UnUniviversiersidaddade e Federal de Alagoas - Torcao em Barras de... · Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL…

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  • Disciplina: Disciplina: Mecnica dos Slidos 2 Mecnica dos Slidos 2 Cdigo: Cdigo: ECIV030ECIV030Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages

    Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de Tecnologia

    Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil

    Macei/ALMacei/AL

    Toro em Barras de Seo Toro em Barras de Seo Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia

    ou Vazadaou Vazada

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Ensaio de ToroEnsaio de Toro

    Considere a barra prismtica de seo circular constituda de um mesmo material isotrpico e elstico linear, submetida a um torsor T em uma das extremidades e engastada na outra.

    Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seo transversal no sofrem deslocamento na direo longitudinal.

    Atravs de ensaiosensaios observa-se que os pontos da mesma seo transversal sofrem o mesmo giro em relao ao eixo da pea.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ( ) 0Z,Y,Xu =

    [ ]=

    Deslocamentos, Deslocamentos, Deformaes e TensesDeformaes e Tenses

    y

    z

    Lx

    T

    ( ) ( )XZZ,Y,Xv =( ) ( )XYZ,Y,Xw =

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    d

    2

    1

    [ ]=

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    dG

    y

    z x

    xy

    xz

    Soluo de Coulomb (1784)

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    y

    z

    Lx

    T

    [ ]

    =

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    dG

    Equaes Diferenciais de Equaes Diferenciais de Equilbrio em TensesEquilbrio em Tenses

    Simetria ij=ji

    0bZYX

    xzxyxxx =+

    +

    +

    OK!OK!

    0bZYX

    y

    zyyyxy=+

    +

    +

    0

    dX

    dGZ

    2

    2

    =

    0bZYX

    zzzyzxz =+

    +

    +

    0

    dX

    dGY

    2

    2

    =

    (X) deveser linear(X) deveser linear

    OK!OK!

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Tenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo Transversal

    A

    B

    C

    D

    y

    z

    R

    AC:

    =

    RZR

    0Y

    dX

    dGZxy

    = 0xz =

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    DB:

    =

    0Z

    RYR

    dX

    dGYxz

    =0xy =

    dX

    dGR

    dX

    dGR

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Tenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo Transversal

    y

    z

    R

    A distribuio das tenses de cisalhamento ao longo dos eixos y e z numa seo transversal qualquer s apresenta o componente ortogonal no nulo (em y xy = 0 e xz 0 e em z xy 0 e xz = 0).

    Pela simetria do problema, como no existe restrio ao posicionamento dos eixos y e z na seo transversal, a distribuio anterior vale para qualquer direo diagonal da seo transversal.

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    rdX

    dGr

    = Rr0

    Caso a seo transversal seja vazada, a distribuio da tenso de cisalhamento continua valendo s que Ri r Re.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    GJ

    Tr

    J

    Tr== e

    Equivalncia Esttica entre o Momento Equivalncia Esttica entre o Momento TorsorTorsor e as Tenses de Cisalhamentoe as Tenses de Cisalhamento

    y

    z

    R

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGr

    = Rr0

    = rdFT =A

    dAr

    =A

    2 dAdX

    dGrT

    =

    A

    2dArdX

    dG

    dX

    dGJT

    =

    GJ

    T

    dX

    d =

    ou

    r

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    =A

    2dArJ

    Momento Polar de InrciaMomento Polar de Inrcia

    y

    z

    R

    2

    RJ

    4=

    y

    z ( )4i4e RR2J

    =

    Re

    Ri

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    J

    Tr=

    = G

    dX

    dr

    =

    ( )XtdX

    dGJ

    dX

    d=

    ( )XtdX

    dT=

    Relao cinemtica:Relao cinemtica:

    Relao constitutiva:Relao constitutiva:

    Equivalncia esttica:Equivalncia esttica:

    Equaes GovernantesEquaes Governantes

    Equao de equilbrio:Equao de equilbrio:

    dX

    dGJT

    =

    ......... t(X)

    X

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    LJ

    Tr=

    dX

    dGJT

    G

    =

    =

    dX

    dr

    =

    ( )XtdX

    dT= Problemas IsostticosProblemas Isostticos

    ( )XtdX

    dGJ

    dX

    d=

    Problemas HiperestticosProblemas Hiperestticos

    Estratgias de SoluoEstratgias de Soluo

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    LCondio de contorno ( ) TLT =

    Constante de integrao

    Barra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob Toro

    Por se tratar de um problema isostticoisosttico, o momento torsor pode ser facilmente determinado por alguma estratgia apresentada em Teoria das Estruturas 1Teoria das Estruturas 1 ou pela integrao da EDO. Assim,

    De posse do momento torsor constri-se a tenso de cisalhamento como

    ( ) ( ) Rr0 e LX0 J

    Tr

    J

    rXTr,X ==

    ( ) 0XtdX

    dT==

    ( ) C XT =

    ( ) LX0 TXT TC ==

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Condio de contorno

    Constante de integrao( ) C X

    GJ

    TX +=

    Barra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob Toro

    Da relao cinemtica tem-se

    GJ

    T

    rdX

    d=

    =

    ( ) XGJ

    TX 0C ==

    ( )GJ

    TLL =Rotao da seo final da barra:Rotao da seo final da barra:

    Fazendo uso da relao constitutiva tem-se

    ( ) ( ) Rr0 e LX0 GJ

    Tr

    G

    r,Xr,X =

    =

    ( ) 00 =

  • ( )2

    3 24

    v

    c

    3 4v

    c

    vmaxcmax

    1

    1

    A

    A e

    1

    1

    r

    R

    =

    ==

    =

    Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversal

    y

    z

    r

    vc /r/R = vc A/A2

    rJ rA

    4

    c2

    c

    ==

    y

    z

    ( ) ( )44

    v22

    v 12

    RJ 1RA ==

    R

    R

    Ed

    uar

    do

    No

    bre

    Lag

    es

    CT

    EC

    /UFA

    L

  • A/A/r/R =

    2

    2

    v

    c

    4 4cmax

    max

    vc

    1

    1

    A

    A e

    1

    1

    r

    R v

    +=

    =

    =

    =

    Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversal

    y

    z

    r

    vc A/Acmaxvmax /r/R =

    2

    rJ rA

    4

    c2

    c

    ==

    y

    z

    ( ) ( )44

    v22

    v 12

    RJ 1RA ==

    R

    R

    Ed

    uar

    do

    No

    bre

    Lag

    es

    CT

    EC

    /UFA

    L

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Considere agora a barra formada por dois trechos prismticos de mesmo material

    Para descrever os campos das variveis de estado do problema devemos identificar intervalos de anlise a partir dos trechos onde h mudana na descrio do momento torsor e/ou da rigidez toro GJ.

    T

    L L

    G, J1 G, J2

    O problema em pauta exige a considerao de dois intervalos de anlise, por exemplo

    LX0 e LX0 21

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Por se tratar de um problema isosttico:

    ( ) 2222

    2 CXT 0dX

    dT==( ) 111

    1

    1 CXT 0dX

    dT==

    ( )

    11

    111

    J

    Tr

    J

    rXT==

    ( )

    22

    222

    J

    Tr

    J

    rXT==

    1

    11

    GJ

    Tr

    G=

    =

    ( ) 111

    11

    11

    1 DXGJ

    TX

    GJ

    T

    dX

    d+==

    ( ) 222

    22

    22

    2 DXGJ

    TX

    GJ

    T

    dX

    d+==

    2

    22

    GJ

    Tr

    G=

    =

    ( )1

    2

    2

    22GJ

    TLX

    GJ

    TX +=

    ( ) TXT 11 = ( ) TXT 22 =( ) ( ) ( ) TLT e 0TLT 221 ==

    ( ) ( ) ( )0L e 00 211 ==

    ( ) 11

    11 XGJ

    TX =

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Princpio da Superposio Princpio da Superposio dos Efeitosdos Efeitos

    A rotao total da seo livre da barra do exemplo anterior, dada por

    ( )21

    2GJ

    TL

    GJ

    TLL +=

    tambm pode ser determinada fazendo-se uso do Princpio da Princpio da Superposio dos EfeitosSuperposio dos Efeitos, desde que se conhea a rotao de um trecho prismtico de mesmo material e momento torsor constante, dada por

    GJ

    TL=

    onde essa rotao diretamente proporcional ao inverso do momento polar de inrcia. Com isso

    0J

    10

    J

    1

    21

    ==+=

    T

    L L

    rgido G, J2T

    L L

    G, J1 rgido

  • Ed