RELATÓRIO DE FÍSICALANÇAMENTO HORIZONTAL

Anderson Araújo

Larissa Britto

Rodrigo Moura

Yan Monteiro

Salvador – BA

2013

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA - BAHIA

RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I – PRÁTICA

LANÇAMENTO HORIZONTAL

Trabalho apresentado ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, pelos estudantes Anderson Araújo, Larissa Britto, Rodrigo Moura e Yan Monteiro, orientados pelo professor Erick Santana, em atividade avaliativa apresentada em 05 de Julho de 2013.

Salvador – BA

2013

LANÇAMENTO HORIZONTAL

1. OBJETIVO

Através de práticas experimentais, observar o comportamento do lançamento

horizontal de uma esfera, e a partir dos dados obtidos, quantificar outras variáveis

através das equações do movimento.

2. INTRODUÇÃO E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O presente relatório trata sobre o lançamento oblíquo, como se comporta uma

esfera realizando este movimento e as equações relevantes para analisar todos os

fatores determinantes no lançamento.

Remonta há vários séculos os primeiros estudos sistemáticos dos lançamentos de

projéteis. Excluindo-se o interesse bélico no problema, é possível extrair uma boa

quantidade de informações com a observação (e mensuração) deste fenômeno, como:

A cinemática de corpos sujeitos a uma aceleração gravitacional g;

O caso particular do lançamento horizontal de um projétil a uma determinada

velocidade vxo; e como subproduto

A conservação da energia [1].

Considerando um corpo lançado nas proximidades da superfície terrestre,

desprezando a resistência do ar. Pode ser, por exemplo, o movimento de uma bola,

que, rolando com velocidade v, realiza movimento e se projeta em direção ao chão.

Neste movimento, a bola descreverá uma trajetória curvilínea, ou seja, ela descreverá

um arco de parábola.

Tomando como base um princípio proposto por Galileu, o princípio da independência

dos movimentos simultâneos pode-se considerar o movimento descrito pela bola como

resultante da composição de dois movimentos simples e que ocorrem ao mesmo

tempo. Sendo assim, pode-se dizer que parte desse movimento estava em queda livre

na vertical e a outra parte do movimento estava em movimento uniforme horizontal.

A velocidade da bola pode ser decomposta, em cada instante de movimento, em

duas componentes: uma na horizontal, chamada de vx; e outra na vertical, chamada

de vy [2].

Figura 1 - Decomposição das velocidades no lançamento oblíquo

Como dito anteriormente, quando um corpo é lançado ao ar pode descrever

movimentos diferentes, neste caso que é o lançamento horizontal de um projétil,

têm-se  dois movimentos simultâneos e independentes: Um movimento vertical,

uniformemente variado, sob a ação exclusiva da gravidade. E um movimento

horizontal uniforme, pois não existe aceleração na direção horizontal.

No movimento vertical, atua a aceleração da gravidade (este movimento é visível

a partir do momento em que é lançado o projétil, uma vez que o mesmo possuí

apenas componente horizontal de velocidade inicial), enquanto que no movimento

horizontal, não há a componente da aceleração a atuar sobre o projétil, daí que existe

só e apenas movimento retilíneo e uniforme de velocidade sempre constante [3].

Sabe-se, por exemplo, que um corpo sob a atuação de um campo gravitacional

deve ter seu comportamento cinemático ditado pelas seguintes equações:

x=x0+vx 0t (1)

y= y0+v y 0 t−12>² (2)

Onde os termos, nestas equações, possuem seus significados usuais (x é a posição

ao longo do eixo x, x0 é a posição inicial neste eixo de coordenadas; y é a posição ao

longo do eixo y, y0 é a posição inicial neste eixo de coordenadas; vx0 é a componente x

da velocidade na posição x0, vy0 é a componente y da velocidade na posição y0, t é a

coordenada temporal e g a aceleração local da gravidade).

Assim, ao lançar um projétil horizontalmente, medindo-se o seu deslocamento em x,

pode-se avaliar, via equação (1), o valor da velocidade com o qual o mesmo foi

lançado. Também, neste caso, estamos necessariamente, forçando vy0 = 0.

Determinando-se o tempo que o mesmo leva para chegar ao solo e,

concomitantemente, a altura do qual ele se desprendeu da rampa, podemos obter, via

equação (2), uma estimativa para o valor da aceleração da gravidade local, g. Em

outras palavras, estudando a cinemática do corpo em queda livre lançado por uma

rampa horizontal, podemos estimar a velocidade horizontal do projétil, bem como ter

uma idéia do valor da constante g [1].

3. MATERIAL UTILIZADO

Tripé e haste universais;

Régua milimetrada;

Cronômetro;

Fita métrica;

Papel ofício A4;

Rampa com saída horizontal;

Esfera metálica;

Fio de prumo;

Fita adesiva; e

Papel carbono.

Figura 2 - Sistema montado para simulação de lançamento horizontal

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O experimento consiste em abandonar, do repouso, uma esfera metálica do topo de

uma rampa cuja saída é horizontal. Foram realizadas medidas repetitivas do tempo que

a esfera leva para atingir o solo, após sua saída da rampa, bem como as tomadas das

medidas de altura e os deslocamentos horizontais sofridos pela esfera.

Alinhou-se a lateral da rampa horizontal fornecida em sala de aula com uma

referencia na bancada. Determinou-se a posição x0, a qual foi feita, por conveniência, a

origem do sistema de coordenadas (x0=0), e onde se fixou o papel A4. Esta posição se

manteve constante durante todo o processo de medida.

Colocou-se o papel carbono acima do papel A4, que marcará a posição em que a

esfera cairá após o lançamento, ou seja, sua posição horizontal x. A altura em que a

rampa foi fixada também foi medida, e esta, somada a altura da rampa, determinará

os espaços em relação ao eixo y.

Foram feitos lançamentos da esfera, a partir do topo da rampa, e alterando as

alturas, até a última graduação existente nesta. As marcações feitas com o auxílio do

papel carbono foram medidas com a régua milimetrada a partir do espaço inicial (x0) e

anotadas.

A segunda etapa do experimento foi a determinação do tempo de queda da esfera.

Utilizando a mesma rampa e as mesmas medidas de alturas, determinou-se utilizando

o cronômetro o tempo entre a saída da esfera na rampa de lançamento e o toque da

mesma no piso da bancada.

5. DADOS EXPERIMENTAIS

INCERTEZA DO CRONÔMETRO: (±0,05 s )

INCERTEZA DA RÉGA MILIMETRADA: (±0,5mm)

ALCANCE HORIZONTAL DA ESFERA E ALTURA DA RAMPA

y (mm) x (mm) x (mm) σ x

700,0 332,0 337,0 335,0 329,0 334,0 335,0 333,7 2,8

690,0 300,0 305,0 304,0 310,0 315,0 303,0 306,2 5,4

680,0 290,0 285,0 284,0 295,0 288,0 287,0 288,2 4,0

670,0 275,0 260,0 269,0 276,0 268,0 266,0 269,0 5,9

660,0 260,0 265,0 263,0 259,0 265,0 262,0 262,3 2,5

650,0 245,0 240,0 230,0 225,0 235,0 233,0 234,7 7,1

640,0 215,0 216,0 220,0 213,0 222,0 220,0 217,7 3,5

630,0 185,0 190,0 193,0 195,0 187,0 188,0 189,7 3,8

620,0 155,0 160,0 150,0 157,0 152,0 151,0 154,2 3,9

610,0 120,0 115,0 116,0 117,0 122,0 125,0 119,2 3,9

Tabela 1 - Alcance horizontal da esfera a partir de alturas determinadas.

TEMPOS DE QUEDA PARA CADA ALTURA

Altura da Rampa

700 mm690 mm

680 mm

670 mm

660 mm

650 mm

640 mm

630 mm

620 mm

610 mm

Tempo de queda (s)

0,33 0,29 0,29 0,29 0,28 0,32 0,30 0,29 0,28 0,28

0,31 0,30 0,30 0,30 0,30 0,31 0,31 0,28 0,26 0,30

0,32 0,35 0,31 0,32 0,35 0,30 0,31 0,30 0,30 0,32

0,31 0,31 0,31 0,31 0,27 0,30 0,29 0,29 0,28 0,28

0,35 0,32 0,30 0,31 0,32 0,29 0,28 0,30 0,29 0,30

0,31 0,28 0,31 0,27 0,28 0,30 0,32 0,31 0,29 0,29

0,30 0,29 0,32 0,29 0,29 0,30 0,30 0,28 0,30 0,30

MÉDIA0,32 0,31 0,31 0,30 0,30 0,30 0,30 0,29 0,29 0,30

Tabela 2 – Tempos de Queda para cada altura.

6. TRATAMENTO E ANÁLISE DOS DADOS EXPERIMENTAIS:

Os erros apresentados no tópico anterior foram determinados baseando-se no

pressuposto de que todo instrumento com escala possui erro igual à metade da menor

divisão, ou seja, de sua sensibilidade. A partir das equações abaixo se determinou o

valor médio dos alcances horizontais encontrados experimentalmente e também seu

desvio padrão, apresentados na Tabela 1.

Desvio padrão: Valor médio:

(3) (4)

O cálculo envolvendo medidas indiretas necessita da aplicação do Método de

Propagação de erros. A partir da expressão abaixo, foram calculados os erros das

medidas indiretas contidos no relatório.

Propagação de erros:

Δ f=√( dfdy . Δx)2

+( dfdx . Δy)2

(5)

7. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO

Considerando que apenas forças conservativas agem sobre esse sistema, tem-se,

pela Lei da Conservação da Energia Mecânica, que existem apenas as energias

potencial (U) e cinética (K) agindo sobre ele. A energia potencial da bolinha é máxima

quando ela está na altura h em relação à mesa, e a energia potencial cinética é

máxima quando não existe mais energia potencial atuando sobre a bolinha, ou seja, no

plano da mesa. Dessa forma conclui-se que uma dessas energias aumenta exatamente

na mesma quantidade que a outra diminui:

Ui+Ki=Uf +Kf

mgh= mv f ²

2 (6)

Dessa maneira, vemos que quanto maior energia potencial adquirida no início,

maior será a velocidade final e, portanto, maior a energia cinética. Como a

componente da velocidade na direção x (Vx) é constante, pois nesse plano o

movimento é retilíneo uniforme, quanto mais alto estiver a bolinha na plataforma,

maior será a velocidade Vx que ela terá ao sair dela, e se o alcance é:

𝑆𝑥 = Vxt (7)

Assim pode-se concluir que maior será o alcance.

Pelo princípio da conservação da energia, temos que a energia mecânica se

conserva, uma vez que as forças dissipativas não serão consideradas nesse cálculo

teórico. Dessa forma, a energia mecânica inicial (𝐸𝑚𝑖) é igual e energia mecânica final

(𝐸𝑚𝑓). Nesse contexto, inicialmente a esfera tinha apenas energia potencial

gravitacional (𝑈𝑔 = mgh), que foi, posteriormente, transformada em energia cinética

de translação (𝐾 = mv ²2

).

𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓𝑈𝑔 = 𝐸𝑐𝑡mgh =

mv ²2

gh = v ²2

2gh = v2

Decompondo a velocidade em vetores ortogonais 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦, temos:

vx ²+v y2=2gh (8)

Considerando o movimento do corpo ao deixar a rampa, temos dois movimentos

distintos. Um movimento é retilíneo uniforme (direção x) e um movimento retilíneo

uniformemente variado (direção y), com uma velocidade inicial nula em y.

Movimento na direção y:

v y ²=v y ²+2g∆ y

v y ² ¿2g ho(9)

v y= voy + 𝑔𝑡𝑣𝑦 = 𝑔𝑡𝑡 =v yg

(10)

Na equação (10), o t é o momento em que a esfera toca a mesa.

Movimento na direção x:

x=xo+vx t

x=vx t (11)

Uma vez que o t da equação (10) é o momento em que a esfera toca a mesa,

quando substituímos essa equação na equação (11), teremos o alcance da esfera em

função de v y, vx e 𝑔. Substituindo (10) em (11):

x = vx ( v yg )Isolando 𝑣𝑥 na equação temos:

vx=xgv y

(12)

Substituindo (12) em (8), vem:

x ² g ²v y ²

+v y2=2gh

E substituímos (9) nessa última equação:

x ² g ²2gho

+2 gho=2gh

x ²2ho

+2ho=2h

x2=4 ho (h−ho )

x=±2√ho (h−ho )

Nesse caso, não faz sentido o sinal negativo, portanto:

x=2√ho (h−ho ) (13)

Sendo, portanto, x o alcance da esfera quando consideramos apenas a energia

cinética de translação.

Partindo do mesmo pressuposto de conservação de energia, é feita apenas a adição

de uma energia cinética de rotação da esfera. Vale salientar que os pontos

considerados para o cálculo da energia são: o ponto de partida da esfera (y=h) e o

ponto onde a esfera deixa a rampa (y=ho).

Emi=Emf

U gi=U gf+K t+K r

mgh = mgho + mvx ²

2 + Iω ²2

Sabendo que o momento de inércia de uma esfera maciça é dado por I = 25mr ²,

onde m e r são a massa e o raio da esfera, respectivamente. E considerando o

rolamento sem deslizamento, temos 𝑣 = 𝜔𝑟 ou 𝜔 = 𝑣𝑟.

Partindo das considerações feitas, temos:

mgh = mgho + mvx ²

2 + 12.25mr ²

v x ²

r ²

gh = gho + v x ²

2 + 15. v x ²

gh=gho+710. v x ²

vx=√ 107 g(h−ho) (14)

O alcance da esfera é dado por:

𝑥 = xo + vx𝑡 (xo= 0)

𝑥 = vx𝑡 (15)

O tempo de queda da esfera é dado por:

y= y0+v y 0 t−12>²

0=ho−12>²

t=√ 2hog (16)

Substituindo a equação (16) na equação do alcance (15), e depois substituindo a

equação (14) nessa última, temos:

𝑥 = vx √ 2hogx=√ 107 g (h−ho )√ 2hogx=2√ 57 ho (h−ho ) (17)

Onde x é o alcance da esfera quando consideramos o movimento de rotação desse

corpo.

A partir das expressões do alcance com e sem rotação e com os dados da Tabela 1

obtivemos a tabela com os seguintes dados:

Alcance experimental

(mm)Alcance teórico

sem rotação (mm) Erro percentualAlcance teórico

com rotação (mm)Erro

percentual333,7 ± 0,5 489,9 32% 414,04 19%306,2 ± 0,5 464,8 34% 392,79 22%288,2 ± 0,5 438,2 34% 370,33 22%269,0 ± 0,5 409,9 34% 346,41 22%262,3 ± 0,5 379,5 31% 320,71 18%234,7 ± 0,5 346,4 32% 292,77 20%217,7 ± 0,5 309,8 30% 261,86 17%189,7 ± 0,5 268,3 29% 226,78 16%154,2 ± 0,5 219,1 30% 185,16 17%119,2 ± 0,5 154,9 23% 130,93 9%

Tabela 3 – Tabela representando o alcance experimental e os teóricos com e sem rotação.

610 620 630 640 650 660 670 680 690 7000

100

200

300

400

500

600

Altura versus Alcance

Alcance experimentalAlcance teórico sem rotaçãoAlcance teórico com rotação

Altura

Alca

nce

Figura 3 - Gráfico da Altura versus Alcance

A partir dos gráficos apresentados na figura, percebemos que quando consideramos

a rotação do corpo, os dados experimentais são mais satisfatórios do que quando a

rotação não é levada em conta, uma vez que descreve com uma precisão razoável o

alcance da esfera.

No gráfico do alcance (com rotação), percebemos que, à medida que a altura

aumenta, os dados teóricos e experimentais tendem a se distanciar. A causa desse fato

é o aumento da altura (h), que gera um maior erro nos dados experimentais.

Na segunda fase do experimento calculamos o tempo referente a queda da esfera. A

partir do alcance já determinado, pode-se inferir o valor da velocidade inicial para o

modelo teórico no qual a rotação é desprezada e no que a rotação é levada em conta.

Para o cálculo da velocidade inicial SR (sem rotação) consideramos o pressuposto da

conservação da energia mecânica:

𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓mgh= mgho +

mvx ²

2

vx=√2g (h−ho) (18)

Para o cálculo da velocidade inicial CR (com rotação) substituímos os dados na

equação 14, e para o cálculo da velocidade experimental utilizamos os dados do

alcance experimental contidos na Tabela 3 e da média do tempo de que na Tabela 2

aplicando-os na equação 11. Os resultados são apresentados a seguir:

Altura Inicial (mm)

Velocidade inicial (m/s) SR

Velocidade Inicial CR (m/s)

Velocidade inicial experimental (m/s)

610 0,44 0,37 0,40 ± 0,04

620 0,63 0,53 0,51 ±0,06

630 0,77 0,65 0,63 ± 0,07

640 0,89 0,75 0,73 ±0,10

650 0,99 0,84 0,78 ± 0,12

660 1,08 0,92 0,87 ± 0,15

670 1,17 0,99 0,90 ± 0,15

680 1,25 1,06 0,96 ±0,15

690 1,33 1,12 1,02 ± 0,17

700 1,40 1,18 1,11 ± 0,18Tabela 4 – Valores relativos as velocidades iniciais para cada altura.

610 620 630 640 650 660 670 680 690 7000.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

Velocidade versus Altura

Velocidade ASRVelocidade ACRVelocidade experimental

Altura de lançamento (mm)

Velo

cidad

e (m

/s)

Figura 4 – Gráfico de Velocidade versus Altura Inicial.

A partir dos gráficos apresentados na figura, percebemos novamente que quando

consideramos a rotação do corpo, os dados experimentais são mais coerentes do que

quando a rotação não é considerada, uma vez que o modelo teórico no qual a esfera

rotaciona descreve com uma precisão razoável a velocidade da esfera.

8. REFERÊNCIAS

[1]<http://www.uesc.br/cursos/graduacao/bacharelado/fisica/roteiros_laboratorio-l.pdf>

- ACESSADO EM 10/07 às 22:00h;

[2] <http://www.alunosonline.com.br/fisica/lancamento-horizontal.html> – ACESSADO

EM 10/07 às 22:17h;

[3]<http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/fisico_quimica/

11lancamhorizontproject.htm> - ACESSADO EM 10/07 às 22:23h.

[4] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN. Roger A. Física, Mecânica. v. 1. 12ª ed. 2008.