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EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
ÍNDICEIntrodução....................................................................................................................2
1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico...........................................................3
1.1 Métodos de Resolução das EDP....................................................................3
1.1.1 Método da Integração Básica Directa......................................................4
1.1.2 Método de Mudança de Variáveis............................................................5
1.1.3 Separação de Variáveis...........................................................................8
2 Série de Fourier...................................................................................................10
2.1 Funções Pares e Ímpares.............................................................................11
2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares.........................................12
2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos...................................................12
2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda.................................................13
2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier.........................13
Conclusão..................................................................................................................17
Referências Bibliográficas.........................................................................................18
Integrantes do Grupo.................................................................................................19
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
INTRODUÇÃOA Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos
campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como
sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de
sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria
electromagnética, mecânica quântica, e outros.
Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não
Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico,
Elíptico e Parabólico.
No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de
tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a
equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do
problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO
Dada uma EDP na forma, A ∂2U
∂ x2 +B ∂2U∂ x∂ y
+C ∂2U∂ y2 +D ∂U
∂ x+E ∂U
∂ y+FU=G
onde
todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis
x e y em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo
Hiperbólico se, ∆=B2−4 AC>0.
EXEMPLOS.
1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
a) ∂2U∂ x2 =∂2 U
∂ y2
b) ∂2U∂ x2 + ∂2U
∂ y2 =0
Solução:
a) ∂2U∂ x2 =∂2 U
∂ y2 =¿ ∂2U∂ x2 −∂2 U
∂ y2 =0=¿ A=1 , B=0˄C=−1
B2−4 AC=02−4∗1∗(−1 )=4>0 ,é uma equação diferencial hiperbólica.
b) ∂2U∂ x2 + ∂2U
∂ y2 =0=¿ A=1 ,B=0˄C=1
B2−4 AC=02−4∗1∗1=−4<0 ,não é uma equação diferencial hiperbólica.
EXERCÍCIOS.
1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
a¿3 ∂2U∂ x2 =∂ U
∂ y
b)∂U∂ x
=∂U∂ y
c) x2 ∂2 U∂ x2 + ∂2 U
∂ y2 =0
1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de
uma equação diferencial.
1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTANo método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações
Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis,
consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função
arbitrária nas outras variáveis como uma constante.
EXEMPLOS.
1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das
equações diferenciais parciais seguintes:
a) U (x , y)x=0b) U (x , y)xy=0
Solução:
a) U (x , y)x=0
∂U∂ x
=0, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e
y, então considera-se como constante uma função em ordem a y.
Logo vem:
U (x , y)=f ( y), que é neste caso a solução geral.
b) U (x , y)xy=0
Integrando primeiro em ordem a x vem U (x , y)=f ( y ) e integrando agora em ordem a
y temos como solução geral
U ( x , y )=∫ f ( y ) dy+h(x).
EXERCÍCIOS
Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes:
a. U (x , y)xx=3b. U (x , y)x=cosyc. U ( x , y ) xy=8 x y3
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para a EDP A ( x , y ) U xx+B ( x , y ) U xy+C ( x , y ) U yy=0Definimos a equação diferencial
característica associada como:
A ( x , y )(dx)2+B ( x , y ) (dx ) (dy )+C ( x , y ) (dy )2=0 As curvas características associadas são
as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.
Exemplo de equações características de uma EDP A equação U xx−U yy=0 definida
emℜ2,tem a equação característica (dx )2−(dy )2=0
A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:
x+ y=c1
x− y=c2
É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo
de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que
oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica
associada.
Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)α Zxx+β Z xy+γ Z yy=0
Onde ∝ , β e γ são números reais. Usando as mudanças de variáveis:
u=ax+by ev=cx+dy e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :
∂Z∂ x
=∂Z∂u
∂u∂x
+ ∂ Z∂v
∂v∂x e ∂Z
∂ y=∂Z
∂u∂u∂ y
+ ∂Z∂v
∂v∂ y
E assim temos:∂Z∂ x
=a ∂ Z∂u
+c ∂Z∂v
e ∂Z∂ y
=b ∂Z∂u
+d ∂Z∂v
Neste caso a solução geral é dada porZ(u , v)=f (u)+g(v )De forma análoga temos:
∂2 Z∂ x2 = ∂
∂x(a ∂Z
∂u+c ∂Z
∂v)
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
∂2 Z∂ x2 = ∂
∂u (a ∂Z∂u
+c ∂ Z∂ v ) ∂u
∂ x+ ∂
∂v(a ∂Z
∂u+c ∂Z
∂v) ∂v∂ x
Assim: ∂2 Z
∂x2 =a(a ∂2 Z∂u2 +c ∂2 Z
∂u∂v )+c (a ∂2 Z∂u∂ v
+c ∂2 Z∂ v2 )
Ou seja:∂2 Z∂ x2 =a2 ∂2 Z
∂u2 +2ac ∂2 Z∂u∂ v
+c2 ∂2 Z∂ v2
Ou em uma notação mais simples:Zxx=a2 Zuu+2 ac Zuv+c2 Z vv(1)
Analogamente:∂2 Z
∂x ∂ y= ∂
∂x ( ∂Z∂ y )= ∂
∂ x(b ∂ Z
∂u+d ∂ Z
∂ v)
∂2 Z∂x ∂ y
= ∂∂u (b ∂ Z
∂u+d ∂ Z
∂ v ) ∂u∂ x
+ ∂∂v
(b ∂Z∂u
+d ∂Z∂ v
) ∂v∂x
∂2 Z∂x ∂ y
=ab ∂2 Z∂u2 +ad ∂2 Z
∂u∂v+bc ∂2 Z
∂u∂ v+cd ∂2 Z
∂v2 ¿
∂2 Z∂x ∂ y
=ab ∂2 Z∂u2 +(ad+bc ) ∂2 Z
∂u∂ v+cd ∂2 Z
∂v2 ¿
Ou mais simplesmente:
Z xy=abZuu+(ad+bc)Zuv+cd Zvv (2¿
Do mesmo modo:
∂2 Z∂ y2 =
∂∂ y ( ∂Z
∂ y )= ∂∂ y
(b ∂Z∂u
+d ∂Z∂v
)
∂2 Z∂ y2 =
∂∂u (b ∂Z
∂u+d ∂ Z
∂ v ) ∂u∂ y
+ ∂∂v
(b ∂Z∂u
+d ∂Z∂v
) ∂v∂ y
∂2 Z∂ y2 =b(b ∂2
∂u2 +d ∂2 Z∂u∂v )+d(b ∂2 Z
∂u∂v+d ∂2 Z
∂ v2 )
∂2 Z∂ y2 =b2 ∂2 Z
∂u2 +bd ∂2 Z∂u∂v
+bd ∂2 Z∂u∂v
+d2 ∂2 Z∂v2
Ou seja:∂2 Z∂ y2 =b2 ∂2 Z
∂u2 +2bd ∂2 Z∂u∂v
+d2 ∂2 Z∂ v2
Ou ainda vem:Z yy=b2 Zuu+2bd Zuv+d2 Z vv(3)
EXEMPLO.
Determinar a solução geral para a equação: Zxx−Z yy=0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
Solução:
Zxx−Z yy=0
Determinando primeiro a equação característica ordinária vem:(dx )2−( dy )2=0⇒¿)(dx+dy )=0dx−dy=0⋁ dx+dy=0
Integrando cada uma das equações temosx− y=c1e x+ y=c2, fazendo u=x− y ev=x+ y∂u∂x
=1 , ∂u∂ y
=−1
∂v∂x
=1 , ∂ v∂ y
=1
Fazendo também Z=uv.Então:∂Z∂ x
=∂Z∂u
∂u∂x
+ ∂ Z∂v
∂v∂x =∂Z
∂ u+ ∂ Z
∂ v∂2 Z∂ x2 = ∂
∂x ( ∂Z∂ x )= ∂
∂ x( ∂Z
∂u+ ∂ Z
∂v)
∂2 Z∂x2 =
∂∂u ( ∂Z
∂u+ ∂Z
∂v ) ∂u∂ x
+ ∂∂v
( ∂Z∂u
+ ∂ Z∂v
) ∂v∂ x
∂2 Z∂ x2 =∂2 Z
∂u2 + ∂2 Z∂u∂v
+ ∂2 Z∂u∂v
+ ∂2 Z∂ v2
∂2 Z∂x2 =∂2 Z
∂u2 +2 ∂2 Z∂u∂v
+ ∂2 Z∂v2
Ou simplesmente:Zxx=Zuu+2 Zuv+Zvv
Analogamente:∂Z∂ y
=∂Z∂u
∂Z∂ y
+ ∂ Z∂ v
∂ Z∂ y
=−∂ Z∂u
+ ∂Z∂v
∂2 Z∂ y2 =
∂∂ y ( ∂Z
∂ y )= ∂∂ y (−∂Z
∂u+ ∂ Z
∂ v )∂2 Z∂ y2 =
∂∂u (−∂Z
∂u+ ∂Z
∂v ) ∂u∂ y
+ ∂∂v (−∂ Z
∂ u+ ∂Z
∂v ) ∂ v∂ y
∂2 Z∂ y2 =
∂2 Z∂u2 −
∂2 Z∂u∂v
− ∂2Z∂u∂v
+d2 ∂2 Z∂v2
∂2 Z∂ y2 =
∂2 Z∂u2 −2 ∂2 Z
∂u∂v+ ∂2 Z
∂v2
Ou apenas:Z yy=Zuu−2Zuv+Zvv
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:Zxx−Z yy=0Zuu+2Zuv+Zvv−(Zuu−2Zuv+Zvv)=0Zuu+2Zuv+Zvv−Zuu+2Zuv−Z vv=0⇒ 4Zuv=0
Zuv=0, Aplicando o método da integração básica directa temos que:Z(u , v)=f (u)+g(v )que é solução da equação Zuv=0
Com as variáveis originais obtemos a solução:Z ( x , y )=f ( x− y )+g ( x+ y )que é a solução geral.
EXERCÍCIOS.
Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação:
a) 6 Zxx−5 Zxy−4 Zalignl¿ yy ¿¿=0¿Pelas condições:u=4 x+3 y ;v=x−2 y
1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEISQuando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de
x por uma função de y, como:
u(x , y)=X (x )Y ( y )
As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas
variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que:
∂u∂x
=X´ y, ∂u∂ y
=Y ´ x
E que ∂2 u
∂x2 =X ´ ´ y, ∂2u∂ y2=Y ´ ´ x
EXEMPLOS.
Determine:
a) ∂2 u∂x2 =4 ∂u
∂ yb) U x−U y=0
Solução:
a) ∂2 u∂x2 =4 ∂u
∂ y X ´ ´ y=4Y ´ x X ´´4 x
=Y ´y
Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é
independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são
independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como
λ ou−λ
Desta forma distinguimos os três casos seguintes:
CASO I
Seλ ¿0as duas igualdades X ´ ´4 x
=Y ´y
=¿, então temos:
X ´ ´=4 x λ❑˄Y ´= y λ❑⇒ X ´ ´−4 x λ❑=0˄Y ´− y λ❑=0, assim temos as Respectivas equações auxiliares seguintes:
r2−4 λ❑=0˄r−λ❑=0, onde parar=2 e para r= y
Dessa forma temos as soluções seguintes:X=c1cosh 2+c2sinh 2˄Y =c3 ey, assim uma solução particular da EDP dada é:U =XYU=(c1cosh 2+c2sinh 2 ) c3 e yU=A1 e y cosh 2+B1 e y sinh 2 ,onde A1=c1c3˄B1=c2 c3
CASO IISe −¿0 ,as igualdadesX ´ ´4 x
=Y ´y
=−λ❑⇒X ´ ´+4 x λ❑=0˄Y ´+ y λ❑=0 onde para r=±2 i e para y temos que
r= y, assim as soluções respectivas são:X=c4 cosh 2i+c5 senh2 i˄Y =c6 e− y, a solução particular correspondente é:
U=(c4 cosh 2i+c5 sinh2 i ) c6 e− y ,
U=A2 e− y cosh 2i+B2 e− y sinh 2 i ,ondeA2=c4 c6˄B2=c5 c6 ei representa a unidade imaginária.
CASO III
Seλ ¿0, as igualdadesX ´ ´=0˄Y ´=0 X=c7 x+c8˄ y=c9 u=A3 x+B3
ondeA3=c7 c9 ˄B3=c8c9
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
Se u1 ,u2, u3 ,…,uk, são soluções particulares de uma equação diferencial em
derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear
U=c1u1+c2 u2+c3u3+…+ck uk também é uma solução, em que ck são constantes e
k∈ℵ0
Assim é também solução da equação anterior a expressão: U=A1 ey cosh2+B1 e y sinh 2+ A2 e− y cosh2 i+B2 e− y sinh 2i+ A3 x+B3
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
b¿ux−uy=0⇒ ∂u∂x
− ∂u∂ y
=0⇒ X ´ y−Y ´ x=0⇒X ´ y=Y ´ x
⇒ X ´x
=Y ´y
X ´x
=Y ´y
=± λ2 ,então
X ´=± xλ2˄ Y ´=± xλ2
X ´=± λ2=0˄Y ´=± λ2=0pelas equações auxiliares r ± λ2=0 temos quer=± λ2, então vem:
X=c1 e± λ 2 xe Y=c2 e± λ 2 y, assim a solução produtou ( x , y )=XYu(x , y)=c1e
± λ2 x ∙ c2e± λ2 y
u ( x , y )=A e± λ 2 (x + y )=A ek ( x+ y ) , k=± λ2
2 SÉRIE DE FOURIERA série de Fourier de uma função f definida em um intervalo(−p , p ) é
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos nπxp
+bn sen nπxp ) ,onde: a0=
1p ∫
−p
p
f (x)dx ,
an=1p ∫
−p
p
f (x)cos nπxp
dx ,bn=1p∫−p
p
f ( x ) sen nπxp
dx; onden=0,1,2,3 …
EXEMPLOS.
Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado:
a¿ f (x )={0 ,−π<x<01 ,0≤ x<π
; b¿ f ( x )={−1 ,−1<x<0x ,0≤ x<1
; c ¿ f ( x )={−x ,−2≤ x<01 ,0≤ x<2
Solução:
a¿ f (x )={0 ,−π<x<01 ,0≤ x<π
A série de Fourier de função f (x) é dada por:
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos nπxp
+bn sen nπxp ),
Determinando os coeficientes temos:
a0=1p∫– p
p
f ( x ) dx , Neste caso p=π a0=1π ∫
– π
π
f ( x )dx=1π∫0
π
dx=¿1¿
an=1p∫– p
p
f ( x ) cos nπxp
dx=1π ∫
– π
π
f ( x )cos nπxπ
dx
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
an=1π∫0
π
cos nπxπ
dx= 1π∫0
π
cosnx dx= 1π∫0
π
cosnx dx=0
bn=1p∫– p
p
f ( x ) sen nπxp
dx= 1π ∫
– π
π
f ( x ) sin nπxπ
dx
bn=1π∫0
π
sen (nx ) dx=−1nπ
[ cosnx ] π0
bn=1nπ
(1−cosnπ )= 1nπ [1−(−1 )n ] Então a série de Fourier para a função dada é:
f ( x )=12+ 1
π ∑n=1
∞ [1− (−1 )n ]n
sen nx
b¿ f ( x )={−1 ,−1<x<0x ,0≤ x<1
a0=1p∫– p
p
f ( x ) dx=∫– 1
1
f ( x ) dx=−∫– 1
0
dx+∫0
1
xdx=−[ x ] 0−1
+ 12
[ x2 ]10
a0=1+ 12=3
2
an=1p∫– p
p
f ( x ) cos nπxp
dx=∫– 1
1
f ( x )cos nπxdx=−∫– 1
0
cosnπxdx+∫0
1
xcosnπxdx , Integrando por
partes a segunda parcela temos:
an=1nπ [ sen (nπx ) ] 0
−1+[ xsennπxnπ +
cosnπx(nπ )2 ]10=
1n2 π2 [ (−1 )n−1 ]
bn=∫−1
1
f (x ) sennπxdx=−∫−1
0
sennπxdx+¿∫1
−1
xsennπxdx ¿
bn=1nπ
[ c osnπx ] 0−1+[ sennπx
(nπ )2−
xcosnπxnπ ]10
bn=−1nπ
, logo a série correspondente é:
f ( x )=34+∑
n=1
∞ 1n2 π2 [ (−1 )n−1 ] cosnπx− 1
nπsennπx
EXERCÍCIOS.
1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:
a¿ f (x )={−1 ,−π<x<01,0≤ x<π
b¿ f ( x )={0 ,−3<x←11 ,−1< x<10 ,1<x<3
2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARESA função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma
função é par se f (−x )=f (x ) e é ímpar se − f ( x )=f (−x ).
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
Vemos quecos (−x )=cosx e−senx=sen (−x )
2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
a) O produto de duas funções pares é par
b) O produto de duas funções ímpares é par
c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função
ímpar
d) A soma ou diferença de duas funções pares é par
e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar
f) Se f é par, ∫−a
a
f (x ) dx=2∫0
a
f ( x ) dx
g) Se é ímpar, ∫−a
a
f (x ) dx=0
2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS
I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de
Co-senos f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
an cos nπxp
Em que a0=2p∫0
p
f ( x ) dx e an=2p∫0
p
f ( x ) cos nπxp
dx
II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos:
f (x)=∑n=1
∞
bn sen nπxp
, ondebn=2p∫0
p
f ( x ) sen nπxp
dx
EXEMPLOS.
1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:a) f ( x )=x ,−2<x<2b) f ( x )=x2 ,−1<x<1
Solução:a) f ( x )=x ,−2<x<2
Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem:
f (−x)≠ f (x ), mas f (−x )=−f ( x) , logo a função é ímpar, assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
f ( x )=∑n=1
∞
bn sen nπxP
,
bn=2P∫
0
p
f ( x ) sen nπxP
dx
bn=22∫0
2
x sen nπxP
dx
bn=22∫0
2
x sen nπxP
dx=[ 4n2 π2 sen nπx
2− 2
nπx] ❑0
2
bn=4nπ
cosnπ , a série correspondente para este caso é: f ( x )= 4π ∑
n=1
∞
an1n(cosnπ ) sen nπx
2,
b) f ( x )=x2 ,−1<x<1
f (−x )=f ( x )=x2, Conclui-se que a função é par.
Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co-seno.
f ( x )=an
2+∑
n=1
∞
an cos nπxP
a0=2P∫
0
p
f ( x ) dx
a0=2∫0
p
x2 dx=23 [ x3 ]0
2=163
an=2P∫
0
p
f ( x ) cos nπxP
dx
an=2∫0
p
x2 cosnπxdx=[ 2n2 π2 cosnπx+( x2
nπ− 2
n3 π3 )sennπx ]❑01
an=4
n2 π2 cos nπ
f ( x )=83+ 4
π 2∑n=1
∞ 1π2 cos nπ cosnπ
EXERCÍCIOS.
Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:a) f ( x )=x ,−3<x<3b) f ( x )=x+1 ,−1<x<1
c) f ( x )=cos x ,−π2
<x< π2
d) f ( x )=senx ,−π<x<π
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA
2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER
A equação ∂2u
∂ t2 =a2 ∂2u∂ x2 ouutt=a2 uxx se chama de oscilação de uma corda (equação
de corda vibrante ), onde a2 é considerado como uma constante positiva, a menos
que se especifique o contrário.
CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA
O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma
função u(x ; t), para 0≤ x≤ L e t ≥ 0, que satisfaça a equação das ondas, as condições
de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido como um
problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF.
Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição
de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a
hipótese de extremidades fixas implica que u (0 ; t )=u ( L;t )=0,Para t ≥ 0. Que são
chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a
natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o
deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é
abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ut ( x ;0 ). Assim
devem ser dados
u ( x ; t )=f ( x ) , para 0≤ x≤ L
ut ( x ;0 )=g ( x ) , para0≤ x≤ L; que são chamadas de condições iniciais.
EXEMPLOS
1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima:u (0 ; t )=u ( L;t )=0, Para t>0
a¿u ( x ;0 )= f ( x ) , ∂ u∂t | ¿
¿ t=0=g ( x ) ,0< x<L
u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0 , t>0
b¿u ( x ;0 )=14
x (L−x) , ∂u∂ t | ¿
¿ t=0=0
Solução
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0
a¿u ( x ;0 )=f ( x ) , ∂u∂t | ¿
¿ t=0=g ( x ) ,0< x<L
equação daonda é ∂2u∂ t2 =a2 ∂2 u
∂ x2
Separando as variáveis tem-se:∂2u∂ t2 =T ´ ´ x⋀ ∂2u
∂ x2=X ´ ´ t
T ´ ´ x=a2 X ´ ´ t⇒ T ´ ´a2t
= X ´ ´x
=−λ2
T ´ ´=−λ a2t ⋀ X ´ ´=−λ2
T ´ ´+ λ2 a2 t=0⋀ X ´ ´+λ2 x=0Onde as suas equações auxiliares são: r2+λ2a2=0∧r2+λ2=0Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se: r=± λai❑r=± λi, T=C1cosλat+C2 senλat e X=C3 cosλx+C4 senλxAtendendo as condições de fronteira, temos X (0 )=0∧X ( L )=0assim vemos queC3=0∧C4 senλ L=¿0
Esta última equação define os valores próprios λ=nπL
,onde n=1 ,2,3 ,…
As funções próprias respectivas são X=C4 sen nλxL , n=1 ,2 ,3 ,…
As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira são un=¿
u ( x , t )=∑n=1
∞
¿¿
Como t=0 na última expressão, obtemos então
u ( x ,0 )=∑n=1
∞
An sen nπL
xque é odesenvolvimento de f ( x ) em forma
da sériede senosde ℱ .
Sendo que An=¿ Bn¿e que An=2L∫0
L
f (x )sen nπL
xdx
E para determinar Bn, apenas derivamos u ( x , t ) em ordem a t e fazemos t=0:∂u∂ t
=∑n=1
∞
(AnnπaL
sen nπL
+BnnπaL
cos nπaL ) sen nπ
Lx
∂u∂ t
¿
Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do
intervalo no intervalo, o coeficiente total (BnnπaL )deve estar na forma
BnnπaL
= 2L∫0
L
g(x )sen nπL
xdx
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
Bn=2
nπa∫0L
g (x)sen nπL
xdx
A solução do problema está formada por série, com An e Bn definidos respectivamente.
E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso, g ( x )=0, para todo x em 0≤ x≤ L, em consequência, Bn=0.
u (0 ; t )=0 , u ( L;t )=0 , t>0
b¿u ( x ;0 )=14
x (L−x) , ∂u∂ t | ¿
¿ t=0=0
Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de separação de variáveis obtém-se:
X=C1 cosλx+C2 senλxeT=C3cosλat+C4 senλat , então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem: X (0 )=C1=0 Λ X (L )=C2 senλL=0
Emque as funções próprias correspondentes são :
X=C2 sen nπL
xeT=C3 cos nπL
t +C4 sen nπL
t paran=1 ,2 , 3 ,…
Então, u=∑n=1
∞
(Ancos nπaL
t+Bn sen nπaL
t)sen nπL
x
Impondo u ( x;0 )=14
x ( L−x )=∑n=1
∞
An sen nπL
x
∂u∂ t
=∑n=1
∞
(−AnnπaL
sen nπL
+BnnπaL
cos nπaL )sen nπ
Lx
ut (x ,0)=0=∑n=1
∞
BnnπaL
sen nπaL
⇒Bn=0
u ( x ; t )=∑n=1
∞
(An cos nπaL
t )sen nπL
xn=1,2 ,3 ,…
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as
condições citadas:
a) u (0 , t )=u ( L, t )=ut ( x ,0 )=0, u ( x ,0 )=sen πxL
b) u (0 , t )=u (π , t )=ut ( x , 0 )=0, u ( x ,0 )=sen5 x
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
CONCLUSÃOPortanto, é de salientar que uma EDP na forma,
A U xx+B U xy+C U yy+D U x+E U y+FU +G=0 Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e
F são funções que dependem das variáveis x e y em que pelo menos um dos
coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo Hiperbólico se, ∆=B2−4 AC>0. E para
resolver as EDP do tipo hiperbólico, aplicam-se alguns métodos tais como: método
da integração básica directa, método de mudança de variáveis, separação de
variáveis e o princípio de superposição.
Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma
corda pelos métodos de Fourier.
Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico
nos diversos problemas físicos.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed,
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ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.
FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and
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Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.
Hispanoamericana, S. A, (1983), México.
KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e
EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.
KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2,
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PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II
SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.
SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall
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INTEGRANTES DO GRUPO Emília Muteca
Evaristo Hakombo Oliveira
Mateus das Neves Bango
Paulo dos Santos Cambinda
Francisco Javela Pereira
Samuel José Domingos Maquengo