TESTES DE HIPÓTESE COM UMA AMOSTRA

TESTES DE HIPÓTESE COM UMA

AMOSTRA

Prof. Regina Meyer Branski

1

© 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2

Objetivos

2

Introdução aos testes de hipótese

Testes de hipóteses para a média (amostras

grandes)

Testes de hipóteses para a média (amostras

pequenas)

Teste de hipótese para proporções

Teste de hipótese para variância e desvio padrão

INTRODUÇÃO AOS TESTES DE

HIPÓTESE


Objetivos

Estabelecer uma hipótese nula e uma hipótese

alternativa

Identificar os erros tipo I e tipo II e interpretar o nível

de significância

Determinar o uso do teste estatístico uni ou bicaudal e

encontrar um valor P

Tomar e interpretar decisões baseadas em resultados

de um teste estatístico

Escrever uma afirmação para um teste de hipóteses


Teste de hipótese

Um processo que usa amostras estatísticas para testar uma

afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional

Um fabricante de automóveis anuncia que seu novo carro híbrido

tem média de milhagem de 50 milhas por galão.

Como mostrar que este anúncio é falso?

Para verificar essa afirmação, uma amostra deve ser testada. Se

a média amostral difere suficientemente da média anunciada,

você pode afimar que o anúncio está incorreto.


Hipótese estatística

Afirmação sobre um parâmetro populacional

Exige um par de hipóteses:

Uma hipótese que represente a afirmação

Outra hipótese que seja seu complemento

Quando uma dessas hipóteses for falsa, a outra

deve ser verdadeira.

Qualquer das hipóteses pode representar a

afirmação original

Teste de hipótese


Estabelecendo uma hipótese

Hipótese nula

Hipótese estatística que

contém uma afirmação de

igualdade como ≤ = ≥

Denotada como H0 e é lida

como “H subzero” ou

“hipótese nula.”

Hipótese alternativa

Uma afirmação de

desigualdade como > <

Denotada como Ha e é lida

como “H sub-a.”

Deve ser verdadeira se H0

for falsa.

Afirmações

complementares


Para escrever as hipóteses nula e alternativa

Traduza a afirmação feita sobre o parâmetro

populacional de verbal para matemática.

Escreva seu complemento

H0: μ ≤ k

Ha: μ > k

H0: μ ≥ k

Ha: μ < k

H0: μ = k

Ha: μ ≠ k

Assuma sempre que μ = k e examine a distribuição

amostral com base em sua suposição.

Estabelecendo uma hipótese


Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa

Uma universidade afirma que a proporção de seus estudantes que

se graduaram em 4 anos é de 82%

Escreva a afirmação como uma sentença matemática

Afirme as hipóteses nula e alternativa

Identifique qual representa a afirmação

Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de

água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto.

Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos

de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do que 20 onças.



Uma universidade afirma que a proporção de seus

estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%

Condição de igualdade

Complemento de H0

(afirmação) H0 p = 0.82

Ha p ≠ 0.82





μ ≥ 2.5 galões por minuto




Condição de desigualdade

Complemento de Ha

(Afirmação)

μ < 2.5 galões por minuto


H0

Ha

Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio

de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor

que 2,5 galões por minuto.


Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos

conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do

que 20 onças.

μ ≤ 20 onças

Escreva a afirmação como uma sentença matemática.



Condição de

desigualdade

Complemento de Ha H0:

Ha: (Afirmação) μ > 20 onças



H0 e Ha? Um fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil média de

certo tipo de lâmpada é mais do que 750 horas.

Confirme a afirmação do departamento de embarque de uma

empresa, o número de erros por milhão de embarques tem

desvio padrão de menos que 3.

O desvio padrão do preço base de certo tipo de veículo não

é mais do que $ 320

Uma organização de pesquisa reporta que 28% dos

residentes são estudantes universitários

Os resultados de estudo recente mostram que a proporção de

pessoas que usam cintos de segurança quando estão em um

carro é 81%

Uma empresa afirma que sua marca de tinta tem tempo

médio de secagem de menos de 45 minutos.

13


Tipos de erros

Começar o teste de hipótese assumindo que a

condição de igualdade na hipótese nula é

verdadeira (não importa qual das hipóteses

represente a afirmação)

Ao final do teste, tomar uma das decisões

Rejeitar a hipótese nula ou

Não rejeitar a hipótese nula

Pelo fato da decisão ser baseada em uma amostra

ao invés da população, sempre há a possibilidade de

tomar a decisão errada.


• Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando é

verdadeira.

• Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada

quando é falsa.

A verdade de H0

Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa

Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II

Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta

Tipos de erros


Identificando erros tipo I e II

O limite USDA para contaminação por salmonela por frango é

de 20%. Um inspetor de carnes reporta que o frango produzido

por uma empresa excede o limite USDA. Você realiza um teste de

hipóteses para determinar se a afirmação do inspetor de carne é

verdadeira. Quando irá ocorrer um erro tipo I ou tipo II? Qual é

mais sério? (Fonte: United States Department of Agriculture.)


p representar a proporção de frangos

contaminados

H0:

Ha:

p ≤ 0.2

p > 0.2

Hipóteses:

(afirmação)

0.16 0.18 0.20 0.22 0.24

p

H0: p ≤ 0.20 Ha: p > 0.20

Frango está dentro

dos limites

Frango excede

os limites



Erro tipo I: rejeitar H0 quando ele for verdadeiro

A proporção verdadeira de frangos contaminados é

menor ou igual a 0,2, mas rejeita H0

Erro tipo II: não rejeitar H0 quando ele for falso

A proporção verdadeira de frangos contaminados é

maior que 0,2, mas não rejeita H0

H0:

Ha:

p ≤ 0.2

p > 0.2

Hipóteses:

(Afirmação)



H0:

Ha:

p ≤ 0.2

p > 0.2

Hipóteses:

(Afirmação)

• Erro tipo I: pode criar pânico e causar danos às

vendas de produtores de frangos quando na

verdade estão dentro dos limites

• Erro tipo II: pode permitir que frangos que excedam

o limite de contaminação sejam vendidos ao

consumidor.

• Erro tipo II pode resultar em doenças ou mesmo em

mortes



20


Uma empresa especializada na fabricação de

paraquedas afirma que o índice de falha não é mais

do que 1%. Você realiza um teste de hipótese para

determinar se a afirmação é falsa. Quando ocorrerá um

erro tipo I ou tipo II? Qual o mais sério?


Nível de significância

Probabilidade máxima permitida para um erro tipo I

Denotado por

Quando o nível de significância é pequeno, quer que

a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula

verdadeira seja pequena

Três níveis de significância comumente usados são:

= 0.10 = 0.05 = 0.01

P(tipo de erro II) = β (beta)


Testes estatísticos

Após afirmar as hipóteses nula e alternativa e

especificar o nível de significância, obter uma amostra

aleatória da população e calcular as estatística

amostrais como média e desvio padrão

A estatística que é comparada com o parâmetro na

hipótese nula é chamada de estatística do teste

σ2

x

χ2 s2

z p

t (n < 30)

z (n 30) μ

Estatística de teste

padronizada

Estatística de

teste

Parâmetro

populacional

p̂


Valor P ou Valor da Probabilidade

Para decidir se rejeita H0, determinar se a

probabilidade de se obter uma estatística de teste

padronizada é menor que o nível de significância.

P-teste é a probabilidade de obter uma estatística

amostral com valores tão extremos ou mais extremos

do que aquela determinada a partir dos dados da

amostra, quando a hipótese nula for verdadeira

Depende da natureza do teste


Natureza do teste

Três tipos de teste de hipóteses

Unicaudal à esquerda

Unicaudal à direita

Bicaudal

O tipo de teste depende da localização da região

da distribuição da amostra que favorece uma

rejeição da H0

Essa região é indicada pela hipótese alternativa


Teste unicaudal à esquerda

A hipótese alternativa Ha contém o símbolo < (menor

que)

z

0 1 2 3 -3 -2 -1

Estatística

do teste

H0: μ k

Ha: μ < k

P é a área à

esquerda da

estatística do teste.


Teste unicaudal à direita

A hipótese alternativa Ha contém um símbolo maior

que (>)

z 0 1 2 3 -3 -2 -1

H0: μ ≤ k

Ha: μ > k

Estatística do

teste

P é a área à

direita da

estatística do

teste.


Teste bicaudal

A hipótese alternativa Ha contém o símbolo de não

igualdade (≠)

Cada cauda tem uma área de ½P.

z

0 1 2 3 -3 -2 -1

Teste estatístico Teste estatístico

H0: μ = k

Ha: μ k

P é duas vezes a

área à esquerda

do valor negativo

da estatística do

teste.

P é duas vezes a

área à direita do

valor positivo da

estatística do

teste.


Identificando a natureza de um teste

Para cada afirmação, estabeleça em palavras e

símbolos H0 e Ha.

Determine se o teste de hipótese é unicaudal ou

bicaudal.

Descreva uma distribuição de amostragem normal e

sombreie a área para o valor P



1. Uma universidade afirma que a proporção de seus

estudantes que se graduam em 4 anos é 82%

2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice

médio de fluxo de água de certo tipo de torneira

é menor que 2,5 galões por minuto

3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso

médio dos conteúdos de suas caixas é 20 onças de

cereal e mais do que 20 onças.


H0:

Ha:

p = 0.82 p ≠ 0.82

Teste bicaudal

z 0 -z z

½ área do

valor P

½ área do

valor P


Uma universidade afirma que a proporção de

estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%.


Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio

de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que

2,5 galões por minuto (gpm)

H0:

Ha:

Teste unicaudal

à esquerda z 0 -z

Área do

valor P

μ ≥ 2.5 gpm

μ < 2.5 gpm



Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio

dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é

mais do que 20 onças.

H0:

Ha:

Teste unicaudal à

direita z

0 z

Área do

valor P

μ ≤ 20 oz

μ > 20 oz



Tomando uma decisão 33




Tomando uma decisão

Regra de decisão baseada em um valor P

Compare o valor P com

Se P , rejeitar H0.

Se P > , não rejeitar H0.

Afirmação

Decisão Afirmação é H0 Afirmação é Ha

Rejeitar H0

Não rejeitar H0

Há evidência suficiente para

rejeitar a afirmação.

Não há evidência suficiente

para rejeitar a afirmação.

Há evidência suficiente para

apoiar a afirmação.

Não há evidência suficiente

para apoiar a afirmação.


Interpretando uma decisão

Realiza um teste de hipótese para cada uma das

afirmações.

Como interpretar a decisão se rejeitar H0 ? E de não

rejeitar H0?



H0 (Afirmação): Uma universidade alega que a

proporção de seus estudantes que se graduaram em 4

anos é de 82%.



Afirmação é representada por H0

Se rejeitar H0, concluir: “há evidência suficiente para

rejeitar a afirmação da universidade.”

Se não rejeitar H0, concluir: “não há evidência

suficiente para rejeitar a afirmação da universidade.”

H0 (Afirmação): Uma universidade alega que a

proporção de seus estudantes que se graduaram em 4

anos é de 82%.



A afirmação é representada por Ha (Ha < 136)

H0 é “a média de distância de frenagem… é maior

ou igual a 136 pés” (H0 ≥ 136)

Ha (Afirmação): a Consumer Reports afirma que a

média das distâncias de frenagem (em superfície seca)

para um Honda Civic é menos que 136 pés.


Rejeitar H0: “há evidência suficiente para apoiar a

afirmação de que a distância de frenagem para um

Honda Civic é menos que 136 pés”

Não rejeitar H0: “não há evidência suficiente para

apoiar a afirmação de que a distância de frenagem

para um Honda Civic é menos que 136 pés”.



41

Você realiza um teste de hipótese para a

afirmação a seguir. Como você deve interpretar

sua decisão se você rejeitar H0? Se você não

rejeitar H0?

Ha: uma estação de rádio publica que sua

proporção de audiência de ouvintes locais é maior

que 39% (afirmação)



42

Há evidência suficiente para apoiar a afirmação

da rádio de que sua proporção de ouvintes locais é

maior que 39%

Não há evidência suficiente para apoiar a

afirmação da estação de rádio de que a

proporção de ouvintes locais é maior do que 39%



Instruções para o teste de hipótese

1. Formule a afirmação matematica

e verbalmente. Identifique as

hipóteses nula e alternativa

2. Especifique o nível de

significância

3. Determine a distribuição amostral

padronizada e faça o gráfico

4. Determine a estatística do teste e

o valor padronizado

Em palavras Em símbolos

Afirme H0 e Ha

Identifique α


Instruções para o teste de hipótese

5. Encontre o valor de P

6. Tome a decisão de rejeitar ou

de não rejeitar a hipótese

nula

7. Interprete a decisão no

contexto da afirmação

original


Unicaudal ou Bicaudal

Rejeitar H0 se P α. Não

rejeitar H0 caso contrário


Objetivos

Estabelecer uma hipótese nula e uma hipótese

alternativa.

Identificar os erros tipo I e tipo II e interpretamos o

nível de significância.

Determinar o uso do teste estatístico uni ou bicaudal e

encontrar um valor P.

Tomar e interpretar decisões baseadas em resultados

de um teste estatístico.

Escrever uma afirmação para um teste de hipóteses.

TESTES DE HIPÓTESE PARA A

MÉDIA (AMOSTRAS

GRANDES)


Objetivos

Encontrar valores P e usar para testar uma média μ

Usar valores P para um teste-z

Encontrar valores críticos e regiões de rejeição em

uma distribuição normal

Usar as regiões de rejeição para um teste-z


Usando valores P para tomada de

decisões

Para usar um valor P para tomar uma decisão em

um teste de hipóteses, compare o valor P com .

1. Se P , rejeitar H0.

2. Se P > , não rejeitar H0.






Exemplo: interpretando um valor P

O valor P para o teste de hipótese é P = 0,0237. Qual

sua decisão se o nível de significância é:

1. 0,05?

2. 0,01?


Encontrando o valor P

Depois de determinar a estatística do teste padronizada

do teste de hipótese e a área correspondente da

estatística do teste, realize um dos passos a seguir para

encontrar o valor P.

a. Para o teste unicaudal à esquerda, P = (área na cauda

esquerda).

b. Para o teste unicaudal à direita, P = (área na cauda

direita).

c. Para o teste bicaudal, P = (área na cauda da estatística

do teste).


Exemplo: encontrando o valor P

Encontre o valor P para o teste de hipótese unicaudal à

esquerda com estatística de teste z = –2,23. Decida se

rejeita H0 se o nível de significância for α= 0,01.



Encontre o valor P para o teste de hipótese unicaudal à

esquerda com estatística de teste z = –1,62. Decida se

rejeita H0 se o nível de significância for α= 0,05.


Encontre o valor P para o teste bicaudal com

estatística do teste de z = 2,14. Decida se rejeita H0

se o nível de significância for α = 0,05.



Teste z para uma média μ

Pode ser usado quando a população é normal e σ é

conhecido, ou para qualquer população quando o

tamanho da amostra n for pelo menos 30.

A estatística do teste é a média amostral

A estatística do teste padronizado é z.

Quando n 30, o desvio padrão da amostra s pode

ser substituído por .


Usando valores P para um teste z para

média µ

xz

n

1. Declare a afirmação matematica e

verbalmente. Identifique as

hipóteses nula e alternativa.

2. Especifique o nível de significância.

3. Determine o teste estatístico

padronizado.

4. Encontre a área que corresponda

à z.

Declare H0 e Ha.

Identifique .

Em palavras Em Símbolos


Rejeite H0 se P .

5. Encontre o valor-P

6. Tome a decisão de rejeitar ou

não rejeitar a hipótese nula.

7. Interprete a decisão no contexto

da afirmação original.


Usando valores P para um teste z para

média µ


Exemplo: usando valores P para testes

de hipóteses

Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de

seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma

seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem

média amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de

3,5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a

afirmação em α = 0,01? Use um valor P.


Usando valores P para testes de

hipóteses

Você acha que a informação do

investimento médio de franquia

mostrada no gráfico é incorreta, então

você seleciona aleatoriamente 30

franquias e determina o investimento

necessário para cada. A média

amostral de investimento é $ 135.000

com desvio padrão de $30.000. Há

evidência suficiente para apoiar sua

afirmação em α = 0,05. Use um valor

P.


Regiões de rejeição e valores críticos

Região de rejeição (ou região crítica)

A amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável.

Se uma estatística de teste está nessa região, a hipótese nula é rejeitada.

Um valor crítico z0 separa a região de rejeição da região de não rejeição.


1. Especifique o nível de significância .

2. Decida se o teste é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal.

3. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) z0. Se o teste de hipótese for:

a. caudal à esquerda, encontre o z-escore que corresponda à

área de ;

b. caudal à direita, encontre o z-escore que corresponda à

área de 1 –;

c. bicaudal, encontre o z-escore que corresponda a ½ e a

1 – ½.

4. Faça a distribuição normal padrão. Desenhe uma linha vertical

em cada valor crítico e preencha a(s) região(ões) de rejeição.

Encontrando valores críticos em uma

distribuição normal


Encontrando valores críticos

Encontre o valor crítico e a região de rejeição de um

teste bicaudal com = 0,05.


Regra da decisão baseada numa

região de rejeição

Para usar a região de rejeição para conduzir um teste de

hipótese, calcule a estatística do teste padronizado z. Se a

estatística do teste padronizado:

1. Estiver na região de rejeição, então rejeite H0.

2. Não estiver na região de rejeição, então não rejeitar H0.

z 0 z0

Não rejeitar Ho.

rejeição H0.

Teste unicaudal à esquerda

z < z0 z

0 z0

RejeiçãoHo.

Não rejeitar Ho.

z > z0 Teste unicaudal à direita

z 0 z0

Teste bicaudal

z0 z < -z0 z > z0

Rejeição H0

Não rejeitar H0

Rejeiçã H0


Usando regiões de rejeição

para um teste z para uma média μ

1. Declare a afirmação matemática e

verbalmente. Identifique as hipóteses

nula e alternativa.


3. Faça a distribuição de amostragem.

4. Determine o(s) valor(es) crítico(s).

5. Determine a(s) região(ões) de rejeição.

Declare H0 e Ha.

Identifique .



6. Encontre o teste estatístico

padronizado.

7. Tome a decisão de rejeitar ou falhar

em rejeitar a hipótese nula.

8. Interprete a decisão no contexto da

afirmação original.

Se z está na região de

rejeição, rejeite H0. Se

não, não rejeitar H0.


or if 30

use

xz n

n

s

.

Usando regiões de rejeição

para um teste z para uma média μ


Testando µ com amostra grande

Funcionários de uma grande firma de contabilidade

afirmam que a média dos salários dos contadores é

menor que a de seu concorrente, que é $ 45.000. Uma

amostra aleatória de 30 dos contadores da firma tem

média de salário de $ 43.500 com desvio padrão de

$5.200. Com α = 0,05, teste a afirmação dos

funcionários.


.

O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o

custo médio para se criar um filho até a idade de 2 anos na zona

rural é de $ 10.460. Você acredita que esse valor está incorreto,

então você seleciona uma amostra aleatória de 900 crianças

(com idade de 2 anos) e descobre que a média dos custos é

$10.345 com desvio padrão de $ 1.540. Com α = 0,05, há

evidência suficiente para concluir que a média do custo é

diferente de $ 10.460? (Adaptado de U.S. Department of

Agriculture Center for Nutrition Policy and Promotion)

Testando µ com amostra grande


Objetivos

Encontrar valores P e usar para testar uma média μ

Usar valores P para um teste z

Encontrar valores críticos e regiões de rejeição em

uma distribuição normal

Usar as regiões de rejeição para um teste z

TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA

(AMOSTRAS PEQUENAS)


Objetivos

Encontrar valores críticos numa distribuição-t

Usar o teste-t para testar uma média μ


Encontrando valores críticos numa

distribuição-t

1. Identifique o nível de significância .

2. Identifique os graus de liberdade g.l. = n – 1.

3. Encontre o(s) valore(s) crítico(s)

4. Se o teste de hipótese é:

a. Unicaudal à esquerda, use a coluna “Unicaudal,

” com um sinal de negativo;

b. Unicaudal à direita, use a coluna “Unicaudal, ”

com um sinal de positivo;

c. Bicaudal, use a coluna “Bicaudal, ” com um sinal

de negativo e um de positivo.


Exemplo: encontrando valores críticos para t

Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal à

esquerda, dado:

= 0,05 e n = 21

Solução:

• Os graus de liberdade são

g.l. = n – 1 = 21 – 1 = 20.

• Procure α = 0,05 na coluna

“Unicaudal, ”. • Porque o teste é unicaudal

à esquerda, o valor crítico é

negativo.

t 0 -1,725

0,05


.

Encontre os valores críticos t0 e -t0 para um teste bicaudal

dado = 0,05 e n = 26.

Solução:

• Os graus de liberdade são g.l.

= n – 1 = 26 – 1 = 25.

• Procure α = 0,05 na coluna

“Bicaudal, ”. • Porque o teste é bicaudal, um

valor crítico é positivo e o

outro é negativo.

t 0 -2,060

0,025

2,060

0,025

Exemplo: encontrando valores críticos para t


Teste-t para uma média μ (n < 30,

desconhecido)

.

Teste-t para uma média

Um teste estatístico para uma média populacional.

O teste-t pode ser usado quando a população é

normal, ou aproximadamente normal, é

desconhecido, e n < 30.

O teste estatístico é a média amostral

O teste estatístico padronizado é t.

Os graus de liberdade são g.l. = n – 1.

xt

s n

x


Usando o teste- t para uma média μ

(amostra pequena)

.

1. Expresse a afirmação matemática e

verbalmente. Identifique a hipótese

nula e alternativa.


3. Identifique os graus de liberdade e

faça a distribuição amostral.

4. Determine quaisquer valores críticos.

Expresse H0 e Ha.

Identifique .

Use a tabela

g.l. = n – 1.



5. Determine quaisquer regiões de

rejeição.

6. Encontre o teste estatístico

padronizado.

7. Decida-se por rejeitar ou falhar

em rejeitar a hipótese nula.

8. Interprete a decisão no contexto

da afirmação original.

xt

s n

Se t está na região de

rejeição, rejeitar H0.

Senão, não rejeitar H0.


Usando o teste- t para uma média μ

(amostra pequena)


Exemplo: testando μ com uma amostra

pequena

Um revendedor de carros usados diz que o preço médio

de um Honda Pilot LX 2005 é de pelo menos $ 23.900.

Você suspeita que essa afirmação é incorreta e

descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos

similares tem média de preço de $ 23.000 e desvio

padrão de $ 1.113. Há evidências suficientes para

rejeitar a afirmação do revendedor em α = 0,05?

Assuma que a população é normalmente distribuída.

(Adaptado de Kelley Blue Book)


Uma indústria afirma que a média do nível do pH na

água do rio mais próximo é de 6,8. Você seleciona 19

amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma.

A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24,

respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a

afirmação da indústria em á = 0,05? Assuma que a

população é normalmente distribuída.

Exemplo: testando μ com uma amostra

pequena


Objetivos

Encontrar valores críticos numa distribuição-t.

Usar o teste-t para testar uma média μ.

Obs: Não é possível determinar o valor P exato

utilizando a tabela

TESTE DE HIPÓTESE PARA

PROPORÇÕES

.


Objetivo

Usar o teste-z para testar uma proporção populacional p.


Teste-z para uma proporção populacional

Um teste estatístico para uma proporção

populacional.

Pode ser usado quando uma distribuição binomial é

dada para np 5 e nq 5.

O teste estatístico é a proporção da amostra .

O teste estatístico padronizado é z.

ˆ

ˆ

ˆ ˆp

p

p p pz

pq n

p̂


Usando um teste z para uma proporção p

1. Determine a afirmação verbal e

matematicamente. Identifique a

hipótese nula e a alternativa.


3. Esboce a distribuição de

amostragem.

4. Determine qualquer (quaisquer)

valor(es) crítico(s).

Determine H0 e Ha.

Identifique .

Use a tabela

Verifique que np ≥ 5 e nq ≥ 5.



5. Determine quaisquer regiões

de rejeição.

6. Encontre o teste padrão

estatístico.

7. Decida entre rejeitar ou não

a hipótese nula.

8. Interprete a decisão no

contexto da afirmação

original.

Se z está na região

de rejeição, rejeite

H0. Caso contrário,

não rejeite H0.

p̂ pz

pq n


Usando um teste z para uma proporção p


Exemplo: teste de hipótese para uma

proporção

.

A Zogby Internacional declara que 45% das pessoas

nos Estados Unidos são a favor de tornar a venda do

cigarro ilegal dentro dos próximos 10 anos. Você decide

testar essa afirmação e entrevista uma amostra de 200

pessoas, dentre as quais, 49% são a favor da lei. Com α

= 0,05, há evidência o bastante para apoiar a

afirmação?

Verifique que np ≥ 5 e nq ≥ 5.


Exemplo: teste de hipótese

para uma proporção

O centro de pesquisas Pew afirma que mais de 55% dos

adultos norte-americanos assistem seus noticiários locais

regularmente. Você decide testar essa afirmação e

entrevista uma amostra de 425 adultos nos Estados

Unidos sobre esse assunto. Dos 425 entrevistados, 255

responderam que assistem seus noticiários locais

regularmente. Com α = 0,05, há evidência o suficiente

para apoiar essa afirmação do centro de pesquisas

Pew?

Verfique que np ≥ 5 e nq ≥ 5.


Objetivo

Usar o teste z para testar uma proporção populacional p.

TESTE DE HIPÓTESE PARA VARIÂNCIA

E DESVIO PADRÃO

.


Objetivos

Encontre os valores críticos para um teste χ2

Use o teste χ2 para testar uma variância ou um

desvio padrão.


Encontrando valores críticos para o teste χ2

1. Especifique o nível de significância .

2. Determine os graus de liberdade g.l. = n – 1.

3. Os valores críticos para a distribuição χ2 são

encontradas na Tabela. Para encontrar os valores

críticos para um:

1. Teste unicaudal à direita, use o valor que

corresponde a g.l. e ;

2. Teste unicaudal à esquerda, use o valor que

corresponde a d.f. e 1 – ;

3. Teste bicaudal, use os valores que correspondem a

d.f. e ½ e d.f. e 1 – ½.


Encontrando valores críticos para o teste χ2

χ2

12

2

L2

R

12

1 – α

χ2 2

0

1 – α

χ2

2

0

1 – α

Unicaudal

à direita Unicaudal

à esquerda

Bicaudal


Exemplo: encontre valores críticos para χ2

.

Encontre o valor crítico χ2 para um teste unicaudal

à esquerda quando n = 11 e α = 0,01.


Encontre o valor crítico χ2 para um teste bicaudal

quando n = 13 e = 0.01.

Exemplo: encontre valores críticos para χ2


O teste quiquadrado

.

O teste χ2 para uma variância ou desvio padrão

Pode ser usado quando a população for normal.

O teste estatístico é s2.

O teste estatístico padronizado

Segue uma distribuição quiquadrada com graus de

liberdade g.l.= n – 1.

22

2

( 1)n s


Usando o teste χ2 para umavariância ou

desvio padrão

.

1. Determine a afirmação verbal e

matematicamente. Identifique a

hipótese nula e a alternativa.


3. Determine os graus de liberdade e

esboce a distribuição de

amostragem.

4. Determine quaisquer valores críticos.

Determine H0 e Ha.

Identifique .

Use a tabela

g.l. = n – 1



.

22

2

( 1)n s

Se χ2 está numa região

de rejeição, rejeite H0.

Caso contrário, não

rejeite H0.

5. Determine quaisquer regiões de

rejeição

6. Encontre a estatística de teste

padronizado.

7. Decida entre rejeitar ou não a

hipótese nula.

8. Interprete a decisão no contexto da

afirmação original.


Usando o teste χ2 para umavariância ou

desvio padrão


Exemplo: usando um teste de hipótese para

a variância populacional

Uma empresa de processamento de laticínios declara

que a variância da quantidade de gordura no leite

integral processado por ela é de não mais que 0,25.

Você suspeita que essa afirmação esteja errada e

descobre que uma amostra aleatória de 41 contêineres

de leite tem uma variância de 0,27. Com α = 0,05, há

evidência suficiente para rejeitar a declaração da

empresa? Suponha que a população seja normalmente

distribuída.


Exemplo: teste de hipótese para o

desvio padrão

.

Um restaurante afirma que o desvio padrão no tempo

de servir é menor que 2,9 minutos. Uma amostra

aleatória de 23 tempos de serviço tem um desvio

padrão de 2,1 minutos. Com α = 0,10, há evidência o

bastante para dar suporte à afirmação do restaurante?

Suponha que a população seja normalmente distribuída.


Exemplo: teste de hipótese

para a variância populacional

Um fabricante de artigos esportivos afirma que a

variância da força em uma certa linha de pesca é de

15,9. Uma amostra aleatória de 15 cilindros de linha tem

uma variância de 21,8. Com α = 0,05, há evidencia

suficiente para rejeitar a afirmação do fabricante?

Suponha que a população seja normalmente distribuída.


Objetivos

.

Encontrar valores críticos para um teste χ2

Usar o teste χ2 para testar uma variância ou um

desvio padrão.

Documents

TESTES DE HIPÓTESE COM UMA AMOSTRA