FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição: Dado um número real a, com a > 0 e 1a ≠ , chamamos função exponencial de base

a a função f de R → R que associa a cada x real o número ax.

Podemos escrever, também: f: R → R

x → ax

Exemplos de funções exponenciais em R:

a) f(x) = 2x d) f(x) = e-x

b) f(x) = x

21

e) f(x) = 10x

c) f(x) = ex

Gráfico: O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:

1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1

função crescente função decrescente

Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.

Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, corta o eixo y no ponto (0, 1).

Equações exponenciais

Definição: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente.

Exemplos

a) 2x = 64

b) ( ) 3x813 =

c) 4x – 2x = 2

Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de

mesma base, usando para isso as propriedades de potência.

Pelo fato da função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e

de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja:

ab = ac ⇔ b = c (a > 0 e 1a ≠ )

Exemplos

a) 2x = 64 b) ( ) 3x813 = c) 4x – 2x = 2

2x = 26 ( ) 3/1x2/1 )81(3 = 22x – 2x – 2 = 0

x = 6 31

4x21

)3(3 = fazendo 2x = t

V = {6} 34

x21

33 = t2 – t – 2 = 0

34

x21

= temos que t = – 1 ou t = 2

x = 38

2x = – 1 ou 2x = 2

V = {38

} ∃/ x / 2x = – 1

2x = 21

x = 1

V = {1}

LOGARITMOS

Definição: Seja 1b ≠ um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer,

existe um único número real y tal que ybx = . Este número y é chamado logaritmo do

número x na base b e será denotado por xlogy b= .

Temos, então, a igualdade: yb bxxlogy =⇔=

Exemplos:

1) Calcule 9log 3 .

Da igualdade acima temos:

2y33399logy y2y3 =⇔=⇔=⇔= .

Logo, 29log 3 =

2) Calcule 2log 4 .

Da igualdade acima temos:

21

y1y222422logy y2y4 =⇔=⇔=⇔=⇔= .

Logo, 21

2log 4 =

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Para cada número real positivo 1b ≠ , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a

função R),0(:f →∞+ , que a cada número real positivo x associa o número real xlog)x(f b=

Gráficos

A função logaritmo de x na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras

diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:

b > 1 0 < b < 1

Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se

0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua

imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, RR:logb →+ .

Propriedades

Sejam b > 0 e 1b ≠ , M > 0, N > 0 e r números reais, então:

a) NlogMlog)NM(log bbb +=

b) NlogMlogNM

log bbb −=

c) Mlogr)M(log br

b ⋅=

d) 1blog b =

e) 01log b =

Mudança de base

Sejam a e b números reais positivos com 1a ≠ e 1b ≠ , para qualquer número real positivo M

temos a igualdade:

blog

MlogMlog

a

ab =

Exemplo

Escreva a seguinte expressão zlog3ylog2xlog 666 −+ com um único logaritmo.

Solução: 3

26

36

266666

z

xylogzlogylogxlogzlog3ylog2xlog =−+=−+

Logaritmos especiais

Dois logaritmos possuem notações próprias que são:

• xlog)x(f 10= , que será denotado simplesmente por xlog)x(f = e será chamado

logaritmo decimal (na base 10).

• xlog)x(f e= , que será denotado simplesmente por xln)x(f = e será chamado logaritmo

natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função

exponencial xe)x(g = , cujo valor aproximado é e = 2,7182...

Relação entre função logarítmica e função exponencial:

As funções xlog)x(f b= e yb)y(g = são funções inversas, uma da outra, pois pela própria

definição de logaritmo temos, yb bxyxlog =⇔= e, assim,

( ) xbxlogg))x(f(g xlogb b === e

( ) y)b(logbf))y(g(f yb

y ===

Exemplo

Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taxa de 10% ao ano, no sistema de

juros compostos, para resgatar R$ 1.500,00?

Solução:

Da fórmula de juros composto, t)i1(PVPF += , onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o

valor aplicado, i é a taxa e t é o tempo de aplicação, temos que:

( ) ( ) 3599,50414,02219,0

)1,1log()3/5log(

35

logt35

1,19001500

1,0110010

19001500 1,1tt

t===

=⇔=⇔=+⇔

+=

EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = 2x

b) f(x) = x

21

c) f(x) = 2x + 2

d) f(x) = x

21

- 3

e) f(x) = 3.2x

f) f(x) = x2

2) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 12551 x

=

b) 125x = 0,04

c) 53x-1 = 3x2

251 +

d) (2x)x + 4 = 32

e) 4x + 1 – 9.2x + 2 = 0

3) Calcule o valor do logaritmo dado.

a) 64log 8 b) 64log 4 c) 8log 64 d) 641

log 2

e) 1log 2 f) 2log 2 g) 8log21 h) 81log

31

4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.

a) xlog)x(f41= b) xlog)x(f 2= c) )1xln()x(f +=

d) )2xln()x(f −= e) )x(log)x(f21 −= f) xlog)x(f

31−=

5) Reduza a expressão dada em um único logaritmo.

a) ylog21

xlog4 + b) 1log3yln32

xln5 6−+

c) 1)y2(log)x(log3 bb −+ d) zlog36logxlog 939 −+

6) Sendo 51,053

ln,5bln,2aln −=== , calcule.

a) )abln( b) abln c) )baln( 32 d) )a5

b3ln(

3

2

7) Resolva as seguintes equações:

a) 9ln3lnxln =+

b) 04ln)x2x(ln 2 =+−

c) )x3ln(2ln)1xln(xln −+=−−

d) 04lnxlnxln 2 =−−

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO

EXPONENCIAL

1a) 1b) 1c)

1d) 1e) 1f)

2a) V = {-3}

2b) V =

−

32

2c) V =

−

75

2d) V = {-5; 1}

2e) V = {-2; 1}

LOGARTIMOS

3) a) 2; b) 3; c) 21

; d) –6; e) 0; f) 1; g) –3; h) –4.

4) a) }0x/Rx{Df >∈= b) }0x/Rx{Df >∈=

c) }1x/Rx{Df −>∈= d) }2x/Rx{Df >∈=

e) }0x/Rx{Df <∈= f) }0x/Rx{Df >∈=

5) a) )yxlog( 4 ; b) )yxln( 3 25 ; c)

by2x

log3

b ; d)

39

z

x36log .

6) a) 7; b) 27

; c) 19; d) 6,49.

7) a) 3; b) não existe; c) 2 ou 23

; d) 4.