MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5

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CONJUNTOS NUMÉRICOS AULA 5 Página 1 de 5

Intervalos numéricos.

IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula:

CONJUNTOS NUMÉRICOS – AULA 5 Disponível em www.alexmayer.com.br

Intervalos numéricos: Podemos associar o conjunto dos números reais a uma reta e cada um dos seus infinitos pontos a um número real. Se quisermos expressar um subconjunto dos reais é comum utilizarmos parte dessa reta. Observe o exemplo: Representar todos os números reais entre 3 e 5: O primeiro passo é representar a reta real. Observe que ela tem setas nas extremidades. Isso se deve ao fato que o conjunto dos reais é infinito.

Agora devemos representar os números 3 e 5 na reta dos reais através de pontos em cima da reta. O menor número, no caso o número 3 deve ser posicionado à esquerda e o número 5 à direita.

Por último devemos ressaltar a parte da reta que compreende o intervalo, isto é, o intervalo da reta entre 3 e 5. Nesse exemplo os números 3 e 5 inteiros fazem parte do intervalo.

Caso os extremos do intervalo não façam parte do mesmo, isto é, fazem parte do intervalo todos os números entre 3 e 5, excluindo os inteiros 3 e 5, devemos representar os pontos sem preenchimento. Nesse caso dizemos que o intervalo é aberto.

Z I = R

Existem outras duas maneiras de expressar um intervalo numérico, através de colchetes e parênteses e também pela notação de conjuntos representando uma desigualdade entre chaves. Para o nosso primeiro exemplo, onde expressamos o intervalo compreendido entre 3 e 5 na reta real, podemos expressar o mesmo intervalo por colchetes com os dois extremos entre eles separados por vírgula.

Na notação de conjuntos devemos expressar o intervalo como se segue, lendo da seguinte forma: x pertencente aos reais tal que 3 seja menor ou igual a x que é menor ou igual a 5.

Caso os extremos não façam parte do intervalo, os colchetes devem estar virados para fora. Os parênteses também são utilizados quando os extremos não fazem parte do intervalo. Na notação de conjuntos devemos expressar apenas o símbolo de menor.

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Um intervalo pode ser aberto à direita e fechado à esquerda ou fechado à direita e aberto à esquerda.

Todos os intervalos que vimos até agora são intervalos imitados por dois extremos. Porém existem intervalos ilimitados. Para expressar esses intervalos utilizamos o símbolo de infinito (). Exemplo: Devemos expressar todos os números reais maiores que 5. Então:

Note que o símbolo de infinito é representado juntamente com o sinal positivo, pois o intervalo é ilimitado para o lado positivo. O colchete do lado

infinito sempre deve ser aberto podendo-se utilizar parênteses também. Na notação de conjuntos devemos expressar o intervalo infinito com apenas com um sinal de desigualdade. No exemplo anterior lê-se da seguinte forma: x pertencente aos reais tal que x3 seja maior ou igual a 5. Caso desejarmos expressar todos os números menores que 5 o procedimento é muito semelhante ao anterior. Observe:

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EXERCÍCIOS:

5.1 Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: a) { x IR / -1 < x < 3} b) ] - , 2]

c)

2

13,

d) { x IR / x 6}

e) { x IR / 2 x < 7}

f) ( 55, )

g) {x IR / x < -4} h) [ 0, 6) 5.2 Represente os intervalos entre colchetes e pela notação de conjuntos:

5.3 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada uma das seguintes afirmações:

a) 2 [2, 6]

b) -1 (-5, -1)

c) 0 {x IR / -1 < x < 1 }

d) 3 {x IR / 3 < x < 4 }

e) { 2, 5 } [ 0 , +[

f) [0, 2] = {x IR / 0 x 2 }

g) -3 ( - , -1]

h) ( 1 + 2 ) {x IR / 0 x 1 }

5.4 Dados A = {x IR / -1 < x < 1 } e B = [0, 5[,

determine:

a) A B

b) A B

c) A – B

d) B – A

e) CA

B

5.5 Dados os conjuntos A = [2, 4] e B = [3, 6] :

a) A B

b) A B

c) A – B

d) B – A

e) CA

B

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5.6 Dados A = {x IR / x < 4} e B = {x IR / x < 1}:

a) B A

b) A B

c) CA

B

d) CB

A

5.7 Dados os conjuntos A = (-2, 1) e B = [-3, 0] :

a) A

b) B

c) BA

d) A B

5.8 Dados os conjuntos A = ]-, 3] e B = ]2, 5]:

a) A

b) B

c) C)BA(

A

d) B - A

5.9 Dados os conjuntos A = ]-5, 2], B = [-6, 6] e

C = ]-, 2] calcule:

a) A B C

b) A B C

c) (A B) C

d) A (B C)

5.10 Dados os conjuntos A = [-1, 4[, B = [1, 5]

C = [2, 4] e D = ]1, 3], verifique se 1 pertence ao

conjuntos (A B ) – (C D).

GABARITO:

5.1

5.2

a) [-4, 2]

{ x IR / -4 x 2 }

b) [5, +[

{ x IR / x 5 }

c) ]-3, 3[

{ x IR / -3 < x < 3 }

d) ]0, 2[

{ x IR / 0 < x < 2 }

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e) [-4, 2]

{ x IR / -4 x 2 }

f) ] -, 1]

{ x IR / x 1 }

g) [0, + [

{ x IR / x 0 }

5.3

a) V

b) F

c) V

d) V

e) V

f) V

g) V

h) F

5.4

a) [0, 1 [

b) ] -1, 5 [

c) ]-1, 0 [

d) [1, 5 [

e) Não existe pois AB

5.5

a) [3, 4]

b) [2, 6]

c) [2, 3 [

d) ]4, 6]

e) Não existe pois AB

5.6

a) ] -, 1 [

b) ] -, 4 [

c) [1, 4 [

d) Não existe pois BA

5.7

a) ] -, -2 ] [ 1 , +[

b) ] -, -3 [ ] 0, +[

c) ] -, -2 ] [ 0, +[

d) ] -, -2 ] [ 0, +[

5.8

a) ] 3, +[

b) ] -, 2 ] ] 5, +[

c) ] -, 2 ]

d) ] -, 2]

5.9

a) ] -, 6]

b) ] -5, 2]

c) [-6, 2 ]

d) ] -5, 2]

5.10

(A B ) – (C D) = [1, 2[ e ]3, 4[

Portanto 1 (A B ) – (C D)

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