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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANA
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA
Serie de Fourier e Transformada de Fourier
com aplicacao a reconstrucao de imagem
Cascavel - Pr
2011
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANA
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA
LOISE DIETRICH POCZAPSKI
Serie de Fourier e Transformada de Fouriercom aplicacao a reconstrucao de imagem
Orientador: Prof. Dr. Sandro Marcos Guzzo
Cascavel - Pr
2011
LOISE DIETRICH POCZAPSKI
Serie de Fourier e Transformada de Fouriercom aplicacao a reconstrucao de imagem
Monografia apresentada como requisito parcial a
aprovacao na disciplina Introducao a Pesquisa (Mon-
grafia) do Colegiado do Curso de Matematica, Centro
de Ciencias Exatas e Tecnologicas, Universidade Es-
tadual do Oeste do Parana, campus de Cascavel.
Prof. Sandro Marcos Guzzo (Orientador)
Universidade Estadual do Oeste do Parana
Prof. Clezio Aparecido Braga
Universidade Estadual do Oeste do Parana
Prof. Daniela Maria Grande Vicente
Universidade Estadual do Oeste do Parana
Cascavel, Novembro de 2011.
Dedico a Deus.
3
AGRADECIMENTOS
Agradeco a todos meus professores da graduacao, que sempre estiveram dispostos a me ajudar e
auxiliar no que fosse preciso. Durante essa caminhada de estudos pude amadurecer em todos os
aspectos, pelo incentivo e apoio que tive dos professores e por conta disso minha vontade de lecionar
so cresceu.
Em especial agradeco ao meu orientador que sempre esteve muito atento durante a construcao
desse trabalho.
4
“ Ninguem podera jamais aperfeicoar-se, se nao tiver
o mundo como mestre. A experiencia se adquire na
pratica.”
William Shakespeare
5
Sumario
Introducao 10
A funcao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Historia de Jean Baptiste Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Series de Fourier 13
1.1 Formulacao matematica do problema da conducao do calor . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Como surgiram as Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Os Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Alguns exemplos de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Forma complexa da Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Series de Fourier de Cosseno e de Seno 27
2.1 Funcoes Pares e Funcoes Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Transformada de Fourier 33
3.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Propriedades Operacionais da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Aplicacao da FFT na remocao de ruıdo em imagem 44
4.1 Processamento de Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.1 A imagem digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Amostragem e Quantificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.3 Histograma de Imagem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6
4.1.4 Operacoes em Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Aplicacao da FFT na remocao de ruıdo em imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Filtragem Passa-Baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Filtragem Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Outros Filtros no Domınio de Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo estudar a Transformada de Fourier, pelo motivo principal de haver
uma grande importancia dessa transformada no processamento digital de sinais e imagens. Contudo
o inıcio deste trabalho se dara com as Series de Fourier, partindo da motivacao pela qual surgiram,
que e o estudo do fluxo de calor por uma barra, e apresentar algumas propriedades das mesmas. Sera
dada enfase em uma aplicacao especıfica dentro do processamento de imagens, que e na remocao
de ruıdo em imagem. Esta aplicacao foi escolhida por mostrar um resultado bom e significativo,
utilizando o software “ImagemJ”.
Palavras-chave: Series de Fourier, Transformada de Fourier, espectro de Fourier.
8
ABSTRACT
This work aims to study the Fourier Transform on the ground there is a primary importance of
this transformed in the digital signals processing and images processing. However, this work starts
with the Fourier series, based on the motivation for which the Fourier series arose, that is the study
of heat flow by a slash, and present some properties of them. Emphasis will be placed in a specific
application within the image processing, which is in images noise removal. This application was
chosen because shows a good and significant result, using the software “ImagemJ”.
Key words: Fourier Series, Fourier transform, Fourier spectrum.
9
Introducao
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) ao estudar a propagacao de calor em corpos
solidos, que havia formulado em termos de equacoes diferenciais parciais, foi levado a desenvolver
suas series admitindo que essa propagacao se da em forma de ondas de calor, e essas ondas sao
representadas em series de senos e(ou) cossenos. Tais series sao conhecidas como Series de Fourier.
As Series de Fourier bem como a Transformada de Fourier dao suporte para estudos e aplicacoes
mais avancados que vao alem do estudo sobre fluxo de calor, pois sao muito utilizadas nas areas
de matematica, engenharia, computacao, musica, ondulatoria, sinais digitais, processamento de
imagens, telecomunicacoes, entre outros. A ideia e que qualquer funcao periodica contınua, por
mais complicada que seja, pode ser representada como a soma infinita de funcoes seno e(ou) cosseno
com amplitudes, fases e perıodos escolhidos convenientemente, ou seja, escrita como uma Serie de
Fourier, o que facilita visualizar e manipular uma funcao. Na verdade a serie pode, sob certas
condicoes, representar qualquer funcao, periodica ou nao.
A funcao de Euler
Depois do surgimento e desenvolvimento do Calculo Diferencial e Integral as funcoes seno,
cosseno e as outras funcoes trigonometricas correspondentes, se tornaram importantes em aplicacoes
fısicas, sendo essas funcoes definidas para todo numero real t.
Primeiramente definia-se seno e cosseno de um angulo, mas quando se trata de numero
real a definicao de seno e cosseno e feita por meio de uma funcao E, dita funcao de Euler, que sera
definida posteriormente.
O cırculo trigonometrico unitario S1 e, por definicao, a circunferencia de raio 1 com centro
na origem, orientada no sentido anti-horario. A funcao de Euler e definida no conjunto dos numeros
reais e sua imagem e o cırculo unitario S1. Ou seja, a cada numero real t corresponde um ponto
E(t) no cırculo unitario. Uma propriedade importante da funcao E e a sua periodicidade. Dizemos
que uma funcao f e periodica de perıodo T , quando f(t+ T ) = f(t), para todo t ∈ D(f). Quando
k e um inteiro, as extremidades finais dos arcos de comprimento T = 2kπ sempre coincidirao com
o ponto (1, 0). Isto implica que, qualquer que seja o numero real t e o inteiro k, teremos,
E(t+ 2kπ) = E(t)
10
e portanto, a funcao E e periodica de perıodo 2π.
Com o estudo das funcoes trigonometricas, foi possıvel descrever fenomenos periodicos
(movimento planetario, vibracao de cordas e membranas, oscilacoes de um pendulo, etc.). As
funcoes seno e cosseno adquiriram uma importancia especial na matematica, quando o matematico
frances Jean-Baptiste Joseph Fourier, estudando o fenomeno da transmissao do calor, mostrou que
qualquer funcao, sob determinadas hipoteses, pode ser obtida pela soma infinita de funcoes seno
e(ou) cosseno com amplitudes, fases e perıodos escolhidos convenientemente.
Apresentaremos a seguir um pouco da historia de Joseph Fourier e no proximo capıtulo
estudaremos as Series de Fourier dando importancia nas possıveis aplicacoes da serie.
Historia de Jean Baptiste Fourier
O barao Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768- 1830) nasceu em Auxerre, filho de alfaiate
foi educado pela ordem Beneditina. Ele introduziu a ideia de que uma funcao periodica arbitraria,
mesmo sendo definida por diferentes expressoes analıticas em segmentos adjacentes de seu inter-
valo de definicao, poderia ser representada por uma unica expressao analıtica. Naquela epoca a
ideia, apesar das resistencias, provou ser de suma importancia em desenvolvimentos posteriores da
Engenharia e Matematica.
A ideia de Fourier surgiu pelo problema do fluxo de calor em corpos solidos. Nao e de se
estranhar que ele tenha estudado tanto sobre o calor, pois era tao obcecado por isso que mantinha
as dependencias de sua casa desconfortavelmente quentes para os visitantes, e vestia sempre um
pesado casaco. Talvez essa excentricidade se de pelo fato de ter passado no Egito, em 1798 com
os 165 sabios da expedicao de Napoleao para “civilizar” o paıs. Antes desta expedicao, Fourier
era um Professor de Matematica, e portanto assumiu ocupacoes administrativas como secretario
do Instituto do Egito, uma corporacao cientıfica.
Fourier foi eleito prefeito de Isere (em Grenoble) por Napoleao em 1802 apos um breve re-
torno a sua antiga ocupacao de Professor de Analise na escola Politecnica em Paris. Suas ocupacoes
em Grenoble incluıam taxacao, recrutamento militar, execucao de leis, cumprindo ordens de Paris
bem como a elaboracao de relatorios.
Ele fez muitas obras no tempo em que ocupava o cargo de prefeito. Diminuiu danos
provocados pela revolucao de 1789, drenou 80.000 km2 de pantanos e construiu a secao Francesa
da estrada de Torino. Em 1807, mesmo com as obrigacoes oficiais, Fourier escreveu sua Teoria da
Conducao do Calor, que dependia da ideia essencial de analisar a distribuicao de Temperatura em
componentes solidos espaciais. Porem por conta das duvidas expressas por Laplace e Lagrange, a
publicacao da obra foi evitada. Houveram tambem algumas crıticas feitas por Biot e Poisson. Um
tempo depois, o Instituto estabeleceu o tema “Propagacao de calor em corpos solidos” como topico
para o premio em Matematica em 1811, que foi ganho por Fourier, mas havia uma mencao de falta
de generalidade e rigor. Fato que justifica o atraso da publicacao que ocorreu so em meados de
11
1815.
Pouco tempo depois Fourier foi para Paris para ter uma vida de Ciencias. Em 1817 foi
eleito para a academia de Ciencias. Em 1823 para a posicao de Secretario permanente e para a
Academia Francesa em 1826; cargos que ocupou ate a morte. O impacto e os desdobramentos da
obra de Fourier sao incalculaveis.
12
Capıtulo 1
Series de Fourier
A teoria de series de Fourier contem a base de uma grande parte da Analise moderna, desde
a analise harmonica abstrata, englobando a teoria de grupos topologicos e suas representacoes, ate
a Analise Funcional. Toda a teoria de expansao em autofuncoes, que e central em Analise, nasceu
da teoria de series de Fourier. De fato a importancia da Analise Harmonica classica (essencial-
mente o estudo de series e integrais de Fourier) no desenvolvimento da Matematica e inestimavel.
Por exemplo, o conceito moderno de funcao foi introduzido por Dirichlet enquanto estudava a
convergencia das series de Fourier; as integrais de Riemann e de Lebesgue foram originadas por
problemas em analise de Fourier; Cantor, tentando caracterizar conjuntos de unicidade para series
trigonometricas, foi levado a desenvolver a teoria dos numeros transfinitos e os rudimentos da teoria
dos conjuntos; mais recentemente, a teoria de distribuicoes (ou funcoes generalizadas) de Laurent
Schwartz foi desenvolvida em conexao com o estudo de transformadas de Fourier (Ver [5, Iorio]).
O campo natural de aplicacoes das series de Fourier e a de fenomenos periodicos. O
fato de uma funcao periodica poder ser decomposta em suas componentes harmonicas simples
An = sen(nt+ αn) e de significado fısico fundamental.
A maneira mais natural para se introduzir as series de Fourier e atraves de um problema
envolvendo a conducao de calor.
1.1 Formulacao matematica do problema da conducao do calor
Nesta sessao sera estudado o problema de conducao de calor por uma barra, pois essa e
a motivacao que leva ao estudo das series de Fourier. Procurando uma solucao para tal problema,
serao utilizadas ferramentas/conceitos do Calculo Diferencial e Integral e de Equacoes Diferenciais,
no entanto, isso nao sera suficiente, e entao surge a necessidade do estudo das series de Fourier.
Considere uma barra de comprimento L e com seccao transversal de area A, feita de
um material condutor uniforme de calor e que esta isolada termicamente do meio ambiente a nao
ser por suas extremidades. Se colocarmos a barra no sentido do comprimento L sobre o eixo x e
13
aquecermos uma das extremidades, o fluxo de calor, pelo isolamento termico lateral, se dara somente
na direcao longitudinal e dar-se-a da extremidade mais quente para a mais fria, conforme rege a lei
do resfriamento. Deste modo o problema de conducao termica em questao e unidimensional. Fourier
modelou uma equacao que descreve a quantidade de calor transferida de uma seccao transversal
para outra por unidade de tempo, ou seja, considere duas placas P1 e P2 de seccao transversal igual
a A e temperaturas T1 e T2, respectivamente; se colocadas paralelamente a uma distancia d uma
da outra, havera passagem de calor da placa mais quente para a mais fria, e a quantidade de calor,
por unidade de tempo, transferida de uma placa para outra e dada por
Q =Ak|T2 − T1|
d, (1.1)
onde, a constante de proporcionalidade k e a condutibilidade termica do material entre as placas.
Essa lei sera utilizada para estudar a conducao de calor na barra.
Seja u(x, t) a funcao que descreve a temperatura da barra na sua coordenada x, no instante
t. Para contornar a dificuldade da ausencia da variavel tempo da Lei de Fourier, introduz-se a
grandeza fluxo de calor atraves de x num instante t, da forma:
- Fixa-se o tempo em (1.1) e considera-se, T1 = u(x, t) e T2 = u(x+ d, t);
- Passa-se o limite na funcao u(x+ d, t)− u(x, t) quando d tende a zero em (1.1).
Assim, se denotando por q(x, t) o fluxo de calor atraves de x no instante t, tem-se
q(x, t) = kA limd→0
|u(x+ d, t)− u(x, t)|d
. (1.2)
Como a temperatura decresce conforme x cresce, introduz-se um sinal negativo em (1.2),
que segue
q(x, t) = −kAux(x, t). (1.3)
Fixando, agora, para δ > 0, um elemento entre os pontos x0 e x0 + δ, ao longo do eixo dos
x. Calculando o calor que entra em x0 no perıodo de tempo entre t0 e t0+τ , com τ > 0. Usando o
fluxo de calor q(x, t), podemos ver que
q =
∫ t0+τ
t0
q(x0, t)dt−∫ t0+τ
t0
q(x0 + δ, t)dt.
Pela Lei de Fourier, (1.3), tem-se
q =
∫ t0+τ
t0
k[ux(x0 + δ, t)− ux(x0, t)]Adt. (1.4)
Sabendo que o calor especıfico c de uma substancia e a quantidade de calor necessaria
para elevar em 1 ◦C a temperatura de um grama dessa substancia, entao q pode ser escrito como
q =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
cut(x, t)dxρAdt, (1.5)
onde ρ e a densidade da substancia.
14
Para chegar a equacao do calor, o teorema fundamental do calculo e utilizado em (1.4)
obtendo-se:
q =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
kuxx(x, t)Adxdt,
e entao igualando ao valor de q em (1.5), tem-se∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
kuxx(x, t)dxdt =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
cut(x, t)ρdxdt. (1.6)
Sendo a expressao (1.6) valida para todo t0 > 0, todo 0 < x0 < L e todos τ > 0 e δ > 0,
conclui-se que
kuxx(x, t) = cρut(x, t).
Denominaremos kcρ por difusibilidade termica, k, e entao podemos reescrever a equacao
acima como
ut = kuxx. (1.7)
E entao chega-se a equacao (1.7) que e chamada equacao do calor ou equacao da difusao.
1.2 Como surgiram as Series de Fourier
Na sessao anterior, chegamos a formulacao da equacao do calor, e nesta sessao partiremos
do estudo da mesma.
Considere o plano cartesiano de eixos x e t, onde t e a coordenada temporal e x a coorde-
nada espacial. O problema da conducao do calor consiste em determinar uma funcao real u(x, t)
no fecho do conjunto R = {(x, t) ∈ R2/0 < t < ∞, 0 < x < l}, em que, u(x, t) e a temperatura
no instante t no ponto x de uma barra de comprimento l com extremos em contato com um reser-
vatorio termico mantido a temperatura constante zero, f e a distribuicao inicial de temperatura e,
para que haja solucao, f tem que satisfazer a condicao de compatibilidade
f(0) = 0 = f(l).
A funcao u(x, t) deve satisfazer
ut = α2uxx em (0, l)× (0,+∞),
em R, que satisfaz a condicao inicial
u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ (0, l),
e a condicao de fronteira
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0.
Este tipo de problema e conhecido como “problema de valores iniciais e de contorno”
(P.V.C) e para resolver a equacao (1.1) que expressa esse problema, Fourier desenvolveu um metodo,
o qual sera visto agora.
15
Supondo que a funcao u(x, t) procurada possa ser escrita como o produto de duas funcoes,
uma dependendo exclusivamente de x e outra dependendo de t, isto e, da forma
u(x, t) = ϕ(x)ψ(t), (1.8)
Substituindo (1.8) na equacao do calor, tem-se
ϕ(x)ψ′(t) = α2ϕ′′(x)ψ(t),
e entao1
α2
ψ′(t)
ψ(t)=ϕ′′(x)
ϕ(x). (1.9)
Observe que admitiu-se que ϕ(t) e ψ(t) nao se anulam, pois isto acarretaria u(x, t) como
solucao nula, que nao nos interessa.
Agora percebe-se que o lado esquerdo da equacao (1.9) e uma funcao que so depende de t
enquanto o lado direito depende apenas de x, logo ambos os lados tem que ser iguais a uma mesma
constante que sera chamada de −σ. Obtendo assim duas EDO’s
−ϕ′′(x) = σϕ(x), (1.10)
e
ψ′(t) = −α2σψ(t), (1.11)
onde σ e um parametro independente de t e de x.
Agora, restringe-se o problema em resolver duas EDO’s. Resolvendo a primeira equacao
de (1.9)
ϕ′′(x) + σϕ(x) = 0, 0 < x < l
e como u(0, t) = u(l, t) = 0, segue que
ϕ(0)ψ(t) = ϕ(l)ψ(t) = 0 ∀t ≥ 0
que implica
ϕ(0) = ϕ(l) = 0 (1.12)
pois nao interessa ψ(t) ≡ 0.
Para os valores de σ, ha tres possibilidades para analisar
i) σ > 0
ϕ(x) = ae√σx + be−
√σx
a+ b = 0 pois ϕ(0) = 0
ae√σl + be−
√σl = 0 pois ϕ(l) = 0.
Mas a unica solucao do sistema e a = b = 0. Implicando que ϕ(x) = 0, porem este
resultado nao convem.
16
ii) σ = 0
ϕ(x) = ax+ b.
Com a = 0 e ax+ b = 0, que implica em a = b = 0 e portanto traz o mesmo resultado de
(i) onde ϕ(x) = 0.
iii) σ < 0. Tomando σ = −λ2, para facilitar os calculos, a solucao geral e
ϕ(x) = a cos(λx) + b sen(λx),
para satisfazer (1.12) a = 0
b sen(λl) = 0,
e como nao se quer b = 0, entao
sen(λl) = 0.
Isso implica que
λl = nπ ∀n ∈ Z∗.
Logo λ =nπ
le
σ = −λ2 = −n2π2
l2. (1.13)
Como para cada n obtem-se um λ diferente, logo exprime-se (1.13) da forma
λ2n =
n2π2
l2,
que sao chamados os autovalores do P.V.C.
Portanto as funcoes que satisfazem a EDO (1.10) sao
ϕn(x) = sen(nπx
l), x ∈ [0, l], (1.14)
e sao chamadas de autofuncoes do P.V.C.
Resta achar a solucao geral da EDO (1.11): eα2σt e um fator integrante de (1.11) logo a
solucao geral sera da forma
ψ(t) = bneα2σt.
Sendo assim utilizando (1.13), temos ainda que
ψ(t)n = bne−α2n2π2
l2t.
Como un(x, t) = ϕn(x)ψn(t), entao para n ∈ N, obtivemos as solucoes
un(x, t) = bne−α2n2π2
l2t sen(
nπx
l), x ∈ [0, l], t ≥ 0, n ∈ N,
17
e, usando o princıpio da superposicao, procuramos uma solucao da forma
u(x, t) =∞∑n=1
bne−α2n2π2
l2t sen(
nπx
l), x ∈ [0, l], t ≥ 0. (1.15)
Observe que sao deixados de lado os problemas de convergencia e diferenciabilidade termo
a termo. Procuramos uma solucao de (1.8) da forma (1.15) e por hipotese temos u(x, 0) = f(x)
que implica em
f(x) =∞∑n=1
bn sen(nπx
l), x ∈ [0, l].
Sugerindo dessa forma que a funcao podera ser escrita como uma serie de senos. E o
metodo de Fourier culmina com a indicacao desse candidato.
Obtivemos portanto que uma possıvel solucao do PVI e a funcao da serie de senos. Isso
ocorreu pelas condicoes de contorno impostas, em que a temperatura se mantinha constante igual a
zero. No caso da temperatura nao ser constante, segundo a lei de Newton, o fluxo de calor atraves
de uma secao da barra e proporcional a variacao de temperatura na direcao do eixo. Dessa forma,
ao inves de termos uma expansao em serie de senos, obtemos f em serie de cossenos, isto e,
f(x) =a0
2+∞∑n=1
an cos(nπx
l).
A questao e saber se essas funcoes podem ser escritas realmente em serie de senos, ou em
outras condicoes de contorno, se podem ser expressas em serie de cossenos. Para tanto surge a
pergunta se dada uma funcao f : [0, l] → R, seria possıvel expressar f como a soma dessas duas
series
f(x) =a0
2+∞∑n=1
[an cos(nπx
l) + bn sen(
nπx
l)]. (1.16)
Observe que o fator 12 em a0 e utilizado apenas para que as formulas para an sejam do
mesmo tipo se n > 0 ou se n = 0.
Precisamos encontrar agora os coeficientes a0, an e bn que satisfazem a identidade (1.16).
Portanto qual serao as hipoteses sobre f para que a igualdade (1.16) se verifique para a0, an e bn
reais?
Essa questao fica mais clara com os conceitos de ortogonalidade vistos a seguir.
1.2.1 Ortogonalidade
Dois elementos distintos f e g sao ditos ortogonais quando o produto interno entre eles
resulta em 0. Definiremos aqui o produto escalar de duas funcoes f e g no espaco VCP 0[a, b], que
sao funcoes de classe CP 0[a, b], como
〈f, g〉 =
∫ b
af(t)g(t)dt.
18
Definicao 1. Seja V = CP 0[a, b]. Dizemos que um subconjunto nao vazio X de V e ortogonal se
para todo par f e g de elementos distintos de X, 〈f, g〉 = 0. Neste caso diz-se que os elementos de
X sao ortogonais.
Exemplo 1. Seja l um numero real maior que zero. Seja V = CP 0[−l, l] o conjunto das funcoes
contınuas por partes do intervalo [−l, l] em R com o produto interno definido por
〈f, g〉 =
∫ l
−lf(x)g(x)dx.
Sera mostrado que o conjunto
{1, cosπx
l, sen
πx
l, cos
2πx
l, sen
2πx
l, ..., cos
nπx
l, sen
nπx
l, ...}
e um subconjunto ortogonal de V P 0[−l, l]. Como as funcoes do conjunto, exceto a primeira, sao
funcoes cujas primitivas sao periodicas de perıodo igual a 2l/n, entao para verificar se o conjunto
e ortogonal, faremos a integral de −l e l destas funcoes periodicas. Portanto temos
〈1, cosnπx
l〉 =
∫ l
−l1 cos
nπx
ldx =
l
π
∫ π
−πcos(ns)ds =
l
π
sen(ns)
n
∣∣∣∣π−π
= 0,
e
〈1, sennπx
l〉 =
∫ l
−lsen
nπx
ldx =
l
π
∫ π
−πsen(ns)ds =
l
π
− cos(ns)
n
∣∣∣∣π−π
= 0.
Para m = n, temos
〈cosnπx
l, cos
nπx
l〉 =
∫ l
−lcos2 nπx
ldx =
l
nπ
∫ nπ
−nπcos2(t)dt =
l
nπ
[t
2+
1
4sen(2t)
∣∣∣∣nπ−nπ
]= l,
〈sennπx
l, sen
nπx
l〉 =
∫ l
−lsen2 nπx
ldx =
l
nπ
∫ nπ
−nπsen2(t)dt =
l
nπ
[t
2− 1
4sen(2t)
∣∣∣∣nπ−nπ
]= l
e
〈cosnπx
l, sen
nπx
l〉 =
∫ l
−lcos
nπx
lsen
nπx
ldx =
l
π
∫ π
−πcosns sennsds
=l
2π
∫ π
−π[sen(2n)s+ sen(0)s]ds =
− cos(2n)
2n
∣∣∣∣π−π
= 0.
Para m 6= n,
〈cosnπx
l, cos
mπx
l〉 =
∫ l
−lcos
nπx
lcos
mπx
ldx =
l
π
∫ π
−πcosns cosmsds
=l
2π
∫ π
−πcos[(m+ n)s] + cos[(m− n)s]ds
=l
2π(m+ n)sen[(m+ n)s]
∣∣∣∣π−π
+l
2π(m− n)sen[(m− n)s]
∣∣∣∣π−π
= 0,
〈sennπx
l, sen
mπx
l〉 =
∫ l
−lsen
nπx
lsen
mπx
ldx =
l
π
∫ π
−πsenns senmsds
19
=l
2π
∫ π
−πcos[(m− n)s]− cos[(m+ n)s]ds
=l
2π(m− n)sen[(m− n)s]
∣∣∣∣π−π− l
2π(m+ n)sen[(m+ n)s]
∣∣∣∣π−π
= 0
e
〈cosnπx
l, sen
mπx
l〉 =
∫ l
−lcos
nπx
lsen
mπx
ldx =
l
π
∫ π
−πcosns senmsds
=l
2π
∫ π
−πsen[(m− n)s] + sen[(m+ n)s]ds
= − l
2π(m− n)cos[(m− n)s]
∣∣∣∣π−π− l
2π(m+ n)cos[(m+ n)s]
∣∣∣∣π−π
= 0.
E assim temos que o conjunto definido no exemplo 1 e ortogonal.
1.2.2 Os Coeficientes de Fourier
Na sessao anterior chegamos ao questionamento se as funcoes descritas sob certas condicoes
de contorno, poderiam ser expressas da forma de (1.16). Considere o conjunto de funcoes
{1, cosπ
lx, cos
2π
lx, ..., sen
π
lx, sen
2π
lx, sen
3π
lx, ...}.
Pelo conceito de ortogonalidade visto anteriormente sabe-se que este conjunto e ortogonal
no intervalo [−l, l]. Na sessao anterior expressamos uma funcao f em uma serie da forma
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
[an cos(nπx
l) + bn sen(
nπx
l)]. (1.17)
Suponha que essa funcao seja definida no intervalo [−l, l]. O procedimento a seguir nos
mostra como podem ser calculados a0, an e bn, supondo que f possa ser escrita pela serie em (1.17).
Integrando ambos os membros de (1.17) de −l a l, obtem-se∫ l
−lf(x)dx =
∫ l
−l
a0
2dx+
∞∑n=1
(an
∫ l
−lcos
nπ
lxdx+ bn
∫ l
−lsen
nπ
lxdx
). (1.18)
Como cada uma das funcoes cos(nπx/l) e sen(nπx/l) com n > 1 e ortogonal a 1 no
intervalo, como pode ser verificado na sessao 1.1.1 no exemplo 1, entao o membro direito de (1.18)
se reduz a um unico termo e, consequentemente,∫ l
−lf(x)dx =
∫ l
−l
a0
2dx =
a0
2x∣∣∣l−l
= la0.
Resolvendo em relacao a a0, obtemos
a0 =1
l
∫ l
−lf(x)dx.
20
Multiplicando (1.17) por cos(mπx/l) e integrando∫ l
−lf(x) cos
mπx
ldx =
a0
2
∫ l
−lcos
mπx
ldx
+∞∑n=1
(an
∫ l
−lcos
mπx
lcos
nπx
ldx+ bn
∫ l
−lcos
mπx
lsen
nπx
ldx
). (1.19)
Por ortogonalidade, temos∫ l
−lcos
mπx
ldx = 0
∫ l
−lcos
mπx
lcos
nπx
ldx
= 0, m 6= n
= l, m = n
e ∫ l
−lcos
mπx
lsen
nπx
ldx = 0 ∀ m,n ∈ N.
Assim, (1.19) se reduz a ∫ l
−lcos
mπx
ldx = anl.
e
an =1
l
∫ l
−lcos
mπx
ldx.
Finalmente, multiplicando (1.17) por sen(mπx/l), integrando e utilizando os resultados∫ l
−lsen
mπx
ldx = 0, m > 0,∫ l
−lsen
mπx
lcos
nπx
ldx = 0 ∀ m,n ∈ N
∫ l
−lsen
mπx
lsen
nπx
ldx
= 0, m 6= n
= l, m = n,
obtemos,
bn =1
l
∫ l
−lf(x) sen
nπx
ldx.
E estes sao os coeficientes da serie de Fourier da funcao f . A serie em (1.17) e definida
como sendo a serie de Fourier da funcao f . Perceba que formalizando-a, temos a definicao a seguir.
Definicao 2 (Serie de Fourier). A serie de Fourier de uma funcao f definida no intervalo (−l, l)e dada por
f(x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos(
nπx
l) + bn sen(
nπx
l)),
com
a0 =1
l
∫ l
−lf(x)dx
21
an =1
l
∫ l
−lf(x) cos
nπx
ldx
bn =1
l
∫ l
−lf(x) sen
nπx
ldx.
Perceba que nada foi falado a respeito da serie de Fourier de f convergir para f , admitimos
ainda esta convergencia para calcular os coeficientes. Portanto enunciamos agora um teorema que
garante esta convergencia. A demonstracao pode ser encontrada em [4, Iorio] e [3, Guidorizzi].
Teorema 1.1. Seja f : [−l, l] → R uma funcao contınua, com derivada segunda contınua por
partes, e tal que f(−l) = f(l). Entao a serie de Fourier de f converge uniformemente para f em
[−l, l]. Isto e:
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
(an cos(
nπx
l) + bn sen(
nπx
l)),
para todo x ∈ [−l, l].
1.3 Alguns exemplos de Series de Fourier
Exemplo 2. Para obter a serie de Fourier da funcao
f(x) =
0 se − π ≤ x < 0
π se 0 ≤ x < π
e necessario calcular primeiramente os coeficientes de Fourier para essa funcao
a0 =1
π
[∫ 0
−π0dx+
∫ π
0πdx
]= π,
e para n ∈ N, tem-se
an =1
π
[∫ π
0π cos(nx)dx
]= 0.
Como
bn =1
π
[∫ π
0π sen(nx)dx
]=
1− cos(nπ)
nπ,
obtem-se b2n = 0 e b2n−1 = 22n−1 para n ∈ N.
Assim a serie de Fourier sera dada por
f(x) ∼ π
2+ 2
∞∑k=1
sen[(2k − 1)x]
2k − 1,
ou seja
f(x) ∼ π
2+ 2
(sen(x) +
sen(3x)
3+
sen(5x)
5+ ...
).
22
Figura 1.1: Funcao sinal transladada para cima.
Figura 1.2: Serie de fourier da funcao sinal.
Observacao: A partir da serie de Fourier para funcoes 2π-periodicas e possıvel obter a
serie de Fourier para funcoes periodicas com perıodo 2l. Basta tomar a mudanca de variavel x = πtl
para obter a “nova” funcao, agora dependendo da variavel t, que sera 2l-periodica e integravel no
intervalo simetrico [−l, l].
Exemplo 3. Desenvolva
g(x) =
0, −π < x < 0
π − x, 0 < x < π,
em serie de Fourier.
Solucao: A figura 1.3 mostra o grafico de g. Os coeficientes sao escritos da forma
23
Figura 1.3: Grafico da funcao g.
a0 =1
π
[∫ 0
−π0dx+
∫ π
0(π − x)dx
]=
1
π
[πx− x2
2
]π0
=π
2
an =1
π
∫ π
−πf(x) cosnxdx =
1
π
[∫ 0
−π0dx+
∫ π
0(π − x) cosnxdx
],
e integrando por partes, obtemos
an =1
π
[(π − x)
sennx
n
∣∣∣π0
+1
n
∫ π
0sennxdx
]= − 1
nπ
cosnx
n
∣∣∣π0
=− cosnπ + 1
n2π
=1− (−1)n
n2π.
De maneira analoga, obtem-se, para o coeficiente bn. Temos
bn =1
π
∫ π
0(π − x) sennxdx =
1
n,
portanto,
f(x) =π
4+
∞∑x=1
{1− (−1)n
n2πcosnx+
1
nsennx
}.
24
Figura 1.4: Serie de Fourier da funcao g.
1.4 Forma complexa da Serie de Fourier
Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo 2l, seccionalmente contınua e seja
f(x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos
nπx
l+ bn sen
nπx
l
)(1.20)
sua serie de Fourier, com
an =1
l
∫ l
−lcos
nπx
ldx e bn =
1
l
∫ l
−lf(x) sen
nπx
ldx. (1.21)
Para escrevermos essa serie de Fourier na forma complexa, usamos a formula de Euler
eiθ = cos θ + i sen θ,
sendo que
cos θ = cosnπx
l=einπxl + e−i
nπxl
2e sen θ = sen
nπx
l=einπxl − e−i
nπxl
2.
Substituindo em (1.20), temos
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
(aneinπxl + e−i
nπxl
2+ ibn
einπxl − e−i
nπxl
2
)
=a0
2+∞∑n=1
(an − ibn
2einπxl +
an + ibn2
e−inπxl
)
=∞∑
n=−∞cne
inπxl ,
com
cn =
an − ibn
2se n ≥ 1
a0
2se n = 0
a−n + ib−n2
se n ≤ −1,
25
ou seja, usando os coeficientes de Fourier em (1.21) temos
cn =
1
2l
∫ l
−lf(x)(cos
nπx
l− i sen
nπx
l)dx se n ≥ 1
1
2l
∫ l
−lf(x)dx se n = 0
1
2l
∫ l
−lf(x)(cos
nπx
l− i sen
nπx
l)dx se n ≤ −1
=1
2l
∫ l
−lf(x)e−inπx/ldx.
Resumindo vimos que se f : R→ R for periodica de perıodo 2l, integravel e absolutamente
integravel, entao a serie de Fourier de f na forma complexa pode ser escrita como
∞∑n=−∞
cne−inπx/l.
26
Capıtulo 2
Series de Fourier de Cosseno e de
Seno
2.1 Funcoes Pares e Funcoes Impares
Uma funcao f e
par se f(−x) = f(x) ∀xımpar se f(−x) = −f(x) ∀x
Como cos(−x) = cos(x), entao a funcao cosseno e par.
Como sen(−x) = − sen(x), entao a funcao seno e ımpar.
O teorema a seguir relaciona algumas propriedades das funcoes pares e funcoes ımpares.
Propriedades das Funcoes Pares e das Funcoes Impares
Teorema 2.1. Propriedades das Funcoes Pares/Impares
(a) O produto de duas funcoes pares e par.
(b) O produto de duas funcoes ımpares e par.
(c) O produto de uma funcao par e uma funcao ımpar e ımpar.
(d) A soma (diferenca) de duas funcoes pares e par.
(e) A soma (diferenca) de duas funcoes ımpares e ımpar.
(f) Se f e par, entao
∫ a
−af(x)dx = 2
∫ a
0f(x)dx.
(g) Se f e ımpar, entao
∫ a
−af(x)dx = 0.
27
Demonstracoes:
(a) Suponhamos f e g funcoes pares. Temos entao f(−x) = f(x) e g(−x) = g(x). Definindo o
produto de f e g como F (x) = f(x)g(x), vem:
F (−x) = f(−x)g(−x) = f(x)g(x) = F (x).
Este resultado mostra que o produto de duas funcoes pares e uma funcao par.
(b) Suponhamos f e g funcoes ımpares. Temos entao f(−x) = −f(x) e g(−x) = −g(x).
Definindo o produto de f e g como F (x) = f(x)g(x), vem:
F (−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = F (x).
Este resultado mostra que o produto de duas funcoes ımpares e uma funcao par.
(c) Suponhamos f uma funcao par e g uma funcao ımpar. Temos entao f(−x) = f(x) e
g(−x) = −g(x). Definindo o produto de f e g como F (x) = f(x)g(x), vem:
F (−x) = f(−x)g(−x) = f(x)(−g(x)) = −f(x)g(x) = −F (x).
Este resultado mostra que o produto de uma funcao par e uma funcao ımpar e ımpar.
(d) Suponhamos f e g funcoes pares. Temos entao f(−x) = f(x) e g(−x) = g(x). Definindo a
soma de f e g como F (x) = f(x) + g(x), e a diferenca de f e g como G(x) = f(x)− g(x) vem:
Para a soma:
F (−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = F (x).
Para a diferenca:
G(−x) = f(−x)− g(−x) = f(x)− g(x) = G(x).
(e) Suponhamos f e g funcoes ımpares. Temos entao f(−x) = −f(x) e g(−x) = −g(x).
Definindo a soma de f e g como F (x) = f(x)+g(x), e a diferenca de f e g como G(x) = f(x)−g(x)
vem:
Para a soma:
F (−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x)− g(x) = −(f(x) + g(x)) = −F (x).
Para a diferenca:
G(−x) = f(−x)− g(−x) = −f(x)− (−g(x)) = −f(x) + g(x) = −G(x).
(f) Seja f uma funcao par, entao f(−x) = f(x), daı vem que:∫ a
−af(x)dx =
∫ 0
−af(x)dx+
∫ a
0f(x)dx =
∫ a
0f(x)dx+
∫ a
0f(x)dx = 2
∫ a
0f(x)dx.
28
(g) Seja f uma funcao ımpar, entao f(−x) = −f(x), daı vem que:∫ a
−af(x)dx =
∫ 0
−af(x)dx+
∫ a
0f(x)dx = −
∫ a
0f(x)dx+
∫ a
0f(x)dx = 0.
�
Series de Cosseno e de Seno
Se f e uma funao par em (−l, l), entao, em vista das propriedades precedentes, os coefi-
cientes
a0 =1
l
∫ l
−lf(x)dx =
2
l
∫ l
0f(x)dx
an =1
l
∫ l
−lf(x) cos
nπx
l︸ ︷︷ ︸par
dx
bn =1
l
∫ l
−lf(x) sen
nπx
l︸ ︷︷ ︸ımpar
dx = 0.
Analogamente, quando f e ımpar no intervalo (−l, l), an = 0, n = 0, 1, 2..., bn =2
l
∫ l
0f(x) sen
nπx
ldx = 0.
Para resumir os resultados obtidos, segue a definicao abaixo.
Definicao 3. Series de Fourier de Cosseno e de Seno
(i) A serie de Fourier de uma funcao par no intervalo (−l, l) e a serie de cosseno
f(x) =a0
2+∞∑n=1
an cosnπx
l,
onde a0 =2
l
∫ l
0f(x)dx
an =2
l
∫ l
0f(x) cos
nπx
ldx.
(ii) A serie de Fourier de uma funcao ımpar no intervalo (−l, l) e a serie de seno
f(x) =
∞∑n=1
bn sennπx
l,
onde bn =2
l
∫ l
0f(x) sen
nπx
ldx. (2.1)
Exemplo 4. A funcao
f(x) =
−1, −π < x < 0
1, 0 ≤ x < π
29
Figura 2.1: Grafico da funcao
exibida na Figura 2.1 e ımpar no intervalo (−π, π). Sendo π o perıodo da funcao, temos, por (2.1),
bn =2
π
∫ π
0(1) sennxdx =
2
π
(1− (−1)n)
n
e assim
f(x) =2
π
∞∑n=1
1− (−1)n
nsennx. (2.2)
30
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.2: Para todas as figuras
Veja que a sequencia de somas parciais acima tende para uma funcao. Comparando o
grafico do Exemplo 3 com os graficos das quatro somas parciais de (2.2):
S1 =4
πsenx
S2 =4
π
(senx+
sen 3x
3
)S3 =
4
π
(senx+
sen 3x
3+
sen 5x
5
)S15 =
4
π
(15∑n=1
1
n(sennx)
).
Podemos perceber que o grafico da soma parcial S15 tem “picos” pronunciados nas viz-
inhancas das descontinuidades em x = 0, x = π, x = −π etc. Nessas vizinhancas dos pontos de
descontinuidade o distanciamento das somas parciais Sn dos valores funcionais permanece quase
constante mesmo quando n e suficientemente grande. Esse comportamento de uma serie de Fourier
em que f e descontınua na vizinhanca de um ponto, e chamado fenomeno de Gibbs.
Exemplo 5. A funcao f(x) = x2, 0 < x < L, e par, e seu grafico esta exibido na figura abaixo
31
Vamos achar os coeficientes de Fourier, temos portanto:
a0 =2
L
∫ L
0x2dx =
2
3L2
e
an =2
L
∫ L
0x2 cos
nπ
Lxdx.
Integrando por partes,
an =2
L
[Lx2
nπsen
nπx
L
∣∣∣L0− 2L
nπ
∫ L
0x sen
nπx
Ldx
]= − 4
nπ
[∫ L
0x sen
nπx
Ldx
],
e novamente integrando por partes, obtemos
an = − 4
nπ
[−Lxnπ
cosnπx
L
∣∣∣∣L0
+L
nπ
∫ L
0cos
nπx
Ldx
]
=4L2(−1)n
n2π2.
Assim,
f(x) =L2
3+
4L2
π2
∞∑n=1
(−1)n
n2cos
nπx
L.
32
Capıtulo 3
Transformada de Fourier
Neste capıtulo faremos um estudo sobre a transformada de Fourier. Ate agora estudamos
as series de Fourier, a motivacao do surgimento destas, as series do Cosseno e do Seno e alguns
outros conceitos. Depois desse breve estudo e possıvel entao tratarmos da transformada de Fourier
e a aplicacao desta na remocao de ruıdo de uma imagem digital.
Antes de iniciarmos a transformada de Fourier, e necessario abordar sobre a integral de
Fourier, que segue das series de Fourier, porem o que muda sao os intervalos, que antes eram
finitos e portanto com funcoes periodicas, e agora passam a ser infinitos e as funcoes nao sao mais
necessariamente periodicas.
Tınhamos portanto uma funcao f : R → R periodica de perıodo 2l, suave por partes,
entao
f(x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos
nπx
l+ bn sen
nπx
l
)nos pontos de continuidade de f , com
an =1
l
∫ l
−lf(t) cos
nπt
ldt, n ≥ 0.
bn =1
l
∫ l
−lf(t) sen
nπt
ldt, n ≥ 1.
Agora, se f e uma funcao nao periodica ela nao pode ser representada por uma serie de
Fourier. Entretanto, e possıvel representar f por uma integral de Fourier, se f for pelo menos suave
por partes e satisfizer alem disso a condicao de ser absolutamente integravel, ou seja∫ ∞−∞|f(x)|dx <∞.
Com essas condicoes definiremos a integral de Fourier, e depois a Transformada de Fourier.
33
3.1 A Integral de Fourier
As series de Fourier foram utilizadas para representar uma funcao f definida em um
intervalo finito como (−l, l) ou (0, l). E portanto as series de Fourier estavam associadas as funcoes
periodicas. Estabeleceremos a seguir, de modo nao rigoroso, um meio de representar certos tipos de
funcoes nao-periodicas definidas em um intervalo infinito (−∞,∞) ou em um intervalo semi-infinito
(0,∞).
Considere a Serie de Fourier, da Definicao 2, de uma funcao f definida no intervalo (−l, l).
f(x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos(
nπx
l) + bn sen(
nπx
l))
=1
2l
∫ l
−lf(t)dt+
1
l
∞∑n=1
[(∫ l
−lf(t) cos
nπt
ldt
)cos(
nπx
l) +
(∫ l
−lf(t) sen
nπt
ldt
)sen(
nπx
l)
].
(3.1)
Fazendo αn = nπ/l, ∆α = αn+1 − αn = π/l, (3.1) se escreve
f(x) =1
2π
(∫ l
−lf(t)dt
)∆α+
1
π
∞∑n=1
[(∫ l
−lf(t) cosαntdt
)cos αnx
+
(∫ l
−lf(t) senαntdt
)senαnx
]∆α. (3.2)
Agora ampliando o intervalo (−l, l) fazendo l →∞. Como l →∞ implica em ∆α→ 0, o
limite de (3.2) fica como lim∆α→0∑∞
n=1 F (αn)∆α, que sugere a definicao da integral∫∞
0 F (α)dα.
Assim, se∫∞−∞ f(t)dt existe, o limite do primeiro termo em (3.2) e zero, e o limite da soma se
escreve
f(x) =1
π
∫ ∞0
[(∫ ∞−∞
f(t) cosαtdt
)cosαx+
(∫ ∞−∞
f(t) senαtdt
)senαx
]dα. (3.3)
Este resultado apresentado em (3.3) e chamado a integral de Fourier de f em (−∞,∞).
Conforme mostra a definicao abaixo, em que a estrutura basica da integral de Fourier lembra a
mesma da serie de Fourier.
Definicao 4. A integral de Fourier de uma funcao f definida no intervalo (−∞,∞) e dada por
f(x) =1
π
∫ ∞0
[A(α) cosαx+B(α) senαx]dα, (3.4)
onde
A(α) =
∫ ∞−∞
f(x) cosαxdx
B(α) =
∫ ∞−∞
f(x) senαxdx.
O teorema a seguir fornece condicoes suficientes para a convergencia da integral de Fourier.
34
Teorema 3.1. Sejam f e f ′ parcialmente contınuas em qualquer intervalo finito, e seja f absolu-
tamente integravel em (−∞,∞). Entao a integral de Fourier de f no intervalo (−∞,∞) converge
para f(x) em um ponto de continuidade. Em um ponto x de descontinuidade tipo salto, a integral
de Fourier converge para a mediaf(x+) + f(x−)
2,
onde f(x+) e f(x−) denotam os limites de f a direita e a esquerda, respectivamente.
Integral de Seno e Integral de Cosseno
Assim como vimos anteriormente que existe a serie de Seno e de Cosseno, e intuitivo
pensarmos nas integrais de Seno e de Cosseno, ja que a estrutura da Integral de Fourier lembra as
Series de Fourier.
Quando f e uma funcao par no intervalo (−∞,∞), o produto f(x) cosαx e tambem uma
funcao par, ao passo que f(x) senαx e uma funcao ımpar. Sendo assim, da propriedade (g) do
Teorema 2.1 temos que:
B(α) =
∫ ∞−∞
f(x) senαx dx = 0
e
f(x) =1
π
∫ ∞0
(∫ ∞−∞
f(t) cosαt dt
)cosαx dα
pela propriedade (f) do Teorema 2.1, segue que:
f(x) =2
π
∫ ∞0
(∫ ∞0
f(t) cosαtdt
)cosαxdα.
Da mesma forma, quando f e uma funcao ımpar no intervalo (−∞,∞), os produ-
tos f(x) cosαx e f(x) senαx sao funcoes ımpar e par, respectivamente. Sendo assim, A(α) =∫∞−∞ f(x) cosαxdx = 0, tambem pelo Teorema 2.1, e
f(x) =1
π
∫ ∞0
(∫ ∞−∞
f(t) senαt dt
)senαx dα.
Da propriedade (f), temos que:
f(x) =2
π
∫ ∞0
(∫ ∞0
f(t) senαt dt
)senαx dα.
Formalizando os resultados, segue a definicao para as integrais Cosseno e Seno de Fourier.
Definicao 5. Integrais de Cosseno e Seno de Fourier
(i) a integral de Fourier de uma funcao par no intervalo (−∞,∞) e a integral cosseno
f(x) =2
π
∫ ∞0
A(α) cosαx dα.
onde
A(α) =
∫ ∞0
f(x) cosαx dx.
35
(ii) a integral de Fourier de uma funcao ımpar no intervalo (−∞,∞) e a integral seno
f(x) =2
π
∫ ∞0
B(α) senαx dα.
onde
B(α) =
∫ ∞0
f(x) senαx dx.
3.2 Transformada de Fourier
Primeiramente vamos recordar da formula de Euler
eiθ = cos θ + i sen θ.
Desta, segue que
cos θ =eiθ + e−iθ
2e sen θ =
eiθ − e−iθ
2
Vamos escrever a integral de Fourier, vista na sessao anterior, na forma complexa. Da
integral de Fourier (3.4) e da formula de Euler, temos:
f(x) =1
π
∫ ∞0
[A(α) cosαx+B(α) senαx]dα
=1
π
∫ ∞0
(∫ ∞−∞
f(t) cosαt cosαx dt+
∫ ∞−∞
f(t) senαt senαx dt
)dα
=1
π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t)(cosαt cosαx+ senαt senαx) dtdα
=1
π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t) cosα(x− t) dtdα
=1
2π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t)(eiα(x−t) + e−iα(x−t)) dtdα
=1
2π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα+1
2π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t)e−iα(x−t) dtdα
=1
2π
∫ ∞0
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα+1
2π
∫ 0
−∞
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα
=1
2π
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα.
Portanto, a forma complexa da integral de Fourier e da forma
f(x) =1
2π
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα.
Sendo assim, a forma complexa da integral de Fourier pode ser escrita como
f(x) =1
2π
∫ ∞−∞
[∫ ∞−∞
f(t)e−iαt dt
]eiαx dα. (3.5)
36
Para que possamos falar da transformada de Fourier, vamos primeiro definir uma funcao
F : R→ C por
F (α) =
∫ ∞−∞
f(t)e−iαtdt. (3.6)
Note que mesmo sendo o domınio da funcao f definido nos reais, em geral a funcao F e
uma funcao definida na reta tomando valores complexos. Sendo assim, e possıvel expressar F
pela soma de componentes real e imaginaria, representadas por R e I, respectivamente
F (α) = R(α) + iI(α).
E possıvel ainda expressar a funcao F de valores complexos, na forma polar, ou seja
F (α) = |F (α)| eiφ(α) (3.7)
onde,
|F (α)| = [R2(α) + I2(α)]12
e
φ(α) = tan−1
[I(α)
R(α)
].
O termo |F (α)| e chamado espectro de Fourier da funcao f(x) e φ(α) e chamado angulo de
fase da funcao f(x); |F (α)|2 = R2 + I2 e denominado densidade espectral, ou espectro de potencia
de f(x) e possui aplicacoes em imagens. A variavel α, geralmente e denotada por u e e chamada de
variavel de frequencia, cujo nome deriva do termo exponencial, ei2πux, que pela formula de Euler
ei2πux = cos(2πux)−i sen(2πux) deixa evidente que a funcao f pode ser decomposta pelo somatorio
de senos e cossenos.
A transformada de Fourier na aplicacao em imagens, pode computar a distribuicao (am-
plitudes, frequencias e fases) desses senos e cossenos.
Diremos que uma funcao de R em C e absolutamente integravel se as partes real e ima-
ginaria dessa funcao forem absolutamente integraveis. O espaco dessas funcoes sera denotado por
L1(R,C). Da forma complexa da integral de Fourier em (3.5), temos que
f(x) =1
2π
∫ ∞−∞
F (α)eiαx dα.
Disso definimos a Transformada de Fourier de f , como sendo a funcao F que associa a
cada funcao absolutamente integravel f : R→ C a funcao F : R→ C definida pela expressao (3.6).
E a inversa dessa funcao e chamada a transformada de Fourier inversa, F−1 que associa a
cada funcao F : R→ C que pertenca ao conjunto imagem de F a funcao absolutamente integravel
f : R→ C definida pela expressao (3.7) e sendo f contınua,
F−1(F(f)) = f.
Veja que isso e consequencia imediata das definicoes acima. De fato,
F−1(F(f))(x) =1
2π
∫ ∞−∞F(f)(α)eiαx dα
37
=1
2π
[∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
f(t)e−iαt dt
]eiαx dα
=1
2π
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
f(t)eiα(x−t) dtdα = f(x).
Apresentamos aqui a transformada de Fourier de uma funcao unidimensional que pode ser
estendida a funcao binidimensional f(x, y). Portanto em 2D temos o seguinte par de transformadas
F (u, v) =
∫ ∞−∞
f(x, y)e−i(ux+vy)dxdy
e a partir de F (u, v) pode-se obter f(x, y) atraves da transformada inversa de Fourier:
f(x, y) =1
2π
∫ ∞−∞
F (u, v)ei(ux+vy)dudv.
Da mesma forma mostrada para a transformada de Fourier para uma funcao unidimen-
sional, a transformada de Fourier de uma funcao f(x, y) e uma funcao complexa e pode ser expressa
pela soma de componentes real e imaginaria, representadas por R e I, respectivamente, ou seja,
F (u, v) = R(u, v) + iI(u, v).
Disso obtem-se o espectro de Fourier, angulo de fase e o espectro de potencia, como na
funcao unidimensional, conforme seguem as equacoes respectivamente
|F (u, v)| = [R2(u, v) + I2(u, v)]12 ,
φ(u, v) = tan−1
[I(u, v)
R(u, v)
],
e
P (u, v) = R2(u, v) + I2(u, v).
Transformadas de Fourier
A integral de Fourier e a fonte de tres novas transformadas integrais, pois esta pode ser escrita
como integrais de Cosseno e Seno de Fourier, sendo assim, tambem teremos a transformada de
Cosseno e de Seno de Fourier.
Definicao 6. pares de Transformadas de Fourier
(i) Transformada de Fourier
F(f)(x) =
∫ ∞−∞
f(x)e−iαxdx = F (α).
Transformada inversa de Fourier
F−1(F )(α) =1
2π
∫ ∞−∞
F (α)eiαxdα = f(x).
38
(ii) Transformada Seno de Fourier
Fs(f)(x) =
∫ ∞0
f(x) senαx dx = F (α).
Transformada Seno de Fourier inversa
F−1s (F )(α) =
2
π
∫ ∞0
F (α) senαx dx = f(x).
(iii) Transformada Cosseno de Fourier
Fc(f)(x) =
∫ ∞0
f(x) cosαx dx = F (α).
Transformada Cosseno de Fourier inversa
F−1c (F )(α) =
2
π
∫ ∞0
F (α) cosαx dx = f(x).
Para melhor classificar as transformadas, uma vez que vamos trabalhar com a aplicacao
desta em processamento digital de imagens, e necessario analisar se esta funcao e periodica ou
aperiodica e se o domınio da imagem e contınuo ou discreto. A combinacao destas duas carac-
terısticas gera quatro outras categorias da transformada, que serao descritas a seguir.
Aperiodica e contınua
Essa categoria inclui, por exemplo, exponenciais em decomposicao e a curva de Gauss.
Essas funcoes se estendem ao infinito tanto positivas como negativas, sem repetir em um padrao
periodico. A transformada de Fourier para este tipo de sinal e simplesmente chamado de Trans-
formada de Fourier.
Periodica e contınua
Aqui os exemplos sao: funcoes que descrevem ondas senoidais, ondas quadradas, e qualquer
forma de onda que se repete em um padrao regular de infinito negativo ao infinito positivo. Esta
versao da transformada de Fourier e chamada de Serie de Fourier.
Aperiodica e discreta
Estas funcoes sao definidas apenas em pontos discretos entre infinito positivo e negativo,
e nao se repetem de forma periodica. Este tipo de transformada de Fourier e chamada de Trans-
formada de Fourier de tempo discreto.
Periodica-Discreta
Estas sao funcoes discretas que se repetem de forma periodica de infinito negativo ao
infinito positivo. Esta classe de transformada de Fourier e as vezes chamada de Transformada
Discreta de Fourier.
Para uso em computadores, seja para aplicacoes cientıficas ou em processamento digital
de sinais e imagens e preciso ter valores discretos no domınio. Para que isso seja possıvel, existe a
chamada Transformada Discreta de Fourier. Vejamos como ela pode ser adaptada.
39
Considere uma sequencia periodica f(x) = {x0, x1, ..., xN−1}, com perıodo N , tal que
f(x) = f(x + kN) e F (u) = F (u + kN), onde k e um numero inteiro. Essa sequencia pode ser
representada, portanto, em termos de uma Serie Discreta de Fourier, da forma
f(x) =N−1∑u=0
F (u)exp[i2πux/N ],
F (u) =1
N
N−1∑x=0
f(x)exp[−i(2πux/N ],
sendo que x = 0, 1..., N − 1 (numero de amostras) e u = 0, 1..., N − 1 (variavel independente de
frequencia).
Em uma funcao bidimensional discreta, o par de transformadas (discretas) de Fourier
passa a ser
F (u, v) =1
MN
M−1∑u=0
N−1∑v=0
f(x, y)exp[−i2π
(uxM
+vy
N
)](3.8)
para u e v “discretizados”, em: u = (0, 1...,M − 1) e v = (0, 1..., N − 1), tem-se a transformada
inversa
f(x, y) =M−1∑u=0
N−1∑v=0
F (u, v)exp[i2π
(uxM
+vy
N
)](3.9)
para x e y assumindo valores discretos x = (0, 1...,M − 1) e y = (0, 1..., N − 1), onde ∆u = 1M∆x e
∆v = 1N∆y .
Essa e a forma mais usada da transformada de Fourier em aplicacoes como a que vamos
tratar que e na remocao de ruıdos em imagens digitais, uma vez que as imagens sao representadas
num domınio discreto. No entanto, sempre procura-se metodos mais rapidos que demandem menos
tempo e memoria do computador. Para isso usa-se a chamada FFT (Fast Fourier transform), que
nada mais e do que um algoritmo computacional otimizado que calcula a Transformada Discreta de
Fourier mais rapidamente, pois faz com que a complexidade caia de N2 para N log2N operacoes.
3.3 Propriedades Operacionais da Transformada de Fourier
Veremos agora as propriedades da transformada de Fourier para as operacoes de com-
binacao linear, translacao, diferenciacao, dilatacao e convolucao. Esta ultima propriedade e funda-
mental para a compreensao das tecnicas de processamento de imagens baseadas na transformada
de Fourier.
Propriedade 1 (Linearidade). Se f, g : R → C sao funcoes absolutamente integraveis e a, b ∈ R,
entao
F(af + bg) = aF(f) + bF(g).
40
F(af + bg)(w) =
∫ ∞−∞
(af(t) + bg(t))e−iwtdt
=
∫ ∞−∞
af(t)e−iwt + bg(t)e−iwtdt
=
∫ ∞−∞
af(t)e−iwtdt+
∫ ∞−∞
bg(t)e−iwtdt
= a
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtdt+ b
∫ ∞−∞
g(t)e−iwtdt
= aF(f)(w) + bF(g)(w).
�
Propriedade 2 (Transformada de Fourier de Derivadas). Se f : R→ C e uma funcao diferenciavel
e absolutamente integravel tal que f ′ tambem e uma funcao absolutamente integravel, entao
F(f ′(x))(w) = iwF(f(x))(w).
Integrando por partes temos
F(f ′)(w) =
∫ ∞−∞
f ′(t)e−iwtdt
= f(t)e−iwt∣∣∞−∞ −
(−iw
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtdt
)= iw
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtdt = iwF(f)(w).
�
Propriedade 3 (Derivadas de Transformadas de Fourier). Se f : R → C e uma funcao absoluta-
mente integravel tal que xf(x) tambem e uma funcao absolutamente integravel, entao
iF(f(x))′(w) = F(xf(x))(w).
F(f)′(w) =d
dw
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞−∞
d
dwf(t)e−iwtdt = −i
∫ ∞−∞
tf(t)e−iwtdt
= −iF(tf(t))(w).
Multiplicando a igualdade
F(f)′(w) = −iF(tf(t))(w)
por i, obtemos
iF(f)′(w) = F(tf(t))(w).
41
�
Propriedade 4 (Transformada de Fourier de uma Translacao). Se f : R → C e uma funcao
absolutamente integravel e g : R→ C e tal que g(x) = f(x− a), entao
F((g))(w) = e−iwaF((f))(w).
Mudando as variaveis, temos
F((g))(w) =
∫ ∞−∞
f(t− a)e−iwtdt
=
∫ ∞−∞
f(t)e−iw(t+a)dt
=
∫ ∞−∞
f(t)e−iwte−iwadt
= e−iwa∫ ∞−∞
f(t)e−iwtdt = e−iwaF(f)(w).
�
Propriedade 5 (Transformada de Fourier de uma Dilatacao). Se f : R → C e uma funcao
absolutamente integravel e a 6= 0, entao
F(f(ax))(w) =1
|a|F(f)
(wa
).
Mudando as variaveis.
Se a > 0, temos
F(f)(w) =
∫ ∞−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ ∞−∞
1
af(t)e−iw
tadt
=1
a
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtadt
=1
|a|F(f)
(wa
).
Se a < 0, temos
F(f(at))(w) =
∫ ∞−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ −∞∞
1
af(t)e−iw
tadt
=1
−a
∫ ∞−∞
f(t)e−iwtadt
=1
|a|F(f)
(wa
).
�
42
O produto de convolucao, ou simplesmente a convolucao de duas funcoes absolutamente
integraveis f, g e definida como sendo a funcao
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞−∞
f(x− t)g(t)dt. (3.10)
Neste caso e garantido que a funcao esta bem definida, ou seja, a integral impropria que a define
converge para todo x, isso pode ser visto em [3,Iorio]. A transformada de Fourier se comporta bem
em relacao a convolucoes, ela transforma convolucao de funcoes em produto de funcoes:
Propriedade 6 (Transformada de Fourier de uma Convolucao). . Se f, g : R → C sao funcoes
absolutamente integraveis, entao
F(f ∗ g) = F(f)F(g).
Dem. Mudando a ordem de integracao, usando a definicao de convolucao em (4.1) e a propriedade
4, temos
F(f ∗ g)(w) =
∫ ∞−∞
(f ∗ g)(t)e−iwt dt
=
∫ ∞−∞
[∫ ∞−∞
f(t− s)g(s) ds
]e−iwt dt
=
∫ ∞−∞
[∫ ∞−∞
f(t− s)e−iwtdt]g(s) ds
=
∫ ∞−∞
[e−iwsF(f)(w)]g(s) ds
= F(f)(w)
∫ ∞−∞
g(s)e−iws ds = F(f)(w)F(g)(w).
�
43
Capıtulo 4
Aplicacao da FFT na remocao de
ruıdo em imagem
Neste capıtulo a utilizacao da Transformada Rapida de Fourier (FFT) no processamento
digital de imagens, em particular na remocao de ruıdo em imagem. Mas antes sera apresentado
um pouco sobre processamento de imagem.
4.1 Processamento de Imagem
4.1.1 A imagem digital
A palavra imagem tem origem no termo do latim imago, que significa representacao visual
de um objeto. As imagens tem diferentes origens, pois podem ser captadas por comprimento de
onda de radiacao eletromagnetica (maquinas fotograficas) ou por ondas sonoras de alta frequencia,
como por exemplo, o ultra-som.
Os computadores digitais trabalham com o sistema binario e os dıgitos 0 ou 1 na com-
putacao sao chamados de bit, do ingles Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um
byte (Binary Term). Esses conceitos sao necessarios para entendermos como e possıvel trabalhar
com a imagem, em se tratando de efeitos, texturas e tambem da aplicacao da transformada de
Fourier a qual veremos mais a frente.
Para que um computador possa fazer a “leitura” da imagem digital, ocorre o processo
dito digitalizacao da imagem que e a conversao dessa imagem de contınua (real) para uma repre-
sentacao discreta (digital). Desta forma a imagem pode ter uso computacional, podendo depois ser
armazenada na forma de arquivos. Vejamos como se sucedem as etapas para este processamento.
Etapas do processamento da imagem
• discretizacao - processo de conversao da imagem na forma contınua em uma representacao
discreta. Caso a representacao seja em numeros inteiros positivos e em uma base numerica,
44
o processo chama-se digitalizacao;
• reconstrucao - processo inverso da discretizacao, no qual se obtem, geralmente, apenas
uma aproximacao da imagem contınua, nao sendo, na maioria das vezes, possıvel recuperar
a imagem original;
• codificacao - e a modificacao de caracterısticas de um sinal de forma a torna-lo mais apropri-
ado para uma aplicacao especıfica, como, por exemplo, para transmissao ou armazenamento
de dados. E o processo que na maioria das vezes, a partir da representacao discreta da im-
agem, gera um conjunto de dados representativos da imagem, dados estes que podem ser
transformados no formato de arquivos, facilitando a transmissao e armazenamento.
• decodificacao - e o processo oposto a codificacao, as informacoes codificadas sao acessadas
na forma de uma representacao discreta. Quando a imagem discretizada e igual a codificada,
diz-se que o processo de codificacao/decodificacao e sem perda.([1, AZEVEDO])
4.1.2 Amostragem e Quantificacao
Como mencionado anteriormente, uma imagem para ser processada pelo computador deve
estar na sua representacao discreta, ou seja, precisa ser descrita por um numero finito de pontos
e ser representada por um numero finito de tons ou cores. Cada um desses pontos e chamado de
pixel e cada pixel de uma imagem e representado no computador como um conjunto de numeros
inteiros que correspondem a intensidade de luz e de cor no ponto.
A cor de cada pixel e representada como um inteiro de 8 bits, ou seja 1 byte, variando
de 0 e 255. Essa variacao e pelo fato de que se cada pixel tem 8 bits, e como os bits sao numeros
binarios, entao para representar cada tom de cinza, e possıvel 28 tons diferentes. Se a imagem fosse
de 4 bits, os tons de cinza possıveis seriam 24, ou seja, 16 tons diferentes de cinza, variando de 0
a 15. O 0 corresponde a cor preta e 255 a cor branca, e entre esse intervalo ha as tonalidades de
cinza.
A imagem digital modo de 24 bits representa a cor verdadeira. O formato JPEG, ou misto
Photographic Experts Group, por exemplo, tem uma escala de cinza de 8 bits e uma escala de cores
de 24 bits.
A taxa de amostragem descreve o numero de pixels utilizados para se representar uma
faixa na imagem enquanto a quantizacao define o numero de bits utilizados para se representar um
pixel.
Um pixel pode ser referido pela localizacao na imagem, especificando a linha e a coluna na
matriz de imagem ou pelo valor do tom. Veja no exemplo da figura abaixo, que mostra os valores
de pixels da regiao 5x5 indicada.
45
Figura 4.1: Representacao matricial de uma regiao da imagem.
Fonte: [1, AZEVEDO]
Uma imagem digital e descrita por uma matriz bidimensional de N×M de valores de pixel
(p(x, y)) inteiros positivos, que indicam a intensidade de cor em cada posicao (x, y) da imagem.
Quanto maiores os valores de N e M usados para se representar a mesma imagem melhor sera
esta aproximacao. Para gerar essa imagem digital, p(x, y) deve ser digitalizada ao longo de x e y,
e na intensidade tonal z = p(x, y). Para tanto, e feita uma amostragem (normalmente uniforme)
de p(x, y) nas direcoes x e y, gerando uma matriz A de ordem N ×M amostras, seguida de uma
quantizacao do valor de p(x, y) em L nıveis inteiros de cinza. Quanto maior o valor de N,M e
L, mais nıtida e proxima a uma imagem contınua a imagem digital se torna, consequentemente,
requer maior espaco para sua armazenagem.
4.1.3 Histograma de Imagem Digital
Vimos que as imagens possuem diferentes tons de cinza na sua composicao, os quais estao
representados por numeros inteiros de 0 a 255. O histograma de uma imagem e um conjunto de
numeros indicando o percentual de pixels naquela imagem.
Visualizando o histograma de uma imagem podemos analisar se ha qualidade nessa imagem
quanto ao nıvel de contraste e quanto a luminosidade media, ou seja, se e clara ou escura. Os passos
para a construcao de um histograma sao
• analise do tom de cada pixel;
• contagem do numero de pixels de cada valor de intensidade;
• representacao desses valores na forma de uma tabela ou grafico da frequencia correspondente
a cada tom de cinza;
• normalizacao desses valores dividindo-os pelo numero total de pixels da imagem, obtendo-se
uma ideia da frequencia de cada tom.
Para exemplificar, considere uma imagem de 10 × 10 pixels representada na Tabela 4.1
por seus tons de cinza (quantizados em 16 tons de cinza).
46
Tabela 4.1: Exemplo de tons da imagem.
0 0 4 5 5 5 5 4 0 0
0 4 6 6 6 6 6 6 4 0
4 8 8 15 5 5 15 8 6 4
5 8 8 10 10 10 10 8 8 5
5 8 8 10 15 15 10 8 8 5
5 8 8 10 15 15 10 8 8 5
5 8 8 10 10 10 10 8 8 5
4 8 8 15 5 5 15 8 6 4
0 4 6 6 6 6 6 6 4 0
0 0 4 5 5 5 5 4 0 0
Seguindo os 4 passos descritos, temos o histograma representado pela tabela 4.1 que e
mostrado no grafico da Figura 4.2.
Figura 4.2: Histograma da Imagem da Tabela 4.1.
Fonte: [1, AZEVEDO]
Se a imagem estiver representada em 4 bits por pixel, sua variacao estara abrangendo a
gama de tons possıveis entre 0 e 15. Porem se for de 8 bits por pixel, estara concentrada nos tons
escuros e sera uma imagem com pouco contraste.
4.1.4 Operacoes em Imagens
Depois de entendermos como uma imagem e formada, podemos falar entao das operacoes
possıveis nessa imagem. Existem basicamente tres classes distintas de operacoes em imagens:
aquelas que sao realizadas pontualmente nos pixels, as que sao feitas em partes da imagem e
aquelas realizadas em toda a imagem. Dessas podemos dividir as operacoes como: pontuais, locais
e globais. E trataremos aqui da ultima operacao, que e a operacao global, pois nela que se utiliza
a transformada de Fourier.
As operacoes pontuais sao operacoes em que um pixel na posicao (xi, yi) da imagem
resultante, depende apenas do pixel, na imagem original, que se encontra nas mesmas coordenadas.
47
As operacoes locais sao operacoes em que um pixel da imagem resultante depende de
uma vizinhanca do mesmo pixel na imagem original.
As operacoes globais sao operacoes em que um pixel da imagem resultante depende de
um processamento realizado em todos os pixels da imagem original. Nesse grupo de operacoes estao
as que mudam o domınio de descricao, tais como as transformadas de Fourier, Wavelet, Hough,
co-senos (usada para codificacao) e por funcoes interativa ou fractal. A transformada de Fourier
e base fundamental para toda teoria de processamento de sinais e com ela e possıvel realizar uma
serie de operacoes muito importantes com imagens, como a definicao de filtros, identificar textura,
remover ruıdos etc.
4.2 Aplicacao da FFT na remocao de ruıdo em imagem
Veremos nessa sessao como a transformada Rapida de Fourier atua na remocao de ruıdos
de uma imagem digital. Na secao anterior vimos um pouco sobre imagem digital, para que fosse
possıvel a compreensao dessa aplicacao da FFT em imagens digitais.
Algumas propriedades da transformada de Fourier foram vistas, e a convolucao foi posta
em destaque, pois nesta aplicacao esta propriedade sera fundamental.
A convolucao de uma imagem digital f(x, y) com uma outra imagem h(x, y) gera uma
terceira imagem g(x, y), estando os valores de x no intervalo [0,M − 1] e y no intervalo [0, N − 1],
sendo M e N a quantidade de linhas e colunas dessas imagens. O operador ∗ indica a convolucao,
sendo assim, podemos escrever as equacoes
g(x, y) = f(x, y) ∗ h(x, y)
g(x, y) =1
MN
M−1∑m=0
N−1∑n=0
f(m,n)h(x−m, y − n). (4.1)
(Obs.: o sinal negativo em −m e −n significa que a funcao e espelhada sobre a origem,
no processo de calculo da convolucao.)
A equacao (4.1) pode ser interpretada da seguinte forma:
• a funcao h(x, y) e espelhada sobre a origem;
• a funcao h(x, y) e deslocada em relacao a funcao f(x, y) pelo incremento dos valores de (m,n);
• a soma dos produtos e calculada sobre todos os valores de m e n, para cada deslocamento. Os
deslocamentos (m,n) sao incrementos inteiros que param quando as funcoes nao se sobrepoem
mais.
Relembrando do capıtulo 3 as equacoes (3.8) e (3.9)
F (u, v) =1
MN
M−1∑u=0
N−1∑v=0
f(x, y)exp[−i2π
(uxM
+vy
N
)]48
f(x, y) =M−1∑u=0
N−1∑v=0
F (u, v)exp[i2π
(uxM
+vy
N
)].
Da convolucao das imagens digitais f(x, y) e h(x, y), como F (u, v) e H(u, v) sao as trans-
formadas dessas imagens, respectivamente, da propriedade 6 de convolucao, vista no capıtulo 3
temos que f(x, y)∗h(x, y) e F (u, v)H(u, v) constinuem um par de transformadas de Fourier. Sendo
assim, obtem-se as seguintes relacoes no domınio da frequencia
f(x, y) ∗ h(x, y)⇔ F (u, v)H(u, v)
f(x, y)h(x, y)⇔ F (u, v) ∗H(u, v).
Essas relacoes indicam que a convolucao pode ser obtida pela transformada de Fourier
do produto F (u, v)H(u, v). Portanto, a convolucao entre duas funcoes no domınio espacial tem
como transformada a multiplicacao das transformadas das duas funcoes no domınio da frequencia,
e vice-versa.
O processamento da imagem nesta aplicacao e realizado no chamado domınio de Fourier,
primeiro a imagem I(x, y) e transformada para o domınio de Fourier, atraves da sua transformada
discreta, utilizando-se o algoritmo FFT. A imagem no domınio de Fourier e representada por F (u, v)
e e convoluıda com o filtro H(u, v). Ao produto F (u, v)H(u, v) e aplicada a inversa da transformada
de Fourier para retornar ao domınio espacial, onde se tem a imagem processada I ′(x, y). A figura
abaixo ilustra a filtragem no domınio de Fourier.
Figura 4.3: Esquema ilustrando os passos da filtragem do domınio de Fourier.
Fonte: [1, AZEVEDO]
Quando aplica-se a transformada de Fourier em uma imagem com algum tipo de ruıdo,
esse ruıdo fica indicado no espectro de Fourier em forma de pontos ou sinais distantes do centro.
Veja a imagem abaixo e o espectro de Fourier dessa imagem. E possıvel observar que ha pontos
nao centralizados que representam o ruıdo da imagem, neste caso a digital da imagem e o ruıdo em
questao.
49
Figura 4.4: Imagem e seu Espectro de Fourier.
Fonte: [1, AZEVEDO]
A imagem que segue esta cobrindo os pontos discrepantes, ou seja, o “ruıdo” da imagem.
Figura 4.5: Resultado da filtragem utilizando filtro circular nao centrado na origem
Fonte: [1, AZEVEDO]
E importante compreender a representacao da imagem do espectro de Fourier pois fica mais
simples e intuitivo para determinar um filtro apropriado para ser aplicado a imagem. Atraves das
informacoes geradas pela imagem do espectro de Fourier pode-se diminuir (eliminar) os coeficientes
dos componentes de determinadas frequencias.
Outra informacao importante que e possıvel obter do espectro de Fourier e a informacao da
energia da imagem (image power). Praticamente em todas as imagens e observado que a energia, a
partir do seu centro no espectro de Fourier, esta concentrada nos componentes de baixas frequencias.
A ideia de energia ajuda a entender os tipos de filtros e como utiliza-los na remocao de
ruıdos de uma imagem. As filtragens mais simples utilizadas sao as realizadas atraves de: filtros
passa-faixa ou filtros passa-banda, que removem regioes selecionadas de frequencias entre altas e
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baixas frequencias; os filtros passa-baixa, quando a faixa esta proxima a origem e os filtros passa-alta,
quando a faixa esta afastada da origem. A Figura 4.6 exemplifica esses tres tipos de filtro.
Figura 4.6: (a) filtros passa-baixa, (b) filtros passa-alta e (c) filtros passa-banda
Fonte: [1, AZEVEDO]
As imagens de fundo da figura acima, F (u, v), sao as transformadas de Fourier de uma
imagem a ser filtrada.
4.3 Filtragem Passa-Baixa
A maior energia de uma imagem esta, quase sempre, concentrada nos componentes de
baixa frequencia. Os componentes de alta frequencia sao os detalhes da imagem, como por exemplo,
bordas, lados e outras transicoes abruptas de nıvel de cinza. Sendo assim, utilizando o filtro passa-
baixa a imagem fica menos nıtida, ou suavizada, pois ocorre uma perda dos detalhes.
Nas figuras abaixo sao apresentadas duas imagens de uma rosa com seus respectivos espec-
tros de Fourier. A primeira imagem e de boa qualidade, e nao possui ruıdo, a segunda foi degradada
por um ruıdo do tipo “sal e piment”, que geralmente e gerado por equipamento eletronico, atraves
da transmissao de imagem, e aparece como pequenos pontos pretos em regioes bancas e pontos
brancos em regioes mais escuras.
Observando os espectros de Fourier de cada uma das imagens, e possıvel perceber a pre-
senca dos ruıdos representado pelas altas frequencias na imagem, ou seja, as informacoes que estao
mais afastadas da origem. Esse e um exemplo em que a utilizacao de um filtro passa-baixa melhora
a qualidade da imagem. As baixas frequencias sao mantidas e as altas frequencias (fora do cırculo
de raio r) presentes na transformada da imagem F (u, v) serao removidas, conforme e mostrado na
Figura 4.7.
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(a) Imagem sem ruıdo (b) FFT da imagem
(c) imagem com ruıdo (d) FFT da imagem
Figura 4.7: Comparacao do espectro de Fourier de imagens de impressao digital sem ruıdo (a e b)
e com ruıdo (c e d)
Portanto para√u2 + v2 > r teremos F (u, v) = 0. Dessa forma, podemos especificar um
filtro H(u, v) do seguinte modo:
H(u, v) = H(u, v) se u2 + v2 < r2
H(u, v) = 0 se u2 + v2 ≥ r2
Esse filtro chama-se passa-baixa ideal, pois todas as frequencias dentro do cırculo de raio
r sao mantidas sem modificacoes e todas fora do cırculo sao retiradas completamente. O ponto de
transicao entre H(u, v) = H(u, v) e H(u, v) = 0, r, e chamado de frequencia de corte.
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(a) FFT da imagem com filtro (b) imagem filtrada
Figura 4.8: Resultado da filtragem passa-baixa.
4.4 Filtragem Passa-Alta
A filtragem passa-alta em frequencia, pode ser entendida como uma operacao contraria a
filtragem passa-baixa. Na filtragem passa-alta, os componentes de alta frequencia da transformada
de Fourier nao sao alterados, enquanto os de baixa frequencia sao removidos. Ou seja, os detalhes
da imagem ficam mais enfatizados.
Neste caso, as baixas frequencias sao removidas, e as altas frequencias fora do cırculo de
raio r presentes na transformada da imagem F (u, v), serao mantidas. Veja na Figura 4.9 como fica.
Sendo assim, se√u2 + v2 < r teremos F (u, v) = 0. Dessa forma, podemos especificar um
filtro H(u, v) do seguinte modo
H(u, v) = H(u, v) se u2 + v2 ≥ r2
H(u, v) = 0 se u2 + v2 < r2.
Esse filtro e chamado de filtro passa-alta ideal, pois todas as frequencias fora do cırculo
de raio r sao mantidas sem alteracoes, e todas as frequencias dentro do cırculo sao retiradas com-
pletamente.
(a) Imagem original (b) FFT com filtro (c) Imagem filtrada
Figura 4.9: Resultado da filtragem passa-alta.
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4.5 Outros Filtros no Domınio de Frequencia
Alem dos filtros passa-baixa e passa-alta, existem outros que podem ser aplicados as
imagens no domınio de Fourier. O objetivo esta direcionado em remover ruıdos de imagem.
Na filtragem por valor de corte, um determinado valor percentual e informado e os co-
eficientes cuja intensidade de |F (u, v)| encontra-se abaixo desse valor sao zerados, ou seja, sao
retirados da imagem.
Apresentaremos exemplos para alguns tipos de filtros. O primeiro e o filtro de “fan”
(setor angular) adequado para ser aplicado a imagens com frequencias distribuıdas ao longo de
uma direcao inclinada. Este filtro e bastante utilizado em imagens com ruıdos com uma frequencia
periodica, observe na figura abaixo um exemplo disso.
(a) Imagem com ruıdo diagonal (b) FFT da imagem com ruıdo
(c) Imagem filtrada (d) FFT com filtro setor angular
Figura 4.10: Resultado da filtragem utilizando filtro setor angular.
E possıvel observar que o ruıdo na Figura 4.10 ficou representado no espectro de Fourier
como pontos brancos diagonalizados e ao serem retirados utilizando o filtro de “fan” a imagem
resultante dessa filtragem esta livre dos ruıdos. Para realizar essa aplicacao, o software “ImageJ”
foi utilizado. Este software pode ser encontrado em http://rsbweb.nih.gov/ij/.
Outro filtro utilizado na remocao de ruıdos e do tipo retangular horizontal. Este filtro
isola frequencias verticais. A Figura 4.11 exemplifica um caso em que o ruıdo da imagem gera
54
um espectro com frequencias verticais. Para remocao desse ruıdo utilizamos o filtro retangular
horizontal como podemos observar bem claramente no exemplo abaixo.
(a) Imagem com ruıdo horizontal (b) FFT da imagem com ruıdo
(c) Imagem filtrada (d) FFT com filtro retangular horizontal
Figura 4.11: Resultado da filtragem utilizando filtro retangular horizontal.
O filtro retangular vertical isola frequencias horizontais e pode ser observado na Figura
4.12 que segue.
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(a) Imagem com ruıdo vertical (b) FFT da imagem com ruıdo
(c) Imagem filtrada (d) FFT com filtro retangular vertical
Figura 4.12: Resultado da filtragem utilizando filtro retangular vertical.
E finalmente temos o filtro chamado de “circular nao centrado na origem”, que ja apareceu
na figura 4.5 que e utilizado quando se deseja eliminar as frequencias que se manifestam atraves de
pontos claros no domınio da frequencia. Vejamos o exemplo.
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(a) Imagem com ruıdo transversal (b) FFT da imagem com ruıdo
(c) Imagem corrigida (d) FFT com filtro nao centrado na
origem
Figura 4.13: Resultado da filtragem circular nao centrado na origem.
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Referencias Bibliograficas
[1] AZEVEDO, Eduardo.; CONCI, Aura.; LETA, Fabiana R. Computacao Grafica. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2008. v. 2, 407p.
[2] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Analise de Fourier e equacoes diferenciais parciais. Rio
de Janeiro: IMPA, Projeto Euclides. 1977.
[3] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de calculo. 5 ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2002. v. 4,
635p.
[4] IORIO, Valeria. EDP, um Curso de Graduacao. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2001. 246p.
[5] IORIO, Valeria. Equacoes Diferenciais Parciais: uma In-
troducao. Sao Paulo, v.n.3 p. 92-111, junho de 1986 Disponıvel em:
http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/Conteudo/n03/n03 Artigo07.pdf Acesso em:
23 out. 2011.
[6] SMITH, Steven W. The scientist and engineer’s guide to digital signal processing. 2 ed. San
Diego, CA: ISBN, 1999.
[7] ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equacoes diferenciais. trad: Alfredo Alves de Farias.
3ed. Sao Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001. v. 2, 434p.
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