1 27/05/13 13:26 Outras ...sinop. volume: Equaes Diferenciais, Equaes Paramtricas e Coordenadas Polares, Sequncias e Sries Infinitas, Vetores e a Geometria do Espao,

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  • James Stew

    artclculo

    Volume 2

    Para suas solues de curso e aprendizado,visite www.cengage.com.br

    James Stewart

    clculo foi escrito originalmente na forma de um curso. Sempre dando nfase compreenso dos conceitos, o autor inicia a obra oferecendo uma viso geral do assunto para, em seguida, apresent-lo em detalhes, por meio da formulao de problemas, exerccios, tabelas e grficos.

    A obra est dividida em dois volumes (Vol. 1 - captulos 1 a 8, e Vol. 2 - captulos 9 a 17).

    A 7 edio de Clculo traz diversas inovaes em relao edio anterior. Alguns tpicos foram reescritos para proporcionar clareza e motivao; novos exemplos foram

    adicionados; solues de parte dos exemplos foram ampliadas; e dados de exemplos e

    exerccios atualizados.

    Revista e atualizada, a obra mantm o esprito das edies anteriores, apresentando

    desde exerccios graduados, com progresso cuidadosamente planejada dos conceitos

    bsicos at problemas complexos e desafiadores.

    Neste volume: Equaes Diferenciais, Equaes Paramtricas e Coordenadas Polares, Sequncias e Sries Infinitas, Vetores e a Geometria do Espao, Funes Vetoriais, Derivadas Parciais, Integrais Mltiplas, Clculo Vetorial, Equaes Diferenciais de Segunda Ordem.

    Aplicaes:Livro-texto para a disciplina Clculo nos cursos de Matemtica e Engenharia.

    Sobre o autorJames Stewart mestre pela

    Universidade de Stanford e Ph.D.

    pela Universidade de Toronto.

    Aps dois anos na Universidade de

    Londres, tornou-se professor de

    Matemtica na McMaster

    University. Seus livros foram

    traduzidos para diversos idiomas,

    entre os quais espanhol,

    portugus, francs, italiano,

    coreano, chins e grego.

    Stewart foi nomeado membro

    do Fields Institute em 2002 e

    recebeu o doutorado honorrio

    em 2003 pela McMaster

    University, onde o Centro de

    Matemtica James Stewart foi

    aberto em outubro de 2003.

    clculoTraduo da 7 edio norte-americana Volume 2

    Outras Obras

    lgebra Linear

    David Poole

    lgebra Linear e suas Aplicaes

    Traduo da 4 edio

    norte-americana

    Gilbert Strang

    Anlise Numrica

    Traduo da 8 edio

    norte-americana

    Richard L. Burden e J. Douglas Faires

    Pr-Clculo

    2 edio revista e atualizada

    Valria Zuma Medeiros (Coord.)

    Andr Machado Caldeira

    Luiza Maria Oliveira da Silva

    Maria Augusta Soares Machado

    Probabilidade e Estatstica

    para Engenharia e Cincias

    (tambm disponvel em e-book)

    Jay L. Devore

    Vetores e Matrizes:

    Uma introduo lgebra linear

    (tambm disponvel em e-book)

    4 edio

    Nathan Moreira dos Santos

    Clculo - Volume 1

    Traduo da 7 edio

    norte-americana

    James Stewart

    James Stewart

    clculoTraduo da 7 edio norte-americana Volume 2

    Trilha uma soluo digital, com plataforma de acesso em portugus, que disponibiliza ferramentas multimdia para uma nova estratgia de ensino e aprendizagem.

    ISBN-13: 978-85-221-1259-3ISBN-10: 85-221-1259-2

    9 7 8 8 5 2 2 1 1 2 5 9 3

    calculo.vol.2.32.5MM.final1.pdf 1 27/05/13 13:26

  • C L C U L OV O L U M E I I

    Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page I

  • Prefcio xi

    Testes de Verificao xxi

    Uma Apresentao do Clculo xxvii

    Equaes Diferenciais 5259.1 Modelagem com Equaes Diferenciais 526

    9.2 Campos de Direes e Mtodo de Euler 531

    9.3 Equaes Separveis 538

    Projeto Aplicado Quo Rapidamente um Tanque Esvazia? 546

    Projeto Aplicado O Que Mais Rpido, Subir ou Descer? 547

    9.4 Modelos para Crescimento Populacional 548

    9.5 Equaes Lineares 557

    9.6 Sistemas Predador-Presa 563

    Reviso 569

    Problemas Quentes 572

    Equaes Paramtricas e Coordenadas Polares 57510.1 Curvas Definidas por Equaes Paramtricas 576

    Projeto de Laboratrio Rolando Crculos ao Redor de Crculos 583

    10.2 Clculo com Curvas Parametrizadas 584

    Projeto de Laboratrio Curvas de Bzier 591

    10.3 Coordenadas Polares 592

    Projeto de Laboratrio Famlias de Curvas Polares 601

    10.4 reas e Comprimentos em Coordenadas Polares 602

    10.5 Sees Cnicas 606

    10.6 Sees Cnicas em Coordenadas Polares 613

    Reviso 619

    Problemas Quentes 621

    Sequncias e Sries Infinitas 623 11.1 Sequncias 624

    Projeto de Laboratrio Sequncias Logsticas 635

    11.2 Sries 636

    11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas 645

    11.4 Os Testes de Comparao 652

    11.5 Sries Alternadas 657

    11.6 Convergncia Absoluta e os Testes da Razo e da Raiz 661

    11.7 Estratgia para Testes de Sries 667

    11

    10

    9

    Sumrio

    Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page V

  • 11.8 Sries de Potncia 669

    11.9 Representaes de Funes como Sries de Potncias 674

    11.10 Sries de Taylor e Maclaurin 679

    Projeto de Laboratrio Um Limite Elusivo 691

    Projeto Escrito Como Newton Descobriu a Srie Binomial 691

    11.11 Aplicaes dos Polinmios de Taylor 692

    Projeto Aplicado Radiao Proveniente das Estrelas 700

    Reviso 701

    Problemas Quentes 703

    Vetores e a Geometria do Espao 70712.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais 708

    12.2 Vetores 713

    12.3 O Produto Escalar 721

    12.4 O Produto Vetorial 727

    Projeto de Descoberta A Geometria de um Tetraedro 734

    12.5 Equaes de Retas e Planos 735

    Projeto de Laboratrio Colocando 3D em Perspectiva 743

    12.6 Cilindros e Superfcies Qudricas 744

    Reviso 750

    Problemas Quentes 752

    Funes Vetoriais 75513.1 Funes Vetoriais e Curvas Espaciais 756

    13.2 Derivadas e Integrais de Funes Vetoriais 763

    13.3 Comprimento de Arco e Curvatura 768

    13.4 Movimento no Espao: Velocidade e Acelerao 776

    Projeto Aplicado Leis de Kepler 785

    Reviso 786

    Problemas Quentes 789

    Derivadas Parciais 79114.1 Funes de Vrias Variveis 792

    14.2 Limites e Continuidade 804

    14.3 Derivadas Parciais 811

    14.4 Planos Tangentes e Aproximaes Lineares 823

    14.5 A Regra da Cadeia 831

    14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 839

    14.7 Valores Mximo e Mnimo 850

    Projeto Aplicado Projeto de uma Caamba 858

    Projeto de Descoberta Aproximaes Quadrticas e Pontos Crticos 859

    14.8 Multiplicadores de Lagrange 860

    Projeto Aplicado Cincia dos Foguetes 866

    Projeto Aplicado Otimizao de uma Turbina Hidrulica 867

    Reviso 868

    Problemas Quentes 871

    14

    13

    12

    VI CLCULO

    Calculo00vol.II-prefaciais:calculo7 6/10/13 11:04 AM Page VI

  • 576 CLCULO

    10.1 Curvas Definidas por Equaes Paramtricas

    Imagine que uma partcula se mova ao longo de uma curva C, como mostrado na Figura 1. impossvel descrever C com uma equao do tipo y f (x) porque C no passa no Testeda Reta Vertical. Mas as coordenadas x e y da partcula so funes do tempo e, assim, pode-mos escrever x f (t) e y t(t). Esse par de equaes , muitas vezes, uma maneira conve-niente de descrever uma curva e faz surgir a definio a seguir.

    Suponha que x e y sejam ambas dadas como funes de uma terceira varivel t (denomi-nada parmetro) pelas equaes

    x f (t)MMMMy t(t)

    (chamadas equaes paramtricas). Cada valor de t determina um ponto (x, y), que pode-mos marcar em um plano coordenado. Quando t varia, o ponto (x, y) (f (t), t(t)) varia etraa a curva C, que chamamos curva parametrizada. O parmetro t no representa o temponecessariamente e, de fato, poderamos usar outra letra em vez de t para o parmetro. Porm,em muitas aplicaes das curvas parametrizadas, t denota tempo e, portanto, podemos inter-pretar (x, y) (f (t), t(t)) como a posio de uma partcula no instante t.

    Esboce e identifique a curva definida pelas equaes paramtricas

    x t2 2tMMMMy t 1

    SOLUO Cada valor de t fornece um ponto na curva, como mostrado na tabela. Por exem-plo, se t 0, ento x 0, y 1 e assim o ponto correspondente (0, 1). Na Figura 2 mar-camos os pontos (x, y) determinados por diversos valores do parmetro e os unimos paraproduzir uma curva.

    t x y 2 8 11 3 0

    0 0 11 1 2 2 0 33 3 44 8 5

    Uma partcula cuja posio dada por equaes paramtricas se move ao longo da curvana direo das setas quando t aumenta. Observe que os pontos consecutivos marcados nacurva aparecem em intervalos de tempo iguais, mas no a distncias iguais. Isso ocorre por-que a partcula desacelera e ento acelera medida que t aumenta.

    Parece, a partir da Figura 2, que a curva traada pela partcula poderia ser uma parbola.Isso pode ser confirmado pela eliminao do parmetro t, como a seguir. Obtemos t y 1a partir da segunda equao e substitumos na primeira equao. Isso fornece

    x t2 2t (y 1)2 2(y 1) y2 4y 3

    e assim a curva representada pelas equaes paramtricas dadas a parbola x y2 4y 3.

    Nenhuma restrio foi colocada no parmetro t no Exemplo 1, de modo que assumimosque t poderia ser qualquer nmero real. No entanto, algumas vezes restringimos t a um inter-valo finito. Por exemplo, a curva parametrizada

    x t2 2tMMMy t 1MMM0 t 4

    mostrada na Figura 3 a parte da parbola do Exemplo 1 que comea no ponto (0, 1) e ter-mina no ponto (8, 5). A seta indica a direo na qual a curva traada quando aumenta de 0at 4.

    EXEMPLO 1

    C

    0

    (x, y)={f(t), g(t)}

    FIGURA 1

    y

    x

    FIGURA 2

    0

    t=0

    t=1

    t=2

    t=3

    t=4

    t=_1

    t=_2

    (0, 1)

    y

    x

    8

    Esta equao em x e y nos descreve onde apartcula esteve, mas no nos