UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl/THESIS/1777/pemufrj2015... · Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro,

UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO

TURBULENTO DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS

Mateus Getirana Ramirez

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientadores: Daniel Onofre de Almeida Cruz

Paulo Couto

Rio de Janeiro

Setembro de 2015

UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO TURBULENTO

DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Paulo Couto, Dr.Eng.

________________________________________________

Prof. Fábio Antonio Tavares Ramos, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2015

iii

Ramirez, Mateus Getirana

Uma equação de atrito explícita para escoamento

turbulento de fluidos não newtonianos puramente

viscosos/ Mateus Getirana Ramirez. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2015.

XI, 106 p.: il.; 29,7 cm.


Paulo Couto

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 80-83.

1. Fator de atrito. 2. Fluido Não Newtoniano. 3. Equação

explícita. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

iv

Agradecimentos

Gostaria aqui de agradecer a todos que tornaram este trabalho possível de ser

realizado começando por meus pais, que sempre me incentivaram a buscar novos

conhecimentos e minha família por todo o apoio.

Também agradeço aos meus orientadores Daniel Onofre e Paulo Couto por todo

apoio neste trabalho e disponibilidade para ajudar em todas as eventualidades que foram

surgindo durante a pesquisa.

A todos o meus amigos, em especial ao Rodrigo que me acompanhou durante as

disciplinas do mestrado e nas várias horas de estudos além de uma ajuda na revisão

final.

A Daniel Muller e Luiz Guerra pela ajuda nos trabalhos durante as disciplinas

de mestrado.

Ao pessoal do laboratório, sempre disposto a ajudar, em especial ao Hamid

Anbarlooei ,por esclarecer dúvidas relativas à sua proposição, que é uma das bases deste

trabalho juntamente da Cecilia Mageski Madeira Santos que forneceu dados importantes

para formulação da equação com rugosidade e ao Wiliam Godoy por ajudar na

formatação final deste trabalho.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO TURBULENTO

DE FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS PURAMENTE VISCOSOS


Setembro/2015


Paulo Couto

Programa: Engenharia Mecânica

Caracterizar o comportamento dos fluidos continua sendo um grande desafio

para a engenharia, devido a grande complexidade dos fenômenos que ocorrem durante o

seu deslocamento. Apesar de existirem modelos precisos e práticos para caracterizar as

propriedades do escoamento de fluidos Newtonianos o mesmo não acontece para os

fluidos Não Newtonianos. Neste trabalho serão propostas novas equações explícitas

para calcular o fator de atrito em dutos cilíndricos e no anular, com base em princípios

físicos teóricos. Estas equações, diferindo-se da grande quantidade de modelos

empíricos hoje existentes, poderão ser utilizadas como ferramenta prática para estimar,

rapidamente, um fator fundamental para operações envolvendo fluidos Não

Newtonianos, cada vez mais utilizados.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

AN EXPLICIT EQUATION OF FRICTION FACTOR FOR TURBULENT FLOW OF

NON NEWTONIAN FLUIDS PURELY VISCOUS


September/2015

Advisors: Daniel Onofre de Almeida Cruz

Paulo Couto

Department: Mechanics Engineering

Characterizing the behavior of fluids remains a major engineering challenge due

to the great complexity of the phenomena that occur during their displacement.

Although there are precise and practical models to characterize the properties of

Newtonian fluids flow, this isn’t the case for Non Newtonian fluids. This work will

introduce a new set of explicit equations to calculate the friction factor in cylindrical

pipes and in the annular, based on theoretical physical principles. These equations,

differing from the large amount of empirical models existent today, can be used as a

practical tool to quickly estimate a key factor in operations involving Non Newtonians

fluids, which have been increasingly utilized.

vii

Sumário

Lista de Figuras ............................................................................................................... ix

Lista de Tabelas ............................................................................................................... xi

Capítulo 1 Introdução ....................................................................................................... 1

Contexto ........................................................................................................................ 2

Organização da dissertação ........................................................................................... 4

Capítulo 2 Definições básicas........................................................................................... 6

Reologia ........................................................................................................................ 7

Parâmetros adimensionais ........................................................................................... 11

Regimes de escoamento .............................................................................................. 13

Rugosidade .................................................................................................................. 15

Capítulo 3 Revisão bibliográfica .................................................................................... 16

Modelos newtonianos ................................................................................................. 17

Modelos não newtonianos .......................................................................................... 20

Capítulo 4 Modelagem do problema .............................................................................. 24

Equação explícita ........................................................................................................ 25

Relações para regime turbulento ................................................................................. 27

Modelagem da equação para dutos circulares ............................................................ 30

Modelo implícito ..................................................................................................... 31

Equação explícita .................................................................................................... 32

Modelagem da equação para regime anular tubos concêntricos ................................. 33

Sistema implícito ..................................................................................................... 34

Sistema explícito ..................................................................................................... 37

Fator de atrito com rugosidade ................................................................................... 40

Duto ............................................................................................................................ 41

Capítulo 5 Análise dos resultados .................................................................................. 42

viii

Duto ............................................................................................................................ 42

Comparação com dados experimentais ................................................................... 43

Comparação com outros modelos ........................................................................... 50

Análise geral ............................................................................................................ 57

Anular ......................................................................................................................... 59

Comparação com dados experimentais ................................................................... 60

Comparação com outros modelos ........................................................................... 64

Análise geral ............................................................................................................ 74

Rugosidade .................................................................................................................. 75

Capítulo 6 Conclusão ..................................................................................................... 79

Referências Bibliográficas ........................................................................................... 80

Apêndice A – Dedução da equação explicita ................................................................. 84

Apêndice B – Dedução da equação no interior do duto ................................................. 87

Apêndice C – Dedução do sistema para escoamento anular .......................................... 92

Apêndice D – Dedução da equação no interior do duto com rugosidade....................... 99

Apêndice E – Dados utilizados ..................................................................................... 103

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Divisão reológica dos fluidos ....................................................................... 9

Figura 2.2 - tensão cisalhante x taxa de deformação ...................................................... 10

Figura 2.3 - Gráfico (ReMR)crit x índice de potencia(n) ................................................... 14

Figura 4.1 - Escoamento Duto ........................................................................................ 24

Figura 4.2 - Escoamento Anular ..................................................................................... 25

Figura 4.3 – Geometria do Duto ..................................................................................... 31

Figura 4.4 – Geometria do anular ................................................................................... 34

Figura 6.1 - Comparação Dados x Presente trabalho ..................................................... 44

Figura 6.2 - Comparação Dados x Presente trabalho =1,0 ............................................. 45

Figura 6.3 Comparação Dados x Presente trabalho n=0,7 ............................................. 47

Figura 6.4 - Comparação Dados x Presente trabalho n=0,46 ......................................... 49

Figura 6.5 - Presente trabalho x Dodge e Metzner ......................................................... 51

Figura 6.6 - Comparação entre modelos Duto n=1.0 ..................................................... 52

Figura 6.7 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0 ........................... 53

Figura 6.8 - Comparação entre modelos Duto n=0,7 ..................................................... 54

Figura 6.9 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0 ........................... 55

Figura 6.10 - Comparação entre modelos Duto n=0,46 ................................................. 56

Figura 6.11 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=0,46 ....................... 57

Figura 6.12 - Erro relativo Presente trabalho x Dados experimentais ............................ 58

Figura 6.13 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1) .......... 61

Figura 6.14 –Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1) .......... 62

Figura 6.15 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2) .......... 63

Figura 6.16 - Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2) .......... 64

Figura 6.17 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0,874 ....................................... 65

Figura 6.18 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,874 (Anular 1) ...... 66

Figura 6.19 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.824 ....................................... 67

Figura 6.20 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,824 (Anular 1) ...... 68


Figura 6.22 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 1) ...... 70

Figura 6.23 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0,807 ....................................... 71

Figura 6.24 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,807 (Anular 2) ..... 72


x

Figura 6.26 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 2) ..... 74

Figura 6.27 - Presente trabalho x Haaland ..................................................................... 76

Figura 6.28 - Presente trabalho Duto rugoso n= 0,6 ....................................................... 77

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Reynolds Critico ......................................................................................... 13

Tabela 3.1 - Modelos para Fluidos Newtonianos ........................................................... 17

Tabela 3.2 - Modelos Fluidos Não Newtonianos ........................................................... 20

Tabela 6.1 - Erro Duto n=1,0 .......................................................................................... 46

Tabela 6.2 – Erro Duto n=0,7 ......................................................................................... 47

Tabela 6.3 – Erro Duto n=0,46 ....................................................................................... 49

Tabela 6.4 - Erro relativo médio para Duto .................................................................... 59

Tabela 6.5 - Erro relativo médio Anular ........................................................................ 75

1

Capítulo 1

Introdução

Os fluidos são parte fundamental de qualquer atividade desenvolvida pela

humanidade, seja ela uma tarefa cotidiana como lavar as mãos ou industrial como a

extração de petróleo. Portanto, entender seu comportamento é fundamental para que se

utilize, da melhor maneira possível, este recurso.

Apesar de existirem diversas aplicações distintas para os fluidos, sua característica

de possuir uma, relativamente, baixa resistência à força cisalhante, traduzida em

facilidade de transporte de um ponto a outro, é utilizadas em quase todas as operações.

Durante este processo de deslocamento uma parte da energia fornecida é transformada

irreversivelmente em calor, através do atrito gerado com a parede, sendo necessário

fornecer um diferencial de potencial equivalente à energia perdida neste processo para

que o fluido possa se deslocar.

Esta perda de energia por atrito em um escoamento depende da interação entre o

fluido e a parede e não somente das características reológicas do próprio fluido,

podendo ser estimada através do fator de atrito. Ele é essencial para o projeto e operação

de qualquer instalação hidráulica, pois é empregado para definir quais tipos de

equipamentos deverão compor o sistema que o fluido irá transitar, assim como sua

configuração.

Este parâmetro também é necessário para ajustar os equipamentos quando ocorrem

flutuações na produção durante a operação. Esta variação da produção modifica o valor

do fator de atrito conforme as novas condições do escoamento, ou seja, ele pode

aumentar ou diminuir a quantidade de energia perdida por atrito dependendo das vazões

de operação, sendo necessário reconfigurar os equipamentos para que se adaptem as

novas condições. Essas variações podem ocorrer devido a diversos fatores, desde

problemas técnicos até ajustes normais da produção relacionados à sazonalidade da

demanda.

2

Como os fenômenos que governam o escoamento dos fluidos são complexos os

modelos hoje existentes, de maneira geral, quando possuem uma resolução simples são

aplicáveis apenas para poucos casos; ou quando são aplicáveis a um maior número de

casos necessitam de métodos de resolução robustos para resolver seus sistemas de

equações demandando equipamentos mais específicos e tempos maiores para resolução,

o que nem sempre é viável, pois podem existir limitações práticas que vão desde a

impossibilidade de possuir o equipamento até falta de um tempo hábil para realizar os

cálculos.

Tendo em mente o problema descrito acima este trabalho propõe uma nova

formulação explícita, que seja aplicável em uma ampla variedade de casos para calcular

o fator de atrito de fluidos Não Newtonianos puramente viscosos em tubulações, que

trabalhe com os escoamentos turbulentos no intuito de criar uma ferramenta prática para

rápidas estimativas e controle de produção em tempo real, em especial na área de

petróleo.

Contexto

Hoje a busca por eficiência faz parte de todas as áreas de produção. Isto ocorre

porque os recursos são limitados, portanto evitar desperdício tornou-se a chave para

incrementar a produção, com a vantagem associada de que normalmente as técnicas

utilizadas vêm associadas a custos menores de produção.

Para conseguir este incremento, evitando custos desnecessários, é preciso

entender melhor os fenômenos que ocorrem para modelá-los o mais próximo da

realidade quanto possível. Partindo desta ideia a utilização do modelo de fluidos Não

Newtonianos vem crescendo, difundindo-se pelas mais diversas linhas de pesquisa, não

estando limitado somente a casos típicos de engenharia, como podemos ver em

(ALLOUI e VASSEUR, 2015) e (KEFAYATI, 2015), sendo também é utilizado em

outras áreas, isto pode ser visto nos estudos (COPLEY, 1990), (HARISA, 2015) e

(SINGH e RAMASWAMY, 2015).

3

A expansão do uso destes modelos está ligada às limitações, encontradas pelo

modelo Newtoniano em descrever o comportamento de fluidos utilizados em diversas

operações, por causa de suas características não Newtonianas, de modo a torná-la mais

produtiva seja diminuindo os custos ou incrementando a produção.

Apesar de os modelos de fluidos Não Newtonianos estarem sendo cada vez mais

utilizados ainda são necessários diversos estudos para melhor compreendê-los, pois eles

introduzem novas dificuldades na resolução do escoamento devido à necessidade de

mais parâmetros para descrever sua reologia, que reflete em mais termos nas equações

que regem o escoamento.

Dependendo da aplicação do fluido Não Newtoniano uma característica tem

maior relevância que outra, por este motivo existem diversos problemas interessantes a

serem estudados quando tratamos dele. Estimar o fator de atrito é um dos mais

importantes, por se tratar de uma propriedade do escoamento que é utilizada como

parâmetro para dimensionar os equipamentos que farão o transporte do fluido assim

como ajustar os equipamentos durante a operação.

Como o fator de atrito é necessário para estimar vários valores fundamentais do

projeto ele possui diversos modelos para representá-lo, mas estes apresentam grandes

variações entre suas predições, pois, normalmente o desenvolvimento das equações

procura descrever corretamente apenas a parte relevante para sua aplicação, fazendo

com que as equações existentes atualmente possuam grande grau de empirismo, ou seja,

seu desenvolvimento está atrelado ao próprio problema estudado limitando sua validade

para pequenas faixas de Reynolds ou índices de potência, conceitos que serão melhores

explicados no capítulo seguinte, como serão vistos nas equações de (HANKS e RICKS,

1975) e (EL-EMAM, KAMEL e EL-SHAFEI, 2003), apresentadas na revisão

bibliográfica do capítulo 3.

Na indústria de petróleo estimar com precisão este fator é ainda mais relevante,

por que a crescente demanda de petróleo no mundo como podemos ver nos relatórios

(ANP, 2012), (ANP, 2013) e (ANP, 2014) tem feito pressão para que se realize uma

otimização nos processos produtivos para melhor aproveitar esse recurso. Entender o

escoamento turbulento dos diversos tipos de fluidos é fundamental para a melhora

destes processos, principalmente os de perfuração e produção.

4

Na perfuração o controle hidráulico é de fundamental importância por ser ele o

fator determinante para o controle de eventuais acidentes como os kicks e blowout, que

podem ocorrer durante a produção, que são basicamente influxos de fluidos que podem

causar desde pequenos acidentes até a perda do poço e da plataforma.

Durante a produção, fase seguinte à perfuração, o processo de entendimento dos

mecanismos de produção do reservatório é contínuo, e uma ideia melhor do que ocorre

nele começa a ser criada, sendo que durante esse período de aprendizado a produção

precisa ser adaptada diversas vezes até que atinja um ponto de ótimo e, posteriormente,

ainda é necessário equalizá-la com a demanda para evitar desperdício, sendo necessárias

estimativas contínuas do fator de atrito para adaptar o sistema.

Por esses motivos, existe a necessidade de se criar uma ferramenta que consiga

rapidamente estimar esse parâmetro que, mesmo sendo de fundamental importância

para o processo de produção, ainda se apresenta como um problema que não possui uma

resolução fechada.

Neste trabalho será proposta uma relação para o fator de atrito na forma explícita.

Essa equação está fortemente embasada nos princípios físicos do fenômeno conferindo

a ela validade em uma larga extensão da região turbulenta o que representa uma

ferramenta extremamente útil em engenharia.

Organização da dissertação

No capítulo 1 foi feita uma breve introdução sobre o assunto, definindo o objetivo

do trabalho. No capítulo 2 uma revisão de algumas definições básicas necessárias para o

desenvolvimento do restante do trabalho é realizada, no capítulo seguinte uma revisão

bibliográfica é apresentada abordando algumas pesquisas já desenvolvidas sobre fator

de atrito.

Nos capítulos 4 e 5 o novo equacionamento para o cálculo do fator de atrito em

dutos cilíndricos e no anular é proposto, explicando as ideias utilizadas para a sua

5

elaboração, bem como o resumo de seu desenvolvimento matemático, que pode ser

visto por completo nos apêndices B, C e D.

No capítulo 6, uma análise das novas equações com intuito de averiguar sua

precisão e validade será realizado através de comparações entre os modelos existentes e

dados experimentais. Por fim, a conclusão será apresentada no capítulo 7 com algumas

considerações finais.

6

Capítulo 2

Definições básicas

Nesta seção apresentaremos alguns dos conceitos base que serão utilizados durante

o texto e são essenciais para a compreensão do mesmo. Esta seção se faz necessária,

pois não existe um modelo único para representar os fluidos conhecidos como Não

Newtonianos, assim sendo, para modelar o problema precisamos estabelecer uma

convenção.

Os conceitos aqui revisados dizem respeito a como caracterizar tanto o escoamento

quanto o próprio fluido. Estas definições formam a base do problema ao definir o modo

como ele será descrito. Esse é um problema que ainda não possui uma solução

amplamente aceita e por esse motivo existem diferentes maneiras de representá-lo.

Neste capítulo serão discutidos três pontos, separados nas três seções seguintes,

para caracterizar o escoamento e o fluido; começando por definir o fluido com uma

revisão da reologia e seus parâmetros relevantes para depois definir o escoamento

utilizando números adimensionais característicos, e por fim definir os limites utilizados

para diferenciar os regimes de escoamento. Mas antes dessas definições a descrição do

que entendemos por fluido é comentada no parágrafo seguinte.

A definição mais comum encontrada para fluidos é: uma substância que se deforma

indefinidamente quando uma tensão cisalhante é aplicada sobre ele. Apesar de esta

definição caracterizar grande parte dos fluidos conhecidos existem outros tipos de

fluidos em que esta característica não ocorre, tais como os fluidos com modelo

reológico de Herschel-Bulkley onde é necessária uma força inicial para que ele comece

a se deformar, e ainda fluidos pseudoplásticos que apresentam características de fluidos

e de corpo rígido, onde a força cisalhante apenas deforma o corpo, mas que tem sua

forma original restaurada após o cessar da força. Neste trabalho iremos tratar apenas de

fluidos que seguem a definição clássica.

7

Por fim, vale ressaltar os fluidos não são necessariamente substâncias puras, ou

seja, desde que a substância possua um comportamento macroscópico coerente com um

fluido ela pode ser uma mistura de diversas substâncias e todas as equações aqui

descritas serão válidas para ela, isso é importante, pois grande parte dos fluidos Não

Newtonianos são na verdade misturas de fluidos com alguma substância sólida como a

lama que nada mais é do que água com partículas de argila suspensa na fase líquida.

Outro ponto é que: a condição fluida de uma substância está intimamente ligada às

condições de pressão e temperatura na qual se encontra, pois ela pode se apresentar em

qualquer um dos estados dependendo das mesmas.

Reologia

Durante o texto já foram mencionados algumas vezes os conceitos de fluidos

Newtonianos e Não Newtonianos, que como seus nomes sugerem são fluidos com

comportamentos distintos. Essa diferença em seu comportamento é definida pelo modo

como ele flui quando uma força cisalhante é aplicada sobre ele. Podemos perceber

claramente que diferentes fluidos se comportam de maneiras distintas apresentando uma

maior ou menor facilidade para se deslocar, isso se deve a uma propriedade intrínseca

do fluido conhecida como viscosidade.

Para quantificar esta diferença, existente no comportamento dos fluidos, foram

desenvolvidos diversos modelos na tentativa de descrevê-los, dentre eles a relação

criada por Newton. Este modelo apresentou uma boa concordância com os dados

experimentais definindo um modelo que apresenta uma relação linear entre a taxa de

deformação e a tensão aplicada.

𝜏 = 𝜇

𝜕𝑢

𝜕𝑦 (2.1)

Onde 𝑢 representa a velocidade, 𝑦 a coordenada perpendicular à velocidade e 𝜇 a

viscosidade dinâmica do fluido.

8

O conceito de viscosidade surgiu a partir deste modelo, na forma da constante de

proporcionalidade entre a tensão e a taxa de deformação, sendo definida como uma

propriedade do fluido. Devido à importância desse modelo todos os fluidos que

apresentam um comportamento que concorde com a equação acima são conhecidos

como Fluidos Newtonianos e os que diferem dele, como Fluidos Não Newtonianos.

Este modelo conseguiu representar muito bem a água e o ar que eram os fluidos

mais utilizados na época e continuam, até hoje, sendo largamente utilizados para

realizar as mais diversas atividades, pelo grande conhecimento já adquirido de seu

comportamento. Mas com a evolução tecnológica e a observação mais cuidadosa de

outros fluidos vemos que esta relação não consegue descrever adequadamente todos os

fluidos, surgindo então à necessidade de novos modelos, que são classificados como

Não Newtonianos. Para descrever esses outros tipos de fluidos, que apresentam

comportamentos diferentes, é preciso ter o conhecimento de sua reologia.

A reologia é o estudo sobre a deformação, segundo (BARNES, HUTTON e

WALTERS, 1993). Este estudo é importante para diferenciar e classificar os diferentes

tipos de fluidos. Quando estamos falando de fluidos a reologia pode ser resumida como:

a relação que descreve a taxa de deformação pela tensão aplicada no fluido, essa é uma

relação simples para fluidos Newtonianos, pois ela é linear com o fator de

proporcionalidade definido pela viscosidade.

Os fluidos Não Newtonianos são aqueles com uma relação diferente da

Newtoniana e normalmente apresentam uma relação não linear entre a taxa de

deformação e a tensão aplicada, ou seja, a taxa de deformação do fluido não aumenta na

mesma proporção da tensão aplicada, sendo necessários então modelos com parâmetros

adicionais para descrever seu comportamento. Não existe apenas uma única maneira de

um fluido Não Newtoniano se comportar, esta nomenclatura abrange diversos tipos

diferentes de fluidos, sendo assim, eles possuem algumas subdivisões. A divisão mais

comum dos fluidos Não Newtonianos é a que a subdivide em duas classes; uma onde a

relação tensão/taxa de deformação depende do tempo e a outra na qual a taxa de

deformação depende apenas da tensão aplicada.

Este último grupo ainda se divide em outros dois tipos de fluidos: Dilatante

𝑛 > 1 e Pseudoplástico 𝑛 < 1. Essa classificação está resumida na figura abaixo:

9

Figura 2.1 - Divisão reológica dos fluidos

Neste trabalho não serão abordados os fluidos que apresentam deformação

dependente do tempo.

Para os fluidos onde a taxa de deformação e a tensão não depende do tempo foram

encontradas mais aplicações práticas e eles são extensivamente estudados para

desenvolver melhor sua aplicação, com intuito de aumentar o rendimento da produção.

A fim de obter um modelo geral que também pudesse caracterizar os fluidos

Newtonianos em um mesmo modelo reológico, um modelo de dois parâmetros

conhecidos como fator de consistência e índice de potência, determina a relação entre

taxa de deformação e tensão aplicada, conhecido como lei de potência foi proposto,

como definido abaixo:

𝜏 = 𝑘 (

∂𝑢

∂𝑦)𝑛

(2.2)

Onde 𝑢 representa a velocidade, 𝑦 a coordenada perpendicular à velocidade, 𝑛 é o

índice de potência e 𝑘 é o fator de consistência. Este modelo é reduzido ao caso

Newtoniano quando o índice de potência é igual à unidade e o fator de consistência

então se torna a viscosidade.

10

Mas mesmo esse modelo de duas variáveis ainda não conseguiu descrever todos

os fluidos e um novo modelo mais geral de três variáveis foi proposto por Herschel-

Bulkley. Como descrito abaixo:

𝜏 = 𝑘 (

∂𝑢

∂𝑦)𝑛

+ 𝜏𝑖 (2.3)

Essas equações são diferenciadas apenas por uma tensão inicial necessária para

começar o escoamento o que confere aos fluidos, onde a constante é diferente de zero, a

característica de resistir à deformação enquanto uma tensão mínima não for vencida.

Resumidamente podemos observar todos esses comportamentos no gráfico abaixo:

Figura 2.2 - tensão cisalhante x taxa de deformação

Os fluidos não newtonianos tipo Herschel-Bulkley, são representados

normalmente por suspenções ou misturas que conferem à fase fluida essas

características de resistência inicial bem como variação da resistência interna, devido à

interação das partículas presentes no fluido. Aqui podemos citar a lama como um fluido

Não Newtoniano.

11

Neste texto não serão discutidos modelos de quatro parâmetros como os modelos

de Carreau ou Cross, e não serão estudados modelos viscoelásticos.

Parâmetros adimensionais

Representar o escoamento é um grande desafio por causa da sua complexidade

sendo necessário utilizar diversas variáveis para descrever, da maneira mais completa

possível, seu comportamento. Por este motivo a obtenção de dados experimentais para

entender seu comportamento representava um grande desafio, pois diversas medições

simultâneas eram necessárias.

A fim de diminuir o esforço experimental e melhorar sua organização, o problema

utiliza-se de parâmetros adimensionais através do teorema π de Buckingham. Esta

metodologia é comum no estudo de fluidos e tem como objetivo criar números

adimensionais utilizando a combinação das grandezas definidas como relevantes para o

escoamento. Isso possibilita um melhor entendimento da relação entre as grandezas,

diminuindo a quantidade necessária de experimentos ao generalizar o problema

utilizando não mais as grandezas fundamentais e sim combinações entre elas como

parâmetros a serem medidos. Este método também facilita a comparação entre

resultados obtidos em diferentes experimentos melhorando o processo de análise.

Utilizar parâmetros adimensionais é a melhor forma de generalizar um problema,

dado que, os resultados obtidos não representam mais a situação específica, mas

qualquer problema que apresente as mesmas relações de valores adimensionais. Para

obter esta generalidade uma análise cuidadosa do problema deve ser realizada para que

as novas relações criadas pelos parâmetros que definem o problema consigam

caracterizar o fenômeno.

Quando falamos em mecânica dos fluidos o número adimensional de maior

importância foi o definido por Reynolds para analisar o escoamento de fluidos

Newtonianos, que em sua homenagem recebeu seu nome, definido como:

12

𝑅𝑒 =

𝜌𝑈𝐷

𝜇 (2.4)

Onde 𝜌 é a massa especifica 𝑉 é a velocidade característica do escoamento 𝐷 é o

comprimento característico do escoamente e 𝜇 é a viscosidade do fluido.

Este parâmetro adimensional representa a razão entre as forças de inércia e as

forças viscosas, relação está que é considerada importante mesmo para fluidos Não

Newtonianos, mas que precisa ser adaptado ao novo modelo reológico para manter a

coerência entre as unidades utilizadas. Mesmo utilizando um modelo reológico comum

podemos defini-lo de maneira diferente, em razão desta liberdade foram propostas

algumas formas diferentes, como as (METZNER e REED, 1955) e (TOMITA, 1959),

da qual iremos utilizar a proposição de (METZNER e REED, 1955) definida como:

Re𝑀𝑅 =

8 ∗ 𝜌 ∗ 𝑈(2−𝑛) ∗ 𝐷𝑛

𝑘 ∗ (6 +2𝑛)

𝑛 (2.5)

A análise adimensional facilitou a pesquisa dos fluidos por duas principais razões:

primeiro gerou uma espécie de uniformidade para os modelos ao criar parâmetros

comuns às medições realizadas, e em segundo lugar, construir modelos de teste que

possam representar os equipamentos reais através da proporcionalidade dos parâmetros

adimensionais, pois podemos obter um mesmo valor de um parâmetro adimensional

modificando a geometria na mesma proporção que mudamos a propriedade do fluido.

A construção de um modelo em escala real é, algumas vezes, economicamente

inviável. Para contornar esse problema e realizarmos os testes necessários à validação

dos modelos em sistemas de menor porte utilizamos a similaridade, que define como

podemos reduzir a escala do modelo real através da proporcionalidade dos parâmetros

adimensionais permitindo a obtenção de resultados relevantes para o caso real no

sistema experimental de menor escala.

No capítulo seguinte veremos a importância desses números, quando forem

apresentados os diversos modelos para estimar o fator de atrito, que apesar de partirem

de premissas diferentes a formulação final de todos eles utiliza o mesmo conjunto de

números adimensionais mostrando a importância deste tipo de análise do escoamento

para a obtenção de uma maior generalidade.

13

Regimes de escoamento

O escoamento monofásico apresenta três regimes bem definidos: laminar,

turbulento e transição. Conhecer em qual dos regimes o escoamento se encontra é o

começo do desenvolvimento de um modelo para estimar o fator de atrito, pois cada um

deles apresenta comportamentos bem diferentes.

No regime laminar as forças viscosas são mais relevantes e o escoamento pode ser

descrito como se fossem lâminas de fluidos escoando uma sobre outra. Sendo que no

escoamento turbulento podemos observar que as forças de inércia prevalecem sobre as

viscosas criando um escoamento com diversas escalas onde ocorrem rápidas variações

de velocidade ponto a ponto. Por fim existe um regime de transição entres esses dois

regimes onde as forças de inércia e viscosas têm a mesma ordem de grandeza e não

ocorre a dominância de apenas uma delas.

O número adimensional que representa esta relação de forças de inércia pelas

forças viscosas é o número de Reynolds. Por este motivo ele é utilizado para determinar

o regime de escoamento no qual o escoamento se encontra. Para fluidos Newtonianos os

limites da transição, para a maioria dos casos comuns, são bem conhecidos, já para

fluidos Não Newtonianos a mudança de comportamento para o regime turbulento não é

bem definida, mas continua apresentando a mesma importância.

Existem alguns modelos para avaliar onde ocorre esta transição. Aqui iremos citar

e analisar alguns deles:

Tabela 2.1 - Reynolds Critico

Modelo

Referência

(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 =𝟔𝟒𝟔𝟒𝒏(𝟐 + 𝒏)(

𝟐+𝒏𝟏+𝒏

)

(𝟏 + 𝟑𝒏)𝟐

(RYAN e JOHNSON, 1959)

14

Modelo

Referência

(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 =𝟐𝟏𝟎𝟎(𝟐 + 𝟒𝒏)(𝟓𝒏 + 𝟑)

𝟑(𝟏 + 𝟑𝒏)𝟐

(MISHRA e TRIPATI, 1973)

(𝐑𝐞𝐌𝐑)𝐜𝐫𝐢𝐭 = 𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝟖𝟕𝟓(𝟏 − 𝒏)

(DARBY, 2001)

Para melhor visualizar os limites de cada modelo um gráfico apresentando os três

é mostrado abaixo:

Figura 2.3 - Gráfico (ReMR)crit x índice de potencia(n)

15

Para este trabalho iremos adotar o limite superior de (ReMR)crit > 4000 para

considerar regime turbulento, pretendemos trabalhar apenas neste tipo de regime dado

que a maior parte das aplicações industriais utiliza o escoamento turbulento pela

necessidade de produções elevadas ou maior homogeneidade nos processos que é obtida

ao usar o regime turbulento.

Rugosidade

A rugosidade é um parâmetro que tem dimensão de comprimento e está relacionado

ao tipo de escoamento e as imperfeições geométricas da parede, representada pelas sutis

variações de altura que ocorrem em sua superfície.

Este é um fator importante para regimes de escoamento turbulento por afetar o

cálculo do fator de atrito diferentemente do regime laminar onde, pela predominância

das forças viscosas, o efeito dessas pequenas variações não é relevante.

16

Capítulo 3

Revisão bibliográfica

A pesquisa dos fluidos é uma das mais antigas, possuindo diversos trabalhos

publicados o que dificulta a descrição de todos os trabalhos importantes realizados, por

este motivo neste capítulo são condensados alguns dos trabalhos considerados mais

significativos para descrição do problema e modelagem do fator de atrito.

Mesmo com todas as pesquisas realizadas até hoje, o comportamento dos fluidos

Não Newtonianos não foi totalmente compreendido e formulado, isso se deve a

complexidade das interações existentes entre os diversos fenômenos que atuam no

sistema. Por isso as aplicações práticas dos fluidos podem apresentar grandes desafios

para engenharia.

Os estudos começaram a partir dos fluidos que possuem comportamento reológico

Newtoniano, isso aconteceu por serem a água e o ar os fluidos mais utilizados e ambos

apresentarem este tipo de comportamento reológico.

Com a evolução das técnicas produtivas novos tipos de fluidos, com as mais

diversas características, vêm sendo desenvolvidos e utilizados a fim de aumentar a

eficiência dos processos produtivos. Na indústria do petróleo, em especial, este tipo de

fluido é amplamente utilizado devido às dificuldades inerentes à perfuração e produção

de petróleo.

Como o desenvolvimento dos modelos Não Newtonianos, para calcular o fator de

atrito, estão fortemente ligados às ideias concebidas para os modelos Newtonianos

iremos, em primeiro lugar, fazer uma revisão sobre esse tipo de fluido, em seguida,

discutiremos os modelos para fluidos Não Newtonianos.

17

Modelos newtonianos

Para calcular o fator de atrito em fluidos Newtonianos existem diversos estudos

feitos como e mostrado na Tabela 3.1.

A grande quantidade de estudos para esse tipo de fluido se deve a dois fatores:

primeiro este tipo de fluido foi o primeiro a ser estudado, portanto teve mais tempo para

ser pesquisado e segundo por ser até hoje o tipo de fluido mais utilizado.

Podemos subdividir os modelos que descrevem o fator de atrito em duas classes:

implícita e explícita. Dos modelos implícitos para fluidos newtonianos temos que

destacar o desenvolvido por (COLEBROOK e WHITE, 1937) considerado uns dos mais

representativos e descrito pela equação abaixo:

1

√𝑓= −2Log(

𝜀

3,7D+

2,51

Re√𝑓) (3.1)

Alguns dos modelos explícitos estão resumidos na tabela abaixo adaptada de

(WINNING e COOLE, 2013):

Tabela 3.1 - Modelos para Fluidos Newtonianos

Equação Referencia

𝒇 = 𝟏, 𝟑𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 [𝟏 + (𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝜺

𝑫+

𝟏𝟎𝟔

𝐑𝐞)

𝟏𝟑

]

(MOODY, 1947)

𝟏

√𝒇= −𝟒 ∗ 𝐋𝐨𝐠 [(

𝟔, 𝟗𝟕

𝐑𝐞)𝟎,𝟗

+ (𝜺

𝟑, 𝟕 ∗ 𝑫)]

(SWAMEE e JAIN, 1976)

18


𝟏

√𝒇= −𝟑, 𝟔𝐋𝐨𝐠 [

𝐑𝐞

𝟎, 𝟏𝟑𝟓 ∗ 𝐑𝐞 ∗ (𝜺𝑫) + 𝟔, 𝟓

]

(ROUND, 1980)

𝟏

√𝒇= −𝟑, 𝟔𝐋𝐨𝐠 [

𝟔, 𝟗

𝐑𝐞+ (

𝜺

𝟑, 𝟕𝑫)𝟏,𝟏𝟏

]

(HAALAND, 1983)

𝒇 = [𝟒, 𝟕𝟖𝟏 −(𝑨 − 𝟒, 𝟕𝟖𝟏)𝟐

𝑩 − 𝟐𝑨 + 𝟒, 𝟕𝟖𝟏]

−𝟐

𝑨 = −𝟐𝐋𝐨𝐠 [𝜺

𝟑, 𝟕𝑫+

𝟏𝟐

𝐑𝐞]

𝑩 = −𝟐𝐋𝐨𝐠 [𝜺

𝟑, 𝟕𝑫+

𝟐, 𝟓𝟏 ∗ 𝑨

𝐑𝐞]

(SERGHIDES, 1984)

𝑨 = 𝟎, 𝟏𝟏 (𝟔𝟖

𝐑𝐞+

𝜺

𝑫)

𝟎,𝟐𝟓

𝒇 = 𝑨, 𝑨 ≥ 𝟎, 𝟎𝟏𝟖

𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝑨, 𝑨 < 𝟎, 𝟎𝟏𝟖

(TSAL, 1989)

19


𝟏

√𝒇= −𝟐𝐋𝐨𝐠 [(

𝜺

𝟑, 𝟕𝟎𝟔𝟓 ∗ 𝑫) + (

𝟗𝟓

𝐑𝐞𝟎,𝟗𝟖𝟑)

− (𝟗𝟔, 𝟖𝟐

𝐑𝐞)]

(MANADILLI, 1997)

𝟏

√𝒇= 𝟎, 𝟖𝟔𝟖𝟔𝐋𝐧 [

𝟎, 𝟒𝟓𝟖𝟕𝐑𝐞

𝑺 (

𝑺𝑺+𝟏)

]

𝑺 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟒 ∗𝜺

𝑫∗ 𝐑𝐞 + 𝐋𝐧[𝟎, 𝟒𝟓𝟖𝟕𝐑𝐞]

(SONNAD e GOUDAR,

2004)

𝟏

√𝒇= 𝑨 − [

𝑨 + 𝟐𝐋𝐨𝐠 (𝑩𝐑𝐞)

𝟏 +𝟐, 𝟏𝟖

𝑩

]

𝑨 =𝟎, 𝟕𝟕𝟒𝐋𝐧[𝐑𝐞] − 𝟏, 𝟒𝟏

(𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟐√𝜺𝑫)

𝑩 =𝜺

𝟑, 𝟕𝑫∗ 𝐑𝐞 + 𝟐, 𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝑨

(BUZZELLI, 2008)

Dentre todos os modelos apresentados aquele que mais se destaca é o proposto

por (HAALAND, 1983) que simplifica o modelo implícito de (COLEBROOK e

WHITE, 1937) utilizados para construção do diagrama de Moody.

1

√𝑓= −3,6Log [(

𝜀

3,7𝐷)1.11

+6.9

Re] (3.2)

20

Os modelos para fluidos Newtonianos estão bem estabelecidos e são aplicados nas

mais diversas áreas com bons resultados, mas os fluidos newtonianos apresentam

limitações não representando corretamente diversos problemas, como a perfuração de

poços, devido a essas limitações existe a necessidade de utilizarmos modelos de fluidos

Não Newtonianos para estimar corretamente esses parâmetros.

Modelos não newtonianos

Os fluidos Não Newtonianos já são utilizados pela indústria e por isso existe a

necessidade de modelos para prever seu comportamento. Apesar de serem estudados a

um período menor de tempo existem vários modelos para descrevê-los dado a

importância de sua utilização.

Aqui novamente podemos dividir os modelos em implícitos e explícitos. Abaixo

estão alguns dos modelos implícitos da tabela adaptada de (GAO e ZHANG, 2007):

Tabela 3.2 - Modelos Fluidos Não Newtonianos

Autor/Ano Equação Referencia

Dodge e

Metzner (1959)

1

√𝑓=

4

𝑛0,75Log[ReMR𝑓(1−

𝑛2)] −

4

𝑛1,2

(DODGE e

METZNER, 1959)

Dodge e

Metzner tipo

Blasius (1959)

𝑓 =𝑎

ReMR𝑏

𝑎 = 0,0665 + 0,01175𝑛

𝑏 = 0,365 − 0,1775𝑛 + 0,0625𝑛2

(DODGE e

METZNER, 1959)

21


Shaver and

Merrill (1959)

𝑓 =0,079

(𝑛5ReMR𝛼 )

𝛼 =2,63

10,5𝑛

(SZILAS, 1985) e

(GOVIER e AZIZ,

1972)

Tomita (1959)

1

√𝑓To

= 4Ln[ReTo√𝑓To] − 0,4

𝑓To = (4

3) [

(1 + 2𝑛)

(1 + 3𝑛)] 𝑓

ReTo = (3

4) [

(1 + 3𝑛)

(1 + 2𝑛)] ReMR

(TOMITA, 1959)

Thomas (1960)

1

√𝑓=

4

𝑛Log[ReMR𝑓(1−

𝑛2)] −

0,4

𝑛

(EL-EMAM,

KAMEL e EL-

SHAFEI, 2003)

Clapp (1961)

1

√𝑓=

2,69

𝑛− 2,95 +

4,53

𝑛Log[ReMR𝑓(1−

𝑛2)]

+ 0,68 (5𝑛 −8

𝑛)

(GOVIER e AZIZ,

1972)

Kemblowski

And

Kolodziejski

(1973)

𝑓 =0,00225𝑒(3,57𝑛2)𝑒

(572(1−𝑛4,2)𝑛0,435ReMR

)

ReMR(0,314𝑛2,3−0,064)

ReMR >31600

𝑛0,435, 𝑓 =

0,0791

ReMR0,25

(HEYWOOD,

1984)

22


Hanks and

Ricks (1975)

𝑓 =0,0682𝑛

−12

ReRM

(1

1,87+2,39𝑛)

(HANKS e

RICKS, 1975)

Stein and

Kessler and

Greendar

(1980)

1

√𝑓= 1,7373Ln[ReMR𝑓0,5 − 0,398]

(EL-EMAM,

KAMEL e EL-

SHAFEI, 2003)

Bobok and

Navratile and

Szilas (1981)

1

√𝑓=

4

𝑛Log [ReMR(4𝑓)1−

𝑛2] + 1,511

1𝑛

∗ (4,242 +1414

𝑛) −

8,03

𝑛

− 2,114

(SZILAS, 1985) e

(BOBOK, 1993)

Shenoy (1986) 1

√𝑓= 3,57Log[

ReMR

(1

𝑛0,615)

6,5(

1

𝑛(1+0,75𝑛))]

(KAWASE,

SHENOY e

WAKABAYASHI,

1994)

Desouky and

El-Emam

(1990)

𝑓 = 0,125𝑛√𝑛(0,0112 + ReMR−0,3185)

(DESOUKY e EL-

EMAM, 1990)

Hemeida (1993)

1

√𝑓= 3,536 − 392,081 ∗ (

𝑓

𝑛)

0,9013

− 305,624 ∗ (𝑓

𝑛)0,9013

∗ [Ln(1 − √1 −14,142

ReMR√𝑓)

+ √1 −14,142

ReMR√𝑓]

(HEMEIDA, 1993)

23


El-Emam and

Kamel and El-

Shafei and El-

Batrawy (2003)

𝑓 =

[𝑛

(3,072 − 0,1433𝑛)ReMR

(𝑛

(0,282−4,211𝑛))

− 0,00065]

4

(EL-EMAM,

KAMEL e EL-

SHAFEI, 2003)

Dentre todos os modelos citados o de (DODGE e METZNER, 1959) é o mais

aceito e apresenta resultados mais acurados para estimar o fator de atrito como

mencionado por (LANGLINAIS, BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) e (GAO e

ZHANG, 2007).

Aqui, diferentemente do caso Newtoniano, não temos uma equação explícita

amplamente aceita, pois os modelos são válidos apenas para uma pequena faixa de

aplicação ou limitadas a poucos tipos de fluidos, ou seja, não temos um equivalente para

equação de (HAALAND, 1983) nos fluidos Não Newtonianos.

24

Capítulo 4

Modelagem do problema

A ideia para desenvolver este novo modelo surgiu da lacuna apresentada no

capítulo anterior onde uma equação explícita para fluidos Não Newtonianos com ampla

validade não existe diferentemente do caso Newtoniano em que a equação proposta por

(HAALAND, 1983) desempenha esta função.

Para desenvolver esta nova estimativa para o fator de atrito foram escolhidas duas

das geometrias comuns nas operações industriais que seriam: o escoamento em duto

cilíndrico e no anular. Limitar a configuração do problema é necessário dado sua

complexidade, pois permitir que as variáveis geométricas tenham total liberdade

tornaria a modelagem extremamente difícil ou até mesmo inviável, mas essas duas

geometrias cobrem grande parte dos cenários encontrados nas indústrias e são ilustradas

abaixo em duas vistas diferentes onde as setas representam o fluxo de fluido:

Figura 4.1 - Escoamento Duto

25

Figura 4.2 - Escoamento Anular

Para modelar o problema proposto foi utilizado, como base, o estudo realizado

por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b) onde foi desenvolvida uma

equação explícita, mas que é aplicável apenas a valores de Reynolds baixos e

intermediários em dutos hidraulicamente lisos, juntamente com uma metodologia de

resolução utilizada por (COLEBROOK e WHITE, 1937) para desenvolver sua equação

para fluidos Newtonianos. Acoplando estes dois desenvolvimentos uma nova equação

explícita com ampla faixa de aplicabilidade será desenvolvida para as duas

configurações propostas.

Equação explícita

A equação explícita, mencionada anteriormente, será a primeira apresentada, por

se tratar de uma parte integrante da formulação das demais equações para estimar o

fator de atrito. Essa equação foi obtida por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE,

2015b) utilizando como base os trabalhos de (KOLMOGOROV, 1941) e (GIOIA e

CHAKRABORTY, 2006), descrevendo o escoamento turbulento através da análise

dimensional, estendendo a teoria de Kolmogorov para fluidos Não Newtonianos.

Aqui serão demonstrados apenas os pontos principais do desenvolvimento que

pode ser visto por completo no apêndice A. O desenvolvimento começa a partir das

relações adaptadas da teoria de Kolmogorov e descritas abaixo:

26

𝜀 =𝑈3

𝐿 (4.1)

𝜀 = 𝑘 (𝑢

𝑙)𝑛−1 𝑢2

𝑙2 (4.2)

Re𝑙 =𝑢2−𝑛𝑙𝑛

𝑘 (4.3)

Re𝐿 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛

𝑘 (4.4)

A equação (4.1) representa a relação de energia para macro escala e a equação

(4.2) representa a relação de energia para as pequenas escalas, seguido pelas definições

dos números de Reynolds para as grandes escalas e as pequenas escalas. Para obter uma

relação entre essas grandezas e o fator de atrito ainda é necessário utilizar a equação

abaixo:

Re𝑙 =𝑢2−𝑛𝑙𝑛

𝑘= 1 (4.5)

Esta é uma proposição que assume que a energia é dissipada nas pequenas escalas

quando as forças de inércia e viscosas tem a mesma ordem representado pelo número de

Reynolds das pequenas escalas ser igual a unidade.

Após alguma manipulação algébrica conseguimos chegar à relação apresentada

abaixo. Maiores detalhes podem ser vistos no apêndice A.

𝑢

𝑈=

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1))

(4.6)

Segundo a teoria desenvolvida por (GIOIA e CHAKRABORTY, 2006) que estende

a teoria de Kolmogorov, a tensão na parede é proporcional à velocidade do escoamento,

a densidade e a velocidade de dissipação nas pequenas escalas podendo ser expressa da

seguinte forma:

𝜏~vρU (4.7)

Onde v representa perpendicular ao escoamento para a transferência de momento e

pode ser aproximada por u e U a velocidade característica do escoamento. Para

27

chegarmos à formulação final ainda é necessário utilizar a definição do fator de atrito de

onde tiramos a relação:

𝑓~𝜏

ρU2

(4.8)

Ao substituir as relações (4.7) e (4.8) em (4.6) se obtém:

𝑓~

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (4.9)

Para que a relação definida acima se torne uma igualdade é necessário ajustar

uma constante de proporcionalidade representada na equação abaixo por G(n):

𝑓 = 𝐺(𝑛)1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (4.10)

Esta é uma relação válida para fluidos Não Newtonianos com comportamento

reológico lei de potência. A proposição da constante 𝐺(𝑛), ser função apenas do índice

de potência (n) foi realizada, por (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b)

que após ajustes com dados experimentais obteve equação abaixo:

𝑓 = 1,018 (0,1 +

0,982 ∗ 10−2

𝑛− 0,0322 ∗ 𝑛)

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1))

(4.11)

Apesar da ideia por trás desta equação ser realmente inovadora pela sua

simplicidade e generalidade sua aplicabilidade é limitada a Reynolds baixos a

moderados.

Relações para regime turbulento

Para desenvolver uma equação que seja válida para todo domínio do regime

turbulento podemos perceber, de trabalhos anteriores, que as equação capazes de

realizar tal feito são, geralmente, implícitas. Isso ocorre porque para a dedução das

mesmas são realizadas menos simplificações permitindo que a formulação represente

melhor a realidade.

28

Partindo desta ideia a modelagem para a nova equação começa da conservação da

quantidade de movimento em um fluido na camada limite em regime turbulento

definido como abaixo:

𝑢

∂𝑢

∂𝑥+ 𝑣

∂𝑢

∂𝑦= −𝑃𝑥 +

∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅

∂𝑦+

∂τ

∂y (4.12)

Onde τ representa o estado de tensões e pode ser modelado através do modelo

reológico do fluido. Neste trabalho serão utilizados fluidos lei de potência representado

pela equação (2.2) explicitada novamente abaixo:

𝜏 = 𝑘 (

∂�̅�

∂𝑦)𝑛

(4.13)

Aplicando esta definição obtemos a equação abaixo:

�̅�∂�̅�

∂𝑥+ �̅�

∂�̅�

∂𝑦= −𝑃𝑥 +

∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅

∂𝑦+

∂

∂y(𝑘 (

∂�̅�

∂𝑦)𝑛

) (4.14)

Perto da parede podemos simplificar a equação zerando o termo a esquerda da

equação considerando:

∂�̅�

∂𝑥= 0 (4.15)

�̅� = 0 (4.16)

A primeira simplificação implica que estamos em um regime permanente onde

não há mais variação da velocidade média na direção do escoamento e a segunda

simplificação afirma que a velocidade média na direção perpendicular ao escoamento é

zero, ou seja, apesar de haver movimentos em ambos os sentidos da direção

perpendicular a média nesta direção é nula. Na subcamada viscosa onde os efeitos das

tensões turbulentas são desprezíveis podemos obter a seguinte equação,

desconsiderando os efeitos do gradiente de pressão devido à pequena espessura da

subcamada viscosa:

𝑃𝑥 = 0 (4.17)

29

∂𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅

∂𝑦~0 (4.18)

Com essas simplificações obtemos:

∂

∂y(𝑘 (

∂�̅�

∂𝑦)𝑛

) = 0 (4.19)

Integrando, obtemos:

𝐶 = 𝑘 (

∂�̅�

∂𝑦)𝑛

(4.20)

Onde 𝐶 é uma constante que representa a tensão na parede sendo definido como

abaixo:

𝐶 = 𝜏𝑤 = ρu𝜏

2 (4.21)

Integrando novamente:

�̅�

𝑢𝜏= 𝑦 (

ρu𝜏2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(4.22)

A equação acima pode ser reescrita como:

𝑢+ = 𝑦+ (4.23)

Onde:

𝑢+ =

�̅�

𝑢𝜏 (4.24)

𝑦+ = 𝑦 (ρu𝜏

2−𝑛

𝐾)

1𝑛

(4.25)

As equações (4.24) e (4.25) representam as variáveis de similaridade da região

de parede e serão utilizadas na obtenção do perfil de velocidade na região turbulenta e

na equação do atrito

Para a região turbulenta acima da subcamada viscosa, onde os efeitos difusivos

viscosos perdem importância, podemos simplificar as equações do movimento como

segue:

30

∂(𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ )

∂𝑦= 0 (4.26)

Integrando a equação acima chegamos a:

𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐶𝑡𝑒 (4.27)

Onde utilizando o modelo de comprimento de mistura obtemos:

𝑢′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝜒 ∗ y∂�̅�

∂𝑦)2

(4.28)

𝐶𝑡𝑒 = u𝜏

2 (4.29)

Integrando a equação acima chegamos a:

𝑢+ =

1

𝜒Ln[𝑦+] + 𝐶1 (4.30)

Onde 𝐶1 é uma constante a ser definida. Esta constante foi proposta por

(ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a) como sendo:

𝐶1 = 5,0 − 5,44ln (𝑛) (4.31)

Com isso chegamos à forma final definida abaixo:

𝑢+ =

1

𝜒Ln[𝑦+] + 5,0 − 5,44ln (𝑛) (4.32)

Modelagem da equação para dutos

circulares

Para chegar a uma equação explícita com ampla aplicabilidade é necessário

definir bem o problema, para explorar o máximo de simplificação que possam ser

31

utilizadas, para criar um modelo que possa descrever o fenômeno da maneira mais

precisa possível.

Para desenvolver duas equações explícitas, uma para escoamento em dutos e outra

para escoamento anular, nesta seção, foi utilizada uma equação implícita que

juntamente da equação (4.32) obtemos a formulação final.

A geometria para o duto é ilustrada abaixo:

Figura 4.3 – Geometria do Duto

Modelo implícito

O início da modelagem parte das considerações de regime permanente,

isotérmico e com propriedades constantes. Com essas simplificações temos, para um

elemento de área, a conservação de massa definido como:

Q = ∫𝑣 ∗ 𝑑𝐴 (4.33)

Utilizando a geometria apresentada acima e considerando que o escoamento é

simétrico em relação a θ podemos reescrever a equação como:

U ∗ 𝜋 ∗

𝐷2

4= ∫ 𝑢 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

D

0

(4.34)

Simplificando obtemos:

U =

4

𝐷2∫ u ∗ 𝑦 ∗ ⅆ𝑦

𝑎

0

(4.35)

32

Onde 𝑢𝑚 é a velocidade média e u é a velocidade em função de y. Como a

equações para o perfil de velocidade têm como referência a interface fluido/parede

temos que mudar o referencial da equação acima ficando com:

U =

2

𝑎2∫ 𝑢

_(𝑎 − 𝑦) ⅆ𝑦

𝑎

0

(4.36)

Além da equação (4.32) serão utilizadas as relações abaixo:

𝑢𝜏 = (𝜏

𝜌)

12 (4.37)

𝑓 =

2𝜏

ρv2 (4.38)

Re =

𝜌 ∗ 𝑈(2−𝑛) ∗ 𝐷𝑛

𝑘 ∗ 𝛽 (4.39)

𝛽 = (6 +2

𝑛)

𝑛 1

8 (4.40)

Substituindo estas relações na equação (4.36) e resolvendo a integral chegamos à

equação implícita final cujo desenvolvimento completo pode ser visto no apêndice B.

√2

𝑓= 2,5 ∗ Ln (

𝛾

2) −

15

4+ 5,0 − 5,44ln (𝑛) + C2 (4.41)

Onde:

𝛾 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ 𝑓2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR

1𝑛 (4.42)

Equação explícita

Para chegarmos à forma final da equação é necessário combinar a equação (4.41)

com a equação (4.11) e juntamente com os dados experimentais definir a constante C2.

33

Foram utilizados os resultados experimentais realizados por (BOGUE, 1962),

(DODGE e METZNER, 1959) e (YOO, 1974) para obter o valor de C2 representado

pela função abaixo:

C2 = 4,23n − 3,8 (4.43)

Com isso chegamos á equação final definida como:

√2

𝑓= 2,5Ln (

𝛾

2) −

15

4+ 5,0 − 5,44Ln (𝑛) + 4,23𝑛 − 3,8 (4.44)

Onde:

𝛾 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ ReMR

1𝑛 ∗ A

2−𝑛2𝑛

(4.45)

𝐴 = 1,018(0,1 +

0,982 ∗ 10−2

𝑛− 0,032 ∗ 𝑛)

1

ReMR

12∗(𝑛+1)

(4.46)

Modelagem da equação para regime

anular tubos concêntricos

Para o caso do estudo do regime anular são acrescentadas novas incógnitas ao

problema, pois não temos apenas uma fronteira, representada pela parede interna da

tubulação, mais também temos a face externa da tubulação interna.

A maioria das equações existentes atualmente utiliza o conceito do diâmetro

equivalente, na tentativa de simplificar o problema da geometria anular, aproveitando as

equações já desenvolvidas para dutos, condensando a nova informação geométrica em

um novo diâmetro. Essa abordagem apesar de prática acaba atendendo apenas a casos

específicos, que são próximos aos utilizados em sua calibração. Esse tipo de formulação

pode apresentar estimativas pouco precisas, isto ocorre por dois motivos principais:

34

primeiro o modelo condensa toda informação geométrica em um único fator geométrico

conhecido com diâmetro equivalente; e segundo, os modelos não levam em

consideração os efeitos que ocorrem devido à nova configuração, que agora apresenta

novas restrições devido à parede interna, ao utilizar modelos próprios para dutos.

Para começarmos a análise temos novamente que definir bem os parâmetros

relevantes para esta nova geometria começando com suas características espaciais que

são ilustradas na figura abaixo:

Figura 4.4 – Geometria do anular

Sistema implícito

A nova proposição tenta descrever o fator de atrito considerando dois fatores de

atrito distintos paras caracterizar este escoamento, fe para caracterizar o fator de atrito

da parede externa e um fi para parede interna, para então obter o fator de atrito total, que

representa a perda de carga total gerada pelo atrito.

Ao adotar esta metodologia podemos dividir o problema do anular para cada uma

das interfaces fluido/parede estudadas e utilizar o equilíbrio entre as fases para

descrever a parte central do escoamento. Assim conseguimos escrever quatro equações

que serão utilizadas:

𝑢𝜏𝑒∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑒 =

ⅆP

ⅆx

𝐷𝑒2 − 𝐷𝑚

2

4 (4.47)

𝑢𝜏𝑖∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑖 =

ⅆP

ⅆx

𝐷𝑚2 − 𝐷𝑖

2

4 (4.48)

35

�̅�𝑖 = �̅�𝑒 ; raio =

𝐷𝑚

2 (4.49)

𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (4.50)

As duas primeiras equações representam um equilíbrio de força nas paredes

externas e internas, respectivamente. A terceira equação afirma que: as velocidades dos

perfis de velocidade (interno e externo) que partem das paredes são iguais em um

diâmetro conhecido como Dm. A quarta equação é a conservação de massa já

simplificada para regime permanente isotérmico e com propriedades constantes.

Partido do sistema formado por essas quatro equações iremos utilizar novamente

a equação (4.32) para representar o perfil de velocidade com origem na parede

substituindo na equação (4.49) obtemos:

𝑢𝜏𝑖

𝜒Ln[𝑦𝑖𝛼𝑖] + 𝑢𝜏𝑖

𝐶1 =𝑢𝜏𝑒

𝜒Ln[𝑦𝑒𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒

𝐶1 (4.51)

Onde:

𝛼𝑘 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑘

(2−𝑛)

𝑘)

1𝑛

(4.52)

𝑦𝑖 = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (4.53)

𝑦𝑒 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (4.54)

E utilizando as relações abaixo:

𝑢𝜏 = (𝜏

𝜌)

12 (4.55)

𝑓 =

2𝜏

ρv2 (4.56)

Chegamos em:

√𝑓𝑖 (

1

𝜒ln [

(𝐷𝑚 − 𝐷𝑖)

𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (

1

𝜒ln [

(𝐷𝑒 − 𝐷𝑚)

𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (4.57)

36

Onde:

𝛾𝑘 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ ReMR

1𝑛 ∗ 𝑓𝑘

(2−𝑛)2𝑛 (4.58)

Para solucionar a equação (4.50) novamente substituímos nela a equação (4.32)

para obtermos, após o ajuste com o novo sistema de coordenadas, a equação abaixo:

𝑣(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2)

4= ∫ 𝐴 𝑑𝑦

𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

+ ∫ 𝐵 𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚

0

(4.59)

Onde:

𝐴 = (𝑢𝜏𝑖

𝜒Ln [𝑦𝑖 (

𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑖

(2−𝑛)

𝑘)

1𝑛

] + 𝑢𝜏𝑖𝐶1) ∗ (𝑦 + 𝐷𝑖) (4.60)

𝐵 = (𝑢𝜏𝑒

𝜒Ln [𝑦𝑒 (

𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑖

(2−𝑛)

𝑘)

1𝑛

] + 𝑢𝜏𝑒𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦) (4.61)

Que apresenta como resultado final:

(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4= √

𝑓𝑖2

∗ 𝐶 + √𝑓𝑒2

∗ 𝐻 (4.62)

Onde:

𝐶 =

−DI2

4𝜒+

DI2

2𝜒Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖] +

𝐷𝑖DI

𝜒[−1 + Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖]] + 𝐶1 (

DI2

2+ 𝐷𝑖DI) (4.63)

𝐻 =

DE2

4𝜒−

DE2

2𝜒Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒] +

𝐷𝑒DE

𝜒[−1 + Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒]] + 𝐶1 (

−DE2

2+ 𝐷𝑒DE) (4.64)

𝛾𝑘 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ ReMR

1𝑛 ∗ 𝑓𝑘

(2−𝑛)2𝑛 (4.65)

DI = (𝐷𝑚 − 𝐷𝑖) (4.66)

37

DE = (𝐷𝑒 − 𝐷𝑚) (4.67)

As etapas completas de cálculo podem ser vistas no apêndice C.

Como essas duas equações ainda é necessário definir 𝐷𝑚 para tanto utilizamos

as outras duas equações (4.47) e (4.48) e chegamos a:

𝐷𝑚 = (𝐷𝑒

2𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝐷𝑖2𝑓𝑒𝐷𝑒

𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝑓𝑒𝐷𝑒)

2

(4.68)

Após manipulação algébrica chegamos ao sistema formado por estas duas equações:

𝑓𝑖 =

(

(√𝑓𝑒𝜒 Ln [DE

1D𝛾𝑒] + √𝑓𝑒 ∗ 𝐶1)

1𝜒 Ln [DI

1D 𝛾𝑖] + 𝐶1

)

2

(4.69)

𝑓𝑒 = 2

(

𝐶2 +

𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2

4 − (𝑓𝑖2)

12∗ 𝐸

𝐹

)

2

(4.70)

Onde:

𝐸 =

−DI2

4𝜒+

DI2

2𝜒Ln [DI

𝛾

D] +

𝐷𝑖DI

𝜒(−1 + Ln [DI

𝛾

D]) + 𝐶1 (

DI2

2+ 𝐷𝑖DI) (4.71)

𝐹 =

DE2

4𝜒−

DE2

2𝜒Ln [DE

𝛾

D] +

𝐷𝑒DE

𝜒(−1 + Ln [DE

𝛾

D]) + 𝐶1 (

−DE2

2+ 𝐷𝑒DE) (4.72)

Com este sistema podemos então determinar o valor do fator de atrito para a

parede interna e externa

Sistema explícito

38

Para aplicações práticas a divisão dos fatores de atrito de cada parede é irrelevante,

pois estamos interessados na perda total que ocorre na tubulação e a medição da própria

perda de carga é feita de maneira a considerar o sistema e não as perdas geradas pelas

paredes individualmente.

Então precisamos definir um fator de atrito total que para comparar com resultados

experimentais para isso utilizamos novamente as equações (4.47) e (4.48) para chegar a:

𝑓𝑡 =

π(𝑓𝑒 ∗ 𝐷𝑒 + 𝑓𝑖 ∗ 𝐷𝑖)

𝐷𝑒 + 𝐷𝑖 (4.73)

Agora que temos ft como sendo o fator de atrito que desejamos encontrar é

necessário definir a constante C2. Os dados experimentais foram retirados de

(LANGLINAIS, BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) dos quais, uma parte

utilizamos para calibração e a outra para validação, os dados podem ser encontrados no

apêndice E. Com isso temos a equação final descrita abaixo:

C2 = 0.0005910𝑛 − 0.0000092 + 10−16𝑒(53.722

𝐷𝑖𝐷𝑒

)− 0.0003705 (4.74)

Com isso chegamos ao sistema final definido como:

𝑓𝑖 =

(

(√fe𝜒 Ln [DE

1D γe] + √fe ∗ C1)

1𝜒 Ln [DI

1D γi] + C1

)

2

(4.75)

𝑓𝑒 = 2

(

C2 +

𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2

4 − (𝐹2)

12𝐴

𝐵

)

2

(4.76)

Onde:

𝐴 =

−DI2

4𝜒+

DI2

2𝜒Ln [DI

𝛾

D] +

𝐷𝑖

𝜒(−DI + DILn [DI

𝛾

D]) + C1(

DI2

2+ 𝐷𝑖DI) (4.77)

𝐵 =

DE2

4𝜒−

DE2

2𝜒Ln [DE

𝛾

D] +

𝐷𝑒

𝜒(−DE + DELn [DE

𝛾

D]) + C1(

−DE2

2+ 𝐷𝑒DE) (4.78)

39

C2 = 0,0005910𝑛 − 0,0000092 + 10−16𝑒(53,722

DiDe

)− 0,0003705 (4.79)

𝛾𝑘 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ Re1𝑛 ∗ 𝑓𝑘

(2−𝑛)2𝑛 (4.80)

𝐹 = 1,018 (0,1 +

0,982 ∗ 10−2

𝑛− 0,032 ∗ 𝑛)

1

Re1

2∗(𝑛+1)

(4.81)

40

Fator de atrito com rugosidade

O desenvolvimento desta equação foi colocado em uma seção à parte, por se

utilizar dos desenvolvimentos já feitos anteriormente e também por se tratar de uma

equação desenvolvida mais recentemente sendo necessários maiores estudos para

refinar sua calibração.

A rugosidade é de extrema importância para estimar o fator de atrito, ela afeta de

maneira apreciável o sistema para baixos Reynolds além de ser o fator determinante

para altos Reynolds. Para incorporar esse fator nas modelagens antes descritas o perfil

de velocidade precisa ser reescrito passando a considerá-la como descrito abaixo:

𝑢+ =

1

𝜒Ln[𝑦+] + 𝐶1 − 𝛥𝐵 (4.82)

Sendo o 𝛥𝐵 definido abaixo:

𝛥𝐵 =

1

𝜒Ln[1 + 𝜙 ∗ 𝐾+] (4.83)

Onde:

𝐾+ = 𝜀 (ρu𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(4.84)

Aqui 𝜀 é um comprimento característico do escoamento e representa a rugosidade,

com dimensão de comprimento, enquanto 𝜙 é uma constante que precisa ser ajustada,

para o caso de fluidos Newtonianos em dutos com rugosidade utilizando grãos de areia

este valor é de 0,3.

Com esta nova definição o mesmo procedimento anterior será utilizado para

desenvolver os modelos que consideram também a rugosidade como parâmetro, mas

vale ressaltar que os resultados que serão obtidos com as equações desenvolvidas nesta

seção necessitam de maior calibração para chegar a um resultado final mais acurado.

41

Duto

Utilizando as mesmas premissas iniciais da dedução para tubulação de

escoamento em regime permanente e com propriedades constantes substituímos as

equações (4.82), na (4.36) mostrada abaixo:

U =

2

𝑎2∫ 𝑢

_(𝑎 − 𝑦) ⅆ𝑦

𝑎

0

(4.85)

Resolvendo a equação obtemos:

√2

𝑓= −

3

2 ∗ 𝜒+

1

𝜒Ln (𝑟 ∗

𝛾

𝐷) + (𝐶1 − ΔB) + 𝐶2 (4.86)

A partir deste equacionamento temos que determinar as constantes chegando à

equação final definida abaixo:

√2

𝑓= −

3

2𝜒−

1

0,434𝜒Log (

2

𝛾+ 2𝜙

𝜀

𝐷) + 1,2 − 5,44Ln (𝑛) + 4,23𝑛 (4.87)

42

Capítulo 5

Análise dos resultados

Com as equações finais para estimar o fator de atrito, em mãos, elas precisam ser

validadas para garantir que representam o fenômeno de maneira adequada.

As comparações para avaliar os casos de escoamento no duto cilíndrico e no anular,

sem rugosidade, foram divididas em três partes da seguinte forma: primeiramente a

comparação com dados reais, depois uma análise com modelos existentes e por fim uma

análise geral onde são destacados os pontos mais importantes com um resumo das

comparações anteriores.

Para as equações definidas com rugosidade a análise feita irá conter apenas

discussão sobre os resultados bem como comparação com o modelo de (HAALAND,

1983) para o caso Newtoniano no duto, pois existem poucos dados experimentais e

modelos que tratem do assunto na literatura fazendo com que uma análise mais

completa seja difícil de ser realizada.

Esta proposta de análise visa demonstrar os principais pontos positivos da nova

formulação. Ressaltando sua capacidade de representar a realidade para grandes faixas

de Reynolds mesmo se tratando de uma equação explícita.

Duto

Nesta seção iremos avaliar a equação (4.44) e discutir os resultados obtidos ao

aplicá-la. Por se tratar de uma estimativa para o fator de atrito em uma das geometrias

mais usuais, como podemos observar pelos diversos trabalhos analisando o assunto,

como os (DODGE e METZNER, 1959), (BOGUE, 1962) e (YOO, 1974), uma grande

quantidade de dados experimentais está disponível para que possamos avaliar o seu

43

comportamento com diferentes fluidos, caracterizados pelos diferentes índices de

potência.

Comparação com dados experimentais

A melhor comparação que um modelo, que tenta descrever algum fenômeno, pode

ter é com a realidade, mas a realização de medições diretas em processos produtivos

conta com diversos fatores que podem influenciar a aquisição de dados, além de erros

associados ao sistema de medição inerente a metodologia utilizada em sua construção,

portanto uma análise cuidadosa dos resultados obtidos para validar as equações é

necessária.

Aqui foram selecionados dados experimentais dos trabalhos de (DODGE, 1959),

(BOGUE, 1962) e (YOO, 1974) cobrindo os índices de potência na faixa de n=1,

fluidos Newtonianos, até 𝑛 = 0,46 e 1.000 < 𝑅𝑒𝑀𝑅 < 120.000. Estes dados foram

escolhidos por se tratarem de experimentos controlados, minimizando a possibilidade de

efeitos secundários que afetem os valores medidos, realizados com intuito de entender o

comportamento do fator de atrito.

Para começar a discutir os resultados uma visão geral é mostrada pelo gráfico

abaixo seguida de uma análise mais detalhada para cada um dos valores do índice de

potência(n).

44

Figura 5.1 - Comparação Dados x Presente trabalho

Neste primeiro gráfico é possível observar que o novo modelo representado pelas

linhas com a legenda Presente trabalho no gráfico acima, concorda com os dados

experimentais, indicados pelos diferentes pontos ilustrados no gráfico, pois segue a

tendência do fator de atrito no regime turbulento. É possível também reparar que para o

casso do regime laminar, 𝑅𝑒𝑀𝑅 < 4.000, onde a equação não é valida, a discrepância

entre o modelo e o experimento é grande demonstrando que a nova proposição não

representa corretamente os fenômenos que nele ocorrem.

Devido à proximidade dos valores obtidos com o novo modelo e os dados

experimentais esta avaliação qualitativa serve apenas para ilustrar que o novo modelo

45

consegue descrever o comportamento geral, mas ainda e necessário verificar a precisão

dos resultados. Para tanto uma análise mais detalhado dos dados se faz necessária, para

melhor visualização eles foram agrupados em três grupos, segundo seus índices de

potências, definidos pelos dados experimentais.

Quando o índice de potência é igual à unidade o modelo de leis de potências

definido pela equação (2.2) é simplificado e passa a representar os fluidos Newtonianos.

Este caso é especial por se tratar de um caso de referência, possuindo diversos modelos

que conseguem estimar seu comportamento com precisão. Abaixo está um gráfico com

apenas pontos referentes a este caso e a nova proposição, seguido de uma tabela com os

erros absolutos e relativos:

Figura 5.2 - Comparação Dados x Presente trabalho =1,0

46

Tabela 5.1 - Erro Duto n=1,0

n=1,0

ReMR Erro Absoluto Erro

Relativo ReMR Erro Absoluto

Erro Relativo

5208,75 -3,08E-04 3,20% 78188,9 1,25E-04 2,72%

6242,56 -1,23E-03 12,20% 82668,2 4,07E-05 0,88%

6554,39 -2,08E-04 2,34% 88015 9,57E-05 2,12%

7800,76 -2,41E-04 2,83% 91133,4 -2,42E-05 0,53%

10821,2 -8,08E-05 1,06% 96354,3 -1,88E-05 0,42%

15011,1 3,46E-05 0,50% 97027,6 -2,31E-04 4,88%

40350,3 -1,01E-04 1,81% 103303 -1,41E-04 3,07%

45738,5 -1,17E-05 0,22% 105484 3,93E-05 0,89%

49379,7 2,25E-04 4,51% 106963 -8,62E-05 1,91%

49724,7 -9,56E-06 0,18% 109984 1,56E-06 0,04%

51486,5 -4,96E-05 0,95% 113091 -1,08E-04 2,41%

56364,8 -1,19E-04 2,29% 118740 -1,10E-05 0,25%

58361,8 -2,73E-05 0,54% 119570 1,03E-05 0,24%

60429,6 9,25E-05 1,89% 123806 -1,31E-04 2,96%

61705,3 -8,79E-05 1,74% 125542 -4,71E-06 0,11%

67083,1 -5,01E-05 1,02% 151511 -2,28E-06 0,06%

68499,2 -9,86E-06 0,20% 161310 -1,05E-04 2,53%

74989,4 -4,15E-05 0,86% 196037 -1,01E-04 2,51%

75513,4 4,20E-05 0,89% 220673 -3,88E-05 1,00%

77646,3 -1,60E-05 0,34% 233315 -7,91E-05 2,05%

No gráfico acima, que mostra o caso dos Fluidos Newtonianos, juntamente da

tabela, onde estão apresentados apenas os dados referentes ao regime turbulento, que os

resultados obtidos apresentam uma boa precisão com apenas quatro valores

ultrapassando um erro relativo maior que 3 %.

Este resultado é especialmente importante por se tratar dos fluidos com

comportamento reológico Newtoniano, pois é considerado um caso de referência devido

a maior entendimento de seu comportamento sendo utilizado por diversos estudos para

validar seus modelos, sendo assim a conformidade com estes dados garante maior

credibilidade ao novo modelo.

Ao diminuir o índice de potências para 0,7 começamos a avaliar os fluidos não

newtonianos propriamente ditos. Abaixo seguem os resultados obtidos:

47

Figura 5.3 Comparação Dados x Presente trabalho n=0,7

Tabela 5.2 – Erro Duto n=0,7

n=0,7

ReMR Erro

Absoluto Erro

Relativo ReMR

Erro Absoluto

Erro Relativo

4082,13 1,79E-04 2,22% 11361,7 3,96E-04 6,54%

4407,1 2,35E-04 2,97% 11682,6 1,05E-05 0,19%

4824,67 2,23E-04 2,92% 12012,6 5,59E-05 1,02%

5101,07 3,86E-04 5,15% 13059,5 3,60E-04 6,23%

5507,16 1,69E-04 2,32% 13428,4 2,23E-04 3,99%

5623,41 -9,75E-05 1,40% 14396,8 2,95E-04 5,30%

5782,25 2,37E-04 3,28% 15435,1 3,99E-04 7,17%

6028,95 1,84E-04 2,67% 16206,1 2,28E-04 4,28%

48

n=0,7

ReMR Erro

Absoluto Erro

Relativo ReMR

Erro Absoluto

Erro Relativo

6113,51 -4,91E-04 7,91% 17374,8 1,43E-04 2,86%

6786,62 2,80E-04 4,05% 17865,5 2,65E-04 5,08%

7027,07 3,53E-04 5,11% 18889 5,44E-04 10,02%

7429,64 1,65E-04 2,55% 19694,9 1,39E-04 2,79%

7800,76 2,67E-04 4,05% 22016,2 4,76E-04 9,23%

8133,59 3,08E-04 4,70% 22796,2 2,95E-04 5,99%

9219,72 3,82E-04 5,97% 23277,5 -7,35E-05 1,67%

9546,38 2,86E-04 4,58% 27703,9 2,56E-04 5,50%

10597,5 3,54E-04 5,94% 35845,6 3,37E-04 7,57%

11126,8 2,84E-04 4,76%

Aqui o erro relativo é maior que no casso dos fluidos Newtoniano, mas ainda se

encontra por volta dos 5% com apenas alguns dois pontos que se sobressaem desta

estimativa. Avaliando o gráfico juntamente da tabela a nova equação consegue

representar os fluidos não newtonianos com precisão, pelos pequenos valores de erro

observados.

Com a diminuição do índice de potência vemos que o Reynolds crítico aumenta e

neste gráfico também observamos parte do comportamento laminar que não é

comtemplado pela equação e retirado da comparação na tabela acima, mas mantido no

gráfico para demonstrar que a equação não é valida neste caso, como pode ser

observado pela maior distância entre o modelo e os dados experimentais.

O valor de n=0.46 é considerado baixo e não são muitos fluidos encontrados que

apresentam um comportamento semelhante. A dificuldade tanto de preparo quanto

manutenção das propriedades do fluido durante o experimento dificulta a sua realização,

por esse motivo temos uma quantidade menor de dados para esse caso.

49

Figura 5.4 - Comparação Dados x Presente trabalho n=0,46

Tabela 5.3 – Erro Duto n=0,46

n=0,46

ReMR Erro Absoluto Erro

Relativo ReMR Erro Absoluto

Erro Relativo

4053,81 -2,51E-05 0,38% 7692,88 2,38E-05 0,47%

4437,9 1,18E-04 1,82% 7910,16 1,77E-04 3,43%

5030,52 6,47E-05 1,06% 8305,29 -1,66E-04 3,52%

5030,52 -9,58E-04 18,92% 8599,55 -9,98E-05 2,11%

5065,67 3,19E-04 5,05% 9480,13 4,95E-05 1,05%

5742,12 -5,59E-04 10,90% 17134,5 1,86E-04 4,74%

7175,41 -3,09E-04 6,34% 19558,3 2,29E-04 6,01%

50

Aqui novamente o gráfico mostra todos os dados experimentais inclusive do

regime laminar, apenas para reforçar a ideia de que a equação não é valida para este

caso, e na tabela temos separado a comparação apenas com os dados relativos ao regime

turbulento. Pela análise do mesmo podemos ver que temos apenas dois pontos

afastados, mas isto se deve ao fato de os dados experimentais apresentarem uma

variação muito grande do índice de potência, sendo necessário escolher um valor de

índice potência para trabalhar, sendo assim esta maior distância pode estar relacionada a

este fato.

Comparação com outros modelos

A comparação com outros modelos é importante para averiguar como a nova

proposição se comporta mediante os resultados que hoje são utilizados. Nesta seção o

novo modelo será comparado com outras três equações, sendo duas delas implícitas e

uma terceira explícita para o cálculo do fator de atrito. Serão utilizadas comparações

com os valores do índice de potência utilizado na seção anterior, para facilitar a

comparação geral, que será realizada posteriormente.

Como podemos observar no gráfico abaixo a nova equação proposta apresenta

concordância com a desenvolvida por (DODGE e METZNER, 1959), essa concordância

é um ponto positivo, pois o valor do fator de atrito obtido pela correlação de Dodge e

Metzner é considerado uma referência quando tratamos do fator de atrito para dutos em

fluidos não newtonianos. Abaixo temos um gráfico com a comparação apenas entre

estes dois modelos.

51

Figura 5.5 - Presente trabalho x Dodge e Metzner

Para comparar a nova equação com outros modelos são mostrados dois gráficos

para cada índice de potências sendo o primeiro um gráfico comparando as equações e o

segundo mostrando a diferença entre eles em termos relativos ao novo modelo

percentualmente. A seguir estão os gráficos com os índices de potência 𝑛 = 1,0.

52

Figura 5.6 - Comparação entre modelos Duto n=1.0

53

Figura 5.7 – Erro relativo Outros modelos x Presente trabalho n=1,0

Quando 𝑛 = 1,0, fluidos Newtonianos, as equações tendem a convergir por se

tratar de um commportamento considerado como referência, apresentando resultados

semelhantes. Como podemos observar nos gráficos acima. Contudo para a equação

explícita (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a), desenvolvida apenas para

descrever uma faixa restrita de ReMR, sua previsão começa a apresentar diferenças com

os demais modelos como se pode ver pelo comportamento da linha verde no segundo

gráfico. Pode-se observar também que os modelos implícitos apresentam resultados

muito próximos do novo modelo.

54

Figura 5.8 - Comparação entre modelos Duto n=0,7

55


Conforme diminuímos o valor do índice de potências começamos a perceber

uma diferença maior entre os diversos modelos, como podemos ver pelos gráficos

acima, que representam o índice de potência n=0,7. A diferença entre a nova equação e

outros modelos são maiores, mantendo uma proximidade com a equação de (DODGE e

METZNER, 1959) e (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a).

56

Figura 5.10 - Comparação entre modelos Duto n=0,46

57


Aqui podemos ver que a diferença entre os modelos e a nova proposição fica

ainda mais acentuada quanto menor é o índice de potência utilizado.

Análise geral

Para avaliar a precisão do método foram agrupados os erros relativos referentes à

parte turbulenta dos dados no gráfico abaixo.

58

Figura 5.12 - Erro relativo Presente trabalho x Dados experimentais

Do gráfico acima é possível ver que o novo modelo apresenta resultados bem

próximos da realidade com um erro relativo médio de aproximadamente 4%.

Nas seções anteriores foram apresentadas comparações entre o novo modelo

com dados experimentais e outras equações, para estimar o fator de atrito demostrando a

conformidade do modelo com a realidade, através da comparação com os dados

experimentais. Abaixo temos uma tabela com a comparação dos diversos modelos com

os dados experimentais.

59

Tabela 5.4 - Erro relativo médio para Duto

Erro relativo médio (%)

Presente trabalho Dodge e Metzner Tomita Hamid

n=1,0 1,55% 1,56% 1,56% 3,71%

n=0,7 3,82% 2,94% 25,40% 3,19%

n=0,46 4,76% 4,94% 55,33% 5,06%

Geral 3,38% 3,15% 27,43% 3,99%

Com a análise das tabelas acima podemos perceber que a nova proposição

juntamente da equação de (DODGE e METZNER, 1959) possuem os menores erros.

Mesmo com os dois resultados sendo próximos, a nova proposição possui uma grande

vantagem em relação à proposição de (DODGE e METZNER, 1959), que é o fato dela

ser explícita, eliminando a necessidade de procedimentos iterativos para resolução do

problema. Como podemos ver dos gráficos anteriores a equação proposta por

(ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015a) também obtém bons resultados

para este intervalo dos dados experimentais, mas começa a se afastar do comportamento

quando atingimos um ReMR alto ou diminuímos o índice de potência.

Anular

Para calcular o fator de atrito no regime anular, normalmente são utilizadas as

equações já existentes para descrever o duto, substituindo o valor do diâmetro do duto

por um diâmetro equivalente. O diâmetro equivalente é obtido através de uma relação

dos parâmetros geométricos do escoamento anular, esta metodologia tenta adaptar os

resultados antigos a nova geometria, ou seja, as equações ficam inalteradas, mas o novo

diâmetro equivalente compensa as mudanças da geometria para que se possa representar

corretamente o fator de atrito.

Apesar de ser a metodologia mais utilizada, por trabalhar com equações familiares, seus

resultados apresentam discrepâncias significativas com a realidade, quando analisamos

sua aplicabilidade, limitando sua utilização a casos específicos, isso ocorre porque esses

60

modelos tentam condensar toda nova informação geométrica em um único parâmetro.

Existem algumas definição para o diâmetro equivalente das quais são mostradas 3 das

mais utilizadas abaixo:

𝐷𝑒 = De − Di (6.1)

𝐷𝑒 =1

2[De4 − Di4 −

(De2 − Di2)2

Ln (DeDi)

] +1

2[De2 − Di2]

12 (6.2)

𝐷𝑒 = 0.816(De − Di) (6.3)

Iremos analisar nesta seção duas configurações de anular comparando com dados

experimentais e os outros modelos.

Comparação com dados experimentais

Começaremos mostrando os resultados obtidos para o primeiro anular, este

possui um diâmetro interno, Di, de 0.562m e diâmetro externo, De, de 0.658m.

61

Figura 5.13 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1)

62

Figura 5.14 –Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 1)

No primeiro gráfico podemos ver uma boa concordância com os resultados

experimentais, que é confirmado com o gráfico ao lado onde podemos ver um erro

relativo máximo de 16%.

Abaixo são apresentados os resultados para o segundo anular com 𝐷𝑖 = 0,845𝑚

e 𝐷𝑒 = 0,126𝑚.

63

Figura 5.15 - Comparação Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2)

64

Figura 5.16 - Erro relativo Dados experimentais x Presente trabalho (Anular 2)

Os valores absolutos mostrados podem fazer parecer que o resultado está mais

distante do que parece. Para avaliar a efetividade do método foi feita uma análise do

erro relativo.

Aqui vemos que, mesmo distantes, apresentam um erro relativo semelhante à

comparação anterior e abaixo de 15%, com apenas duas exceções, mostrando a

concordância do novo modelo.

Comparação com outros modelos

65

Abaixo estão as comparações realizadas entre o novo modelos e os modelos de

Dodge e Metzner e Tomita com a definição para o diâmetro equivalente dado pela

equação (6.1), para o anular 1:

Figura 5.17 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0,874

66

Figura 5.18 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,874 (Anular 1)

67

Figura 5.19 - Comparação entre modelos Anular 1 n = 0.824

68

Figura 5.20 – Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,824 (Anular 1)

69


70

Figura 5.22 - Diferença Presente trabalho x Outros modelos n = 0,784 (Anular 1)

Como podemos perceber em todos os três casos a diferença entre os modelos é

grande, mesmo quando analisamos o erro relativo apresentado no segundo gráfico de

cada índice de potência. Isto é em parte pela escolha do diâmetro equivalente.

Abaixo estão as comparações das equações para o anular 2:

71

Figura 5.23 - Comparação entre modelos Anular 2 n = 0,807

72


73


74


Aqui novamente os resultados estão bem distantes como é demonstrado pelo

segundo gráfico de cada uma das comparações

Análise geral

Para melhor visualizar as diferenças entre os modelos a tabela abaixo resume os

resultados mostrados nessa seção com a comparação entre os diversos modelos e os

dados experimentais:

75

Tabela 5.5 - Erro relativo médio Anular

Erro relativo médio (%)

n Presente trabalho Tomita Dodge e Metzner

Anular 1

(De=0,0286)

0,874 8,57% 38,63% 33,33%

0,824 10,35% 29,11% 20,90%

0,784 12,21% 21,44% 9,92%

Anular 2

(De=0,0512)

0,807 20,90% 91,35% 92,29%

0,784 22,60% 91,27% 92,33%

Geral 14.93% 54.36% 49.76%

Podemos perceber que a nova proposição apresenta os menores erros, obtendo os

melhores resultados para os casos com a vantagem de ser uma equação explícita. É

importante relatar que diâmetro equivalente utilizado pode melhorar os resultados

obtidos em até 30% para as outras equações, mas mesmo assim não consegue chegar

aos mesmos resultados obtidos pela nova formulação.

Rugosidade

Ao introduzir a rugosidade como mais um parâmetro, a análises completa torna-se

mais difícil, pois menos dados experimentais estão disponíveis, portanto as equações

aqui utilizadas serão comparadas com alguns modelos para testar sua validade.

76

O valor de 𝜙 utilizado para obter esses resultados é uma proposta desenvolvida

em outra pesquisa realizada no laboratório por (SANTOS, 2015) que apresenta

resultados preliminares consistentes e é definido abaixo:

ϕ = 100,1(1−1𝑛) ∗ 0,27 (5.4)

Quando estamos falando de dutos cilíndricos podemos testar a rugosidade com

as equações já amplamente conhecidas para o caso newtoniano garantindo a boa

aproximação com os dados. Aqui foi escolhida outra equação explícita amplamente

utilizada, a equação de Haaland, para realizar a comparação.

Figura 5.27 - Presente trabalho x Haaland

77

Como podemos ver pelo gráfico as duas equações apresentam previsões muito

próximas mostrando que a nova equação para o caso newtoniano apresenta resultados

acurados

Para o caso de fluidos não newtonianos temos apenas os resultados obtido pela

nova formulação

Figura 5.28 - Presente trabalho Duto rugoso n= 0,6

Para este caso não existe uma equação amplamente aceita para descrever o caso

além de dados escassos para testar a nova formulação podemos apenas avaliar que o seu

comportamento segue o padrão esperado e por este motivo acreditamos que ela possa

fornecer bons resultados se for corretamente calibrada.

78

Para esta equação onde foi incluída a rugosidade, por falta de dados experimentais,

não podemos afirmar o quanto precisa ela será em aplicações, mas utilizando este novo

modelo conseguimos resultados equiparáveis aos de Haaland para o caso newtoniano e

quando estudamos os comportamento da função para fluidos Não Newtonianos

observando um comportamento semelhante ao esperado o que leva a creditar que o

ajuste proposto irá gerar uma equação aplicável ao caso Não Newtoniano.

79

Capítulo 6

Conclusão

O comportamento dos fluidos é extremamente complexo e desenvolver equações

que consigam descrever suas características de forma explicita é um desafio, mas

devido à praticidade para resolução de problemas fornecida por este tipo de formulação,

aliadas a sua rapidez de respostas, fazem dela uma ótima ferramenta de engenharia.

Neste trabalho foram propostas três novas equações explícitas para representar o

fator de atrito de fluidos Não Newtonianos que têm tido uma grande expansão em sua

utilização, com diferentes aplicações. Sendo que a equação com o termo rugoso

necessita de maiores estudos para garantir sua aplicabilidade.

Para tubulações lisas onde uma análise mais completa pode ser realizada é possível

constatar que a metodologia utilizada para construção das equações apresenta bons

resultados, obtendo estimativas precisas e acuradas, além de abranger uma grande faixa

de aplicação, devido ao fato de todo o seu desenvolvimento estar baseado em

fundamentos físicos, juntando isto ao fato desta nova formulação ser explícita é possível

aplicá-la para aprimorar diversas rotinas de cálculo computacionais e implementar

controles de produção mais rápidos e precisos.

A equação com o termo rugoso é uma formulação ainda em desenvolvimento, por

isso é necessário pesquisar mais para obter resultados semelhantes ao das tubulações

hidraulicamente lisas e foram ilustradas neste trabalho para demonstrar a possibilidade

de expansão da ideia por trás da construção das equações.

A metodologia utilizada para desenvolver estas equações pode ser estendida para

outros tipos de reologia, sendo necessário adaptarem-se as equações básicas de forma

semelhante à realizada no capítulo 4, possibilitando desenvolver novas equações para

reologias não abordadas, bem como geometrias diferentes.

80

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84

APÊNDICE A – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO

EXPLICITA

A fim de deixar o texto principal sucinto a formulação matemática completa da

equação desenvolvida está descrita neste apêndice. Começando com as relações já

definidas:

𝜀 =𝑈3

𝐿 (A.1)

𝜀 = 𝑘 (𝑢

𝑙)𝑛−1 𝑢2

𝑙2 (A.2)

𝑢2−𝑛𝑙𝑛

𝑘= 1 (A.3)

Re𝐿 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛

𝑘 (A.4)

Reescrevendo as equações acima obtemos:

𝜀 =𝑈3

𝐿 (A.5)

𝑢 = 𝑙 (𝜀

𝑘)

1𝑛+1

(A.6)

𝑙 = (𝑘

𝑢2−𝑛)

1𝑛

(A.7)

𝑘 =𝑈2−𝑛𝐿𝑛

Re𝐿 (A.8)

Substituindo as equações (A.5), (A.7) e (A.8) na equação (A.6):

𝑢 = (𝑈2−𝑛𝐿𝑛

Re𝐿

1

𝑢2−𝑛)

1𝑛

(𝑈3

𝐿

Re𝐿

𝑈2−𝑛𝐿𝑛)

1𝑛+1

(A.9)

Que pode ser simplificada da seguinte forma:

85

𝑢 =𝑈

2−𝑛𝑛 𝐿

𝑢2−𝑛𝑛 Re𝐿

1𝑛

∗𝑈

𝐿∗ Re𝐿

1𝑛+1 (A.10)

(𝑢

𝑈)

2𝑛

= Re𝐿

(−1

𝑛(𝑛+1))

(A.11)

Reescrevendo obtemos a forma final:

𝑢

𝑈=

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1))

(A.12)

Segundo (GIOIA e CHAKRABORTY, 2006) temos que a tensão na parede é

proporcional segundo a relação:

𝜏~vρU (A.13)

E o fator de atrito apresenta a seguinte relação:

𝑓~

𝜏

ρU2 (A.14)

Substituindo (A.13) e (A.14) na equação (A.12) obtemos:

𝜏

ρU

1

𝑈~

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (A.15)

Chegando a relação:

𝑓~

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (A.16)

Como a relação acima trata apenas de uma proporção existente entre o fator de

atrito e o número de Reynolds é necessário introduzir uma função para transformar esta

proporção em uma equação, então podemos escrever a equação abaixo:

𝑓 = 𝐺(𝑛)

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (A.17)

A forma da função, como tendo dependência do índice de potência (n), foi

proposta no trabalho de (ANBARLOOEI, CRUZ e SILVA FREIRE, 2015b) após

avaliar os dados experimentais chegando à equação final abaixo:

86

𝑓 = 1.018 (0.1 +

0.982 ∗ 10−2

𝑛− 0.0322 ∗ 𝑛)

1

Re𝐿

(1

2(𝑛+1)) (A.18)

87

APÊNDICE B – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO

NO INTERIOR DO DUTO

Neste apêndice a dedução completa para se chegar à equação (4.41) será

demonstrada. Começando com a conservação de massa em um escoamento no regime

permanente onde o fluido possui propriedades constantes, que pode ser representado

pela equação baixo:

𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (B.1)

Figura B. 1 - Duto

A partir da geometria definida pela figura acima podemos escrever as relações

abaixo:

𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 (B.2)

ⅆA = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 ∗ −ⅆy (B.3)

Substituindo na equação (B.1) temos:

𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 = −∫ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

𝑟

𝑜

(B.4)

88

Simplificando:

𝑈 =

−2

𝑟2∫ 𝑢 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

𝑟

0

(B.5)

Primeiro começaremos com as equações (4.23) a (4.25) mostradas abaixo:

𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (B.6)

𝑢+ =

1

𝜒Ln(𝑦+) + 𝐶1 (B.7)

𝑦+ = 𝑦 (𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(B.8)

Essas equações são válidas quando o sistema de coordenadas se encontra na

parede por isso precisamos reescrever a equação (B.5) como abaixo:

𝑈 =

2

𝑟2∫ 𝑢 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

(B.9)

Agora podemos substituir as equações (B.6), (B.7) e (B.8) na equação (B.9) para

obtermos:

𝑈 =

2

𝑟2∫ (

1

𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼) + 𝐶1) ∗ 𝑢𝜏 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

(B.10)

Onde:

𝛼 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(B.11)

Para solucionar a equação acima separamos a integral em duas partes como

mostrado abaixo:

𝑣

𝑢𝜏=

2

𝑟2[∫ (

1

𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼)) (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

+ ∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑟

0

] (B.12)

Para solucionar a primeira integral da equação acima dividimos novamente em

duas partes:

89

∫ (

1


𝑟

0

=1

𝜒[ ∫ 𝑟 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦

𝑟

0

+ ∫ 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦𝑟

0

] (B.13)

Cuja solução da primeira parte utiliza-se do método de integração por partes

para chegar a:

∫𝑟 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦 = 𝑟[−𝑦 + 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)] (B.14)

E na segunda precisamos aplicar o método duas vezes para chegarmos à solução

dada abaixo:

∫𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) 𝑑𝑦 =−𝑦2

4+

𝑦2

2∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼) (B.15)

Substituindo (B.14) e (B.15) em (B.13) obtemos:

∫ (

1


𝑟

0

=1

𝜒(𝐴 + 𝐵) (B.16)

Onde:

A = {𝑟 ∗ [−𝑦 + 𝑦 ∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)]}0

𝑟 (B.17)

𝐵 = [

−𝑦2

4+

𝑦2

2∗ Ln(𝑦 ∗ 𝛼)]

0

𝑟

(B.18)

Podemos simplificar o lado direto da equação da seguinte maneira:

1

𝜒(𝐴 + 𝐵) =

1

𝜒∗ [−

3𝑟2

4+

𝑟2

2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (B.19)

Por fim obtemos:

∫ (

1


𝑟

0

=1

𝜒∗ [−

3𝑟2

4+

𝑟2

2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (B.20)

Para a segunda parte da equação (B.12) podemos resolvê-la por integração direta

chegando a:

∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

= 𝐶1 ∗ [𝑟 ∗ 𝑦 −𝑦2

2]0

𝑟

(B.21)

90

Que pode ser simplificada para:

∫ 𝐶1 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

= 𝐶1 ∗ (𝑟2 −𝑟2

2) = 𝐶1 ∗

𝑟2

2 (B.22)

Para escrever o problema somente com os parâmetros adimensionais ainda

precisaremos das relações descritas abaixo:

𝑓 =

2𝜏

𝜌 ∗ 𝑈2 (B.23)

ReMR =

𝜌 ∗ 𝑈2−𝑛 ∗ 𝐷𝑛

𝑘 ∗ 𝛽 (B.24)

𝛽 = (6 +2

𝑛)𝑛 1

8 (B.25)

𝑢𝜏 = √𝜏

𝜌 (B.26)

Através dessas definições podemos escrever 𝛼 como:

(𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

= [𝑓2−𝑛2 (

𝜌𝑈2

2𝜏)

2−𝑛2

∗ ReMR

𝑘𝛽

𝜌𝑣2−𝑛𝐷𝑛∗𝜌

𝑘(𝜏

𝜌)

2−𝑛2

]

1𝑛

(B.27)


(𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

=1

𝐷(𝑓

2−𝑛2𝑛 ∗ ReMR

1𝑛 ∗ 0.5

2−𝑛2𝑛 ∗ 𝛽

1𝑛) (B.28)

Para tornar o resultado final mais elegante iremos escrevê-lo da forma:

(𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

=𝛾

𝐷 (B.29)

Onde:

𝛾 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛


1𝑛 (B.30)

91

Também podemos utilizar as relações (B.23), (B.24), (B.25) e (B.26) para

reescrever o lado esquerdo da equação (B.12) como segue abaixo:

𝑈

𝑢𝜏= 𝑣 ∗ (

𝜌

𝜏)

12∗

1

√𝑓∗ (

2𝜏

𝜌 ∗ 𝑣2)

12

= √2

𝑓 (B.31)

Substituindo as equações (B.14), (B.19), (B.22), (B.29) e (B.31) na equação

(B.12) obtemos:

√2

𝑓=

2

𝑟2∗ (

1

𝜒∗ [−

3𝑟2

4+

𝑟2

2∗ Ln (𝑟 ∗

𝛾

𝐷)] + 𝐶1 ∗

𝑟2

2) (B.32)

Que pode ser simplificada para a forma final:

√2

𝑓= −

3

2 ∗ 𝜒+ Ln (

𝛾

2) + 𝐶1 + 𝐶2 (B.33)

Onde:

𝛾 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ ReMR

1𝑛 ∗ 𝑓

2−𝑛2𝑛 (B.34)

92

APÊNDICE C – DEDUÇÃO DO SISTEMA

PARA ESCOAMENTO ANULAR

Neste apêndice mostra-se detalhadamente a dedução do sistema representado

pelas equações (4.75) até a (4.81). Para começar a dedução deste sistema partimos de

um conjunto de quatro equações definidas abaixo:

𝑢𝜏𝑒∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑒 =

ⅆP

ⅆx


2

4 (C.1)

𝑢𝜏𝑖∗ 𝜋 ∗ 𝐷𝑖 =

ⅆP

ⅆx


2

4 (C.2)

𝑢𝑖(𝐷𝑚) = 𝑢𝑒(𝐷𝑚) (C.3)

𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (C.4)

Aqui as equações (C.1) e (C.2) representam um equilíbrio de forças na parede

interna do duto externo e o equilíbrio na parede externa do duto interno

respectivamente. A equação (C.3) afirma que a velocidade dos dois perfis tem que ser

iguais quando o diâmetro for igual a 𝐷𝑚. Por fim a equação (C.4) representa o equilíbrio

de massa para um escoamento que atingiu o regime permanente com propriedades

constantes.

Além desse conjunto de equações precisaremos novamente das equações (4.23)

(4.25) mostradas abaixo:

𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (C.5)

𝑢+ =

1

𝜒Ln(𝑦+) + C1 (C.6)

𝑦+ = 𝑦 (𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(C.7)

Aplicando as equações (C.5), (C.6) e (C.7) na equação (C.3) obtemos:

93

𝑢𝜏𝑖

𝜒Ln [𝑦𝑖 (

𝜌𝑢𝜏𝑖

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

] + 𝑢𝜏𝑖𝐶1 =

𝑢𝜏𝑒

𝜒Ln [𝑦𝑒 (

𝜌𝑢𝜏𝑒2−𝑛

𝑘)

1𝑛

] + 𝑢𝜏𝑒𝐶1 (C.8)

Utilizando as relações abaixo

𝑢𝜏 = (𝜏

𝜌)

12 (C.9)

𝑦𝑖 = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.10)

𝑦𝑒 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.11)

Chegamos em:

(𝜏𝑖

𝜌)

12 1

𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + (

𝜏𝑖

𝜌)

12𝐶1 = (

𝜏𝑒

𝜌)

12 1

𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + (

𝜏𝑒

𝜌)

12𝐶1 (C.12)

Onde:

𝛼𝑘 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏𝑘

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(C.13)

DI = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.14)

DE = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.15)

Utilizando a definição do fator de atrito:

𝑓 =

2𝜏

ρU2 (C.16)

Chegamos em:

√𝑓𝑖 (ρU2

2𝜏𝑖)

12

(𝜏𝑖

𝜌)

12(1

𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + 𝐶1)

= √𝑓𝑒 (ρU2

2𝜏𝑒)

12

(𝜏𝑒

𝜌)

12(1

𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + 𝐶1)

(C.17)

94

Após simplificarmos chegamos em

√𝑓𝑖 (

1

𝜒Ln[𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (

1

𝜒Ln[𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒] + 𝐶1) (C.18)

Utilizando a mesma relação mostrada pelas equações (B.23) até (B.29) do

apêndice B mostradas abaixo:

(𝜌𝑢𝜏𝑘

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

=𝛾𝑘

𝐷 (C.19)

Onde:

𝛾𝑘 = (3 +1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ 𝑓𝑘


1𝑛 (C.20)

Chegamos a uma das equações que irão compor o sistema final definida como:

√𝑓𝑖 (

1

𝜒Ln [

𝐷𝐼

𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (

1

𝜒Ln [

𝐷𝐸

𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (C.21)

Figura C. 1 – Anular

Para a equação (C.4) segundo a geometria adotada é ilustrada acima temos:

𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4 (C.22)

𝑑𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦 (C.23)

Substituindo as equações (C.22) e (C.23) na (C.4) obtemos:

95

𝑈 ∗ 𝜋 ∗

(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2)

4= ∫ 𝑢 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

𝐷𝑒

𝐷𝑖

(C.24)

Aplicando as equações (C.5), (C.6) e (C.7) na equação (C.24), após ajustar para

a geometria mostrada na Figura C. 1Erro! Fonte de referência não encontrada.

obtemos:

𝑈(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2)

4= A + B (C.25)

𝐴 = ∫ (

𝑢𝜏𝑖

𝜒Ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] + 𝑢𝜏𝑖

𝐶1) ∗ (𝑦 + 𝐷𝑖) 𝑑𝑦𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

(C.26)

𝐵 = ∫ (

𝑢𝜏𝑒

𝜒Ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒

𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦)𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚

0

(C.27)

Onde 𝛼𝑖 e 𝛼𝑒 são definidos pela equação (C.13). Resolvendo 𝐴 obtemos:

A = 𝑢𝜏𝑖

(𝐶 + 𝐼) (C.28)

𝐶 = ∫

𝑦

𝜒ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] 𝑑𝑦

𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

+ ∫1

𝜒ln[𝑦 ∗ 𝛼𝑖] 𝑑𝑦

𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

(C.29)

𝐼 = ∫ 𝑦 ∗ 𝐶1 𝑑𝑦

𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

+ ∫ 𝐶1 ∗ 𝐷𝑖 𝑑𝑦𝐷𝑚−𝐷𝑖

0

(C.30)

Utilizando a técnica de integração por partes para resolver 𝐶 e integração direta

para 𝐷:

C =

−𝐷𝐼2

4𝜒+

𝐷𝐼2

2𝜒Ln(𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖) +

𝐷𝑖

𝜒[−𝐷𝐼 + 𝐷𝐼 ∗ Ln(𝐷𝐼 ∗ 𝛼𝑖)] (C.31)

𝐼 = 𝐶1

𝐷𝐼2

2+ 𝐷𝑖 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐷𝐼 (C.32)

A segunda integral segue o mesmo princípio de resolução da primeira tendo

apenas que tomar cuidado com os sinais assim temos:

∫ (

𝑢𝜏𝑒

𝜒Ln[𝑦𝑒𝛼𝑒] + 𝑢𝜏𝑒

𝐶1) ∗ (𝐷𝑒 − 𝑦)𝑑𝑦𝐷𝑒−𝐷𝑚

0

= 𝑢𝜏𝑒(𝐸 + 𝐹) (C.33)

96

𝐸 =

𝐷𝐸2

4𝜒−

𝐷𝐸2

2𝜒Ln(𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒) +

𝐷𝑒

𝜒[−𝐷𝐸 + 𝐷𝐸 ∗ Ln(𝐷𝐸 ∗ 𝛼𝑒)] (C.34)

𝐹 = −𝐶1

𝐷𝐸2

2+ 𝐷𝑒 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐷𝐸 (C.35)

Substituindo as equações (C.31) e (C.33) na equação (C.25) obtemos:

𝑣(𝐷𝑒2 − 𝐷𝑖

2)

4= 𝑢𝜏𝑖

(𝐶 + 𝐷) + 𝑢𝜏𝑒(𝐸 + 𝐹) (C.36)

Utilizando a igualdade definida por (C.19) juntamente das simplificações

definidas abaixo:

𝑢𝜏 = (𝜏

𝜌)

12√𝑓 (

ρU2

2𝜏)

12

= 𝑣√𝑓

2 (C.37)

Chegamos em:

𝑣(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4= 𝑣√

𝑓𝑖2

∗ 𝐺 + 𝑣√𝑓𝑒2

∗ 𝐻 (C.38)

𝐺 =

−DI2

4𝜒+

DI2

2𝜒Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖] +

𝐷𝑖

𝜒[−DI + DI ∗ Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1

DI2

2+ 𝐷𝑖𝐶1DI (C.39)

𝐻 =

DE2

4𝜒−

DE2

2𝜒Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒] +

𝐷𝑒

𝜒[−DE + DE ∗ Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒] − 𝐶1

DE2

2+ 𝐷𝑒𝐶1DE (C.40)

Onde DI e DE são definidos pelas equações (C.14) e (C.15) respectivamente.

Simplificando a equação (C.38) chegamos à segunda equação do sistema final definida

abaixo por:

(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4= √

𝑓𝑖2

∗ 𝐺 + √𝑓𝑒2

∗ 𝐻 (C.41)

Ainda é preciso definir o valor de 𝐷𝑚 para um valor conhecido para tanto o

quociente entre as equações (C.1) e (C.2) obtendo:

𝑢𝜏𝑒𝐷𝑒

𝑢𝜏𝑖𝐷𝑖

=𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑚2


2 (C.42)

97

Utilizando a equação (C.16) na equação (C.42) chegamos em:

𝑓𝑒2ρv2𝐷𝑒

𝑓𝑖2ρv2𝐷𝑖=


2


2 (C.43)


𝑓𝑖𝐷𝑖(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑚2 ) = 𝑓𝑒𝐷𝑒(𝐷𝑚

2 − 𝐷𝑖2) (C.44)

Isolando 𝐷𝑚 temos:

𝐷𝑚 = (𝐷𝑒

2𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝐷𝑖2𝑓𝑒𝐷𝑒

𝑓𝑖𝐷𝑖 + 𝑓𝑒𝐷𝑒)

2

(C.45)

Com isso obtemos o sistema formado pelas equações (C.21) e (C.41) mostrado

abaixo:

√𝑓𝑖 (

1

𝜒Ln [

𝐷𝐼

𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1) = √𝑓𝑒 (

1

𝜒Ln [

𝐷𝐸

𝐷𝛾𝑒] + 𝐶1) (C.46)

(𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4= √

𝑓𝑖2

∗ 𝐺 + √𝑓𝑒2

∗ 𝐻 + 𝐶2 (C.47)

Que pode ser reescrito da seguinte forma:

𝑓𝑖 = 𝑓𝑒 ∗ [(1𝜒 Ln [

𝐷𝐸𝐷 𝛾𝑒] + 𝐶1)

(1𝜒 Ln [

𝐷𝐼𝐷 𝛾𝑖] + 𝐶1)

]

2

(C.48)

𝑓𝑒 = 2 ∗

[ (𝐷𝑒

2 − 𝐷𝑖2)

4 + 𝐶2 − √𝑓𝑖2 ∗ 𝐺

𝐻

] 2

(C.49)

Onde:

𝐺 =

−DI2

4𝜒+

DI2

2𝜒Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖] +

𝐷𝑖

𝜒[−DI + DI ∗ Ln [

DI

𝐷𝛾𝑖] + 𝐶1

DI2

2+ 𝐷𝑖𝐶1DI (C.50)

98

𝐻 =

DE2

4𝜒−

DE2

2𝜒Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒] +

𝐷𝑒

𝜒[−DE + DE ∗ Ln [

DE

𝐷𝛾𝑒] − 𝐶1

DE2

2+ 𝐷𝑒𝐶1DE (C.51)

𝛾𝑘 = (3 +1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛

) ∗ 𝑓𝑘


1𝑛

(C.52)

DI = 𝐷𝑚 − 𝐷𝑖 (C.53)

DE = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑚 (C.54)

E o valor de 𝐷 é o comprimento característico e depende da definição utilizada

para ReMR Neste trabalho adotamos a definição abaixo:

𝐷 = 𝐷𝑒 − 𝐷𝑖 (C.55)

99

APÊNDICE D – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO

NO INTERIOR DO DUTO COM

RUGOSIDADE

Neste apêndice a dedução completa para se chegar à equação (4.87) será

demonstrada. Esta demonstração é muito semelhante à realizada no apêndice B. Para

um escoamento onde o fluido tem propriedades constantes e se encontrasse em regime

permanente temos que:

𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝐴 (D.1)

A partir da geometria definida pela figura acima podemos escrever as relações

abaixo:

𝑄 = 𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 (D.2)

ⅆA = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 ∗ ⅆy (D.3)

Substituindo na equação (D.1) temos:

𝑈 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 = ∫ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

𝑟

𝑜

(D.4)

Simplificando a equação acima resulta em:

𝑈 =

2

𝑟2∫ 𝑢 ∗ 𝑦 𝑑𝑦

𝑟

0

(D.5)

Onde 𝑢 é definido pelas equações (4.24) e (4.25) e (4.82) mostradas abaixo:

𝑢 = 𝑢+𝑢𝜏 (D.6)

𝑢+ =

1

𝜒Ln(𝑦+) + 𝐶1 − ΔB (D.7)

100

Onde 𝑦+e ΔB seguem como foram definidas anteriormente no Capítulo 4:

𝑦+ = 𝑦 (𝜌𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(D.8)

𝛥𝐵 =

1

𝜒Ln[1 + 𝜙 ∗ 𝐾+] (D.9)

𝐾+ = 𝜀 (ρu𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(D.10)

Essas equações são válidas quando o sistema de coordenadas se encontra na

parede por isso precisamos reescrever a equação (D.5) como abaixo:

𝑈 =

2

𝑟2∫ 𝑢 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

(D.11)

Agora podemos substituir as equações (D.6) e (D.7) na equação (D.11) para

obtermos:

𝑈 =

2

𝑟2∫ (

1

𝜒Ln(𝑦 ∗ 𝛼) + 𝐶1 − ΔB) ∗ 𝑢𝜏 ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

(D.12)

Onde:

𝛼 = (𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

(D.13)

Para solucionar a equação (D.12) utilizaremos o mesmo procedimento do

Apêndice B onde separamos a integral em duas partes como mostrado abaixo:

𝑈

𝑢𝜏=

2

𝑟2[∫ (

1


𝑟

0

+ ∫ (𝐶1 − ΔB)(𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑟

0

] (D.14)

A Solução da primeira parte é idêntica à apresentada pelas equações de (B.13)

até (B.19) de onde o resultado final é apresentado abaixo:

∫ (

1


𝑟

0

=1

𝜒∗ [−

3𝑟2

4+

𝑟2

2∗ Ln(𝑟 ∗ 𝛼)] (D.15)

101

A solução de segunda parte da equação (D.14) pode ser obtida por integração

direta, chegando a:

∫ (𝐶1 − ΔB) ∗ (𝑟 − 𝑦) 𝑑𝑦

𝑟

0

= (𝐶1 − ΔB) ∗ [𝑟 ∗ 𝑦 −𝑦2

2]0

𝑟

(D.16)

Que pode ser simplificada para:

(𝐶1 − ΔB) ∗ (𝑟2 −

𝑟2

2) = (𝐶1 − ΔB) ∗

𝑟2

2 (D.17)

Para escrever o problema somente com os parâmetros adimensionais

utilizaremos novamente a simplificação desenvolvida pelas equações (B.23) até (B.29)

cujo resultado final é:

(𝜌 ∗ 𝑢𝜏

2−𝑛

𝑘)

1𝑛

=𝛾

𝐷 (D.18)

Onde:

𝛾 = (3 +

1

𝑛) ∗ 2(

3𝑛−82𝑛


1𝑛 (D.19)

Através das relações (B.23) e (B.26) para reescrever o lado esquerdo da equação

(D.14) como segue abaixo:

𝑈

𝑢𝜏= 𝑈 ∗ (

𝜌

𝜏)

12∗

1

√𝑓∗ (

2𝜏

𝜌 ∗ 𝑈2)

12

= √2

𝑓 (D.20)

Substituindo as equação (D.15), (D.17) e (D.20) na equação (D.14) obtemos:

√2

𝑓=

2

𝑟2∗ (

1

𝜒∗ [−

3𝑟2

4+

𝑟2

2∗ Ln (𝑟 ∗

𝛾

𝐷)] + (𝐶1 − ΔB) ∗

𝑟2

2) (D.21)

Que pode ser simplifica para:

√2

𝑓= −

3

2 ∗ 𝜒+

1

𝜒Ln (𝑟 ∗

𝛾

𝐷) + (𝐶1 − ΔB) + C2 (D.22)

Substituindo (D.9) e (D.10) na equação acima chegamos em:

102

√2

𝑓= −

3

2𝜒+

1

𝜒Ln (𝑟 ∗

𝛾

𝐷) −

1

𝜒Ln [1 + 𝜙 ∗ 𝜀 (

ρu𝜏2−𝑛

𝑘)

1𝑛

] + 𝐶1 + 𝐶2 (D.23)

Utilizando a igualdade definida por (D.18) podemos simplificar a equação acima

para

√2

𝑓= −

3

2 ∗ 𝜒−

1

𝜒Ln (

2

𝛾+ 2 ∗ 𝜙 ∗

𝜀

𝐷) + 𝐶1 + 𝐶2 (D.24)

Reescrevendo a equação acima com o logaritmo na base 10 para comparação

com as equações de (COLEBROOK e WHITE, 1937) e (HAALAND, 1983) obtemos:

√2

𝑓= −

3

2 ∗ 𝜒−

1

0.434 ∗ 𝜒Log (

2

𝛾+ 2 ∗ 𝜙 ∗

𝜀

𝐷) + 𝐶1 + 𝐶2 (D.25)

103

APÊNDICE E – DADOS UTILIZADOS

As tabelas Tabela E. 1, Tabela E. 2 e Tabela E. 3 apresentam os dados adaptado

dos trabalhos de (BOGUE, 1962), (DODGE e METZNER, 1959) e (YOO, 1974).

Tabela E. 1 – Dados Duto n = 1,0

n=1,0

Re Bogue Re Yoo

3289,55 0,011197 14197,7 0,007127

3754,89 0,01071 16548,2 0,006731

5208,75 0,009612 17990,4 0,00686

6242,56 0,010047 21863,4 0,006396

6554,39 0,008906 22016,2 0,006276

7800,76 0,008517 23440,1 0,006519

10821,2 0,007644 25661 0,006002

15011,1 0,006905 27511,6 0,005815

40350,3 0,00556 29909,3 0,005777

58361,8 0,005054 30540,7 0,006001

75513,4 0,004712 32290,3 0,005632

91133,4 0,004593 34619 0,005596

103303 0,004593 35845,6 0,005632

119570 0,00431 38699,2 0,005353

161310 0,004174 40350,3 0,005421

196037 0,004018 45738,5 0,005318

220673 0,003867 49379,7 0,004991

233315 0,003867 49724,7 0,005217

51486,5 0,005217

56364,8 0,005184

60429,6 0,004896

61705,3 0,005053

67083,1 0,004926

68499,2 0,004864

74989,4 0,004803

77646,3 0,004742

78188,9 0,004594

82668,2 0,004623

88015 0,004507

96354,3 0,004535

97027,6 0,004741

105484 0,004393

106963 0,004506

109984 0,004393

104

n=1,0

Re Bogue Re Yoo

113091 0,004477

118740 0,004337

123806 0,00442

125542 0,004282

151511 0,004122

Tabela E. 2 – Dados Duto n = 0,7

n=0,7

Re Bogue n=0,7 Re Dodge n=0,726

5101,07 0,00750556 1110,1 0,0153917

6028,95 0,00691041 1215,28 0,013471

6113,51 0,00620392 1406,65 0,0110647

7429,64 0,00644344 1832,76 0,00949992

10597,5 0,00596923 1858,46 0,00897265

11682,6 0,0054615 2006,41 0,00842058

12012,6 0,00546136 2371,37 0,00732267

17374,8 0,00499558 2438,35 0,00770366

23277,5 0,00439919 2744,78 0,00741516

2763,96 0,00678501

2963,29 0,00785025

3089,72 0,00847081

3199,19 0,00713725

3502,31 0,00810198

3551,43 0,00836295

3807,55 0,00805013

4082,13 0,00804962

4407,1 0,00789733

4824,67 0,00765015

5507,16 0,00727074

5623,41 0,00695483

5782,25 0,00722444

6786,62 0,00690966

7027,07 0,00690944

7800,76 0,00660872

8133,59 0,00656668

9219,72 0,00640142

9546,38 0,00624085

11126,8 0,00596896

11361,7 0,00604505

13059,5 0,00578177

13428,4 0,00560113

105

n=0,7

Re Bogue n=0,7 Re Dodge n=0,726

14396,8 0,00556535

15435,1 0,005565

16206,1 0,00532307

17865,5 0,00522226

18889 0,00542457

19694,9 0,00496342

22016,2 0,00515544

22796,2 0,00493137

27703,9 0,0046569

35845,6 0,00445359

Tabela E. 3 – Dados Duto n = 0,406~0,557

n=0,46

Re Bougue

n=0,445-0,47 Re

Dodge n=0,464-0,557

Re Dodge

n=0,406 - 0,464

5742,12 0,00512917 1173,7 0,0142628 5030,52 0,00506512

7910,16 0,00516029 1782,41 0,0098063 7175,41 0,00487438

8305,29 0,00472158 1951,29 0,00926138 7692,88 0,00506315

17134,5 0,00392562 2092,01 0,00836702 8599,55 0,00472142

19558,3 0,00380261 2438,35 0,00746316 9480,13 0,00469115

2542,39 0,00704876

3089,72 0,00624731

3176,99 0,00620765

3312,54 0,00620741

3359 0,0067409

3382,47 0,00632655

3502,31 0,00644789

3651,74 0,00674038

3677,26 0,0068264

3860,94 0,00686953

4053,81 0,00661269

4437,9 0,00648751

5030,52 0,00608807

5065,67 0,0063242

Os dados para o regime anular foram adaptados de (LANGLINAIS,

BOURGOYNE JR. e HOLDEN, 1983) apresentados na Tabela E.4 e na Tabela E.5.

106

Tabela E.4 – Dados Anular 1

Anular 1 (DI=0,033401 DE=0,0620014)

n=0,874 n=0,824 n=0,807 0,784

Re ft Re ft Re ft Re ft

9797,313 0,137908 4313,41 0,148164 4313,527 0,143641 4777,022 0,122857

12011,58 0,126083 5317,382 0,134018 5768,413 0,135719 4922,633 0,119017

14303,99 0,117022 6562,922 0,119416 7673,693 0,127502 5091,6 0,110404

16606,62 0,111337 7748,034 0,114287 9538,227 0,120122 5846,688 0,114764

19689,54 0,103673 8985,772 0,107666 11755,56 0,11151 6172,481 0,107998

21841,44 0,101517 9821,409 0,105205 13742,84 0,110437 6548,587 0,103623

23785,51 0,101107 11357,46 0,103314 16084,77 0,107091 6726,23 0,100681

26215,61 0,100089 12208,91 0,09914 17321,75 0,104906 6738,103 0,098046

29178,79 0,098175 12299,75 0,098792

6773,744 0,110459

30673,34 0,095785

7675,318 0,101292

7857,99 0,095842

8102,728 0,102327

8633,353 0,089621

8633,353 0,091272

9082,114 0,096717

9082,114 0,098236

9421,3 0,096222

10080,66 0,096185

10825,23 0,092945

10889,85 0,095233

11097,1 0,092993

Tabela E.5 – Dados Anular 2

Anular 2 (DI=0,073025 DE=0,1242568)

n=0,824 n=0,807 n=0,784

Re ft Re ft Re ft

4081,132 0,539569 4519,193 0,71494 4193,321 0,694205

4867,309 0,493971 5053,922 0,67965 4193,321 0,730112

5216,403 0,501803 5494,363 0,645771 4606,552 0,666559

6248,698 0,581398 4815,704 0,657745

4916,989 0,672455

5444,793 0,615369

5660,14 0,628492

5981,856 0,613905

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UMA EQUAÇÃO DE ATRITO EXPLÍCITA PARA ESCOAMENTO …w2.files.scire.net.br/atrio/ufrj-pem_upl/THESIS/1777/pemufrj2015... · Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro,