Aula 1 Conjuntos Numéricos - Professor Luciano … · TEORIA DOS CONJUNTOS SITUAÇÕES –PROBLEMAS 1º) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas

Tecnólogo em Construção de Edifícios

Aula 1

Conjuntos NuméricosProfessor Luciano Nóbrega

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Inicialmente, façamos uma revisão:

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SONDAGEM

1 – Calcule o valor das expressões abaixo. Dê as respostas de todas as

formas possíveis (inteiro, fração irredutível, forma mista e decimal)

a) (–2)3 – (–3)2 . (–5)0 + (+10)3 b) {35 – [20 – (5 + 32) : 2] + 40}

(+5)2 – (–4)(–5)

c) 3/5 + 1/2 d) (2/3)–1 – (6/5)

–2 . (1/2)3

1/3 – 2/5

2 – Simplifique as expressões e,

só depois, substitua x por 1:

a) (3x2 –2x + 9) – (3x – 1)(x + 4)

b) (x – 4)2 + 2(x + 3)2 – (xy + 2/3)2

c) (x + 2)(x – 2) – (3x + 4)(3x – 4)

3 – (UFRN) Dada a função f(x)=ax+b,

calcule o valor de “a” e “b”, sabendo que

f(1) = 10 e f (-1) = 4. Clcule f(–7)

4 – Encontre os valores das incógnitas:

x + y + z = 6

4x + 2y – z = 5

x + 3y + 2z = 13

CONJUNTOS NUMÉRICOS

“DEUS criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”

Leopold Kronecker (Matemático Alemão)

N: conjunto dos números naturais:

Criado para representar a contagem.

Z: conjunto dos números inteiros:

Criado para responder questões, tais como 3 – 8 = ?

Q: conjunto dos números racionais:

Criado para responder questões, tais como 3 : 8 = ?

I: conjunto dos números irracionais:

Criado para responder questões, tais como √3 = ?

R: conjunto dos números reais:

Criado para unir os conjuntos “Q” e “R”

C: conjunto dos números complexos:

Criado para responder questões, tais como √–1.

OBS: Todos os números são considerados números complexos


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TEORIA DOS CONJUNTOS

SITUAÇÕES – PROBLEMAS 1º) Numa pesquisa sobre a preferência em

relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem jornais? c) quantas pessoas não lêem jornais?

2º) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas de uma comunidade para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte:

23 gostam de futebol; 18 de vôlei e 14 de basquete; 10 gostam de futebol e de vôlei; 9 de futebol e de basquete; 8 de basquete e vôlei e 5 gostam dos três esportes.

a) Quantas pessoas gostam somente de futebol?

b) Quantas não gostam de nenhum esporte?

c) Quantas não gostam nem de basquete, nem de vôlei?

d) Quantas gostam só de basquete ou só de vôlei?

Para resolver situações – problemas desse tipo é que

estudaremos a Teoria dos conjuntos.


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CONCEITOS PRIMITIVOS

Pertinência – Notação: ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence)

Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer

aquele conjunto.

Continência – Notação: ⊂ (contido) ou ⊄ (não está contido)

Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que

o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto.

EXEMPLO: Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos:

a) 4/11 __ N b) N __ Ir c) N __ R d) √5 __ R e) -4,7 __ Z


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EXEMPLO: Relacione com diagramas todos os conjuntos numéricos.


OPERAÇÕES COM CONJUNTOSPara facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}.

UNIÃO: A união de “A” e “B”, denotada por A ⋃ B, é o conjunto que

contém aqueles elementos que estão em “A”, ou em “B”, ou em ambos.

Ex: A ⋃ B =

INTERSEÇÃO: A interseção de “A” e “B”, denotada por A ⋂ B, é o

conjunto que contém aqueles elementos que estão em “A” e em “B” ao

mesmo tempo. Ex: A ⋂ B =

DIFERENÇA: A diferença de “A” e “B”, denotada por A – B, é o conjunto

que contém aqueles elementos que estão em “A” mas não estão em “B”.

Ex: A – B = B – A =

COMPLEMENTO: Se “U” é o conjunto Universo, U – A é chamado

de complemento de “A” e é denotado por “ Ā ” ou “CBA.

Ex: Ā =


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NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOSConsideremos o conjunto “A” como o conjunto dos números ímpares entre

0 e 10, e o conjunto “B” dos números primos entre 0 e 10. Então, se n(A)

representa a quantidade de elementos do conjunto “A”, temos:A = { } n(A) = B = { } n(B) =

Vejamos o que acontece quando estudamos a interseção e a união dos

conjuntos:

A ⋃ B = { }

A ⋂ B = { }

n(A ⋃ B) =

n(A ⋂ B) =

Observe que n(A ⋃ B) ≠ n(A) + n(B). Na verdade, temos:

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)

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INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS

Considere os números reais 4 e 9. O conjunto dos números reais entre 4 e

9 (inclusive 4 e 9) é denominado intervalo fechado e representado por:

Se excluirmos 4 e 9, denominamos por intervalo aberto, sendo assim:

]4, 9[

Dizemos que a amplitude (tamanho) do intervalo é dado por:

EXTREMIDADE MAIOR – extremidade menor Ex: 9 – 4 = 5


FORMAS DE REPRESENTAÇÂO

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INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS

O intervalo é fechado se o extremo pertence ao conjunto, isto é, se tiver o

sinal de ≤ ou ≥ , caso contrário, o intervalo é aberto, < ou >.

Podem ocorrer as situações de serem os dois abertos ou um aberto e

outro fechado.

[4, 9[ representa o conjunto dos números reais tais que 4 ≤ x < 9

]4, 9[ representa o conjunto dos números reais tais que 4 < x < 9


Agora vamos representar o conjunto dos números reais x tais que x ≥2+∞ lê-se “mais infinito”, não tem significado

numérico, já que desconhecemos o seu valor.

EXEMPLO:

Considere os conjuntos e

Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B.

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS


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1 – Responda as situações – problemas do slide 4.

GA

BA

RIT

O:

Slid

e 4

_ 1

) a) 2

60 b

) 470 c

) 160

2) a

) 9 b

) 17 c

) 26 d

) 7

3) a

)600 b

) 50 c

) 120

d) 4

50 e

) 310

2 – O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa

sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio

costumam ler:Revistas Leitores

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhuma 180

Pergunta-se:

a) Quantos foram os estudantes consultados?

b) Quantos estudantes lêem

apenas a revista A?

c) Quantos estudantes lêem a

revista B e não lêem a C?

d) Quantos estudantes não lêem

a revista A?

e) Quantos estudantes lêem a

revista A ou a revista C?

3 – (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o

resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra,

55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa

pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de:

A) 20% B) 35% C) 40% D) 25%

TESTANDO OS CONHECIMENTOS


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5 – (UFRN) Indique a opção sempre verdadeira, quaisquer que sejam os

conjuntos A, B e C, de modo que A B.

a) A B C b) A C c) B C d) A C B

6 – (UFRN) As figuras abaixo representam diagramas de Venn dos

conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa

o conjunto Y Z – X.

7 – Sejam A = {x /x é número par

compreendido entre 3 e 15}, B = {x /x é um

número par menor que 15} e C = {x /x é um

número par diferente de 2}. Usando os símbolos

ou , relacione entre si os conjuntos:

a) A e B

b) A e C

c) B e C

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