Débora Lima Queiroz
Érica Martins Cavalcante
Orientadores: Pedro André Martins Bezerra
Decio Haramura Júnior
Tutor: Prof. Dr. José Carlos Teles Campos
Introdução
Os métodos numéricos são utilizados para encontrar soluções aproximadas para problemas de difíceis soluções analíticas. A escolha do método numérico está diretamente relacionada ao problema em questão. Este trabalho tem como função a utilização de um método numérico cuja principal característica é a resolução de equações diferencias parciais como a Equação de Poisson, Equação de Laplace, Equação de Helmholtz, Navier-Stokes, etc...
Método dos elementos finitos
Índice
História;
Condições de Contorno;
Método de Galerkin;
Método dos Elementos Finitos;
Mecânica dos Sólidos;
Generalizações;
Motor de Relutância;
Aplicação;
Bibliografia;
História
Em 1909 Ritz desenvolveu um método efetivo para soluções de problemas de mecânica e deformações de sólidos. Uma das principais restrições do método de Ritz é que as funções devem utilizar as condições de contorno do problema.
Em 1943 Courant aprimorou o Método de Ritz através da introdução de equações lineares e definição de regiões triangulares e aplicou o método para definições de problemas de torção.Os valores antes desconhecidos foram definidos como os nós das extremidades dos triângulos.Eliminando, assim, a principal restrição do método de Ritz.
Em 1960 o termo "elemento finito" foi utilizado pela primeira vez para definir esse método.
História
Uma outra vertente desse método surgiu também na década de 1940 com o método de Galerkin para soluções de equações diferenciais parciais gerais, e não só aplicadas a área de Engenharia Civil.Ficou conhecido como método residual.
A principal razão para a não utilização do método até 20-30 anos atrás é a sua complexidade matemática, mas esse problema foi solucionado com o uso de computadores de maior capacidade.
Método dos Elementos Finitos
Definição
É a solução de equações diferenciais
parciais pela divisão de um domínio
contínuo em subdomínios discretos de
formas geométricas conhecidas.
Método dos Elementos Finitos
Discretização do
domínio
Escolha das funções
de interpolação
Formulação do
sistema
Solução do
problema
Condições de Contorno
Problemas de valor de contorno são caracterizados
pelo fato de que as condições de contorno são
fixadas nos extremos do intervalo considerado.
Condições de contorno de Dirichlet
Valores da variável dependente
Homogêneas
Condições de Contorno
Não-Homogêneas
Condições de contorno de Neumann Valor da derivada normal da variável
Método de Galerkin
•Equação de Poisson
•Condições de contorno
•Cálculo do residual
em
em
Método de Galerkin
Usando a definição de residual
Aplicando as condições de contorno
Método de Galerkin
Sc = b
Funções de Base
Método Clássico de Galerkin Extensão do método das séries de Fourier;
Funções de base definidas e com valor diferente de zero em todo domínio;
Não existe um método sistemático para a escolha das funções de base;
A escolha inadequada pode levar a um sistema de equações mal-condicionado(difícil solução ou até mesmo impossível);
Possui uso restrito em casos práticos.
Método dos Elementos Finitos Funções de base definidas de forma sistemática;
Sistemas de equações numericamente estáveis e fáceis de resolver;
Funções com valores diferente de zero em uma pequena parte do domínio;
1D- Subintervalos;
2D- triângulos, quadriláteros e elementos curvilíneos;
3D- tetraedros, hexaedros, prismas, elementos curvilíneos.
Discretização – Caso Geral
Os valores de phi são as variáveis locais nodais que podem ser também chamadas de
grau de liberdade de um elemento
Onde N são as funções locais de forma
Discretização – 1D
•Problema Inicial e condições de contorno
•Discretização linear
Discretização- 1D
•Isolando os coeficientes
•Substituição na função
Discretização- 1D
•Determina-se:
•A função φkN0 corresponde a função ϕ
Discretização – 1D
•Variáveis locais e globais
Discretização- 1D
com
•Analogamente para estrutura
para
Discretização- 1D
•Primeiro elemento •Último elemento
Discretização- 1D
Discretização- 2D
•Dada uma equação de Poisson
Considerando
e
•Condições do elemento
Discretização- 2D
•Triangular
•Mudança de base
Discretização 2D
Discretização 2D
Funções de Base
Funções de Base
Comparação entre MDF e MEF
O método das diferenças finitas é uma aproximação para as equações diferenciais, já o método dos elementos finitos é uma aproximação para suas soluções.
A característica mais atrativa do método das diferenças finitas é que ele pode ser facilmente implementado.
A característica mais atrativa no MEF e o fato do mesmo pode ser aplicado para corpos de geometria complexa, enquanto que o MDF fica restrito a problemas de geometrias retangulares ou simples distorções.
Os fundamentos matemáticos do MEF são mais concisos devido a sua melhor aproximação pelos pontos de sua malha.
Os resultados são geralmente mais precisos(mais bem aproximados) pelo MEF, porém existem exemplos em que a aplicação do MDF é mais coerente, devido a sua estreita dependência aos valores de contorno.
APLICAÇÃO
Motor rotacional de relutância
variável
Motores de dupla saliência;
Enrolamentos concentrados
nos pólos do extrator ou do
rotor;
Sua operação é baseada no
principio de relutância
mínima;
Para o motor se mover com
rotação contínua deve-se
energizar sequencialmente
os enrolamentos do estator
em sincronismo com a
posição do rotor
Motor rotacional de relutância
variável
Pontos Positivos Baixo custo de fabricação;
Cerca de 60% do custo da produção de motores CC e CA.
A ausência de imãs e enrolamentos no rotor permitem a queda de custo com material.
Efeitos mínimos com a temperatura; Limitada a variação de resistência do estator;
Operação em altas velocidades; Limitada por cinco fatores principais:
– Perdas no núcleo e ventilação;
– Rolamentos dos mancais;
– Dinâmica do eixo do rotor;
– Resistência mecânica do material do rotor;
– Capacidade VA do conversor.
Tolerância a faltas; No caso de um curto circuito em um enrolamento da fase não haverá grandes conseqüências à máquina, como aconteceria em máquinas permanentemente excitadas ou motores de indução.
Baixa inércia;
Fácil reparo.
Motor rotacional de relutância
variável
Pontos Negativos:
Necessidade de conversor para acionamento;
Pequeno entreferro(distancia entre o motor e o estator);
São mais sensíveis a variação do entreferro e qualquer variação afeta o balanço entre as fases e pode gerar um aumento no nível de ruído.
Estrutura duplamente saliente;
Gera aumentos no ruído audível;
Necessidade de um sensor de posição ou de um método para identificação de posição;
Não pode ser operado diretamente na rede elétrica;
Havendo a necessidade de um conversor que adiciona custo ao acionamento como um todo.
Altas perdas por ventilação a velocidades superiores.
Motor rotacional de relutância
variável
Objetivos da aplicação do MEF:
Calcular a indutância, para as posições
alinhada e desalinhada;
Análise do comportamento do motor com
VARIAÇÃO DO NÚMERO DE ESPIRAS
VARIAÇÃO DO ENTREFERRO
VARIAÇÃO DO ARCO POLAR DO ROTOR
VARIAÇÃO DA CORRENTE DE FASE
(EXCITAÇÃO)
Motor rotacional de relutância
variável
Motor de
relutância de
Praveen
Vijayraghavan
Motor rotacional de relutância
variável
Motor rotacional de relutância
variável
•Marcação dos nós no
FEA
Motor rotacional de relutância
variável
•Subdivisão em elementos
finitos
Motor rotacional de relutância
variável
Comportamento das linhas de fluxo
(a) posição desalinhada; (b) posição alinhada
(a) (b)
Motor rotacional de relutância
variável
Resultados
Analíticos
(Vijayraghavan
2001)
Resutaldos
utilizando o
FEMM
(TEIXEIRA 2008)
Resultados
usando software
FEA
Indutância
desalinhado
15.9 mH 16,09 mH 16.18 mH
Indutância
alinhado
83.8 mH 80,55 mH 84.92 mH
Cálculo da indutância
Conclusão
O método dos Elementos finitos pode
ser bastante aplicado à área de
Engenharia Elétrica. Pois soluciona
equações diferenciais parciais como as
de Laplace e Poisson, extremamente
utilizadas em problemas de
eletromagnetismo, com uma
aproximação bastante próxima do real
ou analítico.
Bibliografia
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