-
7/24/2019 Resumo 3.pdf
1/4
1
UNIVERSIDADESO JUDAS TADEU DATA:
CURSO: ENGENHARIA TURMA: N DE ORDEM:DISCIPLINA: CLCULO II Prof.
Ms Rogrio Lobo
FUNES DE VRIAS VARVEISRESUMO 03
CURVAS DE NVEL
Seja k um nmero real. Uma curva de nvel,
KC , de uma funo ),( yxfz , o conjunto de
todos os pontos fDyx ),( tais que .),( kyxf
Simbolicamente,
}),(/),{( kyxfDyxC fK
Exemplo
Desenhar as curvas de nvel da funo
2216),( yxyxf para k = 0, 1, 2, 3, 4.
Soluo: O domnio da funo
}16/),{( 222 yxyxDf .
A curva de nvel correspondente a kz
22222 1616 kyxkyx
222 16 kyx .
Veja alguns exemplos:
160 22 yxk
151 22 yxk
122 22 yxk
73 22 yxk
04 22 yxk
As curvas de nvel so circunferncias
concntricas de centro na origem. Quando
kz tende a o raio tende a zero. O grfico
das curvas de nvel :
E o grfico da funo :
Exerccios de Aula
01) Esboce as curvas de nvel da funo
, =9 para k = 0, 1, 2, 3.
-
7/24/2019 Resumo 3.pdf
2/4
2
2) Esboce algumas curvas de nvel da funo
, = 4 + + 1.
3) Faa o mapa de contorno da funo
mostrando vrias curvas de nvel da funo
, = .
4) Uma placa fina de metal, localizada no plano
xy, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As
curvas de nvel de T so chamadas isotrmicas
porque todos os pontos em uma dessas curvas
tm a mesma temperatura. Faa o esboo de
algumas isotrmicas se a funo temperatura
for dada por (, ) = 1001+2+2
Exerccios de Casa
1)Seja fa funo dada por .1
22 yxz
a)Determine o domnio e a imagem.b)Desenhe as curvas de nvel.
2)Seja fa funo dada por .1
x
yz
a)Determine o domnio e a imagem.
b)Desenhe as curvas de nvel.
3)Seja f a funo dada por42
22
yx
xyz
.0),( yx
-
7/24/2019 Resumo 3.pdf
3/4
3
a)Determine o domnio e a imagem.
b)Desenhe as curvas de nvel.
4)Desenhe as curvas de nvel e determine a
imagem:
a) yxyxf 2),(
b) .2
),(
x
yyxf
c) .),(yx
yxyxf
d) .1
),(
y
xyxf
e) .),( xyyxf
f) .4),( 22 yxyxf
FUNES DE TRS VARIVEIS REAIS A
VALORES REAIS
Uma funo de trs variveis reais a valores
reais, definida em 3D , uma funo que
associa, a cada terna ordenada Dzyx ),,( , um
nico nmero real ),,( zyxfw .
O grfico de tal funo o conjunto
}),,(),,,(/),,{( 4 DzyxzyxfwzyxGf
O grfico de f ento um subconjunto do 4 ,
no nos sendo possvel, portanto, represent-lo
geometricamente.
Para se ter uma viso geomtrica de tal funo,
podemos nos valer de suas superfcies de nvel.
Seja fk Im ; o conjunto de todos os pontos
Dzyx ),,( tais que kzyxf ),,( denomina-se
superfcie de nvel correspondente ao nvel
kw .
Exemplo
As superfcies de nvel de
222),,( zyxzyxf
so superfcies esfricas de centro na origem
.222 kzyx
A superfcie de nvel correspondente a 0k o
ponto (0, 0, 0) e a superfcie de nvel
correspondente a k = 6 a superfcie esfrica:
Exerccios de Aula
1) Encontre o domnio de f se
,,= ln + .
x
y
z
-
7/24/2019 Resumo 3.pdf
4/4
4
2) Encontre as superfcies de nvel da funo
,,= + + .Exerccios de Casa
1) Represente geometricamente o domnio da
funo dada:
a-) 2221),,( zyxzyxf
b-) zzyxf 1),,(
c-) zyxzyxf 1),,( )00,0( zeyx
2) Desenhe a superfcie de nvel
correspondente a .1k
a-) xzyxf ),,(
b-) zzyxf ),,(
c-) 22),,( yxzyxf
d-) 222 4),,( zyxzyxf
