Professor: João Castilho

SISTEMA DE ORGANIZAÇÃO MODULAR DE ENSINO (SOME)DISCIPLINA: MATEMÁTICA 1ª SÉRIE – ENSINO MÉDIO

TEORIA DOS CONJUNTOS

Introdução

Os conceitos de conjunto, elementos e pertinências são exemplos de conceitos primitivos e aceitos portanto sem definição.

Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto ao de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou coisas que constituem o conjunto.Notação:A, B, C,... indicam o conjunto.a, b, c,... representam os elementos.

Exemplos:1. A = conjunto das letras da palavra amizade.

Elementos: a, m, i, z, d, e

2. P = conjunto dos números pares entre 1 e 9.Elementos: 2, 4, 6, 8

3. B = conjunto dos algarismos do sistema decimal.Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A idéia de construir um conjunto associamos o conceito primitivo de pertencer. Dizemos então que o elemento pertence o conjunto.Notação:∈ → pertence∉ → não pertence

Exemplos:1. Considerando o conjunto A das letras da palavra amizade, temos:

a ∈A, m ∈ A, b ∉ A

2. Sendo o conjunto dos números pares entre 1 e 9, temos:2 ∈ P, 8 ∈ P, 9 ∉ P

Observação: Os símbolos de ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

Representação de conjunto

Vamos considerar o conjunto D formados pelos elementos dó, ré, mi, fá, sol, lá, si. Esse conjunto pode ser representado de três formas distintas:

Pela enumeração de seus elementos:D = {dó, ré, mi, fá, sol, si}“Quando representamos um conjunto pó enumeração, escrevemos seus elementos entre chaves, separados por vírgulas e sem repetição, não importando a ordem dos elementos”

Através de uma propriedade característica de seus elementos:D = {d | d é nota musical}“Quando representamos um conjunto através de uma propriedade β , característica de seus elementos escrevemos: A = {x | x tenha a propriedade β}”

Graficamente, através de diagramas:

Professor: João CastilhoExercícios Propostos

01) Considere os conjuntos M = {4, 7, 9, 11, 13}, N = {9, 11, 12, 13} e P = {-4, 6, 7, 8}. Associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada afirmação:a) 11 ∈ Mb) 4 ∉ Pc) 12 ∉ Nd) P ∈ 8e) 9 ∈ Nf) -4 ∈ Pg) 7 ∈ Mh) 4 ∉ Mi) 9 ∈ Mj) 11 ∈ P

02) Represente através de uma propriedade dos elementos os conjuntos:a) A = {Brasília}b) M = {f, i, s, c, a}c) I = {11, 13, 16, 17, 19}d) P = {losango, quadrado}

03) Represente na forma de enumeração os seguintes conjuntos:a) G = {x | x + 5 = 4}b) F = {x | x2 – 4x + 3 = 0}c) L = {x | x é satélite natural da Terra}d) W = {f | f é elemento químico da molécula da água}e) T = {t | t é classificação de triângulo quanto aos lados}

04) Considerando os conjuntos M = {m | m2 = 9} e N = {n | n + 1 = 4} represente os dois conjuntos por enumeração e indique os elementos de M que também pertencem a N.

05) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:a) x é um número natural par;b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31.c) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.

06) Escreva o conjunto dado pela condição:a) y é um número tal que y2 – 25 = 0;b) y é um número tal que y2 – 5y + 6 = 0;c) y é um número divisor de 16 tal que y3 = 8;d) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do que -2.

Tipos de conjuntos

Podemos caracterizar um conjunto em função de seu número de elementos. Denomina-se n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer. Assim, os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que ele pertencem.

Conjunto Vazio : Se um conjunto não possuir elementos será chamado de conjunto vazio, ou seja, n(A) = 0 Notação: { } ou ∅

Conjunto Unitário : Quando um conjunto tiver apenas um elemento, será denominado conjunto unitário, ou seja, n(A) = 1.

De acordo com o número de elementos podemos classificar os conjuntos como finito ou infinito.

Exemplos:1. O conjunto A = {x | x ¿ 8 e x ¿ 2}, não tem elemento. Logo n(B) = 0 e B é um conjunto vazio.

2. O conjunto M = {m | 2m – 6 = 4} possui apenas o elemento 4. Logo, n(M) = 1 e M é um conjunto unitário.

Professor: João Castilho3. Considere o conjunto T = {2, 10, 23, 42, 63}. O número de elementos de T é 5 e indica-se n(T) = 5. Dizemos

que T é um conjunto finito.

4. O conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} é infinito.

Conjunto Universo

Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é simbolizado por U.

É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números naturais, então a equação x + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x + 5 = 2 tem solução x = -3.

Graficamente, o conjunto universo será representado por um retângulo envolvendo os outros conjuntos. No caso de conjuntos genéricos, não é necessário indicar os elementos.

Em geral, as respostas de um problemas dependem do conjunto universo.