Multiplicação de Matrizes:

A m x n B n x q

= Ordem da

matriz produto

= C m x q

A 2 x 3 B 3 x 2 = C 2 x 2

1 2 5

3 1 0 A=

4 3

1 3

2 1

B= B 3 x 2 A 2 x 3 = D

3 x 3

4 3

1 3

2 1

1 2 5

3 1 0

16 14

13 12

1 2 5

3 1 0

4 3

1 3

2 1

13 11 20

10 5 5

5 5 10

MATRIZ INVERSA: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se

AxB = BxA = In.

Ex: 4 5

A .2 3

det A 4 3 2 5 2.

D.S

D.P

inais

osição

1

3 53 53 51 2 2 2 2A

2 4 2 42 1 22 2

04. (FUVEST) – Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3 x 3

tem posto 1

3a – b + 2c = 4

b + c – 3a = 2

c – 2a + b = 3

3a – b + 2c = 4

– 3a + b + c = 2

– 2a + b + c = 3

3a – b – c = – 2

– 2a + b + c = 3 a = 1

3a – b + 2c = 4

S={1, 3, 2}

SISTEMAS LINEARES

CLASSIFICAÇÃO E RESOLUÇÃO

SISTEMAS COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS:

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Representa duas retas e as posições relativas dessas retas no plano, que são:

i. Retas concorrentes ii. Retas paralelas distintas iii. Retas paralelas coincidentes

Classificar um sistema linear 2x + y = 9 x – y = 3

Sistema possível e determinado. (SPD)

Possui uma única solução

S = {(4, 1)}

2x + y = 3 4x + 2y = 6

Sistema possível e indeterminado. (SPI)

Possui infinitas soluções

y = 3 – 2x x = y = 3 – 2 S = {(, 3 – 2)}

Solução geral do sistema

2x + y = 3 2x + y = 6

Sistema impossível (SI)

Não possui soluções

(i)

Fazendo (i)(–2) + (ii), encontramos

(ii)

0 = 0 Portanto: SPI

Fazendo (i)(–1) + (ii), encontramos 0 = 3 Portanto: SI

Portanto: SPD

2x + y = 9 x – y = 3

Exemplos

S = {(4, 1)} 4

1

x

y

2x + y = 3 4x + 2y = 6

2x + y = 3 2x + y = 6

x

y

r

t

t r

x

y

t

r

Retas concorrentes

Retas Paralelas coincidentes

Retas paralelas distintas

t // r

t // r

SPD

SPI

SI

Resolução de um sistema linear pela Regra de Cramer

2x + y = 9 x – y = 3

2 1 1 – 1

D=

9 1 3 – 1

Dx=

Dy= 2 9 1 3

= – 3

= – 12

= – 3

x = Dx

D

y = Dy

D

x = – 12

– 3 = 4

y = – 3

– 3 = 1

2 1 1 – 1 [ ] [ ] x

y = [ ] 93

Matriz dos coeficientes Matriz das

incógnitas

Matriz dos termos independentes

2x + y = 3 4x + 2y = 6

2 1 4 2

D= = 0

3 1 6 2

Dx= = 0

Dy= 2 3 4 6

= 0

y = Dy

D y =

0 0

x = Dx

D x =

0

0

INDETERMINADOS

2 1 2 1

D=

3 1 6 1

Dx=

Dy= 2 3 2 6

= 0

= – 3

= 6

x = Dx

D

y = Dy

D

x = – 3

0

y = 6

0

2x + y = 3 2x + y = 6

IMPOSSÍVEL

SISTEMA LINEAR

IMPOSSÍVEL

POSSÍVEL

DETERMINADO

INDETERMINADO

D=0, DX e/ou Dy e/ou ... Dn 0

D=0, DX = Dy = ... = Dn = 0

D 0

c

c

DX DY DZ

x + y + z = 0 x + y + z = 1 x + y + z = 2

O exemplo acima, claramente não possui solução. Entretanto, os determinantes utilizados na regra de Cramer são todos nulos, pois as matrizes possuem pelo menos duas colunas iguais.

D

Observe o sistema:

OBSERVAÇÕES

123

x – y + z = 1 2x – 2y + 2z = 2 3x – 3y + 3z = 3

01)

1//2//3

1

2

3

02)

r

t s

01. A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24.

Calcule x, y e z.

De acordo com o enunciado, segue que

x y 5 24 x y 19

y z 15 24 y z 9 .

x z 10 24 x z 14

Somando os dois membros das equações, temos:

2x + 2y + 2z = 42 Dividindo ambos os membros por 2, encontramos:

x + y + z = 21

(19) + z = 21 z = 2 y + ( 2 ) = 9 y = 7 x + ( 2 ) = 14 x = 12

Assim, x=12, y=7 e z=2

02. Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 0 a 9, na forma abcdef–xy, em que (abcdef) representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta e x e y nessa ordem, representam os dígitos verificadores. Para obter os dígitos x e y o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes: 1 2 1

A 0 1 0

0 2 1

x

B y

z

(a b)

C (c d)

(e f )

Os valores de x e y são obtidos pelo resultado da operação matricial AB = C, desprezando-se o valor de z. Sendo assim, calcule os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281.

Para o número 356281 a matriz C é dada por:

3 5 2

C 6 2 4 .

8 1 7

(a b)

C (c d)

(e f )

Logo,

1 2 1 x 2

A B C 0 1 0 y 4

0 2 1 z 7

x 2y z 2

y 4

2y z 7

x 5

y 4.

z 1

Portanto, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281 são 54

03- Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que

45m 60n 75p 90q = 1. Pede-se: a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q). b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m + n + p + q = 8.

(32 5)m (22 3 5)n (3 52)p (2 32 5)q = 1

(22n + q )( 32m + n + p + 2q )( 5 m + n + 2p + q ) = 1

02

022

202

qpnm

qpnm

nqqn

npm

npm

2

32

npm

npm

2

32Resolvendo, temos

fazendo n = 3, temos m = 5, n = 3, p = −1 e q = −6

b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que

m + n + p + q = 8.

5n nn 2n 8

3 3

𝑚 =5𝑛

3 e 𝑝 = −

𝑛

3

n 24

m = 40 p = −8 q = −48

04. Resolver e classificar cada sistema abaixo. x +y +z = 6 a) x +2y –3z = –4 2x –3y +z = –1

x +y +z = 6 –x –2y +3z = 4

Fazendo (i)+(ii)(–1), temos:

(i)

(ii) (iii)

–y +4z = 10 (iv)

Fazendo (i)(–2)+(iii), temos: –2x –2y –2z = –12 2x –3y + z = –1

–5y – z = –13 (v)

Fazendo (iv)(–5)+(v), temos:

–5y – z = –13

5y –20z = –50

–21 z = –63

x + y + z = 6 –y + 4z = 10 –21 z = –63

S={(1, 2, 3)}

x + y + z = 6 b) x + 2y – 3z = – 4 2x + 3y – 2z = 2

(i)

(ii) (iii)

Fazendo (i)(3)+(ii), temos:

3x + 3y + 3z = 18 x + 2y – 3z = – 4

4x + 5y = 14 (iv)

2x + 2y + 2z = 12

Fazendo (i)(2)+(iii), temos:

2x + 3y – 2z = 2

4x + 5y = 14 (v)

– 2x – 4y + 6z = 8

Fazendo (ii)(– 2)+(iii)(3)

6x + 9y – 6z = 6

4x + 5y = 14

4x + 5y = 14 (iv)

4x + 5y = 14 (v)

Fazendo (iv)(– 1)+(v)

0=0

Portanto o sistema possui infinitas soluções - SPI

4x + 6y – 4z = 3 c) x + 2y – 3z = – 4 2x + 3y – 2z = 2

(i)

(ii)

(iii)

Fazendo (i)+(ii)(–4), temos:

4x + 6y – 4z = 3 – 4x – 8y +12z = 16

– 2y + 8z = 19(iv)

4x + 6y – 4z = 3

Fazendo (i)+(iii)(–2), temos:

– 4x – 6y + 4z = – 4

0 = –1

–2x – 4y + 6z = 8

Fazendo (ii)(–2)+(iii)

2x + 3y – 2z = 2

– y + 4z = 10

Retas paralelas distintas

Portanto o sistema não possui soluções - SI

Exercícios de casa: 1. Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades deles será 90 anos. Em 29 de julho de 2017, calcule a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem. Resposta: De acordo com as informações do problema, podemos organizar a seguinte tabela:

E escrever o sistema

x 2 (2y x) x 4y 2x 3x 4y.

2x y x 90 3x y 90 3x y 90

Resolvendo o sistema, temos y = 30 e x = 40, daqui a cinco anos x + 5 = 45 e y + 5 = 35. Portanto,

x 5 45 9.

y 5 35 7

2. Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. Calcule o valor total pago, em reais, pelos três produtos.

Resposta: Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:

y z 1288

x y 3698

x z 2588

Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + z = 3.787.

3. Dona Lúcia, preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet bem como com a sua pouca motivação para estudar em casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet e estudasse em casa, ela lhe daria R$ 20,00; a cada dia em que ele acessasse a internet, mas, em compensação, estudasse, ela lhe daria R$ 5,00, e, finalmente, a cada dia em que Lucas não estudasse, ele devolveria R$ 15,00. a) Sabendo que, num período de 30 dias, a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual à soma da quantidade de dias em que ele não acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que ele não estudou e que, nesse período, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$ 305,00, calcule a quantidade de dias desse período em que Lucas não acessou a internet e estudou. b) Sabendo que, em outro período de 30 dias, Lucas estudará todos os dias, determine todos os possíveis valores que ele poderá ganhar nesse período.

Resposta: a) x= dias de estudo sem internet y = dias de estudo com internet z = dias sem estudo De acordo com o problema, temos o seguinte sistema:

x y z 30

y x z .

20x 5y 15z 305

Resolvendo o sistema, temos: y = 15, z = 2 e x = 13. Resposta: 13 dias. b) Em 30 dias de estudo, temos x dias com internet e 30 – x dias sem internet. Sendo y o valor recebido, podemos escrever a seguinte relação: y = 20x + 5(30-x) y =15x + 150 para Portanto, os valores que ele poderá receber estão representados pelos elementos da P.A abaixo: (150, 165, 180, ... 585, 600).

0 x 30

Sistemas Lineares: Classificação

01. “Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?” Esse é o problema chinês do Centro de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa. a) Expresse o problema chinês mediante um sistema de

equações; b) Dê a solução geral do sistema; c) Nessa época, o zero não era considerado um número e,

por isso, não entrava na solução dos problemas. Então quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Centro de Aves?

Seja: x=número de galos y=número de galinhas z=número de frangos

“Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?” Esse é o problema chinês do Centro de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa. a)Expresse o problema chinês mediante um sistema de equações;

x + y + z = 100

5x + 3y + z/3 = 100

x + y + z = 100 5x + 3y + z/3 = 100

(i) (ii)

Fazendo (i)(– 1) + (ii)(3), temos:

– x – y – z = – 100 15x + 9y + z = 300

Então: 14x + 8y = 200 (2)

7x + 4y = 100

4y = 100 – 7x

y = 7x 100 –

4

Se x = , temos:

e

z = 3

75 + 4

Então:

S= , ,

b) Dê a solução geral do sistema.

Com IN, divisível por 4 e 0 12

y = 7x

25 – 4

y = 7

25 – 4

7 25 –

4 3

75 + 4

c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava na solução dos problemas. Então quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Centro de Aves?

x y z

4 18 78

8 11 81

12 4 84

As possíveis soluções encontradas para o sistema foram:

S={(4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)}

0 25

S = , , 7

25 – 4

3 75 +

4

75

02- Classifique o sistema abaixo em função dos parâmetros p e q. 2x + qy = 6 4x – 8y = p

kx 4ky 0,k

3x ky 8

03- Relativas ao sistema, analise como verdadeiro ou falso as afirmações I, II e III abaixo mostrando os cálculos devidos. I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. III. É impossível para um único valor de k.

2k 4k0 k 12k 0 k 0 e k 12

3 k (o sistema possui solução única)

Se k = 0 temos 0 0 0 8

x e y pode ser qualquer real, 3x 8 3

logo o sistema possui infinitas soluções.

Se k = 12 temos 12x 48y 0(: 4) 3x 12y 0

3x 12y 8 3x 12y 8

(sistema impossível)

I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. III) Verdadeira, é impossível se k = 12

04. (UFES-2009) Determine os valores reais de m e n para os quais a equação

2 1 3 1

x 1 y 2 z 1 4

3 1 m n

a) não tenha soluções; b) tenha infinitas soluções c) tenha uma única solução.

2 1 3 1

x 1 y 2 z 1 4

3 1 m n

2x – y + 3z = 1 x + 2y – z = 4

3x + y + mz = n

(i)

(ii)

(iii)

Fazendo (i)+(ii)+(III)(–1), temos:

2z – mz = 5 – n

5 – n

2 – m z =

(2 – m)z = 5 – n

a) não tenha soluções; 5 – n 0

n 5

2 – m = 0

m = 2 e

e

Então,

b) tenha infinitas soluções

5 – n = 0

n = 5

2 – m = 0

m = 2 e

e

Então,

c) tenha uma única solução.

2 – m 0

m 2 Então, e n IR

05. (UNICAMP) Considere o sistema linear abaixo, no qual a é um parâmetro real

a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível. b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única.

ax y z 1

x ay z 2

x y az –3

ax y z 1

x ay z 2

x y az –3

x y z 1

x y z 2

x y z –3

(i)

(ii)

(iii)

Fazendo (i) + (– 1)(ii), temos: 0 = – 1 o que torna impossível de se resolver tal sistema.

a 1 1 a 1 1 a 1 1

D 1 a 1 1 a 1 (a 2) 1 a 1

1 1 a a 2 a 2 a 2 1 1 1

D = (a + 2)(a – 2a + 1 ) Cujas raízes são a = – 2 e a = 1(raiz dupla)

Portanto, para a – 2 e a 1 o sistema possui solução única.

Para a = 1, temos:

a)

b)

Exercício de casa: 01- Calcule o valor de a para que a seguinte equação matricial admita somente a solução trivial .

4 8 a x 0

1 2 1 y 0

6 0 2 z 0

Resposta: Para que a equação matricial acima admita somente a solução trivial, o determinante deverá ser diferente de zero.

4 8 a

1 2 1

6 0 2

Calculando o determinante, teremos a seguinte desigualdade:

16 0 48 12 a 16 0  0 

12 a   80

80a

12

20a

3

02- Analise as afirmativas abaixo.

I. O sistema é possível e indeterminado

II. O sistema é possível e determinado

III. O sistema é impossível

x y 5

2x y 1

x y z 4

2x 3y z 5

x 2y 2z 7

2x y 5

4x 2y 10

Marque a alternativa correta.

a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) Apenas I é falsa. e) Apenas III é falsa.

Resposta: [B] [I] Falsa, pois o sistema admite uma única solução com x = 2 e y = 3.

x y 5

2x y 1

[II] Verdadeira, pois o sistema

x y z 4

2x 3y z 5

x 2y 2z 7

admite uma única solução com x=1, y= 2 e z= –1.

[III] Falsa, pois (sistema possível e indeterminado).

2x y 5 2x y 5

4x 2y 10 0 0 0

03. Considerando o sistema de equações assinale o que for correto.

px 6y 2

qx 3y q

O sistema terá infinitas soluções.

O sistema será impossível.

(EXTRAS) 01- (PUC-SP) Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos, y moedas de 10 centavos e z moedas de 25 centavos. A equação matricial seguinte permite determinar as possíveis quantidades dessas moedas. a) Com base nesses dados, qual o número de possibilidades de solução para essa equação? b) Quais os possíveis valores pra x, y e z?

02- Na peça "Um xadrez diferente", que encenava a vida de um

preso condenado por crime de “colarinho branco”, foi utilizado

como cenário um mosaico formado por retângulos de três

materiais diferentes, nas cores verde, violeta e vermelha.

Considere que x, y e z são, respectivamente, as quantidades, em

quilos, dos materiais verde, violeta e vermelho utilizados na

confecção do painel e que essas quantidades satisfazem o

sistema linear x 3y 2z 250

2x 5y 3z 420

3x 5y 2z 430

Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos materiais

verde, violeta e vermelho utilizada no painel, afirma-se: a) Classifique tal sistema quanto ao número de soluções.

b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes a qual está

associada ao sistema.

x 3y 2z 250

2x 5y 3z 420

3x 5y 2z 430

(i)

(ii)

(iii)

Fazendo(i)(– 2)+(ii)

– 2x – 6y – 4z = – 500 2x + 5y + 3z = 420 Temos: – y – z = – 80 (iv)

Fazendo(i)(–3)+(iii)

– 3x – 9y – 6z = – 750 3x + 5y + 2z = 430 Temos:

– 4y – 4z = – 320 (v)

Fazendo(iv)(– 4)+(v) 4y + 4z = 320

– 4y – 4z = – 320

Encontramos 0 = 0

Portanto, Sistema Possível e Indeterminado(SPI)

Escalonando o sistema, temos:

0 + 0 + 0 = 0

Encontrando a solução geral de um SPI y + z = 80 y = 80 – z

z =

y = 80 –

Substituindo em x + 3y + 2z = 250, temos:

x + 3(80 – )+ 2() = 250

Onde x = 10 +

S = {(10 + , 80 – , )}

Com IN e 0 < < 80

x y z

1 79 11

2 78 12

13 77 3

... ... ...

79 1 89

Para determinar a quantidade dos materiais utilizados, é necessário saber previamente a quantidade de um desses materiais.

03. (UFES-2011) Num certo dia, três donas de casa compraram produtos A, B e C, em um supermercado, a preços x, y e z por quilo, respectivamente. A primeira comprou 1, 2 e 3 quilos de A, B e C, respectivamente, e pagou um total de 22 reais. A segunda comprou 3, 4 e 2 quilos desses produtos, respectivamente, e pagou o total de 33 reais. A terceira comprou 2 quilos de A, 8 quilos de B e uma quantidade m quilos de C e pagou um total de n reais. Calcule: a) os valores de m e n para os quais não é possível

determinar, apenas com base nos dados acima, os preços x, y e z.

b) os preços x, y e z, no caso em que m=15 e n=90.