Sem Fim 2011

Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2011 – Página 1

Transmissões de parafuso sem-fim -coroa

1 - Informações gerais A transmissão de parafuso sem-fim/coroa (figura 1) é constituida pelo parafuso sem-fim 1, ou seja, uma rosca com perfil trapezoidal (ou similar) e pela coroa 2 (ou roda-coroa), que é uma roda dentada com dentes helicoidais (inclinados), obtida por conjugação mútua com os filetes do parafuso. A transmissão de parafuso sem-fim/coroa faz parte das transmissões dentadas-roscadas tendo características tanto de transmissões dentadas como de transmissões roscadas. As transmissões de parafuso sem-fim/coroa diferenciam-se das transmissões com dentes helicoidais de eixos cruzados visto que estas, no momento inicial, têm contacto pontual, enquanto que as transmissões de parafuso sem-fim/coroa têm contacto linear.

Figura 1: Transmissão de parafuso sem-fim/coroa Na secção axial os dentes da roda-coroa têm a forma de um arco. Isto permite o aligeiramento do corpo do parafuso sem-fim e o aumento do comprimento da linha de contacto entre os dentes da coroa e os filetes do parafuso sem-fim. A invenção do parafuso sem-fim é atribuida a Arquímedes. As vantagens das transmissões de parafuso sem-fim/coroa são:

a) possibilidade de obtenção de grandes relações de transmissão (compacidade); b) suavidade e ausência de ruído durante o funcionamento; c) possibilidade de deslocamentos reduzidos e precisos (por exemplo, em mecanismos divisores); d) transmissão de movimento entre eixos cruzados; e) possibilidade de garantir irreversibilidade do movimento (auto-frenagem)

Desvantagens: a) baixo rendimento (comparativamente a outros tipos de transmissões); b) frequente necessidade de utilização de materiais anti-fricção de alto custo para o fabrico da roda-coroa;

As transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se quando é necessário diminuir a velocidade e a transmissão do movimento é feita entre veios cruzados (na maioria dos casos com veios perpendiculares). O grau de utilização das transmissões de parafuso sem-fim/coroa


corresponde a cerca de 10% do das transmissões por engrenamento. Segundo o número de unidades, a produção de redutores de parafuso sem-fim/coroa corresponde a cerca de metade da produção de redutores, em geral. Em geral, as transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se nos transportadores, máquinas-ferramentas, automóveis, etc. A relação de transmissão "i" das transmissões de parafuso sem-fim/coroa define-se de acordo com uma condição segundo a qual em cada volta do parafuso sem-fim a roda-coroa gira num ângulo correspondente a uma quantidade de dentes igual ao número de filetes do parafuso sem-fim, podendo ser analiticamente expressa por:

2

1

1

2

2

1

2

1

θθ

ωω

====z

z

n

ni (psf 1)

onde: ω1 – é a velocidade angular do parafuso sem-fim; ω2 – é a velocidade angular da roda-coroa; n1 - é a frequência de rotação do parafuso sem-fim; n2 - é a frequência de rotação da roda-coroa; z1 - é o número de entradas (filetes) da rosca do parafuso sem-fim;

z2 - é o número de dentes da roda-coroa

θ1 – é o deslocamento angular do parafuso sem-fim (em voltas ou radianos ou graus); θ2 – é o deslocamento angular da roda-coroa; Embora o aspecto da fórmula para a relação de transmissão seja similar ao das

transmissões por engrenagens cilíndricas e cónicas, nas transmissões por parafuso sem-fim/coroa os eixos são perpendiculares e não são concorrentes. Por isso, os vectores de velocidades nos pontos de engrenamento não são paralelos, o que implica que as velocidades dos pontos do elemento motor e elemento movido que estão em contacto são notoriamente distintas, ou seja, há deslizamento. Analiticamente, pode-se explicar este deslizamento como resultado da condição:

21 vvrr

≠

Assim sendo, a relação de transmissão não depende dos diâmetros do parafuso sem fim e da roda-coroa. De facto, diferentemente das outras transmissões por engrenagens em que se pode escrever d1 = m⋅z1, o diâmetro do parafuso sem-fim não é expresso como função directa do número de filetes. Em vez do número de entradas, a relação entre o diâmetro e o módulo é o “coeficiente de diâmetro”. A transmissão de parafuso sem-fim mais vulgar e com maior campo de utilização é a transmissão de parafuso sem-fim com parafuso cilíndrico, mas há outras construções. Parâmetros principais das transmissões de parafuso sem-fim/coroa com parafuso cilíndrico Devido ao baixo rendimento, as transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se para potências pequenas e médias: até 200 kW. Vulgarmente usam-se até 50...60 kW, transmitindo

torques até 5·105 N·m. A relação de transmissão varia, geralmente, entre 8 e 63...80. Porém, em alguns casos (como, por exemplo, no accionamento de mesas de grandes diâmetros nas máquinas-ferramentas), a relação de transmissão pode ir até 1000. Tal como nas transmissões por rodas dentadas cilíndricas, os módulos, distâncias interaxiais e relações de transmissão são normalizados. As relações de transmissão normalizadas são:


Série 1: 8; 10; 12,5; 16; 20; 25; 31,5; 40; 50; 63; 80. Série 2: 9; 11,2; 14; 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71.

Os valores reais das relações de transmissão não devem ser superiores aos normalizados em mais de 4%. Os valores normalizados dos módulos "m" são, em milímetros:

1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10; 12,5; 16; 20; 25. Também são admissíveis os seguintes valores:

1,5; 3; 3,5; 6; 7; 12 e 14. As distância interaxiais normalizadas "aw" são:

Série 1: 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200; 250; 315; 400; 500. Série 2: 140; 180; 225; 280; 355; 450

2. - Geometria das transmissões de parafuso sem-fim cilíndrico sem deslocamento do perfil do parafuso sem-fim

Os cálculos geométricos das transmissões de parafuso sem-fim/coroa são análogos aos cálculos de transmissões por engrenagens. De início considerar-se-á a engrenagem sem deslocamento do parafuso sem-fim. Parafuso sem-fim As transmissões de parafuso sem-fim podem ser distinguidas segundo a forma da peça inicial, i.e., do parafuso sem-fim, podendo ser cilíndricas [(figura 2 a)] ou globoidais [com roda-coroa tórica – figura 2 b)]. Segundo a forma do perfil dos filetes existem parafusos sem-fim dos seguinte tipos: de Arquímedes, de convolução, de evolvente e de perfil côncavo.

Fig. 2: Formas do parafuso A ferramenta utilizada para o fabrico da roda-coroa é análoga a um parafuso sem-fim. O perfil dos dentes da roda-coroa é obtido automaticamente, por envolvimento. Por esta razão, o perfil do parafuso sem-fim pode ser variado. A escolha do perfil faz-se atendendo às vantagens tecnológicas. Parafuso sem-fim de Arquímedes (tipo ZA) (figuras 3 a e 1.37) - Tem a aspecto de uma hélice na qual a configuração do perfil (trapézio) na secção axial do parafuso é rectilínea. O ângulo do trapézio simétrico é definido pelo ângulo de pressão axial αx. Na secção transversal do parafuso, os filetes têm a forma de uma espiral de Arquímedes. Estes parafusos sem-fim são simples de fabricar, se não forem submetidos à rectificação. Podem ser produzidos por torneamento com uma ferramenta de corte simples (figura 1.38), para ângulos de subida da hélice entre 10 e 15º. Por isso, têm vasta utilização em transmissões de baixa velocidade e pouco sobrecarregadas. Para a rectificação dos parafusos sem-fim de Arquímedes é necessária uma mó de configuração complexa, na sua secção axial. Este factor limita a sua utilização.


Figura 1.37: Parafuso sem-fim de Arquímedes Fig. 1.38: Torneamento do perfil ZA Parafuso sem-fim de convolução ou parafuso sem-fim com flancos rectos na secção

normal (tipo ZN) (figura 1.39) - É um parafuso sem-fim com perfil rectilíneo na secção normal ao eixo de simetria do filete. Na secção transversal do parafuso sem-fim, as espiras têm a forma de uma evolvente alongada ou curta. Estes parafusos sem-fim têm certas vantagens tecnológicas em comparação com os de Arquímedes. Para cortar os filetes do parafuso sem-fim do tipo ZN, a ferramenta de corte é inclinada relativamente ao eixo do parafuso sem-fim num ângulo igual ao ângulo de subida da hélice (fig. 1.39). Ao executarem-se as roscas com ferramentas de corte duplo (no perfil da ranhura) os ângulos de corte são iguais em ambos os lados.

Figura 1.39: Perfil do parafuso sem-fim de convolução (ZN) e sua produção Se a rectificação dos parafusos sem-fim com perfil de convolução for feita com um disco cónico (figura 4.4.27 – b)) com geratriz rectilínea numa rectificadora vulgar, geram-se


superfícies laterais não raiadas e isto causa uma pequena alteração no perfil inicial, para uma forma ligeiramente abaulada. As fresas (com forma de um parafuso) para a obtenção das rodas coroas rectificam-se do mesmo modo que os parafusos sem-fim e por isso o engrenamento com o parafuso sem-fim é perfeito. A abertura de roscas do parafuso sem-fim não raiado, antes da rectificação por um disco cónico, pode ser executada com uma fresagem prévia através de uma fresa de disco plana.

Figura 4.4.27b: Rectificação do perfil ZN, com ligeira alteração da forma

A rectificação dos parafusos sem-fim dos tipos ZA e ZN é considerada complexa. Parafusos sem-fim não raiados ou parafusos sem-fim com flancos abaulados (tipo ZK) (figura 1.40) - Estes parafusos são fabricados com uma ferramenta cortante (fresa) que tem a forma de um disco, podendo ser rectificado com uma mó de perfil similar. O eixo de rotação da ferramenta é inclinado em relação ao eixo do parafuso no valor do ângulo de subida da hélice. O perfil normal da hélice assim gerada é ligeiramente côncavo e esta concavidade é tanto maior quanto maior for o diâmetro da ferramenta cortante.

Figura 1.40: Fresagem e rectificação do perfil do parafuso sem-fim com flancos abaulados (ZK) Parafusos sem-fim de evolvente ou parafusos sem-fim com flancos em helicóide

planificável (tipo ZI) (figura 1.41) - Têm a forma de uma roda dentada com dentes oblíquos com um pequeno número de dentes e grande ângulo de inclinação. O perfil do dente na secção transversal é descrito por uma evolvente. A superfície evolvente tem perfil rectilíneo no plano secante tangente ao cilindro de base do parafuso. Por isso, os parafusos sem-fim de evolvente podem ser rectificados pela parte plana da mó rectificadora [figura 1.41 b)]. É conveniente


fabricar os parafusos a ser rectificados com a forma de evolvente. Os parafusos sem-fim de evolvente podem ser produzidos por torneamento, desde que a ferramenta cortante seja posicionada convenientemente [(figura 1.41 a)].

a) b) Figura 1.41: Perfil do parafuso sem-fim de evolvente (ZI) e sua produção As transmissões de parafuso sem-fim possuem as seguintes designações: - de Arquímedes - ZA; - de convolução - ZN; - não raiados, executados com um disco cónico rectificador - ZK; - de evolvente - ZI; - com perfil côncavo do parafuso sem-fim - ZT.

Figura 138: Comparação das posições de ferrmentas para o torneamento dos perfis ZA, ZN e ZI De acordo com as normas o ângulo do perfil é de 20º. Nos parafusos sem-fim de Arquímedes (figura 1.37) - este ângulo é medido na secção axial e é αx; nos de perfil de

convolução (figura 1.39) é medido na secção normal e é αn; nos de evolvente tal como nas rodas dentadas com dentes oblíquos é medido na secção normal da cremalheira de dentes oblíquos, que engrena com o parafuso sem-fim; nos não raiados é o ângulo do perfil da superfície cónica produzida.


A distância entre pontos homólogos correspondentes às partes laterais de duas espiras contíguas, medida paralelamente ao eixo chama-se "passo calculado" e designa-se por "p" (figura 196). A relação p/π chama-se "módulo" e designa-se por "m" e é um parâmetro normalizado (§1). Para os parafusos sem-fim o módulo é axial e para as rodas-coroas é transversal (circunferencial). Os valores numéricos do passo e do módulo são comuns ao parafuso sem-fim e à roda coroa, sobre os diâmetro primitivos.

Fig. 196 – Parâmetros geométricos de um parafuso sem-fim

A roda-coroa é talhada por fresas sem-fim cujas arestas cortantes, ao girarem, formam

trajectórias idênticas às das espiras de um parafuso sem-fim. Como forma de reduzir a diversidade de ferramentas cortantes, a razão entre o diâmetro e o módulo do parafuso sem-fim, com a designação “coeficiente de diâmetro”, também é um parâmetro normalizado:

qd

m= 1 (psf 2)

O coeficiente de diâmetro q é o número de módulos que cabem no diâmetro primitivo do parafuso sem-fim. O seu sentido físico é muito próximo ao do número de dentes de uma engrenagem e é manipulado aritmeticamente com este (e.g., fórmulas psf 3 e psf 10), mas é diferente. O diâmetro primitivo de referência (ou de corte) do parafuso sem-fim (figura 3 ou 196) é d1 = q⋅m, onde q é escolhido de tabelas, em função do módulo m: m 2 2,5 3.15 4 5 6,3 8 10 12,5 q 8* 10 12,5** 16 20

* - excepto m = 2; ** - excepto m =2,5

Recomenda-se a escolha de q ≥ 0,25⋅z2 (com q = 0,25⋅z2 tem-se d1 ≈0,4⋅aw , onde aw é a distância interaxial); com o aumento de q diminui o rendimento da transmissão (devido à redução do ângulo de subida da hélice γ) mas, por outro lado, com a redução de q diminui a rigidez à flexão do parafuso sem-fim. Para transmissões de carga também se usam as recomendações: q = (0,22...0,4)⋅z2. O valor mínimo admissível de q é qmin = 0,212⋅z2. O diâmetro primitivo de funcionamento dw1 do parafuso sem-fim sem deslocamento do perfil é igual ao diâmetro primitivo de referência d1.


O número de entradas do parafuso sem-fim z1 escolhe-se em função da relação de transmissão i. Segundo normas, z1 é igual a:

z1 Recomendação 1 para i ≥ 30 2 para i = 15…30 4 para i = 8…15

Para transmissões de grande potência recomenda-se a fabricação de parafusos de mais de

uma entrada, para minimizar as perdas causadas pelo baixo rendimento e aquecimento excessivo dos parafusos com uma entrada. O ângulo de elevação da linha do filete γ do parafuso sem-fim sobre o diâmetro primitivo de referência (ângulo de elevação primitivo ) pode ser determinado por:

q

z

qm

zm

d

zm

d

zp

d

ptg z 11

1

1

1

1

1

1 =⋅⋅

=⋅

=⋅⋅

=⋅

=ππ

γ (psf 3)

onde pz1 = p⋅z1 - é o avanço da rosca (ou da espira);

p - é o passo da rosca

As alturas da cabeça e do pé dos filetes (das espiras) são definidas por:

;; *11

*11 mhhmhh ffaa ⋅=⋅= (psf 4)

onde o coeficiente de altura da cabeça é ha1

* =1 e o coeficiente de altura do pé é h f 1* = 1,2

para os parafusos sem-fim de Arquímedes, de convolução e não raiados; para os parafusos sem-fim de evolvente h f 1

* = 1 + 0,2⋅Y. (Y é a compensação do deslocamento, ao qual se dará o valor

1, na presente abordagem) Os diâmetros de crista (externo ou de cabeça) da1 e de raiz (ou de fundo) df1 são dados por: da1 = d1 + 2⋅ha1 e df1 = d1 - 2⋅hf1 (psf 5) O comprimento b1 da parte roscada do parafuso sem-fim escolhe-se em função do número de dentes da roda-coroa z2 (para parafuso sem deslocamento): b1 ≥ (c1 + c2⋅z2)⋅m (psf 6)

para z1 = 1 ou 2: c1 = 11; c2 = 0,06; para z1 = 4: c1 = 12,5; c2 = 0,09;

Para os parafusos sem-fim fresados e rectificados o comprimento b1 deve ser aumentado em 25 mm para módulo m < 10 mm, em 35…40 mm para módulo m = 10…16 mm, e em 50 mm para módulo m > 16 mm. Esta medida deve-se à deformação do perfil do filete nas zonas de entrada e saída da ferramenta. Quando o surgimento de folga no engrenamento entre o parafuso sem-fim e a coroa é intolerável o parafuso sem-fim é fabricado com espiras de espessura variável e a regulação da


folga é feita por meio do deslocamento axial do parafuso sem-fim ou utiliza-se uma construção em que a roda-coroa é accionada a partir de dois parafusos sem-fim apertados entre si. Roda-coroa O número mínimo de dentes da roda-coroa z2min nas transmissões cinemáticas auxiliares que têm um parafuso sem-fim de uma entrada é z2min = 17…18; nas transmissões sobrecarregadas z2min = 26…28. Para as transmissões sobrecarregadas o número óptimo é z2opt = 32…63 (não mais que 80). Nos accionamentos de mesa de grande diâmetro z2 atinge 200…300, e em casos particulares chega a 1000. Para casos vulgares recomenda-se z2min = 28. É importante notar que quanto maior for z2 maior deverá ser o coeficiente de diâmetro pois uma roda-coroa maior implica uma maior distância entre os apoios do parafuso sem-fim, ou seja, implica a redução da rigidez do parafuso sem-fim.

Fig. 9.5 – Parâmetros geométricos da roda coroa

O diâmetro primitivo de referência coincide com o diâmetro primitivo de funcionamento (recorde-se que x = 0):

d2 = m⋅z2 (psf 7)

Os diâmetros externo da2 e interno df2 na secção média da coroa, em transmissões sem

deslocamento do parafuso sem-fim, são:

da2 = d2 + 2⋅ha2 e df2 = d2 - 2⋅hf2, respectivamente. Nas transmissões em que o número de entradas do parafuso sem-fim é igual a 2 (ou mais) há mais eficiência no engrenamento do que nas transmissões em que o parafuso sem-fim tem apenas uma entrada. Por esta razão, o diâmetro externo e a largura da roda-coroa podem ser menores, para os mesmos valores de d2, da2, e m. O diâmetro máximo da roda-coroa calcula-se, então, pela fórmula:


d dm

zaM a2 21

6

2≤ +

⋅+

ou medd aaM ⋅+≤ 22 (psf 8)

onde: e = 2 – para z1 = 1 e = 1,5 – para z1 = 2 e = 1 – para z1 = 4 A largura da roda-coroa b2 é:

b2 ≤ 0,75⋅ da1 para z1 = 1 ou 2; b2 ≤ 0,67⋅ da1 para z1 = 4.

Para o cálculo de resistência, o ângulo de abraçamento 2⋅δ é determinado pelos pontos de

cruzamento da circunferência da1 - 0,5⋅m com as linhas de contorno da roda-coroa:

senb

d ma

δ =− ⋅

2

1 0 5, ou seja δ =

− ⋅

arcsen

b

d ma

2

1 0 5, (psf 9)

Quando conjugada com o parafuso sem-fim, a roda-coroa confere uma distância entre eixos também designada distância interaxial. Em geral, a distância interaxial duma transmissão designa-se aw e, para uma transmissão sem deslocamento, designa-se por a. Neste caso, é igual à soma das metades dos diâmetros primitivo de referência do parafuso sem-fim e da roda-coroa:

ad d m

q z=+

= ⋅ +1 222 2

( ) (psf 10)

Fig. 4.4 – Parâmetros geométricos do par parafuso sem-fim/coroa


Nas transmissões de parafuso sem-fim é necessário prever a possibilidade de regulação da posição axial da roda-coroa durante a montagem, de modo a fazer coincidir a secção transversal média da coroa com o plano axial do parafuso sem-fim. Precisão de fabricação Há 12 graus de precisão. Os graus 3, 4, 5 e 6 são recomendados para transmissões com altas exigências de precisão cinemática. Os graus 5, 6, 7, 8 e 9 são usados para transmissões de carga. Os fundamentos sobre a precisão das transmissões de parafuso sem-fim são similares aos das transmissões dentadas. Tabela 9.2 Classe de precisão não inferior a

Velocidade de

deslizamento vs, em m/s

Tratamento Aplicações

7ª ≤ 10

Parafuso sem-fim temperado, rectificado e polido. Coroa maquinada com uma fresa de parafuso rectificada

Transmissões com alta velocidade e baixo ruido, com grandes exigências nas dimensões de gabarito.

8ª ≤ 5

É permissível usar parafuso sem-fim com ≤ HB350, não rectificado. Roda coroa maquinada com uma fresa de parafuso rectificada. Recomenda-se rodagem sob carga.

Transmissões com velocidades médias e exigências médias de precisão, dimensões de gabarito e ruido.

9ª ≤ 2

Parafuso sem-fim com ≤ HB 350, roda coroa maquinada por qualquer método.

Transmissões com baixa velocidade e baixo ruido, com baixas exigências nas dimensões de gabarito, e com accionamento manual.

3 .Transmissões de parafuso sem-fim cilíndrico com deslocamento do perfil do parafuso sem-fim

Em geral, o deslocamento (correcção) do perfil do parafuso sem-fim é feito com o objectivo de conferir distâncias interaxiais normalizadas. A utilização de distâncias interaxiais normalizadas é importante para redutores visto que facilita a estandardização dos órgãos dos corpos. A distância interaxial é: aw = a + m⋅x ou (psf 11) aw = 0,5⋅m (q+z2+2⋅x)


O coeficiente de deslocamento do parafuso (da ferramenta, durante a fresagem da roda-coroa) é:

( )25,0 zqm

a

m

aax ww +⋅−=

−= (psf 12)

Escolhe-se nos limites ±0,7 (em casos raros ±1,0). Empregam-se, de preferência, deslocamentos positivos, os quais permitem também o aumento da resistência dos dentes da roda-coroa. A fresagem da roda-coroa para transmissões com deslocamento do parafuso sem-fim é feita pela mesma ferramenta que se usa para transmissões sem deslocamento. Os parâmetros do parafuso sem-fim na transmissão com ou sem deslocamento são os mesmos, à excepção (notória) do comprimento da parte roscada do parafuso sem-fim (b1). Para

além deste parâmetro, varia também um parâmetro de cálculo não cotado nos desenhos de fabricação: o diâmetro do cilindro primitivo (ou diâmetro primitivo) de funcionamento:

dw1 = m⋅(q+2⋅x) (psf 13) O ângulo de elevação (ou subida) da linha dos filetes do parafuso sem-fim sobre o cilindro primitivo de funcionamento γw (ângulo de elevação primitivo) é dado por:

xq

ztg w ⋅+

=21γ (psf 14)

Os coeficientes c1 e c2 para a definição do comprimento da parte roscada do parafuso sem-fim (fórmula psf 6). Dependem do número de entradas do parafuso sem-fim e do coeficiente de deslocamento x e estão dados na tabela a seguir.

Número de Coeficiente de deslocamento

Entradas x -1 -0,5 +0,5 +1

z1 = 1 e c1 10,5 8 11 12 Z1 = 2 c2 1,0⋅(z1/z2) 0,06 0,1 0,1 z1 = 4 c1 10,5 9,5 12,5 13 c2 1,0⋅(z1/z2) 0,09 0,1 0,1

Recorde-se que para parafusos sem deslocamento (psf 6):

para z1 = 1 ou 2: c1 = 11; c2 = 0,06; para z1 = 4: c1 = 12,5; c2 = 0,09;

Na roda-coroa fresada com deslocamento da ferramenta todos os parâmetros são diferentes dos da roda-coroa fresada sem deslocamento, exceptuando o diâmetro primitivo de referência. Os diâmetros interno e externo dos dentes na secção média da roda-coroa são: da2 = m⋅(z2+2+2⋅x) (psf 15) - para transmissões com parafuso sem-fim dos tipos ZA, ZN, ZK:

df2 = m⋅(z2-2,4+2⋅x) (psf 16)


- para transmissões com parafuso sem-fim do tipo ZI: df2 = m⋅(z2-2 - 0,4⋅cosγ + 2⋅x) (psf 17)

4 Deslizamento nas transmissões de parafuso sem-fim: rendimento e forças que actuam na engrenagem

No funcionamento das transmissões por parafuso sem-fim, diferentemente das transmissões por rodas dentadas comuns, é típica a existência de deslizamento a uma velocidade considerável. A velocidade de deslizamento vs é tangente às linhas dos filetes do parafuso sem-fim (figura 9.6) e o seu valor é dado por:

w

s

vv

γcos1= ou por 2

221 vvvs += (psf 18)

onde:

100060

111 ⋅

⋅⋅=

ndv wπ

(psf 19)

wtgvv γ⋅= 12

Figura 9.6: Direcção da velocidade de deslizamento

v1 é a velocidade periférica (tangencial) do parafuso sem-fim, sobre o diâmetro primitivo

de funcionamento. O valor numérico da velocidade de deslizamento corresponde à velocidade absoluta de um ponto sobre o diâmetro primitivo do parafuso quando a coroa está imóvel. Para fins práticos, isto corresponde a afirmar que a velodicade de deslizamento é igual à soma geométrica da velocidade periférica do parafuso e da velocidade de avanço. Para transmissões com parafusos de uma entrada (z1 = 1) pode-se adoptar vs ≈ v1,visto que mesmo para os menores valores recomendados do coeficiente de diâmetro q, o co-seno do ângulo de subida da rosca cosγw é superior a 0,99. Para o cálculo projectivo da transmissão vs pode ser determinado aproximadamente usando a seguinte fórmula, em m/s:

324

1

10

5,4T

nvs ⋅

⋅≈ (psf 20)

onde:


n1 - é frequência de rotação do parafuso sem-fim, em min-1; T2 - é o torque (máximo) na roda-coroa, em N⋅m. Uma das causas do baixo rendimento da transmissão de parafuso sem-fim, do alto desgaste e tendência à gripagem é a direcção da velocidade de deslizamento (figura 9.8). A capacidade de sustentação das superfícies lubrificadas e em contacto pode ser elevada se entre as superfícies, na parte inicial de contacto, se garantir uma folga cuneiforme. A cunha deve ter a mesma direcção que a velocidade de deslizamento, de forma a elevar a eficiência, ou seja, é conveniente que a velocidade de deslizamento seja quase perpendicular à linha de contacto, para garantir a entrada de novo óleo na cunha lubrificante. Para superfícies cilíndricas com contacto inicial linear, a velocidade de deslizamento deve ser perpendicular à linha de contacto ou possuir uma componente considerável perpendicular a essa linha. Nestas condições, o atrito seco entre metais é substituido por atrito de fluido (com lubrificação eficiente). Se, nas superfícies cilíndricas em contacto a direcção da velocidade de deslizamento paralela à linha de contacto, a camada lubrificante na zona de contacto não pode ser convenientemente formada. Nas transmissões por engrenagens a velocidade de deslizamento é perpendicular às linhas de contacto (transmissões com dentes rectos) ou é aproximadamente perpendicular (transmissões com dentes inclinados). Nas transmissões por parafuso sem-fim, na parte média do dente da roda-coroa existe uma zona na qual o deslizamento verifica-se ao longo das linhas de contacto (figura 9.9).

Na figura 9.9 os números 1, 2 e 3 indicam as linhas de contacto em posições sucessivas no processo de engrenamento. A velocidade de deslizamento em alguns pontos é indicada por vs. A sua direcção é próxima da direcção da velocidade periférica v1. A zona na qual a direcção da velocidade de deslizamento vs quase coincide com a direcção das linhas de contacto está hachurada.

Figura 9.8: Ângulo ψ entre a velocidade de

deslizamento vs e a linha de contacto, para formação da cunha lubrificante

Figura 9.9 Linhas de contacto (1,2,3) e velocidades de deslizamento vs entre o parafuso sem-fim e a roda-coroa

O rendimento da transmissão de parafuso sem-fim, na zona de engrenamento, calcula-se por uma expressão deduzida da fórmula para o rendimento de roscas comuns, que tem um carácter geral, sendo, portanto, aplicável para transmissões de parafuso sem-fim (quando o parafuso sem-fim é o órgão mandante).


ηγ

γ ϕengw

w

tg

tg=

+ ′( ) (psf 21)

onde ϕ’ - é o ângulo reduzido de atrito; f’ = tg ϕ’ - é o coeficiente reduzido de atrito. O valor de η cresce com o aumento inicial do ângulo de subida da rosca γw até se atingir o valor γw = 45º - ϕ’/2, que corresponde ao valor máximo de ηeng. Com o aumento subsequente do ângulo de subida o rendimento ηeng começa a decrescer . Isto pode ser demonstrado igualando

a primeira derivada do rendimento d

deng

w

ηγ

a zero e verificando o sinal da segunda derivada.

Nos (raros) casos em que o movimento é transmitido a partir da roda-coroa para o parafuso, o rendimento pode ser expresso por:

ηγ ϕ

γengw

w

tg

tg=

− ′( )

Desta fórmula é evidente que para γw ≤ ϕ’ tem-se ηeng = 0, o que corresponde a uma transmissão auto-frenada. Em geral, as transmissões por parafuso sem-fim têm ângulos de subida até 27º e, visto que na zona de ângulos de subida com maiores valores o rendimento varia pouco, os valores grandes de ângulos de subida são utilizados em parafusos sem-fim de quatro entradas, que têm baixos valores de relação de transmissão e são mais difíceis de fabricar.

Os coeficientes de atrito e os respectivos ângulos de atrito reduzem consideravelmente com o aumento da velocidade de deslizamento. Este fenómeno está associado à formação da cunha lubrificante na zona de engrenamento. Os valores mínimos dos ângulos e coeficientes de atrito correspondem a parafusos sem-fim rectificados e polidos, que funcionam em condições de lubrificação abundante. Para transmissões de parafuso sem-fim de aço e rodas-coroas de ferro-fundido o coeficiente de atrito é cerca de 60% maior.

Relação entre a velocidade de deslizamento e o coeficiente de atrito para parafuso sem-

fim de aço e coroa de bronze estanhado Vs, m/s f ́ ϕ ́ vs, m/s f ́ ϕ´

0,01 0,11...0,12 6º17′...6º51′ 2,5 0,03...0,04 1º43′...2º17′ 0,1 0,08...0,09 4º34′...5º09′ 3 0,028...0,035 1º36′...2º00′ 0,25 0,065...0,075 3º43′...4º17′ 4 0,023...0,03 1º26′...1º43′ 0,5 0,055...0,065 3º09′...3º43′ 7 0,018...0,026 1º02′...1º29′ 1 0,045...0,055 2º35′...3º09′ 10 0,016...0,024 0º55′...1º22′

1,5 0,04...0,05 2º17′...2º52′ 15 0,014...0,020 0º48′...1º49′ 2 0,035...0,045 2º00′...2º35′

Os valores dos coeficientes de atrito dados contam com as perdas por agitação do óleo e perdas nos mancais (de rolamento) do veio.

O rendimento global do redutor de parafuso sem-fim é:

η = 1 - (ψeng + ψapoio + ψved + ψóleo + ψar) (psf 22)


onde: ψeng, ψapoio, ψved, ψóleo, ψar - são as perdas relativas no engrenamento, nos apoios dos veios, nos vedantes, na mistura do óleo e chapinhagem, e no accionamento do ventilador, respectivamente. Nas transmissões de parafuso sem-fim com mancais de rolamento, os valores dos coeficientes e ângulos de atrito dados na tabela podem ser utilizados desprezando as perdas por atrito nos apoios. [Hidden text]. O rendimento mecânico das transmissões por parafuso sem-fim é inferior ao de outras transmissões mecânicas. Ao começar o cálculo projectivo, o rendimento da transmissão pode ser avaliado aproximadamente por:

ηeng

i≈ ⋅ −

0 9 1

200, (psf 23)

Também se usam as seguintes recomendações:

z1 ηηηη

1 0,7...0,75 2 0,75...0,82 4 0,87...0,92

Para o cálculo do parafuso sem-fim na sua globalidade, do veio da roda-coroa e rolamentos da transmissão de parafuso sem-fim, é necessário conhecer as forças que actuam no engrenamento.

Forças no engrenamento No polo de engrenamento (figura 9.7) há três componentes de forças mutuamente perpendiculares:

Figura 9.7: Forças no engrenamento


1) Força tangencial na roda-coroa, que é igual à força axial no parafuso sem-fim e pode ser calculada por:

F FT

dt a2 12

2

2= =

⋅ (psf 24)

2) Força tangencial no parafuso sem-fim, que é igual à força axial na roda-coroa e é determinada por:

F FT

d

T

d it aeng

1 21

1

2

1

2 2= =

⋅=

⋅⋅ ⋅η

(psf 25) ♣

3) Força radial comum ao parafuso sem-fim e à coroa, que tende provocar o afastamento entre

estes: xtrr tgFFF α⋅≈= 212 (psf 26)

(mais exactamente, γα

cos2 xt

r

tgFF

⋅= )

4) Força normal:

γα coscos2

⋅= t

n

FF (psf 26*)

Nestas fórmulas, T2 e T1 são os momentos torsores (torques) nos veios da roda-coroa e do parafuso sem-fim, respectivamente. Estes momentos têm valor máximo, dentre os momentos que têm maior tempo de acção. Para se obter uma força em Newtons, os momentos são expressos em N⋅m ou N⋅mm, consoante os diâmetros sejam expressos em metros ou milímetros, respectivamente. ηeng - é o rendimento mecânico no engrenamento e nos mancais de rolamento (correspondente aos valores tabelados dos ângulos de atrito). αx - é o ângulo do perfil (ângulo de pressão) na secção axial do parafuso sem-fim de Arquímedes.

5 - Causas das avarias das transmissões de parafuso sem-fim e critérios de capacidade de trabalho

As principais causas das avarias das transmissões de parafuso sem-fim são: - desgaste dos dentes da roda-coroa; - gripagem; - destruição das superfícies activas dos dentes da roda-coroa por fadiga.

O desgaste é o critério que limita o período de serviço da maioria das transmissões de parafuso sem-fim. O desgaste depende muito da lubrificação e aumenta quando: - a montagem da transmissão é feita com baixa precisão;


- o lubrificante está poluido; - a rugosidade do parafuso sem-fim é alta; - há arranques e paragens repentinos; - as condições de lubrificação são precárias. A gripagem é mais perigosa se na roda-coroa forem empregues materiais duros: bronze ao alumínio e ferro, ferro-fundido, etc. Em caso de utilização de materiais duros para o fabrico da roda-coroa, a gripagem dá-se com muita intensidade, provocando grandes deformações nas superfícies e rápido desgaste dos dentes por partículas do material da roda-coroa que aderem ao parafuso sem-fim. Quando se utilizam materiais macios para a roda-coroa (bronze com estanho) a gripagem verifica-se em formas menos perigosas: o material da roda-coroa "unta-se" no parafuso sem-fim. A esmigalhadura por fadiga verifica-se geralmente nas transmissões com roda-coroa de bronze resistente à gripagem. Este fenómeno verifica-se só na roda-coroa (bronze). A deformação plástica das superfícies de trabalho dos dentes da roda-coroa verifica-se quando há sobrecargas. A destruição dos dentes da roda-coroa ocorre geralmente depois do desgaste ou devido a erros de fabricação.

6 - Materiais No engrenamento do parafuso sem-fim com a coroa existem zonas com condições de

deslizamento indesejáveis, tal como foi analisado. Para além disso, o contacto do par piora com a deformação do parafuso sem-fim. A produção de ambos os elementos do engrenamento (parafuso sem-fim e roda-coroa) com materiais duros não dá resultados positivos. Por isso, em geral, a roda-coroa é feita de materiais antifricção relativamente macios.

Os materiais para o par parafuso sem-fim/roda-coroa, tendo em vista os tipos de ruptura e defeitos dos dentes, devem ter boa resistência ao desgaste, ter pouca tendência à gripagem, ser facilmente trabalháveis, ter baixo coeficiente de atrito e possuir alta condutividade térmica, para além de um baixo coeficiente de atrito.

Os parafusos sem-fim podem ser feitos com muitas marcas de aços ao carbono ou ligados. Os parafusos sem-fim para transmissões carregadas são fabricados de aço tratado termicamente para uma dureza considerável. Os parafusos sem-fim de aços cementados têm a melhor resistência e estabilidade. Usam-se aços com baixo teor de carbono. Utiliza-se, de preferência, o aço 18XΓT mas também se usam as seguintes marcas de aços: 20X, 12XH3A, 15XΦ, que têm uma dureza equivalente a HRC 56... HRC 63. Em geral, utilizam-se parafusos sem-fim dos aços 40X, 40XH e 35XΓCA, que depois da têmpera superficial ou completa atingem durezas equivalentes a HRC 45 ... HRC 55. Nestes casos, o parafuso sem-fim é rectificado e polido.

Os parafusos feitos dos aços azotados (38X2MЮA, 38X2Ю e outros) só requerem polimento (sem rectificação). [+p93/94 manual do projecto] Os parafusos sem-fim submetidos ao melhoramento utilizam-se em vez dos parafusos sem-fim temperados quando há limitações tecnológicas (ausência de equipamento para rectificação dos parafusos sem-fim) ou quando há necessidade de amaciamento tanto do parafuso sem-fim como da roda-coroa. Para além disso, os parafusos sem-fim submetidos à normalização e ao melhoramento utilizam-se em transmissões pouco carregadas e em transmissões auxiliares com baixas rotações. Para transmissões com rodas-coroas de grandes diâmetros é possível fabricar parafusos sem-fim de bronze, o que permite o fabrico de rodas-coroas de ferro fundido.


Quando a velocidade de deslizamento vs ≥4...5 m/s (até 25 m/s) as rodas-coroas são feitas de bronzes (Бp) ao fósforo (Φ) e estanho (O), por exemplo БpO10H1Φ1 ou БpO10Φ1 e bronze ao estanho (O) e zinco (Ц) (e.g., БpO5Ц5C5). C indica o teor de chumbo e H o de níquel. A necessidade de utilizar bronzes com alto teor de estanho é tanto maior quanto maior for a velocidade de deslizamento, vs e a duração relativa de funcionamento da transmissão.

Para transmissões com velocidade de deslizamento menores que 4 … 5 m/s utilizam-se bronze ao alumínio (A) e ferro (Ж) (e.g., БpA10 4H4Λ БpA9 3Λ) e latões. Para tal é imperioso que o parafuso sem-fim tenha alta dureza (não inferior a HRC 45).

Para transmissões com accionamento manual ou com baixa velocidade de deslizamento (vs ≤ 2 m/s) e para transmissões de grandes dimensões é permissível a utilização de ferro-fundido de marcas CЧ15 e CЧ20 (com σr > 150 e 200 MPa, respectivamente), cuja capacidade de trabalho aumenta bastante se o parafuso sem-fim tiver crómio (por exemplo, pode-se obter vs = 5 m/s e σH = 230 MPa em condições laboratoriais).

Propriedade mecânica,

em MPa Velocidade

de desli-zamento, vs,

em m/s Grupo

Material da roda-coroa

Método de obtenção da peça bruta

σe σr БpO10H1Φ1 Centrífuga 165 285 ≤ 25 I БpO10Φ1 Em coquilha

Em areia 195 135

245 215

≤12

(Bronzes ao БpO5Ц5C5 Em coquilha Em areia

90 80

200 145

≤8

estanho) БpOΦ10-1 Em areia 120 200 Em coquilha 150 260 БpOHΦ Centrífuga 170 290 БpA10Ж4H4 Centrífuga

Em coquilha

БpA10Ж3Mц1,5 Em coquilha Em areia

БpA9Ж3Л Centrífuga Em coquilha Em areia

ЛЦ23A6Ж3Mц2 Centrífuga Em coquilha Em areia

БpA Ж 9-4 Em areia 200 400

As tensões admissíveis para os materiais são achadas de diversas maneiras. Adiante, dão-se algumas recomendações para as marcas dos materiais da tabela acima.


- tensões admissíveis para cáculo de resistência ao contacto Para bronzes ao estanho:

[σH] ≈ (0,85…0,9)⋅σr - com parafuso sem-fim rectificado e polido, com dureza superior a HRC45; [σH] ≈ Cv⋅0,75⋅σr - se não se verificarem as condições acima indicadas para o parafuso; Para o bronze БpAЖ 9-4: [σH] ≈ (300 … 275) - 25⋅vs , em MPa – para parafuso sem-fim rectificado e polido, com dureza ≥ HRC45. Cv é um coeficiente que varia em função da velocidade de deslizamento

vs ≤ 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8 Cv 1,33 1,21 1,11 1,02 0,95 0,88 0,83 0,8

Tal como foi antes referido, a velocidade de deslizamento, em m/s, pode ser avaliada por :

324

1

10

5,4T

nvs ⋅

⋅≈

- tensões admissíveis para cálculo de resistência à flexão Para todas as marcas de bronzes: [σF] ≈ 0,25⋅σe + 0,08 ⋅σr Para o cálculo da transmissão à carga máxima (sobrecargas que não se consideram durante o cálculo principal), usam-se as seguintes tensões-limite admissíveis: [σH]max = 4⋅σe - para bronzes estanhados; [σH]max = 2⋅σe - para bronze БpAЖ 9-4; [σF]max ≈ 0,8⋅σe - para bronzes de todos os tipos;

7 - Cálculos de resistência As transmissões de parafuso sem-fim são calculadas tanto pelo critério de resistência à fadiga como pela resistência estática. Estes cálculos são feitos utilizando tensões de contacto e de flexão. Em geral, as tensões de flexão não são usadas para o cálculo projectivo, mas para o cálculo testador. Os cálculos de resistência à flexão são utilizados sobretudo para rodas-coroas com um grande número de dentes (acima de 90 … 100 dentes) e para transmissões com accionamento manual. Os cálculos de resistência à fadiga por contacto e à gripagem são de extrema importância. O cálculo de resistência ao desgaste faz-se em simultâneo com estes cálculos. As condições de engrenamento e a capacidade de sustentação das transmissões com parafusos sem-fim cilíndricos de diferentes tipos são bàsicamente semelhantes, especialmente quando o número de filetes do parafuso sem-fim é pequeno. Por isso, os cálculos realizados para


as transmissões com parafuso sem-fim de Arquímedes (tipo ZA) são extensíveis a outros tipos de parafuso cilíndricos.

Para determinar o comprimento das linhas de contacto entre o parafuso sem-fim e a roda-coroa, o arco da circunferência sobre o diâmetro dw1 (ou, simplesmente, d1), que é aproximadamente igual à da largura da roda coroa b2, pode ser calculado usando o do diâmetro primitivo do parafuso sem-fim (dw1) e o ângulo convencional de abraçamento 2⋅δ1, expresso tanto em graus como em radianos (fig. 4.4):

°⋅

⋅⋅≈360

212

δπ wdb (δ em graus)

ou (psf 27)

'2

2112 δ

πδπ ⋅=⋅

′⋅⋅⋅≈ ww ddb (δ' em radianos)

Por analogia às transmissões dentadas, o comprimento total das linhas de contacto é:

w

w

w

dbl

γξεδ

γξε αα

coscos12 ⋅⋅′⋅

=⋅⋅

=Σ (psf 28)

O coeficiente ξ ≈ 0,75 considera a redução da zona de contacto devido ao facto deste contacto não se verificar num plano, ao longo de todo o arco de abraçamento teórico (fig. 9.9). O comprimento das linhas de contacto é inferior ao arco correspondente a 2⋅δ, que em geral corresponde a 100° ou 1,745 radianos. Os valores do grau de recobrimento frontal são εα = 1,8 … 2 (2,2). O valor médio de cálculo de εα é 1,9 (2). O comprimento total médio das linhas de contacto, para δ' = 0,873 rad., εα = 2 e ξ = 0,75 fica:

w

wdl

γcos

3,1 1 ⋅⋅=Σ (psf 29)

A carga normal específica nas linhas de contacto é determinada por (juntando as fórmulas psf 26*, 28 e 24):

nwn

tnn dd

KT

l

KF

l

KFq

αξεδγα α cos'

2

coscos 12

22

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

⋅=

ΣΣ

(psf 30-1)


nw

tn d

KFq

αcos3,1 1

2

⋅⋅⋅

≈ (psf 30-2)

onde:

- FT

dt 22

2

2=

⋅ (psf 24) - é a força tangencial na roda-coroa;

- K - é um coeficiente de carga de cálculo, abordado adiante. A. Cálculo pelas tensões de contacto Para simplificação do cálculo, este é feito supondo que o contacto se dá só no polo de engrenamento. Tal como nas transmissões por engrenagens cilíndricas, inicialmente usa-se a fórmula de Hertz para as tensões máximas de contacto na compressão mútua entre dois cilindros ao longo das geratrizes. O coeficiente de Poisson utilizado para a obtenção da fórmula abaixo é 0,3:

σρH n

red

red

qE

= ⋅ ⋅0 418, (psf 31)

onde: - Ered - é o módulo de elasticidade reduzido:

EE E

E Ered =⋅ ⋅

+2 2 2

1 2

(psf 32)

- E1 e E2 - módulos de elasticidade do parafuso sem-fim e roda-coroa, respectivamente. ρred - é o raio de curvatura reduzido; para transmissões de parafuso sem-fim de Arquímedes (com flancos rectos) o raio de curvatura tem uma particularidade derivada do facto do raio de curvatura do flanco ser infinito, ou seja: ρ1 = ∞; por isso, a fórmula para o raio

reduzido de curvatura das superfícies conjugadas dado por 1 1 1

1 2ρ ρ ρred

= + fica praticamente

1 1

2ρ ρred

= e recordando que nw send αρ ⋅

=22

21 (fórmula 9 das transmissões por engrenagens) e

que para rodas dentadas helicoidais, em vez do diâmetro d usa-se o diâmetro da roda virtual

dd

v =cos2 β

(onde, no lugar de β pode-se usar o ângulo de elevação da rosca pois β = γw)

obtém-se:

nw

w

send αγ

ρ ⋅⋅

=2

2

2

cos21 ou seja,

w

nw send

γα

ρ2

22

cos2 ⋅⋅

= (psf 33)

Nestas fórmulas não se diferencia d2 (de referência) de dw2 (de funiconamento).

Utilizando as expressões para qn (psf 30-1) e ρred a fórmula (psf 31) pode ser reescrita como:

[ ]H

nww

wHredH

sendd

KTEσ

αξεδγ

σα

≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

)2('

cos18,1

122

22 (psf 34-1)


onde: - T2 é o momento torsor na roda coroa, expresso em N⋅mm.

- KH - é o coeficiente de carga de cálculo, para tensões de contacto. - [σH] - é o tensão admissível de contacto, em MPa.

Alternativa e aproximadamente, pode-se considerar que:

d2 = m⋅z2 (psf 7); d1 = m⋅(q + 2⋅x) (psf 13); ma

z q xw=

⋅+ + ⋅2

22

(psf 11);

e que:

αn= 20°; γw=10°; E1 = Eaço = 2,15⋅105 MPa; E2 = 0,9⋅105 MPa (para bronze ou ferro-fundido); q1 = q + 2⋅x o que resulta em:

[ ]σ σHw

H Hz q

z q

aT K= ⋅

+

⋅ ⋅ ≤

5300 1

2 1

2 1

3

2/

/ (T2 - expresso em N⋅m) (psf 34-2)

Se, nesta fórmula, se utilizarem os diâmetros do parafuso d1 e da roda-coroa d2 pode-se reescrever:

[ ]σ σHw

H

wHd

T K

d= ⋅

⋅≤

15000

2

2

1

(psf 35)

Para a fórmula (psf 34-1), se α=20°=αw e x = 0 tem-se o coeficiente de sobreposição:

εα =⋅ + + − ⋅ +0 03 1 0 17 2 9

2 9522

2 2, , ,

,

z z z

Para o cálculo projectivo, se se utilizarem os valores 2⋅δ = 100°; ξ = 0,75; KH ≈ 1,1; εα = 1,9; γw = 10°; d1 = q⋅m = q⋅(d2/z2) (recordando que x = 0 e que 2⋅δ = 100° = 1,745 rad), da fórmula (psf 34-1) obtém-se:

[ ]d

E T

q zred

H

22

2

2

31 25= ⋅⋅

⋅,

( / )σ (psf 36-1)

e para a dq

zw = ⋅ ⋅ +0 5 122

, ( ) pode-se reescrever a fórmula (36-1) como:

[ ]a

q

z

E T

q zw

red

H

= ⋅ +

⋅

⋅

⋅0 625 1

2

22

2

3,( / )σ

(psf 36-2)

Nestas fórmulas o torque na roda-coroa T2 é expresso em N⋅mm.

Da fórmula aproximada (psf 34-2) pode-se deduzir uma expressão para o cálculo

projectivo, sendo T2 expresso em N⋅m:


[ ]az

q z qK Tw

HH= +

⋅

⋅

⋅ ⋅2

1 2 1

2

231

5300

σ / (psf 36-3)

que pode ser simplificada para:

[ ]a

T Kw

H

H

≈ ⋅⋅

610 223

σ (psf 36-4)

A seguir a este cálculo da resistência ao contacto faz-se a avaliação da resistência da

transmissão ao desgaste e à gripagem. Estes aspectos são importantes para transmissões de parafuso sem-fim. Para tal, usam-se conceitos do contacto hidrodinâmico, dentro da teoria de lubrificação. Por último, faz-se o cálculo final (preciso) da capacidade de sustentação da camada de óleo tendo em consideração as variações da forma da folga que resultam das deformações. Assim, avalia-se a carga-limite sem desgaste, gripagem e também o tempo de fadiga. B. Cálculo pelas tensões de flexão O cálculo da resistência à flexão é feito para a roda-coroa visto que, quando comparados com os dentes da roda-coroa, os filetes do parafuso sem-fim são suficientemente resistentes, tanto em termos de forma como em termos de material. O cálculo é análogo ao cálculo da resistência dos dentes das rodas dentadas cilíndricas com dentes helicoidais. Porém, importa notar que os dentes das rodas-coroas são aproximadamente 20 … 40% mais resistentes que os dentes das rodas dentadas helicoidais. Este aumento de resistência deve-se à forma arqueada dos dentes e ao deslocamento natural que se verifica em todas as secções excepto na secção mediana da roda-coroa. Assim, a tensão de flexão pode ser determinada utilizando a seguinte expressão:

[ ]σ σβF

F F t F

w nF

Y z F K

b m=

⋅ ⋅ ⋅⋅

≤

onde, da fórmula original para rodas dentadas cilíndricas com dentes helicoidais:

zK Y

F

F

βα β

αε=

⋅ - coeficiente de aumento da resistência dos dentes inclinados à flexão

(fórmula TE 34). Como para dentes com bom amaciamento podem-se arbitrar os valores KFα = 1 e Yβ = 1, o coeficiente de aumento da resistência dos dentes da roda-coroa fica:

zFβαε ξ

=⋅

=⋅

=1 1

1 9 0 750 7

, ,,

onde se introduziu o coeficiente ξ = 0,75 que considera a redução da zona de contacto devido ao facto deste contacto não se verificar ao longo de todo o arco de abraçamento teórico. Desta forma, a tensão de flexão é expressa por:


[ ]σ σF Ft F

nFY

F K

b m= ⋅ ⋅

⋅⋅

≤0 7 2

2

, (psf 38-1)

Também se pode usar a fórmula alternativa:

[ ]σα α γ γ

σFn n F

n

n n w F t F w FF

q Y

m

q Y

m

F K Y

m q=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

≤cos cos cos cos

,1 3 21

(psf 38-2)

Cristóvao deve investigar a formula para descobrir porque cos γ aparece no numerador Nas fórmulas anteriores: Ft2 - é a força tangencial na roda-coroa, em N; KF - é o coeficiente de carga de cálculo, abordado adiante; γw - é o ângulo primitivo de elevação dos filetes; q1 – é o coeficiente de diâmetro do parafuso com deslocamento (correcção): q1 = q + 2⋅x q – é o coeficiente de diâmetro do parafuso sem correcção, expresso por d1/m; qn – é a carga linear específica, normal à superfície de contacto, em N/mm; x – é o coeficiente de deslocamento da ferramenta ou coeficiente de correcção do perfil; mn – é o módulo do dente/filete na secção normal do filete do parafuso sem-fim; m – é o módulo do dente/filete na secção axial do parafuso sem-fim (de Arquímedes); YF – coeficiente de forma dos dentes da roda-coroa, que se escolhe da tabela abaixo, em função

do número virtual (ou equivalente) de dentes zv, que é expresso por:

w

v

zz

γ32

cos= (recorde-se que βcoroa= γparafuso)

Coeficiente de forma do dente YF

zv 20 24 26 28 30 32 35 37 YF 1,98 1,88 1,85 1,80 1,76 1,71 1,64 1,61

zv 40 45 50 60 80 100 150 300 YF 1,55 1,48 1,45 1,40 1,34 1,30 1,27 1,24

[σF] – é a tensão admissível de flexão para os dentes da roda-coroa, em MPa. O denominador cos3γw na fórmula para o número virtual de dentes considera a inclinação da linhas de contacto e o funcionamento dos dentes como se fossem uma placa. Em geral, o cálculo da resistência à flexão é feito como um cálculo testador. Se, em resultado da acção da carga se verificam picos nos momentos torsores Tpic ou T2max deve-se verificar a resistência estática das superfícies de trabalho dos dentes da roda-coroa, bem como a resistência estática à flexão. Assim, as tensões máximas são dadas por:

[ ]σ σ σH H H

T

Tmaxmax

max= ⋅ ≤2

2

[ ]σ σ σF F F

T

Tmaxmax

max= ⋅ ≤2

2


Carga de cálculo Para as transmissões de parafuso sem-fim pode-se usar a aproximação: KH = KF = Kv⋅Kβ onde: Kv - é o coeficiente de carga dinâmica; Kβ - é o coeficiente de concentração de carga. Uma vez que as transmissões por parafuso sem-fim têm a qualidade de serem suaves e funcionarem sem ruidos, as cargas dinâmicas que se verificam são tipicamente baixas. Se a precisão de fabricação for suficientemente alta e para velocidade da roda-coroa vs2 ≤ 3 m/s pode-se usar o valor Kv ≈ 1; para vs2 > 3 m/s usa-se Kv = 1 … 1,3. Dado que o amaciamento dos materiais do par parafuso sem-fim/coroa é bom, a irregularidade da caga ao longo das linhas de contacto é diminuta. Assim, para carga externa constante adopta-se Kβ = 1 e para carga variável adopta-se Kβ = 1,05 … 1,2. Os maiores valores de Kβ são para pequenos valores do coeficiente de diâmetro "q" e grandes valores de z2.

8 - Cálculo térmico

Cálculo térmico e refrigeração das transmissões por parafuso sem-fim Durante o seu funcionamento, as transmissões de parafuso sem-fim libertam uma grande quantidade de calor, em associação com o seu relativamente baixo rendimento mecânico. O aquecimento do óleo acima das temperaturas-limite (muitas vezes [tmax] = 85…90°C) causa a perda da capacidade de lubrificação e aumenta o risco de gripagem da transmissões. Por isso, é necessário fazer o cálculo térmico da transmissão. O cálculo térmico em regime estacionário é feito na base do balanço térmico, isto é, comparando a quantidade de calor libertado pela transmissão de parafuso sem-fim com a quantidade de calor dissipado para o meio-ambiente.

A quantidade de calor gerado pela transmissão, em termos de potência, é dada por (em Watts):

( )Φ = ⋅ − ⋅P131 10η

onde:

P1 - é a potência no veio motor da transmissão, em kW; η - e o rendimento mecânico da transmissão. O calor dissipado para o meio-ambiente sai pela superfície livre do corpo da transmissão para o ar circundante e também para o fundamento, podendo ser expresso por:

( )Φ1 1 0= ⋅ − ⋅K t t A

onde: K - é um coeficiente térmico (de troca de calor), em W/(m2⋅°C); considera todos os tipos

de troca de calor entre o interior da transmissão e o meio ambiente;


t1 - é a temperatura do óleo ou a temperatura interna do corpo da transmissão, em °C; t0 - é a temperatura do meio circundante (ar), em °C; no Verão tropical esta temperatura

pode ultrapassar 40ºC; A - é a área do corpo da transmissão que troca calor com o ambiente ( ou área de refrigeração), em m2. Quando a área do corpo em contacto com o fundamento é considerada, a área total pode ser expressa por A⋅(1+ϕ), onde ϕ é um coeficiente que pode assumir valores até 0,3 se a transmissão estiver montada numa base grande em fundamento metálico. Se o corpo estiver montada em betão adopta-se ϕ ≈ 0, devido à fraca capacidade de condução de calor do betão. A área de refrigeração pode ser avaliada utilizando a expressão: A aw≈ ⋅20 1 7, Nesta expressão, considera-se que cerca de 50% da área é formada por nervuras (ou aletas) de refrigeração. Na mesma expressão, a área A é expressa em m2 se a distância interaxial aw for expressa em m. Para muitos redutores a temperatura admissível t1max do óleo é de cerca de 60 … 70 °C, sendo a máxima próxima de 85, 90 ou 95°C. Porém, para aviação toleram-se temperaturas até t1 = 100…120°C. O limite é função do tipo de óleo e sua aplicação.

Quando a transmissão não tem ventilação e é montada em corpo fechado e pequeno, com pouca agitação do óleo, pode-se adoptar o valor do coeficiente de troca de calor K ≈ 8 … 10 W/(m2⋅°C) e para instalação com agitação e ventilação intensiva toma-se K ≈ 14 … 17 W/(m2⋅°C). O valor de K diminui se o corpo da transmissão estiver sujo ou poluido. O calor gerado na transmissão não pode ser superior ao calor dissipável à temperatura máxima admissível do óleo, ou seja:

[ ]( )Φ Φ≤ = ⋅ − ⋅1 1 0max maxK t t A

onde: [t1max] - é a temperatura máxima admissível do óleo A - é a área total disponível para a troca de calor. O balanço térmico é feito para condições de funcionamento estacionárias, quando

1Φ=Φ , ou seja, quando se tem:

( ) ( )P K t t A13

1 01 10− ⋅ = ⋅ − ⋅η

Para estas condições, a temperatura do óleo pode ser determinada por:

( )t t t

P

K Aoleo = = +⋅ − ⋅

⋅1 01

31 10η

Também é possível fazer o balanço térmico para verificar a potência máxima transmissível P1max, em condições dadas, mas esta vertente não será analisada. Se tóleo > [tóleomax] = [t1max] então devem ser tomadas medidas para aumentar a remoção de calor. Isto consegue-se por meio da provisão de nervuras de refrigeração, intensificação da ventilação, uso de serpentinas de água para refrigeração no cárter de óleo ou refrigeração do óleo em radiador externo (figura 9.10 -c).


As aletas de refrigeração são dispostas em função da circulação do ar. Quando a ventilação é natural as aletas são colocadas verticalmente, tendo em vista o movimento ascendente do ar aquecido. Quando se emprega um ventilador as aletas são orientadas paralelamente ao fluxo do ar que, geralmente, é horizontal. O ventilador é comummente colocado numa das extremidades do veio do parafuso sem-fim. A refrigeração por ar é mais simples e barata que a refrigeração por água. É utilizada na maioria dos casos em que o parafuso sem-fim é montado por baixo da roda-coroa pois, neste caso, o ar arrefece o depósito de óleo (figura 9.10 -a)). Com refrigeração por ventilação forçada usando o método proposto o coeficiente de troca de calor (ou coeficiente térmico) K pode atingir valores 20…28 W/(m2⋅°C) ou mais. Quando é necessário retirar uma grande quantidade de calor do óleo utilizam-se serpentinas de água no cárter de óleo. Assim, o coeficiente de troca de calor entre o óleo e os tubos de água pode atingir os valores 90 … 200 W/(m2⋅°C), para velocidades da água até 1 m/s. Se bem que o balanço térmico seja feito para condições estacionárias, a maioria das transmissões de parafuso sem-fim funciona com intervalos. Se o regime de trabalho for de curta duração e repetido, o tempo de trabalho tiver pausas mais curtas quando em comparadas com o tempo de arrefecimento da transmissão até à temperatura estacionária e se a transmissão não tiver meios especiais de refrigeração, o cálculo pode ser feito de modo aproximado, usando as fórmulas para regime constante. Porém, em vez da quantidade de calor libertado quando a transmissão está em funcionamento contínuo, usa-se a quantidade de calor média, por unidade de tempo, que pode ser avaliada por :

( )Φmed

func

total

Pt

t= − ⋅ ⋅1

31 10η

onde tfun e ttotal são os tempos de funcionamento e o tempo total (tfunc+tinvervalos), respectivamente. Quando a refrigeração é natural e quando se usa ventilação ou serpentina de água no cárter, a lubrificação é feita por mergulho de um dos elementos do par em engrenamento (figura 9.10 a), b)) podendo ser o elemento motor ou o movido. A profundidade de mergulho é limitada à altura do dente, em transmissões de alta velocidade, e não deve ultrapassar 1/3 do raio em transmissões de baixa velocidade. Esta medida visa a redução das perdas de energia por chapinhagem. Recomenda-se o uso de óleo de boa qualidade, na proporção de 0,35 … 0,7 l/kW de potência a transmitir. A lubrificação circulante usa uma bomba com radiador e filtro, permitindo velocidades v≥12 … 15 m/s.

Figura ******: Métodos de refrigeração forçada da transmissão Adicionar posições relativas dos parafusos e coroa, psf globóide, perfil côncavo


Sequência de cálculo das transmissões de parafuso sem-fim Para o cálculo da transmissão de parafuso sem-fim/coroa são, geralmente, dados: - a potência de entrada P1; - a frequência de rotação do veio motor, n1; - a relação de transmissão i; - o tipo de carregamento. A sequência de cálculo para a projecção da transmissão pode ter variantes, mas o objectivo da mesma é coleccionar valores das variáveis que constam nas fórmulas para o cálculo projectivo (por exemplo, psf 36-2) e depois executa os cálculos testadores. Uma das variantes de sequência de cálculo pode ser:

1. Escolhe-se o número de entradas do parafuso sem-fim usando as recomendações dadas:

z1 Relação de transmissão recomendada 1 i ≥ 30 2 i = 15…30 4 i = 8…15

Após a escolha do número de entradas calcula-se o número de dentes da roda coroa usando a fórmula (psf 1). Este é apenas um valor calculado, z2´= z1⋅i. . O valor deve ser arredondado para um número inteiro e comparado com o valor mínimo recomendado: z2min = 28.

2. Determinam-se os momentos torsores no parafuso sem-fim e na roda coroa:

60

2 1

1

1

11 n

PPT

⋅⋅==

πω ; η

ωη

ωη

ω⋅⋅=

⋅⋅=

⋅== iT

iPPPT 1

1

1

2

1

2

22

3. Determina-se o valor estimado da velocidade de deslizamento em m/s, usando a fórmula (psf 20), onde T2 é expresso em N⋅m:

324

1

10

5,4T

nv s ⋅

⋅≈

4. Escolhe-se o material da roda-coroa e indicam-se as suas propriedades mecânicas σe e σr.

Escolhe-se o material e o tratamento térmico e/ou superficial do parafuso sem-fim e depois determina-se a tensão admissível de contacto (parágrafo 6).

5. Escolhe-se o valor normalizado do coeficiente de diâmetro q e verifica-se se satisfaz a recomendação q = (0,22...0,4)⋅z2. ou q ≥ 0,25⋅z2, sendo o valor mínimo recomendado qmin = 0,212⋅z2

6. Calcula-se o módulo de elasticidade reduzido por EE E

E Ered =⋅ ⋅

+2 2 2

1 2

e depois determina-se

a distância interaxial pela fórmula (psf 36-2):

[ ]3

22

2

2

´

)/(1625,0

zq

TE

z

qa

H

redw

⋅⋅

⋅

+⋅=

σ (o apóstrofe indica valor de cálculo)

Este valor é arredondado para um valor normalizado aw.


7. Calcula-se o valor aproximado do módulo do engrenamento, com base na distância interaxial arredondada:

2

2

zq

am w

+⋅

=′

Este valor é arredondado para um módulo normalizado. Depois da normalização calcula-se o coeficiente de deslocamento:

( )25,0 zqm

ax w +⋅−=′

Se o coeficiente de deslocamento superar o valor recomendado (x>0,7) procura-se

manipular o valor de z2 seguido de da verificação da alteração da relação de transmissão

( %4≤∆i

i). Se o resultado da manipulação for admissível calculam-se os diâmetros d1 e

d2 por:

qd

m= 1 (psf 2) e d2 = m⋅z2 (psf 7)

Calcula-se a velocidade de deslizamento por [fórmulas (psf 18) e (psf 19)]:

ws

vv

γcos1= onde

10006011

1 ⋅⋅⋅

=nd

v wπ (psf 19);

q

zarctg 1=γ ou

xq

zarctgw ⋅+

=21γ

e verifica-se se se mantém válida a escolha inicial do material e da tensão admissível à fadiga [σH] com base no valor da velocidade de deslizamento estimado no ponto 3.

8. Faz-se o cálculo testador da transmissão usando um ângulo de abraçamento δ = 50º ou

δ = 0,8727 rad, que se usa para determinar o valor da tensão de contacto σH. O valor de εα é determinado usando a fórmula:

95,2

9,217,0103,0 2222 +⋅−++⋅

=zzz

αε

Calcula-se a velocidade periférica na roda-coroa, em m/s, por:

100060

222 ⋅

⋅⋅=

ndv

π

e usa-se o resultado para escolher Kv e para posterior cálculo de KH = Kβ⋅Kv. Kβ depende do tipo de carga e do coeficiente de diâmetro. Usando a fórmula (psf 34-1) calcula-se a tensão de contacto:

)2('

cos18,1

122

22

www

wHredH

sendd

KTE

αξεδγ

σα ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

e compara-se com o valor admissível [σH].


9. Faz-se o cálculo testador da transmissão à flexão pela fórmula (psf 38-1), na qual:

FT

dt 22

2

2=

⋅ ; KF = KH ; mn = m⋅ cos γ ;

b2 ≤ y ⋅ da1 onde: y = 0,75 – para z1 = 1 ou 2 ; y = 0,67 – para z1 = 4. O valor de b2 pode ser arredondado consoante os valores das tensões reais de contacto σH. da2 = d1 + 2 ⋅ ha1 = d1 + 2 ⋅ m

wv

zz

γ32

cos= (para escolher YF )

Usando recomendações, calcula-se o valor da tensão admissível à flexão [σF] e compara-se com o valor real σF que se determina partindo da fórmula (psf 38-1):

n

FtFF mb

KFY

⋅⋅

⋅⋅=2

27,0σ

10. Calcula-se o rendimento real da transmissão pela fórmula (psf 21) e compara-se com o valor arbitrado no ponto 2. A fórmula é :

ηγ

γ ϕengw

w

tg

tg=

+ ′( )

Se a margem de segurança à resistência mecânica for menor que o erro no rendimento (ambos em termos relativos) e o rendimento calculado for maior que o arbitrado então é necessário recalcular a transmissão.

11. Calculam-se ou designam-se as dimensões principais da transmissão: • para o parafuso-sem-fim: z1, m, q, d1 e da1 já existem;

df1 = d1 - 2⋅hf1 (psf 5) b1 ≥ (c1 + c2⋅z2)⋅m (psf 6)

(devem-se adicionar os valores 25 ... 50 mm, recomendados após a fórmula (psf 6) )

• para a roda-coroa:

z2, x, aw, d2 e b2 já existem;

da2 = d2 + 2 ⋅ ha2 = m ⋅ (z2 + 2 - 2⋅x); (psf 15) df2 = d2 – 2 ⋅ hf2,

d dm

zaM a2 21

6

2≤ +

⋅+

ou medd aaM ⋅+≤ 22 (psf 8)

Depois dos cálculos escolhe-se o grau de precisão, usando a tabela 9.2.

♦


Exercício: Calcular uma transmissão de parafuso sem-fim para os seguintes dados: P1 = 4,5 kW; n1 = 960 min-1; i = 20 ; A transmissão funciona sob carga constante Resolução (pretende-se utilizar a fórmula 36-2 para determinar a distância interaxial e depois

realiza-se o cálculo térmico)

1. Das recomendações, escolhe-se o número de entradas do parafuso sem fim: z1=2 (para

i=20)

Calcula-se 2840202 min212 =>=⋅=⋅=′ zizz

2. Determinam-se os momentos torsores:

1

11 ω

PT = ; 11 100

30

960

30−≈

⋅=

⋅= s

n ππω

mNT ⋅⋅=⋅

= 33

1 1045100

105,4

η⋅⋅= iTT 12

80,0=η (das recomendações, para z1=2) ou fórmula (psf23)

mmNmNT ⋅⋅=⋅=⋅⋅= 32 1072072080.02045

3. Estima-se a velocidade de deslizamento vs usando a fórmula (psf20)

s

mTnvs 9,3720960105,4105,4 343

214 ≈⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= −−

4. Segundo as recomendações sobre os materiais, escolhe-se o material para a roda coroa:

bronze ao aluminio e ferro ьpAҖ9-4 este material tem boas propriedades mecânicas: σe=200

MPa; σr=400 MPa; o parafuso é feito de aço 40X, temperado para dureza 54HRC com

filetes rectificados e polidos. Para estes materiais tem-se a tensão admissível:

[ ] MPav sH 2039,32530025300 =⋅−=⋅−=σ

5. Das recomendações (pag. 4) escolhe-se os coeficientediâmetral:

104025,025,0 2 =⋅=⋅≥ zq

Arbitra-se 5,12=′q e verifica-se se não é excessivo:


3125,040

5,12

2

≈=′

z

q

Este valor é mesmo que o máximo recomendável ( 4,0≈ ).

6. Da fórmula (psf. 36-2) calcula-se a distância interaxial wa′ e normaliza-se ( )wa . Para tal

calcula-se o módulo de elasticidade reduzido:

( ) ( )MPa

EE

EEEred

5

55

55

21

21 1026,1109,0101,2

109,0101,222⋅≈

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

=+

⋅⋅=

onde:

[ ]mm

z

q

TE

z

qa

H

redw 2,157

40

5,12203

107201026,11

40

5,12625,01625,0

3 2

35

3

2

2

2

≈

⋅

⋅⋅⋅⋅

+⋅=

⋅

⋅⋅

+⋅=′

σ

Das distâncias interaxial normalizadas (pag. 2) escolhe-se mmaw 160=

7. Da fórmula (psf. 10) acha-se o módulo calculado m′ :

mmzq

am w 095,6

405,12

16022

2

=+

⋅=

+⋅

=′

Dos valores de módulos normalizados (pag. 3) escolhe-se o módulo mmm 3,6=′ . O

coeficiente de deslocamento (x) pode, então, ser determinado por (psf. 12):

( ) ( ) 853,0405,125,03,6

1605,0 2 −=+⋅−=+⋅−= zq

m

ax w

Segundo as recomendações (pag. 9), este valor do coeficiente de deslocamento é alto. Como

é negativo, tenta-se reduzir a componente negativa da fórmula (psf. 12), reduzindo o número

de dentes z2 dentro dos limites admissíveis de variação da redução da transmissão: 392 =z , o

que dá: 5,192

39

1

2 ===z

zi

E o desvio da relação de transmissão é:

%4025,020

5,1920

min

min <=−

=−

=∆alno

novoalno

i

iii , o que é aceitável

O novo coeficiente de deslocamento será:

( ) ( ) 353,0395,125,03,6

1605,0 2 −=+⋅−=+⋅−= zq

m

ax w

Este valor está dentro dos limites recomendáveis.


Os diâmetros primitivos do parafuso sem-fim e da secção mediana da roda coroa são achados

por: (psf. 2 e psf. 3)

mmmzd

mmmqd

7,2453,639

75,783,65,12

22

1

=⋅=⋅==⋅=⋅=

A velocidade de deslizamento inicialmente avaliada pode ser calculada com exactidão. Para

tal, determinam-se as componenentes da fórmula (psf. 18)

s

mndv 96,3

60000

96075,78

6000011

1 =⋅⋅

=⋅⋅

=ππ

5916,016,05,12

2 01 ′==→=== arctgq

ztg γγ (psf. 3)

então:

s

mvv s 4

59cos

96,3

cos 0

1 ≈′

==γ

então, para o valor “arbritado” da velocidade de

deslizamento smvs 4= é apenas ligeramente diferente. O valor de [ ]Hσ quase não

muda, também.

8. Faz-se o calculo testador as tensões de contacto usando a fórmula (psf. 34). Para tem-se

rad8727,0500 =′→= δδ (recomendação geral).

O valor de αε acha-se da fórmula:

87,195,2

9,23917,01393903,0

95,2

9,217,0103,0 222

22 ≈

+⋅−++⋅=

+⋅−++⋅=

zzzαε

O valor de vH KKK ⋅= β determina-se após a escolha apropriada dos factores. Para carga

constante 1=βK uma vez que s

m

i

ndndv 63,0

5,1960000

9607,245

60000600001222

2 ≈⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

πππ então o

coeficiente 1=vK , o que dá 1=⋅= vH KKK β

Pela fórmula (psf. 34), calcula-se a tensão de contacto:

[ ] MPaMPasen

HH 2035,1814075,087,18727,075,787,245

59cos1107201026,118,1

02

035

=<=⋅⋅⋅⋅⋅

′⋅⋅⋅⋅⋅⋅= σσ

como se pode depreender, a resistência ao contacto é verificada, com uma margem de cerca

de 12% relativamente as tensões reais. Então, o valor das dimensões construtivas são aceites

segundo a resistência ao contacto visto que nem sempre é possível ter valores, muito

próximos, de Hσ e [ ]Hσ visto que se usam valores normalizados de q e m′ .


9. Faz-se calculo testador as tensões de flexão usando a fórmula (psf. 38-1). Para tal acham-se

os valores:

Nd

TFt 5861

7,245

1072022 3

2

22 ≈⋅⋅=

⋅= ;

1== HF KK ;

( ) ( ) mmmddb a 5,683,6275,7875,0275,075,0 112 =⋅+⋅=⋅+⋅=⋅≤

das recomendações toma-se: mmb 682 = ;

mmmmn 2,659cos3,6cos 0 ≈′⋅=⋅= γ

Para determinar FY calcula-se vz :

405,4059cos

39

cos 033

2 ≈=′

==γ

zzv dentes

da tabela para este valor tem-se: 55,1=FY

A tensão admissível de flexão [ ]Fσ para todas marcas de bronze é:

[ ] MPareF 8240008,020025,008,025,0 =⋅+⋅=⋅+⋅= σσσ

Finalmente, aplicando a fórmula (psf. 38-1):

MPamb

KFY Ft

FF 153,668

1586155,17,07,0

2

2 =⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=σ

Como se vê [ ] MPaMPa HF 8215 =<= σσ

10. Calcula-se o valor exacto rendimento pela fórmula (psf. 21). Para tal, da tabela extrai-se o

valor do coeficiente de atrito e ângulo de atrito, para smv s /4= tem-se:

5310 ′=ϕ (médio) e 027,0≈f

então:

( ) ( ) 85,053159

5900

0

≈′+′

′=

+=

tg

tg

tg

tg

ϕγγη

O valor arbritrado inicialmente foi 80,0=η , o que dá um rendimento real 6% maior que o

arbritrado. Contudo, não se refaz a verificação da resitência ao contacto e à flexão pois as

margens de segurança das tensões são suficientes para compensar a elevação do torque T2.

11. As dimensões principais do parafuso sem-fim são:

z1=2; m=6,6 mm; q=12,5; d1=78,75 mm


da1=91,35 mm; 63,633,64,275,784,211 =⋅−=⋅−= mdd f mm

da fórmula (psf. 6) tem-se:

( ) ( ) 4,713,63906,092211 =⋅⋅+=⋅⋅+≥ mzccb mm

onde:

c1=9 (interpolado)

c2=0,06

De acordo com as recomendações (pag. 5), aumenta-se 25 mm para m<10 mm o que dá:

961 =b mm

Para a roda coroa, tendo aw=160 mm e 353,0−=x

z2=39; d2=245,7 mm; b2=68 mm;

( ) ( )[ ] 85,253353,022393,62222 =−⋅++⋅=⋅++⋅= xzmd a mm

( ) ( )[ ] 13,226353,024,2393,624,22 =−⋅+−⋅=⋅+−⋅= xzmd af mm

3,26322

3,6685,253

2

6

122 =

+⋅

+=+⋅

+≤z

mdd aaM mm

escolhe-se 2632 =aMd mm e a a8 classe de precisão (recomendação da tabela 9.2).

12. Cálculo térmico

a. Calcula-se a quantidade de calor libertado, por:

b. Calcula-se a quantidade de calor que se pode dissipar à temperatura máxima recomendada do

óleo. Para tal, escolhe-se:

K = 8 ... 10 W/(m2⋅ºC) – para redutor fechado, sem ventilação (escolhe-se K = 8)

t1 = [tmax] = 90 ºC – escolhido em função do óleo

t0 = tar = 40 ºC – escolhido para temperaturas altas, em clima tropical

A área de troca de calor (área do corpo do redutor) é aproximada por:

então:

( ) ( ) WP 6751085,015,4101 331 =⋅−⋅=⋅−⋅=Φ η

27,17,1 887,016,02020 maA w =⋅=⋅≈


Φ1max = K⋅(t1-t0)⋅A = 8⋅(90 - 40)⋅0,887 ≈ 355 W⋅

Como Φ > Φ1max o calor gerado na transmissão não pode ser dissipado por convecção

natural, ou seja, se não se tomassem providências, o óleo aqueceria acima de tmax. Por esta razão,

tentar-se-á mudar o tipo de refrigeração , adoptando-se um ambiente com ventilação intensiva,

para o qual K aumenta para valoresCm

W02

17.......14⋅

. Adopta-se Cm

WK

0214

⋅= e recalcula-se:

( ) W6214090887,014max1 =−⋅⋅=Φ

Este valor ainda é insuficiente para garantir max11 tt < , apesar de estar proximo de φ . É possível

aumentar o valor de K por meio de montagem de um ventilador directamente sobre o parafuso

sem-fim (fig. 9.10-a), o que pode conferir valores de K entre 20 ...28 W/m2⋅ºC. Adoptando o

valor K = 20 W/m2⋅ºC tem-se:

( ) W8874090887,020max1 =−⋅⋅=Φ , o que é satisfatório pois Φ>Φ max1 .

A temperatura do óleo pode ser avaliada por:

( ) [ ] CtCAK

tAK

Ptttoleo

0max1

00

101 9078

887,020

67540

1=<≈

⋅+=

⋅Φ

+=⋅−⋅

+==η

♦

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