RACIOCÍNIO LÓGICO CESPE I

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Raciocínio Lógico

Prof.: Edgar Abreu

Ministério Público da União

Técnico

Raciocínio Lógico MPU

Prof. Edgar Abreu Página 3

A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiros colocados nos últimos concursos.

TRE – RJ (2012): Primeiro colocado do estado

TRE – PR (2012): Primeiro Colocado do estado

INSS (2012): Primeiro Colocado (Gravataí)

CEF 2012: Primeiro colocado nas Microrregiões abaixo

1. São Paulo – SP;

2. Porto Alegre – RS;

3. Cruzeiro do Sul – AC;

4. Aracaju – SE;

5. Cascavel – PR;

6. Patos – PB;

7. Osasco - SP;

8. Uruaçu – GO;

9. Jundiaí; Bacabal – MA;

10. Ji-Paraná – RO;

11. Vitória - ES ;

12. Santarém – PA;

13. Teresina – PI;

14. Uruguaiana – RS;

15. Itumbiara – GO;

16. Maringá – PR;

17. Santo Antonio de Jesus – BA;

18. Caxias do Sul –RS;

19. Santo Ângelo – RS;

20. Picos – PI;

21. Castanhal PA

Último concurso do Banco do Brasil: Primeiro colocado nas Microrregiões

abaixo

1. Santo Amaro – SP;

2. Varginha – BA;

3. Bonito – MS;

4. Juiz de Fora – MG (PNE);

5. Irecê – Vitória da Conquista - BA;

6. Jundiaí – SP

7. São Paulo - SP;

8. Jequié – BA;

9. Anápolis – GO ;

10. Sete Lagoas – MS;

11. Pouso Alegre – MG;

12. Lins – SP;

13. Paraíso do Tocantins – TO

14. Rio de Janeiro – RJ;

15. Cabo Frio – RJ;

16. Pelotas – RS;

17. Novo Hamburgo – RS;

18. Rio Branco – AC (2013)

19. Epitaciolândia – AC (2013)

20. Sobral – CE (2013)

21. Aracaju – SE (2013)

22. Cacoal – RO (2013)

23. Porto Velho – RO (2013)

24. Videira – SC (2013)

25. Natal – RN (2013)


Página 4 Prof. Edgar Abreu

CONTEÚDOS DE RAC. LÓGICO ÚLTIMO EDITAL MPU – FUNRIO

2009

RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação:

analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou

proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas verdade. 3.3

Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira

ordem.

Estes conteúdos serão dados pelo professor Rafael Louzada: 5 Princípios de

contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico

envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais

EXPECTATIVA DE QUANTIDADE DE QUESTÕES PARA PROVA: 10 de 120



Sumário

MÓDULO 1 – LÓGICA SENTENCIAL .................................................................. 6

PROPOSIÇÃO ..................................................................................................... 6

NEGAÇÃO SIMPLES ............................................................................................ 6 CONJUNÇÃO – “E” ............................................................................................. 7 DISJUNÇÃO – “OU” ............................................................................................ 8 CONDICIONAL – “SE...ENTÃO” ........................................................................... 9 BICONDICIONAL – “... SE E SOMENTE SE ...”......................................................10

TAUTOLOGIA ....................................................................................................11 CONTRADIÇÃO .................................................................................................12 RESUMO ...........................................................................................................13

MÓDULO 2 – OPERAÇÕES BÁSICAS EM LÓGICA ............................................. 14

EQUIVALÊNCIA DE CONETIVOS .........................................................................14 NEGAÇÃO COMPOSTA .....................................................................................16

RESUMO ...........................................................................................................17

MÓDULO 3 – DIAGRAMAS LÓGICOS ............................................................. 18

ARGUMENTOS VÁLIDOS ...................................................................................18 ARGUMENTOS QUE NÃO SÃO VÁLIDOS............................................................20 NEGAÇÃO .........................................................................................................21 RESOLVENDO PROBLEMAS ...............................................................................21

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS .........................................................28

QUESTÕES DE CONCURSO ............................................................................ 30



MÓDULO 1 – LÓGICA SENTENCIAL

PROPOSIÇÃO

Proposição: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um único valor lógico

Exemplos:

O concurso para o MPU será um sucesso

O edital da MPU será publicado em 2012

A Casa do Concurseiro irá aprovar os primeiros colocados.

7 – 5 = 10

Sentença: Nem sempre permite julgar se é verdadeiro ou falso. Pode não ter valor lógico

Exemplos:

1. Será que agora vai?

2. Maz Bah tchê!

3. Vai estudar!

4. “A frase dentro desta aspa é uma mentira”

5. X + 5 = 20

Note que as sentenças exclamativas, imperativas ou interrogativas não admitem um único valor

lógico, V ou F. Já as sentenças “4” e “5” não é proposição pois não conseguimos atribuir um

único valor lógico.

No item 5 por exemplo, se X é igual a 15 o valor lógico é V se for diferente de 15 então o valor

lógico será F.

Conclusão: Toda proposição é uma sentença, porém nem toda sentença é uma proposição

NEGAÇÃO SIMPLES

Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.

No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da

sentença, e já a tornamos uma negativa.

Exemplos:

PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO

Eu bebo Eu não bebo

Gui não gosta de correr Gui gosta de correr



Agora tente negar a proposição abaixo:

Eu não vou passar no concurso da MPU

Opção 1: Eu vou passar no concurso da MPU

Opção 2: Não é verdade que eu não vou passar no concurso da MPU

Isso mesmo, a negação de uma negação é uma afirmação!

O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~),

antecedendo a frase.

Vamos simbolizar a proposição

p = A mulher é mais eficiente que o homem.

¬p= A mulher não é mais eficiente que o homem.

CONJUNÇÃO – “E”

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “^”.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da PF e Serei aprovado no concurso da MPU

Proposição 1: Fui aprovado no concurso da PF

Proposição 2: Serei aprovado no concurso da MPU.

Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “^”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p^q

AGORA É A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipóteses:

H1:

p: Não fui aprovado no concurso da PF

q: Serei aprovado no concurso da MPU.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da PF

q: Não serei aprovado no concurso da MPU.



H3:

p: Não fui aprovado no concurso da PF

q: Não serei aprovado no concurso da MPU.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da PF

q: Não serei aprovado no concurso da MPU

DISJUNÇÃO – “OU”

Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a

sentença:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother

Proposição 1: Estudo para o concurso

Proposição 2: assisto o Big Brother

Conetivo: ou

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “v”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p v q

AGORA É A SUA VEZ:


H1:

p: Estudo para o concurso

q: assisto o Big Brother Brasil.

H2:

p: Não Estudo para o concurso

q: assisto o Big Brother Brasil.

p q P ^ Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V



H3:

p: Estudo para o concurso

q: Não assisto o Big Brother Brasil..

H4:

p: Não Estudo para o concurso

q: Não assisto o Big Brother Brasil.

CONDICIONAL – “SE...ENTÃO”

Recebe o nome de condicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo Se... Então.... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”. Portanto, se

temos a sentença:

“Se estudo, então sou aprovado”

Proposição 1: estudo (Condição Suficiente)

Proposição 2: sou aprovado (Condição Necessária)

Conetivo: se.. então

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p q

AGORA É A SUA VEZ:


H1:

p: estudo

q: sou aprovado

H2:

p: Não estudo

q: sou aprovado

p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F



H3:

p: Não estudo

q: Não sou aprovado

H4:

p: estudo

q: Não sou aprovado

BICONDICIONAL – “... SE E SOMENTE SE ...”

Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “ ”.

Portanto, se temos a sentença:

“Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa”

Proposição 1: Maria compra o sapato

Proposição 2: O sapato combina com a bolsa

Conetivo: se e somente se

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “ ”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p q

AGORA É A SUA VEZ:


H1:

p: Maria compra o sapato

q: O sapato não combina com a bolsa

H2:

p: Maria não compra o sapato

q: O sapato combina com a bolsa

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F



H3:

p: Maria compra o sapato

q: O sapato combina com a bolsa

H4:

p: Maria não compra o sapato

q: O sapato não combina com a bolsa

TAUTOLOGIA

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma

Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das

proposições p, q, r, ... que a compõem

Exemplos:

Gabriela passou no concurso da MPU ou Gabriela não passou no concurso da MPU

Não é verdade que o professor Zambeli parece com o Zé gotinha ou o professor Zambeli parece

com o Zé gotinha

Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa.

Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para segunda divisão

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “V”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p V ~p

AGORA É A SUA VEZ:

H1:

p: Grêmio cai para segunda divisão

~p: Grêmio não cai para segunda divisão

p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V



H2:

p: Grêmio não vai sair campeão

~p: Grêmio cai para segunda divisão

Logo temos uma TAUTOLOGIA!

CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma

contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições

p, q, r, ... que a compõem

Exemplos:

O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria

Suelen mora em Petrópolis e Suelen não mora em Petrópolis

Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa.

Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil

Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “^”

Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p ^ ~p

AGORA É A SUA VEZ:

H1:

p: Lula é o presidente do Brasil

~p: ______________________________

H2:

p: Lula não é o presidente do Brasil

~p: _______________________________

p ~p p v

~p

H1 V F V

H2 F V V



Logo temos uma CONTRADIÇÃO!

RESUMO

Agora iremos criar tabelas com o resumo e principais tópicos estudados neste capítulo.

SENTENÇA

LÓGICA

VERDADEIRO SE... FALSO SE..

p ∧ q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso

p ∨ q um dos dois for verdade ambos, são falsos

p → q nos demais casos que não for

falso

p = V e q = F

p q p e q tiverem valores lógicos

iguais

p e q tiverem valores

lógicos diferentes

p ~p p ^

~p

H1 V F F

H2 F V F

SENTENÇA

LÓGICA

VERDADEIRO

SE...

FALSO SE..

p p = V p = F

~p p = F p = V



MÓDULO 2 – OPERAÇÕES BÁSICAS EM LÓGICA

EQUIVALÊNCIA DE CONETIVOS

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são

equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de

suas tabelas-verdade são idênticos

A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como:

p ⇔ q , ou simplesmente por p = q

EQUIVALÊNCIAS:

1ª p ^ p = p

Exemplo: Professor Ed é feliz e feliz = Professor Ed é Feliz

Construindo a tabela:

2ª p ou p = p

Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia

3ª p q = (p q) ^ (q p)

Exemplo:

Trabalho na Defensoria se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho na Defensoria

então estudo para o concurso e se estudo para o concurso então trabalho na Defensoria

P p ^

p

V V

F F

p p ^

p

V V

F F



Tabela

4ª p q = (~q ~p)

Exemplo:

Se bebo então sou rico = Se não sou rico então não bebo

5ª p q = (~p v q)

Exemplo:

Se bebo então sou rico = não bebo ou sou rico

p q P

q

q p (P q) ^ (q p) P q

V V

F F

F V

V F

p q ~q ~p (P q) (~q ~p)

V V

F F

F V

V F

p q ~p (P q) (~p v q)

V V

F F

F V

V F



6ª Conetivos que são comutativos (podemos trocar a ordem que a solução será a mesma): V , ^,

Exemplos:

(p q) = (q p)

(p V q) = (q V p)

(p q) = (q p)

7ª Conetivo que não é comutativo (não podemos trocar a ordem):

Exemplos:

(p q) (q p)

NEGAÇÃO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposições compostas, para isto devemos considerar que:

TABELA:

PROPOSIÇÃO

OU

CONETIVO

NEGAÇÃO

p ~p

~p p

^ v

Para negarmos uma proposição conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar

aquela utilizada em álgebra na matemática.

Vamos negar a sentença abaixo

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)



Agora vamos aprender a negar uma sentença com um condicional.

Para isso devemos trabalhar com a5ª propriedade de equivalência de conetivos demonstradas na

página 10, onde:

p q = (~p q)

Então temos:

~( p q) = ~( ~p q) = ~(~p) ~( ) ~(q) = (p ~q)

Agora é a sua vez:

Sabendo que um bicondicional é igual a dois condicionais, propriedade 3 da página 9. Tente fazer

a negação da sentença abaixo:

~( p q)

RESUMO

PROPOSIÇÃO COMPOSTA NEGAÇÃO

(p v q) (~p ~q)

(p q) (~p v ~q)

(p q) (p ~q)

(p q) (p ~q) v (q ~p)



MÓDULO 3 – DIAGRAMAS LÓGICOS

Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra

proposição final, que será conseqüência das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos

que podemos resolver por diagrama, contendo as expressões: Todo, algum, nenhum ou

outras similares

Exemplo:

1: Todas pessoas aposentadas pelo PF possui mais de 60 anos de idade.

2: Todas as pessoas com mais de 60 anos de idade são gastam com remédio todos os meses.

Assim, caso as proposições, argumentos, 1 e 2, estejam corretos, podemos concluir que:

Conclusão : Todos os aposentados pelo PF gastam com remédio todos os meses.

Nem todos os argumentos são válidos. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos,

interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos!

SIMBOLOGIA:

SENTENÇA SIMBOLOGIA

PARA TODO x (elemento)

EXISTE x (elemento)

ARGUMENTOS VÁLIDOS

Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua

conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Para concluirmos se um argumento é válido ou não, devemos olhar APENAS como ele foi

construído sem nos prendermos ao texto ou conhecimentos prévios sobre o assunto. Abaixo

segue um exemplo de um argumento válido.

1: Todos os Policiais Federais são homens violentos.

2: Nenhum homem violento é casado.

Conclusão: Portanto, nenhum Policial Federal é Casado.

Apesar de parecer um absurdo, o argumento acima está correto. Se considerarmos como

hipóteses verdadeira que os itens 1 e 2 estão corretos, a conclusão é consequencia das hipóteses,

por uma propriedade de transitiva.



Para concluir se um silogismo é verdadeiro

ou não, devemos construir conjuntos com

as premissas dadas. Para isso devemos

considerar todos os casos possíveis,

limitando a escrever apenas o que a

proposição afirma.

no exemplo acima temos que “Todos os

Policiais Federais são homens violentos”,

mas nesta proposição não deixa claro se

“Todos as pessoas violentas são Policiais Federais”. Por este motivo temos sempre que trabalhar

com todas as hipóteses, considerando também este caso. Vamos representar a proposição em

conjunto

Este conjunto mostra exatamente o que a proposição fala.

TODA PF é Violento, porém não podemos concluir que TODO violento é PF, assim trabalhamos

com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são Policiais.

2: Nenhum homem violento é casado.

Com a expressão “nenhum” a frase acima afirma que o conjunto dos casados e dos violentos

não possuem elementos comuns. Logo devemos construir conjuntos separados.

Logo é correto afirmar que, nenhum Policial Federal é Casado, já que estes conjuntos não

possuem elementos em comum.

Violentos

Policial Federal

SOLTEIROS



ARGUMENTOS QUE NÃO SÃO VÁLIDOS

Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso

ou sofisma – quando a verdade das

premissas não é suficiente para garantir a

verdade da conclusão.

Vamos considerar um exemplo similar ao

anterior com apenas uma pequena

alteração na proposição 2 e na conclusão.

1: Todos os Policiais Federais são homens

violentos.

2: Alguns homens violentos são casados.

Conclusão: Portanto, existem Policiais Federais que são Casados.

A uma primeira leitura pode parecer um argumento válido (silogismo), porém ao considerarmos

todas as hipóteses possíveis iremos

descobrir que as proposições são

insuficientes para a conclusão,

tratando então de uma falácia.

Representação do argumento 1:

Todos os Policiais Federais são

homens violentos.

Lembre-se que: TODA PF é Violento,

porém não podemos concluir que

TODO violento é PF, assim

trabalhamos com a hipótese de existirem pessoas violentas que não são Policiais.

Podemos representar a hipótese 2 de duas formas, uma como a “banca” quer que você entenda,

de maneira errada, conforme abaixo:

2: Alguns homens violentos são casados

Assim existiria um conjunto “X” de policiais que são violentos e casados.

Portanto, poderíamos concluir existem Policiais Federais que são Casados.

Mas devemos considerar todas as hipóteses, imagine que os conjuntos sejam divididos da forma

abaixo:

Neste exemplo, todo policial federal é violento, alguns violentos são casados, ou seja, as hipóteses

são satisfeitas.

Violentos

Policial Federal

VIOLENTOS CASADOS

PF X



Mas não existem policiais casados. Assim a conclusão é precipitada!

As Proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um

elemento em comum com o conjunto B.

As Proposições da forma Todo A é B estabelecem que o conjunto A é um subconjunto de B. Note

que não podemos concluir que A = B, pois não sabemos se todo B é A.

NEGAÇÃO

Como negar estas Proposições:


TODO ALGUM OU EXISTE PELO

MENOS

ALGUM NENHUM

NENHUM ALGUM, OU EXISTE PELO

MENOS UM

Exemplos:

RESOLVENDO PROBLEMAS

As questões de lógica cobradas em concursos, em geral, são textos formados por proposições e

conetivos.


Todo A é B Algum A não é B ou Existe pelo menos um A que não seja

B

Algum A é B Nenhum A é B

PF



Para resolver qualquer questão é necessário “traduzir” este texto para uma linguagem lógica,

operar dentro desta linguagem e no final traduzir da linguagem lógica de volta para o texto,

conforme modelo abaixo:

Exemplo 4.2.1:

A negação da sentença: Se Teobaldo estuda então será aprovado no concurso

Passo 1: Simbolizar as proposições acima

p: Teobaldo estuda

q: Teobaldo é aprovado no concurso

Conetivo: Se então (condicional)

Passo 2: Representar logicamente a sentença: (p q)

Passo 3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica:

~(pq) = ~(~p q) Lembrar da propriedade de equivalência

~(~p q) = (p ~q) Negar as proposições e o conetivo

Passo 4: traduzir da lógica para o texto novamente

p: Teobaldo estuda

= e

q = Teobaldo não é aprovado no concurso. (poderia usar também a expressão: não é verdade

que Teobaldo é aprovado no concurso)

Juntando tudo temos a negação da sentença que será: “Teobaldo estuda e não é aprovado

no concurso”

Traduz a resposta em lógica

para um texto

Aplica as propriedades de

lógica que aprendemos

Traduz os testos para uma

linguagem lógica matemática

TEXTO

LÓGICA

OPERA



Exemplo 4.2.2: (CESPE – DETRAN/ES – 2010)

A negação da proposição "Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um

acidente de trânsito" é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirmação "Dirija após ingerir

bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito".

1: Simbolizar as proposições acima

~p: não dirija após ingerir bebidas alcoólicas (note que a proposição p possui um não em seu

texto, por isso estamos representando por ~p ao invés de usar somente p)

q: Você pode causar um acidente de trânsito

Conetivo: ou (conjunção)

2: Representar logicamente a sentença: (~p q)

3: Negar a sentença aplicando propriedades de lógica:

~(~p q) = (p ~q) Negar as proposições e o conetivo

4: traduzir da lógica para o texto novamente

p: dirija após ingerir bebidas alcoólicas

= e

q = você não causará um acidente de trânsito

Juntando tudo temos a negação da sentença que será:“Dirija após ingerir bebidas alcoólicas

e você não causará um acidente de trânsito”

Exemplo 4.2.3:

Qual a negação da sentença: “Estudo se e somente se não chover.”

Esta parece simples, mas é trabalhosa. Temos que transformar esta bi condicional em duas

condicionais e negar.


p: Estudo

~q: não chover

Conetivo: bicondicional ( )

2: Representar logicamente a sentença: (p ~q)



3: Aplicando propriedades de lógica:

RESOLUÇÃO EXPLICAÇÃO

~(p ~q) =~[ (p ~q) (~q

p)]

Propriedade de equivalência do bi

condicional

~(p ~q) ~( ) ~(~q p) Negar TUDO (distributividade)

~(~p ~q) ~(q p) Negamos a disjunção e usamos a

propriedade de equivalência do

condicional

(p q) (~q ~p) Negamos as duas expressões

4: traduzir da lógica para o texto novamente

p: estudo

~p: não chove

q: chove

~q: não chove

= e

= ou

Juntando tudo temos a negação da sentença que será:

“estudo e chove ou não estudo e não chove”

Agora iremos estudar como resolver as questões com argumentos que não utilizam as

expressões: todos, nenhum ou algum.

Exemplo 4.3.1

Se prova é fácil, então sou funcionário do MPU.

Não sou funcionário do MPU.

Sabendo que as duas proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que: “A prova não

é fácil.”

Resolução:


p: A prova é fácil

q: sou funcionário do MPU

~q= não sou funcionário do MPU

Conetivo: condicional ()



2: Representar logicamente a sentença:

(p q) = V

~q = V


Ora, se ~q = V logo q = F. Assim temos a seguinte situação:

Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa.

Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO,

obrigatoriamente a primeira proposição deve ser FALSA, logo, p=F

4: traduzir da lógica para o texto novamente: “a prova não é fácil”

Exemplo 4.3.2

1. Robinho come ou dorme

2. Se Robinho come então não joga bola

3. Robinho joga bola

Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que:

“Robinho dorme.”

Resolução:


p: Robinho come

q: dorme

~r= não joga boa

r: joga bola

Conetivos: condicional () e disjunção ( V )


1. (p q) = V

2. (p ~r) = V

p q

? V F



3. r = V


Ora, se r = V logo ~r = F.

Vamos fixar ~r=F e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de P, sabendo que o

condicional deve ser verdadeiro.

Como sabemos o condicional será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa.

Como a segunda proposição é FALSA e este condicional é VERDADEIRO,


Agora vamos fixar a informação p=F e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q,

sabendo que a sentença como todo é verdadeira

Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já

que a disjunção para ser verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser verdadeiras.

Assim concluímos que q=V

4: traduzir da lógica para o texto novamente: “Robinho dorme”

Exemplo 4.3.3

1. Rejão não é bruto ou habilidoso

2. Rejão não é bruto se e somente se Carruira é habilidoso

3. Carruira é habilidoso

Sabendo que as três proposições acima são verdadeiras, podemos concluir que é verdade que:

“Rejão é habilidoso.”

hipóteses p ~r

h1 V F F

h2 F V F

hipóteses p

q

h1 F F F

h2 F V V




~p: Rejão não é bruto

q: Rejão é habilidoso

~p= Rejão não é bruto

r: Carruira é habilidoso

Conetivos: condicional () e disjunção ( )


(~p q) = V

(~p r) = V

r = V


Ora, se r = V vamos fixar r=V e testar a proposição 2 a fim de descobrir o valor lógico de ~p,

sabendo que o bicondicional deve ser verdadeiro.

Como sabemos o bicondicional será falso se as duas proposições tiverem valores lógicos

diferentes. Para que o bicondicional seja verdadeiro é necessário que ambas proposições tenham

o mesmo valor lógico.

Como a segunda proposição é FALSA e este bicondicional é VERDADEIRO,


Agora vamos fixar a informação p=F e testar na sentença 1 e tentar descobrir o valor lógico de q,

sabendo que a sentença como todo é verdadeira

hipóteses ~p r

h1 V F F

h2 F V F

hipóteses p q

h1 F F F

h2 F V V



Como p é falso e a sentença é verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro já

que para que a disjunção seja verdadeira pelo menos uma das proposições devem ser

verdadeiras.

Assim concluímos que q=V

4: traduzir da lógica para o texto novamente: “Rejão é habilidoso”

Exemplo 4.4.1: Considere a seguinte proposição: "Se o Policial é honesto, então o Policial é

Honesto ou Médico é trabalhador”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição

caracteriza uma tautologia.

p= Policial é honesto

q = Médico é trabalhador

Resolvendo:

p (p q) Sentença dada

~p ( p q) propriedade da igualdade de um condicional

( ~p p) q Associação

Verdade q Tautologia (sempre será verdadeiro)

Verdade Verdadeiro sempre.

Logo estamos diante de uma Tautologia.

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS

Alguns problemas de raciocínio lógico, precisam de uma representação em diagramas para sua

resolução.

A grande dificuldade destes problemas é identificar as informações e representa-las de maneira

correta nos conjuntos.

Vamos a um exemplo: Considere que um grupo de “N” alunos estão estudando para os

concursos do MPU, Receita Federal e Polícia Federal. Sabendo que dentre estes alunos, alguns

estão realizaram as provas para mais de um concurso. Vamos representar isso através de

conjuntos.



Onde:

N = Número total de alunos

X = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a Receita Federal

M = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a MPU

O = Número de alunos que prestaram concurso apenas para a Polícia Federal

Y = Número de alunos que prestaram concurso para Receita e para o MPU

Z = Número de alunos que prestaram concurso para Receita e para a Polícia Federal

N = Número de alunos que prestaram concurso para Polícia e para o MPU

W = Número de alunos que prestaram todos os concursos

L = Número de alunos que não prestaram nenhum dos concursos

X+Y+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Receita Federal

M+Y+W+N =Total de alunos que prestaram o concurso da MPU

O+N+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Polícia Federal

M+X+O+Z+Y+N+W+L = Numero total de alunos “N”.

L

MPU

PF Rec, Fed

X

Y

Z

W

M

N

O

N



QUESTÕES DE

CONCURSO

Vamos ver como a CESPE costuma cobrar

Rac. Lógico em suas provas!



1. Considere as proposições A, B e C a seguir.

A. Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

B. Jane foi aprovada em concurso público. C. Jane é policial federal ou procuradora de justiça.

Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

2. As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra

não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes

3. Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à

qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram.

4. Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará

enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

5. A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.

6. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

POLÍCIA FEDERAL 2009 - CESPE

BANCO DO BRASIL 2007 - CESPE



7. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

8. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O valor de .

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?

9. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que é verdadeira para todos os

valores de x que estão no conjunto .

10. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira

para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

11. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega

a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala

somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala

somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas

fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade

12. Considere as seguintes proposições:

P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”

Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara

ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”



13. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:

(I) O BB foi criado em 1980.

(II) Faça seu trabalho corretamente.

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade

14. A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações

15. Uma expressão da forma é uma proposição que tem exatamente as mesmas

valorações V ou F da proposição A B.

16. Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não

acertou na loteria” sejam a m b a s p r o p o s i ç õ e s v e r d a d e i r a s . S i m b o l i z a

n d o adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é

também verdadeira.

17. A proposição simbolizada por (AB)(BA) possui uma única valoração F.

18. Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira.

Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira

19. A negação da proposição A B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A

(¬B).

20. Considere que A seja a proposição “As palavras têm vida” e B seja a proposição “Vestem-se

de significados”, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição A (¬B) é

F

BANCO DO BRASIL 2008 - CESPE



21. A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela

proposição “Nenhuma palavra se mascara”

22. A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica

protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país

ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas

internacionais aumentem”.

23. A proposição “Se o Brasil não tem reservas de 190 milhões de dólares, então o Brasil tem

reservas menores que as da Índia” tem valor lógico F.

24. Toda proposição simbolizada na forma AB tem os mesmos valores lógicos que a

proposição BA

25. A proposição “Existem países cujas reservas ultrapassam meio bilhão de dólares” é F

quando se considera que o conjunto dos países em questão é {Brasil, Índia, Coréia do Sul,

Rússia}

26. Considerando como V as proposições “Os países de economias emergentes têm grandes

reservas internacionais” e “O Brasil tem grandes reservas internacionais”, é correto concluir

que a proposição “O Brasil é um país de economia emergente” é V

27. A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não

pode ser considerada uma proposição



28. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposições I e II abaixo.

I Se uma mulher está desempregada, então, ela é infeliz.

II Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco.

Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se um

argumento correto

29. Considere que A seja a proposição “O número de mulheres no mercado de trabalho

mundial atingiu 1,2 bilhão, em 2007” e B seja a proposição “O percentual de mulheres que

trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em

serviços, em 2007”. Atribuindo valores lógicos, V ou F, à proposição A e à proposição B, de

acordo com o referido texto, pode-se garantir que a proposição (¬A) B é V.

30. Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição

terá três valores lógicos F.

31. Considerando-se como V a proposição “Sem linguagem, não há acesso à realidade”,

conclui-se que a proposição “Se não há linguagem, então não há acesso à realidade” é

também V.

32. Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam, então os

bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição

“Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não

aumentam” é também V.

33. A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada

100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de

32 dólares de cada 100 dólares investidos.”

34. Se a proposição “Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA” tiver valor lógico V, a

proposição “Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, então os correntistas têm

melhores serviços lá do que aqui” será F.



GABARITO

1 E 2 E 3 C 4 E

5 C 6 C 7 E 8 E

9 E 10 E 11 C 12 E

13 C 14 E 15 C 16 E

17 C 18 E 19 C 20 C

21 E 22 C 23 E 24 E

25 E 26 E 27 C 28 C

29 E 30 E 31 C 32 C

33 C 34 E

GABARITO



35. (TCE-ES – 2012) Considerando as definições acima e a proposição:

, julgue os itens a seguir. A negação da referida

proposição é a proposição:

36. (TCE-ES – 2012) Considerando as definições acima e a

proposição , julgue os itens a seguir. Essa proposição

é logicamente equivalente à proposição

37. (TCE-ES – 2012) Considerando as definições acima e a

proposição ,julgue os itens a seguir. Se P e S forem V e

Q e R forem F, então o valor lógico da proposição em questão será F.

38. (TCE-ES – 2012) Considere que a proposição-conclusão do auditor possa ser

escrita, simbolicamente, na forma em que P, Q e R sejam proposições

adequadamente escolhidas. Nesse caso, a negação da proposição-conclusão do

auditor estará corretamente escrita na forma

39. (TCE-ES – 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: “Ocorreu

desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da

empresa estiveram envolvidos nesse desvio”. Considerando que a conclusão do

auditor corresponde a uma proposição verdadeira, julgue os itens seguintes. A

proposição “Se o gerente financeiro esteve envolvido no desvio mas o presidente

não, então não ocorreu desvio de recursos” é verdadeira.



40. (TCE-ES – 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: “Ocorreu

desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da

empresa estiveram envolvidos nesse desvio”. Considerando que a conclusão do

auditor corresponde a uma proposição verdadeira, julgue os itens seguintes. A

proposição “Não ocorreu desvio se, e somente se nem o gerente financeiro nem o

presidente estiveram envolvidos” é verdadeira.

41. (ANATEL– 2012) A negação da proposição “Ocorre falha técnica na chamada ou

a operadora interrompe a chamada de forma proposital” é corretamente expressa

por “Não ocorre falha técnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada

de forma proposital”.

42. (ANATEL– 2012) Supondo que, por determinação da ANATEL, as empresas

operadoras de telefonia móvel tenham enviado a seguinte mensagem a seus

clientes: “Caso não queira receber mensagem publicitária desta prestadora, envie

um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111”, julgue os próximos itens,

considerando que a mensagem corresponda à proposição P. A proposição P é

logicamente equivalente à proposição “Queira receber mensagem publicitária

desta prestadora ou envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111.”

43. (ANCINE– 2012) A negação da proposição “Todo ator sabe cantar e dançar” é

equivalente a “Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar”.

44. (ANCINE– 2012) A proposição tem somente o valor lógico V,

independentemente dos valores lógicos de P e Q.



45. (ANCINE– 2012) A proposição é logicamente equivalente à

proposição

46. (ANCINE– 2012) A proposição “Se todo diretor é excêntrico e algum excêntrico é

mau ator, então algum diretor é mau ator” é logicamente equivalente à

proposição “Algum diretor não é excêntrico ou todo excêntrico é bom ator ou

algum diretor é mau ator”.

47. (PMCE– 2012) Acerca da proposição R: “A população aprende a votar ou haverá

novos atos de corrupção”, julgue os itens seguintes. A proposição “Enquanto a

população não aprender a votar, haverá novos casos de corrupção” tem o mesmo

valor lógico da proposição R.

48. (PMCE– 2012) Acerca da proposição R: “A população aprende a votar ou haverá

novos atos de corrupção”, julgue os itens seguintes. Se P e Q forem,

respectivamente, as proposições “A população aprende a votar” e “Haverá novos

atos de corrupção”, então a proposição R estará corretamente assim

simbolizada:

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a

respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida

quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q

e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema;

Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema;

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às premissas P1, P2 e

P3 seguintes:



P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do

esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas

não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor

do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas.

49. (TRE/RJ– 2012) Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de

gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”.

50. (TRE/RJ– 2012) A premissa P1 é logicamente equivalente à proposição “Se o

prefeito Pérsio sabia do esquema, então o vereador Vitor participou do esquema”.

51. (TRE/RJ– 2012) A premissa P2 pode ser corretamente representada por R V Q.

52. (TRE/RJ– 2012) A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O

vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do

esquema”.

53. (TRE/RJ– 2012) Considerando que as proposições P e R sejam verdadeiras,

então, nesse caso, a premissa P3 será falsa.

54. (TRE/RJ– 2012) A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o

prefeito Pérsio não sabia do esquema.



GABARITO

35 E 36 C 37 E 38 C

39 C 40 E 41 C 42 C

43 C 44 E 45 E 46 C

47 C 48 E 49 C 50 C

51 E 52 E 53 E 54 C

Documents

RACIOCÍNIO LÓGICO CESPE I