Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia...3 OBJETIVO GERAL Alcançar um entendimento das leis de Kepler e da lei da Gravitação Universal assim como suas aplicações práticas,

1- Gravitação Física II

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Ciências Exatas e

Naturais

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/image/0706/eclipse99_mir_big.jpg

2

ÍNDICE

1) - Introdução;

2) - Força Gravitacional;

3) - Aceleração Gravitacional;

4) - Energia Potencial Gravitacional;

5) - Velocidade de Escape;

6) - Leis de Kepler;

7) - Satélites Órbitas e Energias;

8) - Gravitação de Einstein;

9) - Conclusão.

Prof. Roberto Claudino

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento das leis de

Kepler e da lei da Gravitação Universal

assim como suas aplicações práticas,

através de abordagens históricas,

conceituais e demonstrações matemáticas.


Ptolomeu. II d.C.

Geocentrismo

Obra: Almagesto.

Idade Média.

4


1 - Gravitação Universal – Um breve histórico

Geocentrismo

Grécia antiga

4000 a. C.

Copérnico. XVI d.C. Heliocentrismo

Obra: De revolutionibus orbium coelestium.

Idade Média.

5

1 - Gravitação Universal – Um breve histórico

Isaac Newton. XVII d.C.

6

Poeira das estrelas – parte 4


https://www.youtube.com/watch?v=4ZIYMmJ2ewE

60 RT

7

A lei do quadrado inverso


1 - Gravitação Universal

RT

²60

1

3600

1

8

A lei da Gravitação explica questões do

tipo: Se a Terra atrai a Lua, então porque a

Lua não cai na Terra? ou porque a Terra não

cai no Sol?

• Newton descreve a Força que explica estas

questões, com as premissas:

1.Massa atrai massa;

2.Quanto mais afastados os corpos, menor é

essa força;


1 - Gravitação Universal

9

1- Lei da Gravitação Universal

Dois Corpos atraem-se com forças

proporcionais a suas massas e

inversamente proporcionais ao quadrado da

distância entre seus centros.


²

²1067,6 11

kg

mNG

Constante Gravitacional

(1)

Embora a lei da gravitação se aplique estritamente a partículas, podemos aplicá-la a

objetos reais desde que os tamanhos destes objetos sejam pequenos em comparação

com suas distâncias.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg

10

1º Problema: Considere um anel fino

homogêneo de Massa M e raio externo R como

na figura abaixo. Qual é a atração gravitacional

que o anel exerce sobre uma partícula de

massa m localizada no eixo central do anel a

uma distância x do centro do anel?


11

1.1 A Lei da Gravitação para corpos de

tamanhos muito distintos

Exemplo: A Terra e a maçã.

Newton resolveu o problema da atração entre a

Terra e a maçã provando o teorema conhecido

como o teorema das cascas.


Uma casca esférica uniforme de

matéria atrai uma partícula que se

encontra fora da casca como se toda

a massa da casca estivesse

concentrada no seu centro.

12

1.2 - A Gravitação no Interior da Terra

Uma casca uniforme de matéria não

exerce força gravitacional resultante sobre

uma partícula localizada no seu interior.


13

2º Problema: Dado a figura abaixo, onde m1=

6,0kg, m2=m3 = 4,0kg; com a = 2,0 cm. Qual é

a força gravitacional resultante F que as outras

partículas exercem sobre a partícula 1?


1

2

3

a

2a

15

Força Peso e Força Gravitacional são iguais?

A resposta é:

Mas são bem próximas. Isso Por que:

1. A massa da Terra não está uniformemente

distribuída;

2. A Terra não é uma esfera;

3. A Terra está girando.

3º Problema: Desprezando as duas primeiras

situações. Prove que a rotação da Terra faz com que

o peso medido em um caixote na superfície da Terra

seja menor que a Força Gravitacional sobre ele.


2 - Força Peso e Força Gravitacional

Não.

16

4º Problema: Mostre a diferença entre (g e ag).

Usem , , t = 24horas em

segundos e o raio médio da Terra é . Percebam que a diferença é de 0,034 m/s².

Por este fato podemos considerar que, para um corpo

de massa m próximo à superfície da Terra:


t

rad 2

mx 61038,6

gP FF

2.

r

GMmam g

2.

r

mGMam g

2r

GMag

m = Massa do corpo pequeno.

M = Massa da Terra.

G = Constante Gravitacional.

ag = Aceleração da gravidade.

r = Distância entre o corpo e o centro

da Terra.

Percebam que (ag) não depende da

massa do corpo.

(2)

17

5º Problema: Mostrem a partir da equação para

a aceleração da gravidade que seu valor na

superfície da Terra é aproximadamente

9,83 m/s². Considere:

Raio da Terra = .

Massa da Terra = .

6º Problema: Calculem a aceleração da

gravidade em um ponto onde orbita o ônibus

espacial. A altura em relação à superfície da

Terra é: 400 km.


mx 61038,6

kgx 2410974,5

18

É dado pela fórmula:

(U) tende a zero quando (r) tende ao infinito.

Em distâncias finitas a energia é negativa.

Demonstração da equação (3).


r

GMmU

3 - Energia Potencial Gravitacional (3)

M

P

r

F

dr

R

R

rdrFW

)(

Pelo conceito de Trabalho:

cos)()( drrFrdrF

(4)

(5)

O ângulo entre F e dr é 180º.

19

Como o cos de 180º = -1. E a força Fr é a força

gravitacional,Temos:

Substituindo (6) em (4):


(6)

R

drr

GMmW2

1

drr

GMmrdrF

²)(

(7)

(8)

R

GMm

r

GMmdr

rGMmW

RR

2

1

WUU

(9)

R

GMmWU (10)

20

Deduzimos a força em (m) partindo da energia

potencial. Sendo:

Subst. (3) em (11):

O sinal negativo indica que a força está

direcionado para dentro do corpo.


dr

dUrF )(

4 - Energia Potencial e a Força

r

GMm

dr

drF )(

2r

GMmF

(12)

(13)

(11)

Força Gravitacional de Newton

21

É a velocidade mínima necessária para que

um corpo escape completamente do planeta.

Levando em consideração a conservação

da energia temos que:

7º Problema: A partir da equação (13), prove que

a velocidade de escape fica:

Onde (M) é a massa do planeta e (R) é o

raio.


5 - Velocidade de Escape

UKUK 11 (13)

R

GMv

2 (14)

1.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÓRBITAS)

“As órbitas dos planetas em torno do Sol são

elipses nas quais ele ocupa um dos focos.”

Numa elipse existem dois focos e a soma das

distâncias aos focos é constante.

6 – Leis de Kepler

Foco

Foco

a b

c d

a + b = c + d

ELIPSE

2.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÁREAS)

“A área descrita pelo raio vetor de um planeta

(linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é

diretamente proporcional ao tempo gasto

para descrevê-la.”

Velocidade Areolar velocidade com que as áreas

são descritas. Afélio

A1 A2

Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua

órbita elíptica. Logo:

2

2

1

1

t

A

t

A

Prof. Roberto Claudino 33

21 áreaAáreaA

A lei das áreas fica

Prove partido da segunda lei de Kepler que

o momento angular do planeta se conserva.


2 2dA 1 d 1

r r wdt 2 dt 2

2L rp rmv rmwr mr w

dA L

dt 2m

A lei das áreas fica

Se a variação da área

em relação ao tempo é

constante então, pela

expressão acima o

momento angular é

constante. Se conserva.

Afélio

Afélio ponto de maior afastamento

entre o planeta e o Sol

Periélio

Periélio ponto de maior proximidade

entre o planeta e o Sol

A1 A2

Com isso, tem-se que a velocidade no periélio

é maior que no afélio.

3.ª LEI DE KEPLER

(LEI DOS PERÍODOS)

“O quadrado do período da revolução de

um planeta em torno do Sol é diretamente

proporcional ao cubo do raio médio de sua

elipse orbital.”

Raio Médio média aritmética entre as

distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.

32 KRT


T = Período de translação dos planetas.

R = Raio médio das órbitas planetárias.

K = Constante que depende apenas da

massa (M) do corpo central em torno do qual

o planeta gira.

Para orbitas elíptica, substitui-se (R) por (a).

8º Problema: Como se escreve a expressão

entre as orbitas da Terra e de Venus? OBS:

Considere as orbitas circulares.

32 KRT

VenusTerra R

T

R

T

³

²

³

²


T = Período de translação dos planetas.

R = Raio médio das órbitas planetárias.

K = Constante que depende apenas da

massa (M) do corpo central em torno do qual

o planeta gira.

9º Problema: A partir da 3º lei de Kepler

associada ao conceito da gravitação. Prove

que a constante K vale onde M = Massa

do Sol.

Reescreva a lei dos períodos.

32 KRT

GM

24

Planeta T

(dias terrestres)

R

(km)

T2/R3

Mercúrio 88 5,8 x 107

4,0 x 10-20

Vênus 224,7 1,08 x 108

Terra 365,3 1,5 x 108

Marte 687 2,3 x 108

Júpiter 4343,5 7,8 x 108

Saturno 10767,5 1,44 x 109

Urano 30660 2,9 x 109

Netuno 60152 4,5 x 109

Plutão 90666 6,0 x 109

44


10º Problema: Estrelas se movem lentamente.

Porém. Porque S2 dá uma volta em torno de

SargitáriusA em 15,2 anos? Qual a (M) de SgrA? Considere (R=a)

a = 5,5 dias luz

Que equivale a

mx 141042,1

45

Para determinar a energia cinética de um

satélite em órbita circular, partimos da 2ª lei de

Newton para a força centrípeta e ac= v²/r.

Levando em consideração que a conservação

da energia é:


7 - Satélites: Órbitas e Energias

UKE

amF .

(15)

cg amF .

r

vm

r

GMm 2

2. (16)

Sabemos que: 2

2mvK

2.vmr

GMm

então: Kmv 22 (17)

46

Substituindo (17) em (16):


r

GMmK

2

1

2

UK

(18)

UKE

r

GMm

r

GMmE

2

(19)

Substituindo (19) e (21) em :

Kr

GMm2

r

GMmU

(20)

-U

(21)

UU

E 2

ou KE (22)

a

GMmE

2Para orbitas elíptica:

(23)

47


11º Problema:

Pretende-se lançar um satélite artificial que irá descrever uma órbita circular a 1,6 x 10³ km de altura. Sabendo que o raio e a massa da Terra são RT= 6,4 x10³ km e M= , determine a velocidade de translação que deve ser impressa ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada. Dado a constante Gravitacional:

kgx 2410974,5

²

²1067,6 11

kg

mNG

Obs: Não é velocidade de escape,

é a velocidade escalar do satélite.

49

Einstein e a Gravitação


50

Newton - Einstein


51

Poeira das estrelas – parte 5


https://www.youtube.com/watch?v=QRB2eZHzVkM

52

Conclusão


Embora a força gravitacional ainda não esteja totalmente compreendida, o ponto de partida para o nosso entendimento é a lei a gravitação de Isaac Newton. A gravidade de fato existe, nós podemos senti-la. Mas fica o questionamento? Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaço-tempo devido a presença de massa ou a uma força entre massas? Ou devemos atribuí-la à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton?

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