TRELIÇAS 1

1

TRELIÇAS São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.

Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.

Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.

Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.

Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.

Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N.

1º Condição de Treliça Isostática:

2 . n = b + � Sendo

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário

+ -

3º Métodos dos Nós

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.

Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.

Calma, nos exercicios verá que é fácil.

� n = nº de nós � b = quantidade de barras � � = nº de reações (Verticais e

2

Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO

- COMPRESSÃO

Treliça Esquemática

3

Exercícios

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

1º Passo Condição de Isostática

2.n = b+ν

2.6 = 9+3

12 = 12 OK

2º Passo Reações de Apoio

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)

HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0

VA+VE = 200 KN VA = 400÷4

100+VE = 200 KN VA = 100 KN

VE = 200-100

VE = 100 KN

3º Passo Método dos Nós

Decomposição das forças

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

NAB

VA

NAF

NAB

VA

NAF

4

ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAB = 0 NAF = 0

100+NAB = 0

NAB = -100 KN

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0

-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0

-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN

NBF = 70,7 KN

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0

NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0

NCD = - 50 KN

Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0

-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0

NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN

50

NBA

NBC

NBF

NBF NBA NBF

50

NBC

10

NCF

NC NCNCB

NCF

10

NCB

NFD

NFE NFE NFA NFA

NFC NFB

NFB NFC NFD

NFB NFD

5

NDF

NFD = 70,7 KN

Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NED+100 = 0 0-HE = 0

NED = -100 KN HE = 0 KN

Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0

-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0

-50-50+100 = 0 50-50 = 0

0 = 0 0 = 0

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (KN) ESFORÇO

NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NBC -50 COMPRESSÃO NDC -50 COMPRESSÃO NBF 70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO

VE

HE HE NEF

VE

NEF

NED NED

ND

50 50

NDND NDE

NDE

ND

6

NCF -100 COMPRESSÃO



2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0

60+HB = 40 -HA.2+120 = 0

HB = 40-60 HA = 120÷2

HB = -20 KN HA = 60 KN



7


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0

20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0

NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57°

NBC = 22,36 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0

10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0

NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0

NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEC = 0 -NEA+NED = 0

-(-40)+NED = 0

NED = -40 KN


VB

NBA

NBC

NBA

NBC HB

VB

NBC

HB

NAB

NA

NAE HA

NAB

NAHA NAE

NA

NEC

NEA

NEC

NED NEA NED

NCB

NC

NC

40

NC40

NCB

NC

NCB

8

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0

22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0

10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-20+20+40 = 0

NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0

NCD = 44,7 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0

-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0

-20+20 = 0 -40+40 = 0

0 = 0 0 = 0


NAB 10 TRAÇÃO NBC 22,36 TRAÇÃO NAC -22,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 44,7 TRAÇÃO

NCE NC NCE NC

20

NDE

ND ND

ND

NDE

20

9



2.n = b+ν

2.8 = 13+3

16 = 16 OK


10


HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0

VA = 6-3 VB = 48÷16

VA = 3 t VB = 3 t



Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0

N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0

N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t

N13 = -5 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N23 = 0 -N21+N24 = 0

-4+N24 = 0

N24 = 4 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

N13

VA

N12

VA

N12 HA

N13

HA

N13

N23

N24 N21

N23

N21 N24

N32

N34

N34

N31

N35

N31

N35

2 N35

2

N31 N32 N34

11

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0

(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4

N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°

N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5

”2”

Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”

“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5

“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5

2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67

N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t

N34 = -1,67 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0

+

N54

N57 N53

N53 N57

2 2

N53 N54 N57

12

N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87°

N57 = -3,33 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0

+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0

-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0

N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t

N47 = 1,67 t

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme

tabela.

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO

N13 = N87 -5 COMPRESSÃO N12 = N86 4 TRAÇÃO

N47

N46 N42

N45 N43

N43 N45 N47

N42

N43

N46

N47

13

N24 = N64 4 TRAÇÃO N23 = N67 0 - N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO

N54 2 TRAÇÃO


14


2.n = b+ν

2.7 = 11+3

14 = 14 OK



HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0

HA = -HB HA = 24÷3

HB = -8 t HA = 8 t




ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0

6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0

-N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57°

N51 = 2 t N56 = 8,94 t

VB

N56

HB

VB

HB N56

N51 N51 N56

15


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0

2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0

N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0

N16 = -2,83 t N12 = - 6 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0

-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0

-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0

N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57°

N67 = 6,7 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0

1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0

N15

N16

HA HA N12

N15 N16

N16

N12

N62

N67 N61

N65

N67

2 2

N61 N62 N67

N65

N65

N61

N26

N27

N21 N21 N23

N26 N27

N27

N23

16

N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0

N27 = -2,23 t N23 = -4 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N37 = 0 -N32+N34 = 0

-(-4)+N34 = 0

N34 = -4 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0

-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0

-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0

N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0

N74 = 4,47 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N37

N32 N32 N34

N37

N34

N73

N74 N72

N76

N74

2 2

N72 N73 N74

N76

N76

N72

N43

N47

2 2 N47

N47

N43

17

-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 0

-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0

-2+2 = 0 +4-4 = 0

0 = 0 0 = 0

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO

N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO

18



2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0

VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4

VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN

VA = 12,5 KN

19



ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0

12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0

NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN

NAC = -15,63 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0

-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0

-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0

NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN

NCE = 3,13 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0

VA

NA

HA HA NAE

NA

NA

NAE

VA

NCE NC

NC

10 10

NC NCE

NCNC

NCE

NED

NEB NEA

NEC

NEA

NEC

NEB

NED

NEC NED

20

3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0

NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0

NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0

-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0

-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0

NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0

NDB = -21,88 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0

17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0

0 = 0 0 = 0


NDB NDE

20 20

NDE NDB

NDND

NDB NDE

VB

NBE

NBD NBD

NBD

NBE

VB

21

NAC -15,63 COMPRESSÃO NAE 9,38 TRAÇÃO NCE 3,13 TRAÇÃO NCD -11,26 COMPRESSÃO NED -3,13 COMPRESSÃO NEB 13,14 TRAÇÃO NDB -21,88 COMPRESSÃO



22

2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0

HB = -HA HB = 360÷0,9

HA = - 400 KN HB = 400 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

NBA = 0 HB+NBD = 0

400+NBD = 0

NBD = -400 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0

225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0

NAB

NA

HA HA NA

VA

NA

NA

NAB

NBA

HB HB NBD

NBA

NBD

VA

NA

23

NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN

NAC = 375 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0

375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0

NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0

NDE = -100 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0

-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0

-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0

NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0

NCE = 125 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

ND

NDE NDB

ND

NDB

ND

NDE

ND ND

NCE

NC

15 15

NC NCE

NCNC

NCE

NED

NEC

75 75 NEC

NEC

NED

24

-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0

-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0

-75+75 = 0 -100+100 = 0

0 = 0 0 = 0


NBA 0 - NBD -400 COMPRESSÃO NAD 375 TRAÇÃO NAC 100 TRAÇÃO NDC -225 COMPRESSÃO NDE -100 COMPRESSÃO NCE 125 TRAÇÃO


25


2.n = b+ν

2.8 = 13+3

16 = 16 OK



HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0

4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0

VE = 8-4 VA = 16a÷4a

VE = 4 KN VA = 4 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0

4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0

NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN

NAB = -8 KN

VA

NAB

NAF

NAB

NAB

NAF

VA

26


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0

NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0

NFG = 6,9 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9

(NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9

NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30°

NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8

”2”


4

NFA NFA NFG

NFB

NFG

4

NFB

NBF

NB

NB

NBA

NBC

NBA

NBC

NBC

NBA NBF NB

27

“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0

“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0

2NBC = -8 NBG = -4 KN

NBC = -8÷2

NBC = -4 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0

-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0

2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0

NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30°

NCD = -4 KN

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0

-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0

NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0

NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN

+

NC

NCNCB

NCB NC

NCB NC NC

NG

NGNGF

NGNG

NG NG NG

NGF

NG

NG

NG

28

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.


NAB = NED -8 COMPRESSÃO NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO NFB = NHD 4 TRAÇÃO NBC = NDC -4 COMPRESSÃO NBG = NDG -4 COMPRESSÃO

NCG 4 TRAÇÃO

29



2.n = b+ν

2.10 = 17+3

20 = 20 OK



HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-400.2a-400.1a = 0

30

1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a

VJ = 2000-1000 VF = 1000 N

VJ = 1000 N



ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NAF = 0 NAB = 0

NAF = -400 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0

NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -848,5.cos45°+NFG = 0

NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N

NFB = -848,5 N

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB = 0 -NGF+NGH = 0

-600+NGH = 0

NAF

40

NAB

40

NAB

NAF

NFA

NFB

NFG

NFA NFB

NFB

NFG

VF VF

NGNGF

NG NG

NGF NG

31

NGH = 600 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0

-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-848,5).cos45°+282,8.cos45°=0

-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0

NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N

NBH = 282,8 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0

NCH = -400 N -(-800)+NCD=0

NCD = -800 N

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (N) ESFORÇO

NAB = NED 0 -

NBA

NBH

NBF

NBC

NBF NBC

40

NBNBH

NBF NB NBH

NBA

40

NCB NCNCB NC

40

NC NB

40

32

NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO NFG = NJI 600 TRAÇÃO NGB = NID 0 - NGH = NIH 600 TRAÇÃO NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO NBC = NDC -800 COMPRESSÃO

NCH -400 COMPRESSÃO


33


2.n = b+ν

2.6 = 8+4

12 = 12 OK



HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0

HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0

VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6

VE = 20,25 KN

Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada.

Os cálculos mostrarão essa teoria.

34



ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAC = 0 -9+NAB = 0

NAB = 9 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0

-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0

-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0

NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°

NBC = -11,25 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -9+NCB.cos36,87°+NCD = 0

0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-11,25).cos36,87°+NCD = 0

NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0

NCD = 18 KN

NA

9 NAB NAB

NA

9

NBA

NBC NBC

NBD NBC NBD

NBA

NC

NCB

NC

NC NCB

NCB

NC

NCE NCE

9 9

35


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0

6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0

6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°

NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0

20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-22,5).cos36,87° = 0

20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok

0 = 0


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFD-VF = 0 -HF = 0

20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok

ND

NDE

NDE

NDB

NDF NDE NDF

ND

NDB

NEC

NED

NEC NED

NED

VE VE

HE H

HE confirmada

NFD NFD

HF

VF VF

HF

36

0 = 0


NAB 9 TRAÇÃO NAC 0 - NCE -6,75 COMPRESSÃO NCD 18 TRAÇÃO NBD 6,75 TRAÇÃO NBC -11,25 COMPRESSÃO NDF 20,25 TRAÇÃO NDE -22,5 COMPRESSÃO

HF confirmada

37



2.n = b+ν

2.6 = 9+3

12 = 12 OK



HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0

HF = -HC HF = 720÷4,5

HC = -160 KN HF = 160 KN



NDA NDE

NDA

38

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDA-100 = 0 NDE = 0

NDA = 100 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0

NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0

(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62°

NAB-NAE = 100÷sen22,62°

NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0

”2”


“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0

“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0

2NAB = 260 NAE = -130 KN

NAB = 260÷2

NAB = 130 KN


10

NDE

10

NAB

NAE

NAB

NAB

NAE

NA NA NAE

+

NEB NEA

NEA NEB

NEF

NEA

39

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA.cos22,62° = 0

NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-130).cos22,62° = 0

NEB = 50 KN NEF = -120 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB.cos39,81° = 0

NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-NFB.cos39,81° = 0

NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81°

NFB = -52 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0

NEF NED NED

NFC NFB

HF

NFB NFC

HF NFE NFB

NFE

NBF

NBA

NBC NBC

NBC

NBE NBF

NBA NBE NBF

NBA

40

173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-52).cos39,81°=0

66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0

0=0 NBC = 160÷cos22,62°

NBC = 173 KN


ΣFV= 0 ΣFH = 0

VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0

100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0

100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0

0=0 0 = 0


NDA 100 TRAÇÃO NDE 0 - NAE -130 COMPRESSÃO NAB 130 TRAÇÃO NEB 50 TRAÇÃO NEF -120 COMPRESSÃO NFC 33,3 TRAÇÃO NFB -52 COMPRESSÃO NBC 173 TRAÇÃO

NCB

HC HC

VC

NCF NCB NCF

NCB

VC

41


42


2.n = b+ν

2.10 = 17+3

20 = 20 OK



HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0

VA+13,5 = 30 VB = 135÷10

VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN

VA = 16,5 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0

16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-23).cos45° = 0

N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN

N12 = -23 KN

N12

N13

N12

N12

N13

VA VA

HA HA

43


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N32 = 0 -N31+N32.cos71,57°+N34 = 0

-16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0

N34 = 16,3 kN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N42 = 0 -N43+N42.cos71,57°+N45 = 0

-16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0

N45 = 16,3 kN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0

-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-0+N26+2,29.cos45°+0=0

N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0

N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN

N32

N34

N32

N32

N34

N31 N31

N42

N45

N42

N32

N34 N43

N31

N25

N21

N26

N26

15

N23

N25

N21 N23 N24

N21

15

N24 N25

N24 N23

44


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0

N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0

N67 = -17,88 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-N54+N57.cos45°+N58 = 0

2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-16,3+18,9.cos45°+N58 = 0

N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0

N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN

N57 = 18,9 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N87 = 0 -N85+N87.cos71,57°+N89 = 0

15

N67

15

N67

N65 N65

N62 N62

N57

N58 N54

N56 N52 N52 N56 N57

N54

N52

N58

N57

N87

N89

N87

N87

N89

N85 N85

45

-4,5+0.cos.71,57°+N89 = 0

N89 = 4,5 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0

N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-4,5+N910 = 0

N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0

N97 = -14,23 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N107 = 0 -N107-N109 = 0

-0-N109 = 0

N109 = 0


N97

N910

N97

N910

N98

N97

VB VB

N98

N10N10

N10N10

N10

N71N76

N71N75

N76

46

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0

-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-14,23).cos71,57°+0=0

-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0

0 = 0 0 = 0


N12 -23 COMPRESSÃO N13 16,3 TRAÇÃO N34 16,3 TRAÇÃO N42 0 - N32 0 - N45 16,3 TRAÇÃO N52 2,29 TRAÇÃO N26 -17,88 COMPRESSÃO N67 -17,88 COMPRESSÃO N65 -15 COMPRESSÃO N58 4,5 TRAÇÃO N57 18,9 TRAÇÃO N87 0 - N89 4,5 TRAÇÃO N97 -14,23 COMPRESSÃO

N910 0 - N107 0 -

N78 N75 N78 N79 N75

N79 N71 N79 N78

47

Bibliografia

INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007

Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005

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