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Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Minas Gerais
Topologia Local de Rarefações emSistemas de Três Leis de Conservação
Regina Radicchi
Orientador : Mario Jorge Dias CarneiroCo-orientador César de Souza Eschenazi
maio de 2008
À memória de Velcy Aparecida Alves Haab,
colega de trabalho e amiga.
Resumo
Neste trabalho descrevemos localmente as configurações das curvas de rare-fação para sistemas de três Leis de Conservação com fluxo infinitamente diferen-ciável e cuja derivada tem uma parte independente das variáveis envolvidas dedois dos tipos genéricos de Arnol’d [3]. Tratamos o problema como uma equaçãodiferencial implícita (E.D.I). Mostramos que existe uma equivalência topológicalocal fraca entre a E.D.I. e três modelos chamados de modelos topológicos.
Abstract
In this work we describe locally the configuration of the rarefaction curves forsystems of three Conservation Laws with differentiable flow for which the partindependent of variables involved of its derivative can be of two generic types ofArnol’d [3]. We treat the problem as an implicit differential equation(I.D.E). Weshown that there exists one locallly weakly topological equivalence between theI.D.E. and three of the so called topological models.
Agradecimentos
Agradeço ao Mario Jorge Dias Carneiro e ao César de Souza Eschenazi pela o-rientação deste trabalho. Também agradeço aos dois, por sempre me incentivarema querer aprender e por serem os profissionais que são.
Agradeço ao Francisco Satuf Rezende pela troca proveitosa de idéias e ao Ha-milton Prado Bueno pelo incentivo e por sugestões muito úteis no LATEX.
Agradeço aos membros da Banca Examinadora de Defesa de Tese, Marco An-tonio Teixeira, Ronaldo Alves Garcia, Carlos Frederico Palmeira e Alberto BerlySarmiento Vera por suas sugestões e correções para a redação final deste trabalho.
Agradeço à Pós-Graduação do Departamento de Matemática da UFMG pelo in-centivo e oportunidade.
Agradeço ao Ronaldo por ser mais do que um irmão: um grande amigo quesempre está sempre pronto, com carinho, a me ajudar.
Agradeço a Deus por tudo: pelos momentos ruins que servem de aprendizadoe pelos momentos bons que trazem alegria.
Sumário
1 Equações Diferenciais Implícitas 14
2 Curvas de Rarefação e as Equações Diferenciais Implícitas 192.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 O Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Caso α2 : um autovalor duplo com multiplicidade geométrica um . . 242.4 Equivalência Topológica Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Modelo Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Caso α3: um autovalor triplo com multiplicidade geométrica um 383.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Equação Simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 A Dinâmica da Aplicação de Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Equivalência Topológica Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Integração Numérica dos Modelos Topológicos 614.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Caso α2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Caso α3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Referências Bibliográficas 68
6
Introdução
Uma equação diferencial implícita (E.D.I) de primeira ordem é qualquer equaçãoda forma
F(x, y, p) = 0 (1)
em que p = dydx , F : U ⊂ R× Rn × Rn −→ Rn é uma aplicação de classe C∞. A
denominação implícita é usada em contraposição a equação da forma geral dydx =
g(x, y), em que a derivada é dada explícitamente em função das variáveis x e y.
Neste trabalho, as triplas (x, y, p) são um ponto no espaçoR×Rn×RPn. Vamossupor que F(x, y, p) = 0 define uma variedade em Rn+1 × RPn. Considerando-se a projeção paralela na direção p, da variedade F = 0 no espaço Rn+1, isto é,π(x, y, p) = (x, y), diremos que pontos na variedade F = 0 são pontos singulares daequação (1) se det Fp = 0, ou seja, pontos que satisfazem F = det Fp = 0.
Uma classe de E.D.Is surgem com os problemas de fenômenos de transição defase [23] e estiramento da folha de metal [4]. Tais problemas ocorrem ao consider-armos o o sistema da forma
A(x)x = v(x) (2)
em que x ∈ Rn, A(x) é uma função matriz C∞ n × n e v(x) é um campo de ve-tores C∞. O conjunto dos pontos S = {x ∈ Rn : detA(x) = 0} é denominadoconjunto de pontos de impasse e (2) é denominado sistema de restrição. No estudode sistemas restrição existem duas direções de pesquisa. A primeira, é o caso emque o postoA(x) = n − 1. Nessa situação, (2) se reduz ao sistema x = F(x, y),G(x, y) = 0, x ∈ Rn que está relacionado com o problema de pertubação singularde equações diferenciais ordinárias. Os problemas dessa direção foram original-mente desenvolvidos em [5, 31].
A segunda direção de pesquisa, estuda sistemas de restrição típicos(2), ou, equi-valentemente singularidades irremovíveis de tais sistemas. Isto significa que os re-sultados são obtidos num subconjunto aberto e denso no espaço global de todosos sistemas de restrição. Defini-se um sistema de restrição globalmente, numavariedade Mn, substituindo-se a matriz A(x) pela família de operadores linearesA = {Ap : TpMn → TpMn}, e o campo de vetores v(x) por um campo de vetoresglobalmente definido v. Nessa linha de pesquisa, o ponto de vista é a Teoria de Sin-gularidades usual. De fato, o estudo de sistemas de restrição representa um campode interação entre a Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias e a Teo-ria de Singularidades de Aplicações C∞. O trabalho Zhitomirskii [34] contém umaclassificação completa das órbitas de sistemas de restrição genéricos em varieda-des de dimensão 2. Neste caso, a classificação do retrato de fase pode ser reduzidoa classificação de pares consistindo de uma hipersuperfície de impasse e do campode vetores extendidos. No caso n-dimensional, n ≥ 3, singularidades genéricas detais pares são mais complicadas. A classificação de pares(campo de vetores, hiper-
7
superfícies) também aparece em outros problemas([29, 31]), mas os pares obtidosem cada um desses problemas têm característica própria.
Os artigos [28, 30] contém resultados globais de estabilidade estrutural parasistemas de restrição polinomiais no plano. Outro artigo relacionado com o estudode descrição do campo de sistemas de restrição está em [24].
Considerando F : U ⊂ R× R× R −→ R em (1), temos uma outra classe dasE.D.Is que são as chamadas equações diferenciais binárias (E.D.Bs) da forma
a(x, y)dy2 + 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0 (3)
onde a, b e c são funções reais C∞ em (x, y). Essas equações aparecem naturalmenteem várias áreas da matemática, como por exemplo em geometria diferencial, sis-temas dinâmicos e equações diferenciais parciais. Abaixo apresentaremos algunsproblemas em que ocorrem tais equações.
Começamos considerando o seguinte problema: seja G : R2 → R2 uma apli-cação C∞. Os autovalores de DG são obtidos resolvendo a equação det(DG−λI) =0, ou se G = ( f , g): ∣∣∣∣
fx − λ fygx gy − λ
∣∣∣∣ = 0 ,
isto é,λ2 − ( fx + gy)λ + fxgy − fygx = 0 .
Seja V = ( fx + gy)2 − 4( fxgy − fygx) discriminante da última equação. Na região
definida por V > 0 temos 2 autovalores distintos em cada ponto e 2 autoespaçoslinearmente independentes, isto é, temos 2 campos de linhas independentes nessaregião. Nos pontos onde V = 0, temos um autovalor duplo e existem dois casos deacordo com a dimensão dos autoespaços. Se a dimensão é 1, os campos de linha sãolinearmente dependentes, mas ambos não nulos. Se a dimensão for 2, o autoespaçoé o plano todo e a única maneira do campo de linhas ser definido continuamenteé ser zero e assim temos um ponto singular. Na região V < 0 não há autovaloresreais e, portanto, não há autoespaços associados. A equação diferencial associadaaos autoespaços de DG é obtida escrevendo
(fx − λ fy
gx gy − λ
) (dxdy
)=
(00
).
Eliminando-se λ entre as duas equações, obtemos
fydy2 + ( fx − gy)dxdy− gxdx2 = 0 ,
que é da forma (3).
8
D1D
2
D3
Figura 1: Linhas de curvatura num ponto umbílico
A equação (3) surge em geometria diferencial no estudo das linhas de curvaturaprincipal de uma superfície S ⊂ R3, mais precisamente: considere a superfície Smergulhada em R3 e a aplicação de Gauss N : S → S2. Os autoespaços de DNdefinem as linhas de curvatura principal de S. Neste caso, como DN é simétrica, Vé a superfície S, exceto nos pontos em que as curvaturas principais são iguais, istoé, nos pontos onde DN = mI. Tais pontos são denominados pontos umbílicos. Em1896 Darboux [6] já tinha considerado essa equação, que voltou a ser estudadapor Gutierrez e Sotomayor [15], no início dos anos 80, sob o ponto de vista desistemas dinâmicos. Além das configurações mostradas na figura (1) mostrou-seque existem coordenadas numa vizinhança de um ponto umbílico p tal que S édefinida por
(u, v) → (u, v,k2(u2 + v2) +
a6
u3 +b2
uv2 +cv3
6+O((u2 + v2)
2))
com b(b− a) 6= 0 e uma das seguintes condições é satisfeita:
D1 :ab
> (c
2b)
2+ 2, D2 : (
c2b
)2+ 2 >
ab
> 1 a 6= b, D3 :ab
< 1 .
Mostrou-se também que, para qualquer superfície S próxima de S na topologiaC3, existe um homeomorfismo h, de uma vizinhança de p em S numa vizinhançade h(p) em S, que preserva as linhas de curvatura principal. Em outras palavras,a configuração das linhas de curvatura principal, numa vizinhança de um pontoumbílico p, é estruturalmente estável na topologia C3.
Ainda sob o ponto de vista de sistemas dinâmicos, a equação (3) foi estudadapor Guiñez [14] com as hipóteses adicionais b2 − 4ac ≥ 0 e b2 − 4ac = 0 se e
9
somente se a = b = c = 0. Sob essas condições, Guiñez obteve um resultadoanálogo a Gutierrez e Sotomayor. Mostrou ainda que, se existem coordenadas taisque a equação (3) é da forma ydy2 + (b1x + b2y)dxdy− ydx2 = 0, então suas curvasintegrais na vizinhança de um ponto umbílico têm o mesmo comportamento doscasos D1, D2 e D3 mostrados na figura (1) e se reduzem aos casos :
D1 : b1 > 1 +b2
24
, D2 : 1 +b2
24
> b1 > 0, D3 : b1 < 0.
Além disso, as configurações são estruturalmente estáveis. Bruce e Tari ( [18], [17]) também têm estudado a equação (3). Eles fizeram uma classificação deequações diferenciais binárias genéricas na vizinhança de pontos nos quais a funçãodiscriminante b2 − ac tem singularidade de Morse e descreveram como a configu-ração das curvas de solução mudam com deformações versais a 1-parâmetro.
A equação (3) ocorre também quando consideramos as soluções do tipo rare-fação do Problema de Riemann para sistemas de duas leis de conservação. Maisprecisamente, para o sistema
Ut + (H(U))x = 0 −∞ < x < ∞, t > 0 (4)
em que U = U(x, t) ∈ R2 e H : R2 → R2 é uma aplicação C∞, denominada funçãode fluxo. Soluções da forma µ = µ(x/t) tornam o sistema (4) equivalente a
DH(µ(s))µ′(s) = sµ
′(s) , (5)
onde s = x/t. Observa-se que µ′(s) é um autovetor de DH(g(s)) com autovalor s,
ou seja, para soluções do tipo rarefação o estudo do Problema de Riemann para osistema (5) é equivalente ao estudo dos autoespaços da matriz derivada da funçãofluxo H e, por tanto, trata-se de uma equação do tipo (3).
Em [22], Palmeira considera as soluções do tipo rarefação para o caso em que
as coordenadas da função de fluxo são dadas por f = y2
2 + (b1 + 1) x2
2 + a1x + a2y
e g = xy − b2y2
2 + a3x + a4y. Além de descrever completamente a configuraçãodas curvas de rarefação, foi mostrado que as configurações obtidas são estrutu-ralmente estáveis sob perturbações C3 na topologia de Whitney das funções f eg.
Em [9], Eschenazi obteve as configurações das curvas de rarefação para sis-temas de três Leis de Conservação, ist é, com função de fluxo H : R3 → R3 daforma
H(x, y, z) = ( f (x, y), g(x, y), a5x + a6y + z)
onde f e g são as funções consideradas em [22].Neste trabalho, obtemos as configurações das curvas de rarefação para sistemas
de três Leis de Conservação como função de fluxo da forma
H(x, y, z) = ( f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))
10
em que f , g e h ∈ C∞ e a matriz derivada de H na origem, DH(0), é da forma
α2 =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
ou α3 =
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
.
No capítulo I, mostramos que para cada condição inicial, a solução de (1) é soluçãode
c′(t) = X(c(t)) (6)
em que c : (−ε, ε) → R×Rn ×Rn e X é um campo de vetores associado a matrizA, chamado produto vetorial generalizado de A(cap I). Da mesma forma, dadauma condição inicial, uma solução de (6), sob determinadas condições produz umasolução de (1).
Usando o sistema (5), transformamos o problema de Leis de conservação numaequação diferencial implícita F = 0 do tipo (1) para n = 2. Portanto, o estudo dascurvas de rarefação ou o estudo dos autoespaços da matriz jacobiana da função Hé equivalente ao estudo da topologia do campo de linhas induzido pelo núcleo das1-formas wdx − dy e rdx − dz no espaço tangente da variedade F−1(0), ou ainda,equivalente ao estudo das curvas c que satisfazem (6).
No capítulo II, mostramos que existe uma equivalência topológica local fracaentre a equação do tipo (1) e
w2 + yw− x = 0r =
xw(λ2 − λ1)(w + λ1 − λ2)
, (7)
no caso α2. O termo fraca na expressão equivalência fraca significa o seguinte: sobcondições genéricas na função fluxo H, obtemos uma vizinhança V de 0 em R5 eum conjunto Σ, chamado classicamente dobra ou conjunto singular . Em cada pontode Σ, que corresponde a 2 autovalores distintos da matriz DH(0), provamos queexistem três órbitas dos campos: X, involução de X e um campo que denomina-mos de levantado. Para pontos na vizinhança V, fora Σ, correspondentes a trêsautovalores distintos da matriz DH(0), existem sempre três campos. Obtemos umhomeomorfismo h de V em R5 que, preserva Σ , para cada ponto de Σ, preserva astrês órbitas e para pontos em V fora de Σ, preserva os três campos.
No capítulo III, mostramos que para o caso α3 existe uma equivalência topoló-gica local fraca entre a equação do tipo (1) e
{w3 + yw2 + zw + x = 0r = w2 + zw
ou (8)
{w3 + yw2 + zw− x = 0r = w2 + zw .
(9)
11
Nesse caso o significado do termo fraca, da expressão equivalência fraca é o seguinte:sob condições genéricas em H, obtemos uma vizinhança U de 0 em R3 e um sub-conjunto Σ, chamado classicamente de "aresta cuspidal "ou conjunto singular. Σ
0
+
_
U1
U3
Figura 2: Subconjunto Σ
subdivide U , isto é, U \ Σ = U1 ∪ U3. U3 corresponde a 3 autovalores distintos damatriz DH(0), o que em termos da E.D.I. nos diz que temos 3 campos de vetoresl.i.. A região U1 corresponde a um autovalor real da matriz DH(0), o que significaum único campo X de vetor. O conjunto singular Σ corresponde à transição: doisautovalores coincidentes (caso α2) ou um autovalor de multiplicidade 3(caso α3).
A equivalência obtida entre as equações é um homeomorfismo de uma vizin-hança de 0 em R3 que preserva as trajetórias de X no complemetar de U3. Mais
++
_-
h
o1
o2
o3
h(o2)
h(o1)
h(o3)
U3
U1
Figura 3: Corte transversal a aresta de Σ
especificamente, se q ∈ então:
1. a trajetória de X que passa por q é disjunta de Σ e obviamente temos um fluxotubular( fig. (3) trajetória o1).
2. a trajetória de X que passa por q é transversal ao ramo Σ+ de Σ, penetraem U3 até atingir o ramo seguinte Σ−. Neste momento X sofre uma reflexão
12
voltando em direção oposta dentro de U3, atingindo o ramo Σ+ e refletindo-se novamente até voltar a intersectar o ramo Σ− deixando definitivamente aregião U3 ( fig. (3) trajetória o2).
3. a trajetória de X que passa por q, atravessa a aresta de Σ. Neste caso, é possí-vel reparametrizar a trajetória e eliminar a singularidade de modo a obteruma curva não singular disjunta de U3( fig. (3) trajetória o3).
O resultado principal afirma que existe um homeomorfismo que identifica os doisramos Σ+ e Σ− de modo que após a identificação obtemos uma equivalência topo-lógica entre os campos.
Denominamos as equações (7), (8) e (9) de modelos topológicos.No capítulo IV, obtemos numericamente as trajetórias do campo X para as e-
quações (??), (??) e (??), isto é, as curvas de rarefação dos modelos topológicos obtidos.
13
Capítulo 1
Equações Diferenciais Implícitas
Neste capítulo vamos mostrar que o problema de valor inicial
F(x, y, y′) = 0
y(x0) = y0
y′(x0) = z0
(1.1)
em que F : U ⊂ R× Rn × Rn → Rn, U aberto e F(x0, y0, z0) = F(c0) = 0, sobdeterminada condição, é equivalente ao problema de valor inicial
{c′(t) = X(c(t))
c(0) = c0(1.2)
em que c : (−ε, ε) → R×Rn ×Rn e X é um campo de vetores que será definidoa seguir. O termo equivalente significa que a solução de (1.1) é solução de (1.2) evice-versa.
Podemos escrever F(x, y, y′) = 0 na forma
{F(x, y, p) = 0
dydx = p
ou ainda, {F(x, y, p) = 0pdx− dy = 0 . (1.3)
Essa técnica não é nova(método de Lie) e foi introduzida por R. Thom em [32] eposteriormente aplicada por Lak Dara em [7] no estudo das singularidades genéri-cas do sistema (1.3). O problema ( 1.3 ), nos permite ver o problema (1.1) de umponto de vista geométrico. De fato, estamos interessados em curvas
x → (x, y(x), p(x)) (1.4)
na superfície F(x, y, p) = 0 que satisfazem p(x) = y′(x). No caso unidimensional,
dado c0 = (x0, y0, p0) na imagem da curva (1.4), a solução de (1.3) está na inter-seção da superfície F(x, y, p) = 0 com o plano π de equação p0(x− x0)− (y− y0) =
14
z
x
y
πS=F
-1(0)
c0
Tc0
S
n0
Figura 1.1: caso unidimensional
0. Isto significa que o vetor velocidade da curva (1.4) em x0 deve ser perpendicularao vetor (p0,−1, 0)( figura (1.1)). Vamos estudar o problema (1.3) com soluções daforma c(t) = (x(t), y(t), p(t)) cujos vetores velocidades pertencem a interseção doplano tangente à superfície F(x, y, p) = 0 com o plano π. No caso n > 1, o planoπ ⊂ R3 dará lugar a um hiperplano em R×Rn ×Rn.
Para caracterizarmos melhor esta situação consideramos, como em ([13]), a a-plicação ω : R×Rn ×Rn −→ L(R×Rn ×Rn,Rn) definida por
ω(x, y, z)(x′, y
′, z
′) = (x
′p1 − y
′1, · · · , x
′pn − y
′n)
ondey′= (y
′1, · · · , y
′n)
p = (p1, · · · , pn) .
Note-se que ω é de classe C∞. Podemos então, escrever (1.3) da seguinte forma:
F(c(t)) = 0ω(c(t))c
′(t) = 0
c(0) = c0
(1.5)
tal que F(c0) = 0. A segunda linha de (1.5) nos diz que este vetor velocidadeda curva c pertence ao hiperplano π, conforme a figura (1.1). Assim uma curvac(t) = (x(t), y(t), p(t) é solução de (1.5) se, e somente se, (1.4) é solução de (1.3).
Observe-se que, se a curva c : I ⊂ R −→ R×Rn×Rn com c(t) = (x(t), y(t), p(t))é solução de (1.5) e se x é um difeomorfismo sobre sua imagem então y ◦ x−1 é so-lução (1.1). De fato, Como u = x(t) é difeomorfismo, y(t) = (y ◦ x−1)(u). Além
disso, p(t)dx − dy = p(t)x′(t)dt − y
′(t)dt e assim p(t) = (y ◦ x−1)
′(u). Segue-se
que,
F(x(t), y(t), p(t)) = F(u, (y ◦ x−1)(u), (y ◦ x−1)′(u)) = 0 ,
ou seja, y ◦ x−1 é solução de (1.1). Agora, se y = y(x) é solução de (1.1), fazendox = t e p = dy
dx temos que c(t) = (t, y(t), y′(t)) é solução de (1.5).
15
z
x
c(x0
(x,y(x),0)
F_1
(0)=S
~ (x,y(x))
)
y
Figura 1.2: curva e a projeção
Observação 1.1 Daqui em diante consideraremos que se c : I ⊂ R −→ R×Rn ×Rn ésolução de (1.5), x é difeomorfismo sobre sua imagem.
Note-se que, c(t) = (x(t), y(t), p(t)) é solução de (1.5) se, e somente se, é soluçãode
DF(c(t)) · c′(t) = 0
ω(c(t))c′(t) = 0
c(0) = c0 .(1.6)
Este fato motiva a seguinte definição :
Definição 1.1 Dado F : U ⊂ R×Rn ×Rn → Rn, definimos A : U ⊂ R2n+1 → Mnpor A(u)h = (DF(u).h, ω(u).h) ondeMn é o conjunto das matrizes reais, com 2n linhase 2n + 1 colunas.
Se F é de classe Ck, A é de classe Ck−1, uma vez que ω é de classe C∞. Segue-se dadefinição (1.1) que (1.6) pode ser escrito da forma:
{A(c(t))c
′(t) = 0
c(0) = c0 .(1.7)
Usando a matriz A vamos definir um campo de vetores que denotaremos porX. Para tal, necessitamos da seguinte definição.
Definição 1.2 Dada uma matriz B ∈ L(Rk+1,Rk) onde k é um inteiro positivo, de-notamos por B1, · · · , Bk os vetores linhas da matriz de B na base canônica. Definimosm : L(Rk+1,Rk) −→ Rk+1 como o produto vetorial generalizado de B1, · · · , Bk vetoreslinhas da matriz B.
A aplicação m é de classe C∞. A partir de agora denotamos por B a matriz de B nabase canônica. Com as definições (1.1) e (1.2), vamos definir o seguinte campo devetores :
Definição 1.3 Seja X : U → R2k+1 dado por X = m ◦ A.
16
Exemplo 1 Se n = 1 isto é F : U ⊂ R×R×R −→ R então A : U −→ L(R×R×R,R×R) , onde
A =(
Fx Fy Fpp −1 0
)
e X : L(R3,R2) −→ R3 é dado por
X(x, y, p) = (Fp(x, y, p), pFp(x, y, p),−(pFy(x, y, p) + Fx(x, y, p))).
Podemos agora demonstrar o seguinte resultado sobre a existência de soluçõesde (1.7).
Proposição 1.1 Sejam U aberto de R×Rn ×Rn, F : U −→ Rn de classe C1 e c0 ∈ Ucom F(c0) = 0. Se A(c0) possui posto máximo, então existem ε > 0 e c : (−ε, ε) −→R×Rn ×Rn solução de (1.7) com c
′(t) 6= 0 para todo t ∈ (−ε, ε).
Demonstração: Como na definição (1), ω é de classe C1 e, por hipótese, F é declasse C1, temos que A é contínua. Sendo X de classe C∞, m ◦ A : U → Rn écontínua. Pelo Teorema de Peano, o problema de valor inicial (1.2)
{c′(t) = XF(c(t))
c(0) = c0(1.8)
tem solução. Como A(c0) tem posto máximo, existe ε > 0 tal que c′(t) = X(c(t))
para todo t ∈ (−ε, ε).Vamos mostrar que c é solução de (1.7). Pela definição de X, c
′(t) é ortogo-
nal a todas as linhas da matriz A(c(t)). Segue-se que A(c(t))c′(t) = 0 para todo
t ∈ (−ε, ε). Pela definição de A, c é solução de (1.6). Em particulard F(c(t))
dt= 0
em (−ε, ε). Como (F ◦ c)(0) = F(c0) = 0, temos que F ◦ c(t) = F(c(t)) = 0 paratodo t ∈ (−ε, ε) e assim c é solução de (1.7). 2
Como conseqüência da proposição (1.1), se A(c0) tem posto máximo, o problema(1.1) tem solução se e somente se o problema (1.2) tem solução.
Exemplo: considere a equação de Clairaut x + yy′ − 1
3(y′)
3= 0. Fazendo p = y
′,
temos F(x, y, p) = x + yp− 13 p3 = 0. O conjunto singular de F é a curva 9x2 = 4y3.
O campo X é X = (y− p2, p(y− p2),−(1 + p2)). Para pontos no conjunto singularo campo X é não nulo e a projeção dessa órbita no plano xy é a solução da equaçãode Clairaut (figura 1.3).
17
9x2=4y3
x+yp-1/3p3=0
Figura 1.3: Equação de Clairaut x + yp− 13 p3 = 0
18
Capítulo 2
Curvas de Rarefação e as EquaçõesDiferenciais Implícitas
2.1 Introdução
Nos próximos dois capítulos, motivados pelos artigos de Palmeira[22] e de Es-chenazi[9], estudaremos a configuração local das curvas de rarefação numa vizin-hança do conjunto singular.
Primeiramente, provamos propriedades gerais do problema e mostramos quepodemos considerar funções de fluxo cuja matriz derivada na origem tem umadas possibilidades:
α2 =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
ou α3 =
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
.
Neste capítulo, estudamos a configuração local das curvas de rarefação no casoem que a matriz derivada da função fluxo na origem é do tipo α2, ou seja, a matrizjacobiana da função fluxo na origem tem autovalor multiplicidade algébrica 2 emultiplicidade geométrica 1 . Usando o campo X definido no capítulo I, construí-mos um sistema de coordenadas para todo ponto próximo da origem no conjuntosingular de F . Em seguida, provamos o resultado principal desse capítulo : Existeuma equivalência topológica local fraca entre a equação diferencial implícita obtida com afunção fluxo H = ( f , g, h) em que f , g e h são de classe C∞ nas variáveis x, y e z e aequação diferencial implícita obtida com a função fluxo H = ( f , g, h) em que f , g e hsão polinômios de grau 2 nas variáveis x, y e z. Finalmente, usando uma mudançade coordenadas conveniente encontramos um modelo topológico para a equaçãodiferencial associada.
19
2.2 O Problema
Considere o campo de linhas definido pelos autoespaços da matriz jacobianada função H : R3 −→ R3, dada por
H(x, y, z) = ( f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))
em que f , g e h são funções C∞. Os autoespaços da matriz jacobiana de H sãoobtidos resolvendo-se o sistema
fx fy fzgx gy gzhx hy hz
dxdydz
= s
dxdydz
. (2.1)
Supondo dx 6= 0, eliminamos s na primeira equação de (2.1) e substituimos nasoutras duas equações obtendo:
gx(dx)2 + (gy − fx)dydx + gzdzdx− fzdzdy− fy(dy)2 = 0 (2.2)
ehx(dx)2 + hydydx + (hz − fx)dzdx− fydydz− fz(dz)2 = 0 . (2.3)
Fazendo w = dydx e r = dz
dx as equações (2.2) e (2.3) se escrevem como
F = gx + (gy − fx)w + gzr− fzwr− fyw2 = 0G = hx + hyw + (hz − fx)r− fywr− fzr2 = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0 .
(2.4)
Definindo-se F : U ⊂ R5 −→ R2 por F = (F, G) e supondo que 0 é valor regularde F , o sistema (2.4) é escrito da seguinte forma:
F = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0 .
(2.5)
e podemos dizer que o estudo dos autoespaços da matriz jacobiana da função Hé equivalente ao estudo do campo de linhas induzido pelos núcleos das 1-formasω1 = wdx− dy e ω2 = rdx− dy no espaço tangente da variedade F−1(0).
O fato de dx 6= 0, significa que estamos considerando F = 0 em R3 ×RP2, emque RP2 é o plano projetivo , definido pela carta afim (x, y, z, w, r) com w = dy
dx er = dz
dx . Se dx = 0 mas dy 6= 0, eliminando-se s na segunda equação de ( 2.1) esubstituindo-se nas outras duas, obtemos uma outra equação F = 0, definida nacarta afim de coordenadas (x, y, z, W, R) onde W = dx
dy e R = dzdy . Analogamente,
para dx = 0, dy = 0 e dz 6= 0. A hipótese dx = 0, significa w = ∞ e r = ∞. Comoo nosso estudo é local, não iremos analisar w = ∞ e r = ∞. Vamos supor sempreque dx 6= 0.
20
Seja A a matriz
A =
DFω1ω2
(2.6)
onde DF é a derivada de F . Pela definição (1.1) do capítulo I, a matriz A é dadapor
A =
Fx Fy Fz Fw FrGx Gy Gz Gw Grw −1 0 0 0r 0 −1 0 0
. (2.7)
Usando (2.6) e (2.7), temos o sistema A(c(t)) · c′(t) = 0 onde
c(t) = (x(t), y(t), z(t), w(t), r(t)) .
O campo X definido pelo produto vetorial generalizado entre as linhas de A é dadopor
X = (Fp,−wFp, rFp, X4, X5) (2.8)
onde Fp = FwGr − FrGw, X4 = −Fr(Gx + wGy + rGz) + Gr(Fx + wFy + rFz), X5 =−Fw(Gx + wGy + rGz) + Gw(Fx + wFy + rFz)) e p = (w, r).
Definição 2.1 O conjunto de pontos que satisfazem F = Fp = 0 é denominado conjuntosingular de F = 0 e é representado por ΣF .
Usando as equações em (2.4), temos
Fp = (gy − fx − fzr− 2 fyw)(hz − fx − fyw− 2 fzr)− (gz − fzw)(hy − fyr) (2.9)
Aqui fazemos a hipótese adicional de que gz − fzw 6= 0 e hy − fyr 6= 0, poiscaso contrário, teríamos duas equações diferenciais explícitas. Além disso, as ex-pressões de F e G na equação (2.4) se escreveriam, explicitamente, como gx + (gy−fx)w− fyw2 = 0 e hx + (hz − fx)r − fzr2 = 0 e assim poderiam ser resolvidas se-paradamente, o que não é do nosso interesse.
Nessa seção, primeiro vamos caracterizar pontos de ΣF em termos dos autova-lores da matriz DH. Depois, aplicaremos a forma canônica de Jordan na matrizDH(0) e usando que a aplicação
(x, y, z) → DH(0, 0, 0)
é uma deformação a três parâmetros, mostraremos que podemos considerar apenasduas possibilidades para a matriz jacobiana na função H na origem.
21
Note-se que, se s é autovalor real de DH então o autovetor associado a s é v =(1, w, r). Seja
B = {(q, w, z) ∈ R3 ×RP2; (1, w, r) é autovalor de DH(q) } .
Proposição 2.1 Seja P = (q, w, r) ∈ B. O ponto P ∈ ΣF se, e somente se, o autovalorcorrespondente ao autovetor (1, w, r) tem multiplicidade algébrica maior ou igual a dois.
Demonstração: O ponto fundamental, é que a proposição independe das coorde-nadas. É fato geral que, para uma aplicação qualquer B : R3 → R, B = ( f , g, h)a equação DB(x, y, z).v = λ v que sempre tem um autovetor v 6= 0. Após umamudança linear de coordenadas, podemos supor que um autovetor de DB é o au-tovetor e1 = (1, 0, 0). Assim, não existe perda de generalidade em supor que nosistema (2.1) a matriz DH(x, y, z) tem um autovetor v = (1, 0, 0). Como autoveto-res do sistema (2.1) são da forma v = (dx, dy, dz) e dx 6= 0, temos que w = dy
dx = 0,dzdx = 0 e s = fx(x, y, z) é o autovalor associado a v.
Seja então P = (x, y, z, 0, 0) ∈ B. Sabemos que, P ∈ ΣF se e somente seF (x, y, z) = 0 e Fp(x, y, z) = 0. Usando a equação (2.9) temos
((gy − fx)(hz − fx)− gzhy)(x, y, z) = 0 .
Por outro lado, substituindo w = 0 e r = 0 nas duas primeiras equações de (2.4)segue que gx(x, y, z) = 0 e hx(x, y, z) = 0. Isto significa que a primeira coluna damatriz DH(x, y, z) é igual a
fx00
.
Dessa forma, o polinômio característico do sistema (2.1) se escreve det(dH− sI) =( fx − s)q(s) com q(s) = (gy − s)(hz − s)− gzhy. Assim provamos que P ∈ ΣF se, esomente se, q(s) = 0, ou seja, se, e somente se, s = fx é um autovalor de multipli-cidade algébrica maior ou igual a 2. 2
Como conseqüência da Proposição (2.1), estudar pontos do ΣF numa vizin-hança da origem significa investigar autovalores de multipicidade algébrica 2 e 3da matriz DH numa vizinhança de p = (0, 0, 0).
Neste capítulo e nos próximos, já que f , g e h são C∞ e o nosso estudo é local,vamos examinar o problema do campo de linhas (2.1) supondo que f ,g e h sãofunções nas variáveis x, y e z da forma:
f (x, y, z) = a1x + a2y + a3z +M2(x,y,z)
g(x, y, z) = b1x + b2y + b3z +M2(x,y,z)
h(x, y, z) = c1x + c2y + c3z +M2(x,y,z) .
(2.10)
Daqui em diante denotaremos por Mkp0
o ideal das funções C∞ tais que se f ∈Mk
p0, dm f (p0) = 0 para m = 0, · · · , k− 1. Escrevemos g1 = f1 +Mk
p0se g1 − f1 ∈
22
Mkp0
.
Usando as funções (2.10), a derivada de DH em q = (0, 0, 0) é
B =
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
. (2.11)
Pela Proposição (2.1), B tem autovalor duplo e triplo em q ∈ ΣF numa vizinhançada origem. A seguir vamos fazer uma simplificação na parte linear de f , g e h.
Observação 2.1 Se escrevemos H = BX + T(X), onde B é dada por (2.11), X =(x, y, z)T e T(X) é uma matriz cujas entradas são os termos de ordem superior de f , g e h.Fazendo uma mudança de coordenadas adequada na parte linear da derivada de H, B teráuma das formas canônicas de Jordan. De fato, como H = BX + T(X) o problema do campode linhas pode ser escrito da seguinte maneira DH.dX = sdX onde DH = B + DT(X).Assim BdX + DT(X)dX = sdX e em X = 0, DT(X) = 0 e BdX = sdX. Aplicandoa forma canônica de Jordan na parte linear de H, existe uma mudança de base M tal queM−1BM = J onde J tem as seguintes formas
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
,
λ1 0 00 λ1 00 0 λ2
,
λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
,
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
,
λ1 1 00 λ1 00 0 λ1
e
λ1 0 00 λ1 00 0 λ1
.
Então MJM−1dX + DT(X)dX = sdX. Multiplicando à direita por M−1 e a esquerdapor M obtemos JdX + M−1DT(X)M = sdX. Portanto podemos supor sem perda degeneralidade que DH = J + T, onde J tem uma das formas acima.
No estudo que faremos a seguir, serão usadas hipóteses genéricas para a apli-cacão H, em particular sobre sua parte linear DH(0). Notemos que, a aplicação(x, y, z) → DH(x, y, z) pode ser vista como uma deformação a três parâmetros damatriz A = DH(0). Assim sendo, vamos considerar apenas os casos em que acodimensão de A é menor ou igual a três, pois, caso contrário seríamos necessa-riamente levados a considerar famílias de E.D.I.’s. Para tal, usaremos os resultadosde Arnol’d [3] sobre famílias versais de matrizes( ver também [20]). SegundoArnol’d [3], temos as seguintes famílias versais para matrizes reais 3× 3 :
α2 =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
, α3 =
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
e
α2α =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ1
.
23
Além disso, a codimensão c é
c =ν
∑i=1
[n1(αi) + 3n2(αi) + · · · − 1]
em que n1(αi) ≥ n2(αi) ≥ · · · são os tamanhos dos blocos de Jordan associadoa cada αi. Assim α2 tem codimensão c = 1 pois c = n1(1) − 1 onde n1(1) = 2é o tamanho do bloco de Jordan de n1 = λ1. α3 tem codimensão c = 2 pois c =n1(1) − 1 onde n1(1) = 3 é o tamanho do bloco de Jordan de n1 = λ1. α2α temcodimensão c = 4 pois c = n1(1) + 3n2(1) − 1 onde n1(1) = 2 é o tamanho doprimeiro bloco de Jordan de n1 = λ1 e n2(1) = 1 é o tamanho do segundo bloco deJordan de n1 = λ1.
Portanto, do que foi exposto, estudaremos somente os casos α2 e α3, que corre-spondem, respectivamente, a duas possibidades para as funções f , g e h no pro-blema do campo de linhas :
f = λ1x + y +M2(x,y,z)
g = λ1y + z +M2(x,y,z)
h = λ2z +M2(x,y,z)
e (2.12)
f = λ1x + y +M2(x,y,z)
g = λ1y + z +M2(x,y,z)
h = λ1z +M2(x,y,z)
. (2.13)
Neste capítulo, estudaremos o problema (2.12). O problema (2.13) será estu-dado no Capítulo III.
2.3 Caso α2 : um autovalor duplo com multiplicidadegeométrica um
Considere as funções f , g e h:
f = λ1x + y + a1x2 + a2y2 + a3z2 + a4xy + a5xz + a6yz +M3(x,y,z)
g = λ1y + b1x2 + b2y2 + b3z2 + b4xy + b5xz + b6yz +M3(x,y,z)
h = λ2z + c1x2 + c2y2 + c3z2 + c4xy + c5xz + c6yz +M3(x,y,z)
(2.14)
com a hipótese b1 6= 0. Com os mesmos cálculos feitos no início desse capítulo, aequação F (x, y, z, w, r) = 0, associada ao problema do campo de linhas é
F = gx + (gy − fx)w + gzr− fzwr− fyw2 = 0G = hx + hyw + (hz − fx)r− fywr− fzr2 = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0
(2.15)
24
Mostraremos que, com a condição genérica sobre um dos coeficientes de g, istoé, b1 6= 0, podemos parametrizar S = F−1(0) e o conjunto singular ΣF . Depoismostraremos que, o campo X é transversal ao conjunto singular numa vizinhançada origem e que a cada (x, y, z) próximo da origem existem dois valores de w quesatisfazem F = 0 e Fp = 0. Finalmente, provaremos que a projeção da órbitado campo X em xyz é uma curva do tipo cúspide e construiremos um sistema decoordenadas em ΣF .
É natural que F−1(0), em que F = (F, G), seja uma superfície de dimensão 3em R5 e que o conjunto singular de F , ΣF , seja uma superfície de dimensão 2 emR5. De fato, de (2.14) e (2.15) obtemos:
F(x, y, z, w, r) = 2b1x + b4y + b5z + (2b2y + b4x + b6z− 2a1x− a4y− a5z)w+
(2b3z + b5x + b6y)r− (2a3z + a5x + a6y)wr− (1 + 2a2y + a4x + a6z)w2+
D0(x, y, z) + D1(x, y, z)w + D2(x, y, z)r + D3(x, y, z)wr + D4(x, y, z)w2 ,
G(x, y, z, w, r) = 2c1x + c4y + c5z + (2c2y + c4x + c6z)w + (λ2 + 2c3z + c5x
+c6y− λ1 − 2a1x− a4y− a5z)r− (1 + 2a2y + a4x + a6z)rw− (2a3z + a5x+
+a6y)r2 + E0(x, y, z) + E1(x, y, z)w + E2(x, y, z)r + E3(x, y, z)rw + E4(x, y, z)r2
em que D0, D1, D2, D3, D4, E0, E1, E2, E3, E4 são funções que têm o jato 2 nulo em0. Para que F−1(0) seja uma superfície na vizinhança da origem a matriz
DF (P) =(
2b1 b4 b5 0 02c1 c4 c5 0 λ2 − λ1
)
deve ter posto 2. Como b1 6= 0 e λ2 − λ1 6= 0 temos o menor∣∣∣∣
2b1 02c1 λ2 − λ1
∣∣∣∣
diferente de zero e assim DF (P) tem posto 2. Pelo Teorema da Função Implícita
F (x, y, z, w, r) = (F(x, y, z, w, r), G(x, y, z, w, r)) = 0
define x e r implicitamente como função de y, z , w , isto é
(x, r) = (J1(y, z, w), J2(y, z, w)) .
Assim, temos uma parametrização para S = F−1(0) que é dada por
G(y, z, w) = (J1(y, z, w), y, z, w, J2(y, z, w)) .
Para que ΣF restrito a S seja uma superfície numa vizinhança de P = (0, 0, 0, 0, 0)a matriz jacobiana de
H(x, y, z, w, r) = (F(x, y, z, w, r), G(x, y, z, w, r),Fp(x, y, z, w, r))
25
deve ter posto 3. Cálculos diretos e as hipóteses b1 6= 0 e λ1 6= λ2 implicam que omenor ∣∣∣∣∣∣
2b1 0 02c1 0 λ2 − λ1
(b4 − 2a1)(λ2 − λ1) −2(λ2 − λ1) 0
∣∣∣∣∣∣da matriz DH(P) é não nulo, mostrando que a matriz DH tem posto 3. Pelo Teo-rema da função Implícita H(x, y, z, w, r) = 0 define x, w, r como função de y e z ,isto é, (x, w, r) = (n1(y, z), n2(y, z), n3(y, z)). Desta forma, podemos parametrizarΣF por
ϕ(y, z) = (J1(y, z, n2(y, z)), y, z, n2(y, z), J2(y, z, n2(y, z))
ou ainda, ϕ é a parametrização de ΣF em que
ϕ(y, z) = (m1(y, z), y, z, m2(y, z), m3(y, z)) (2.16)
Observação 2.2 Neste capítulo, denotaremos por π a aplicação π : R5 → R3 definidapor π(x, y, z, w, r) = (x, y, z).
Lema 2.1 Se denotarmos por S = F−1(0) numa vizinhança da origem então existe umafunção h1 = h1(y, z, w) tal que π(S) = (w2 + h1(y, z, w), y, z).
Demonstração: Temos
π(S) = π(J1(y, z, w), y, z, w, J2(y, z, w)) = (J1(y, z, w), y, z) .
Pelo teorema da função implícita
∂J1
∂w=
∂x∂w
= − 1FxGr − GxFr
(GrFw − FrGw) .
Em P = (0, 0, 0, 0, 0), ∂x∂w = 0 pois P satizfaz F = 0, G = 0 e Fp = FwGr − FrGw = 0.
Além disso, derivando∂x∂w
e substituindo em P vem∂2x∂w2 =
1b1
. Isto significa que
∂J1
∂w= 0 define w como função de y e z na vizinhança de P. Assim, existe uma
função h1 tal que h1(0, 0, 0) = 0,∂h1
∂w(0, 0, 0) = 0,
∂2h1
∂w2 (0, 0, 0) = 0,∂3h1
∂w3 (0, 0, 0) 6=0, x = w2 + h1(y, z, w) e π(y, z, w) = (w2 + h1(y, z, w), y, z). 2
Lema 2.2 O campo X é transversal a ΣF em P = (0, 0, 0, 0, 0).
Demonstração: De fato, por (2.8) temos X(P) = (0, 0, 0, 2b1(λ2 − λ1), 0). O planotangente a ΣF é gerado por vetores do tipo u1 = (α1, 1, 0, α2, α3) e u1 = (β1, 0, 1, β2, β3).Assim X(P) é transversal a ΣF . 2
Nosso objetivo agora, é estudar o comportamento da curva integral do campoX numa vizinhança da origem.
26
Proposição 2.2 Seja α a curva integral do campo X que passa por um ponto Q de cooor-denadas Q = (x0, y0, z0, w0, r0) em ΣF numa vizinhança da origem. Então
α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t), α4(t), α5(t))
onde
α1(t) = m1(y0, z0) + α′′1(0)
t2
2+M3
t ,
α2(t) = y0 −m3(y0, z0)α′′1(t)
t2
2− (2X4(Q)α
′′1(0) + m2(y0, z0)α
′′′1 (0))
t3
3!+M4
t ,
α3(t) = z0 −m3(y0, z0)α′′1(0)
t2
2− (2X5(Q)α
′′1(0) + m3(y0, z0)α
′′′1 (0))
t3
3!+
−(3X′4(0)α
′′1(0) + 3X5(Q)α
′′′1 (0) + m3(y0, z0)α
′′′1 (0))
t4
4!+M5
t
α4(t) = m2(y0, z0) + X4(Q)t + X′4(0)
t2
2+M3
t e
α5(t) = m3(y0, z0) + X5(Q)t + X′5(0)
t2
2+M3
t .
Demonstração: A curva integral α satisfaz α′(t) = X(α(t)). Seja α(t) = (α1(t), α2(t),
α3(t), α4(t), α5(t)). Entãoα′1(t) = Fp(t) ,
α′2(t) = −wFp(t) ,
α′3(t) = rFp(t) ,
α′4(t) = X4(t) = (Fr(Gx + wGy + rGz)− Gr(Fx + wFy + rFz))(t) e
α′5(t) = X5(t) = (−Fw(Gx + wGy + rGz) + Gw(Fx + wFy + rFz))(t) .
Usando a equação (2.16), temos que
α(0) = (x0, y0, z0, w0, r0) = (m1(y0, z0), y0, z0, m2(y0, z0), m3(y0, z0)) e
α′(0) = X(Q) = (0, 0, 0, X4(Q), X5(Q)) .
Usando as equações (2.14) e a expressão do campo X encontramos Fp, X4 e X5em função de t. Fazendo o desenvolvimento de Taylor para cada coordenada de αencontramos o resultado desejado. 2
27
00.20.40.60.81
X
–0.20
0.2 Y
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Z
Figura 2.1: projeção da curva integral
Observação 2.3 Cálculos análogos aos apresentados na prova da proposição (2.2) mo-stram que se β(t) é a curva integral do campo X que passa pela origem β(t) se escrevecomo
β(t) = (φ1(0, 0)t2
2+M3
t ,−4b1(λ2 − λ1)α′′1(0)
t3
3!+M4
t ,
,−3X′5(0)α
′′1(0)
t4
4!+M5
t , X4(Q)t +M2t , α
′′′1 (0)
t2
2+M3
t )
onde os primeiros coeficientes são não nulos.
A figura (2.1) mostra a projeção da curva integral, β do campo X no espaço xyz.Note-se que β é uma curva do tipo (t2, t3, t4) e por esta razão o ponto p = (0, 0, 0)é dito ponto de cúspide.
Introduziremos agora um sistema de coordenadas em ΣF . Isso é o que provemosnas proposições que se seguem.
Sabemos que no ponto p = (0, 0, 0), a matriz DH no sistema (2.1) tem doisautovalores: λ1 e λ2. Para λ2 o autovetor associado é v = (0, 0, 1). Neste casodx = 0 e não podemos considerar a equação F = 0 com a mesma carta afim :(x, y, z, w, r). Por esse motivo vamos considerar a carta afim (x, y, z, W, R) ondeW = dx
dz e R = dydz . Assim teremos uma outra equação F = 0 e um outro campo
X. Queremos saber, como X será projetado no espaço xyz, quando W = 0 e R = 0.Para tal resolvemos a terceira equação do sistema (2.1) em relação a s e substitui-mos na primeira e segunda equações, obtendo então F = (F, G) onde
F = fxR + fyW + fz − hxR2 − hyRW − hzR ,
G = gxR + gyW + gz − hxWR− hyW2 − hzW ,
R = dxdz , W = dy
dz e f , g e h são funções de (2.14). Nestas coordenadas as 1-formassão ω1 = dx−Wdz e ω2 = dy− Rdz e o novo campo é
X = (−RF p,−WF p,F p, X4, X5)
28
onde F p = FRGW − FWGR e p = (W, R).
Proposição 2.3 As coordenadas do campo X dependem de x, y e z numa vizinhança deP = (0, 0, 0, 0, 0) e a projeção do campo X em xyz é o vetor (0, 0, 1) para (W, R) = (0, 0).
Demonstração: É claro que P satisfaz F = 0 e G = 0. Vamos mostrar que aequação F = 0 define implicitamente W e R como função de x, y e z na vizinhançade P. Devemos mostrar que F p 6= 0 em P. Usando (2.14) encontramos F p =(λ1 − λ2)
2 6= 0. Assim,
X = (−R(x, y, z)F p(x, y, z),−W(x, y, z)F p(x, y, z),F p(x, y, z),
X4(x, y, z), X5(x, y, z)) .
Se tomarmos R = W = 0 em X, obtemos
X(P) = (0, 0, (λ1 − λ2)2, Y4(P), Y5(P)) .
Segue-se que sua projeção no espaço xyz está na direção do vetor (0, 0, 1). 2
A projeção do campo X no espaço xyz, para todo ponto numa vizinhança de Pé Y = (Y1(x, y, z), Y2(x, y, z), Y3(x, y, z)). Na próxima proposição encontraremos olevantamento do campo Y no espaço R5 nas antigas coordenadas (x, y, z, w, r).
Proposição 2.4 O levantamento X do campo Y é X = (X1, X2, X3, X4, X5) onde
X1 =∂x∂w
Y2 ,
X2 =∂x∂w
Y3 ,
X3 = Y1 − ∂x∂y
Y2 − ∂x∂z
Y3 ,
X4 = Y1 − ∂x∂y
Y2 − ∂x∂z
Y3 e
X5 =∂r∂y
∂x∂w
Y2 +∂r∂z
∂x∂w
Y3 +∂r∂w
(Y1 − ∂x∂y
Y2 − ∂x∂z
)Y3 .
Além disso, para todo ponto Q numa vizinhança da origem o campo X é transversal à ΣF .
Demonstração: Considere a projeção π : R5 −→ R3. Como S = F−1(0) é parame-trizada por
G(y, z, w) = (m1(y, z, w), y, z, w, m2(y, z, w))
temos Φ(y, z, w) = (π ◦ G)(y, z, w) = (m1(y, z, w), y, z) e
dπ(G(y, z, w)).dG(y, z, w) = dΦ(y, z, w) .
29
Assim,
dπ(G(y, z, w)).dG(y, z, w).(X1, X2, X3) = dΦ(y, z, w).(X1, X2, X3) =
= (∂m1
∂wY1,
∂m1
∂wY2,
∂m1
∂wY3) .
Usando que x = J1(y, z, w) e r = J2(y, z, w) obtemos
dG =
xy xz xw1 0 00 1 00 0 1ry rz rw
, dπ =
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0
e
dΦ =
xy xy xz1 0 00 1 0
.
Para achar o levantamento X = (X1, X2, X3, X4, X5) de (xwY1, xwY2, xwY3) fazemosdG(y, z, w)(X1, X2, X3) = π−1(dΦ(X1, X2, X3)). Por outro lado,
dG(y, z, w)(X1, X2, X3) = (xyX1 + xzX2 + xwX3, X1, X2, X3,
, ryX1 + rzX2 + rwX3) e
dΦ(y, z, w).(X1, X2, X3)) = (xyX1 + xzX2 + xwX3, X2, X3) =
= (xwY1, xwY2, xwY3) .
Assim, X1 = xwY2 , X2 = xwY3 , X3 = Y1 − xyY2 − xzY3 , X4 = Y1 − xyY2 − xzY3 eX5 = ryxwY2 + rzxwY3 + rw(Y1 − xyY2 − xzY3).
Note-se que, o campo X(Q) numa vizinhança da origem é transversal á ΣF poisDH.X = (DF, DG, DA)X 6= 0. 2
No próximo corolário vamos construir um sistema de coordenadas no conjuntosingular de F , numa vizinhança da origem. Usaremos que: dado um campo X =(X1, X2, X3, X4, X5) definimos a involução σ : R5 → R5 do campo X por σ(X ) =(X1, X2, X3,−X4, X5).
Colorário 2.1 Para todo ponto Q = (x0, y0, z0, w0, r0) numa vizinhança da origem emΣF , existe um sistema de coordenadas da seguinte forma : em cada ponto Q, consideramosas três órbitas dos campos X, Y e σ(X) em que Y é o campo levantado e σ(X) é a involuçãodo campo X.
30
Demonstração: Seja γ1 a curva dada pela proposição (2.2). O levantamento docampo (0, 0, 1) ao espaço xyzwr é dado por
X = (0, 0, xw,−xz, rzxw − rwxz)
para todo x,y,z. Para todo ponto Q ∈ ΣF xw = 0, pois pelo Teorema da FunçãoImpícita aplicado a S = F−1(0) temos
(xy xz xwry rz rw
)−1
=1
FxGr − FrGx.C.D
em que,
C =(
Gr −Fr−Gx Fx
)e D =
(Fy Fz FwGy Gz Gw
).
Assim, xw =1
FxGr − FrGx(FwGr − FrGw) =
1FxGr − FrGx
A. Como Q está numa
vizinhança da origem, xw = 0. Portanto Y = xz(0, 0, 0,−1,−rw). Resta agora,encontrar a involução do campo X.
Pelo lema (2.1), sabemos que x = J1(y, z, w) = w2 + h1(y, z, w). Assim paracada (x, y, z) fixo temos dois w. Podemos então calcular a involução para o campoX quando w é negativo(ou para w > 0). Assim,
σ(X) = σ(Fp,−wFp, rFp, X4, X5) = (Fp,−wFp, rFp,−X4, X5) .
Portanto, para cada ponto na vizinhança da origem temos um sistema de coorde-
X
YX
(X)
Figura 2.2: Sistema de Coordenadas
nadas dado por órbitas αX, ασ(X) e αY(figura (2.2)). 2
31
2.4 Equivalência Topológica Fraca
Consideremos as funções f , g e h
f = λ1x + y + a1x2 + a2y2 + a3z2 + a4xy + a5xz + a6yzg = λ1y + b1x2 + b2y2 + b3z2 + b4xy + b5xz + b6yzh = λ2z + c1x2 + c2y2 + c3z2 + c4xy + c5xz + c6yz .
(2.17)
Com o mesmo procedimento das seções anteriores, encontramos a equação di-ferencial associada ao problema do campo de linhas
F = gx + (gy − f x)w + gzr− f zwr− f yw2 = 0G = hx + hyw + (hz − f x)r− f ywr− f zr2 = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0 .
(2.18)
Definição 2.2 Sejam F = (F, G) = 0 e G = (F, G) = 0 equações diferenciais associadasas funções fluxo H e H respectivamente. Um homeomorfismo local h : U ⊂ R5 → R5
definido numa vizinhança da origem é dito uma equivalência fraca se h(ΣF ) = ΣG , empontos de ΣF ∩U preserva o sistema de coordenadas dado pelo colorário (2.1) e para pontosde U que não estão em ΣF preserva campos.
Neste caso dizemos que as equações são fracamente equivalentes.
Seja X o campo correspondente à equação (2.18). Vamos mostrar nessa seçãoque existe uma equivalência topológica fraca que leva curvas integrais do campoX associado a equação diferencial (2.18) nas curvas integrais do campo X associadoa equação diferencial (2.15) numa vizinhança da origem.
Teorema 2.1 Existe uma equivalência tolopógica local fraca entre as equações diferenciais(2.18) e (2.15) numa vizinhança da origem.
Demonstração: Sejam ΣF e ΣF os conjuntos singulares de F e F , em que F =(F, G) e F = (F, G). Vamos definir o homeomorfismo h : U → V onde U e V sãovizinhanças da origem emR5. Primeiro, vamos construir o homeomorfismo h parapontos no conjunto singular e depois para pontos em U fora do conjunto singular.
Numa vizinhança da origem, o conjunto singular ΣF é uma superfície de di-mensão dois e está parametrizado por
ϕ(y, z) = (m1(y, z), y, z, m2(y, z), m3(y, z)) .
Da mesma forma, ΣF é uma superfície de dimensão dois e está parametrizado por
φ(y, z) = (n1(y, z), y, z, n2(y, z), n3(y, z)) .
32
h
w
y
z
y
z
w
P Q
XX
1 1
FF
2 32 3
Figura 2.3: homeomorfismo em ΣF e ΣF
Sejam X e X os campos correspondentes às equações diferenciais (2.15) e (2.18)respectivamente. Como esses campos são transversais a F e a F , w = m3(y, z) ew = n2(y, z) podemos parametrizar as órbitas α1 e α1 de X e X por w.
Para todo ponto P ∈ U = U ∩ ΣF impomos h(P) = Q ∈ V ∩ ΣF = V eh(X) = X. Isto implica que h(σ(X)) = σ(X). Além disso, se α1, α1, α2 e α2 órbitasdos campos X, X, σ(X) e σ(X) respectivamente então h(α1) = α1 e h(α2) = α2.Pela proposição (2.1), o autovalor da matriz DH(P) associado ao autovetor (1, w, r)tem multiplicidade algébrica dois. O outro autovetor é o campo levantado Y. Pelomesmo motivo, em Q temos o campo levantado Y. E assim h(α3) = α3 em que α3
e α3 são as curvas integrais dos campos levantados Y e Y respectivamente (figura2.3).
F
F
h
Q1
P Q
P1
w w
v2 (-w) v2
(-w1)
v1
v1
v3v3
(v2)(v2)
Figura 2.4: homeomorfismo fora de ΣF
Seja agora um ponto P1 ∈ U que não está em U . Suponha que h(P1) = Q1,Q1 ∈ V e Q1 6∈ V ∩ V . Como o campo X é transversal ao conjunto singular, P1 ∈ α,para alguma órbita do campo XP, P ∈ U ∩ ΣF . Suponhamos que no tempo w = 0,P = α(0) e P1 = α(w). Da mesma maneira, temos Q1 ∈ α, para alguma órbita α
33
do campo XQ, Q ∈ V ∩ ΣF . Suponhamos também que, Q = α(0) e Q1 = α(w1).Sejam v1 e v1 vetores tangentes a α e α em P1 e Q1 respectivamente. Como h(α) = αentão h(v1) = v1. Para encontrar o terceiro campo, procedemos do seguinte modo:aplicamos a involução ao vetor tangente a α em −w, que denominamos de v2.Analogamente, aplicamos a involução ao vetor tangente a α em −w1, v2. Comoh(α) = α, temos h(σ(v2)) = σ(v2). Desde que no ponto P1, associado a v1 e a σ(v2)existem dois autovalores da matriz DH(P1), o terceiro autovalor será a terceira raizdo polinômio característico de DH(P1) e portanto temos o vetor que chamaremosde v3. Pela mesma razão encontramos o vetor v3 em Q1 e portanto h(v3 = v3(figura 2.4).
Quando o ponto P1 tende para P, o vetor v1 tende para XP, o vetor σ(v2) tendepara σ(XP) e o vetor v3 tende para o campo levantado YP. Desta forma h é contí-nua para todo ponto da vizinhanha U. 2
Como conseqüência do teorema (2.1) as equações diferenciais (2.15) e (2.18) sãotopologicamente equivalentes numa vizinhança da origem. Isto significa que po-demos considerar a funções f , g e h na função fluxo H = ( f , g, h), polinômios degrau 2 nas variáveis x, y e z.
2.5 Modelo Topológico
Nesta seção, vamos mostrar que podemos eliminar alguns termos da equação(2.18) encontrando um modelo topológico.
Primeiramente vamos fazer uma mudança de coordenadas de tal forma que anova matriz do sistema (2.1) seja o mais próximo possível da matriz do sistema(2.1) no ponto x = y = z = 0 , isto é, da matriz
B =
λ1 1 00 λ1 00 0 λ2
. (2.19)
Usando (2.14), podemos reescrever f , g e h da seguinte forma :
f = λ1x + y + Q1(x, y, z)g = λ1y + Q2(x, y, z)h = λ2z + Q3(x, y, z)
em que Qi(0) = dQi(0) = 0. Assim temos o sistema
dH · dX = λdX (2.20)
em que
H =
fgh
.
34
Lema 2.3 Considere o sistema (2.20). Existe uma mudança de coordenadas X = U +P(U), com XT = (x, y, z), UT = (u1, u2, u3) e P uma matriz 3× 3 satisfazendo P(0) =dP(0) = 0, tal que, nessas coordenadas o sistema (2.20) se escreve como dH · dU = λdU,em que
dH =
λ1 + c11 1 0c21 λ1 + c22 c230 c32 λ2 + c33
e c11, c21, c22, c23, c32 e c33 são funções lineares em x, y e z.
Demonstração: Vamos fazer a mudança de coordenadas X = U + P(U) com P =(p1, p2, p3), P(0) = dP(0) = 0. Assim, dX = (I + dP)dU. A derivada da matrizH é dH = B + dQ(X) e queremos eliminar alguns termos de dQ. SubstituindoX = U + P(U) em dH · dX = λdX obtemos
(B + dQ(U + P(U)) · (I + dP)dU = λ(I + dP)dU .
Usando que (I + dP)−1 = I− dP +M20, teremos (I− dP) · (B + dQ) · (I + dP)dU =
λdU, isto é,
(B + B (dP) + dQ + (dQ) (dP)− (dP) B− (dP) B (dP)− (dP)
(dQ)− (dP) (dQ) (dP))dU = λdU .
Desprezando os termos de ordem maior ou igual a 2 obtemos
(B + dQ + B (dP)− (dP) B)dU = dHdU = λdU .
Como
Q1(x, y, z) = a1x2 + a2y2 + a3z2 + a4xy + a5xz + a6yzQ2(x, y, z) = b1x2 + b2y2 + b3z2 + b4xy + b5xz + b6yzQ3(x, y, z) = c1x2 + c2y2 + c3z2 + c4xy + c5xz + c6yz
(2.21)
Chamemos C = (cij) = dQ + B (dP)− (dP) B. Fazendo uma escolha convenientede p1, p2 e p3, qual seja :
p1(x, y, z) = (16
a4 +16
c6 +13
b2 +16)x2 − 1
3a5 + 2c3 + b6
λ1 − λ2xz +
13
a5 + 2c3 + b6
(λ1− λ2)2 yz ,
p2(x, y, z) = (−23
a1 +16
b4 +16
c5)x2 − a2y2 − a3z2 + (13
c6 − 23
a4 +23
b2 +13)xy+
+(23
c3 +13
b6 − 23
a5)xz− 13
a5 + 2c3 + b6 + 3a6λ1 − 3a6λ2
λ1 − λ2yz e
p3(x, y, z) = (−23
a1 +16
b4 +16
c5)x2 − a2y2 − a3z2 + (13
c6 − 23
a4 +23
b2 +1)xy+
+(23
c3 +13
b6 − 23
a5)xz− 13
a5 + 2c3 + b6 + 3a6λ1 − 3a6λ2
λ1 − λ2yz
35
obtemos
C =
c11 0 0c21 c22 c230 c32 c33
em que cij(x, y, z), são as funções lineares
c11 = (2a1+b4+c53 )x + ( a4+1+c6+2b2
3 )y + (2c3+a5+b63 )z ,
c21 = 2b1x + b4y + b5z ,c22 = (4a1−c5+2b4
3 )x + (−1+4b2−c6+2a43 )y + (−2c3+2a5+2b6
3 )z ,c23 = ( (2c3+b6−2a5)(λ1−λ2)−3b5
3 )x + (2b6−2c3−3a6(λ1−λ2)−a53 )y+ ,
+(2b3 − 2a3(λ1 − λ2))z ,c32 = 2 c1
λ2−λ1x e
c33 = 2c3z + c5x + c6y .
(2.22)
Portanto
dH =
λ1 + c11 1 0c21 λ1 + c22 c230 c32 λ2 + c33
+M2
0 .
2
Note-se que, com esta mudança de coordenadas obtemos um sistema dH ·dU = λdU mas H não é mais uma função do tipo
H =
fgh
,
isto é, H não é mais uma função fluxo. Mas, o nosso interesse aqui, é encontrarum modelo topológico para a equação diferencial (2.18). Como conseqüência dolema (2.3), podemos resolver o novo sistema dH · dX = λdX, isto é, eliminando λobtemos
{F(x, y, z, w, r) = w2 + (c11 − c22)w− c23r− c21 = 0G(x, y, z, w, r) = (c11 + λ1 − λ2 − c33)r + wr− c32w = 0 (2.23)
Note-se que, a configuração do campo de linhas induzido pelo núcleo das 1-formasω1 = wdx − dy e ω2 = rdx − dz no espaço tangente à superfície (F, G) = (0, 0) étopologicamente equivalente à configuração do campo de linhas induzido pelosnúcleos dessas mesmas 1-formas no espaço tangente à superfície (F, G) = (0, 0)dadas por (2.17) e (2.18).
Assim, resolvendo a segunda equação de (2.23) em relação a r e substituindona primeira equação de (2.23) obtemos
w3 + (2c11 − c22 − c33 + λ1 − λ2)w2 + ((c11 − c22)(λ1 − λ2)− c21)w+
+(λ2 − λ1)c21 + (c11 − c22)(c11 − c33)− c23c32)w− c21(c11 − c33) = 0
36
comr =
c32ww + λ1 − λ2 + c11 − c33
.
Usando as expressões de c11, c22 e c33 em (2.22) temos que 2c11 − c22 − c33 = y.Assim.
w3 + (y + λ1 − λ2)w2 + ((c11 − c22)(λ1 − λ2)− c21)w + (λ2 − λ1)c21+((c11 − c22)(c11 − c33)− c23c32)w− c21(c11 − c33) = 0 (2.24)
Como o polinômio (2.24) tem uma raiz dupla que corresponde ao autovalor λ1,a equação (2.24) pode ser fatorada em um polinômio de grau dois em w e umpolinômio de grau um em w. Assim, sem perda de generalidade, podemos tomarc11 = c33, b6 = 2c3, b3 = a3(λ1 − λ2), a6 = 0, b4 = 0 e b5 = 0 para obter
w3 + (y + λ1 − λ2)w2 + ((λ2 − λ1)y− 2b1x)w− (λ2 − λ1)2b1 = 0 (2.25)
comr =
c32ww + λ1 − λ2
.
A equação (2.25) é igual a
(w− λ2 − λ1)(w2 + yw− 2b1x) = 0 (2.26)
Fazendo b1 = 12 e c32 =
xλ2 − λ1
obtemos
F = (w− λ2 − λ1)(w2 + yw− x) = 0 (2.27)
comr =
xw(λ2 − λ1)(w + λ1 − λ2)
.
Este é o nosso modelo topológico, lembrando que a parte que nos interessa na equação(2.28) é
w2 + yw− x = 0r =
xw(λ2 − λ1)(w + λ1 − λ2)
wdx− dy = 0rdx− dz = 0 .
(2.28)
Faremos a integração numérica desse modelo no capítulo IV.
37
Capítulo 3
Caso α3: um autovalor triplo commultiplicidade geométrica um
3.1 Introdução
Neste capítulo, consideramos o sistema
(B + dQ) · dX = λdX (3.1)
onde B é uma matriz que tem um autovalor com multiplicidade algébrica três emultiplicidade geométrica um e dQ é a matriz jacobiana de Q = (Q1, Q2, Q3) declasse C∞, com Q(0) = dQ(0) = 0. Conforme foi provado no capítulo II, não háperda de generalidade em supor que B está na forma canônica de Jordan:
B =
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
.
Nosso objetivo é estudar o sistema (3.1) numa vizinhança da origem.
Com mudanças de coordenadas convenientes, mostraremos que a equação di-ferencial implícita associada ao sistema (3.1) pode ser escrita na forma
F(x, y, z, w) = (1 + A1(x, y, z))w3 + (y + A2(x, y, z))w2+
(a1x + a2y + a3z + A3(x, y, z))w + a4x + a5y + a6z + A4(x, y, z) = 0 (3.2)
onde w = dydx , ai’s são constantes que dependem dos coeficientes Q1, Q2, Q3 e
Ai ∈ M20 para i = 1, ..., 4.
No resultado principal deste capítulo, provaremos que, com condições genéri-cas sobre os coeficientes de F, existe uma equivalência topológica fraca numa vi-zinhança da origem em R3, que leva as órbitas do campo X associado a (3.2) emórbitas do campo X1 associado a uma das seguintes equações
38
{w3 + yw2 + zw + x = 0r = w2 + zw
e (3.3)
{w3 + yw2 + zw− x = 0r = w2 + zw
. (3.4)
que chamamos de modelos topológicos.
3.2 Equação Simplificada
Sejam
f = λ1x + y + Q1(x, y, z)g = λ1y + z + Q2(x, y, z)h = λ1z + Q3(x, y, z)
e
H =
fgh
em que Qi(0) = dQi(0) = 0.Pondo w = dy
dx e r = dzdx e procedendo como no capítulo II, resolvemos o sistema
dH · dX = λdX (3.5)
obtendo duas equações quadráticas em w e r:{
F(x, y, z, w, r) = (1 + Q1y)w2 + (Q1
x −Q2y + Q1
z)w + Q1zwr− (1 + Q2
z)r−Q2x = 0
G(x, y, z, w, r) = (Q1z)r2 + (Q3
z −Q3x)r−Q3
yw + (1 + Q1y)wr−Q3
x = 0 .(3.6)
Para que, 0 ∈ R2 seja valor regular da aplicação L = (F, G) : R5 → R2, isto é, que
posto(
dF(0)dG(0)
)= 2
basta supor como condição genérica∂2Q3
∂x2 (0) = 2c1 6= 0.Notemos que, na primeira equação de (3.6) podemos encontrar r em função de
x, y, z e w. Substituindo na segunda equação de (3.6) obtemos um polinômio degrau três em w
F(x, y, z, w) = a3(x, y, z)w3 + a2(x, y, z)w2 + a1(x, y, z)w + a0(x, y, z) = 0
Primeiramente, mostraremos que existe uma mudança de coordenadas, de modoF seja um polinômio mônico e os outros coeficientes de F sejam o mais simples
39
possível módulo termos de ordem 2 em (x, y, z). Em seguida, encontraremos umacondição genérica, de tal forma que aplicação que leva (x, y, z) nos coeficientes
(a2(x, y, z), a1(x, y, z), a0(x, y, z))
seja um difeomorfismo. Com esta hipótese, mostraremos que o sistema de equaçõesF = 0 e Fw = 0 define localmente uma superfície ΣF dita conjunto singular. ΣFcontém uma curva C dita curva de cúspide definida por F = 0, Fw = 0 e Fww = 0.Além disso, a curva de cúspide divide ΣF em duas componentes ΣF = Σ+
F ∪ Σ−Fe mostraremos que espaço tangente à curva de cúspide e o campo X( definido nocap. I) são l.i. . Finalmente, para estudar o comportamento do campo X numavizinhança de pontos de cúspide vamos definir duas aplicações de retorno em Σ+
Fe Σ−F respectivamente.
Lema 3.1 Considere o sistema (3.5). Existe uma mudança de coordenadas X = U +P(U), em que XT = (x, y, z), UT = (u1, u2, u3) e P uma matriz 3 × 3 com P(0) =dP(0) = 0, tal que o sistema dH · dX = λdX se escreve como dH · dU = λdU, com
dH =
λ1 + c11 1 0c21 λ1 + c22 1c31 c32 λ1 + c33
+M2
0
e c11, c21, c22, c31, c32 e c33 são funções lineares em x, y e z.
Demonstração: Vamos fazer a mudança de coordenadas X = U + P(U) em queP = (p1, p2, p3) e P(0) = dP(0) = 0. Assim, dX = (I + dP)dU. Sabemos que aderivada da matriz H é dH = B + dQ(X) em que
B =
λ1 1 00 λ1 10 0 λ1
.
Substituindo X = U + P(U) em dH · dX = λdX obtemos
(B + dQ(U + P(U)) · (I + dP)dU = λ(I + dP)dU .
Usando que (I + dP)−1 = I− dP +M20, teremos (I− dP) · (B + dQ) · (I + dP)dU =
λdU, isto é,
(B + B (dP) + dQ + (dQ) (dP)− (dP) B− (dP) B (dP)− (dP)
(dQ)− (dP) (dQ) (dP))dU = λdU .
Suponhamos
Q1(x, y, z) = a1x2 + a2y2 + a3z2 + a4xy + a5xz + a6yz +M30(x, y, z) ,
Q2(x, y, z) = b1x2 + b2y2 + b3z2 + b4xy + b5xz + b6yz +M30(x, y, z) e
Q3(x, y, z) = c1x2 + c2y2 + c3z2 + c4xy + c5xz + c6yz +M30(x, y, z) .
(3.7)
40
Desprezando os termos de ordem maior ou igual a 2 em x, y e z temos:
(B + dQ + B (dP)− (dP) B)dU = dHdU = λdU .
Chamemos C = (cij) = dQ + B (dP) − (dP) B. Escolhendo os coeficientes deP = (p1, p2, p3) em função dos ai’s, bi’s e ci’s como segue:
p1(x, y, z) =a4
2x2 +
2b3 + a6
2y2 + (
13
a5 +13
b6 +23
c3)xy + (2b3 + a6)xz+
+2a3yz ,
p2(x, y, z) = (16
b4 +16
c5 − 23
a1)x2 + (16
a5 − a2 +16
b6 +13
c3)y2+
(23
b2 +13
c6 − 23
a4 +13)xy + (
13
b6 +23
c3 − 23
a5)xz + 2b3yz e
p3(x, y, z) = −b1x2 + (−13
b2 +13
c6 − 16
a4 +13)y2+
−b4xy + (−b5 +23
b2 +13
c6 − 23
a4 +13)xz + (−2
3b6 +
13
a5 − 2a2 +23
c3)yz
encontramos
C =
c11 0 0c21 c22 0c31 c32 c33
em que cij(x, y, z), são as funções lineares
c11 = ( 23 a1 + 1
3 b4 + 13 c5)x + (1
3 a4 + 13 + 2
3 b2 + 13 c6)y+
+( 13 b6 + 1
3 a5 + 23 c3)z ,
c21 = ( 23 b2 + 1
3 c6 − 23 a4 + 1
3)z ,c22 = (− 1
3 b4 − 13 c5 + 4
3 a1)x + (13 a4 + 1
3 + 23 b2 + 1
3 c6)y + (a5 − 2a2)z ,c31 = 2c1x + c4y + c5z ,c32 = (c4 + 2b1)x + (2c2 + b4)y + (b5 + 2
3 c6 + 23 a4 − 2
3 b2 − 13)z e
c33 = (b4 + c5)x + (13 a4 − 2
3 + 13 c6 + 2
3 b2)y + (43 c3 + 2a2 + 2
3 b6 − 13 a5)z .
(3.8)Segue-se que
dH =
λ1 + c11 1 0c21 λ1 + c22 1c31 c32 λ1 + c33
+M2
0 .
A hipótese∂2Q3
∂x2 (0) 6= 0 implica∂c31
∂x= 2c1 6= 0. 2
Observemos que, com esta mudança de coordenadas obtemos um sistema dH ·dU = λdU mas H não é mais uma função do tipo
H =
fgh
,
41
isto é, H não é mais uma função fluxo. mas, o que nos interesa é mostrar, no finaldesse capítulo, uma equivalência topológica entre equações diferenciais.
Como conseqüência do lema (3.1), as equações associadas ao novo sistema dH ·dU = λdU, módulo termos de ordem dois em (x, y, z), é
{F(x, y, z, w) = w3 + yw2 − (c32 + c21)w− c21 = 0r− w2 − (c11 − c21)w + c21 = 0 .
(3.9)
Consideraremos daqui em diante as equações e as 1− f ormas
F(x, y, z, w) = (1 + A1(x, y, z))w3 + (y + A2(x, y, z)w2 + (c32 + c21+A3(x, y, z))w− c31 + A4(x, y, z) = 0r− (1 + B1(x, y, z))w2 − (c11 − c21 + B2(x, y, z))w + c21 − B3(x, y, z) = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0
(3.10)em que Ai’s, Bi’s são funções de jato 2 nulo em 0 e os cij satisfazem (3.8).
Evidentemente, F = 0 e o conjunto singular de F, representado por ΣF, sãosuperfícies. Além disso, o conjunto dos pontos que satisfaz F = 0, Fw = 0 e Fww =0 é uma curva de classe C∞, que denotamos por C, numa vizinhança da origem. Oposto da matriz
(DF(0, 0, 0, 0)DFw(0, 0, 0, 0)
)=
( −2c1 c4 c5 00 0 1 0
)
é 2, pois estamos supondo c1 6= 0. Segue-se que F−1(0) é uma superfície de di-mensão 3, F(x, y, z, w) = 0 define localmente x = ν(y, z, w), F−1(0)∩ F−1
w (0) é umasuperfície de dimensão 2 e F−1(0) ∩ F−1
w (0) ∩ F−1ww(0) é uma curva.
Usando a equação (3.10) podemos escrever
F = (1 + A1(x, y, z))(w3 +y + A2(x, y, z)1 + A1(x, y, z)
w2 +c32 + c21 + A3(x, y, z)
1 + A1(x, y, z)w+
+−c31 + A4(x, y, z)
1 + A1(x, y, z))
ou ainda
F = (1 + A1(x, y, z))(w3 + (y + A2(x, y, z))w2 + (c32 + c21 + A1(x, y, z))w+−c31 + A0(x, y, z)) .
(3.11)em que A1, A2, A1 e A0 são funções de jato 2 nulo na origem. Portanto, F = 0 emuma vizinhança da origem se, e somente se,
F = w3 + (y + A2(x, y, z))w2 + (c32 + c21 + A1(x, y, z))w− c31 + A0(x, y, z) .(3.12)
42
em que c32, c21 e c31 satisfazem (3.8). Note-se que, para podermos dividir a equação(3.10) por 1 + A1(x, y, z) devemos impor a condição que a aplicação
(x, y, z) → (y + A2(x, y, z), c32 + c21 + A1(x, y, z)), c31 + A0(x, y, z))
seja um difeomorfismo pois, desta forma F é uma aplicação genérica do ponto devista de singularidades. E para que tal condição seja satisfeita devemos ter, usando(3.8), b5 + c6 6= 0 já que c1 6= 0.
Observação 3.1 Pelo exposto acima consideramos a seguinte hipótese genérica: c1 6= 0 eb5 + c6 6= 0. Além dessa hipótese, vamos supor que Fx(βy w + βz r + βx) 6= 0 em queβ(x, y, z) = c32 + c21 + A1(x, y, z). Como veremos, essa última condição será útil naseção 3.3.
Consideremos a projeção π : R4 → R3, π(x, y, z, w) = (x, y, z) e a restrição de πa F−1(0) dada por π(y, z, w) = (x(y, z, w), y, z). O posto de dπ é 2 quando xw = 0.Definimos S1 = {σ ∈ J1(F−1(0),R3)/ coposto σ = 1} onde J1 é o espaço de jatos[19]. S1 é subvariedade de J1(F−1(0),R3) de codimensão 1. Como j1π t S1 poisb5 + c6 6= 0, ΣF = (j1(π))−1(S1) é subvariedade de F−1(0) e π é uma aplicaçãogenérica. Seja π(p) = q, como Tp(S1) = Ker(dπp), denotamos por S1,1 o conjuntodestes pontos e desta forma podemos encontrar coordenadas tais que, π se escreveπ(y, z, w) = (w3 + yw2 + zw, y, z) e π tem singularidade do tipo cúspide. Nessascoordenadas, ΣF satisfaz w3 + yw2 + zw− x = 0 e 3w2 + 2yw + z = 0 e a curva C,denominada curva de cúspide, satisfaz w3 + yw2 + zw− x = 0, 3w2 + 2yw + z = 0 e3w + 2y = 0 conforme o Teorema de Whitney em [19].
F
C
C - curva de cúspide
F
F
F=
-1 ( (F
)) _F
(C)
F
- +
SF
SF
-
+
1
+
-
3
Figura 3.1: A projeção e o conjunto singular
A curva C divide ΣF em duas componentes cujos fechos denotamos por Σ−F eΣ+
F , isto é, ΣF = Σ−F ∪ Σ+F com C = Σ−F ∩ Σ+
F . Denotamos por S−F e S+F as imagens
de Σ−F e Σ+F por π. A figura (3.1) ilustra o que descrevemos acima, onde ∆F =
π−1(π(ΣF))− ΣF. A curva C, também divide ∆F em duas componentes conexascujos fechos denotamos por ∆−F e ∆+
F .
43
Observação 3.2 Lembremos que, se w1 é uma raiz simples e w2 é raiz dupla do polinômioaw3 + bw2 + cw + d = 0 então w1 = −2w2 − b
a .
Note-se que, (x0, y0, z0, w0) ∈ ∆F se, e somente se, F(x0, y0, z0, w0) = 0 e existew1 tal que F(x0, y0, z0, w1) = 0 e Fw(x0, y0, z0, w1) = 0, isto é, w0 é raiz simples deF = 0 se, e somente se, w1 é raiz dupla de F = 0.
No que foi explicado acima, temos w3 + yw2 + zw − x = 0 um polinômio degrau 3 em w. Em geral, considerando F(x, y, z, w) = 0 um polinômio de grau 3 emw denominamos por:
Λ1 = {(x, y, z)/F(x, y, z, w) = 0 possui uma únca raiz} ,Λ2 = {(x, y, z)/F(x, y, z, w) = 0 possui uma raiz dupla e uma raiz simples} eΛ3 = {(x, y, z)/F(x, y, z, w) = 0 possui três raízes distintas} .
(3.13)Na figura (3.1) identificamos Λ1. Λ2 é S−F ∪ S+
F − π(C). Note-se que, Λ3 é umaberto.
Agora, vamos encontrar o campo X associado à equação diferencial implícita emostrar que, se p é um ponto na curva de cúspide X(p), o espaço tangente à curvade cúspide e o campo X(p) são linearmente independentes.
Lema 3.2 O campo X associado a equação diferencial (3.10) é
X = (Fw, wFw, rFw,−(Fx + wFy + rFz)) .
Além disso, se p é um ponto na curva de cúspide, X(p) e o espaço tangente à curva decúspide são linearmente independentes.
Demonstração: Procedendo como no capítulo II, para encontrar o campo X, obte-mos a matriz A dada por
A =
DFω1
ω2
onde ω1 e ω2 são as 1 − f ormas de (3.10). Como X é definido como o produtovetorial generalizado de A então
X = (Fw, wFw, rFw,−(Fx + wFy + rFz)) .
Seja p um ponto tal que F(p) = 0, Fw(p) = 0 e Fww(p) = 0. O plano tangente a ΣFem p é dado pelo núcleo de
(dF(p)dFw(p)
)=
(Fx(p) Fy(p) Fz(p) 0Fwx(p) Fwy(p) Fwz(p) 0
).
Segue-se que um dos vetores que geram plano tangente a ΣF é da forma v1 =(0, 0, 0, a). Por outro lado,
X|F−1w (0) = (0, 0, 0,−(Fx + wFy + rFz) .
44
F
C
O1
O2
F
(O1)
(C)
(O2)
+F
-
SF
-S
F
+
P1 P2 P3
P4
Q1
Q2
Q3 Q4
(P1)=Q1 , (P2)=Q2
, (P3)=Q3 e (P4)=Q4
F
+
-
Figura 3.2: O fluxo gerado por X e sua projeção no espaço xyz.
Assim o campo é paralelo ao plano tangente a ΣF em Q. 2
Dado um ponto Q2 ∈ S−F que não está em π(C) (figura 3.2) a trajetória docampo projetado que passa por Q2 sofre uma reflexão em S+
F e retorna a S−F . Ana-logamente, dado um ponto Q1 ∈ S+
F que não está em π(C) a trajetória reflete emS−F e retorna a S+
F . Portanto a projeção do fluxo gerado pelo campo X define umadinâmica em cada uma das folhas do conjunto singular. Esta dinâmica pode serentendida pela análise do fluxo não singular gerado por X.
Note-se que, o campo X é transversal a ΣF exceto ao longo da curva de cúspideC( figura (3.2)). Além disso, o fluxo gerado por X induz duas aplicações de re-torno(que denotamos por ϕ− e ϕ+) para todo ponto p ∈ ΣF que não está em C.Sabemos que, se w é uma raiz simples de F = 0 então a raiz dupla de F = 0
FF
P0
F
-+
P1
B
F
+-
Figura 3.3: Aplicação de primeiro retorno
correspondente a w é −12(w + b
a ) onde b = yw + A2(y, w) e a = 1 + A1(y, w).Esta expressão define uma aplicação R− : ∆−F → Σ−F dada por R−(x, y, z, w) =(x, y, z,−1
2(w + ba )) onde w é raiz simples de F = 0 e −1
2(w + ba ) é a raiz dupla de
45
F = 0. Analogamente defimos a aplicação R+.Sejam P0 um ponto em Σ−F e ξ(P0, t) a trajetória do campo X com condição
inicial em P0. Denotamos por ϕ− a aplicação ϕ− : Σ−F → Σ−F definida por ϕ−(P0) =R−(P1) em que P1 é a interseção da trajetória ξ(P0, t) do campo X com ∆−F (figura3.3 em que ϕ−(P0) = B). Analogamente ϕ+ é a aplicação ϕ+ : Σ+
F → Σ+F tal que
ϕ+(P0) = R+(P1) em que P1 é a interseção da trajetória ξ(P0, t) do campo X com∆+
F . Observe que, se em ϕ− o tempo w da trajetória ξ(P0, t) é positivo, em ϕ+, otempo w na trajetória de ξ(P0, t) é negativo.
A geometria da aplicação π, com as propriedades do fluxo gerado pelo campoX que foram descritas acima, nos permitem representar a dinâmica do campo delinhas no espaço de fase (x, y, z) como o que chamamos de zig-zag(figura 3.4).Dessa maneira, para construir um homeomorfismo de R3 que preserve a estru-
–3
–2
–1
0
1
Y–3–2–10123 X
–4
–2
0
Z
Figura 3.4: O zig-zag
tura do campo de linhas gerado pela equação diferencial implícita somos levadosa preservar a dinâmica induzida pelas folhas π(ΣF). Existem dificuldades a seremsuperadas:
1. a aplicação de retorno tem a curva de cúspide como pontos fixos não isola-dos.
2. a aplicação de retorno tem derivada singular na vizinhança da curva de cús-pide.
3. deve-se preservar a dinâmica de duas aplicações de retorno( ϕ− e ϕ+).
Vamos tratar essas questões nas seções seguintes.
3.3 A Dinâmica da Aplicação de Retorno
Nessa seção vamos caracterizar a dinâmica da aplicação de retorno da equação(3.12).
46
Sabemos que, por (3.8), c31 = 2c1x + c4y + c5z com a condição genérica c1 6= 0.Assim, daqui em diante substituimos equação diferencial (3.12) por
F1(x, y, z, w) = w3 + (y + a2(x, y, z))w2 + ((c32 + c21)(x, y, z) + a1(x, y, z))w+x + c4y + c5z + a0(x, y, z) = 0r− (1 + B1(x, y, z))w2 − ((c11 − c21)(x, y, z) + B2(x, y, z))w + c21(x, y, z)+−B3(x, y, z) = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0
(3.14)se c1 < 0 ou
F2(x, y, z, w) = w3 + (y + a2(x, y, z))w2 + ((c32 + c21)(x, y, z) + a1(x, y, z))w+−x + c4y + c5z + a0(x, y, z) = 0r− (1 + B1(x, y, z))w2 − ((c11 − c21)(x, y, z) + B2(x, y, z))w + c21(x, y, z)+−B3(x, y, z) = 0wdx− dy = 0rdx− dz = 0
(3.15)se c1 > 0, em que Bi’s são funções de jato 2 nulo em 0 e os coeficientes cij satisfazem(3.8).
Do ponto de vista da dinâmica, a aplicação de retorno ϕ−(respec. ϕ+) é bastan-te degenerada pois tem pontos fixos não isolados na curva de cúspide. Portanto,para se ter alguma informação da dinâmica da aplicação de retorno vamos estudá-la em outras coordenadas.
Como F é um polinômio de grau 3 em w, usaremos o espaço, R, das raízesda equação (3.14)(respec. (3.15)) para descrever o campo X1(respec. X2 ) a elaassociado e em seguida estudar a dinâmica da aplicação de retorno mostrandoprimeiramente que, a reta (w1, w1, w1) é normalmente repulsora no caso da equação(3.14) e normalmente atratora no caso da equação (3.15). Depois mostraremos queϕ− e ϕ+ são conjugadas.
É fato conhecido que, se w1,w2 e w3 são raízes distintas equação w3 + aw2 +bw + c = 0 então c = −w1w2w3, b = w1w2 + w1w3 + w2w3 e a = −(w1 + w2 + w3).Assim temos as funções simétricas
σ1(w1, w2, w3) = −(w1 + w2 + w3)σ2(w1, w2, w3) = w1w2 + w1w3 + w2w3σ3(w1, w2, w3) = −w1w2w3
(3.16)
Consideremos a aplicação σ : R → R3
σ(w1, w2, w3) = (σ1, σ2, σ3) = (y, z, w)
definida implicitamente pelas equações
w = w1α(ν(y, z, w), y, z) = y + a2(ν(y, z, w), y, z) = σ1(w1, w2, w3)β(ν(y, z, w), y, z) = (c32 + c21)(ν(y, z, w), y, z) + a1(ν(y, z, w), y, z) == σ2(w1, w2, w3)
(3.17)
47
em que x = ν(y, z, w) é definida implicitamente por F1(x, y, z, w) = 0(F1(x, y, z, w) =0). σ satisfaz a seguinte propriedade:
Lema 3.3 A aplicação σ leva {w1 = w2} ∪ {w1 = w3} no conjunto singular de F1,(res-pec. F2 ). Além disso, leva o plano w2 = w3 em ∆F1(respec. ∆F2).
Demonstração: Nas coordenadas (x, y, w1), ΣF1 é dado por F1 = 0 e F1w1
= 3w21 +
2yw1 + c32 + c21 + 2w1a2(y, w) + a1(y, w) = 0 numa vizinhança da origem, istoé, w1 é raiz dupla de F1 = 0. Suponha que w2 é a outra raiz de F1 = 0, assimy + a2(y, w) = −2w1 − w2 e c32 + c21 + a1(y, w) = w2
1 + 2w1w2. Segue-se que
3w21 + 2yw1 + c32 + c21 + 2w1a2(y, w) + a1(y, w) = (w1 − w2)(w1 − w3) = 0
o que prova w1 = w2 ou w1 = w3. Se w2 = w3 temos y + a2(y, w) = −w1 −2w2 e c32 + c21 + a1(y, w) = w1w2 + w1w3 + w2w3 = 2w1w2 + w2
2. Eliminandow2 na primeira equação e substituindo na segunda encontramos 3w2
1 + 2w1(y +a2(y, w))− (y + a2(y, w))2 + 4(c32 + c21 + a1(y, w)) = 0 que é a equação de ∆F1 .
A prova é análoga para F2. 2
Note-se que, pelo lema (3.3) o conjunto singular de F1 ( respec. F2 ) é dado porF1 = 0 e F1
w = (w1 −w2)(w1 −w3) = 0. Seja X o campo associado à equação (3.14)ou (3.15), nas coordenadas (x, y, z, w1, r). Consideremos o campo induzido por σ,isto é,
Z = (dσ)−1X(σ) =1
w2 − w3σ∗(X) .
Derivando as equações (3.17) em relação a w1, w2 e w3 obtemos a seguinte equaçãomatricial:
αxνy + αy αxνz + αz αxνwβxνy + βy βxνz + βz βxνw0 0 1
∂y∂w1
∂y∂w2
∂y∂w3
∂z∂w1
∂z∂w2
∂z∂w3
1 0 0
=
=
−1 −1 −1w2 + w3 w1 + w3 w1 + w2
1 0 0
(3.18)
Como
dσ =
∂y∂w1
∂y∂w2
∂y∂w3
∂z∂w1
∂z∂w2
∂z∂w3
1 0 0
temos
(dσ)−1 =
0 0 1−w1+w2
w2−w3− 1
w2−w3
w3−w1w2−w3w1+w3
w2−w31
w2−w3
w1−w2w2−w3
αxνy + αy αxνz + αz αxνwβxνy + βy βxνz + βz βxνw0 0 1
.
48
Usando que, νy = − FyFx , νz = − Fz
Fx e νw = − FwFx segue que
(dσ)−1 =1
Fx(w2 − w3)
0 0 w2 − w3−(w1 + w2) −1 w3 − w1w1 + w3 1 w1 − w2
C
em que
C =
−αxFy + αyFx −αxFz + αzFx −αxFw−βxFy + βyFx −βxFz + βzFx −βxFw
0 0 Fx
Como nas coordenadas (y, z, w), X = (w1Fw1 , rFw1 ,−(Fx + rFz + w1Fy)) temos Z =1
(w2 − w3)Fx(Z1, Z2, Z3) em que
Z1 = (w3 − w2)Fx(Fx + rFz + w1Fy)(σ) ,
Z2 = −[(w1 + w2)M + N]Fw1(σ)− (w3 − w1)Fx(Fx + rFz + w1Fy)(σ) ,
Z3 = [(w1 + w3)M + N]Fw1(σ)− (w1 − w2)Fx(Fx + rFz + w1Fy)(σ) ,{
M(ν(y, z, w1), y, z) = Fx(αyw1 + αzr + αx) eN(ν(y, z, w1), y, z) = Fx(βyw1 + βzr + βx) . (3.19)
Para estudar o campo Z numa vizinhança de w2 = w3 definimos então o campoY = (w2 − w3)Z = (w2 − w3)(dσ)−1X(σ). É claro que Z e Y têm o mesmo espaçode fase, exceto quando w2 = w3. Denotemos por τi, i = 1, 2, 3 as permutações:
τ1(w1, w2, w3) = (w1, w3, w2) ,
τ2(w1, w2, w3) = (w3, w2, w1) e
τ3(w1, w2, w3) = (w2, w1, w3) .
É fácil verificar que τ1 ◦ τ2 = τ3 ◦ τ1 = τ2 ◦ τ3 e τ1 ◦ τ3 = τ2 ◦ τ1 = τ3 ◦ τ2.O campo Y satisfaz as as seguintes propriedades :
Observação 3.3 τ∗1 (Y) = −Y. De fato,
τ∗1 (Y) = (dτ1)−1Y(τ1) = (dτ1)
−1(w2 − w3)(dσ)−1X(σ(τ1)) =
= τ1(w2 − w3)(dσ)−1X(w1, w3, w2) = (w3 − w2)(dσ)−1X(w1, w3, w2) =
−(w2 − w3)σ∗(X) = −Y .
Observação 3.4 Como τ1 é a reflexão em relação ao plano w2 = w3 e a órbita do campo Yintersecta o plano w2 = w3 em dois pontos, a observação (3.3) nos diz que as trajetórias docampo Y estão sobre curvas fechadas.
49
Observação 3.5 Se representarmos os campos τ∗j (Y) por Yj, j = 2, 3 então τ∗1 (Y2) =−Y3. De fato,
τ∗1 (Y2) = τ∗1 (τ∗2 (Y)) = τ−11 (τ−1
2 Yτ2)τ1 = (τ2 ◦ τ1)−1Yτ2 ◦ τ1 = (τ2 ◦ τ1)
∗(Y) .
Usando que τ2 ◦ τ1 = τ1 ◦ τ2 temos que
τ∗1 (Y2) = (τ1 ◦ τ3)∗(Y) = τ∗3 (τ∗1 (Y)) = τ∗3 (−Y) = −τ∗3 (Y) = −Y3 .
Observação 3.6 A reta w1 = w2 = w3 é uma reta de singularidade do campo Y.
w1=w3w1=w2 w1=w3 w1=w2
w2=w3 w2=w3
curva integral do campo Y3curva integral do campo Y
2
Figura 3.5: Curvas integrais dos campos Y2 e Y3
w1
=w2w1=w3
w2=w3
Y
Y2 Y
3
Figura 3.6: Curvas integrais de Y, Y2 e Y3
O nosso objetivo é encontrar as expressões das aplicações de retorno no espaçow1w2w3 e mostrar que a reta w1 = w2 = w3 é normalmente repulsora no caso daequação (3.14) e normalmente atratora no caso da equação (3.15).
50
Nas coordenadas w1w2w3, dado um ponto A0 no plano w1 = w3, ϕ−(A0) =τ3(A1) em que A1 é a interseção da órbita do campo Y(A0, t) com o plano w2 = w3.Analogamente se A0 está no plano w1 = w2, ϕ+(A0) = τ2(A1).
Proposição 3.1 Considere a equação diferencial (3.14) (respec. (3.15)) e a aplicação deretorno ϕ− ou ϕ+. Com a hipótese N(x, y, z, w) = F1
x (βy w + βz r + βx) > 0 numavizinhança da origem, em que β(x, y, z) é o coeficiente de w de F1 = 0 na equação (3.14)então ϕ− (ou ϕ+) tem a reta w1 = w2 = w3 como normalmente repulsora quando consi-deramos a equação (3.14) e normalmente atratora quando consideramos a equação (3.15).
Demonstração: A idéia da prova é a seguinte: primeiro faremos algumas mu-danças de coordenadas, para analisar o fluxo gerado por Y. Depois, nessas novascoordenadas, encontramos a expressão da aplicação de retorno, mostrando queDϕ− tem um autovalor 1 e um autovalor cujo módulo é maior (ou menor) que 1.
Considere a equação (3.14) e o campo Y(w1, w2, w3), que escrevemos na se-guinte forma :
Y = L(σ)
−(w2 − w3)−(w3 − w1)−(w1 − w2)
+ Fw1(σ)
0M1(w1, w2, w3)M2(w1, w2, w3)
(3.20)
em que
L(σ) = F1x (σ)(F1
x + rF1z + w1F1
y )(σ) = 1 +K(w1, w2, w3) com K ∈ M10 e
Fw1(σ) = F1w1
(σ) = (w1 − w3)(w1 − w2) ,
M1 = −(w1 + w2)M(w1, w2, w3)− N(w1, w2, w3) e
M2 = (w1 + w3)M(w1, w2, w3) + N(w1, w2, w3) .
A primeira mudança de coordenadas leva os pontos singulares do campo Y noeixo (0, 0, u3):
u1 = w1 − 13
3
∑i=1
wi
u2 = w2 − 13
3
∑i=1
wi
u3 = 13
3
∑i=1
wi
(3.21)
Nas coordenadas (3.21) o campo Y é
Y(u) = L(u)
−(2u2 + u1)(2u1 + u2)
0
+
Fw1(u)3
B1(u)B2(u)B3(u)
(3.22)
51
em queFw1(u1, u2, u3) = (2u1 + u2)(u1 − u2) ,
B1(u) = (u1 + 2u2)M(u) ,
B2(u) = −(2u1 + 6u3 + u2)M(u)− 3N(u) e
B3(u) = −(u1 + 2u2)M(u) .
Note-se que, por (3.21), os planos w1 = w2, w1 = w3 e w2 = w3, nessas coor-denadas são respectivamente u1 − u2 = 0, 2u1 + u2 = 0 e 2u2 + u1 = 0. Alémdisso, as permutações τ1, τ2 e τ3 adquirem respectivamente as seguintes formas :τ1(u1, u2, u3) = (u1,−u1 − u2, u3), τ2(u1, u2, u3) = (−u1 − u2, u2, u3) e
τ3(u1, u2, u3) = (u2, u1, u3) .
A segunda mudança de coordenadas é feita no plano C3 = 0 de tal forma que otermo linear do campo fique na forma canônica de Jordan:
v1 =√
3u2v2 = −2u1 − u2v3 = u3
(3.23)
Nas coordenadas D o campo Y tem a seguinte forma:
Y(v) = L(v)
−√3v2√(3)v10
+
Fw1(v)3
U1(v)U2(v)U3(v)
(3.24)
em que
Fw1(v) = v2(√
32
v1 +v2
2) ,
L(D) = 1 +K(v) com K ∈ M10 ,
U1(v) = (v2 − 6v3)M(v1, v2, v3)− 3N(v1, v2, v3) ,
U2(D) = (−√
3v1 + 6v3)M(v1, v2, v3) + 3N(v1, v2, v3) e
U3(D) =12(√
3v1 − v2)M(v1, v2, v3) .
Por (3.23), nessas coordenadas, os planos w1 = w2, w1 = w3 e w2 = w3 são respec-tivamente
√3v1 + v2 = 0, v2 = 0 e
√3v1 − v2 = 0. As simetrias τ1, τ1 e τ2, nes-
sas coordenadas adquirem respectivamente as seguintes formas : τ1(v1, v2, v3) =12(−v1 +
√3v2,
√3v1 + v2, v3) , τ2(v1, v2, v3) = (v1,−v2, v3) e
τ3(v1, v2, v3) =12(−v1 −
√3v2,−
√3v1 + v2, v3) .
52
Como L(v) 6= 0 para todo ponto (v1, v2, v3) numa vizinhança da origem, pode-mos escrever:
Y(v) =Y(v)L(v)
=
−√3D2√(3)D1
0
+
Fw1(v)3L(v)
U1(v)U2(v)U3(v)
(3.25)
Para entendermos o comportamento do campo de vetores transversalmente a linhade singularidades é necessário eliminar a parte linear do campo Y. Para tal, faze-mos a seguinte mudança de coordenadas: v(t) = eEtv(t) em que
E =
0 −√3 0√3 0 0
0 0 0
, eEt =
cos(√
3t) −sen(√
3t) 0sen(
√3t) cos(
√3t) 0
0 0 1
e
v(t) satisfaz a equação diferencial
v′(t) =
Fw1(eEtv)3L(eEtv)
cos(√
3t)U1(eEtv) + sen(√
3t)U2(eEtv)−sen(
√3t)U1(eEtv) + cos(
√3t)U2(eEtv)
U3(eEtv)
(3.26)
em que L = 1 + K(eEtv). Nessas coordenadas, os planos w1 = w2, w1 = w3 ew2 = w3 são respectivamente
cos(√
3t− π
6)v1 + sen(
√3t− π
6)v1 = 0 ,
sen(√
3t)v1 + cos(√
3t)v2 = 0 e
cos(√
3t +π
6)v1 − sen(
√3t +
π
6)v2 = 0 .
Por último, fazemos:
v1(t) = ρ(t)cos(θ(t))v2(t) = ρ(t)sen(θ(t))v3(t) = v3(t)
(3.27)
Então
ρ′(t)
θ′(t)
v′3(t)
=
cos(θ) sen(θ) 0−sen(θ)
ρ
cos(θ)ρ
0
0 0 1
v′1(t)
v′2(t)
v′3(t)
,
ou seja,
χ(ρ, θ, v3) =Fw1
3L
(cos(θ +√
3t)U1 + sen(θ +√
3t)U2)(ρ, θ, v3)1ρ(cos(θ +
√3t)U2 − sen(θ +
√3t)U1)(ρ, θ, v3)
U3(ρ, θ, v3)
(3.28)
53
em que
Fw1(ρ, θ, v3) = ρ2 sen(θ +√
3t) cos(√
3t + θ − π
6) ,
L(ρ, θ, v3) = 1 +K(ρ, θ, D3) ,
U1(ρ, θ, v3) = (ρ sen(√
3t + θ)− 6v3)M(ρ, θ, v3)− 3N(ρ, θ, v3) ,
U2(ρ, θ, v3) = (−ρ√
3cos(√
3t− θ) + 6v3)M(ρ, θ, v3) + 3N(ρ, θ, v3) e
U3(ρ, θ, v3) = ρ cos(√
3t + θ − π
6)M(ρ, θ, v3) .
Agora, acharemos a expressão de ϕ− nas coordenadas (ρ, θ, v3) associada aocampo 1
ρ χ. Sabemos que nas coordenadas w1w2w3, ϕ− é definida da seguinte ma-neira : considere a trajetória do campo Y com condição inicial num ponto p doplano w1 = w3 e seja q o ponto dessa trajetória no plano w2 = w3. ϕ−(p) é a re-flexão de q em relação ao plano w1 = w2, isto é, encontramos ϕ−(p) aplicando τ3ao ponto q.
Para encontrar a expressão de ϕ− nas coordenadas (ρ, θ, v3), é mais fácil se,primeiramente acharmos a expressão de ϕ− nas cooordenadas D e em seguidatransportá-la para as coordenadas (ρ, θ, v3). O plano w2 = w3 e a reflexão τ3 nascooordenadas v são: v2 = v1
√3 e τ3(v1, v2, v3) = 1
2(−v1 −√
3v2,−√3v1 + v2, v3).Sejam T o tempo que a trajetória do campo Y gasta de P0 = (v0
1, 0, v03) até u2 =
u1√
3 e (v1(T), v2(T), v3(T)) o ponto da trajetória do campo Y nesse plano. Então,
τ3 · (v1(T), v2(T), v3(T)) = (−2v1(T), 0, v3(T)) .
Mas
v1(T) = cos(√
3T)v1(T)− sen(√
3T)v2(T) = ρ(T) cos(√
3T + θ(T)) .
Por outro lado, o plano w2 = w3 nas novas coordenadas é ρ cos(π6 +
√3t + θ(t)) =
0. Assim,√
3T + θ(T)− π3 = 0. Como o plano w1 = w3 nas coordenadas (ρ, θ, v3) é
dado por√
3t + θ(t) = 0, P0 = (ρ0, 0, v03) é a condição inicial da trajetória do campo
1ρ χ nesse plano e ϕ−(ρ0, 0, v0
3) = (−ρ(T), 0, v3(T)). Assim, podemos trabalhar coma aplicação de retorno as coordenadas ρ0 e v0
3. Daqui em diante escrevemos
ϕ−(ρ0, v03) = (−ρ(T, ρ0, v0
3), v3(T, ρ0, v03))
em que T é definido implicitamente pela equação
√3t + θ(t, ρ0, 0, v0
3)−π
3= 0 . (3.29)
A linha de singularidades (w1, w1, w1) do campo Y, correspondem nas coordena-das (ρ, θ, v3) aos pontos (0, 0, v0
3). Como o jacobiano de ϕ− em (0, v3) tem umautovalor 1, vamos mostrar que Dϕ−(0, v3) tem outro autovalor cujo módulo é
54
maior que 1. Para tal, basta mostrar que módulo do determinante de Dϕ− é maiorque 1 no ponto (0, v0
3).
Dϕ−(ρ0, v03) =
−ρ′(T)
∂T∂ρ0 −
∂ρ
∂ρ0 −ρ′(T)
∂T∂v0
3− ∂ρ
∂v03
v′3(T)
∂T∂ρ0 +
∂v3
∂ρ0 v′3(T)
∂T∂v0
3+
∂v3
∂v03
.
Por (3.29),∂T∂ρ0 = − ∂1θ
θ′(T) +
√3
,∂T∂v0
3= − ∂2θ
θ′(T) +
√3
e
v′3(t) =
13L
(ρ sen(θ +√
3t)cos(θ +√
3t− π
6))U3 .
Por ( 3.29),v3(T) = ρ cos(
√3t + θ − π
3)M ,
logo v′3(T) = 0. Além disso,
ρ′(T) =
ρ0
4L(ρ0, v03)
(U1(ρ0, v0
3)2
+√
3U2(ρ0, v03)
2) .
No ponto (0, v03) temos ρ
′(T) = 0 ,
∂v3
∂ρ0 = 0 e∂v3
∂v03
= 1 pois ϕ−(0, v03) = (0, v0
3).
Assim| det Dϕ−(0, v0
3) | = | − ∂ρ
∂ρ0 | = | ∂ρ
∂ρ0 |
Calculando o desenvolvimento de Taylor da primeira coordenada da trajetória docampo 1
ρ χ com condição inicial em P0 = (ρ0, 0, v03) obtemos
ρ(t, ρ0, 0, v03) = ρ0 − 1
4ρ0 U1(ρ0, 0, v0
3)t2 +M3t (3.30)
Por (3.30),∂ρ
∂ρ0 (t, 0, 0, v03) = 1− 1
4U1(0, 0, v0
3)T2 +M3T .
Como
U1(ρ, θ, v3) = (ρ sen(√
3t + θ)− 6v3)M(ρ, θ, v3)− 3N(ρ, θ, v3)
temos que U1(0, 0, v03) = −6v0
3M(0, 0, v03) − 3N(0, 0, v0
3) e o sinal de U1(0, 0, v03)
depende do termo −3N(0, 0, v03) pois tem menor grau em v0
3.Usando (3.19), (3.17) temos que F1
x (0, 0, v03) = 1 + L(0, 0, v0
3) com L ∈ M10 e
c32 + c21(x, y, z) = (c4 + 2b1)x + (2c2 + b4)y + (b5 + c6)z .
55
Como x, y e z estão em função de w1, w2 e w3, usando (3.18) encontramos o desen-volvimento de Taylor de x, y e z em torno da origem, determinando que o termo demenor grau nas variáveis (w1, w2, w3) é w1. Lembrando que w1 nas coordenadas(ρ, θ, v3) é
w1 = ρ[cos θ(sen(√
3t)− 1√3
cos(√
3t)) + sen θ(cos(√
3t) +1√3
sen(√
3t))] + v3
vem w1(0, 0, v03) = v0
3. Assim
−3N(0, 0, v03) = −3((v0
3(2c2 + b4) + (b5 + c6)v03 + (c4 + 2b1)) e
∂ρ
∂ρ0 (t, 0, 0, v03) = 1 +
34
N(0, 0, v03)T2 +M3
T .
Como por hipótese o sinal de N é positivo então | detDϕ−(0, 0, D03) | > 1
Se tomamos a condição inicial no plano w1 = w2, com algumas modificaçõesnos cálculos, o resultado segue. Neste caso, a aplicação de retorno é ϕ+.
Considerando a equação (3.15) com a hipótese N(x, y, z, w) = F1x (βy w + βz r +
βx) < 0 numa vizinhança da origem, em que β(x, y, z) é o coeficiente de w deF2 = 0, a prova é análoga. 2
Note-se que, pela demonstração do lema (3.1), o ponto (0, 0, 0) na reta de cúspide(w1, w1, w1) não satisfaz o lema (3.1) pois | det Dϕ−(0, 0) | = 1.
Proposição 3.2 ϕ− é conjugada a ϕ+.
Demonstração: Provaremos que ϕ−(P) = τ−11 ◦ ϕ+ ◦ τ1(P). Seja P um ponto no
conjunto singular de F1(respec.F2 ), ou seja, P é tal que suas coordenadas satisfa-zem w1 = w3 ou w1 = w2. Para fixar idéias vamos supor P = (w1, w2, w1). Per-correndo o fluxo de Y com condição inicial em P, encontramos o ponto (w1
1, w12, w1
2)em w2 = w3. Por outro lado, podemos a partir do ponto (w1
1, w12, w1
2) seguir ofluxo de Y3, isto é, fazer τ3(w1
1, w12, w1
2) = (w12, w1
1, w12). Portanto para encontrar
ϕ−(P) seguimos pela curva integral de Y que inicia em P até encontrarmos o planow2 = w3, depois desse ponto pela curva integral de Y3 até encontrar w1 = w3.Então ϕ−(P) = ξY
t ◦ ξY3s e ϕ+(P) = ξY
t ◦ ξY2s . Lembrando que Y3 = τ∗1 (−Y2) e
Y = τ∗1 (−Y) vem
ϕ−(P) = ξτ∗1 (−Y2)t ◦ ξ
τ∗1 (−Y)s = ξ
−τ∗1 (Y2)t ◦ ξ
−τ∗1 (Y)s = ξ
τ∗1 (Y2)−t ◦ ξ
τ∗1 (Y)−s =
= τ−11 ξY2−tτ1 ◦ τ−1
1 ξY−sτ1 = τ−11 ξY2−t ◦ ξY−sτ1 = τ1ϕ+τ1
2
56
3.4 Equivalência Topológica Fraca
O objetivo nessa seção é provar a existência de uma equivalência topológicafraca entre as equações diferenciais (3.14) e (3.15) e os seguintes modelos:
F1 = w3 + yw2 + zw + x = 0r = w2 + zwwdx− dy = 0rdx− dz = 0
(3.31)
e
F2 = w3 + yw2 + zw− x = 0r = w2 + zwwdx− dy = 0rdx− dz = 0 .
(3.32)
Denominaremos as equações (3.31) e (3.32) de modelos topológicos.Conforme vimos anteriormente, denotamos por
Λ3 = {(x, y, z)/F(x, y, z, w) = 0 possui três raízes distintas}o aberto onde por cada ponto passam três campos linearmente independentes, cujafronteira é o conjunto singular de F, ΣF.
Definição 3.1 Um homeomorfismo local H : U ⊂ R3 → R3 definido numa vizinhançaU de 0 é chamado uma equivalência fraca se H(ΣF) = ΣG e preserva órbitas fora do abertoU ∩Λ3.
Neste caso, dizemos que as equações são fracamente equivalentes.
i4 i
1i2
P4
P2
P3
- +
i1
F1 F1F1 F1
P1
Figura 3.7: ϕ− e ϕ+
Sejam X1( respec. X2 ) o campo associado à equação (3.14)( respec. (3.15) ) eX1
0(respec. X20) o campo associado à equação (3.31)(respec. (3.32) ).
57
Teorema 3.1 Existe uma equivalência topológica fraca entre as equações diferenciais (3.14)e (3.31) numa vizinhança da origem.
Para a demonstração desse Teorema vamos usar o seguinte lema:
Lema 3.4 Sejam ϕ− e ϕ− as aplicações de retorno associadas às equações (3.14) e (3.31)respectivamente. Existe uma conjugação entre as aplicações de retorno ϕ−(respec. ϕ+) eϕ−(respec. ϕ+ )
Demonstração: De acordo com a proposição (3.2), ϕ− é conjudada a ϕ+, logobasta provar que ϕ− é conjugada a ϕ−, isto é, existe um homeomorfismo H talque ϕ−(P) = H−1 ◦ ϕ− ◦ H(P) onde P está no plano w1 = w3.
O ponto fundamental é que a reta de cúspide(w1 = w2 = w3) é normalmenterepulsora. Sendo assim a construção da conjugação entre ϕ− e ϕ− é conhecida([11],[26]). Sejam q e H(q) pontos na reta de cúspide. As variedadades instáveis, quesão os gráficos de funções gq e gH(q), são tangentes em q e H(q) à direção associadaao autovalor λ > 1 de Dϕ−(q) e Dϕ−(H(q) respectivamente. Assim, no planow1 = w3 temos uma folheação dada pelos gráficos de gq e gH(q), mesmo que noponto (0, 0, 0), pelo lema (3.1), não exista as variedades instáveis g0 e gH(0). Con-sideremos a região, χi
1, no plano w1 = w3 cujos lados são curvas que contém P0,ϕ−(P0) e as duas variedades intáveis gqi e gqi+1 . A imagem de χi
1, H(χi1) = κi
1 étambém uma região no plano w1 = w3 cujos lados são curvas que contém H(P0) =Q0, ϕ−(H(P0)) e as variedades instáveis gH(qi) e gH(qi+1). Como conseqüência dasproposições (2.2) e (2.3), e do lema (3.4), χi
1 se aproxima continuamente da curvade cúspide e também κi
1 se aproxima continuamente da curva de cúspide.Sejam P0 no plano w1 = w3 e α a órbita do campo Z correspondente à equação
(3.14). Vamos supor que imagem de H do plano w1 = w3 é o plano w1 = w3,H(P0) = Q0 e H(α) = β onde β a trajetória do campo Y com condição inicialem Q0, correspondente à equação (3.31). Logo, se P1 está na interseção de α como plano w2 = w3 então H(P1) = Q1 e Q1 está na interseção da trajetória β como plano w2 = w3. Como ϕ−(P0) e ϕ−(Q0) são obtidas fazendo uma reflexãode P1 e Q1 em relação o plano w1 = w2 temos H(ϕ−(P0)) = ϕ−(Q0), isto é,ϕ−(P0)) = H−1 ◦ ϕ− ◦ H(P0). 2
Demonstração do Teorema (3.1): Usando a aplicação σ que relaciona as coordena-das (x, y, z, w) com o espaço das raizes w1w2w3 de F1 = 0 e F1 = 0, vamos construirum homeomorfismo Ψ : R3 → R3 do espaço das raizes w1w2w3 no espaço das rai-zes w1w2w3.
Considere Ψ com as seguintes condições :
1. Ψ preserva os planos w1 = w3, w1 = w2 e w2 = w3.
2. Ψ restrita aos planos w1 = w3, w1 = w2 é a conjugação obtida no lema (3.4).
58
3. Se α é a órbita do campo Z = (Z1, Z2, Z3) associada à equação (3.14) comcondição inicial em P0 no plano w1 = w3, Ψ(α) = β onde β é a órbita docampo Y = (Y1, Y2, Y3) correspondente à equação (3.31) com condição inicialem Q0 = Ψ(P0). Da mesma forma, se a condição inicial está em w1 = w2.
w1=w3
w1=w2
w2=w3
w1
=w3
w1
=w2
w2=w3
Figura 3.8: A transformação Π
Com as condiçoes acima, vamos mostrar primeiramente que Ψ é contínua nareta w1 = w2 = w3. Usando a construção do lema (3.4), existem no plano w1 =w2 regiões χi
2 e Ψ(χi2) = κi
2. Consideremos agora aplicação Π entre os planosw2 = w3, w1 = w3, w1 = w2. Então, Π(χi
1) = χi2, Π(χi
2) = χi3 e Π−1(χi
1) = χi4.
Analogamente, Π(κi1) = κi
2, Π(κi2) = κi
3 e Π−1(κi1) = κi
4. Ψ(χi3) = κi
3 e Ψ(χi4) =
κi4. Dessa forma, construimos um domínio fundamental nos planos(figura (3.8)).
Sejam agora, P1 na trajetória α interseção com w1 = w2 e Ψ(P1) = Q1. Usando acondição 4, Q1 está interseção da trajetória β com w1 = w2. Pela proposição (3.2),como ϕ−(respec. ϕ− ) e ϕ+( respec. ϕ− ) são conjugadas Ψ(ϕ+(P1)) = ϕ+(Q1).Assim, pelo lema (3.4) Ψ é contínua nos pontos da cúspide (reta w1 = w2 = w3 ).
P1 P2Q
1Q
2
Figura 3.9: Homeomorfismo no espaço xyz
Sejam agora P e Q pontos numa vizinhança da origem que não estão no abertoA e nos planos w1 = w3 e w1 = w2, tal que Ψ(P) = Q. Em P passa uma única
59
trajetória α do campo Z associado á equação diferencial (3.14 ) e em Q passa umaúnica trajetória do campo Y associado á equação diferencial (3.31 ). Como Ψ(α) =β temos Ψ(P1) = Q1 e Ψ(P2) = Q2 onde P1 e P2 estão em α interseção com w1 = w3e w1 = w2 respectivamente e Q1 e Q2 estão em β interseção com w1 = w3 e w1 =w2. Portanto, Ψ é contínua em P e Ψ é homeomorfismo.
Usando a aplicação σ(w1, w2, w3) = (y, z, w) e a projeção
π(y, z, w) = (x(y, z, w), y, w) ,
existe um homeomorfismo H : R3 → R3 que leva π(ΣF1) = ΣF1 e trajetóriasdo campo X1 associado á equação (3.14) nas trajetórias do campo X1
0 associado áequação (3.31) numa vizinhança U da origem, fora do aberto U ∩ Λ3. Na figura(3.9), temos α a projeção da trajetória do campo X1, β a projeção da trajetória docampo X1
0 tal que H(α) = β, H(P1) = Q1 e H(P2) = Q2. 2
Teorema 3.2 Existe uma equivalência topológica fraca entre as equações (3.15) e (3.32))numa vizinhança da origem.
Demonstração: Análoga ao teorema (3.1), só que neste caso a curva de cúspide éatratora. 2
Como consequência dos Teoremas (3.1) e (3.2) obtivemos uma classificação to-pológica local fraca para a equação (3.10), isto é, o comportamento topológico dasórbitas do campo X numa vizinhança U da origem fora do aberto U ∩ Λ3 é equi-valente ao comportamento das órbitas do campo X1
0 associado á equação (3.31) oua X2
0 associado á equação (3.32).A equivalência tolopológica fraca que obtivemos nos diz que a órbita α do
campo X1 (respec. X2 ) é levada na órbita β do campo X10(respec. X2
0 )(figura 3.9)de tal forma que os ponto P1 e P2 são levados nos pontos Q1 e Q2 respectivamente.
60
Capítulo 4
Integração Numérica dos ModelosTopológicos
4.1 Introdução
Neste capítulo, vamos mostrar que, usando o MAPLE, encontramos numerica-mente as trajetórias do campo X para os modelos topológicos já obtidos.
4.2 Caso α2
No capítulo II, obtivemos o seguinte modelo topológico:
w2 + yw− x = 0r =
xw(λ2 − λ1)(w + λ1 − λ2)
wdx− dy = 0rdx− dz = 0
. (4.1)
Como já vimos, o campo X associado a equação (4.1) é
X = (3w + y, 3w2 + yw,3w2 + xyw
(λ2 − λ1)(w + λ1 − λ2), 1− w2) .
Seja α a curva integral de X, em que dαdt (t) = X(α(t)), isto é,
dxdt
= 3w(t) + y(t) ,
dydt
= 3w(t)2 + y(t)w(t) ,
dzdt
=3w(t)2 + x(t)y(t)w(t)
(λ2 − λ1)(w(t) + λ1 − λ2)e
dwdt
= 1− w(t)2 .
61
–1–0.500.51Y
–10Z
–1
–0.5
0
0.5
1
Figura 4.1: ΣF e as órbitas do campo X numa vizinhança da origem com λ1 = 2 eλ2 = 1
–0.4
–0.2
0
X
–1–0.500.51Y
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
Z
Figura 4.2: projeção de ΣF em xyz e as órbitas do campo X numa vizinhança daorigem com λ1 = 2 e λ2 = 1
O conjunto singular de F (isto é, ΣF) em yzw satisfaz w2 + yw− x = 0 e 2w + y =0 e a projeção de ΣF em xyz está parametrizada por ϕ(z, w) = (−w2,−2w, z).Na figura (4.1) temos as trajétórias do campo X no espaço yzw e na figura (4.2) aprojeção por π(x, y, z, w) = (x, y, z) das trajetórias do campo X no plano xyz.
4.3 Caso α3
No capítulo III, obtivemos os seguintes modelos topológicos:
F = w3 + yw + zw + x = 0r = w2 + zwwdx− dy = 0rdx− dz = 0
(4.2)
62
e
F = w3 + yw + zw− x = 0r = w2 + zwwdx− dy = 0rdx− dz = 0
. (4.3)
–0.4–0.2
00.2
0.40.6
Y
–0.8–0.4
00.4
0.8
W
–1.2
–0.8
–0.4
0
Z
Figura 4.3: ΣF em yzw e a órbita do campo X na origem
–3–2
–10
1
Y
–3–2–10123
X
–5
–4
–3
–2
–1
0
Z
Figura 4.4: projeção de ΣF em xyz e a órbita do campo X na origem
Neste caso, o campo X correspondente à equação (4.2) é
X = (3w2 + 2yw + z, 3w3 + 2yw2 + zw, 3w4 + (3z + 2y)w3 + (2zy + z)w2+
z2w,−(2w3 + zw2 + 1)) .
O conjunto singular de F, ΣF, é dado pelas equações F = 0 e 3w2 + 2yw + z = 0. Aprojeção de ΣF em xyz está parametrizada por ϕ(y, w) = (−2w3 − yw2, y,−3w2 −2yw) no caso da equação (4.2) e por ρ(y, w) = (2w3 + yw2, y,−3w2 − 2yw) nocaso da equação (4.3). A origem está na curva de cúspide, portanto a trajetória do
63
0 2Y–2 0 1 2
W
–2
–1
0
1
2
Z
Figura 4.5: ΣF em yzw e atrajetória do campo X num ponto fora da curva de cús-pide
–3–2
–10
1
Y –3–2–10123 X
–5–4–3–2–10
Z
Figura 4.6: projeção de ΣF em xyz e da trajetória do campo X, com condição inicialnum ponto fora da curva de cúspide.
campo X é tangente à curva de cúspide. Seja β a trajetória do campo X. Assim,dβdt (t) = X(β(t)), isto é,
dxdt
= 3w(t)2 + 2y(t)w(t) + z(t) ,
dydt
= w(t)(3w(t)2 + 2y(t)w(t) + z(t)) ,
dzdt
= (w(t)2 + z(t)w(t))(3w(t)2 + 2y(t)w(t) + z(t)) e
dwdt
= −2w(t)3 − z(t)w(t)2 − 1 .
Para a equação (4.3), o campo X a ela associado difere apenas na última coorde-nada, que é dw
dt = 1 − 2w(t)3 − z(t)w(t)2. Na figura (4.3) temos a trajetória docampo X com condição inicial na origem em yzw e na figura (4.4) a projeção dessa
64
trajetória em xyz. A figura (4.5) mostra a trajetória do campo X em yzw com con-dição inicial num ponto fora da origem e na figura (4.6) a projeção dessa trajetóriaem xyz.
ponto 6
ponto 5
ponto 4
ponto 3
ponto 2 ponto inicial
rho0
D30
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
–0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6
Figura 4.7: A aplicação de retorno ϕ− no espaço das raízes associado a w3 + yw2 +zw + x = 0
ponto 6 ponto 5
ponto 4 ponto 3
ponto 2
ponto inicial
rho0
D30
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Figura 4.8: A aplicação de retorno ϕ− no espaço das raízes associada a w3 + yw2 +zw− x = 0
Através da dinâmica da aplicação de retorno, por exemplo ϕ−, diferenciamoso comportamento das trajetórias do campo X associado às equações (4.2) e (4.3).Usando a Proposição (3.1) encontramos a aplicação ϕ− nas coordenadas (ρ0, D0
3),isto é,
ϕ−(ρ0, D03) = (−ρ(ρ0, D0
3), D3(ρ0, D03))
em que
−ρ(ρ0, D03) = −ρ0 +
1B
ρ0
108(−3
√3(D0
3)2+ 9
√3(D0
3)3)π2 ,
D3(ρ0, D03) = D0
3 +1B
(ρ0)2
72
√3(−
√3
6ρ0 + D0
3)π2 e
65
B ≈ 1 ou B ≈ −1 para as equações (4.2) e (4.3) respectivamente.A figura (4.7), mostra a aplicação ϕ− no caso da equação (4.2). Nessa figura,
tomamos a reta D03 = 1
2 e o ponto inicial p = 12(1, 1). O ponto 2 é a primeira ima-
gem de p que está na primeira imagem da reta D03 = 1
2 . O ponto 3 é a imagem doponto 2 e assim por diante.
A figura (4.8), mostra a aplicação ϕ− no caso da equação (4.3), com a reta inicialD0
3 = 12 e o primeiro ponto p = 1
2(1, 1). A explicação da figura é análoga a anterior.
66
Conclusão
Neste trabalho, obtivemos as configurações das curvas de rarefação para siste-mas de três Leis de Conservação como função de fluxo da forma
H(x, y, z) = ( f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))
em que f , g e h ∈ C∞ e a matriz derivada de H na origem é do tipo α2(um auto-valor duplo com multiplicidade geométrica um) ou α3(um autovalor triplo commultiplicidade geométrica um).
Para obtermos os resultados, achamos importante salientar, fizemos uma co-nexão entre três áreas da matemática: Equação Diferencial Parcial, Sistemas dinâ-micos e a Teoria de Singularidades de Aplicações. No capítulo I, transformamoso problema de encontrar curvas de rarefação de sistemas de três Leis de Conser-vação( que é uma Equação Diferencial Parcial) em um problema de encontrar órbi-tas de um determinado campo( Sistemas Dinâmicos) e nos capítulos II e III, com aTeoria de Singularidades e Sistemas Dinâmicos resolvemos o problema localmente.
67
Referências Bibliográficas
[1] V.I.Arnol’d, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary DifferentialEquations, Springer Verlag, (1983).
[2] V.I.Arnol’d, Lectures on Bifurcations in Versal Families, Russian Math. Sur-veys 27(1971),54-123.
[3] V.I.Arnol’d, On Matrices Depending on Parameters, Russian Math. Surveys26:2(1971),29-43.
[4] J.C. Canvidish, M.L. Wenner, J.Burkardt, C. A. Hall and W. C.Rheinbolldt,Punch Stretching of Sheet Metal and Differential Equations on Manifold, In-ternato. J. Numer. Methods Engrg. 25(1988),269-282.
[5] L.O. Chua and H. Oka, Normal Forms for Constrained Non-linear DifferentialEquations, IEEE trans. Circuits Systems 35, No.7(1988)
[6] G. Darboux, Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, Vol. 4, Gauthier-Villars,Paris,1896
[7] L. Dara, Singularites Generiques des Equations Differentielles Multiformes,Bol. Soc. bras. Mat. 6(1975), 95-128.
[8] A. A. Davydov, Normal Forms of Differential Equations Unsolved with Re-spect to Derivatives in a Neighbourhood of Singular Point, functional Anal.Appl. 19(1985), 1-10.
[9] C. S. Eschenazi, Rarefection Fields in Systems of Three Conservations Laws,Matematica Conteporânea, Vol. 8, (1995), 151-176.
[10] R. Garcia, J. Sotomayor, Lectures on the Qualitative Theory of DifferentialEquations of Classical Geometry,Goiania,2002.
[11] M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub, Invariant Manifolds, Lecture Notes in Mathe-matics, Vol. 583,(1977).
[12] B. Jakubczyk, F. Przytycki, On Local Models of K-uples of Vector Fields, So-ciété Mathématique de France. Astérique 49 (1977), 97-108
[13] G. Tavares, A. Castelo, Implicit Differential Equations, Relatório Técnico,PUC-Rio (1994).
68
[14] V. Guines, Positive Quadratic Differential Forms and Foliations with Singula-rities on Surfaces. Trans.of Amer. Math. Society, 309:375-413, 1988.
[15] C. Gutierrez e J. Sotomayor, Structurally Stable Configurations of Lines ofPrincipal Curvature,Astérisque (1982),98-99.
[16] C. Gutierrez e J. Sotomayor, Lines of Curvature and Umbilic Points on Sur-faces, Brazilia 18th Math. Coll., 1991, reprinted as Structurally Configurationsof Lines Curvature and Umbilic Points on Surfaces, Monografias del IMCA.Monografias del IMCA, Lima, Peru, 1998.
[17] J. W. Bruce e F. Tari, On binary Differential Equations, Nonlinearity 8(1995),255-271.
[18] J. W. Bruce e F. Tari, Duality and Implicit Differential Euations, Nonlineariy,vol. 13, no. 3(2000),791-812.
[19] M. Golubitsky e V.Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities,Springer-Verlag,(1973).
[20] A.A. Mailybaev, Transformation to Versal Deformations of Matrices, LinearAlgebra and its Application 337(2001),87-108.
[21] W. Melo and J. Pallis, Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides,CNPq, IMPA, 1977
[22] C.F.B. Palmeira, Line Fields Defined by Eigenspaces of Derivatives of Mapsfrom the Plane to itself, Proceedings VIth Int. Coll. on Differential Geometry,Santiago(Spain),Sept. 1988.
[23] T.A. Porsching, A Network Model for two-fluid,two-phase flow, Numer. Me-thods Partial Differential Equations, 1(1985),295-313.
[24] P. Rabier and W. Rheinbolt, On Impasse Points of Quasilinear Differential-algebraic Equations,.Journ. of Math. Analysis and Aplications,181(1994),429-454.
[25] D.G. Schaeffer e M. Shearer, The Classification of 2× 2 Systems of NonstrictlyHyperbolic Conservation Laws Applications to Oil Recovery, with appendixby D. Marchesin, P.J. Paes Leme,D.G. Schaeffer, M. Shearer, Comm. in Pureand Applied Math. XL (1987).
[26] M. Shub, Global Stability of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1978.
[27] J.Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides,CNPq, IMPA, 1979.
[28] J. Sotomayor, Structurally Stable Differential Systems of the Form A(x)x =F(x), Differential Equations Dynam. Systems 5, No. 3/4(1997),415-422.
69
[29] J. Sotomayor and M.A.Teixeira, Vector Fields near the Boundary of a 3-manifold,in "Lecture Notes in Math.,"Vol.1331, pp. 169-195, Springer-Verlag,New York/Berlin,1988.
[30] J. Sotomayor and J. Llibre, Structural Stability of Constrained Polynomial Sys-tems, Bull. London Math. Soc. 30(1998),589-595.
[31] F. Takens, Constrained Equations; a Study of Implicit Differential Equationsand their Discontinuous Solutions, in "Lecture Notes in Math.", Vol. 525, pp.114-234, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1975.
[32] R. Thom, Sur les Equations Differentielles Multiformes et Leurs IntegralesPremiéus , Bol. Soc. Mat., 1972, 3, no. 1.
[33] H. Whitney, On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces and Mappingsof the Plane into the Plane. Ann. of Math.,62, 1955.
[34] M. Zhitomirskii, Local Normal Forms for Constrained Systems on 2-manifolds, Bol. Soc. Brasil. Mat. 24, No.2(1993), 205-216.
70
