RACIOCÍNIO LÓGICO CESPE II

Raciocnio Lgico

Prof.: Rafael Louzada

Ministrio Pblico da Unio

Tcnico

Princpios de Contagem e Probabilidade MPU

Pgina 2 Prof. Rafael Louzada

Introduo

Os primeiros passos da humanidade na matemtica estavam ligados a necessidade

de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situaes

se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difcil fazer contagens a partir da

enumerao dos elementos.

Exemplos de problemas que envolvem contagem:

01- Ao lanarmos uma moeda duas vezes e observarmos qual face ficou voltada para

cima, teremos as possibilidades: (para facilitar, chamamos a face CARA de C e a

face COROA de K).

02- Quantos e quais nmeros de trs algarismos distintos podemos formar com os

algarismos 1, 8 e 9?

03- As placas dos carros no Brasil so compostas de 3 letras e 4 nmeros. Com essa

condio, qual ser o total de placas possveis de serem obtidas?

04- Num grupo de 30 funcionrios, preciso montar uma comisso com 10. De quantas

maneiras diferentes posso montar essa comisso?

05- A Mega-Sena um jogo onde o participante, que faz um jogo simples, precisa

marcar 6 nmeros numa cartela com 50. Quantos jogos simples podemos fazer?

Para que nossa vida fique s alegria, vamos aprender algumas ferramentas (tcnicas)

matemticas para resolver problemas de contagem.


Prof. Rafael Louzada Pgina 3

Anlise Combinatria

A anlise combinatria possibilita a resoluo de problemas de contagem, importante no

estudo das probabilidades e estatsticas.

Problema: Para eleio de uma comisso de tica, h quatro candidatos a presidente

(Adolfo, Mrcio, Bernardo e Roberta) e trs a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos).

Quais os possveis resultados para essa eleio?

Para facilitar, vamos montar um esquema...

L AL

A D AD

C AC

L ML

M D MD

C MC

L BL

B D BD

C BC

L RL

R D RD

C RC

12

RESULTADOS

POSSVEIS

PARA ELEIO

PRESIDENTE VICE-PRESIDENTE RESULTADOS POSSVEIS PARA ELEIO



O esquema que foi montado recebe o nome de rvore das possibilidades,

mas tambm podemos fazer uso de tabela de dupla entrada:

PRESIDENTE

L D C

A AL AD AC

M ML MD MC

B BL BD BC

R RL RD RC

Novamente podemos verificar que so 12 possibilidades de resultado para eleio.

PRINCPIO MULTIPLICATIVO

Voc sabe como determinar o nmero de possibilidades de ocorrncia de um

evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades?

Vamos considerar a seguinte situao:

Felipe tem 2 calas (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca).

Quantas so as maneiras diferentes que ele poder se vestir usando uma cala e uma

camiseta?

Construindo a rvore de possibilidades:

Felipe tem duas possibilidades de escolher uma cala, para cada uma delas, so quatro as

possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o nmero de maneiras diferentes de Felipe

se vestir 2.4 = 8.

VICE-PRESIDENTE

CALAS CAMISETAS MANEIRAS DE FELIPE SE VESTIR



Como o nmero de resultados foi obtido por meio de uma multiplicao, dizemos

que foi aplicado o PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.

LOGO: Se um acontecimento ocorrer por vrias etapas sucessivas e

independentes, de tal modo que:

p1 o nmero de possibilidades da 1 etapa;

p2 o nmero de possibilidades da 2 etapa;

.

.

.

pk o nmero de possibilidades da k-sima etapa;

Ento o produto p1. p

2... p

k o nmero total de possibilidades de o

acontecimento ocorrer.

De maneira mais simples poderamos dizer que: Se um evento

determinado por duas escolhas ordenadas e h n opes para primeira

escolha e m opes para segunda, o nmero total de maneiras de o evento

ocorrer igual a n.m.

Problema:

Os nmeros dos telefones da cidade de Porto Alegre tm oito dgitos. Determine a

quantidade mxima de nmeros telefnicos, sabendo que os nmeros no devem

comear com zero.

Problema:

Utilizando os nmeros 1,2,3,4 e 5, qual o total de nmeros de cinco algarismos distintos

que consigo formar?

Resoluo:

9.10.10.10.10.10.10.10 = 90.000.000

Resoluo:

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120



FATORIAL

Nos problemas de contagem comum depararmos com clculos de um produto

cujos fatores so nmeros naturais consecutivos. Esses clculos podem ser simplificados

com um smbolo chamado fatorial e representado por !.

DEFINIO: Se n um nmero natural, diferente de zero e maior que um, damos o nome

de fatorial de n expresso:

n! = n . (n-1) . (n 2) . (n -3) . (n 4) ... 3.2.1

OBS.: 0! = 1 e 1! = 1

De acordo com a definio temos:

a) 2! = 2.1 = 2

b) 3! = 3.2.1 = 6

c) 4! = 4.3.2.1= 24

d) 5! = 5.4.3.2.1 =120

e) 6! = 6.5.4.3.2.1= 720

f) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 =5040

g) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320

h) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362880

i) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3628800

Exerccios: (Agora com voc)

01- Calcule:

a) 3! + 2! =

b) 5!.3! =

c) !7

!10

d)

!5

!7!9



02- Desenvolva a expresso (x + 3)! at o 4 fator.

03- Desenvolva a expresso (x 3)! at o 4 fator.

04- Simplifique a expresso !

)!1(

x

x .

05- Simplifique a expresso !

)!1(!

n

nn .

06- Resolva a equao x! = 15.(x - 1)!.

07- Resolva a equao )!2(

!

x

x.

08- Determine o conjunto soluo da equao:

)!1)!.(1(

)!2)!.(2(

nn

nn



PERMUTAO SIMPLES

Seja U um conjunto com n elementos.

Chama-se permutao simples do n elementos a qualquer agrupamento (sequncia) de n

elementos distintos de U.

O nmero de permutaes simples de n elementos indicado por Pn , onde:

Obs.: As permutaes simples de n elementos distintos diferem entre si somente

pela ordem dos elementos.

Problemas com Permutao:

1-Preciso organizar quatro livros na minha estante, um de Matemtica, um de

Direito, um de Portugus e um de Informtica, quantas so as opes de organizar

esses livros de maneira que fiquem um ao lado do outro?

2-Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra:

a) ROMA

b) LIVRO

c) FELINO

d) PERNAMBUCO

!nPn 1)...2).(1.( nnnPn ou



3- Quantos nmeros de 5 algarismos distintos podemos formar com os nmeros

2,3,6,7,9?

3.1 Quantos desses nmeros so pares?

3.2 Quantos desses nmeros so mpares?

As permutaes simples tratam de elementos distintos. Mas existem permutaes

com elementos repetidos. Na palavra ARARA, por exemplo, a letra A aparece trs vezes e

a letra R aparece duas vezes.

Para esses casos fazemos uso da frmula de Permutao com repetio:

Onde ,...,,

so as quantidades de vezes que os elementos repetidos

aparecem.

Vamos calcular o nmero de anagramas da palavra ARARA:

102

4.5

!3!.2

!3.4.5

!3!.2

!53,25

P

!!....!.

!,...,,

nPn



ARRANJO SIMPLES

Seja E um conjunto formado por n elementos, denomina-se arranjo simples dos n

elementos de E, tomados p a p, toda a sequncia de p elementos distintos de E.

OBS.: Assim como as Permutaes, os Arranjos Simples so agrupamentos que

diferem entre si pela ordem e/ou pela natureza dos elementos que os

compem.

Exemplo de aplicao: Quantos nmeros de 4 algarismos distintos, podemos formar

com os nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

COMBINAO SIMPLES

Chama-se combinao simples dos n elementos de E, p a p, todo subconjunto de E com p

elementos.

)!(!

!, pnp

nC pn

OBS.: So agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.

)!(

!

)!(

!, pn

nou

pn

nAA

p

npn

Resoluo:

3603.4.5.6!2

!2.3.4.5.6

)!46(

!64,6

A



EXEMPLO1: Fabola, Grson, Hlio, Ivelise e Jacira disputam 2 vagas no conselho

da escola. Quantas comisses de duas pessoas podem ser formadas com os cinco

estudantes?

)!25(!2

!52,5 C

EXEMPLO 2:

comisses. 52515.352

30.

!3

210

!2!.4

!4.5.6.

!4!.3

!4.5.6.7

)!46(!4

!6.

)!37(!3

!7

.. produto o resultado O

- MOAS

- RAPAZES

moas? 4 e rapazes

3 comformar podemos comisses quantas moas, 6 e rapazes 7 com reunio Numa

4,63,7

4,6

3,7

CC

C

C

EXEMPLO 3: (Agora com voc!)

Quantos tringulos podemos formar com cinco pontos sobre uma

circunferncia?



QUESTES

01- Prova: FCC - 2012 - TRF - 2 REGIO - Tcnico Judicirio - Contabilidade

Disciplina: Matemtica | Assuntos: Anlise Combinatria;

Sidnei marcou o telefone de uma garota em um pedao de papel a fim de marcar um

posterior encontro. No dia seguinte, sem perceber o pedao de papel no bolso da camisa

que Sidnei usara, sua me colocou-a na mquina de lavar roupas, destruindo assim parte

do pedao de papel e, consequentemente, parte do nmero marcado. Ento, para sua

sorte, Sidnei se lembrou de alguns detalhes de tal nmero:

- o prefixo era 2204, j que moravam no mesmo bairro;

- os quatro ltimos dgitos eram dois a dois distintos entre si e formavam um nmero par

que comeava por 67.

Nessas condies, a maior quantidade possvel de nmeros de telefone que satisfazem as

condies que Sidnei lembrava :

a) 24.

b) 28.

c) 32.

d) 35.

e) 36.

Resoluo:



02 - Prova: CESPE - TRT-16R - Analista Judicirio - rea Judiciria


Julgue os itens que se seguem.

Considere que o gerente de um laboratrio de computao vai cadastrar os usurios com

senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os nmeros 5, 6 e 7. permitida

uma nica duplicidade de caractere, se o usurio desejar, caso contrrio, todos os

caracteres tm de ser distintos. Nessa situao, o nmero mximo de senhas que o

gerente consegue cadastrar 2.880.

( ) Certo ( ) Errado

03 - Para confeccionar um conjunto de ingressos para o jogo final da Copa do Mundo, a

organizao dividiu os lotes entre duas empresas, uma delas deve fazer os ingressos

seguindo a condio a seguir:

A numerao dos ingressos devem ser nmeros inteiros maiores que 64 000 que possuem

cinco algarismos, todos distintos, e que no contm os dgitos 3 e 8. A quantidade de

ingressos confeccionados igual a:

a) 3 160

b) 2 280

c) 1 440

d) 1 320

e) 2 160

04 - O nmero de anagramas que podemos formar com a palavra COPA, que iniciam com

vogal de:

(A) 48

(B) 36

(C) 24

(D) 12

(E) 4



05 - Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Tcnico Administrativo - Bsicos


Julgue os itens 21 e 22, considerando que planos previdencirios possam ser contratados

de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco

seguintes tipos bsicos de benefcios: renda por aposentadoria, renda por invalidez,

penso por morte, peclio por morte e peclio por invalidez.

Para se contratar um plano previdencirio que contemple trs dos cinco benefcios bsicos

especificados acima, h menos de 12 escolhas possveis.

( )Certo ( ) Errado

06 - Prova: CESGRANRIO - 2011 - Petrobrs - Inspetor de Segurana


De um grupo de seis operadores de equipamentos de produo e refino de petrleo,

quatro sero escolhidos para trabalhar na mesma equipe. De quantos modos distintos

possvel escolher os operadores que integraro esta equipe?

a) 15

b) 30

c) 60

d) 125

e) 360



PROBABILIDADE

Como tudo comeou: Muitos povos desde a Antiguidade, para passarem o tempo ou

mesmo, por hbito, gostavam de algum tipo de jogo de azar. Mas as primeiras ideias

sobre probabilidade surgiram por volta de 1500.

Nos ltimos trs sculos, a teoria das probabilidades, desenvolveu-se muito e base sobre

a qual se assenta a Teoria Estatstica, cuja aplicao vastssima no mais variados

campos de atividades.

Experimento Determinstico: qualquer experimento (experincia) cujo

resultado pode ser previsto antes de sua realizao, ou seja, no depende do

acaso.

So experimentos determinsticos:

Prever a temperatura em que a gua entrar em ebulio ao ser aquecida.

A velocidade com que uma bola abandonada de certa altura atinge o solo.

Experimento Aleatrio (ou casual): qualquer experimento (experincia) cujo

resultado depende exclusivamente do acaso.

So experimentos aleatrios:

Lanar um dado e observar o nmero constante na face voltada para cima.

Retirar (sem olhar) uma das 52 cartas de um baralho e observar a carta

retirada.

Retirar (sem olhar) uma bola de uma urna que contenha bolas de vrias

cores diferentes e observar a cor retirada.

O sorteio de uma das 60 dezenas da Mega-Sena.

Como no podemos prever o resultado de um experimento aleatrio, procuraremos

descobrir as possibilidades de ocorrncia de cada um.

A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer

determinado resultado em um experimento aleatrio.



Existem dois conjunto importantes para aplicarmos a teoria da probabilidade, so eles:

ESPAO AMOSTRAL: o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento

aleatrio, vamos chama-lo de conjunto U. Observe:

No lanamento de uma moeda: U = {cara, coroa}

No lanamento de um dado comum: U = {1,2,3,4,5,6}

No nascimento de uma criana: U = {menina, menino}

EVENTO: qualquer subconjunto do espao amostral.

Por exemplo, no lanamento de um dado comum, em relao face voltada para cima,

podemos ter os eventos:

A: o nmero par A = {2,4,6}.

B: o nmero menor que 5 B = {1,2,3,4}.

C: o nmero mltiplo de 10 C = { } ou (Conjunto Vazio).

D: o nmero menor que 10 D = {1,2,3,4,5,6} ou D = U.

E: o nmero par e primo E = {2}.

F: o nmero impar F = {1,3,5}.

G: o nmero mpar e primo G = {3,5}.

OBSERVAES:

1) Quando o evento o conjunto vazio, dizemos que o evento impossvel.

2) Quando o evento o prprio espao amostral U, dizemos que o evento certo.

3) Quando o evento um conjunto unitrio, dizemos que o evento simples ou

elementar.

4) Em relao aos eventos A e F, temos: A U F = U -> a unio de dois eventos o prprio espao amostral. Nesse caso, dizemos que os eventos A e F so

complementares.

Indicamos o complementar de um evento A e A

.

5) Em relao aos eventos A e G, temos A G = . Nesse caso, dizemos que os

eventos A e G so eventos mutuamente exclusivos.



Probabilidade de um evento em um espao amostral finito:

Vamos considerar a seguinte situao:

No lanamento de um dado comum, qual a probabilidade de cair ...

a) O nmero 5?

Espao Amostral: U = {1,2,3,4,5,6}

Evento A = {5}

Para determinar a probabilidade devemos considerar o nmero de elementos de

cada conjunto (espao amostral e evento). Vamos indicar:

Nmero de elementos do espao amostral n(U) = 6.

Nmero de elementos do evento n(A) = 1.

Para obter a probabilidade de ocorrer o evento A, fazemos o

seguinte clculo:

...%66,16...166666,06

1

)(

)()(

Un

AnAP

b) Um nmero par?

Espao Amostral: U = {1,2,3,4,5,6}

Evento B = {2,4,6}

%505,06

3

)(

)()(

Un

BnBP



Agora, com voc:

Exerccios:

01 Em um cesto h 6 bolas de vlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desses cesto so

retiradas, sucessivamente, 3 bolas.

Calcule o nmero de elementos dos seguintes eventos:

a) As trs bolas tm a mesma cor.

b) Duas bolas so brancas.

c) As trs bolas so vermelhas.

d) O nmero de bolas brancas igual ao nmero de bolas vermelhas.

Respostas: a) n(A) = 2

b) n(B) = 3

c) n(C) = 1

d) n(D) = 0

02 Uma urna contm quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.

a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o nmero observado seja

divisvel por 3?

Resposta: 3

1ou 33,33..%

03 (Cesgranrio) Em uma amostra de 500 peas, existem exatamente quatro defeituosas.

Retirando-se ao acaso, uma pea dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita de:

(A) 99,0%

(B) 99,1%

(C) 99,2%

(D) 99,3%

(E) 99,4%

04 A probabilidade de se obter um nmero divisvel por 5, na escolha o acaso de um

nmero obtido pelas permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, igual a:



1)(

2

1)(

3

1)(

4

1)(

5

1)(

E

D

C

B

A

05 - Prova: CESPE - 2012 Disciplina: Matemtica | Assuntos: Probabilidade;

Considerando 7 10 -3 como valor aproximado para e -5, julgue os

prximos itens, relativos movimentao de clientes acima descrita.

A probabilidade de que, em determinado minuto, chegue exatamente um

cliente inferior a 4%.




06 - Prova: CESPE - Disciplina: Matemtica | Assuntos: Probabilidade

Com referncia ao texto e considerando o grfico nele apresentado, julgue os itens a

seguir.

Considere que a populao feminina mundial em 1997 era de 2,8 bilhes. Nessa situao,

a probabilidade de se selecionar ao acaso, dentro dessa populao, uma mulher que

estava no mercado de trabalho mundial superior a 0,33.




GABARITO:

QUESTES:

1. B

2. CERTO

3. E

4. D

5. CERTO

6. A

EXERCCIOS:

1. ---

2. ---

3. C

4. A

5. CERTO

6. CERTO

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