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CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B
Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes
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22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS
Dividir a circunferência em partes (ou arcos) iguais é o mesmo que construir
polígonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferência num número
n (n>2) qualquer de partes iguais são sempre vértices de um polígono regular inscrito na
mesma.
Se dividirmos uma circunferência em n partes iguais, teremos também a divisão da
mesma em 2n partes, bastando para isso traçar bissetrizes.
Existem processos exatos e aproximados para a divisão da circunferência. Se
existe um processo exato para divisão da circunferência este deve ser utilizado (e não um
aproximado).
22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS
Número de lados
Polígono
1 não existe 2 não existe 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono
10 decágono 11 undecágono 12 dodecágono 13 tridecágono 14 tetradecágono 15 pentadecágono 16 hexadecágono 17 heptadecágono
Número de lados
Polígono
18 octodecágono 19 eneadecágono 20 icoságono 25 pentacoságono 30 triacontágono 40 tetracontágono 50 pentacontágono 60 hexacontágono 70 heptacontágono 80 octacontágono 90 eneacontágono
100 hectágono 1000 quilógono
1.000.000 megágono 109 gigágono
10100 googólgono circunferência
Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100
lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
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e Unidades sufixo Dezenas 1 -hena-
20 icosi- 2 -di- 30 triaconta- 3 -tri- 40 tetraconta- 4 -tetra- 50 pentaconta- 5 -penta- 60 hexaconta- 6 -hexa- 70 heptaconta- 7 -hepta- 80 octaconta- 8 -octa- 90 enneaconta-
-kai-
9 -enea-
gono
Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -kai- -di- -gono tetracontakaidigono
O polígono de 50 lados da seguinte forma:
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta- -gono pentacontagono 22.2 PROCESSOS EXATOS
Dividindo a circunferência em n partes iguais, estamos dividindo o ângulo central
de 360o em n partes também iguais. Logo, o ângulo cêntrico (vértice no centro e lados
passando por vértices consecutivos do polígono) correspondente à divisão da
circunferência em n partes iguais medirá 360o/n.
O lado de um polígono regular de n lados é denotado por nl .
\Observação: n
n ll
22≠
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1) Dividir uma circunferência em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2m partes; m∈N
O
Medida do 4
l numa circunferência de raio r é 4
l = r 2.
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 2 180o “2 arcos capazes de 90o” 4 90o Quadrado 8 45o Octógono
16 22,5o Hexadecágono
2) Dividir uma circunferência em n = 3, 6, 12, ... = 3.2m partes; m∈N
O
Medida do 6
l numa circunferência de raio r é 6
l = r.
Medida do 3
l numa circunferência de raio r é 3
l = r 3 .
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n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 3 120o Triângulo equilátero 6 60o Hexágono 12 30o Dodecágono
3) Dividir uma circunferência em n = 5, 10, 20, ... = 5.2m partes; m∈N
Propriedade: O lado do decágono regular inscrito numa circunferência é o
segmento áureo do raio. Ou seja, 10l
2 = r.(r-10l ).
O
Medida do 10l numa circunferência de raio r é
10l = r( 5 -1)/2.
Propriedade: Para uma mesma circunferência, o 5
l é hipotenusa de um triângulo
retângulo cujos catetos são o 6
l e 10l .
Medida do 5
l numa circunferência de raio r é 5
l = 2/1)
2
55(
−r
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n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 5 72o Pentágono 10 36o Decágono 20 18o Icoságono
4) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N
O
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular
15 24o Pentadecágono 30 12o Triacontágono
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Exercícios
1. Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l.
a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n = 8 f) n = 10
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2. Construir ângulos de 48o, 24o, 12o, 144o, 72o e 36o.
O
O
O
O
O
O
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3. Construir um pentágono regular dado o seu semiperímetro p = 10cm.
4. Construir um pentagrama, dado a medida l do lado.
22.3 PROCESSOS APROXIMADOS
Foram vistos processos para a divisão da circunferência em n partes iguais, por
exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... É possível dividir uma circunferência
em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira seqüência, porém estas divisões
são aproximadas.
Para determinar o erro teórico que se comete nas construções aproximadas
determina-se o lado de um polígono regular de n lados em função do ângulo central (ou
cêntrico) correspondente, ou seja, n
l vale:
=
nrl
n
0180
sen 2
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1) Dividir uma circunferência em n = 7, 14, 28, ... = 7.2m partes; m∈N
O
Medida do 7
l ′ numa circunferência de raio r é 7
l ′ = 3
l /2 = r 3 /2 ≅ 0,86602 r
Medida do 7
l numa circunferência de raio r é 7
l = 2r sen(180o/7) ≅ 0,86776 r
Erro teórico cometido: εt = 7
l ′ - 7
l = -0,00174 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0017 ≅ 0,002
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 7 51,4o... Heptágono
14 25,7o... Tetradecágono
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2) Dividir uma circunferência em n = 9, 18, 36, ... = 9.2m partes; m∈N
O
Medida do 9
l ′ numa circunferência de raio r é 9
l ′ = r - (r 3 - r 2) ≅ 0,68216 r
Medida do 9
l numa circunferência de raio r é 9
l = 2r sen(180o/9) ≅ 0,68404 r
Erro teórico cometido: εt = 9
l ′ - 9
l = -0,00188 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0018 ≅ 0,002.
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 9 40o Eneágono
18 20o Octadecágono
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3) Dividir uma circunferência em n = 11, 22, 44, ... = 11.2m partes; m∈N
O
Medida do 11l′ numa circunferência de raio r é
11l′ = r 5 /4 ≅ 0,55901 r
Medida do 11l numa circunferência de raio r é
11l = 2r sen(180o/11) ≅ 0,56346 r
Erro teórico cometido: εt = 11l ′ - 11
l = -0,00445 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de quatro milésimos.
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 11 32,7o... Undecágono 22 16,3o... Icosikaidigono
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4) Dividir uma circunferência em n = 13, 26, 52, ... = 13.2m partes; m∈N
O
Medida do 13l′ numa circunferência de raio r é
17
17213
rl =′ ≅ 0,48507 r
Medida do 13l numa circunferência de raio r é
13l = 2r sen(180o/13) ≅ 0,47863r
Erro teórico cometido: εt = 13l′ -
13l = 0,00644r
Ou seja, o erro é por excesso e da ordem de seis milésimos.
n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 13 27,69o... Tridecágono 26 13,84o... Icosikaihexagono
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5) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N
O
Medida do 15l ′ numa circunferência de raio r é 15
l ′ = r 2 - r ≅ 0,41421r
Medida do 15l numa circunferência de raio r é
15l = 2r sen(180o/15) ≅ 0,41582r
Erro teórico cometido: εt = 15l ′ - 15
l = -0,00161 r
Ou seja, o erro é por falta e da ordem de aproximadamente dois milésimos.
Observação: Apesar de existir um processo exato que forneça o 15l , nota-se que
este implica em muitos erros gráficos. O processo aproximado para a obtenção do 15l , a
construção do 15l′ dada acima, obtem melhores resultados graficamente.
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Exercício: Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l.
n = 7 n = 9 n = 11 n = 15
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22.4 PROCESSOS GERAIS
Quando se propõe uma divisão da circunferência em n partes iguais, se existir um
processo exato, este deverá sempre ser utilizado. Nos casos em que não exista tal
processo, pode-se utilizar os anteriores ou os gerais – isto é, para qualquer número de
partes aplica-se um mesmo procedimento.
22.4.1 Processo de Rinaldini
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22.4.2 Processo de Bion
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22.4.3 Processo de Tempieri
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23 POLÍGONOS ESTRELADOS
Definições:
1) Polígono estrelado é um polígono cujos ângulos são alternadamente salientes e
reentrantes, e cujos lados pertencem a uma linha poligonal fechada que é
percorrida sempre no mesmo sentido.
2) Polígono regular estrelado é aquele que se forma de cordas iguais e onde há
lados iguais e ângulos iguais.
Propriedade: Pode-se obter tantos polígonos estrelados de n vértices quantos
números p há, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n.
Processo Geral de Construção: Para obter um polígono regular estrelado de n
vértices, deve-se dividir a circunferência em n partes iguais, e unir os pontos de divisão de
p em p, sendo que p < n/2, p ≠ 1 e p e n primos entre si.
Exercícios:
1. Construir os polígonos estrelados de n lados.
a) Para n=7 ⇒ 3;2;1 < 7/2 = 3,5 ∴ p=3;2
O O
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b) Para n=15 ⇒ 7;6;5;4;3;2;1 < 15/2 = 7,5 ∴ p=7;4;2
O
O
c) Para n=8 ⇒ 3;2;1 < 8/2 =4 ∴ p=3
O
O
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2. Dada uma circunferência de centro O e raio r=3cm, construir os seguintes polígonos
regulares estrelados:
a) Pentágono (n=5, p=2) b) Octógono (n=8, p=3) c) Decágono (n=10, p=3)
O
O
O
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3. Quantos polígonos regulares estrelados distintos podem ser traçados quando uma
circunferência está dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais?
4. Construir o pentágono regular estrelado dado a medida a=4cm do seu lado.