1

RACIOCÍNIO LÓGICO AULA Nº 01 CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES 01 - INTRODUÇÃO A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. Através da Lógica pode-se avaliar a validade ou não de raciocínios que têm por base premissas (afirmações supostamente verdadeiras) iniciais. Os exemplos abaixo mostram desenvolvimento de raciocínios lógicos: Raciocínio I - (1ª premissa) Todo homem é mortal. (2ª premissa) Sócrates é mortal. Conclusão: Sócrates é homem. Raciocínio II- (1ª premissa) Todo homem é mortal. (2ª premissa) Sócrates é homem. Conclusão: Sócrates é mortal. À primeira vista, todos os dois raciocínios parecem verdadeiros. Entretanto, o primeiro é falso, pois: Sócrates pode perfeitamente ser o gatinho da minha vizinha. Já, o segundo raciocínio é universalmente verdadeiro. Quais são as regras para a validação de uma conclusão a partir de afirmações anteriores? Este é um dos principais objetivos deste curso. George Boole (1815-1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. Hoje, a maioria dos concursos apresenta questões de Raciocínio Lógico, entre eles os concursos para Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal, Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e Técnico do MPU, Banco do Brasil, IBGE, Caixa Econômica Federal, Polícia Federal (Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista). Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra. 02 - PROPOSIÇÕES São variadas as formas de se expressar. Vejamos algumas delas: (01) Feliz ano novo! (02) Chove. (03) Quando começam as férias? (04) x é maior que 27. (05) Três mais dois. (06) Paris é a capital da França. Todos os exemplos acima têm um significado, entretanto, apenas o exemplo cinco não apresenta sentido completo. O exemplo (5), por não ter um sentido completo é denominado EXPRESSÃO. Aos demais exemplos chamamos de SENTENÇAS. Define-se então:

2

sentença é uma forma de se expressar que apresenta um sentido completo. As sentenças que apresentam uma variável, como a de número 04 é denominada SENTENÇA ABERTA. Quando não existe a variável, a sentença é dita SENTENÇA FECHADA, como as apresentadas nos itens 01, 02, 03 e 06. Uma sentença fechada que permite um dos julgamentos falso ou verdadeiro é denominada PROPOSIÇÃO. Isto é: proposições são sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. 03 – OS PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DA LÓGICA MATEMÁTICA OU FORMAL A Lógica Formal tem como base dois princípios ou axiomas: (1) Princípio da não contradição e (2) Princípio do terceiro excluído, que assim são enunciados: AXIOMA Nº 1 – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO

“Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira.” AXIOMA Nº 2 – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não acontecendo nunca uma terceira opção.” A seguir estão apresentados alguns exemplos: As proposições: (1) o número 21 é ímpar; (2) o inteiro 3 é menor que o inteiro 5, são verdadeiras. As proposições: (3) 5 está compreendido entre 9 e 15; (4) A Terra ilumina o Sol, são falsas. De acordo com os princípios acima, uma proposição, admite um e apenas um dos valores VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). O julgamento F ou V atribuído à proposição é denominado valor lógico da proposição. Se “p” é uma proposição indicaremos V(p) o valor lógico da proposição “p”. Assim, V(p) = V se p for verdadeira ou V(p) = F se p for falsa. Considerando as proposições dos exemplos anteriores tem-se: V(p) = V(q) = V e V(r) = V(s) = F. 4 – PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12. Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

3

(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a. 5 – OS CONECTIVOS Para se formar proposições compostas a partir de proposições simples são usadas palavras ou termos denominados conectivos. Na Lógica Matemática, os conectivos usados são:

- NEGAÇÃO: indicado por um dos símbolos ~ (til) ou ¬¬¬¬ (cantoneira). Se p : A Lua é um satélite da Terra, a negação de p é:

~p ou ¬¬¬¬p que se lê “A Lua não é um satélite da Terra” ou “Não é verdade que a Lua é um satélite da Terra”. Encontra-se também a notação p' para representar a negação da proposição p. A negação é também classificada, por convenção, como proposição composta. - CONJUNÇÃO: “e” - simbolizado por ∧ ∧ ∧ ∧ . Sejam as proposições simples p: Chove e q: faz frio. A proposição composta P(p,q) formada a partir do conectivo ∧∧∧∧ é P: p ∧∧∧∧ q que significa “chove e faz frio”.

- DISJUNÇÃO: “ou” - simbolizado por ∨∨∨∨.

Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 – 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo ∨∨∨∨ é

P: p ∨∨∨∨ q, que se lê P: 3 + 4 > 5 ou 3 – 1 = 2. Na disjunção as duas proposições não são contraditórias.

- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou” simbolizado por ∨∨∨∨ . Na disjunção exclusiva, as duas proposições não podem ocorrer ao mesmo tempo. Tomando por exemplo, as proposições p: Mário é mineiro e q: Mário é baiano, obtém-se a composta:

P(p, q) = p ∨∨∨∨ q que se traduz por Mário é mineiro ou Mário é baiano. Deve-se observar que Mário não pode ser mineiro e baiano ao mesmo tempo, por este motivo usa-

se a disjunção exclusiva ∨∨∨∨ e não a disjunção ∨∨∨∨. É costume na linguagem usual escrever: "Ou Mário é mineiro ou Mário é baiano". - CONDICIONAL: se...então... simbolizado por →→→→. A partir das proposições simples p: A e B são dois ângulos opostos pelo vértice e q: A e B são iguais, obtém-se a composta: P(p, q) = p → q, que significa “se A e B são dois ângulos opostos pelo vértice então A e B são iguais” ao usar a condicional. - BICONDICIONAL ...se e somente se... simbolizado por ↔↔↔↔. Sejam p: chove e q: faz frio. A composta usando a bicondicional é P(P, q) = p ↔ q, onde se lê: chove se e somente se faz frio.

4

EXERCÍCIOS Atenção: - Ao final de cada aula serão apresentados alguns exercícios para treinamento. As respostas serão fornecidas em arquivo à parte. - No portal, item AVALIAÇÃO/EXERCÍCIOS, serão apresentadas questões que você deverá resolver e responder pelo próprio portal. Estes exercícios estarão disponíveis apenas por uma semana. 1 - Dê o conceito ou defina os termos: expressão, proposição, valor lógico, proposição simples e proposição composta. 2 - Quais são os conectivos usados para formação de proposiçôes compostas e quais são os símbolos usados. 3 - Dê exemplos de proposições compostas, usando cada um dos conectivos.

4 - Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) Santiago é a capital do México. b) Brasília é a capital do Brasil. c) Cristóvão Colombo foi o descobridor do Brasil. d) (a + b)3 = a3 + b3. e) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. f) Os lados opostos de um paralelogramo são iguais. g) 3 + 4 < 9. h) 1/3 > 1/4.

5 - Considere as proposições p: Todo homem é mortal e q: Sócrates é mortal. Represente simbolicamente as proposições: a) Se todo homem é mortal então Sócrates é mortal. b) Todo homem é mortal ou Sócrates é mortal. c) Sócrates é mortal se e somente se todo homem é mortal. d) Todo homem é mortal ou Sócrates é mortal. e) Não é verdade que Sócrates é mortal. f) Não é verdade que (Sócrates é mortal ou todos os homens são mortais).

6 - Considere as proposições p: Pedro é italiano e q: Pedro é brasileiro. Represente simbolicamente as proposições: a) Pedro é italiano ou Pedro é brasileiro. (cuidado). b) Pedro é italiano e Pedro é brasileiro. c) Pedro é italiano e Pedro não é brasileiro. d) Não é verdade que (Pedro é italiano e Pedro não é brasileiro).

7 - Sejam as proposições p: 19 é um número primo e q: 12 é um número par. Traduza em palavras as sentenças: a) p ∧ q b) p ∨ q c) p → q d) p ∨ q e) p ↔ q f) ~( p ∧ q) g) ~p ∧ q h) ~(p ∨ q) i) ~~p j) ~(~p ∨ ~q).

8 - Sejam as proposições p: 2 < x < 7 e q: x2 + 1 < 50. Traduza em palavras as sentenças: a) p ∧ q b) p ∨ q c) p → q d) p ∨ q e) p ↔ q f) ~( p ∧ q) g) ~p ∧ q h) ~(p ∨ q) i) ~~p j) ~(~p ∨ ~q) k) ∼(π ϖ θ) → (p ∧ ~q).