Capitulo 2 - Cinemática do ponto material Mecânica I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

Capitulo 2 - Cinemática do ponto material

Mecânica I

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I

Movimento uniforme

s = so + v.t

s = posição em um instante qualquer (m, km)

so = posição inicial (m, km)

v = velocidade (m/s, km/h)

t = tempo (s, h)

No movimento uniforme a velocidade é constante em qualquer instante


Mecânica I

Exercício 1:

a) Trace o diagrama horário da posição da moto

b) Identifique o movimento da moto

c) Obtenha a equação horária s-t

d) A velocidade da moto e a posição da moto ao fim de 8 s


Mecânica I

Encontro entre dois corpos em movimento uniforme

Para determinar o instante em que dois corpos se encontram devemos igualar

as funções das posições dos corpos. Substituindo o instante encontrado, numa

das funções horárias, determinaremos a posição onde o encontro ocorreu.

sA = sA0 + vA.tA

sB = sB0 + vB.tB

Na posição do encontro: sA = sB


Mecânica I

Movimento uniforme

Dois corpos deslocam-se sobre a mesma trajectória, obedecendo às funções

horárias:

sA = 5+ 2.t e sB = 65 - 8.t

Determine o instante e a posição do encontro.

Exercício 2:


Mecânica I

Movimento uniformemente variado (M.U.V)

Se no movimento de um corpo, em intervalos de tempo iguais ele sofrer a

mesma variação da velocidade, dizemos que realiza um movimento

uniformemente variado.


Mecânica I


s = posição num instante qualquer (m, km)

s0 = posição no instante inicial (m, km)

vo = velocidade no instante inicial (m/s, km/h)

a = aceleração (m/s2, km/h2)

t = tempo (s, h)

s = s0 + v0.t + 1/2 a.t2


Mecânica I


Posição em função do tempo: s = s0 + v0.t + 1/2 a.t2

Velocidade em função do tempo: v = v0 + a.t


Mecânica I

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo corpo.

v2 = vo2 + 2.a. Δs

Δs = distância percorrida no intervalo considerado (m, km)

Δs = s - s0

v = velocidade no final do intervalo (m/s, km/h)

vo = velocidade no início do intervalo (m/s, km/h)

a = aceleração (m/s2, km/h2)


Mecânica I

Exemplo de Aplicação da Equação de Torricelli

Exercício 3: Um carro de corrida tem velocidade de 28 m/s. Em determinado

instante, os travões são accionados produzindo um retardamento de -5 m/s2.

Quantos metros o carro percorre até atingir a velocidade de 13 m/s ?


Mecânica I

Exercício 4: Observe o gráfico x-t e procure associar os pontos 1, 2 e com as figuras A, B e C.


Mecânica I

Exercício 5: A figura mostra dois tractores em movimento. a) Compare as velocidades dos tractores.

b) Identifique o movimento dos tractores.


Mecânica I

Queda livre : Denomina-se queda livre aos movimentos de subida ou de

descida que os corpos realizam no vácuo. Estes movimentos são descritos

pelas mesmas equações do movimento uniformemente variado. A aceleração

do movimento é a aceleração da gravidade g.

gTerra = - 10 m/s2

v = vo + g.t

s = so + v0.t + 1/2 . g.t2

v2 = vo2 + 2.g. Δs

S [m]

g = -10 m/s2 So

vo

Referência


Mecânica I

Exercício 6: Uma menina, na margem de um rio, deixa cair uma pedra que

demora 5 s para chegar à superfície da água. Sendo a aceleração local da

gravidade igual a 10 m/s2, determine a distância percorrida pela pedra.


Mecânica I

Exercício 7: A figura fornece a velocidade de uma pedra nos primeiros 2

segundos. Qual será a velocidade da pedra nos instantes 3 s, 4 s e 5 s ?


Mecânica I

Daremos ênfase, neste módulo, ao estudo das propriedades geométricas dos diagramas horários, principalmente ao significado das áreas (entre o gráfico e o eixo dos tempos) nos diagramas horários da velocidade e da aceleração para um movimento.

O deslocamento escalar (s) num certo intervalo de tempo (t), para um movimento

qualquer, pode ser determinado através do cálculo da área existente entre o gráfico v-t

e o eixo dos tempos, limitada pelo intervalo de tempo escolhido. Observe isso no

diagrama mostrado.


Mecânica I

O diagrama horário da velocidade pode indicar que o movimento é

composto por etapas, de tal forma que podemos, em cada trecho, identificar

as suas características e também calcular os seus respectivos deslocamentos

escalares.


Mecânica I

A área calculada no diagrama horário da aceleração, entre o gráfico e o

eixo dos tempos, limitada por um t, indica a variação de velocidade

ocorrida naquele intervalo.

Observação: a área sob o gráfico espaço x tempo não tem significado físico prático.

Logo, não há razão para efectuarmos seu cálculo.


Mecânica I

No movimento uniforme: o declive da recta inclinada do gráfico s x t indica

o valor da velocidade escalar constante do corpo. Ou seja:


Mecânica I

Num movimento variado o declive da recta tangente ao gráfico s x t, num

certo instante t, representa numericamente a velocidade escalar do corpo

naquele instante. Isto é:


Mecânica I

O cálculo do declive num gráfico v x t leva-nos a encontrar a aceleração

escalar do movimento (aceleração que ocorre num determinado instante).


Mecânica I

Cálculo de áreas:

Gráfico v x t

Gráfico s x t

Gráfico a x t

Declives:

Gráfico v x t


Mecânica I

Exercício 8

O gráfico a seguir indica como varia a velocidade escalar de uma composição

de metro, em função do tempo, durante o seu deslocamento entre duas

estações. Com base no gráfico:

a) Calcule o deslocamento escalar da composição entre as duas estações.

b) Construa o diagrama horário da aceleração escalar para esse movimento.


Mecânica I

Resolução a) A área do trapézio, sob o gráfico v x t dado, representa o

deslocamento escalar ocorrido, isto é:


Mecânica I

• Nos primeiros 15 s: M.U.V.

• Entre os instantes 15 s e 45 s : M.U a = 0

• Nos últimos 15 s: M.U.V.

A partir desses valores, temos:

b) Primeiro, vamos calcular a aceleração escalar nas três etapas do movimento.


Mecânica I

Vector Posição: é o vector que define a posição de uma partícula relativamente a

um referencial ortonormado xy.

)(tr

jtritrtr yxˆ)(ˆ)()(

yr

xr

P

y

X O

i

j

Trajectória

+


Mecânica I

xr

k

z

X

j

yr

+

Trajectória

y

zr

i o

)(tr

Vector Posição no espaço

ktrjtritrtr zyxˆ)(ˆ)(ˆ)()(


Mecânica I

1r

2r

r

z

X

y

k

j

i

Vector deslocamento

Espaço percorrido: o espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector

deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido.

A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo

deslocamento podem corresponder espaços diferentes.

12 rrr

nrrrs

....21


Mecânica I

Vector velocidade média e vector velocidade instantânea

O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de

tempo em que esse deslocamento ocorre, ou seja:

A direcção de é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no

instante considerado.

O vector velocidade instantânea é dado pelo vector sobre o intervalo ∆t

quando este tende para zero.

r

v

y

x

v

t

rvm

t

rv

t

lim

0 dt

rdv


Mecânica I

Vector aceleração média e vector aceleração instantânea

O vector aceleração média é dado por:

A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector .v

O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média

quando o intervalo de tempo tende para zero.

0v

Afv

x

y

v

Bfv

t

vam

t

va

t

0lim

2

2

dt

rd

dt

vda


Mecânica I

ktzjtyitxtrr ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

k)t(Vj)t(Vi)t(Vdt

rdV zyx

k)t(aj)t(ai)t(adt

Vda zyx

Projecções de um movimento tridimensional

xr

k

z

X

j

yr

+

Trajectória

y

zr

io

)(tr


Mecânica I

xv

yv v

xvv

Ymáx.

Y0

j

Xmáx.

g

X

Y

0 X0i

Movimento de um projéctil numa trajectória plana

xv

yv

v

yv

xv

v

xv

yv

v

0v

xv0

yv0


Mecânica I

Movimento Horizontal (M. R. U) Movimento Vertical (M. R. U. V)

0xa gay

A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme.

A componente vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado.

cos00 vv x senvv y 00

gtsenvvy .0cos0vvx

tvxtx .cos.)( 00 200 ..

2

1..)( tgtsenvyty

jgttsenvyitvxtr ˆ)2

1..(ˆ).cos.()( 2

0000

jgtsenvivtv ˆ).(ˆ)cos.()( 00

jgita ˆˆ0)(


Mecânica I

Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a

concavidade da trajectória.

Componente normal e tangencial do vector aceleração

Movimento circular Uniforme

A aceleração normal, como o próprio nome indica, é dirigida para o centro da

trajectória. No movimento circular uniforme, o vector aceleração, é perpendicular

ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.

nnt uaua

0

0taR

van

2

0ta

nnuaa


Mecânica I

v

0v

)( 0tPfv

x

y

v

)( ftP fv

ta

na

1- Movimento curvilíneo acelerado: Num certo intervalo de tempo o movimento é

acelerado se o módulo da velocidade aumentar.

a

x

y


Física

na

ta

fv

x

y)( ftP

x

y

2. Movimento curvilíneo retardado: Num certo intervalo de tempo o movimento é

retardado se o módulo da velocidade diminuir.


Física

)( 0tP

v

a

nt aaa

fv

v

0v

fv

v

fv

x

y

v

x

y

)( 0tP

)( ftP0ta

naa

3 - Movimento curvilíneo uniforme: Se num certo intervalo de tempo o módulo da

velocidade for constante, o movimento diz-se uniforme.

naa

0v


Mecânica I

tuvv ˆ

x

4 - Componentes normal e tangencial do vector aceleração

Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a

concavidade da trajectória.

tu

icos

jsen ˆ

nu jcos

jsen ˆ

y

ds

d

R dRds .

).( tuvdt

d

dt

vda

jseniutˆˆcos

jisenunˆcosˆ

nnt

t

t

t

uR

vu

dt

d

dt

ud

jisendt

d

dt

ud

jdt

di

dt

dsen

dt

ud

jsenidt

d

dt

ud

ˆ

ˆcosˆ

ˆ.cosˆ.

ˆˆcos

d

R

i

j

x

y

nt uR

vu

dt

dva

2

dt

udvu

dt

dva t

t


Mecânica I

Pode-se exprimir em função de duas componentes:

- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial

- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal

No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade

e aceleração .

nt aaa

a

Componentes normal e tangencial do vector aceleração

Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy.

a

a

ta

na

v

nu

na

v

tatu

x

y)(tP

nntt uauaa ˆˆ

nt uR

vu

dt

dva ˆˆ

2


Mecânica I

Movimento Circular

Período, T: É o tempo gasto por um corpo para efectuar uma volta completa no circulo.

Frequência, f: É o número de voltas efectuadas no circulo na unidade de tempo.

Tf

1

fT

1

fTR

Rw

22

Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou

seja o raio R é constante.


Mecânica I

Velocidade angular

Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy, em

que R é o raio da trajectória.

y

x

z

w

ds - arco descrito pela partícula;dt - intervalo de tempo;dθ - ângulo ao centro.

Se definirmos w como

Para ângulos pequenos: dRds

Dividindo ambos os membros por dt , vem:dt

dR

dt

ds

Sabendo que:dt

dsv

Rwv

dt

dw

vem:

velocidade angular escalar:

A velocidade angular é uma grandeza vectorial com

direcção normal ao plano do movimento e sentido dado

pela regra da mão direita. Podemos então escrever:

kww ˆ

v

ttP

d ttr

tP

tr

ds


Mecânica I

Exemplo: A velocidade angular de cada homem é igual ou diferente?

E a velocidade escalar ?

1v

2v

3v

4v

1w

2w

3w

4w

V1 < v2 < v3 < v4

w1 = w2 = w3 =w4 = w

wRv


Mecânica I

1 - Movimento circular uniforme

Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se constantemente.

Como a velocidade é constante então:

W = Constante

w = velocidade angular (rad/s)

Δθ = ângulo percorrido (rad)

Δt = tempo (s)

v = velocidade escalar (m/s)

r = raio (m)

00. nadt

vdconstv

00. tadt

dvconstv

nt uR

vua

2

0

Aceleração angular

Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo obtém-se:dt

wd

wtt

w

0

vtsst

sv

0

tecR

vwwRv

0R

a


Mecânica I

Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s. Sendo

a aceleração normal igual a 10 m/s2, determine o raio de sua trajectória.

A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme,

com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilómetros,

determine sua aceleração normal.

Exercícios de movimento circular e uniforme


Mecânica I

No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, portanto perpendicular

ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.

A

B

C

D

Av

Bv

Cv

Dv Aa

Ba

Ca

Da

DCBA vvvv

DCBA aaaa


Mecânica I

s

2 - Movimento uniformemente variado (Rectilíneo e Circular)

Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante.

α = constante tecR

a

200 2

1ttw

200 2

1attvss

twwt

w

0

atvvt

va

0

a


Mecânica I

Observe a animação. Em qual ponto do loop a aceleração normal sobre a moto é menor ?

Observe a animação mostrada. Se o carro se move com velocidade linear constante.

Em qual das curvas a aceleração normal é maior ?


Mecânica I

Tabela Resumo das Características do Movimento Linear e Angular de uma Partícula

Posição angular, θ [rad]Posição linear, s [m]

Velocidade linear, v [m/s] Velocidade angular, w [rad/s]

Grandezas Físicas AngularesGrandezas Físicas Lineares

Relação entre grandezas Físicas Lineares e Angulares do Movimento

v = w.R e a = α R

Aceleração linear, a [m/s2] Aceleração angular, α [rad/s2]

Equações do M. R. U Equações do M. C. U

vtss 0

.0 constvv 0a

wt 0.0 constww

0


Mecânica I

Equações do M. R. U. V Equações do M. C. U. V

200 2

1attvss

atvv 0

0.consta

200 2

1ttw

tww 0

0.const

Continuação


Mecânica I

Rectilíneo Uniforme

Rectilíneo U. Variado

Tipo de Movimento Características do Movimento Posição, Velocidade e Aceleração

Circular Uniforme0 naVariavdeDirecção

0. taconstwRv

UCMEquações ..

nt uRwua ˆˆ0 2

0. constavariav t

ntt uuaa ˆ0ˆ

VURMEquações ...

0. naconstvdeDirecção

Circular U. Variado00. Raconst t

0 naVariavdeDirecção

VUCMEquações ...

ntt uRwuaa ˆˆ 2

nt uua ˆ0ˆ0

0. naconstvdeDirecção

0. taconstv URMEquações ..

Tabela Resumo das Características do Movimento de uma Partícula


Mecânica I

Documents

Capitulo 2 - Cinemática do ponto material Mecânica I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I