Regras para esboço do Lugar das Raízes

1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;

2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;

3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

Regras para esboço do Lugar das Raízes

4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;

5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

,.....2,1,0

..

12

..

kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm

k

finitoszerosNumfinitospólosNúm

finitoszerosfinitospólos

a

a

Exemplo: Esboce o Lugar das raízes

Lugar das raízes e

assíntotas para o

sistema:Assíntota

Plano sAssíntota

Assíntota

421

3

ssss

sKsF

33,1

Refinando o Lugar das Raízes

1. Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:

2. Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;

3. Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados

n

i

m

i pz 11

11

Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário

• Utilização do critério de Routh;

• Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original;

• Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações:

Localização das raízes para a geração de polinômios

pares: A, B, C ou qualquer

das combinações

A: Reais e simétricas em relação à origemB: Imaginárias e simétricas em relação à origemC:Quadrantais e simétricas em relação à origem

Plano s

Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário

• Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh;

• Estas raízes são as raízes do “polinômio par” que é o polinômio da linha acima da linha de zeros;

• Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do “polinômio par” se refere a ele.

Tabela de Routh para:

5684267

102345

sssss

sT

0 + 2.0000i 0 - 2.0000i 0 + 1.4142i 0 - 1.4142i

Raízes de

864 sssP

Linha Toda de Zeros

20384859392212

202345678

ssssssss

sT

Linha Toda de Zeros

0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i

0.5000 + 3.1225i 0.5000 - 3.1225i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i

Para o Exemplo Anterior temos:

• Ponto de Partida:

4349,0

6097,1

6812,0311,3

: valemRaízes Cujas

0248477263

4

1

2

1

1

1

0

1

3

1

234

j

Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre “0” e “-1”

Para o Exemplo Anterior temos:

• Cruzamento com Eixo Imaginário

0021

0090

7206502190

087

3141

Routh de Critério

38147

3 F.T.M.F.

2

0

1

2

3

4

234

KK

KKKK

K

K

s

s

s

s

s

KsKsss

sK

Linha de Zeros

Para o Exemplo Anterior temos:

65,9

65,74

: valemRaízes cujas 072065

ou 072065

2

1

2

2

K

K

KK

KK

Valor a ser Escolhido

js

s

KKK

587,1

07,20235,80

:por dado fica 21s90par Polinômio o 65,9 Para

2,1

2

2

Cruzamento com o Eixo Imaginário

Pontos de Chegada e de Saídado eixo real

• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para

21

53

ss

ssksHsKG

n

i

m

i pz 11

11

Pontos de Saída e Chegada

0612611

21

12

53

35

2

1

1

1

5

1

3

1

2

82,3;45,1 21

Exemplo de lugar das raízes mostrando os

pontos de saída(–1) e entrada (2) no eixo real

Plano s

82,32

45,11

Exemplo de lugar das raízes mostrando os

pontos de cruzamento com o eixo imaginário

Plano s

82,32

45,11

375,0

355,2

K

j

j355,2

Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e

observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do

Lugar das Raízes:

105,0

1

105,0

5,1

2

1

sss

sKsG

sss

sKsG

Pólos e zeros a malha aberta e

cálculos de:a. ângulo de

saída;b. ângulo de

chegada

Exemplo: calcule os ângulos de partida para o

sistema

-1.0000 +1.0000i -1.0000 - 1.0000i

Lugar das raízes para o sistema da

Fig. 8.16 mostrando ângulo

de saída

o

o

o

o

565,26

45

90

4,108

4

3

2

1

o1804213

Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de

%UP=20%

RaioÂngulo

(graus)

Plano s–158,4–180,0–199,9–230,4–251,5

0,50,7471,01,52,0

1,5

,5

0,45

421

3

ssss

sKsG

j655,0333,0