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Retângulo e Quadrado: Estudo de Áreas Por Meio de Resolução de Problemas
Vânia Regina Pignati Mendes1
Ana Maria Petraitis Liblik 2
Resumo
Este artigo teve como objetivo relatar o percurso metodológico para o desenvolvimento de conceitos de geometria plana. O trabalho foi desenvolvido com alunos da sexta série do 7o ano do Ensino Fundamental. O enfoque utilizado buscou relacionar o conteúdo de Geometria com o dia-a-dia, considerando a dificuldade que os alunos encontram em fazer essa articulação com o assunto. O conteúdo estudado de perímetros e áreas por meio da tendência da Resolução de Problemas como uma metodologia alternativa para amenizar o atual quadro crítico que se encontra o ensino e aprendizagem da Matemática no Brasil. Esta proposta apresenta uma maneira de ensinar Matemática de forma contextualizada fazendo com que os alunos passem a ser argumentadores e pesquisadores a fim de que possam procurar soluções para problemas que surgem no cotidiano. O estudo de Geometria deve possibilitar ao aluno visualizar, representar e compreender o mundo ao seu redor. O estudo de perímetro e área deve ocorrer a partir da exploração de objetos no mundo onde vive, e fazer com que o aluno seja estimulado a observar e perceber o que está a sua volta. Ao explorar metodologias que priorizem a resolução de problemas, a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, a Matemática pode dar sua contribuição ao constituir-se como instrumento a ser usado em outros campos do conhecimento, ao favorecer a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo, o estimulo à autonomia, através do desenvolvimento da segurança na própria capacidade.
Palavras - chave: Educação Matemática; Geometria; Área; Perímetro; Quadrilátero.
1Professora da disciplina de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento Educacional(PDE).Email: [email protected] Doutora do Departamento de Teoria e Prática de Ensino - DTPEN – Universidade Federal do Paraná – UFPR. Email: [email protected]
ABSTRACT
This article aimed to report the methodological approach for the develop concepts of plane geometry. The study was conducted with sixth graders from the seventh year of elementary school. The approach used sought to relate the content of geometry on day-to-day, considering the difficulty that students encounter in making that connection with the subject. The content of perimeters and areas studied by the tendency of Problem Solving as an alternative methodology to alleviate the current critical situation that is the teaching and learning of mathematics in Brazil. This proposal outlines a way to teach mathematics in context making students come to be argumentative and researchers to enable them to seek solutions to problems that arise in daily life. The study of geometry should enable the student to visualize, represent and understand the world around them. The study of perimeter and area should occur from the exploration of objects in the world where you live, and make the student is encouraged to observe and notice what is around you. By exploring methodologies that focus on problem solving, strategizing, evidence to justify the reasoning, mathematics can make a contribution to establish itself as an instrument to be used in other fields of knowledge, favored the creativity, personal initiative, collective work, the encouragement of autonomy through the development of security in one's ability.
Keywords: Mathematics Education; Geometry; Area; Perimeter; Quadrangle.
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1. Introdução
A Matemática, disciplina integrante do currículo escolar, está presente em
diversas atividades sociais e profissionais e contribui de forma decisiva para a
interpretação e intervenção em inúmeras situações do cotidiano. Frente a essa
questão, a Matemática no espaço escolar e educacional deve estar voltada a
formação integral do aluno a fim de formar cidadãos informados e conscientes
visando sempre o desenvolvimento de um pensamento crítico e reflexivo.
Nesse sentido, entende-se que a Matemática e realidade precisam estar
interligadas principalmente em sala de aula, para que se possa articular a escola
com o universo do trabalho e das questões sociais e acima de tudo fornecer
subsídios ao educando para que ele possa atuar como um ser transformador da
sociedade.
Neste contexto apresenta-se a resolução de problemas como uma proposta
pedagógica que busca aliar a Matemática com situações reais, onde problemas do
dia-a-dia podem ser explorados na sala de aula e assim fazer com que o estudante
desenvolva a sua capacidade de reflexão, além de tornar as aulas mais dinâmicas,
atrativas e interessantes. Ensinar Matemática de forma contextualizada faz com que
os alunos passem a ser argumentadores e pesquisadores a fim de que possam
procurar soluções para problemas que surgem no cotidiano. O presente trabalho
apresenta atividades sobre cálculo de área e perímetro por meio da tendência
Resolução de Problemas, foi aplicado com alunos da 6a série (7o ano), do Colégio
Estadual Professor Victor do Amaral – EFMP da cidade de Curitiba.
Ao explorar metodologias que priorizem a resolução de problemas, a criação
de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, a Matemática pode
dar sua contribuição ao constituir-se como instrumento a ser usado em outros
campos do conhecimento, ao favorecer a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho
coletivo, o estímulo à autonomia, através do desenvolvimento da segurança na
própria capacidade.
O crescimento individual e coletivo, o respeito mútuo, as formas diferenciadas
de abordar as situações que se apresentam, a compreensão e a tomada de
decisões diante de questões políticas e de problemas contemporâneos, enfim para
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que o indivíduo participe do processo de produção de conhecimentos e também
deles usufrua.
Para que o aprendizado seja mais eficiente, talvez se faça necessário
desenvolver atividades mais criativas, utilizando-se as múltiplas percepções do
aluno no processo e compreensão dos conteúdos, desta forma trabalhar Geometria
de maneira mais atrativa apresenta-se como uma das possibilidades de tentar
resgatar a Matemática do abstrato para o mundo concreto, assim o aluno talvez
venha a ter uma visão mais ampla e integra a outras áreas do conhecimento.
2. Desenvolvimento
A Geometria no Ensino Fundamental deve possibilitar ao aluno visualizar,
representar e compreender o mundo ao seu redor. O estudo de perímetro e área
deve ocorrer a partir da exploração de objetos presente no mundo onde vive, e fazer
com que o aluno seja estimulado a observar e perceber o que está ao seu redor.
A Matemática é analisada muitas vezes como um rol de definições, teoremas
e axiomas que surgem na mente de alguma pessoa e que são ensinadas por meio
de um emaranhado de técnicas sem nenhuma conexão com a realidade.
O ensino da Matemática tem sido alvo de muitas críticas em relação às
metodologias utilizadas em sala de aula, recaindo sobre as ações do professor na
sua prática diária. Muitas discussões no campo da Educação Matemática, no Brasil
e no mundo, mostram a necessidade de se adequar o trabalho escolar às novas
tendências que podem trazer melhoras ao processo de ensino e aprendizagem da
Matemática.
As Diretrizes Curriculares de Matemática (2008, p. 63), propõem que o ensino
desta disciplina seja abordado por meio das tendências metodológicas da Educação
Matemática: Resolução de Problemas; Investigação Matemática; Modelagem
Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática e História da Matemática. Dentre
as tendências envolvidas na aprendizagem da Matemática, optamos pelo estudo da
Resolução de Problemas, com a expectativa de auxiliar na reflexão sobre a prática
do professor e na construção de modelos de ensino mais adequados à
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aprendizagem dentro da sala de aula.
Percebemos uma insatisfação com relação ao ensino e aprendizagem da
Matemática detectada tanto no aluno, como no professor, ao trabalhar com
Geometria dentro de áreas de figuras planas e perímetros, envolvendo retângulo e
quadrado. As ações apresentadas no presente trabalho visam apresentar uma
alternativa a esse quadro e assim formar indivíduos críticos, atuantes e livres, que
liberam energia em atitudes individuais e coletivas no pensar e no fazer.
Como atrair o aluno durante o ensino da Geometria para que ocorra uma
consistente aprendizagem?
Qual o nível de aprendizagem que os alunos apresentam, após a aplicação
das estratégias da metodologia de Resolução de Problemas?
Ao trabalhar com áreas, pretendemos oportunizar atividades criativas,
estimulantes e ligadas à realidade da vida do aluno, dentro das atuais tendências do
ensino da Matemática, proporcionando melhor conhecimento de conceitos
geométricos.
De acordo com Dante (1994, p.47), “um problema deve ser desafiador, mas
possível de ser resolvido; real, interessante e que propicie várias estratégias de
solução”.
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do que ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções passo a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve funcionar como incentivador e moderador de idéias geradas pelos próprios alunos. No chamado método heurístico, o professor encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutir com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer funciona. Enfim, aqui o papel do professor é manter os alunos pensando, e gerando idéias produtivas. (DANTE, 1994, p.52).
O professor precisa buscar com seus alunos o interesse pela aprendizagem e
mantê-los pensando, assim fazendo é possível que venham gerar idéias produtivas.
Segundo Polya (2006, p. 4), “O professor que deseja desenvolver nos
estudantes as capacidades de resolver problemas deve incutir em suas mentes
algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e
de praticar”. Assim, o processo onde se ensina Matemática por meio de resolução
de problemas deve ser encarado como complexo, devendo estabelecer mudanças
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nas práticas pedagógicas, exigindo planejamento, de modo que os alunos possam
aprender com compreensão e de forma significativa.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolve por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. (Polya, 2006, p. V).
A Resolução de Problemas, como estratégia de ensino, pode se tornar um
importante diferencial nas aulas de Matemática, pois possibilita estimular o aluno a
interagir com o conhecimento matemático, proporcionando relações entre o prévio e
o novo conhecimento. Neste processo, os problemas são propostos de modo a
contribuir para a construção de novos conceitos e conteúdos, antes mesmo de sua
apresentação na linguagem matemática formal, tornando o ensino e aprendizagem
da Matemática mais significativa.
A tendência Resolução de Problemas se mostra na Educação Básica Pública
do Estado do Paraná eficaz e atrativa quanto a diversidade de atividades propostas
que foram trabalhadas no segundo semestre de 2011.
Para educadores como Krulik (1980), “a resolução de problemas é a própria
razão do ensino da Matemática”, devendo apresentar, portanto, diversos temas a
estudar, e devem partir sempre para a resolução de problemas. Porém,
tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida após o ensino de um
conceito, e depois ocorrendo a apresentação do problema para avaliar, como forma
de verificar até que ponto o conteúdo foi aprendido, e para isso os problemas são
apresentados ao final de tópicos ou capítulos. Dessa forma, gera atitudes
inadequadas frente ao que significa aprender a pensar em Matemática, o aluno fica
mais preocupado com as operações que terá que usar para resolver o problema do
que com a interpretação da situação e com os processos envolvidos na sua solução.
Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica do
Paraná:
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A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias Matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular problemas ou fixar conceitos pela memorização ou lista de exercícios. (Paraná, 2008, p.45).
Ao reportarmos ao livro didático encontramos vários exemplos que
possibilitam trabalhos práticos com a geometria através de problemas, como mostra
o livro Matemática Divertida e Curiosa (Malba Tahan, 2008). Já no livro Como
Encontrar a Medida Certa (Marcondes, 1996), encontramos exemplos de cálculos de
áreas contadas através de histórias, no livro trabalhando com geometria (CHAVES,
André Luiz et AL,1989), encontramos como trabalhar geometria na prática, através
de figuras.
Segundo Gerdes (1992, p. 8), há exemplos de conhecimentos antigos sobre
retângulos. A importância da construção de retângulos para a vida cotidiana de
muitos povos, para erguer suas casas, podia ter sido refletida na geometria “grega”.
Diz também que:
... alia uma sólida base teórica à vivência de anos de prática na construção de um sistema escolar integrado na realidade de seu país adotado. Ele busca justamente na geometria, a disciplina que representa a espinha dorsal do conhecimento científico moderno e normalmente identificada com a herança cultural grega, o elemento contestador da propalada hegemonia do modo de pensar ocidental no pensamento moderno. Mostrando que o pensamento geométrico está em todas as atividades do dia a dia da população, desde as atividades de sobrevivência, como colheita e caça, até aquelas que respondem ao impulso em direção à transcendência, como cultos, rituais. (Gerdes, 1992, p. 8).
Pesquisas realizadas por Polato (2008) retratam que o aprendizado
significativo sobre resolução de problemas, se revela como a expressão de
diferentes formas de raciocinar sobre um problema, que devem ser compreendidos e
levados em consideração pelo professor. O aluno como sujeito ativo na produção de
conhecimento, o docente tem o papel de mediador, ajudando a construir conceitos e
fazendo com que o estudante tenha consciência do que faz na hora de responder as
questões.
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Assim, ao despertar o interesse pela Geometria, que leva à aprendizagem
através dos conteúdos trabalhados, os alunos terão condições de aprimorar seus
conhecimentos, tornando-o significativos para sua vida, aplicando em seu cotidiano.
Nesse sentido, a Geometria pode ser um caminho para auxiliar os educadores
a desenvolverem um pensamento crítico, já que contribui de forma inegável para
análise de fatos e relações, e permite fazer ligações entre estes e a dedução.
2.1 IMPLEMENTAÇÃO
A turma envolvida foi a 6a série (70 ano), do período da tarde, sendo que as
atividades foram implementadas no período de agosto a novembro de 2011, no
Colégio Estadual Professor Victor do Amaral – EFMP. Muitos dos Alunos não
lembravam os conhecimentos básicos sobre o assunto, o que motivou a
necessidade de recordar conceitos elementares por ele esquecidos.
O projeto foi apresentado aos alunos, os quais relataram que a maioria gosta
da disciplina de Matemática, especificamente do conteúdo de Geometria; embora
reconheçam que é muito difícil; os que não gostam da disciplina não a entendem e
não vêem utilidade no seu estudo.
A necessidade de uma intervenção pedagógica nesta realidade foi evidente,
assim despertando nos alunos uma atitude de investigação, possibilitando enxergar
o emprego da Geometria no seu cotidiano.
Os trabalhos foram desenvolvidos com atividades que contemplaram o
conteúdo de perímetro e área de figuras planas envolvendo quadrado e retângulo.
Verificou-se que o desenvolvimento de atividades diferenciadas, tais como:
Fotografar uma parede azulejada, medir a quadra, pintar a malha quadriculada (ver
anexos) com os alunos, contribuiu para evidentes progressos: aprendizagem de
conceitos geométricos, aumento de motivação e estimulo à aprendizagem,
proporcionando o desenvolvimento dos mesmos de maneira intensa, o qual levou a
iniciativa, interesse, curiosidade, capacidade de análise de reflexão e assim de
melhor interação com o grupo de colegas.
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Devido a turma ter 34 alunos entre eles 16 meninas e 18 meninos, foi dividida
em grupos de 5 pessoas para trabalharem em equipe e interagir entre eles sobre os
seus conhecimentos.
Antes de começar a trabalhar o conteúdo proposto, foi aplicada uma
avaliação diagnóstica.
E no final, uma avaliação sobre os conhecimentos adquiridos.
Nesta última avaliação, uma das questões era: Qual (ou quais) foram as
atividades que ensinaram “melhor” o que é área e o que é perímetro?
As respostas de alguns alunos foram as seguintes:
“Na verdade todas as aulas ensinaram bem, mas nos últimos problemas em
sala, quando estávamos finalizando os exercícios, acho que foi desde ai que
aprendemos mais.” (Aluno A).
Outra aluna relatou que: “Medir as quadras e outros objetos.” (Aluna B).
Também foi relatado por outro aluno: “A atividade que saímos para medir a quadra e
quando fiz o mosaico.” (Aluno C). Mais uma aluna colocou que: “Eu gostei de medir
a sala com meus colegas e por isso achei divertido e foi um ensinamento que
estimulou meu jeito de pensar.” (Aluna D). Outros colocaram que: “Gostaram de
tirar fotos e achar a área da parede azulejada.”
Na implementação os alunos tiveram atividades diferenciadas relacionadas ao
conteúdo de perímetro e área de figuras planas, calcularam vários desenhos de
polígonos, trabalharam com a planta de casa, mediram vários objetos da sala e
também a quadra da escola, trabalharam com problemas relacionados ao cotidiano
dos alunos, entre eles pediam para fotografar paredes azulejadas para trabalhar o
conteúdo estudado, entre outros.
2.2 Material Didático
A elaboração do material didático era item obrigatório para a conclusão do
curso. Esse momento exigiu bastante criatividade, pois é um material que explora as
aplicações do conteúdo abordado. O material escolhido foi Unidade Didática que
contribuiu para o aprimoramento das práticas pedagógicas, por meio da
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disponibilização de conteúdos e recursos didáticos aos educadores na elaboração
de suas aulas.
A análise do conhecimento geométrico e de suas implicações no ensino
devem servir como referência para qualquer reflexão sobre a importância ou não de
sua abordagem em sala de aula, as possibilidades interdisciplinares poderão ser
aplicadas e ter continuidade a partir da implementação do projeto e as disciplinas do
currículo.
Os exercícios propostos no material didático despertaram o interesse dos
alunos, eles gostaram de trabalhar desta forma mais prática, participando e
interagindo nas atividades propostas.
Os exercícios apresentados foram elaborados para serem trabalhados em
grupos, pois assim eles interagem melhor e trocam idéias com seus colegas.
Foram feitas atividades com o objetivo de tentar despertar o interesse pelo
conteúdo proposto, desta forma talvez levando a uma melhor aprendizagem.
2.3 Grupo de Trabalho em Rede
Uma das atividades obrigatórias do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE era trabalhar com Grupo de Trabalho em Rede, com o objetivo
de socializar o conhecimento produzido durante o curso com aqueles professores
que não faziam parte do programa, mas que estavam trabalhando na rede pública
de Ensino do Estado do Paraná. O grupo de trabalho se desenvolveu num ambiente
virtual, no qual foi utilizado a plataforma MOODLE. Num primeiro momento houve
orientações de como trabalhar na plataforma, através de curso com a equipe da
CRTE (Coordenação Regional de Tecnologia na Educação do Núcleo Regional de
Educação) os quais colocaram a maneira de como deveria ser formado o curso, os
encaminhamentos para cada módulo e como se comunicar com os integrantes da
rede. O grupo de trabalho em rede foi uma experiência interessante que possibilitou
a troca de conhecimentos entre professores de todo o Estado. Houve uma troca de
experiências que enriqueceu a prática docente de todos os cursistas.
Em princípio observou-se que os participantes apresentaram opiniões
formadas em relação a várias questões que envolvem o ensino da Matemática e
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situações do cotidiano, que dificultam a aprendizagem e outros problemas que
envolvem a profissão, os professores motivados tendem a aplicar e desenvolver
suas possibilidades.
Perceberam que de certa forma já realizavam muitas ações para tornar a
Matemática algo mais agradável ao aluno, e após aplicação do projeto, alguns
professores retornaram os resultados alcançados satisfeitos com o desempenho dos
alunos. Houve no decorrer do GTR a análise pelos cursistas do projeto de
implementação e do material didático. Os educadores consideram que existe
necessidade de uma metodologia que faça o estudante compreender e saber onde
aplicar o conhecimento que adquire na escola, relação esta que facilita a
compreensão do mundo, estabelecendo um elo entre a teoria e a prática. São
muitos os obstáculos encontrados, apesar disso os profissionais estão preocupados
em produzir melhor aula e melhorar a qualidade de ensino, cada um a seu modo,
construindo seu conhecimento.
O grupo de trabalho em rede GTR foi composto por três temáticas a serem
estudadas:
Temática 1.
Os professores analisaram o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola,
dando suas contribuições.
Temática 2.
Foi trabalhado sobre a Produção Didático Pedagógico. Uma das atividades foi
a sugestão para que eles aplicassem este material aos seus alunos, adaptando o
conteúdo, e dando sugestões de outras atividades.
Temática 3.
Discutimos sobre a implementação do Projeto na Escola.
O trabalho foi desenvolvido com quinze professores da disciplina de
Matemática, dos quais quatorze concluíram, apenas um deles não atingiu a
porcentagem de postagem e portanto não concluiu o curso.
O curso foi gratificante, pois todos expuseram suas idéias com clareza e não
mediram esforços para acrescentar suas contribuições ao meu projeto o qual foi
muito relevante.
3. Considerações Finais
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A Matemática foi criada para atender as necessidades do homem e sem ela,
situações cotidianas se tornariam muito difíceis de serem resolvidas. Essa
Matemática do dia - a - dia deve estar presente na escola de modo a atender o seu
objetivo e proporcionar ao aluno os conhecimentos básicos para o seu
desenvolvimento social. A metodologia Resolução de Problemas se mostrou
eficiente no que diz respeito a associação dos conteúdos curriculares com a
Matemática aplicada na vivência dos alunos.
O Programa de Desenvolvimento Educacional foi uma oportunidade de
aprimorar e aperfeiçoar o conhecimento; pois ao iniciar a implementação, verificou-
se, que muitos alunos consideravam a Geometria algo que não poderia ser
observado em muitos momentos de sua vida e sequer viam alguma aplicabilidade.
Para aqueles que já tinham base de que existia, não sabiam exatamente como
aplicá-la. Portanto, alguns alunos da turma não gostavam da disciplina. Ao final da
implementação houve uma mudança de comportamento de alguns alunos em
relação à ela, demonstraram mais gosto pelas atividades, apesar de encontrarem
dificuldades em alguns momentos, assim a necessidade de dar continuidade às
ações do projeto nesta série e estender também para outras, tornou-se evidente.
O trabalho foi de grande importância para a prática docente, principalmente
porque as atividades ocorreram através de uma sequência de acompanhamento, o
que permitiu uma avaliação mais detalhada das atividades. A importância das ações
desenvolvidas na reflexão da prática pedagógica poderá ser percebida no
desenvolvimento dos conteúdos de forma mais critica e participativa.
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Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar a Deus, que me deu forças para estudar e seguir em
frente, protegendo-me e iluminando minha vida; mesmo com pedras que surgiram
em meu caminho, consegui continuar meus estudos com fé e esperança.
Em segundo lugar pela minha família, pelo apoio e paciência, mesmo com algumas
divergências, deram-me força para vencer.
A minha orientadora que apoiou-me com idéias, transmitindo seus conhecimentos
com muito carinho. Uma pessoa que admiro muito.
E, por fim não poderia deixar de agradecer aos meus amigos que, além de serem
fonte de inspiração para minhas idéias, ajudaram-me com opiniões, correções
ortográficas, conhecimentos sobre informática, tradução e implementação.
Obrigada a todos que tiveram ao meu lado durante esta jornada.
14
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Editora Ática, 1994.
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Brasília, 1985.
GERDES, Paulus. Sobre o despertar do Pensamento Geométrico. Curitiba:
Editora UFPR, 1992.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A Conquista da matemática.
Editora FTD, 1a Edição, São Paulo, 2009.
GUELLI, Oscar. Matemática uma Aventura do Pensamento. Editora Ática – 1997.
KRULIK, Stephen e REYS, Robert.E. (org). A Resolução de Problemas na
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MARCONDES, Carlos; Gentil, Nelson. Como Encontrar a Medida Certa. 9º ed.,
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17
Atividades realizadas pelos alunos
Anexo 01
18
Anexo 02
19
Anexo 03
20
Anexo 04