Mecânica dos Sólidos II - Prof. Arthur Bragaabraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/Revisao.pdf ·...

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos II Parte 1 (Revisão)

Prof. Arthur M. B. Braga

2014.2

Mecânica dos Sólidos II

ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II

•  Prof. Arthur M. B. Braga –  Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica –  E-Mail: abraga@puc-rio.br –  Tel: 3527-1181

•  Aulas: 2a e 6as – 07:00-09:00 – Sala 210L •  Notas de aula:

http://abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/mecsol2.html •  Textos

–  J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson –  S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The

Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978 –  T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw-

Hill, 1994

Mecânica dos Sólidos II

Critério de Avaliação Critério 6:

2G2G1NF +=

Se G1 e G2 >= 3,0 e NF >= 5,0 então MÉDIA = NF

Em outros casos o aluno faz G3: Se G1 e G2 >= 3,0 ou G1 ou G2 < 3,0 e G3 >= 3,0, então:

Gm e Gn são as duas maiores notas entre G1, G2 e G3

Se G1 ou G2 < 3,0 e G3 < 3,0, então:

2GnGmMÉDIA +=

4G32G2G1MÉDIA ∗++=

Mecânica dos Sólidos II

Data das Provas

•  P1: Segunda-feira, 29 de setembro •  P2: Segunda-feira, 17 de novembro •  P3: Sexta-feira, 30 de novembro

Mecânica dos Sólidos II

Ementa

ENG1704 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Deslocamento de vigas retas devido à flexão. Relação momento-curvatura. Flambagem de colunas.Condições de estabilidade.Critérios de falha por flambagem.Métodos de energia.Teorema de Catigliano.Teorema dos trabalhos mínimos.Introdução ao método dos elementos finitos.Vigas curvas.Deslocamentos sob diversas formas de solicitação.Cilindros de paredes grossas.Discos girantes.Flexão oblíqua.Centro de cisalhamento.Vigas sobre funções elásticas.

Mecânica dos Sólidos II

Programa

•  Estado de tensão em um ponto (revisão) •  Introdução à teoria da elasticidade

–  Equações de equilíbrio (revisão) –  Relação entre deslocamentos e deformações (revisão) –  Relações constitutivas (revisão)

•  Deformações em vigas •  Cilindros de paredes grossas •  Comportamento além do regime elástico (carga limite) •  Flambagem (instabilidade elástica) •  Vigas curvas •  Métodos de energia (Teorema de Castigliano) •  Tópicos avançados

Mecânica dos Sólidos II

Mecânica dos Sólidos

Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar •  Esforços internos (tensões) •  Deformações •  Deslocamentos

Mecânica dos Sólidos II

Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças externas

F1

F2

F3

F4

F8

n

∆F

n

∆A ∆F – Força de superfície resultante atuando sobre o elemento de área ∆A

Mecânica dos Sólidos II

∆A

n

∆F

Definição do Vetor Tensão

t

AΔΔ

Δ

Ft0A→

= lim

Vetor tensão s

tn

ts

nt ⋅=nt

( )nntt ⋅−=st

Componente normal (tensão normal)

Componente tangencial (tensão cisalhante)

Mecânica dos Sólidos II

Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas

F7

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F8

P (x,y,z) ),,( zyxσ

x

z

y

σxy σxx

σxz σzy σzx

σzz

σyy σyx

σyz

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

σσσσσσσσσσ

Mecânica dos Sólidos II

Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)

x

z

y

σxy σxx

σxz σzy σzx

σzz

σyy σyx

σyz

Mecânica dos Sólidos II

Estado de Tensão em um Ponto

•  Tensão é uma grandeza tensorial: [σ], ou σ, é chamado o tensor de tensões

•  Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja, σxy= σyx , σxz= σzx , e σyz= σzy . Logo, [σ] possui apenas seis componentes independentes!

•  Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões é necessária para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da quantidade de movimento angular) seja satisfeito.

•  Uma vez conhecidas as seis componentes independentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto.

Mecânica dos Sólidos II

Estado de Tensão em um Ponto

O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: em notações mais concisas:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

nnn

σσσσσσσσσ

ttt

z

y

x

)(

)(

)(

n

n

n

{ } [ ]{ } nσt nn == )()( ounσt

Mecânica dos Sólidos II

Tensões Principais e Planos Principais

Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula

A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões:

ou, em forma matricial: nσt n =)(

{ } [ ]{ }nσt =)(n

Mecânica dos Sólidos II

Tensões Principais e Planos Principais

Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma: Substituindo-se esta expressão na equação da tela anterior, obtém-se: ou em forma matricial:

nt n λ=)(

nnσ λ=

[ ]{ } { }nnσ λ=

Mecânica dos Sólidos II

Tensões Principais e Planos Principais

Portanto, a determinação dos planos principais fica reduzida à solução de um problema de autovalores:

– Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais.

– Os autovalores do tensor de tensão, l, são as tensões principais.

nnσ λ=

Mecânica dos Sólidos II

σ1

σ3

σ2

Estado 3D de tensão

Tensões Principais

Tensões Principais

Mecânica dos Sólidos II

Barras Carregadas Axialmente

F

F σxx

z

y

x

σxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000xx

σσ

AF

xx =σ

EAFLL =Δ

Mecânica dos Sólidos II

Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

JTrr =)(τ

1φ

x T

T 2φ

GJTL=Δφ

Mecânica dos Sólidos II

Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

A

x T

T

y

z A

x

y

z )0(>= xzστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

00

xz

xz

σσ

σ

JTDDxz 2

)2( ==τσ

Mecânica dos Sólidos II

x T

T

y

z

B

Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

B

)0(<= xyστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000000

xy

xy

σ σσ

x

y

z

JTDDxy 2

)2( −=−= τσ

Mecânica dos Sólidos II

Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

p

tPD4

=θθσ

tPD4

=ϕϕσϕϕσ

θθσ

Vasos esféricos

Mecânica dos Sólidos II

Vasos de Pressão (pressão interna)

tpD2

=θθσ

Vasos Cilíndricos

p

( )1>>tD

tpD

zz 4=σ

tpD2

=θθσ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zz

σσ

σθθ

0000000

Mecânica dos Sólidos II

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Flexão de Vigas

xxσ[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000),(

),,(yx

zyxxxσ

σ

IxMyyxxx)(),( −=σ

Tensões Normais de Flexão

Mecânica dos Sólidos II

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Mecânica dos Sólidos II

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

P

Lâminas “Coladas”

Mecânica dos Sólidos II

P

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Lâminas Independentes

Mecânica dos Sólidos II

P

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Mecânica dos Sólidos II

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes

Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas

Lâminas deslizam umas sobre as outras

Mecânica dos Sólidos II

xyσ

Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão

Forças de cisalhamento

horizontal

Tensões Cisalhantes

xyσ

Mecânica dos Sólidos II

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Mecânica dos Sólidos II

Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

Viga de seção retangular:

y

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ

bhVy xyxy 2

3)0(})(max{ ==σσ

Mecânica dos Sólidos II

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Flexão de Vigas

σ (x, y, z)[ ] =σ xx (x, y) σ xy (x, y) 0

σ xy (x, y) 0 0

0 0 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

IxMyyxxx)(),( −=σ

Tensões produzidas pela flexão

σ xy (x, y) =32V (x)bh

1− 4 yh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Seção Retangular

Mecânica dos Sólidos II

)(xq

x

y

)(xM

)(xV

Flexão de Vigas

max{σ xx} >>max{σ xy}

Tensões produzidas pela flexão

Para L >> h :

Mecânica dos Sólidos II

σ1

σ3

σ2 Sy Sy

Início do escoamento no ensaio de tração

Estado 3D de tensão

σeq σeq

Critério de Escoamento

Estado uniaxial equivalente

Critérios de Falha por Escoamento

Tensões Principais

Mecânica dos Sólidos II

Critérios de Falha por Escoamento

Critério de von Mises

Tensão de von Mises

De acordo com o critério de von Mises, o material se comporta elasticamente quando

( ) ( ) ( )[ ]2322

312

2121 σσσσσσσ −+−+−=VM

yVM S<σ

Mecânica dos Sólidos II

Critérios de Falha por Escoamento

Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) Deformações plásticas ocorrem num ponto do material quando a máxima tensão cisalhante atinge o valor da máxima tensão cisalhante que causa o início do escoamento no ensaio de tração

τmax =σ1 −σ 3

2<Sy2

Mecânica dos Sólidos II

Critério de Tresca (Máxima Tensão Cisalhante) Critério de von Mises Onde nS é o Coeficiente de Segurança (maior do que 1)

Critérios de Falha por Escoamento

Mecânica dos Sólidos II

Critérios de Falha por Escoamento

σI

σII

Sy

Sy

−Sy

−Sy

Critério de von Mises

Critério de Tresca

σI

σII

σI

σII

σI

σII

σI

σII

Tensão Plana

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar •  Esforços internos (tensões) •  Deformações •  Deslocamentos

Mecânica dos Sólidos II

yΔ

xΔ

zΔy

zx

Teoria da Elasticidade

•  Equações de Equilíbrio

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  Equações de Equilíbrio (estado plano de tensões)

),( yxxxσ

),( yxxyσ

),( yxyyσ),( yxxyσ

),( yyxyy Δ+σ),( yyxxy Δ+σ

),( yxxxx Δ+σ

),( yxxxy Δ+σ

y

zx

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

0),(),(

),(),(

=ΔΔΔ++ΔΔΔ++

ΔΔ−ΔΔ−=∑zxyyxzyyxx

zxyxzyyxF

xyxx

xyxxx

σσσσ

),( yxxxσ

),( yxxyσ

),( yxyyσ),( yxxyσ

),( yyxyy Δ+σ),( yyxxy Δ+σ

),( yxxxx Δ+σ

),( yxxxy Δ+σ

y

zx

0),(),(

),(),(

=ΔΔΔ++ΔΔΔ++

ΔΔ−ΔΔ−=∑zxyyxzyyxx

zxyxzyyxF

yyxy

yyxyy

σσσσ

•  Balanço de forças

Mecânica dos Sólidos II

•  Para e muito pequenos:

Teoria da Elasticidade

xx

yxyxx xxxxxx Δ

∂∂+=Δ+ σσσ ),(),(

yy

yxyyx yyyyyy Δ

∂∂

+=Δ+σ

σσ ),(),(

xx

yxyxx xyxyxy Δ

∂∂

+=Δ+σ

σσ ),(),(

yy

yxyyx xyxyxy Δ

∂∂

+=Δ+σ

σσ ),(),(

xΔ yΔ

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  Equações de Equilíbrio (Estado plano de tensão)

0=∂∂

+∂∂

yxxyxx σσ

0=∂∂

+∂∂

yxyyxy σσ

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  Equações de Equilíbrio

0=∂

∂+∂∂

+∂∂

zyxxzxyxx σσσ

0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂zyxyzyyxy σσσ

0=∂∂+

∂∂

+∂∂

zyxzzyzxz σσσ

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  Relações entre deslocamentos e deformações

zuyuxu

zzz

yyy

xxx

∂∂=

∂∂

=

∂∂=

ε

ε

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+

∂∂==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂==

yu

zu

xu

zu

xu

yu

zyyzyz

zxxzxz

yxxyxy

21

21

21

21

21

21

γε

γε

γε

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  Relações constitutivas (tensão vs. deformação)

TEEE

TEEE

TEEE

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

Δ++−−=

Δ+−+−=

Δ+−−=

ασσνσνε

ασνσσνε

ασνσ

νσε

G

G

G

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

σε

σε

σε

=

=

=

( )ν+=12EG

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

•  15 Equações –  Equilíbrio (3) –  Deformação vs. Deslocamentos (6) –  Tensão vs. Deformação (6)

•  15 Variáveis:

•  Condições de contorno

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

zyx uuu

εεεεεεσσσσσσ

,,,,,

,,,,,

,,

F1

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F6

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F8

F1

F2

F3

F4

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F6

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Mecânica dos Sólidos II

x

y

z 3D

Teoria de Vigas

n(x)

q(x)

Teoria de Vigas (aproximação)

q(x)

x

n(x)

1D

Mecânica dos Sólidos II

Cilindros de Paredes Grossas

b

a pi

po

σ0

σ0