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2011.2 - TRANSP03-A-SENT

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2011.2

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  • RESPOSTA LIVRENo circuito mostrado abaixo, considere que existe energia armazenada no capacitor para t < 0s, ocasionando uma tenso e(t).Se a chave K fecha em t = 0s, ache eC(t) e iC(t) para t > 0s.

  • RESPOSTA LIVRETEOREMA 1: se todas as tenses e correntes permanecem finitas, a tenso no capacitor (eC) e a corrente no indutor (iL) no podem variar instantaneamente.Em outras palavras: eC(0-) = eC(0+) e iL(0-) = iL(0+).Energia armazenada em um capacitor: w(t) = Ce2(t)Energia armazenada em um indutor: w(t) = Li2(t)Potncia entregue a qualquer bipolo passivo:Se e(t) e i(t) so finitos, p(t) permanecer finito e quando , . Assim, w(t) e, portanto, eC(t) e iL(t) no podem variar instantaneamente.

  • RESPOSTA LIVREVoltando ao circuito, j com a chave fechada:Resolvendo de uma forma simplificada: iR(t) = - iC(t) e eR(t) = eC(t).Como iR(t) = eR(t)/R = eC(t)/R e iC(t) = C.deC(t)/dt, temos a seguinte equao diferencial:

  • RESPOSTA LIVREIntegrando ambos os lados, temos:Onde K uma constante de integrao. Podemos ento escrever:Supondo que eC(0-) = V, ento eC(0+) = V e K = V. Finalmente:

  • RESPOSTA LIVREA figura abaixo nos d o grfico da resposta da tenso no capacitor em funo do tempo. Percebemos que, conforme o tempo vai passando, a descarga do capacitor se torna mais lenta, tendendo assintoticamente para zero, significando que o capacitor se descarregou completamente. Teoricamente isto s acontece para um tempo infinito.

  • RESPOSTA LIVRETemos muito que aprender com esta curva! Se traarmos a tangente curva no ponto (0,V), esta reta interceptar o eixo dos tempos (t) no ponto t = RC. Esta constante chamada de constante de tempo t.

  • RESPOSTA LIVREEste tempo o tempo necessrio para que a descarga do capacitor leve a tenso nele a 37% do valor inicial, visto que: .Se a descarga do capacitor se mantivesse no seu valor inicial, ele se descarregaria completamente quando t = .

  • RESPOSTA LIVREAlguns valores de eC(t) para Assim, na maioria das aplicaes, podemos considerar que o circuito atingiu o estado estvel, ou seja, o capacitor se descarregou completamente, aps um tempo t = 4 . .

  • RESPOSTA LIVREPara obtermos a corrente iC(t), basta derivarmos eC(t) e multiplicarmos por C:Desde que o circuito inicialmente excitado por uma energia inicial armazenada no capacitor, e no por uma fonte externa, a resposta chamada LIVRE ou COMPORTAMENTO NATURAL.

  • RESPOSTA LIVRE

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)O circuito apresentado tem uma fonte externa. Para t < 0s a chave K est aberta e i(t) = 0A. A chave fecha em t = 0s e deseja-se saber a corrente i(t) para t > 0s. A chave, juntamente com a fonte de tenso e considerando-se componentes ideais, simula uma fonte de tenso em degrau.

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Analisando-se rapidamente o circuito, temos:Esta uma equao diferencial, de primeira ordem. Agora, alm da resposta livre [iLH(t)], para v(t) = 0 volt, temos a resposta forada [iLP(t)], para v(t) = V volt. A resposta total a soma destas duas respostas: iL(t) = iLH(t) + iLP(t).

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Soluo homognea: .Soluo particular: .Esta equao diferencial tem como soluo um valor constante: . A soluo total ser: . A constante K encontrada pela condio inicial iL(0-) = iL(0+) = 0A.Assim: . A soluo completa :

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)A figura mostra o grfico de iL(t) e mostra, como para a tenso no capacitor do primeiro exemplo, a relao entre a derivada para t = 0s e .

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Vamos examinar um novo exemplo, dado no circuito abaixo:Para t < 0s a chave K est como mostrado na figura e eC(t) = 0V. Em t = 0s a chave levada para a posio superior, de modo que i(t) tem a forma mostrada no grfico. Ache eC(t) e mostre seu grfico.

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Apresentamos abaixo as expresses de algumas grandezas do circuito:

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Processo WJ (Wilson John)Os circuitos com apenas um dispositivo de armazenamento de energia, ou seja, um capacitor ou um indutor somente, tm suas respostas ao degrau calculada facilmente, utilizando-se o seguinte procedimento:A resistncia que define a constante de tempo igual Resistncia Equivalente vista pelos terminais do elemento reativo. Assim,

    C=ReqC e L=L/Req.b) O valor inicial da grandeza (f0) seu valor para t = 0+(f(0+)).

    c) O valor final da grandeza (f) seu valor para t (f()).

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)

    d) A expresso final da grandeza : Obs: f(t) pode ser qualquer corrente ou qualquer tenso no circuito, no necessariamente sobre um capacitor ou indutor. A constante de tempo s depende do circuito, pois depende do componente reativo (capacitor ou indutor) e da resistncia equivalente vista por ele.

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)Vamos resolver o ltimo exemplo usando o processo visto, conhecido como Wilson John (WJ):Calculando eC(t): eC0 = 0V (tenso no capacitor no varia instantaneamente). eC = R.I (para t , o capacitor um circuito aberto e toda corrente passa pelo resistor R). Req = R. Assim:

  • RESPOSTA AO DEGRAU U-1(t)

    Calculando agora iR(t):iR0= 0; iR= I; = RC

    Calculando agora iC(t):iC0= I; iC= 0; = RC

  • EXERCCIO 1Achar a expresso da tenso V0 e esboar seu grfico, considerando que a chave S fecha e, aps muito tempo, retorna posio inicial.

  • EXERCCIO 2No circuito abaixo, a chave S est h muito tempo na posio 1, e muda para a posio 2, retornando depois posio 1, como assinalado. Faa o grfico de vL(t) e iL(t), mostrando os pontos de interesse e constante(s) de tempo.

  • EXERCCIO 3No circuito mostrado, a chave S est h muito tempo na posio 1. Ela ento levada para a posio 2, onde permanece um tempo igual a T, quando ento levada de volta para a posio 1, permanecendo o resto do tempo. D as expresses e esboce as curvas de IL(t) e IR(t).

  • EXERCCIO 4A posio da Chave S no circuito definida pela funo Posio da chave(t) no grfico mostrado. Assim: 0 t T S est na posio 2; T t 2T S est na posio 1;2T t 3T S est na posio 2; etc...Sabendo-se que T = 5. e = R.C, esboce a forma de onda de Vc(t), explicitando os valores.

  • EXERCCIO 5No circuito abaixo, sabe-se que a chave S est na posio 1 h muito tempo. Em t=0s ela vai para a posio 2, permanecendo a muito tempo, retornando ento para a posio 1. Ache a expresso de Vc(t) e Ic(t), algebricamente e graficamente, explicitando todos os pontos e valores de interesse. (V < R I).