pais conjuntos numéricos?

Objetivos de aprendizagem:• Compreender a noção intuitiva de con-

juntos, o plano cartesiano ortogonal e a no-ção de relação;

• Diferenciar a relação de pertinência e inclusão em conjuntos;

• Realizar as operações com conjuntos, intervalos e o produto cartesiano;

• Identificar os subconjuntos de um con-junto, conjuntos numéricos, intervalos aber-tos e fechados e os elementos do par orde-nado;

• Resolver problemas envolvendo conjun-tos, com aplicações no dia a dia, através da utilização de diagramas e exercícios de inter-valos, produtos cartesianos e relações.

Praticando 1) 1) a) Vb) V, pois o elemento deste conjunto também é elemento do conjunto Ac) V, pois os elementos deste conjunto também são elementos do conjunto Ad) V, pois o elemento deste conjunto também é elemento do conjunto Ae) Vf) F, pois o conjunto vazio é subconjunto de qual-quer conjuntog) V, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

2) a) Como o conjunto A possui 3 elementos, então: P(A) = 23 = 8 subconjuntosb) Neste caso, o conjunto A possui 5 elementos, logo: P(A) = 25 subconjuntos

3) a) A∩B={0,2}b) AUC={0,1,2,3,4,7,8}c) BUD={0,2,3,4,5}d) (A∩B)UC={0,2}U{1,3,7,8}={0,1,2,3,7,8}

4) Como o conjunto A possui 255 subconjuntos não vazios, então ele possui um total de 256 sub-conjuntos. Sendo n, a quantidade de elementos do conjunto A, então:2n = 256 → 2n = 28 → n = 8. Logo o conjunto A, terá 8 elementos.

Gabarito: C

5)

2 223

3

Lápis BorrachaBorracha

De acordo com o diagrama acima, não há lápis e nem borracha em exatamente 3 caixas.

6) A região considerada seria:

A B

C

(A∩B)

7) a) {X Є IR / 6 ≤ X ≤ 10}b) {X Є IR / - 1 < X < 5}c) {X Є IR / - 6 < X ≤ 0}d) {X Є IR / X ≥ 0}

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2

8) a) 2 8

b) 2

c) 2 5

d) 3 7

9) a) {x Є IR/2 ≤ x ≤ 4}b) {x Є IR/x ≥ 1}

10) I) 23

x 43

= 83

= 2. Ou seja, pode gerar sim um número racional (F)

II) Se b = -a, então: a + b = 0 (F)

III) Se a = b, então: a – b = 0 (V)

Gabarito: E

11) a) (V) Todo inteiro é racionalb) (V)c) (F) 2/3 é racional, mas não é inteirod) (V) Todo inteiro é racionale) (V) Toda dízima periódica pode ser escrita na forma de fração, logo será racional.

12) Os pontos estão plotados no gráfico abaixo:

13) a) A X B = {(2,3); (2,5); (3,3); (3,5); (4,3); (4,5)}

b) C x B = {(4,3); (4,5); (5,3); (5,5)}

14) a) R1 = {(2,-2); (3,-1); (4,0); (5,1); (6,2)}b) R2 = {(1,-2); (2,1)}

15) Como A x B = {(a,a); (a,b); (b,a); (b,b); (c,a); (c,b)}

A única alternativa que possui elementos per-tencentes ao conjunto acima é a alternativa D.

Gabarito: D

16)

1020 30

140

c

1001060

AA B

De acordo com o diagrama acima, temos:

a) (100 + 130 + 140) + 130 = 370 + 130 = 500 pessoasb) 10 + 20 + 30 = 60 pessoasc) 500 – 150 = 350 pessoas

17)

1302080

AA B

Total de pessoas consultadas foi igual a: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas

18) a) (P∩Q) – R = {3}b) (PUQ)∩R = {2, 5, 7}c) (PUR) – Q = {4, 5, 6}d) (Q∩R)UP = {2, 3, 4, 5, 7}

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3

19)

X510

P G

10 + 5 + X = 32 → X = 32 – 15 → X = 17 alunosGabarito: B

20) A = [a, b] = {X Є IR / a ≤ X ≤ b}

Gabarito: D

21) O maior valor da fração X/Y ocorrerá quando X assumir o seu maior valor e Y o seu menor va-lor, logo: X/Y = 10/20 = 1/2

Gabarito: D

22) C = 7/3 ≅ 2,33; b ≅ 2,05; a = 2,01. Logo: a < b < c

Gabarito: A

23) N(A x B) = N(A).N(B) = 6

Como: (2,1); (2,3); (4,5) são elementos de A X B, logo:

A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}. Com isso:

A X B = {(2,1); (2,3); (2,5); (4,1); (4,3); (4,5)}

24) N(A) = x + 1 e N(B) = x – 2N(A x B) = 40N(A x B) = N(A).N(B) = (x + 1).(x – 2)X2 – X – 2 = 40 → X2 – X – 42 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau para valores de x > 0, obtemos:X = 7

Aprofundando:25) Gabarito: A

26)

31 6

10

c

7519

AA B

N((AUB)∩C) = 6 + 3 + 1 = 10.Gabarito: B

27)

X2135

P G

yX + 35 = 106 → x = 71Y + 35 = 66 → y = 31Logo: n = 35 + 21 + x + y n = 35 + 21 + 71 + 31 n = 158

Gabarito: C

28) S é subconjunto de TUP, logo:

S

T P

Gabarito: E

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4

29)

y2 7

6

Taxicômanos

x9x

Hemofílicos Homossexuais

41 são homossexuais e temos no total 75 pa-cientes, ou seja:

9 + y + 7 + x = 41; 2x + 3y + 24 = 75y + x = 25 2x + 3y = 51

Resolvendo o sistema de equações, temos:Y = 1 e X = 24Gabarito: 1 paciente.

30) a) {x Є IR/4 ≤ x < 8}b) {x Є IR/x > 0}c) ]3,10]d) [5,+ ∞[e) {x Є IR/ - 6 < x ≤ – 2}f) {x Є IR/ x ≥ – 3}

31) a) AUB = [- 1, 7] ; A∩B = [2, 3] e A – B = [- 1, 2[b) AUB = ]- ∞, + ∞[; A∩B = [3, 5[ e A – B = [3, 5[

32) a) A∩B∩C = ]- 4, 1[b) AUBUC = ] - ∞, 5]c) (AUB)∩C = ]- 4, 1[

33) {x Є IR/ 3 < x ≤ 7}

Gabarito: A

34) Como x e y são números racionais menores que 1, ao serem multiplicados irão gerar um valor que será menor que ambos. Logo:0 < x.y < x , ou seja, entre 0 e x.Gabarito: B

35) a) Fb) Fc) Fd) Ve) V

36) (m + 2n, m – 4) = (2 – m, 2n)

m + 2n = 2 – m → m + n = 1m – 4 = 2n → m = 2n + 4. Substituindo na equação de cima, temos:

2n + 4 + n = 1 → 3n = - 3 → n = -1, logo: m = - 2 + 4 = 2.Logo: m.n = 2. (-1) = -2.

Gabarito: A

37) n(AxB) = n(BxA) = 3.4 = 12 elementos. AxB = {(0,0); (0,2); (0,4); (0,5); (1,0); (1,2); (1,4); (1,5); (2,0); (2,2); (2,4); (2,5)}BxA = {(0,0); (0,1); (0,2); (2,0); (2,1); (2,2); (4,0); (4,1); (4,2); (5,0); (5,1); (5,2)}

Os elementos marcados são os elementos co-muns aos dois conjuntos. Logo:n(AxB U BxA) = 12 + 12 – 4 = 20 elementos.

Gabarito: D

38) 38) A = {1, 3, 5} e B = {1, 3, 7}Logo: n(AxB) = 3.3 = 9 elementos.

Gabarito: B

39) Se (a, - b) Є 2º quadrante, então: a < 0 e b < 0. Logo:(- a, b) Є 4º quadrante (- a , - b) Є 1º quadrante

Gabarito: D

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Desafiando:40)

76 - xx175 - x

M R

(175 – X) + X + (76 – X ) = 219251 – X = 219X = 251 – 219X = 32Logo: Apenas por redação será 76 – 32 = 44 can-didatos

Gabarito: D

41)

121426

Qualidade Quantidade

Logo: Reprovadas: 26 + 14 + 12 = 52 caixas

Então sobraram 100 – 52 = 48 caixas que fo-ram aprovadas nos dois testes.

42)

Estrangeiros

Fumantes Nao Fumantes

Homens Mulheres Homens Mulheres5 6 8 7Soma: 11 Soma: 15Soma: 26

Brasileiros

Fumantes Nao Fumantes

Homens Mulheres Homens Mulheres20 16 31 29Soma: 36 Soma:Soma: 96

De acordo com os dados da tabela acima, temos o valor de: 29.

Gabarito: B

43)

50xx

T N

z x + 10

F

50 + Z + Y = 85 →Z + Y = 35 (I)X + Y = 17 (II)Z + X = 28 (III)

Fazendo: (I) – (II): Z – X = 18 (IV).Somando as equações (III) e (IV): 2.Z = 46 → Z = 23, logo: X = 5 e Y = 12.

Para as aulas de futebol e natação, temos: Z = 23.

44) De acordo com o algoritmo, temos:a = 0,375x8 + X = X + 3. Como a é divisível por 8, então: X + 3 = a + 8 → X = a + 5.

Gabarito: E

45) Aplicando o produto cartesiano entre os dois conjuntos, obtemos um conjunto com 4 elementos. Logo:

Gabarito: B

46) De acordo com o gráfico, temos que:

A = (2, 4] U {5}B = (2, 5)

Gabarito: C

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Matemática financeira

Objetivos de aprendizagem:• Compreender o significado da represen-

tação de uma porcentagem;• Calcular porcentagens e aprender a uti-

lizar fatores de atualização;

• Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores;

• Aprender os conceitos e diferenças en-tre juros simples e compostos;

• Identificar e calcular o valor do dinheiro no tempo através dos juros.

Praticando 1) ¼ de salários + 1/5 de impostos + 25% de ma-téria prima + Lucro = 100%25% + 20% + 25% + L = 100% L = 30%.

Gabarito: D

2) Valor Porcentagem70,00 ---------------------------------- 100%4,20 ----------------------------------- x7.x = 420 → x = 420/70 → x = 6%

Gabarito: C

3) Vamos identificar as contribuições de cada familiar do Zezinho:l. Tio = 1/5 = 20/100 = 20%ll. Avó = 18%lll. Tia = 0,12 = 12/100 = 12%

– Total (Tio + Avó + Tia) = 20% + 18% + 12% = 50%– Como Zezinho já recebeu o valor de 50%

do computador, então a porcentagem que os pais do Zezinho deverão assumir na compra do computador é de 50%.

Gabarito: 50%

4) 400 pessoas, onde:30% de homens, logo: teremos 70% de mulheresOu seja: 120 homens 280 mulheres;65% das mulheres tem mais de 20 anos, logo: 35% das mulheres tem menos de 20 anos;35% de 280 = (35/100)x280 = 98

Gabarito: E

5) 5% de comissão:a) 5% de 62.400 = (5/100)x62.400 = 5x624 = 3.120,00b) Valor – 95% do valor = 79.800X – 0,05X = 79.800X = 79.800/0,95 = 7.980.000/95 = 84.000,00Logo, a comissão será 84000 – 79800 = R$ 4200,00.

6) J = C.I.TJ = C . 0,007 . 5J = C . 7 x 10^-3 . 5J = C . 35 x 10^-3M = C + JM = C + 0,035CM = 1,035Ci (taxa) = f (fator de atualização) - 1 i = 1,035 - 1 i = 0,035 = 3,5%

Gabarito: B

7) M = C(1 + i.n)M = 3000(1 + 0,008.18)M = 3000 . 1,144M = R$ 3.432,00

Gabarito: D

8) Entrada de R$300. Logo o valor financiado será de R$900 (R$1200-300).

Agora é só aplicar juros compostos.

VF=VA(1+i)² VF = valor que você vai pgar no final = R$1089,00

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VA = valor que você deveria pagar = R$ 900,00 i = taxa de juros

Assim,

1089=900(1+i)² 1089/900=(1+i)² 1,21=(1+i)². Extraindo a raiz quadrada temos: 1,1 = 1+i,Logo i=0,1 ou 10%

Gabarito: A

9) Ao fim do primeiro ano os 10000 foram acres-cidos de 20%, chegando a R$ 12.000,00.

Ele pagou 4000, ficando 8000 para o ano se-guinte.

Mas durante esse segundo ano, novos juros foram aplicados, ou seja, mais 20% incidentes nos 8000, ou seja, 1600, chegando assim a R$ 9.600,00.

Gabarito: E

10) Como a cada período ele ganha 10% e retira 20% do valor acumulado, então ele permanece sempre com 10% a menos do valor do período anterior, ou seja:20.000 x (0,90)n ≥ 15.000(9/10) n ≥ 3/4N = 2

Gabarito: D

11) 15% de 400 = 15x4 = 60. Logo, ele obteve um desconto de 60,00, pagando o valor de 400 – 60 = 340,00.

50% de 340 = 170,00. Logo ele deseja arreca-dar o valor de 340 + 170 = 510,00. Mesmo conce-dendo um desconto de 25% sobre o valor final do produto, ele pretende arrecadar 510,00. Ou seja:

75% do preço = 5100,75.x = 510X = 510/0,75X = 680,00

Gabarito: B

12) Sendo x a quantia procurada, temos:Gastou 20% de x e mais 5% do que sobrou, ou seja, 5% de 80% de x e ainda sobrou 152,00.0,20.x + 0,05.0,80.x + 152 = x X – 0,20.x – 0,04.x = 152X – 0,24.x = 1520,76.x = 152X = 152/0,76X = 15200/76X = 200,00

Como o presente custou 4% do total,

Presente = 0,04 . 200 = 8

Gabarito: R$ 8,00

Aprofundando:13) Soma os que não votaram nele = 9,5% + 9,2% = 18,7% – 100% = 81,3% votaram nele. 81,3 ---- 100% 54,3 ---- x x=4414,59/100 x=44,14%

Gabarito: 44,14%

14) Chamando a área inicial de X, teremos: X. (0,70).(1,40) = X.(0,98) Ou seja, 2% menor

Gabarito: D

15) Ensino Médio:(54/112).100 = 48,21%

Gabarito: B

16) Analisando o gráfico, é possível verificar que 56% dos estudantes entrevistados possuíam tele-fone móvel. Logo, 56% do total de entrevistados (14900) é igual a 8344. Para isso, devemos calcu-lar a proporção dessa porcentagem de entrevis-tados utilizando a multiplicação.

56% . 14900=56/100 . 14900=0,56 . 14900 =8344

Gabarito: D

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17) X = 63.0,80 x = 50,4

Gabarito: E

18) Se 250.00 representam a totalidade da popu-lação de Porto Alegre, então os desempregados (9,8) são: 250.000.(9,8/100) = 24.500

Gabarito: A

19) Como o gráfico está em mil pessoas, o núme-ro de pessoas economicamente ativas em 05/09 é de: 23020 mil = 23.020.000 pessoas. O crescimento é de 4% do dia 05/09 para o dia 06/09: 0,04 x 23.020.000 = 920800 de aumento.

Assim, o total de pessoas economicamen-te ativas em 06/09 é de 23.020.000 + 920.800 = 23.940.800 pessoas.

Gabarito: D

20) O comprimento original do peixe correspon-de a x. Como, após ameaçado, x aumenta 50 ve-zes, o peixe passa a ter o seguinte comprimento: x + 50x = 1,53 m51x = 153,00 cmx = 3,00 cm

Gabarito: C

21) Com o desconto de 15%, será pago o valor de R$ 1.530,00. Logo, o valor sem desconto é:(1530/0,85) = 1800

Com o desconto de 7%, será pago o valor de R$ 2.790,00. Logo, o valor sem desconto é:(2790/0,93) = 3000.

Portanto, o desconto percentual médio total obtido é:1 – (4320/4800) = 1 – 0,9 = 0,1 = 10%

Gabarito: B

22) NÃO. Entre 50 eleitos, 12 vereadores equivalem a 24% (ou 11 vereadores equivalem a 22%).

23) a) No Estado II, o setor relativo às produções de soja e de trigo juntas é representado por um se-micírculo. Logo, corresponde a 50% da produção total de grãos.b) Não, porque o total da produção de cada esta-do não é conhecido.

24) inicialmente teríamos os seguintes percentu-ais relativos aos 23.000 ingressos divididos pelos três grupos:

30% para a torcida organizada local: 0,30x23.000 = 6.90010% para a torcida do time rival: 0,10x23.000 = 2.30060% (que é o restante, pois 100% – 40% = 60%) para os espectadores não filiados às torcidas = 0,60 x 23.000 = 13.800.Note, a propósito, que a soma dá exatamente os 23.000 ingressos, pois: 6.900 + 2.300 + 13.800 = 23.000.

Contudo, em vez dos 23.000 ingressos, foram colocados à venda apenas 20.000, pois foram re-tirados 3.000 ingressos, sendo 1.000 ingressos de cada uma das torcidas, conforme acima especifi-cado. Assim, as novas quantidades de ingressos fica-ram assim distribuídas:

Torcida organizada local: 6.900 - 1.000 = 5.900 Torcida organizada rival: 2.300 - 1.000 = 1.300 Demais espectadores: 13.800 - 1.000 = 12.800SOMA TOTAL: ---------------------------> = 20.000

Agora vem a pergunta: qual o novo percentual destinado aos torcedores não filiados?

Veja: conforme o quadro aí de cima, para sa-ber isso, basta você dividir 12.800 por 20.000 e você terá o percentual. Assim, chamando esse percentual de “p”, teremos; p = 12.800/20.000 = 0,64 ou 64%

Gabarito: 64%.

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25) a) O número de domicílios com condições ade-quadas é:(1/4) x (1 – 0,04) x 1000.000 = 240.000Gabarito: 240.000

b) Para que todos os habitantes tenham uma mo-radia adequada ao final de 10 anos, o número de domicílios deverá ser:(1/4) x 1,1 x 1000.000 = 275.000

Assim, em 10 anos, deverão ser construídas:275.000 – 240.000 = 35.000

Portanto, por ano, deverão ser construídos 3500 domicílios

26) Seja N o total de mercadorias

No 1o lugar, o mercador vendeu 10% de N. Logo, sobraram 90% N.

No 2o lugar, o mercador vendeu 20% de 90% de N; isto é, 18% N. Logo, sobraram 72% N. No 3o lugar, o mercador vendeu 50% de 72% de N; isto é, 36% N. Logo, sobraram 36% N.

No total, ele vendeu

0,1 N + 0,18 N + 0,36 N = 0,64 N = 64% de NSeja N, o número de unidades iniciais. Temos que:0,64 x 9 x N = 57600;Seja P, o preço de cada unidade restante. Te-

mos que:0,36 x P x N = 57600;Portanto, 0,36 x P = 0,64 x 9 → P = (64/36) x 9

→ P = 16,00.

27) Temos 99 homens e 1 mulher na sala. Chamaremos o total de pessoas presentes na

sala de x. Como queremos saber o total de homens, e

só tem uma mulher, iremos representar por x – 1 (total de pessoas – a única mulher).

Logo:x ------ 100% x – 1 ---- 98% 98x = 100x - 100 x= 50

O total de pessoas é 50. Temos 1 mulher.

Portanto, temos 49 homens. Em outras pala-vras, 50 homens precisam sair.

28) => Jo + Mo + Ao = 100.000,00

=> final do 1º ano, os capitais aplicados são acrescidos de 10% de juros:

J1 = 1,1 Jo A1 = 1,1 Ao M1 = 1,1 Mo

=> Antônia passou a ter R$11.000,00 mais o dobro do novo capital de João:

A1 = 11.000 + 2 x J1 A1 = 11.000 + 2 x (1,1 Jo) A1 = 11.000 + 2,2 Jo 1,1 Ao = 11.000 + 2,2 Jo Jo = (1,1 Ao - 11.000) ÷ 2,2

=> final do 2º ano, os capitais aplicados são acrescidos de 10% de juros:

J2 = 1,1 J1 = 1,1 x (1,1 Jo) = 1,21 Jo A2 = 1,1 A1 = 1,1 x (1,1 Ao) = 1,21 Ao M2 = 1,1 M1 = 1,1 x (1,1 Mo) 1,21 Mo

=> o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João:

A2 = M2 + J2 1,21 Ao = 1,21 Mo + 1,21 Jo → Ao = Mo + Jo => na equação: Jo + Mo + Ao = 100.000,00,

substitui-se “Mo + Jo” por “Ao”: Jo + Mo + Ao = 100.000,00 Ao + Ao = 100.000,00 Ao = 50.000,00

=> substituindo-se o valor de “Ao” na equação “Jo = (1,1 Ao - 11.000) ÷ 2,2”

Jo = (1,1 Ao - 11.000) ÷ 2,2 Jo = (1,1 x 50.000 - 11.000) ÷ 2,2 Jo = (55.000 - 11.000) ÷ 2,2

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Jo = 44.000 ÷ 2,2 Jo = 20.000

=> Como “Jo + Mo + Ao = 100.000,00” e “Ao = 50.000” e “Jo = 20.000”

=> Mo = 30.000.

Gabarito: A

29) Para pagamento à vista, temos:200 – 10% de 200 = 200 – 20 = 180;Para pagamento a prazo, temos:100 + 100 = 200,00. Ou seja, temos um acrés-

cimo de 20,00 na segunda parcela em relação ao preço à vista. Logo:

Valor Porcentagem80,00 100%20,00 x80.x = 2000 → x = 2000/80 X = 25%

30) a) Após um mês, o saldo devedor será:10.000 x (1,03) = 10.300. Como ele vai pagar

250,00, então seu saldo devedor após o primeiro pagamento seria:

10.300 – 250 = 10.050

b) Opção IV31) P = 100 + 240/(1,1) + 220/(1,1)² 1,21P = 121 + 264 + 2201,21P = 605 P = 500

32) Cada par é vendido por 30,00 e é com lucro de 20%. Então temos: 120 % ..... 30,00 100% ...... x

x = 3000 / 120 = 25,00 Mensalmente ele lucra : 30,00 - 25,00 = 5, 00 por sapato 2000 pares x 5,00 = 10.000,00 por mês 120.000 / 10.000 = 12 meses.

Gabarito: após 12 meses ele terá conseguido recuperar o investimento inicial que foi de R$ 120.000,00

33) Como se trata de um regime de juros simples, então:

M = 80 + 80 x 0,30 x nM = 80 + 24 x n

Gabarito: B

34) Montante = Capital x (1+(taxa x tempo))

M = C(1+(i x n))

M=208.800,00C = ?i = 2%am = 0,02n = 10m

208.800 = C(1+(0,02 x 10))208.800 = C (1+0,2)208.800 = C x 1,2208.000

1,2 = CC = 174.000Logo: “O valor financiado dos insumos pelo agri-cultor foi de R$ 174.000,00.”

Gabarito: B

35) Sendo x, o valor aplicado no banco A e 6500 – x o valor aplicado no banco B, temos:Juros recebido no banco A: X.(3/100).(5/6).12 = 0,3.X

Juros recebido no banco B: (6500 – X) . (3,5/100) . (3/4) .12 = 0,315 . (6500 – X).Logo:0,3.X + 0,315.(6500 – X) = 2002,500,3.X + 2047,50 – 0,315x = 2005,500,015.X = 45X = 3000.

Gabarito: C

36) Inicialmente, C = xJ = C.i.tJ = x.0,05.1J = 0,05.x

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M = C + JM = 1,05.x

Gastou 1/3.(1,05.x) na construção;2/3.(1,05.x) foi investido:J’ = (5/7).(2/3).(1,05.x).0,06.1J” = (2/7).(2/3).(1,05.x).0,05.1

J’ + J” = 700

Substituindo as expressões acima, temos que:0,03.x + 0,01.x = 7000,04.x = 700X = 70.000/4X = 17.500,00

Somando os algarismos, temos:1 + 7 + 5 + 0 + 0 = 13

Gabarito: D

37) Vamos supor que o preço da mercadoria é igual a “y”.

I) Se pagarmos no ato da compra, temos um desconto de 15%. Logo, pararemos 85% de “y” pela mercadoria, que é igual a 0,85y.

II) O valor de cada parcela é de: y/3 = x. Logo, y = 3x. III) Ao pagar em seis parcelas mensais com ju-

ros simples de 2% ao mês, com pagamento da primeira 30 dias após a com-

pra, estaremos pagando pela mercadoria um valor de:

FV = PV(1 + it) FV = y(1 + 0,02 * 6) FV = 1,12y

Calculando 1,12y - 0,85y, obtemos 0,27y. Mas, y = 3x. Logo, 0,27y = 0,27 * 3x = 0,81x.

Gabarito: C

38) J = jurosC = capital de investimentoi = taxa de jurosn = tempo de aplicação

Pelo enunciado:Cm = yCl = xnm = nl

2im = 3 . iljm = jlx + y = 516

jm = jly . im . nm = x . il . nly . 3 . il . nl

2 = x . il . nl

x = 3y2

x + y = 516

3y2

+ y = 516 (2x)3y + 2y = 1032y = 1032

5 = 206, 4 ∴ x = 3.206,4

2 = 309,6

Portanto, x – y = 103, 2

Gabarito: A

39) Colocar o enunciado: A quantia de investida a juros simples de ao dia, gera, após 60 dias, juros de

J=CitJ=17000 x 0,0001 x 60 = 102Letra A

40) Para Vidal, temos que:

MV = CV.(1 + 0,05.4)MV = 1,20.CV

Para Magdalena, temos:MM = CM.(1 + 3i)

Sendo CV = X, temos que:

X + (1 + 0,30).(0,05.x.3) = 1,195.x

Ou seja, menor que o saldo devedor de Vidal

Gabarito: A41) 1 ano a uma taxa (i) de 2% ao mês.

O capital (C) aplicado então será:

J = C.i.t → 360 = C.2%.1, como a taxa é mensal então temos que

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transformar o período em meses, logo 1 ano = 12 meses e também, 2% = 2/100. Daí,

360 = C.2%.1 → 360 = C.2.12/100 → 360 = 24.C/100 → 360.100 = 24.C →

→ C = 36000/24 = 1500.

Portanto, no Banco A foi aplicado R$ 1.500,00 e no Banco B foi aplicado o restante, R$ 3.500,00.

Assim, o juros do Banco B será de:

J = C.i.T → J = 3500.20%.1, note que a taxa é co-brada por ano então não precisamos converter,

J = 3500.20.1 → J = 70000/100 = 700.

O número 01) está errado, pois foi R$ 3.500,00

O número 02) está correto pois, o montante (M) é

M = C + J → M = 5.000 + 360 + 700 = 6.060

O número 04) também está correto, pois os cálculos foram feitos acima

O número 08) está errado, pois 1.500 de 5.000 representa

1500/5000% = 1500/(5000/100) = 1500/50 = 30, isto é, 30%.

Logo, a resposta é 6 [ (02) + 04) ]

42) C: 1000 reais M: 1280 reais J: 280 reais T: 4 meses ou 1/3 anos

J = CIT/100 280 = 1000 X I X 1/3 / 100 28 = I/3 I = 84%

84% DE TAXA ANUAL

Gabarito: A

43) x - parte investida no fundo de ações y - parte investida na renda fixa z - parte investida na poupança

x + y + z = 10000 0,15.x + 0,1.y + 0,08.z = 1018 z = 2x

x + y + 2x = 10000 → 3x + y = 10000 0,15x + 0,1y + 0,08(2x) = 1018 → 0,31x + 0,1y = 1018

3x + y = 10000 3,1x + y = 10180

0,1x = 180 x = 1800, que rendeu 15% → 0,15.1800 = 270

3.1800 + y = 10000 → y = 4600, que rendeu 10% → 0,1.4600 = 460

z = 10000 – 1800 - 4600 = 3600, que rendeu 8% → 288

Gabarito: A

44) 50.000 à vista

A prazo:50.000 x 30/100 = 15.00047000+15000=62000 reais é o valor do AP

Veremos a taxa:

Capital = 62000

Tempo = 6 meses

Juros = 62000-50000 = 12.000 é o juros;

Taxa=?

J = C.i.t

12000 = 62000 x 6/100

i=12000/3720

i=3,22%

Um ano depois, Denise vende o apartamen-to o lucro foi de 20% sobre o preço de venda à prazo.

Isso equivale a qual porcentagem do preço (R$50000,00) que pagou avista.

62000 x 20/100 = 12.400

12.400 + 62000 = 74.400

74.400 – 50000 = 24400

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Reais porcentagem50000 100

24400 Y

50000.Y = 100x24400

Y = 2440000/50000

Y = 48,8%

45) De agosto de 2004 até agosto de 2005 temos 12 meses. De agosto de 2005 até dezembro de 2005 temos mais 5 meses. Portanto temos aí um total de 17 meses.

A fórmula para juros simples é: J = C .i . n Onde:J = Juros produzidos no período C = Capital inicial = 12.000 i = taxa de juros = 2 % a.m = 2/100 = 0,02 (na

fórmula entra dividido por 100, pois é um percen-tual)

n = prazo = 17 meses J = 12.000 . 0,02 . 17 J = 4.080,00 Estes R$ 4.080,00 são os juros gerados nesse pe-

ríodo, acrescentando a isso os R$ 12.000,00 do ca-pital inicial temos um saldo devedor total de R$ 16.080,00.

Gabarito: C

46) Primeiro vamos calcular o valor da dívida ao final de 6 meses, à juros compostos:

V = V0 (1 + i) t , onde V0 = 2000, i = 0,06 e t = 6. Substituindo, temos:

V = 2000 (1 + 0,06)6 → V = 2000.(1,06)6 → V = 2000.1,4185 → V = R$ 2837,00.

Agora vamos ver quanto o usuário pagou, de-pois de renegociar a dívida, à juros simples de 5% ao mês.

Podemos usar a fórmula V = V0 (1 + i.t), onde V0 = 2000, i = 0,05 e t = 6. Substituindo, temos:

V = 2000 (1 + 0,06.6) → V = 2000.(1,3) → V = R$ 2600,00.

Logo, o juro pago foi de 2600 – 2000 = R$ 600,00, com um desconto de 2837 – 2600 = R$ 237,00.

47) Analisando cada uma das 4 opções ofereci-das, vem: 1) À vista: 900 - 5% = 900 - 45 = 855 → R$ 855 - R$ 855 = 0 (NADA) 2) M = 855(1,01)⁴ = 855.1,040604 = R$ 889,72 → R$889,72 - R$900,00 = R$ - 10,28 DV 3) 855.1,01= 863,55 → 863,55 – 225 = 638,55 → 638,55.1,01 = 644,94 → 644,94 – 225 = 419,94 419,94.1,01 = 424,13 → 424,13 – 225 = 199,13 → 199,13.1,01 = 201,12 → 201,12-225 = R$ - 23,88 DV 4) 855.(1,02)³ = 855.1,0612 = 907,33 → 907,33 - 900,00 = + R$ 7,33 (LUCRO)

Gabarito: C

48) M = C. (1 + i ) t

64 = 1. (1 + i)12

1,41 = 1 + iI = 0,41I = 41% (aproximadamente)

Gabarito: A 49) Aplicou R$ 10 000,00 a uma taxa de juros compostos igual a i.Em reais, após um ano o montante da aplicação é 10 000.(1 + i).Sacando 7 000 reais, permanece aplicado10 000.(1 + i) – 7 000 = 3 000 + 10 000.i reais.No ano seguinte, o montante dessa aplicação é (3000 + 10000i).(1 + i) = 6000Assim, (3 + 10i).(1 + i) = 6 10i2 + 13i – 3 = 0 → i = 0, 2, pois i > 0 Desta forma, (4i – 1)2 = (4.0,2 – 1)2 = 0,04.

Gabarito: D

50) M1 = 2000.(1,03)2 = 2121,8M2 = 1200.(1,02)1 = 1224Logo:M1 + M2 = 2121,8 + 1224 = 3345,8M1 – M2 = 2121,8 – 1224 = 897,8

Gabarito: C51) a) FALSA.M = Cx(1 + i)n = 1000 x (1 + 0,05) = 1050.b) FALSA.

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J = Cx(1 +0,05)10 – C = 1,63C– C = 0,63C > 0,5C.c) FALSA.M = Cx(1 + i)n = Cx(1+0,05)n = C x 1,05n.d) FALSA.A = 2000 – 0,02 x 2000 x 3 = 2000 – 360 = 16400.e) VERDADEIRA.A = N – 0,02N = 0,98N

Gabarito: E

52) a) Na liquidação, devemos ter 1,5.C (1 – i) = 1,2.C, sendo i o desconto a ser concedido.Logo, 1 – i = 1,2/1,5 ⇔ 1 – i = 0,8 ⇔ i = 0,2 = 20% b) Após dois meses, o comprador deverá pagar pela compra o valor V = 1,5.c (1 + 0,1)2 ⇔ V = 1,815c, o que indica um lucro de 81,5% sobre o preço de custo.

53) Capital: Ctaxa = 4/100= 0.04t = 2 mesesMontante = 4.189,50

M= C.(1 + i)t

4.189,50 = C.(1 + 0.04)2

4.189,50 = C.(1.04)2

4,189,50 = C.1,08164.189,50/1,0816 = C

C = 3.873,42

54) Empréstimo: R$ 12.000,00 juros compostos: 5% ao mês. 2 meses pagou: R$ 7.230,00

Após dois meses, a dívida será de:12.000 x (1,05)2 = R$ 13.230

A pessoa paga: R$ 7.230,00. Fica um saldo de-vedor de R$ 6.000,00

(13.230 - 7.230 = 6.000)

Dois meses depois: 6.000 x (1,05)2 = R$ 6.615

O valor do segundo pagamento é: R$ 6.615,00

Gabarito: D

55) No valor à vista, não temos juros. Portanto, para o próximo mês, temos:

61 – 25 = 36,00. E o valor acumulado ao final deste mês seria:

36. (1 + i). Pagando o valor de 25, temos:36 + 36.i – 25 = 11 + 36.iE ao final deste mês, o valor acumulado seria:(11 + 36.i).(1 + i) = 2536.i2 + 47.i – 14 = 0∆ = 472 – 4.36. (- 14) = 4225I = 1/4 = 0,25I = 25%

Gabarito: B

56) M = C.( 1 + i )t

13310 = C.(1,1)3

C = 13310/1,331C = 10000

1 + i = x8000 = (6000/x) + (9000/x2)8000.x2 = 6000.x + 90008.x2 – 6.x – 9 = 0∆ = (-6)2 – 4.8.(-9) = 36 + 288 = 324X = 24/16 = 1,50

Logo:1 + i = 1,50I = 0,50 = 50%

57) M = 15000.(1 + 0,20)3

M = 15.1728M = 25920,00

Gabarito: B

Desafiando:58) Pessoas que entraram de graça no início:

700.(30/100) = 210 pessoas

Vamos equacionar. Agora, vamos chamar o número de pessoas que entram gratuitamente de “x”. Logo,

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nº total de pessoas = 700 + x nº de gratuitos = 210 + x

nº de gratuitos = 1/2 nº total de pessoas

(210 + x) / (700 + x) = 1/2

x = 280 pessoas

Gabarito: C

59) Chamaremos o preço por kWh de x e o consu-mo de energia, em kWh, de y.

O preço de Y kWh será dado por x.y. (y kWh vezes x reais por kWh).

Reajuste de 16% = 100% + 16% = 116% = mul-tiplicar por 1,16

20% a mais = 100% + 20% = 120% = multiplicar por 1,20

Excedente = Consumo (y) - limite = y - 320 50% a mais sobre o excesso = preço do consu-

mo + 50% do preço do excedente = x.y + 0.5.x.(y - 320).

Colocando tudo numa equação:

1,2.x.y = 1,16. (x.y + 0,5.x.(y - 320))

O lado esquerdo é 20% a mais do que teria sido o preço sem o limite e o reajuste, e o lado di-reito é o preço do consumo a mais com o limite e o reajuste. Pelo enunciado, eles têm de ser iguais, certo? Traduzindo a equação:

“120% do preço é igual a 116% de: preço mais 50% sobre o excedente do limite.”

Certo. Agora é só resolver: 1,2.x.y = 1,16.(x.y + 0,5.x.(y - 320)) => 1,2.x.y = 1,16.(x.y + ((x.(y - 320)) / 2)) => 1,2.x.y = 1,16.(x.y + ((x.y – 320.x) / 2)) => 1,2.x.y = 1,16.x.y + 0,58.x.y – 185,6.x => 1,2.x.y = 1,74.x.y – 185,6.x => divide tudo por x => 1,2.y = 1,74.y – 185,6 => 185,6 = 0,54.y => 343,7037037037... = y

O consumo de energia elétrica foi de aproxi-madamente 343 kWh. =>

Gabarito: B

60) Em janeiro, suponhamos que o total de ven-das tenha sido de 200n ovos, sendo 100n de ovos brancos e 100n de ovos vermelhos. Como reduzir 10% corresponde a multiplicar por 0,9 e aumen-tar 20% corresponde a multiplicar por 1,2, pode--se resumir a evolução da quantidade de ovos vendidos a cada mês conforme a tabela abaixo:

Logo, o percentual de vendas dos ovos verme-lhos vendidos em março corresponde a:

144n225n = 16

25 = 64100 = 64%

Gabarito: A61) (1 + x/100)2 = 1 + 0,21(1 + x/100)2 = 1,211 + x/100 = 1,1x/100 = 0,10x = 10%

Gabarito: A

62) Como se trata de dois aumentos sucessivos, te-mos:

1,38.C = 1,15.(1 + i).C1,38 = 1,15 + 1,15.i1,15.i = 1,38 – 1,15I = 0,23/1,15I = 0,20I = 20%

Gabarito: C

63) Como se trata de um aumento de 30% segui-do de um desconto de 20%, temos:

(1 + 0,30) x (1 – 0,20) x C = 1,30 x 0,80 x C = 1,04 x C

Ou seja: C + 0,04.C (aumento de 4%).

Gabarito: D

64) Sendo X, o valor encontrado na vitrine sem o desconto e C o valor antes do reajuste de aumen-to, temos que:

X = C.(1 + i)0,80.X = C0,80.X = C.(1 + i).0,80C = C.(1 + i).0,801 + i = 1/0,801 + i = 1,25I = 1,25 – 1I = 0,25I = 25%

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RAZÕES E PROPORÇÕES: COMO OPERAR GRANDEZAS PROPORCIONAIS E CASOS PRÁTICOS DE RAZÕES E PROPORÇÕES?

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Razões e proporções: como operar grandezas propor-cionais e casos práticos de razões e proporções?

Objetivos de aprendizagem:• Revisar o processo de fatoração de um

número e os critérios de divisibilidade; • Definir o significado de razões e proporções;

• Utilizar as noções de razão e proporção para apresentar o conceito de escala;

• Estabelecer relações entre grandezas di-retamente ou inversamente proporcionais;

• Apresentar e aplicar as ferramentas da regra de três, simples e composta, em proble-mas.

Praticando 1) x = parte do Hagar y = parte do acompanhante

x = 3y x + y =28

4y = 28

y = 7

x = 3.7 = 21

Gabarito: D

2) De acordo com o texto temos:45 bilhões de anos ----------------- 45 anos15 bilhões de anos ----------------- x anosx = 150 anosGabarito: B

3) Cálculo do gasto com gasolina para rodar 10 km. Comparando com o volume V, necessário para que rodem 10 km com álcool, temos:Volume QuilômetrosV _______________ XV’______________ 10

Logo, o valor em reais é igual a Pg (sendo Pg o preço de um litro de gasolina).Ainda, do enunciado, para optar pelo álcool, de-vemos ter:

10x Pg > V. Pg. 0,7 → x < 1010

0,7

Portanto, com igual volume de gasolina, o veí-culo rodaria no máximo cerca de 14km.

Gabarito: C

4) 2+3+5 = 10

10...70 2......x

x=14

10...70 3...y

y = 21

10.....70 5.....z

z=35

PORTANTO A SOMA ENTRE A MENOR E A MAIOR É

35+14 = 49

Gabarito: B

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5) Dividiremos 5600 em 2 partes A e B Sr. Edson A/(1/5) = K A= K/5 Sr. Jose B/(1/3)= k B= k/3 somando k/5+k/3 = 5600; mmc = 15 3k+5k=84000 8k= 84000 k= 84000/8 k= 10500 Sr. Edson pagou k/5 = 10500/5= 2100 Sr. Jose k/3= 10500/3 = 3500

Gabarito: B

6) Profundidade (m) Pressão (atm) 100 10,4 D P P.100 = 10,4.D → P = 0,104.DGabarito: P = 0,104.D

7)

Operários h/d dias comprimento (m)

12 ↓ 10 ↓ 6 ↑ 20 ↑15 x 8 x 30

6x = 20

30 . 810 . 15

12Resolvendo esta equação, obtemos:

X = 9 diasGabarito: 9 dias.

8) Homens Dias 14 ↑ 45 ↓ 18 x

x45 = 14

18 → x = 35

Gabarito: 35 dias.

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9) Pulseiras Horas 15 ↑ 5 ↑ x 3

x15 = 3

5 → x = 9

Gabarito: 9 pulseiras. Letra A.

10) Lembrando que: 1 m = 100 cm, temos:x

15 = 2142000 = 1

2000

Gabarito: E

11) A quantidade de ouro da aliança de 15 quila-tes é 15

24 . 4 = 6024 = 5

2

Se acrescentamos y gramas de ouro o ouro é 52 + x e o total seria 4 + x

Mas se é de 18 quilates: 1824 .(4+y) = 5

2 + y . Ou seja :

18 (4 + y) = 60 + 24y 72 + 18y = 60 + 24y 6y = 12 y = 2.

Gabarito: C

12) A escala nesse caso específico significa que para cada 1cm da medida do desenho há uma correspondência a 150cm = 1,5m da medida real.

Fazendo essa correspondência, temos:Escala real .................... Desenho150........................................13600 ....................................xComo as grandezas são diretamente propor-

cionais basta multiplicar em “cruz”.

150x = 3600*1150x = 3600

Dividindo a equação por 150 temos:150x/150 = 3600/150X = 24 cm

Escala real .................... Desenho150........................................12850 ....................................y

Como as grandezas são diretamente propor-cionais basta multiplicar em “cruz”.

150x = 2850.1150y = 2850Dividindo a equação por 150 temos:150y/150 = 28500/150Y = 19 cmLogo, tirando 1cm de cada borda, serão 2cm

de cada lado. Temos que somar 2 centímetros a cada di-

mensão encontrada na resolução.As dimensões são: 21 cm x 26 cm

Gabarito: D

13) Em uma escala 1:100 (um para cem) significa que cada 1 cm nessa escala, corresponde a 100 cm reais.

Ou seja, nessa escala, cada 1 cm, vale 1 m Se a piscina tem 50m de comprimento e 25m

de largura, então suas dimensões seriam 50x25 cm. Ou seja: 50 cm de comprimento e 25 cm de largura.

Gabarito: C

14) total de laranjas: j + c + p = x

primeira parte da viagem:j6

= c5

= p4

= k

então:j = 6kc = 5kp = 4k

logo:x = 6k + 5k + 4k = 15k ⇒ k =

x15

portanto (quantidade carregada na primeira parte da viagem):j = 6x

15

c = 5x15

p = 4x15

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segunda parte da viagem:j4

= c4

= p2

= k

então:j = 4kc = 4kp = 2k

logo:x = 4k + 4k + 2k = 10k ⇒ k =

x10

portanto (quantidade carregada na segunda parte da viagem):j = 4x

10

c = 4x10

p = 2x10

O enunciado diz que alguém carregou 50 la-ranjas a mais na segunda parte da viagem. Então, comparando as quantidades carregadas na pri-meira e na segunda parte da viagem constatare-mos que:João: 4x

10 = 6x

15

Carlos: 4x10

> 5x15

Paulo: 2x10

< 4x15

Com isso, sabemos que Carlos carregou 50 laranjas a mais na segunda parte da viagem.

logo:

4x10 – 5x

15 = 50 ⇒ x = 750

portanto:Paulo e Carlos carregaram: 4x

10 = 300Paulo carregou: 2x

10 = 150

Gabarito: B

15) Regra de três simples: 5 gotas ----- 2 Kg 30 gotas ---- x x = 12 kg

Gabarito: A.

16) 42 km x 10 = 420 km = 42 000 000 cm

A escala é 60cm : 42 000 000 ⇔ 1 : 700 000Gabarito: D

17) Administração:Total: 180Região A: 120Região B: 50Região C: 10

Economia:Total: 120Região A: 90Região B: 20Região C: 10

Logo: Total de candidatos: 180 + 120 = 300Região A: 120 + 90 = 210 → 210/300 = 7/10Região B: 50 + 20 = 70 → 70/300 = 7/30Região C: 10 + 10 = 20 → 20/300 = 1/15

Gabarito: D

18) Sendo R, a quantidade de rapazes e M, a quan-tidade de moças, temos que:Dos alunos que compareceram, temos que:(1/3).M = (2/9).R → {M+R=3000 → 5M = 6000 → M = 1200, logo: R = 1800 3M – 2R = 0

Gabarito: 1800 rapazes.

19) Se x e y são valores de duas grandezas inver-samente proporcionais, o produto dos números x e y é constante. Uma forma de descrever essa re-lação entre as grandezas está indicada na opção B:

y = 5x

x . y = 5

Gabarito: B

20) a) k=total/soma diretak=1280/8=5=7k=1280/20

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k=64(fator)1º 64.8=5122º 64.5=3203º 64.7=448Totalizando=1280 b) Inversamentek=total/soma indiretak=1280/1/5+1/2+1/10k=1280/1/5+1/2+1/10|10k=1280/8/10k=160.10k=1600(fator)1º 1600.1/5=3202º 1600.1/2=8003º 1600.1/10=160totalizando=1280

21) Para IUV maior do que 8, temos que o TES é no máximo de 20 minutos. Nestas condições o TPD deve ser superior a 20 minutos.

Vamos considerar TPD = 20 minutos. Sendo TPP = 2 horas = 120 minutos, vem:

FPS = TPP/TPD = 120minutos/20minutos => FPS = 6

Gabarito: B

22) 30% de 6000 = (30/100).6000 = 1800 litros de álcool, logo: 4200 litros de gasolina.

Porcentagem(%) Litros 24 1800100 X

24.x = 180000 → x = 180000/24 → x = 7500; logo: A quantidade de gasolina deve ser igual a 7500 – 1800 = 5700 litros → 5700 – 4200 = 1500 litros de gasolina ainda devem ser adicionados.

Gabarito: D

Aprofundando:23) A vazão (velocidade de escoamento) do tan-que é dada por:

Q = ∆V / ∆t = (volume final - volume inicial) / (tem-po final - tempo inicial) Q = (1760 - 2000) / (14 - 8) Q = - 240 / 6 = - 40 litros / hora

Para que o tanque fique reduzido à metade do volume inicial, isto é, 1000 litros, isto ocorre no momento T dado por - 40 = (1000 - 1760) / (T - 14) -40 = - 760 / (T - 14) 1 = 19 / (T - 14) T - 14 = 19 T = 33 horas

Como não existe 33 horas, deduzimos que passou da meia-noite, isto é, 33 = 24 + 9. Então, essas “33 horas” correspondem às 9:00 da manhã do outro dia.

Gabarito: E

24) 1 parte de suco + 3 de água = 24 litros. 24 / 4 (são quatro partes) = 6 Logo, 6 litros de suco e 18 de água.

Se pegarmos esses 6 litros e considerarmos ele como duas partes, cada parte vai ter 3 litros, né? Então, duas partes de suco (6 litros), para cinco de água (3 * 5 = 15 litros).

6 + 15 = 21 litros de refresco!

Gabarito: C

25) Sendo x a quantidade total de degraus, temos:

(x – 8) ----------------------------- 50(x – 12) ---------------------------- 40

Resolvendo a regra de três simples acima, temos:50x – 40x = 600 – 320 → 10x = 280 → x = 28

Gabarito: C

26) Sendo f o fator pelo qual os valores incorre-tos deveriam ser multiplicados, temos: 18,20 .f = 12,80 → f = 12,80/18,20 → f ≅ 0,70.

Gabarito: C

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27) Retirou-se litros de vinho e colocou-se litros d’água.vinho → 100 - xágua → xRetirou-se litros da mistura. Veja que a quanti-dade retirada de cada substância varia de acordo com a porcentagem encontrada no recipiente. Ou seja, retirou-se :vinho → (100x – x2)/100água → x2/100Adicionam-se litros de água.água → x

Ou seja, o problema diz que:

x – (x2/100) + x = 36x = 20.

28) se :

40 litros ------------------- 510km 52 litros ------------------- x

x = 52x510/40 = 663km

Gabarito: B

29) A solução mais direta é usar uma regra de três simples. A praça quadrada tem área igual a 100 m x 100 m = 10.000 m². Montando a regra de três, temos:10.000 m² : 0,08 gx (área da cidade) : 40 g Onde x = 5.000.000 m².

Gabarito: E

30) Vamos supor que a quantidade inicial de pombos seja igual a P, logo:

Kg/semana Pombos 3,5 P x 3.P

Resolvendo a regra de três simples acima, te-mos que:

x.P = 3,5. 3.P → x = 3,5.3 → x = 10,5 kg

Gabarito: C

31) 0,2a + 0,4b + c = 2,6

1,8a + 2,8b + 6,8c = Valor pago

Situações possíveis:

a = 6, b = 1, c = 1 → V = 1,8.6 + 2,8.1 + 6,8.1 = R$ 20,40

a = 4, b = 2, c = 1 → V = 1,8.4 + 2,8.2 + 6,8.1 = R$ 19,60

a = 2, b = 4, c = 1 → V = 1,8.2 + 2,8.4 + 6,8.1 = R$ 21,60

a = 1, b = 1, c = 2 → V = 1,8.1 + 2,8.1 + 6,8.2 = R$ 18,20 → menor valor

Gabarito: 2 embalagens de 1kg, 1 embalagem de 400g e 1 embalagem de 200g

32) Tóquio: 10 minutos → 1 sanduiche60 minutos → 6 sanduiches . Sanduiches comprados em uma hora: 1100/6

São Paulo: x minutos → 1 sanduiche@60 minutos → T sanduiches)

T= 60x sanduiches. Sanduiches comprados em

uma hora: 260/(60/x). Logo:1100/6 = 260/(60/x) → (1100.60)/x = 6.260 → 11000/x = 260 → x = 11000/26 → x ≅ 42

Gabarito: C

33) Em uma dose de molho, temos:2 colheres de azeite = 2x15 mL = 30 mL. Em 1,5L = 1500 mL = 50x30 mL, logo, seriam necessárias 50 colheres de azeite.

Gabarito: C

34) O gasto diário da proposta (em reais) é de 4 x 1000 = 4000 com as máquinas, 12 x 10 = 120 com os trabalhadores trabalhando 6 horas por dia cada, um gasto diário total de 4120. A produ-ção diária deve ser de 180 : 6 =30 hectares por dia, enquanto que a produção da proposta é de 20 hectares. O gasto diário permitido com o gas-to total máximo pretendido pelo fazendeiro é de 25.000 : 6 = 4166,66 reais. Assim, o máximo de aumento permitido no gasto é de 4166,66 – 4120

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= 46,66 reais. Logo não é possível fornecer má-quinas a mais e apenas quatro trabalhadores a mais. Aumentando a jornada de 6 para 9 horas diárias (aumento de 3 horas em total de 6 cor-responde a 50% de aumento), a produção diária sofreria um aumento de 50%, um aumento de 0,5 x 20 = 10 hectares por dia, totalizando, os 30 hec-tares diários necessários.

Gabarito: D

35) Se a massa m de banha é diretamente pro-porcional ao volume v de combustível, então m = k.v, em que k é a constante de proporcionalidade. Assim: 14x106 = kx112x106 → k = 14/112 = 1/8.

Portanto para produzir 48 milhões de litros de biodiesel serão necessários m’ = (1/8)x48x106 = 6 milhões de quilogramas de banha.

Gabarito: A

36) O valor de 0,256 kg de peito de peru corres-ponde a R$ 12,80. Ao dividir 12,80 por 0,256, ob-tém-se o valor de um quilograma: Gabarito: D

37) Cada galão contém 3,8 L de gasolina, logo o total de combustível gasto nessa viagem é igual a 50 x 3,8 = 190 L. O custo desses 190 L correspondeu a 152 dólares, então cada litro custou 152

90 = 0,8 dólar. Se cada dólar valia 1,60 reais, na semana da via-gem, o preço de 1 L de gasolina, em reais, era de 1,6 x 0,8 = 1,28.

Gabarito: A

38) Esse é um cálculo envolvendo grandezas in-versamente proporcionais, pois quanto mais vo-luntários menos horas serão gastas, então fica: 4 ------------------- 75 12 ----------------- X 12X = 300 X = 25

Logo com 12 voluntários serão gastos 25 horas!

39) Comprimento / Profundidade/Operários/ Dias50m ↑ 2m ↑ 10 ↑ 6 ↑ 80m 3m 16 x

6/x = 5/8 . 2/3 . 8/56/x = 80/12080x = 720 x = 9 dias

Gabarito: 9 dias.

40) Sabemos que em uma hora temos 3600 segundos.

Fazendo uma regra de 3 simples teremos:

7 vezes __________ 20 segundosN ___________ 3600 segundos

N = 1260 vezes.

Se cada gota tem volume de 0,2 mL teremos:1 gota ________ 0,2ml1260 gotas_____ V

V = 252 ml

41) Solução. Considerando T a tarefa a ser realizada observamos que nos 13 dias trabalhados foram completados somente 13T/20 da tarefa. Nos 7 dias restantes será realizada a fração 7T/20 restante.

Construindo a tabela e analisando as propor-cionalidades das grandezas, temos:

Número de operários15 ↓10

Horas/dia 8 ↓

7

Dias trabal. 13 ↑ x

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Obra const.13T/20 ↑

7T/20

13/x = (10/15).(7/8).(13/7)13/x = (2/3).(13/8)X = 12

Gabarito: 12 dias.

Desafiando:42) 9 Kcal / 1 g = x Kcal / 6000 gx = 54000 Kcal

12 Kcal / 1 min = 54000 Kcal / y miny = 4500 min = 4,5.103 min

Gabarito: B

43) Seja o filho A o mais novo e seja o filho B o mais velho.

I = idade

IB = IA + 4 (1)

H = herança

HA/IA = HB/IB = K

K = constante de proporcionalidade

(Considerei como proporcionalidade direta = razão constante.)

HA = 0,75HB

0,75HB/IA = HB/IB = K

0,75 = K.IA e 1 = K.IB (substitui em 1)

1/K = 0,75/K+ 4

K = 1/16

IB = 1/(1/16) = 16

IA = 0,75/(1/16) = 12

O ano em que o testamento poderá ser cumprido é o ano de nascimento do irmão mais velho mais a sua idade no momento do repasse da herança. 2000 + 16 = 2016.

Gabarito: D

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44) 60 palitos / 12 palmos = 5 palitos/palmo

5 palmos x 5 palitos/palmo = 25 palitos de largura.

Gabarito: 25 palitos.

45) 30 palmos de João --------27 palmos de Alfredo 10 palmos de João -------- X Palmos de Alfredo

Realizando ao cálculos, temos:30x = 27.10 X = 27.(10/30) X = 270/30 X = 9

Gabarito: C

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PLANA: COMO ESTUDAR ÂNGULOS, RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS?

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Plana: como estudar ângu-los, retas e circunferências?

Objetivos de aprendizagem:• Compreender o conceito de ângulo e

a relação entre duas retas paralelas e uma transversal;

• Identificar, em uma circunferência, seu comprimento, suas relações métricas e as relações entre ângulos e arcos;

• Reconhecer os casos de semelhança de triângulos (AA, LAL, LLL e LAA);

• Determinar as posições relativas entre ponto/reta e a circunferência e entre duas circunferências;

• Resolver problemas envolvendo ângu-los, tanto associados às retas quanto às cir-cunferências, teorema de Tales e suas aplica-ções, semelhança de triângulos e exercícios de circunferência.

Praticando: 1) X + 2.(90 – X) = 140 => X – 2X + 180 = 140 => X = 40o

Gabarito: 40o

2) Como a soma de dois ângulos foi igual a 72o, então os ângulos que foram somados são ângulos agudos. Como neste sistema angular, os ângulos agudos são congruentes, então cada ângulo agudo será igual a 36o. Consequentemente, o valor de um ângulo obtuso será igual a 180o – 36o = 144o

Gabarito: B

3) Sabemos que: B + A = 180o e B = 3ª, logo: 3A + A = 180o => 4A = 180o = > A = 45o Logo: B = 3.45o => B = 135o

B – A = 135o – 45o B – A = 90o

Gabarito: A

4) 2X – 10 = X + 20 => X = 30o

Logo: X + 20 = 30 + 20 = 50o

Y + 50o = 180o => Y = 130o

Gabarito: 130o

5) a) 2α + 3α = 180o => α = 180o/5 => α = 36o

b) 2α + 10o = α + 20o => α = 10o

c) 3α + α = 80o => α = 80o/4 = > α = 20o

6) Sendo X, Y e Z os valores das dimensões dos terrenos para a rua B, opostos aos valores 50, 30 e 20 respectivamente.

120/90 = X/50 => X = 50.(120/90) = 200/3 m

120/90 = Y/30 => Y = 30.(120/90) = 40 m

120/90 = Z/20 => Z = 20.(120/90) = 80/3 m

7) a)

1,5m12,3m

x

4m

b) (X + 12,3)/12,3 = 4/1,5 (10X + 123)/123 = 40/15 10X + 123 = (8/3).123 10X = 328 – 123 = 205 X = 205/10 X = 20,5m 8) Os triângulos MQH e MNP são semelhantes, logo:

12/20 = X/8 => X = (3/5).8X = 24/5 X = 4,8 cm

Gabarito: C

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9) Os dois triângulos da figura são semelhantes, logo:(R – 8)/4 = R/2R => R – 8 = (1/2).4 => R = 10mLogo: D = 2R = 20m

Gabarito: E

10) Somando os ângulos ABC e ADC, temos que: ABC + ADC = 180o => 150o + ADC = 180o

ADC = 30o. Como: ADC + 3X = 180o => 3X = 180o – 30o => 3X = 150o => X = 50o

Gabarito: D

11) 2α + 64o = 180o => 2α = 116o => α = 116o/2 => α = 58o

Gabarito: E

12) Ligando os centros das circunferências e de-senhando o menor caminho, obtemos uma figu-ra parecida com a figura a seguir:

2

48

22Y

XX

Y2

8

Aplicando teorema de Pitágoras no triângu-lo retângulo maior, obtemos X = 8 cm, logo:

8/10 = Y/8 => Y = (4/5).8 => Y = 32/5 = 6,4 cm, Logo:O caminho mais curto será: 2.Y + 2 + 2 =

2.6,4 + 2 +2 = 16,8 cm

13) Os triângulos abaixo são semelhantes na razão de 3/5, logo: PO2 = (3/5).R

PB

AO2O2

5RC3

R

D

Como: O2C = R, temos que: R2 = (PC)2 + (PO2)2 => PC = (4/5).RComo PC = BC/2 ou BC = 2PC, então: BC = (8/5).R

Aprofundando:14) X = (90o – X) + 48o => 2X = 90o + 48o => 2X = 138o

X = 138o/2 => X = 69o Logo, o suplemento de X será: 180o – X = 180o – 69o = 111o

15) De acordo com a figura, temos:x + 30o = 80o => X = 50o

16) De acordo com a figura, temo que: β = 60o, pois β + 120o = 180o

α = 15o + 90o - β => α = 15o + 90o – 60o

α = 45o

Logo: 3α + β = 3.45o + 60o = 135o + 60o = 195o

Gabarito: B

17) a) De acordo com a figura, temos que:90o = X + 65o => X = 90o – 65o => X = 25o

b) De acordo com afigura, temos que:X = 30o + 20o = 50o

18) Traçando uma reta paralela as retas r e s sobre o ângulo de 120o, temos que:120o = 52o + 3α => 3α = 120o – 52o => 3α = 68o => α = 68o/3α ≅ 22o 40’

Gabarito: E

19) De acordo com a figura, temos que:X + 32o + 115o = 180o => X = 180o – 115o – 32o => X = 33o

Gabarito: B

20) De acordo com a figura, temos que:3 = 2 + 1, logo:3 = 45o + 55o => 3 = 100o

Gabarito: E

21) De acordo com a figura, temos que:90o = α + 50o => α = 90o – 50o => α = 40o

Gabarito: A

EM1M

AT08


28

22) (X + 10)/(X – 18) = (X + 20)/(X – 16) => (X + 10).(X – 16) = (X + 20).(X – 18)

X2 – 6X – 160 = X2 + 2X – 360 => 2X + 6X = 200 => 8X = 200 => X = 200/8 => X = 25

23) De acordo com a figura, temos que:Sendo R, o rio da nave;2R/16 = 30/80 (semelhança de triângulos)R/8 = 3/8 => R = 3m

Gabarito: A

24) De acordo com as informações do enunciado, os dois triângulos são semelhantes, logo, terão to-dos os seus ângulos internos congruentes.

Gabarito: C

25)

xx

F

CB

4m4m

A

D

2m

28m Y

10,5mE G

Temos que: Aplicando semelhança de tri-ângulos entre os triângulos ABC e DEC:4/2 = (28 + Y) / (10,5 + Y) => 28 + Y = 21 + 2Y => Y = 7m

Agora, fazendo semelhança entre os triângulos ABC e FGC, temos que:X/4 = Y/(28 + Y) => X/4 = 7/35 => X/4 = 1/5 => X = 4/5 = 0,80m;Logo: X = 80 cm

26) De acordo com a figura, temos que:Sendo X, o lado do quadrado:X/20 = (12 – X)/12 => X/5 = (12 – X)/3 => 3X = 60 – 5X => 8X = 60 => X = 60/8X = 7,5 cm

27) Sendo X, o tamanho do para–raio, temos que:

8m8m

46,2m

61,6m

69,6m

xx

X/46,2 = 8/61,6 = 61,6X = 8.46,2 => X = 369,6/61,6 =>X = 6m

Gabarito: D

28) De acordo com a figura, temos que: 3X + 60o = 180o => X = 120o/3 => X = 40o

Gabarito: C

29) AMB = (AB – CD)/2 = 30o

Gabarito: E

30) 2α + 130o + 180o = 360o => 2α = 50o => α = 25o

Gabarito: A

31) De acordo com a figura, temos que: BN = X; NA = 8 – X; CM = 7 – X = CP; AP = 2 + X Como: AN = AP, então: 8 – X = 2 + X => 2X = 10 => X = 5 cm.

Gabarito: B

32) De acordo com a figura, temos que:X = 1/2.(80o/2) = 80o/4 => X = 20o

Gabarito: C

33) De acordo com a figura, temos que:ABC = (70o + 180o)/2 = 250o/2 = 125o

Gabarito: A

EM1M

AT08


29

34) AEC = (BD - AC)/2 => 80o = (BD – 100)/2 => BD = 160o + 100o

BD = 260o

35) De acordo com a figura, temos que:12o = (68o – 2Y)/2 => 24o = 68o – 2Y => 2Y = 44o => Y =22o

36) De acordo com o triângulo isósceles formado, temos que:2α + 160o = 180o => 2α = 20o => α = 10o

Gabarito: B

37) De acordo com a figura e com as informações contidas no enunciado da questão, temos que:α = 60o (ângulo interno de um triângulo equilátero)β = α/2 = 30o

Logo: α + β = 90o = π/2

Gabarito: B

38) Como a reta t é paralela a reta AR, então: TAR = X , logo: De acordo com a figura, temos que:2X + 2X + 40o = 180o => 4X = 140o => X = 140o/4 => X = 35o

Gabarito: B

39) De acordo com a figura, construímos o triângulo retângulo abaixo:

x

5

30o

sen (30o) = 5/X => 1/2 = 5/X => X = 5.2 => X = 10 cmSendo R = X + r => R = 10 + 5 = 15 cm

40) Aplicando a definição de potência de um pon-to, temos que:AE x AD = AB x AC => 10 x 6 = 7 x AC => AC = 60/7;Como: BC = AC – AB => BC = 60/7 – 7 = (60 – 49)/7 => BC =11/7

Gabarito: E

41) PB = 2.PA => PB2 = PC x PA Sendo: PC = PA + 2R = PA + 18, temos que:(2.PA)2 = (PA + 18).PA => 4.PA2 = PA2 + 18.PA => 3.PA2 – 18.PA = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos: PA = 0 ou PA = 6m

Gabarito: C

42) Da figura e da definição da potência de um ponto, temos que:PT2 = PA x PB, onde: PB = PA + 2RSendo PT = 8m e PB = 16m, temos:82 = PA x 16 => PA = 64/16 => PA = 4mLogo: 16 = 4 + 2R => 2R = 12 => R = 6mCom isso, a área do Círculo de raio R, será: Ac = π.R2

Ac = π.62 => Ac = 36π cm2

Gabarito: E

43) De acordo com a figura, temos que:82 = 2X.X => X2 = 64/2 => X = 32 => X = 4 2

Gabarito: E

44) De acordo com a figura, temos que:X.(X + 2r) = 62 => X2 + X.2r = 36; sendo r = 2,5cm, temos que:X2 + 5X – 36 = 0 (resolvendo esta equação do 2o grau), temos que:X = 4 ou X = - 9. Como X é uma medida, logo: X = 4 cm

Gabarito: E

EM1M

AT08


30

45) De acordo com a figura, temos que:AC x AB = AD x (AD + 2R), onde R, é o raio da cir-cunferência.Logo: 18 x 8 = 4 x (4 +2R) => 144 = 16 + 8R => 8R = 128 => R = 128/8R = 16 cmO perímetro do triângulo será igual: AC + (AD + R) + R = 18 + 20 + 16 = 54 cm

Gabarito: E

46) De acordo com a figura, temos que: AC x AB = r x 3r => 2r x AB = 3r2 => AB = (3/2).rLogo: BC = AC – AB = 2r – (3/2).r = (1/2).rAB = 3.BC => BC = (1/3).AB

Gabarito: E

47) Sendo X, a quantidade de voltas, temos que:X.2πR = 500 km => X.(2.3,14).200 = 500000 => X = 500000/1256 => X ≅ 399 voltas

Gabarito: D

48) De acordo com as informações do problema, temos que:2πR = 1,60 => 2.3,14.R = 1,60 => 2R = 1,60/3,14 => 2R ≅ 0,51

Gabarito: D

49) De acordo com a figura abaixo, temos que:

R

d

ra) R2 = d2 + r2 , onde: r = 9 cm e d = 12 cm, temos:R2 = 92 + 122 => R2 = 81 + 144 = 225 => R = 15 cm

b) C = 2πR = 2.(3,14).9 = 56,52 cm

50) PQ = 300.(2πR) = 300.(2π.20) = 300.(6,28).20 = 37680 cm ≅ 377 m

Gabarito: A

51) De acordo com a figura, temos que:RA + RB = 112πRA x 375 = 2πRB x 1000 => RA = (8/3).RB

11 – RB = (8/3).RB => 33 – 3RB = 8RB => 11.RB = 33 => RB = 3 m

Gabarito: B

52) 2R = D; sendo o diâmetro da circunferência2R = CD + 2.BD;BD = ED – AB = 2,0 – 1,6 = 0,4 cmCD = EC – ED = 4,5 – 2,0 = 2,5 cmLogo: 2R = 2,5 + 2.(0,4) = 2,5 + 0,8 = 3,3 cm.

Gabarito: B

53)

R

x R

2R

xD

X2 = R2 + R2 => X = R 2 = 1,4Rd = 2R – 1,4R = 0,6R

Gabarito: B

Desafiando:54) Sendo r, o raio do maracanã, temos que:R1 = 6r e R2 = 28r, logo:A1 = π(6r)2 = 36πr2A2 = π(28r)2 = 784πr2

A1/A2 = (36πr2)/(784πr2) ≅ 0,046

Gabarito: C

EM1M

AT08


31

55) Da figura, verificamos, o lado do pentágono maior é MU e o lado do pentágono menor é TU = MU – MT;MU = [(1 + 5 )/2].MT; logo: TU = MT.[( 5 – 1)/2]

A relação entre as áreas de figuras semelhan-tes é igual a relação entre os lados corresponden-tes ao quadrado, ou seja:

S1/S2 = (MU/TU)2 => S1/S2 =[[(1 + 5 )/2].MT]2/[ MT.[( 5 – 1)/2]]2

S1/S2 = [(1 + 5 )/ ( 5 – 1)]2

Gabarito: A

EM1M

AT08


32

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

1

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1o BIMESTRE

EM1MAT07: Conjuntos: quais os principais conjuntos numéricos?• Compreenderanoçãointuitivadeconjuntos,oplanocartesianoortogonaleanoçãoderelação;• Diferenciararelaçãodepertinênciaeinclusãoemconjuntos;• Realizarasoperaçõescomconjuntos,intervaloseoprodutocartesiano;• Identificarossubconjuntosdeumconjunto,conjuntosnuméricos,intervalosabertosefechadoseos

elementosdoparordenado;• Resolver problemas envolvendo conjuntos, com aplicações no dia a dia, através da utilização de

diagramaseexercíciosdeintervalos,produtoscartesianoserelações.

EM1MAT02: Matemática Financeira: por que é importante saber lidar com juros?• Compreenderosignificadodarepresentaçãodeumaporcentagem;• Calcularporcentagenseaprenderautilizarfatoresdeatualização;• Diferenciarporcentagensemrelaçãoabasesdiferentesdevalores;• Aprenderosconceitosediferençasentrejurossimplesecompostos;• Identificarecalcularovalordodinheironotempoatravésdosjuros.

2o BIMESTRE

EM1MAT03: Funções: quais os principais conceitos e tipos de funções?• Compreenderoconceito,aspropriedadeseaaplicaçãodefunção;• Identificarostipos,odomínio,contradomínioeimagemdeumafunção;• Calcularacomposiçãodefunçõeseafunçãoinversa;• Trabalharcomgráficos,tantocomaconstruçãoeinterpretação,ecomasrelaçõesexistentesentre

funçõesparatranslaçãodegráficos;• Resolver problemas envolvendo funções em geral, a aplicação da função composta e inversa,

construção,análiseetranslaçãodegráficos.

EM1MAT04: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 1o grau• Compreender os métodos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de

equação;• Identificar,atravésdesituaçõescotidianasdescritas,seéprecisoutilizarequação,inequação,função

ousistemasdeequaçõesoudeinequaçõesdo1ograu;

2

• Reconhecerográficoda funçãodo1ograu,bemcomoa influênciadoscoeficientesedaraizemgráficosdessafunção;

• Estudarosinaldessafunçãopararesolverinequações-produtoequociente;• Resolverproblemasenvolvendoequação,inequação,funçãoesistemasdeequaçõesoudeinequações

do1ograueexercíciosdeconstruçãoeinterpretaçãodegráficosdessafunção.

3o BIMESTRE

EM1MAT05: Funções: estudando as equações, os sistemas e as funções do 2o grau• Identificarumafunçãodo2ograu,compreendendosuaimportânciaeaplicações;• Calculareanalisarseusprincipaisparâmetroseinterseçõescomoseixoscartesianos;• Determinarraízeserealizarestudosdesinal;• Resolverproblemasdemaximizaçãoeminimizaçãodefunçõesquadráticas;• Determinarconjuntos-soluçãodeinequaçõesprodutoequociente.

4o BIMESTRE

EM1MAT06: Funções: estudando as equações, as inequações e as funções exponenciais• Revisarconceitosdepotenciação;• Entenderarepresentaçãoalgébricaegráficadeumafunçãoexponencial;• Compreenderaformaçãodologaritmoesuarelaçãocomapotenciação;• Perceberoprocessodeestruturaçãodeumafunçãologarítmica,baseadanaexponencial;• Representareresolverequações,inequaçõesefunçõesexponenciaiselogarítmicas.


3

MATEMÁTICA II

1o BIMESTRE

EM1MAT01: Razões e proporções: como operar grandezas proporcionais e casos práticos de razões e proporções?

• Compreenderoconceitoeaspropriedadesderazõeseproporções;• Reconheceralgumasaplicaçõesderazões(escalas,velocidademédiaedensidadedeumcorpo)ede

proporções(figurassemelhantes);• Identificararelaçãoproporcionaldiretaouinversaentregrandezasediferenciarregradetrêssimples

ecomposta;• Resolverproblemasenvolvendorazões,proporções,grandezasproporcionais,regradetrêssimples

ecomposta.

EM1MAT08: Geometria Plana: como estudar ângulos, retas e circunferências?• Compreenderoconceitodeânguloearelaçãoentreduasretasparalelaseumatransversal;• Reconheceroscasosdesemelhançadetriângulos(AA,LAL,LLLeLAA);• Identificar, em uma circunferência, seu comprimento, suas relaçõesmétricas e as relações entre

ângulosearcos;• Determinarasposiçõesrelativasentreponto/retaeacircunferênciaeentreduascircunferências;• Resolverproblemasenvolvendoângulos,tantoassociadosàsretasquantoàscircunferências,teorema

deTalesesuasaplicações,semelhançadetriânguloseexercíciosdecircunferência.

2o BIMESTRE

EM1MAT09: Geometria Plana: o que precisamos saber sobre triângulos?• Compreenderqualacondiçãodeexistênciadeumtriânguloeaspropriedadesreferentesaosângulos

internoseexternosdessepolígono;• Identificarostiposdetriânguloseosseussegmentosnotáveis;• Trabalharcomasrelaçõesmétricasdotriânguloretângulo;• Diferenciarasrelaçõesmétricasemtriângulosquaisquer:leidossenoseleidoscossenos;• Resolverproblemasenvolvendotriângulos,suasrelaçõesmétricasesegmentosnotáveis.

4

3o BIMESTRE

EM1MAT10: Geometria Plana: como estudar polígonos, quadriláteros e áreas• Compreender a noçãode polígono regular, as características e propriedades de quadriláteros, as

áreasdepolígonos,docírculoesuaspartes;• Diferenciarpolígonoconvexoecôncavoepolígonoinscritoecircunscrito;• Identificarostiposdepolígonosedequadriláterosnotáveis;• Calcularaquantidadedediagonais,asomadosângulosinternoseexternosempolígonosconvexos;• Determinaramedidadosângulosinternoseexternosdepolígonosregulares;• Resolver problemas envolvendo polígonos, inscrição e circunscrição de polígonos, quadriláteros

notáveiseáreadepolígonos,círculoesuaspartes.

4o BIMESTRE

EM1MAT11: Trigonometria: como as relações trigonométricas ajudam na resolução de problemas?

• Estabelecerdiferentesmedidasdeângulos,earelaçãoentreelas;• Compreenderosconceitosiniciaisdetrigonometriaapartirdetriângulosretângulos;• Conhecerocírculotrigonométricoesuasprincipaispropriedades;• Utilizarocírculotrigonométricoparadeduzirvalorestrigonométricosparadiversosgruposdeângulos

notáveiserelaçõestrigonométricasfundamentais;• Analisaralgébricaegraficamenteequações,inequaçõesefunçõestrigonométricas.


1

ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO MÉDIO 2017/2018

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico.

Veja algumas páginas:

2

Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01:Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento.

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do exame nacional do Ensino Médio (ENEM). Existem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil.

Fundamento 02:Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faixa etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano “Formação do Brasil colonial”, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04:Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) propõe uma reflexão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende explicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil.


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Fundamento 05:Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do educando, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06:Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07:Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também atividades não ortodoxas. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM.


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Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.

A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo.

Fundamento 08:Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICOENSINO MÉDIO 2017

1o anoMATEMÁTICA I

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM1MAT07: Conjuntos: quais os principais conjuntos numéricos?

Objetivos Compreender a noção intuitiva de conjuntos, o plano cartesiano ortogonal e a noção de relação; Diferenciar a relação de pertinência e inclusão em conjuntos; Realizar as operações com conjuntos, intervalos e o produto cartesiano.Subtópicos Conjuntos; Operações com conjuntos; Conjuntos numéricos.Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 11.


Objetivos Identificar os subconjuntos de um conjunto, conjuntos numéricos, intervalos abertos e fechados e os elementos do par ordenado.Subtópicos Produto cartesiano.Exercícios XPara casa Praticando 12 ao 24.


Objetivos Resolver problemas envolvendo conjuntos, com aplicações no dia a dia, através da utilização de diagramas e exercícios de intervalos, produtos cartesianos e relações.Subtópicos xExercícios Aprofundando.Para casa Aprofundando.


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Objetivos RevisãoSubtópicos Exercícios Aprofundando.Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Pesquisando.

Aula 06Tópico EM1MAT02: Matemática Financeira: por que é importante saber lidar com juros?

Objetivos Compreender o significado da representação de uma porcentagem; Calcular porcentagens e aprender a utilizar fatores de atualização; Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores;Subtópicos Porcentagem.Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 5.


Objetivos Aprender os conceitos e diferenças entre juros simples e compostos;Subtópicos Juros simples e compostos.Exercícios XPara casa Praticando 6 ao 9.


Objetivos Identificar e calcular o valor do dinheiro no tempo através dos juros.Subtópicos Relação entre preço de venda, custo e lucro/prejuízo.Exercícios Praticando 10 ao 12.Para casa Aprofundando e Desafiando.

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Objetivos Resolver problemas envolvendo porcentagem, juros simples, juros compostos, operações de lucro e prejuízo e acréscimos e descontos em preços.Subtópicos XExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Revisão bimestral.

Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

MATEMÁTICA II

1o bimestre:

Aula 01Tópico EM1MAT01: Razões e proporções: como operar grandezas proporcionais e casos práticos de razões e proporções?

Objetivos Compreender o conceito e as propriedades de razões e proporções; Identificar a relação proporcional direta ou inversa entre grandezas; Reconhecer algumas aplicações de razões (escalas, velocidade média e densidade de um corpo) e de proporções (figuras semelhantes).Subtópicos Razões e proporções..Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 6.


Objetivos Identificar a relação proporcional direta ou inversa entre grandezas e diferenciar regra de três simples e composta;Subtópicos Regra de três: simples e composta.Exercícios Praticando 7 ao 12.Para casa Praticando 13 ao 22.


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Objetivos Resolver problemas envolvendo razões, proporções, grandezas proporcionais, regra de três simples e composta.Subtópicos XExercícios Praticando 13 ao 22.Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos Resolver problemas envolvendo razões, proporções, grandezas proporcionais, regra de três simples e composta.Subtópicos XExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Pesquisando.

Aula 05Tópico EM1MAT08: Geometria Plana: como estudar ângulos, retas e circunferências?

Objetivos Compreender o conceito de ângulo e a relação entre duas retas paralelas e uma transversal.Subtópicos Ponto, reta, plano e ângulos.Exercícios XPara casa Praticando 1 ao 5.


Objetivos Reconhecer os casos de semelhança de triângulos (AA, LAL, LLL e LAA).Subtópicos Teorema de Tales; Semelhança de triângulos.Exercícios X Para casa Praticando 6 ao 9.

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Objetivos • Identificar, em uma circunferência, seu comprimento, suas relações métricas e as relações entre ângulos e arcos; • Determinar as posições relativas entre ponto/reta e a circunferência e entre duas circunferências.Subtópicos Circunferência.Exercícios XPara casa Praticando 10 ao 14.


Objetivos • Resolver problemas envolvendo ângulos, tanto associados às retas quanto às circunferências, teorema de Tales e suas aplicações, semelhança de triângulos e exercícios de circunferência.Subtópicos XExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos • Resolver problemas envolvendo ângulos, tanto associados às retas quanto às circunferências, teorema de Tales e suas aplicações, semelhança de triângulos e exercícios de circunferência.Subtópicos RevisãoExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Revisão bimestral.

Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

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PROF. 1o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I · PADRÃO VOL. I. Direção Executiva: Fabio Benites Gestão Editorial: Maria Izadora Zarro ... com.br. Lá você também encontrará todas