PMR5026 Método dos Elementos Finitos Lienar
ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS
Larissa Driemeier
CRONOGRAMA TEORIA
PMR5026 MEF LINEAR 2
AULA CONTEÚDO DATA [2ª] PROFESSOR
1Modelagem em engenharia e Mecânica dos Sólidos
Introdução ao Método dos Elementos Finitos 17/2 Rafael
2Elementos finitos 1D – estático
Ensaios experimentais e modelos de material02/3 Rafael
3 Elementos finitos 1D - dinâmico 09/3 Marcilio
4 Elementos Finitos de viga - estático 16/3 Marcilio
5 Elementos Finitos de viga - dinâmico 23/3 Marcilio
6 Elementos Finitos de viga - análise modal 30/3 Marcilio
7 Ensaio experimental: vibrações em viga 13/4 Rafael
8 Elementos finitos isoparamétricos – estático 27/4 Larissa
9 Elementos finitos isoparamétricos – Integração numérica 04/05 Larissa
10 Elementos finitos isoparamétricos – dinâmico 11/05 Larissa
11 Ensaio experimental: vibrações em placa 18/05 Rafael
27 de Abril de 2020
SOLUÇÃO ISOPARAMÉTRICA
•O maior avanço na implementação do MEF foi o desenvolvimento de um elemento isoparamétrico com capacidades para modelar problemas com geometrias de qualquer forma e tamanho.
•A ideia principal está no mapeamento:
•O elemento da estrutura real é mapeado para um elemento imaginário em um sistema de coordenadas ideal;
• A solução para o problema de análise de tensão é fácil e conhecida para o elemento de imaginário;
• Estas soluções são mapeados de volta para o elemento da estrutura real;
• Todas as cargas e condições de contorno também são mapeadas a partir do real para o elemento imaginário nesta abordagem.
PORTANTO...
•A formulação isoparamétrica torna possível gerar elementos que não sejam retangulares e elementos curvos. A família isoparamétrica inclui elementos planos, sólidos, placas, cascas...
•É mais eficiente para ser implementada computacionalmente.
•Há também elementos especiais para Mecânica da Fratura.
INTERPOLAÇÃO
Há duas interpolações importantes em EF
▪Definição da locação dos pontos dentro do elemento, em termos de seus valores nodais (interpolaçãode geometria)
▪Definição do deslocamento nos pontos dentro dos elementos, em termos de seus valores nodais (interpolação de resultados)
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 5
Relação entre
deslocamentos/coordenadas em qualquer
ponto e deslocamentos/coordenadas nos
pontos nodais do elemento é obtida
diretamente através das FUNÇÕES DE
INTERPOLAÇÃO OU FUNÇÕES DE
FORMA, através da utilização de um
sistema de coordenadas natural.
PORQUE ISOPARAMÉTRICOS?
•Não há nenhuma razão fundamental para que a interpolação seja a mesma para geometria e resultados;
•Porém, para uma classe extremamente versátil de elementos, deslocamentos e Coordenadas são interpolados com as mesmas Funções de Forma.
𝑢 𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑑
𝑥 = 𝑁 𝑥 ෬𝑥
ISOPARAMÉTRICO = MESMOS PARÂMETROS
𝑑: deslocamentos nodais
෬𝑥: coordenadas nodaisIsoparamétrico
Subparamétrico
Superparamétrico
𝑁 = 𝑁𝑁 > 𝑁𝑁 < 𝑁
Ponto utilizado para aproximar geometria
Ponto utilizado para aproximar deslocamento
𝑁 < 𝑁superparamétrico
𝑁 = 𝑁isoparamétrico
𝑁 > 𝑁subparamétrico
DILEMA
•A maior razão do MEF fazer sucesso na engenharia é a possibilidade d emodelargeometrias complexas;
•Porém, elementos dão resultados mais precisosem geometrias regulares (triângulos isósceles, quadrados);
•O software sempre terá que minimizar umadistorção quando cria a malha;
•Importante entender como as funções de forma(interpolação) são formuladas;
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 8
CONDIÇÕES
As funções de forma ou interpolação interpolam a variável em questão (coordenada/ deslocamento) por meio de seus valores nos pontos nodais. Portanto, uma condição imediataque as funções de interpolação devem satisfazer é,
𝑁𝑖 𝑥 = ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑖0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑗 𝑖 ≠ 𝑗
As funções de deslocamento devem garantir a existência de movimento de corpo rígido,
u ≅
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑥 𝑢𝑖 = ത𝑢
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑥 = ത𝑢 ∴
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑥 = 1
O produto da primeira derivada das funções de interpolação deve ser integrável no intervalo[𝑥𝑖, 𝑥𝑗] do elemento para garantir que as constantes 𝐾𝑖𝑗 da matriz de rigidez possam serobtidas da integração do produto das funções 𝑑𝑁𝑖/𝑑𝑥 e 𝑑𝑁𝑗/𝑑𝑥.
( )rN −= 12
11
1 1
21 NNN =
( ) =
==2
1i
iiuNxu Nd
Para calcular u em um ponto
qualquer da barra, substitui-se a
coordenada r do ponto em N.
N: funções de interpolação ou funções de forma
x1,u1 x2,u2x L
r
r=-1
r: sistema natural de coordenadas,
independente do comprimento
físico L da barra.r=1
MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO 1D
( )rN += 12
12
ELEMENTO DE 3 NÓS (QUADRÁTICO)
( )2
11
−=
rrN
( )2
12
rrN
+= ( )2
3 1 rN −=
L
x1,u1 x2,u2x
r
r=-1 r=1
x3,u3
3)2(112
1NNN nós −=
3)2(222
1NNN nós −=
1 1 1
Coordenadas locais(isoparamétrico)
( )
( )
2
3
2
1
1)(
2
1)(
2
1)(
rrN
rrrN
rrrN
−=
+=
−−=
Mapeamentoisoparamétrico
=
=3
1
)(i
ii xrNx
( ) ( ) ( ) 3
2
21 12
1
2
1xrx
rrx
rrx −+
++
−−=
MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO 1D
1 2
r
1 1
3 1 2
x2x1 x
3
x3
( ) ( ) ( ) 3
2
21 12
1
2
1xrx
rrx
rrx −+
++
−−=
Dado um ponto nas coordenadas isoparamétricas, posso obter o
correspondente ponto traçado nas coordenadas globais usando a
equação isoparamétrica de mapeamento.
2
3
1
1
0
1
xxr
xxr
xxr
=→=
=→=
=→−=
Pergunta:
𝑥 em 𝑟 = 0.5? 3218
7
8
3
8
1xxxx ++−=
2,4,0 321 === xxx
( ) ( ) ( ) 3
2
21 12
1
2
1xrx
rrx
rrx −+
++
−−= 22 += rx
r
r=-1 r=1
L=4
x1=0 X2=4x x3=2
EXEMPLO 01 – MAPEAMENTO
•Ache o mapeamento 𝑥(𝑟) para o elemento de 3 nós abaixo:
0
1
2
3
4
-1 -0.5 0 0.5 1
𝑟 𝑥
−1 0
−1/2 1
0 2
1/2 3
1 4
3,4,0 321 === xxx
r
r=-1 r=1L=4
x1=0 X2=4x x3=3
322 ++−= rrx
( ) ( ) ( ) 3
2
21 12
1
2
1xrx
rrx
rrx −+
++
−−=
0
1
2
3
4
-1 -0.5 0 0.5 1
𝑟 𝑥
−1 0
−1/2 1,75
0 3
1/2 3,75
1 4
EXEMPLO 02 – MAPEAMENTO
Porém, a matriz de rigidez é calculada como:
Nós conhecemos o mapeamento… =
=3
1
)(i
ii xrNx
x
NB
d
d=Onde:
Como computar a matriz B???
= V
T dVDBBK
ACHO QUE TEMOS UM PROBLEMA....
17
xr −−= 41
( )
( ) ( )
( )xxxN
xx
rrrN
−−−=
−−+−−=
+=
4362
1)(
411412
12
1)(
2
2
( )xxxN −−−= 4362
1)(2
11 3 r
( )2
1)(2
rrrN
+=
Invertendo...
𝑁2(𝑥) é uma função complicada de 𝑥!
L=4
x1=0 X2=4x x3=3
( ) 322 ++−= rrrx
1 23 x
x = 0 x = 3 x = 4
FUNÇÃO DE FORMA MAPEADA X GLOBAL
18-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4
N2
x
( )
( )34
4362
1
,2
,2
−=
−−−=
xx
N
xxN
g
m
dx
dr
dr
rdN
dx
rdN ii )()(=
Usando regra da cadeia
Conheço ?)(
dr
rdNi
Conheço ?dx
dr
RESOLVENDO O PROBLEMA!
Eu conheço: =
=3
1
)(i
ii xrNx
Portanto: ?
)(
dr
rdN i?
dx
dr
( )2
11
−=
rrN
( )2
12
rrN
+=
( )23 1 rN −=
Fácil…
===
3
1
)(
ii
i xdr
rdN
dr
dx
Jacobiano do mapeamento
J
dx
dr
dr
rdN
dx
rdN ii )()(=
dr
rdN
Jdx
rdN ii )(1)(=
O que faz o Jacobiano?
Jdrdx =
Mapeia um elemento diferencial das coordenadasisoparamétricas para coordenadas globais
dx
dr
dr
rdN
dx
rdN ii )()(=
dx
dr
J
=
=
dr
dN
dr
dN
dr
dN
J
dx
dN
dx
dN
dx
dN
321
321
1
B
321
3
1
22
12
2
12)(rxx
rx
rx
dr
rdNJ
i
ii −
++
−==
=
( ) ( )
−+−= rrr
J212
2
112
2
11 B
Exercício: ache a matriz B para o elemento de 3 nós:
EXEMPLO: JACOBIANO
( )
( )
2
3
2
1
1)(
2
1)(
2
1)(
rrN
rrrN
rrrN
−=
+=
−−=
1. A integral de QUALQUER elemento nas coordenadas globais é agora uma integral de -1
to 1 nas coordenadas locais;
2. O jacobiano 𝐽 entra na integral da matriz de rigidez e, geralmente, é uma função de r. A
forma específica de 𝐽 é determinada pelos valores das coordenadas 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 dos nós.
𝑑𝑥 = 𝐽𝑑𝑟
𝐾 = න𝑥1
𝑥2
𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵 𝑑𝑥
𝐾 = න−1
1
𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO
Exercício: Ache a matriz de rigidez do elementounidimensional de 2 nós:
( )rN −= 12
11 ( )rN += 1
2
12
𝐾 = න−1
1
𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟
EXEMPLO: MATRIZ DE RIGIDEZ
L
uu
u
u
LBd 12
2
111
1 −=
−==
111−=
LB
−
−=
11
11
L
EAK
J: Jacobiano relacionando o comprimento do elemento no sistema de
coordenadas global com o comprimento do elemento no sistema de coordenadas
natural:
2d
d L
r
xJ ==
( )rN −= 12
11
( )rN += 12
12
Veja que:
𝐾 = න−1
1
𝐸𝐴𝐵𝑇𝐵𝐽 𝑑𝑟
ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO 2DELEMENTO RETANGULAR PLANO
3
1
2
4
(𝑥1, 𝑦1)
(𝑥2, 𝑦2)
(𝑥3, 𝑦3)
(𝑥4, 𝑦4)(−1, 1)
r
s
(1, −1)(−1, −1)
(1, 1)3
1 2
4
𝑥, 𝑢
𝑦, 𝑣
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE FORMA
•As funções de forma 𝑁1, 𝑁2 , 𝑁3 𝑒 𝑁4 são bilineares em 𝑟 e 𝑠.
•Propriedade do delta de Kronecker
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 = ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑖0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥𝑗 𝑖 ≠ 𝑗
•Completude
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 = 1
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑥𝑖 = 𝑥
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑦𝑖 = 𝑦
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑢𝑖 = 𝑢
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑣𝑖 = 𝑣
4→(-1, 1)
1→(-1,-1)
3→(1,1)
2→(1,-1)
1 )4(
0 )3(
0 )2(
0 )1(
4
=−+−
=+++
=−−+
=+−−
+++=
dcba
dcba
dcba
dcba
drscsbraN
=
−−
−−
−−
1
0
0
0
1111
1111
1111
1111
d
c
b
a
−
−=
1
1
1
1
4
1
d
c
b
a
( ) ( )( )srrssrN +−=−+−= 114
11
4
14
( ) ( )( )iii ssrrsrN ++= 114
1,
Expressão geral:
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 29
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 30
Valores nodais de deslocamento:
𝑢1 = 2𝑢2 = 3𝑢3 = 4𝑢4 = 5
3
4
1
2
𝑢𝑐 = 21
41 − 0 1 − 0 + 3
1
41 + 0 1 − 0 + 4
1
41 + 0 1 + 0 + 5
1
41 − 0 1 + 0 = 3.5
𝑢𝑐
CONTINUIDADE 𝐶𝑜
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 31
Coordenadas nodais element 01:
𝑁ó1 = 3,2𝑁ó2 = 11,3𝑁ó3 = 10,10𝑁ó4 = 4,9
3
4
1
2
6
5
𝑢1 = 2𝑢2 = 3𝑢3 = 4𝑢4 = 5𝑢5 = 1𝑢6 = 2.5
Coordenadas nodais element 02:
𝑁ó5 = 0,−5𝑁ó6 = 9,−3𝑁ó2 = 11,3𝑁ó1 = 3,2
=
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4321
0000
0000
v
u
v
u
v
u
v
u
NNNN
NNNN
v
u
COORDENADAS E DESLOCAMENTOS
=
4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4321
0000
0000
y
x
y
x
y
x
y
x
NNNN
NNNN
y
x
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )4
11
4
11
4
11
4
11
4
3
2
1
srN
srN
srN
srN
+−=
++=
−+=
−−=
ELEMENTOS RETANGULAR DE MAIS ALTA ORDEM
• Mais nós
• Ainda 2 graus de liberdade por nó
• Mais alta ordem quer dizer mais alto grau de polinômio completo para aproximação dos deslocamentos.
• Duas famílias: Lagrangiana e Serendipity
1. Família
Lagrangiana
de Elementos
2. Elementos
Serendipity
ELEMENTOS QUADRILÁTEROS QUADRÁTICOS
Em geral, apenas nós de contorno – evita-se
nós internos.Não é tão preciso quanto os elementos lagrangeanos, porém
evita certos tipos de instabilidade.
Elemento de ordem n tem (n+1)2 nós arranjados
simétricamente – requer nós internos para no.
de nós >4.
FUNÇÕES DE FORMA LAGRANGIANAS
• Usa-se um procedimento que automaticamente satisfaz a propriedade Delta de Kronecker para funções de forma.
• Considere o exemplo de 6 pontos, undimensional: a função vale 1 em 𝑟3 e vale 0 emqualquer outro ponto.
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )5343231303
54210)5(3
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrL
−−−−−
−−−−−=
1
r0 r1 r2 r3 r4 r5
FUNÇÕES DE FORMA LAGRANGIANAS
Pode-se resolver para qualquer número de pontos nodais em qualquerposição.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
=+−
+−
−
−=
−−−−−
−−−−−=
kii ik
i
mkkkkkkk
mkkmk
rr
rr
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrL
01110
1110)(
Não entram
termos r-rk!Polinômio de
Lagrange de
ordem m
no nó k
CLARO QUE TAMBÉM FUNCIONA....
Ache a função de forma do nó 4:
4
1
3
2
1
43
( )( )( )( )
( )( )
( )rr
rr
rrrH −=
−−
−=
−
−= 1
2
1
11
1
34
314
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )srsrN
sVrHsrN
+−=
=
114
1,
,
4
14
144
14
1
( )( )( )( )
( )( )
( )12
1
11
1
14
114 +=
+
+=
−
−= s
s
ss
ssrV
r3=1r4=-1
s1=-1s4=1
EXEMPLO: FUNÇÃO DE FORMA LAGRANGEANA
Ache a função de forma do nó 16:
5
4
6
1
10
3
9
2
16
12
13
7
15
11
14
8
1
1
5 1016 15
16
12
13
7
( )( )( )( )
( )( )( )10161516516
10155)3(16
rrrrrr
rrrrrrrH
−−−
−−−=
( )( )( )( )
( )( )( )12161316716
12137)3(16
ssssss
sssssssV
−−−
−−−=
( ) ( )( ) ( )( )sVrHsrN 316
31616 , =
TRANSIÇÃO DO LINEAR PARA QUADRÁTICO
1 2
34
r
s
5
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )srN
srN
srN
NsrN
NsrN
−−=
+−=
++=
−−+=
−−−=
112
1
114
1
114
1
2
111
4
1
2
111
4
1
25
4
3
52
51
1
( )( )srNc −−= 114
151
2
1NNN c −=
Se lembrarmos:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )28
84
3
2
81
112
1
2
111
4
1
114
1
114
1
2
111
4
1
srN
NsrN
srN
srN
NsrN
−−=
−+−=
++=
−+=
−−−=
1 2
34
r
s
8
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 41
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 42
Definição do dicionário americano Oxford para Serendipity:
The making of pleasant discoveries by accident.
Horace Walpole ( 1717-1797) inventou a palavra 'serendipity‘ depois de ler o conto "Three Princes of Serendip". Uma história persa antiga sobre 3 príncipes iranianos que, em viagem, faziam sempre grandes descobertas, por acidente e sagacidade, sobre assuntos que não conheciam.
SERENDIPITY
FUNÇÕES DE FORMA SERENDIPITYFunções de forma para nós internos dos lados são o produto de um polinômio de n-ésima ordem nadireção paralela ao lado por uma função linear nadireção perpendicular ao lado.
1
1 2
34
5
6
7
8
( ) ( )( )srsrN −−= 112
1, 2
5
( ) ( )( )srsrN +−= 112
1, 2
7
Analogamente:
Resolva: como seriam as funções de forma N6
e N8???
Funções de forma para nós de canto são modificações das
funções do elemento quadrangular bilinear. ▪ 1: comece com a função de forma bilinear apropriada
▪ 2: subtraia a função de forma do nó interno, com peso apropriado
▪ 3: repita o passo 2 usando a função de forma e apropriado peso
do nó interno do outro lado
1
1 25
8
( ) ( )( )srsrN −−= 114
1,1
( ) ( )( ) 512
111
4
1, NsrsrN −−−=
1
1 2
8
5
1
1 2
8
5
( ) ( )( ) 8512
1
2
111
4
1, NNsrsrN −−−−=
Resolva: como seriam as funções de forma
N6 e N5???
1 2
34
5
6
7
8 9
TABELA DE FUNÇÕES DE FORMA Nós 1,2,3,4 Nó 5 Nó 6 Nó 7 Nó 8 Nó 9
N1 (1− 𝑟)(1− 𝑠) 4 −𝑁5 2 0 0 −𝑁8 2 −𝑁9 4
N2 (1 + 𝑟)(1− 𝑠) 4 −𝑁5 2 −𝑁6 2 0 0 −𝑁9 4
N3 (1 + 𝑟)(1 + 𝑠) 4 0 −𝑁6 2 −𝑁7 2 0 −𝑁9 4
N4 (1− 𝑟)(1 + 𝑠) 4 0 0 −𝑁7 2 −𝑁8 2 −𝑁9 4
N5 (1− 𝑟2)(1− 𝑠) 2 0 0 0 −𝑁9 2
N6 (1 + 𝑟)(1− 𝑠2) 2 0 0 −𝑁9 2
N7 (1− 𝑟2)(1 + 𝑠) 2 0 −𝑁9 2
N8 (1− 𝑟)(1− 𝑠2) 2 −𝑁9 2
N9 (1− 𝑟2)(1− 𝑠2)
4 NÓS
1
3
2
4
( ) ( )( )srsrN −−= 114
1,1
8 NÓS
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )221 11
4
111
4
111
4
1, srsrsrsrN −−−−−−−−=
( ) ( )( )srsrN −−= 112
1, 2
5
1
4
2
1
4
28
5
85
1
4
285
9
9 NÓS( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2222
1 114
111
4
111
4
111
4
1, srsrsrsrsrN −−−−−−−−−−−=
( ) ( )( ) 11, 229 srsrN −−=
2
1
4
1
4
2
8
5
5
8
9
( ) ( )( ) ( )( )222 112
111
2
1,8 srsrsrN −−−−−=
9
Arestas parabólicas No espaço r,s,t
Funções de forma, nó a nó, dadas por:
i) nós de canto (i ≤ 8)Estendido aos nós vizinhos de meio de aresta
ii) nós de meio de aresta (i > 8)
( ) ( ) −=j
jii gtsrgtsrN2
1,,,,
Estendido aos nós
vizinhos de meio de aresta
( ) ( )tsrgtsrN ii ,,,, =
onde,
com
( )( ) ( ) ( )
= contrário caso ,it,.Gis,.Gir,G
9)(i incluído é não nó o se ,0,,
itsrg i
( )( )( )
=−
=+=
0 ara ,1
1 ara ,12/1i,G
2i
ii
p
p
ELEMENTO TRIDIMENSIONAL DE 8 A 20 NÓS
DERIVADAS
•As deformações do elemento são obtidas a partir das derivadas dos deslocamentos com relação às coordenadas locais.
•Para obter a matriz de rigidez de um elemento precisamos da matriz 𝑩de transformação 𝒖 − 𝜺.
•Uma vez que os deslocamentos do elemento são definidos nas coordenadas naturais, precisamos relacionar as derivadas de 𝑥, 𝑦, 𝑧com as derivadas de 𝑟, 𝑠, 𝑡.
MAPEAMENTO ISOPARAMÉTRICO
1. O mapeamento isoparamétrico fornece a relação (𝑟, 𝑠) com (𝑥, 𝑦), i.e., se um ponto (𝑟, 𝑠)é dado em coordenadas isoparamétricas, pode-se computá-lo em coordenadas globais(𝑥, 𝑦) usando as equações:
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑥𝑖
𝑦 =
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 𝑟, 𝑠 𝑦𝑖
• 2. O mapeamento inverso JAMAIS será explicitamente computado…
( )( )
( )( )yxss
yxrr
sryy
srxx
,
,
,
,
=
=
=
=
Transformação de coordenadas é
única e inversível.
s
y
y
f
s
x
x
f
s
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
+
=
+
=
REGRA DA CADEIA
REGRA DA CADEIA...
=
y
x
s
y
s
xr
y
r
x
s
r xJ
r
=
ou
Operador Jacobiano
s
y
ys
x
xs
r
y
yr
x
xr
+
=
+
=
ou
Pode ser
calculado,
pois N é
função das
coordenadas
naturais!
Precisamos desta
parcela para
computar a matriz BEsta é conhecida como
matriz Jacobiana (J)
para o mapeamento
(r,s) → (x,y)
=
y
Nx
N
s
y
s
xr
y
r
x
s
Nr
N
i
i
i
i
Pelas equações abaixo percebemos
a necessidade de encontrar 𝑱−𝟏...
EXEMPLO: CÁLCULO DE JACOBIANO
6
1
y
x
4
2 1
360o
6
4
y
x
4
2 1
32
1
4
2
1
3
1
1
y
x 3/4
Bathe, pág. 350
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )4
11
4
11
4
11
4
11
4
3
2
1
srN
srN
srN
srN
+−=
++=
−+=
−−=
Determinar a função linear que satisfaça:
( ) ( ) 3211, suruusrsru ++−−=
Solução:
( )
=0
1, jji srN
se i=j
se ij
( ) ( ) ( ) 321 1,0 0,1 0,0 uuuuuu ===
𝑟
𝑠
2
3
1
1
1
ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS TRIANGULARES
Funções de forma
srN
sN
rN
−−=
=
=
13
2
1
332211
332211
),(),(),(
),(),(),(
ysrNysrNysrNy
xsrNxsrNxsrNx
++=
++=
1 (x1,y1)
r
s2 (x2,y2)
3 (x3,y3)
r
s
2
3
1
1
1
s = 0
4
3
6
1
5
2
s = 1/2
s = 1
r = 0r =
1/2
r = 1
s
r
r
s
t
6
4
8
2
9
3
7
10
1
5
SUA LIÇÃO DE CASA Acompanhe passo a passo as
definições
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR61
( )
( )
( ) ( )
=
=v
u
xy
y
x
xy
y
x
0
0
DEFORMAÇÕES EM TERMOS DE UMAMATRIZ OPERADOR
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
−
=
−
=
rs
x
sr
x
y
sr
y
rs
y
x
J
J
det
1
det
1Onde:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
−
−
=
v
u
sr
y
rs
y
rs
x
sr
xrs
x
sr
xsr
y
rs
y
xy
y
x
0
0
det
1
J
( )
( )
( ) ( )
=
=v
u
xy
y
x
xy
y
x
0
0
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
−
=
−
=
rs
x
sr
x
Jy
sr
y
rs
y
Jx
det
1
det
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
−
−
=
=
sr
y
rs
y
rs
x
sr
xrs
x
sr
xsr
y
rs
y
J0
0
det
1
Ndε
( ) ( ) ( )822383
= NB
( )
− −
=
=
1
1
1
1
dsdr et
dydx
JDBBk
DBBk
T
T
dt
tA
MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4321
4321
111111114
1
111111114
1
ysrysrysrysry
xsrxsrxsrxsrx
+−++++−++−−=
+−++++−++−−=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 4321
4321
4321
11114
1
11114
1
111111114
1
yryryryras
y
ysysysysbr
y
ysrysrysrysry
−++++−−−==
+−++−+−−==
+−++++−++−−=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )4321
4321
4321
11114
1
11114
1
111111114
1
xrxrxrxrds
x
xsxsxsxscr
x
xsrxsrxssxsrx
−++++−−−==
+−++−+−−==
+−++++−++−−=
( )
=
=
−−+−
+−−−
−−+−
−−−
=
4
3
2
1
4
3
2
1
011
101
101
110
8
1det
y
y
y
y
x
x
x
x
ssrr
srsr
srrs
rrss
T
YX
YXJ
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−
−
−
=
=
siririsi
risi
siri
i
NbNaNdNc
NdNc
NbNa
sr
,,,,
,,
,,
4321
0
0
det
1),(
B
BBBBJ
B
( ) ( ) ( )822383
= NB
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
−
−
=
sr
y
rs
y
rs
x
sr
xrs
x
sr
xsr
y
rs
y
0
0
det
1
J
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )4
11
4
11
4
11
4
11
4
3
2
1
srN
srN
srN
srN
+−=
++=
−+=
−−=
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )4
1
4
11
4
1
4
114
1
4
11
4
1
4
114
1
4
11
4
1
4
114
1
4
11
4
1
4
11
4,4
4,4
3,3
3,3
2,2
2,2
1,1
1,1
rr
s
NN
ss
r
NN
rr
s
NN
ss
r
NN
rr
s
NN
ss
r
NN
rr
s
NN
ss
r
NN
sr
sr
sr
sr
−=
−=
=
+−=
+−=
=
+=
+=
=
+=
+=
=
+−=
−+=
=
−=
−=
=
−=
−−=
=
−=
−−=
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) rxrxrxrxd
sxsxsxsxc
sysysysyb
ryryryrya
−+++−−+−=
−−+++−+−=
−−+++−+−=
−+++−−+−=
111141
111141
111141
111141
4321
4321
4321
4321
=
200
020J
Estado plano de tensão:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )srN
srN
srN
srN
−+=
−−=
+−=
++=
114
1
114
1
114
1
114
1
4
3
2
1
= 0,3𝐸 constante
40
40
4
21
3
y
x
F=1
( )
−−=
xy
y
x
xy
y
xE
2
100
01
01
1 2
( )( )
=
yxv
yxu
xy
y
x
xy
y
x
,
,0
0
EXEMPLO
=
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4321
4321
v
v
v
v
u
u
u
u
NNNN
NNNN
xy
y
x
v
u
xy
y
x
xy
y
x
B
=
−
10
01
20
11J
400det =J
=
s
r
y
x
10
01
20
1
B
srdddet1
1
1
1
JDBBK T
− −
=
( )
−−=
2
100
01
01
1 2
ED
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−−+−++−−−−+
+−−−−+
−−−+−+
=
ssssrrrr
rrrr
ssss
11111111
11110000
00001111
80
1
400det =J
K/E=
−0.72860.8892−1.5812−2.1165
𝒖 = 1000/𝐸
−
=
1
0
0
0
F
=
9/728011/14560-1/22401/29120-
11/14560-9/72801/291201/2240-
1/22401/291209/72801/7280
1/29120-1/2240-1/72809/7280
EK
Calcular:
•Deslocamentos
•Reações de apoio
•Deformações
•Tensões
EXERCÍCIO
( )( )( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
−+
−=
12
2100
011
01
1
211
1ED
( ) ( )( )( ) ssrN
rsrN
srsrN
=
=
−−=
,
,
1,
3
2
1
para =0,3 e t=1,0.
Estado plano de deformações:
F
1
x
y 1
1
12
3
−−
−−
−−−
−−
−−−
−−
= −
1100429,0429,0
1286,1286,0286,0714,0429,0
0286,0286,0286,0286,00
0286,0286,0286,0286,00
429,0714,0286,0286,0286,11
429,0429,00011
673,0
det1
0
1
0
E
tdsdrr
JDBBT
−−
−−
−−−
−−
−−−
−−
=
1100429,0429,0
1286,1286,0286,0714,0429,0
0286,0286,0286,0286,00
0286,0286,0286,0286,00
429,0714,0286,0286,0286,11
429,0429,00011
673,0 EK
FLUXOGRAMA
•Agora escreva um fluxograma de como você implementaria o problema para elementos de 4 nós, implemente (pode ser em MatLab, Octave, Python, C....), e resolva:
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR 78
3/4
2
1
4
2
1
3
1
1
y
x
F=1
FIM Próxima aula faremos um
exercício
27 de Abril de 2020 PMR5026 MEF LINEAR79