Apostial de Física - Mecânica

8/14/2019 Apostial de Fsica - Mecnica

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Mecnica Colgio IDESA

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MECNICA

AUTORES:Maurcio Ruv Lemes

(Doutor em Cincia pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica)Luiz Fernando Sbruzzi

(Mestre em Ensino de Fsica pela Universidade Federal de So Paulo)

Passado e PresenteNa luta da Educao


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Caros Alunos

Comecei a dar aulas de Fsica no IDESA no ano de 1988, naquela poca j sentamos a necessidadede um material alternativo para o curso de Processamento de Dados e Magistrio, pois os livros de

Fsica em sua maioria, no abordavam e no abordam temas direcionados ao tcnico de processamentoe em sua totalidade so exaustivos na quantidade de exerccios, fazendo que o curso de fsica percaem qualidade terica.

Por estes problemas senti a necessidade de utilizar em minhas aulas, apostilas para assuntos como:Dinmica, Movimento Circular, Eletrnica, Computao e outros. Foi exatamente com essas apostilasescritas em tpicos que nasceu o trabalho atual, resultado de notas de aula e questes levantadas pelosseus colegas. Esta apostila resultado de muito trabalho e dedicao no ensino de Fsica dentro doColgio IDESA.

importante ressaltar que a apostila no possui o objetivo de esgotar o assunto de Cinemtica eDinmica, mas procura mostrar seus principais pontos de uma maneira simples e objetiva.Evidentemente que dentro deste trabalho existem algumas deficincias que sero sanadas pelas crticase sugestes de vocs, afinal ela j foi construda dessa forma.

Um ponto que dever chamar a ateno o pequeno nmero de exerccios em relao aos livrosnormais de Fsica. Na realidade a minha preocupao nunca foi colocar uma grande carga deexerccios, mas sim dar ao aluno condies de estudar, com duas aulas semanais, um maior nmero de

fenmenos e conceitos que sero teis em seu dia-a-dia. Evidentemente que o professor dever utilizarlistas complementares de exerccios que iro ajudar o aluno na fixao de conceitos.

Para terminar, gostaria de contar um pouco a minha carreira acadmica para vocs. Sou professorformado em Fsica pela Universidade de Taubat, aps a concluso da graduao fui para o Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA), em So Jos dos Campos, onde fiz meu mestrado em Fsica Atmica e Molecular. Trabalhei num projeto voltado a rea de ensino no ITA chamada REENGE eatualmente termino meu doutoramento na rea de Fsica Atmica e Molecular. Paralelamente a isto

tudo sempre estive atuando no IDESA, dando aulas para o 2o grau, tanto no perodo diurno como noperodo noturno.

importante ressaltar que atualmente fao parte de uma equipe de professores que trabalham noprojeto IDESA Sculo XXI que tem como objetivo principal a busca de novas estratgias de ensino,preparando o aluno do IDESA para a realidade de novos tempos.

Espero que este trabalho possa ajudar a fazer do estudo da Fsica, algo interessante, simples, mas acimade tudo desafiador, para que possamos vencer juntos os desafios e terminar o ano conhecendo umpouco mais dos fenmenos que nos cercam.

Maurcio Ruv Lemes


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NDICECINEMTICA

1INTRODUO..................................................................................................... Por que Estuda Fsica no Ensino Mdio e Tcnico em Informtica ? Alguns Personagens que Fizeram a Histria da Fsica O Estudo da Fsica O Mtodo Cientfico Medidas e Grandezas Fundamentais Algarismos Significativos e Notao Cientfica Grandezas Fsicas Estudo da Cinemtica Partcula e Corpo Extenso Referencial Posio na Trajetria Deslocamento

Velocidade Escalar Mdia Acelerao Escalar Mdia Classificao dos Movimentos

06

2MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME (MRU)......................................................... Introduo Funo Horria Grficos do MRU Propriedades dos Grficos do MRU

20

3-MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV).............................. Introduo Funo da Velocidade Grfico da Velocidade e Acelerao no MRUV Funo Horria do MRUV Propriedades nos Grficos do MRUV Equao de Torricelli

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4-MOVIMENTOS VERTICAIS NO VCUO................................................................... Introduo Queda Livre Lanamento Vertical Descrio Matemtica dos Movimentos Verticais no Vcuo

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5MOVIMENTO CIRCULAR...................................................................................... Introduo Perodo Freqncia Grandezas Angulares Movimento Circular Uniforme (MCU) Polias e Engrenagens

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DINMICA6LEIS DE NEWTON..............................................................................................

Introduo Fora Princpio da Inrcia Princpio Fundamental

Princpio da Ao e Reao

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7APLICAES DO PRINCPIO FUNDAMENTAL....................................................... Fora Peso Reao Normal Fora de Atrito Fora de Trao

52

8TRABALHO....................................................................................................... Introduo Trabalho de uma Fora Constante Tipos de Trabalho

Trabalho de uma Fora Varivel Casos Especiais Potncia Rendimento

62

9-ENERGIA........................................................................................................... Introduo Energia Cintica Teorema da Energia Cintica Energia Potencial Energia Potencial Gravitacional Energia Potencial Elstica Princpio de Conservao da Energia Mecnica

71

10IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO......................................................... Introduo Impulso Quantidade de Movimento Teorema do Impulso Princpio de Conservao da Quantidade de Movimento

78

11COLISES MECNICAS.................................................................................... Introduo Definio Tipos de Coliso Coliso Elstica

Coliso Parcialmente Elstica Coliso Inelstica Coeficiente de Restituio

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APNDICE ARECORDANDO FUNES DO 1O E 2OGRAUS................ 89


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APNDICE BRECORDAO MATEMTICA................................................... 90

APNDICE CSISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES................................... 91

RESPOSTAS DOS EXERCCIOS........................................................................ 93


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CINEMTICA

1 - INTRODUO

1.1-POR QUE ESTUDAR FSICA NO ENSINO MDIO E TCNICO EM INFORMTICA ? muito comum hoje em dia os alunos perguntarem a razo de estar estudando aquela ou essa

disciplina. Nem sempre a resposta dada suficiente para que ele tome conscincia da importnciadesse estudo.

Em nosso caso, poderamos enumerar vrios motivos da importncia do estudo da fsica no curso deInformtica e Ensino Mdio, mas neste breve comentrio falaremos de apenas dois deles.

A primeira razo para este estudo seria o conhecimento de como o computador funciona por dentro,ou seja, o seu Hardware. Para atingirmos este conhecimento necessrio, antes de tudo, nosdedicarmos fsica bsica, pois dela se originar os pr-requisitos necessrios para o bomentendimento do funcionamento de um computador.

Uma segunda razo o fato de que o conhecimento cientfico das pessoas de um modo geral muito pobre, exatamente pelo fato de estarmos preocupados em estudar apenas o que nos convm.

No se pode admitir que um estudante do Ensino Mdio no seja capaz de responder algumasquestes simples do nosso cotidiano como:

Por que a Terra gira em torno do Sol e no o inverso ?O que um Eclipse ?Por que vemos primeiro a luz do relmpago para s depois ouvir o trovo ?


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Precisamos urgentemente passar a estudar por apenas uma razo - adquirir cultura. O fato docrescimento da utilizao de grias dentro do vocabulrio de nosso dia-a-dia, vem mostrarexatamente a pobreza cultural de um povo.

com o objetivo de descobrir novidades e vencer desafios que iremos iniciar o estudo da Fsica. muito importante termos em mente que o nosso curso que comea agora e termina no 3o ano no

possui a inteno de esgotar o assunto, mas sim procurar motiv-lo para a continuao desse estudo.Bem vindo ao Mundo da FSICA!!

1.2-ALGUNS PERSONAGENS QUE FIZERAM A HISTRIA DA FSICA

PERSONAGEM FATO

Aristteles(384 - 322 a.C.)

Filsofo e Sbio grego. Props as posies naturais para os corpos e descreviaque eles derivavam de 4 elementos - terra, gua, ar e fogo. Dizia, ainda, que aTerra ocupava o centro do Universo e era imvel (Geocentrismo).

NicolauCoprnico(1473 - 1543)

Nascido na Polnia, era matemtico, doutor em direito cannico, mdico eastrnomo. Props o modelo Heliocntrico, no qual a Terra era um planeta,como Vnus ou Marte, e que todos os planetas giravam em rbitas circulares emtorno do Sol.Publicou essas idias no livroDe Revolutionibus Orbium Coelestium, publicado

perto de sua morte. Foi considerado leitura proibida na poca.

Galileu Galilei(1564 - 1642)

Nascido na Itlia, tornou-se matemtico, fsico e astrnomo. Foi um dos maioresgnios da humanidade. Podemos dizer que foi com ele que a fsica comeou adar seus primeiros passos. Idealizou o Mtodo Cientfico, estudou a queda doscorpos, esboou a Lei da Inrcia. Ops-se Mecnica de Aristteles e defendeuo sistema de Coprnico. Foi por isso perseguido pela Inquisio e pressionado anegar suas teses.

Johannes Kepler(1571 - 1630)

Astrnomo alemo, que se baseando nas anotaes do astrnomo dinamarqusTycho Brahe, fez um estudo cuidadoso do movimento planetrio. Com essesestudos concluiu que a rbita dos planetas em torno do Sol no era circular e simelptica, com o Sol num dos focos. Em 1606 publicou Comentaries on Mars,onde se encontravam suas duas primeiras leis do movimento planetrio. Aterceira lei foi enunciada mais tarde.


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Isaac Newton(1642 - 1727)

Matemtico, fsico e astrnomo ingls, considerado o fundador da MecnicaClssica - O Pai da Fsica. A estrutura da mecnica clssica foi publicada em suaobra Philosophie Naturalis Principia Mathematica (1686), onde se encontra asfamosas trs leis de Newton. Introduziu a Lei de Gravitao Universal,explicando as leis de Kepler, fez importantes trabalhos na rea da matemtica,

tais como o Binmio de Newton e o Clculo Infinitesimal.

Albert Einstein(1879 - 1955)

Nascido na Alemanha de pais judeus, considerado um dos maiores gnios detodos os tempos. Destacam-se os seus trabalhos: Teoria do movimento

browniano, a teoria da relatividade, o efeito fotoeltrico (que lhe valeu umprmio Nobel em 1921) e a derivao terica da equao massa-energia E = mc2. Era acima de tudo um pacifista.

S. Hawking

Fsico ingls, nascido no dia 8 de janeiro de 1942. Portador da doena de LouGehrig (esclerose amiotrfica lateral) se movimenta atravs de uma cadeira derodas e se comunica com um sintetizador de voz acoplado a um computador queele manipula com trs dedos, nica parte do corpo que a doena no paralisou.Ocupa a cadeira deixada por Isaac Newton em Cambridge. Possui trabalhos nateoria da Grande Unificao (Teoria da Relatividade e Mecnica Quntica). considerado um dos maiores fsicos da atualidade.

Para obter mais informaes sobre personagens da Fsica visite a internet na pgina:www.idesa.com.br

1.3OESTUDO DA FSICAA fsica uma cincia que procura entender e explicar os fenmenos naturais que nos cercam emnosso dia-a-dia. Achar que o estudo da fsica no importante o mesmo que nos trancar numquarto fechado e no querer saber de nada que nos cerca.O estudo do movimento objeto de estudo da Mecnica, estudo este que iniciaremos aqui. ATermologia estuda fenmenos relacionados com o calor, desde um simples processo dedescongelamento at a dilatao em estruturas de concreto. A ptica estuda fenmenos ligados coma Luz, discute a luz do ponto de vista de uma onda eletromagntica. Alm das ondaseletromagnticas existem as ondas mecnicas que possuem como grande exemplo o som,estudamos este assunto em Ondulatria. O movimento planetrio e dos corpos celestes soestudados num campo da Fsica chamado Gravitao, este campo est includo na Mecnica. Por

ltimo, mas no menos importante temos a eletricidade que explica fenmenos simples como aeletrizao de um pente ao ser esfregado no cabelo at fenmenos mais complexos como a geraode corrente induzida por uma usina hidreltrica.


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1.4OMTODO CIENTFICOO Mtodo Cientfico ou Mtodo Experimental pode ser dividido em trs partes:(a)observao dos fenmenos;(b)medida de suas grandezas;(c) induo ou concluso de leis ou princpios que regem os fenmenos.

Este mtodo muito utilizado pela Fsica, a Fsica Clssica foi quase toda construda utilizando-sedeste mtodo. O percursor deste mtodo foi Galileu Galilei.

1.5MEDIDAS E GRANDEZAS FUNDAMENTAISAo estudar um fenmeno fsico, necessrio obtermos uma informao quantitativa, afim de tornaro estudo completo. Obtemos essa informao fazendo-se uma medida fsica que pode ser direta,como por exemplo utilizar uma rgua para medir um lpis ou indireta, como por exemplo avelocidade mdia de um automvel viajando de Taubat a So Jos, esta propriedade fsica pode serobtida atravs do conhecimento da distncia percorrida e do tempo que se leva para percorr-la.Existem grandezas fsicas consideradas fundamentais e derivadas. Na Mecnica as grandezasfundamentais so: comprimento, tempo e massa. As grandezas que resultam de combinaes dessasso consideradas derivadas.

O Brasil adota desde 1960 como padro para unidades de medidas o Sistema Internacional deUnidades (SI), veja mais detalhes no Apndice X.

1.5.1Algarismos Significativos e Notao CientficaJ vimos que saber medir muito importante para o entendimento fsico de um fenmeno. importante saber representar uma medida de maneira apropriada. Vejamos o seguinte exemplo:

Temos que medir o comprimento L de uma pea de metal e para isso possumos uma rgua.Observemos a medio:

L = 6,41 cm

Os nmeros 6 e 4 so corretos, mas o nmero 1 duvidoso.

Os algarismos corretos mais o duvidoso so denominados algarismos

significativos.

sempre muito til muito usado escrever as grandezas medidas em notao cientfica. Para issodevemos escrever o nmero na seguinte forma:

x . 10n, onde:x um nmero tal que 1 x < 10

n um expoente inteiro.

importante ressaltar que n deve conter os algarismos significativos do problema.Exemplo: Escreva a distncia entre o Sol e a Terra que de 150 000 000 km em notao cientfica.

dSol Terra = 1,5 . 108 km


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EXERCCIOS

1> Uma corrida de formula 1 teve uma durao 1h 46 min 36 s. Sabendo que a corrida teve 65voltas, determine o intervalo de tempo mdio gasto para cumprir cada uma das voltas.

2> Efetue as seguintes converses de unidades a seguir:(a) 10 km em m; (b) 2 m em cm; (c) 2 h em s; (d) 2m em mm.

(FUVEST-SP) 3> No estdio do Morumbi 120000 torcedores assistem a um jogo. Atravs de cadauma das 6 sadas disponveis podem passar 1000 pessoas por minuto. Qual o tempo mnimonecessrio para se esvaziar o estdio ?(a) uma hora; (b) meia hora; (c) 1/4 de hora; (d) 1/3 de hora; (e) 3/4 de hora.

(PUC-SP) 4> O nmero de algarismos significativos de 0,00000000008065 cm :(a) 3; (b) 4; (c) 11; (d) 14; (e) 15.

5> Escreva as medidas abaixo em notao cientfica:(a) 2000 m; (b) 348,24 cm; (c) 0,00023 s; (d) 0,03 m.

1.6-GRANDEZAS FSICAS No estudo da fsica nos baseamos em discutir medidas de grandezas, as quais so chamadasgrandezas fsicas. Como exemplo podemos mencionar a velocidade de um carro que passa pela ruade nossa casa, a potncia da luz que ilumina o quadro negro de nossa sala de aula, a temperatura dolocal onde estamos e muitas outras que estudaremos durante o nosso curso. Essas grandezas sodivididas em escalares e vetoriais.

1.6.1 - Grandeza EscalarGrandeza fsica que para o seu completo entendimento basta o seu mdulo (valor numrico)acompanhado de uma unidade de medida. Podemos dar como exemplo: a massa, a temperatura, otempo, etc.

1.6.2 - Grandeza VetorialGrandeza fsica que para sua completa descrio necessrio alm do mdulo acompanhado deuma unidade, da sua orientao, ou seja, direo (por exemplo: horizontal, vertical) e sentido (porexemplo: da direita para esquerda, de cima para baixo). So exemplos de grandezas vetoriais: afora, a velocidade, a quantidade de movimento e outras que estaremos estudando no nosso curso.

Utilizamos para representar este tipo de grandeza um vetorque o smbolo matemtico de uma grandeza vetorial.

1.7-OESTUDO DA CINEMTICAA Mecnica divide-se em Cinemtica, Dinmica e Esttica, em nosso curso nos estaremosestudando as duas primeiras partes. Iniciaremos os nossos estudos pela Cinemtica que o estudodo movimento sem se preocupar com suas causas.


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1.8-PARTCULA E CORPO EXTENSOUm corpo considerado partcula (ou ponto material) em fsica quando suas dimenses sodesprezveis na situao considerada. Por exemplo, um carro se movimentando na Via Dutra, nestecaso podemos considerar este carro como sendo uma partcula, j que sua dimenso, quandocomparada com a extenso da rodovia, totalmente desprezvel. J um corpo extenso aquele queno possui dimenses desprezveis na situao considerada. O mesmo carro que na Via Dutra pode

ser descrito como partcula, dentro de uma garagem no ser mais desprezvel, pois ocuparpraticamente toda a garagem, neste caso ele passa a ser considerado um corpo extenso.

importante ressaltar que essas definies nos trouxeram um importante conceito em fsica -Referencial. Um corpo pode ser considerado partcula ou corpo extenso, depende do referencial aoqual estamos comparando, no primeiro caso a Via Dutra e no segundo a garagem. A seguirdescreveremos melhor a importncia desse conceito em fsica.

1.9REFERENCIALPoderamos iniciar este tpico perguntando: Neste instante voc est em movimento ou parado (emrepouso)A princpio esta pergunta pode parecer sem importncia e com resposta bvia, mas se pararmos

para pensar veremos que essa resposta no to bvia.

Podemos estar parados em relao ao cho de nossa sala de aula, mas como todos esto na Terra,temos os movimentos que ela possui, ou seja, rotao e translao. Portanto, em relao a um outro

planeta qualquer, Marte, por exemplo, estamos em movimento.Afinal de contas, estamos parados ou em movimento ?

O problema que a pergunta no est bem formulado, e portanto devemos modifica-la da seguinteforma:Em relao sala de aula estamos parados ou em movimento ?

O conceito de referencial muito importante inclusive no que diz respeito a trajetrias de ummovimento. Ilustraremos a seguir duas pessoas observando um mesmo fenmeno, mas cada umadelas assiste uma trajetria diferente. Este o caso de um avio soltando uma bomba em campoaberto. Repare que para um observador fora do avio ver a bomba caindo de forma curva(parbola). J o piloto assiste a bomba caindo sempre abaixo de seu avio e portanto assiste umatrajetria reta. Evidentemente que consideramos nula a resistncia do ar.

A partir de agora devemos estar mais atentos com os fenmenos que nos cercam e passar a observarfatos que antes passavam desapercebidos. importante dizer ainda que utilizaremos durante o curso o referencial Inercial, que comparar osfenmenos que nos rodeiam com o cho.


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1.10-POSIO NA TRAJETRIA OU ESPAO NA TRAJETRIA (S)Representaremos a grandeza fsica posio pela letra s minscula. Essa grandeza indica a posioocupada por um mvel ao longo de uma trajetria.

s = - 10 m s = - 20 m

IMPORTANTE:

(a) Embora no tenhamos na realidade posies negativas, quando estivermosresolvendo problemas fsicos de trajetrias isso poder ocorrer, j que no podemosrepetir a numerao positiva antes do zero.

(b) Quando estivermos resolvendo um problema que envolva trajetria, devemosorientar esta trajetria, ou seja, indicar o sentido crescente, indicando incio e fim.Observe o exemplo:

A distncia entre Taubat e Pindamonhangaba de 15 km, orientamos nossa trajetria,

colocando como posio inicial Taubat, s = 0, e posio final Pinda, s = 15 km.

Depois de definida a posio de um mvel numa trajetria, passaremos a associar a esta posio umrespectivo tempo, ou seja, construiremos uma funo da posio ocupada pelo mvel com o tempo.Isso ser de extrema importncia para os prximos captulos.

Neste caso temos que para s = - 10 m, temos t = 5 s.

Nos prximos captulos estudaremos uma regra geral para formar esta funo (entre a posio e otempo) para determinados tipos de movimento.

IMPORTANTE:Chamamos de posio inicial aquela em que o instante t = 0, ou seja, oincio do movimento e indicamos porso.


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1.11-DESLOCAMENTO OU VARIAO DO ESPAO(S)Imaginemos a seguinte situao: Em um certo instante t1, um garoto se encontra na posio s = - 10m e no instante t2 ele se encontra em s = 10 m, o deslocamento ou variao do espao desse garotono intervalo de tempo t t t= 2 1 igual a:

s s s= 2 1

No nosso exemplo, temos:

s m= =10 10 20( )

IMPORTANTE:Neste caso o deslocamento igual a distncia percorrida pelo garoto, masnem sempre isto ser verdade. O deslocamento apenas ser igual adistncia percorrida quando o movimento, considerado, num nicosentido. Caso exista inverso de sentido durante o movimento odeslocamento no ser mais igual a distncia percorrida.

Exemplo: Uma pessoa que d a volta ao mundo, retornando ao ponto departida ter deslocamento igual a zero.

1.12-VELOCIDADE ESCALAR MDIA (vm)Velocidade a grandeza em fsica que indica a rapidez com que a posio de um certo mvel variacom o passar do tempo.

Por definio temos:

vs

t

s s

t tm= =

2 1

2 1

UNIDADES NO SI:

s => metros (m)t => segundos (s)

vm => metros por segundo (m/s)


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Nem sempre as unidades nos exerccios so adequadas, muitas vezes teremos que fazertransformaes. Logo devemos ter prtica em transformaes como:

m km; km m; min s; s min; cm m, etc.

DESAFIO: 1> Como primeiro desafio prove que:

1 m/s = 3,6 km/h

IMPORTANTE:

A velocidade instantnea a velocidade no instante, ou seja, quando

estamos dentro de um carro e observamos o velocmetro, vemos que acada instante o automvel possui uma velocidade, isto velocidadeinstantnea.Por exemplo, se voc observa o velocmetro aps 5 s de movimento everifica que a velocidade de 40 km/h, temos que a velocidade noinstante 5 s, corresponde a 40 km/h.

Velocistas da Natureza

Um dos animais terrestres mais veloz que temos o guepardo, que acelera de 0 a 72km/h em 2 segundos. Ele alcana uma velocidade de 115 km/h em distncias de at500m.

A velocidade muito importante quando se trata de apanhar outros animais em busca dealimento. Por isso, os predadores esto entre os bichos mais rpidos da natureza. O leo,por exemplo, bem mais pesado e menos gil que o guepardo, atinge 65 km/h em suacaada. Velocidade essa, pouco maior que a de um cachorro de corrida e pouco abaixode um cavalo puro-sangue.

claro que os animais caados tambm se defendem fugindo velozmente dospredadores. Por exemplo, a gazela africana chega a correr 80 km/h e, o que maisimportante, agenta esse ritmo por mais tempo que qualquer outro felino de grande porte.

De todos os animais que servem de presa a outros, o mais rpido o antilocaprdeo norteamericano, que atinge 88 km/h em corridas de pequena distncia, e 56 km/h emextenses de at 6 km.

O mais veloz de todos os animais que voa o falco peregrino, que em seu vo decruzeiro chega atingir 115 km/h, mas quando mergulha para capturar sua presa, essa avede rapina chega a atingir inacreditveis 360 km/h (o mesmo que um cachorro de corrida,


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como na Frmula Indy em circuitos ovais). J, o andorinho, em suas evolues npcias,alcana 170 km/h.

EXERCCIOS

6> Determine, em km/h, a velocidade escalar mdia de uma pessoa que percorre a p 1200 m em 30

min.

(UFPel-RS) 7> Um dos fatos mais significativos nas corridas de automveis a tomada de tempos,isto , a medida do intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhortempo obtido no circuito de Suzuka, no Japo, pertenceu ao austraco Gerard Berger, piloto daequipe Mclaren, que percorreu os 5874 m da pista em cerca de 1 min 42 s.Com base nesses dados, responda:(a) Quanto vale o deslocamento do automvel de Gerard Berger no intervalo de tempo

correspondente a uma volta completa no circuito ? (Justifique)(b) Qual a velocidade escalar mdia desenvolvida pelo carro do piloto austraco em sua melhor

volta no circuito ? (Justifique)

(PUC-SP) 8> A figura ao lado esquematiza a trajetria aproximada daTerra no seu movimento de translao em torno do Sol. Estime o temponecessrio para que a luz do Sol alcance a Terra.

Dado: velocidade da luz no vcuo = 3,0 x 108 m/s

9> Um carro percorreu 20 km com velocidade mdia de 60 km/h e 60 km a 90 km/h. Determine avelocidade escalar mdia do carro nos 80 km percorridos.

10> Um trem anda sobre trilhos horizontais retilneos com velocidade constante igual a 80 km/h.

No instante em que o trem passa por uma estao, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem.

Pergunta-se:(a) Qual a trajetria do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem ?(b) Qual a trajetria do objeto, vista por um observador parado na estao ?(suponha que o trem vai em sentido da estao)

(FUVEST-SP) 11> Aps chover na cidade de So Paulo, as guas da chuva descero o rio Tiet ato rio Paran, percorrendo cerca de 1000 km. Sendo 4 km/h a velocidade mdia das guas, o

percurso mencionado ser cumprido pelas guas da chuva em aproximadamente:

(a) 30 dias; (b) 10 dias; (c) 25 dias; (d) 2 dias; (e) 4 dias.


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Alguns Valores Aproximados de Aceleraes Mdias

Descrio Acelerao (m/s2)Prtons num acelerador de partculas 9 x 1013Ultracentrfuga 3 x 106Choque (freagem) de carro a 100 km/h contra obstculo rgido 1000Pra-quedas abrindo (freagem na condio limite) 320Acelerao da gravidade na superfcie solar 270Ejeo do acento em aeronave (na condio limite) 150Acelerao mxima suportvel pelo ser humano sem perda deconscincia

70

Acelerao da gravidade terrestre 9,8Freios de um Automvel comum 8Acelerao da gravidade da Lua 1,7

EXERCCIOS

12> Um automvel parte do repouso e atinge a velocidade de 108 km/h aps um tempo de 5 s.Calcule a acelerao escalar mdia do automvel, nesse intervalo de tempo, em m/s2.

1.14-CLASSIFICAO DOS MOVIMENTOSDe uma forma geral podemos classificar os movimentos retilneos da seguinte forma:

Movimento Retilneo Uniforme (MRU);Movimento Retilneo Uniformemente Variado (MRUV);Movimento Retilneo Variado (MRV).

Em nosso curso estaremos estudando o MRU e o MRUV.

De uma forma mais especfica, podemos classificar os movimentos:

(A)QUANTO A VARIAO DO ESPAOMovimento Progressivo:Os espaos aumentam a medida queo tempo passa. (movimento nosentido positivo da trajetria)

Movimento Retrgrado:Os espaos diminuem a medida queo tempo passa. (movimento nosentido negativo da trajetria)


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(B)QUANTO A VARIAO DE VELOCIDADEMovimento Acelerado:O mdulo da velocidade aumentacom o tempo. Ou seja, a velocidadee a acelerao possuem o mesmosentido.

Movimento Retardado:O mdulo da velocidade diminuicom o tempo. Ou seja, a velocidadee a acelerao possuem sentidosopostos.

EXERCCIOS

13>Em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrgrado, e acelerado ou retardado.(a) (b)

(c) (d)

14> As tabelas abaixo fornecem as velocidades de duas bicicletas em funo do tempo:

t (s) v (m/s) t (s) v (m/s)0 20 0 - 131 16 1 - 112 12 2 - 93 8 3 - 7

Em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrgrado, acelerado ou retardado.

EXERCCIOSCOMPLEMENTARES

15> Efetue as seguintes converses:(a)1 m em cm; (b) 1 cm em m; (c) 1 km em m; (d) 1 m em km;(e) 1 h em min; (f) 1 min em s; (g) 1 s em h; (h) 1 dia em s.

16> A velocidade escalar mdia de um mvel durante a metade de um percurso 30 km/h e essemesmo mvel tem a velocidade escalar mdia de 10 km/h na metade restante desse mesmo

percurso. Determine a velocidade escalar do mvel no percurso total.


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(FUVEST-SP) 17> Um nibus sai de So Paulo s 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 350 km dacapital, s 11 h 30 min. No trecho de Jundia a Campinas, de aproximadamente 45 km, a suavelocidade foi constante e igual a 90 km/h.(a)Qual a velocidade mdia, em km/h, no trajeto So Paulo Jaboticabal ?

(b)Em quanto tempo o nibus cumpre o trecho Jundia Campinas ?

(Unisinos-RS) 18> Na prova dos 100 m pelo Mundial de Atletismo, disputada em Tquio (Japo),no dia 25.08.91, o americano Carl Lewis estabeleceu o novo recorde mundial com 9,86 s. Nessa

prova, o brasileiro Rbson Caetano completo os 100 m em 10,12 s, conforme Zero Hora de26.08.91. A distncia entre os dois atletas citados, quando o vencedor cruzou a linha de chegada,foi, em centmetros, aproximadamente de :(a) 2,57; (b) 2,64; (c) 25,7; (d) 257; (e) 264.

(VUNESP-SP) 19> Um automvel de competio acelerado de forma tal que sua velocidade (v)em funo do tempo (t) dado pela tabela abaixo. A acelerao mdia em m/s 2 no intervalo de 5 a15 s :

t (s) 5 10 15v (m/s) 20 50 60

(a) 4,5; (b) 4,33; (c) 5,0; (d) 4,73; (e) 4,0.

20> Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2 cm. A massa de cada folha de

1,2 gramas e a massa de cada capa do livro de 10 gramas.(a)Qual a massa do livro ?(b)Qual a espessura de uma folha ?

(FUVEST-SP) 21> Diante de uma agncia do INPS h uma fila de aproximadamente 100 m decomprimento, ao longo da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as

pessoas entram, durante 30 s, com uma velocidade mdia de 1 m/s.Avalie:(a)o nmero de pessoas que entram na agncia;(b)o comprimento da fila que restou do lado de fora.

(F. Anhembi Morumbi-SP) 22> Um condomnio possui uma caixa dgua com capacidade para30000 litros, que supre 40 apartamentos. O sndico observou que foram consumidos 2/3 da guacontida na caixa, inicialmente cheia, num perodo de 20 h. Considerando que no houve reposiode gua na caixa nesse perodo, qual o consumo mdio por apartamento ?(a)12,5 litros/h; (c) 25,0 litros/h; (e) 62,5 litros/h.(b)37,5 litros/h; (d) 50,0 litros/h;


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2 - MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME (MRU)

2.1-INTRODUOA partir de agora passaremos a discutir tipos de movimentos e comearemos pelo MovimentoRetilneo Uniforme. Este tipo de movimento de define por variaes de espaos iguais em

intervalos de tempo iguais, em outras palavras a velocidade constante.

Observe no nosso exemplo que o rapaz percorre espaos iguais em tempos iguais. Ele leva 2 s parapercorrer cada 10 m, ou seja, quando est a 10 m se passaram 2 s, quando est em 20 m se passaram4 s e assim sucessivamente, de tal forma que se calcularmos sua velocidade em cada uma das

posies descritas (comparadas com a posio inicial), teremos:

v st

sm m= = = = = =102

204

306

408

5 /

Portanto quando falamos de MRU no tem mais sentido em utilizarmos o conceito de velocidademdia, j que a velocidade no se altera no decorrer do movimento, logo passaremos a utilizar:

v = vm

2.2-FUNO HORRIA DO MRUA funo horria de um movimento, representa o endereo de um mvel no tempo, ou seja, elafornece a posio desse mvel num instante qualquer. Com ela seremos capazes de prever tanto

posies futuras do movimento, como conhecer posies em que o mvel j passou.

A seguir deduziremos a funo s = f (t) para o MRU e como ponto de partida utilizaremos adefinio de velocidade.Observe o esquema abaixo:

O mvel parte de uma posio inicial so no instante t = 0; Num instante t qualquer ele estar na posio s.

Partindo da definio da velocidade: vs

t

s s

t t= =

2 1

2 1

Aplicando as observaes descritasacima, temos: v

s s

to=

0


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Simplificando a expresso, temos que: v t s so. =

Isolando o espao s, fica: s v t so + =.

Portanto a Funo Horria do MRU dada por: s s v to= + .

EXERCCIOS

23> Um mvel descreve um movimento retilneo uniforme, de acordo com a funo horria:s t= +20 5 (SI)

Para esse mvel determine:

(a) o espao inicial e sua velocidade escalar;(b) a posio no instante t = 10s;(c) o instante em que ele passar pela origem dos espaos.

24> Um trem de 100m de comprimento, a uma velocidade constante de 10 m/s demora 1 min paraatravessar uma ponte. Determine o comprimento da ponte.

25> Dois carros, A e B, se deslocam numa pista retilnea, ambos no mesmo sentido e comvelocidades constantes. O carro que est na frente desenvolve 72 km/h e o que est atrs desenvolve126 km/h. Num certo instante, a distncia entre eles de 225 m.(a) Quanto tempo o carro A gasta para alcanar o carro B ?(b) Que distncia o carro que est atrs precisa percorrer para alcanar o que est na frente ?

26> Duas estaes A e B esto separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetria. Pela estaoA passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentidode B para A. Os trens P e Q tm movimentos retilneos e uniformes com velocidades de valoresabsolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine o instante e a posio do encontro.

DESAFIO: 2> De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10km de comprimento, partem simultaneamente, uma emdireo outra, duas carroas, puxadas cada uma por umcavalo e andando velocidade de 5 km/h. No instante da

partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro

cavalo, parte voando em linha reta, com velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Aps intervalode tempo desprezvel, parte novamente e volta, com a mesmavelocidade de antes, em direo ao primeiro cavalo at pousarem sua testa. E assim prossegue nesse vaivm, at que os doiscavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duastestas. Quantos quilmetros percorreu a mosca ?


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2.3GRFICOS DO MRUA utilizao de grficos uma poderosa arma para interpretao de dados. Os grficos soutilizados, por exemplo, em geografia para mostrar a evoluo da densidade populacional de umaregio, na poltica afim de mostrar a corrida eleitoral, ou seja, o posicionamento dos candidatos nadisputa de um cargo poltico e tambm na matemtica mostrando desde funes simples a funescomplexas.

Em fsica, utilizaremos os grficos para mostrar a evoluo no tempo de grandezas como espao,velocidade e acelerao.

GRFICOS DO ESPAO EM FUNO DO TEMPO (s x t)

No MRU, temos a seguinte funo horria (s = f (t)): s s v to= + .

Como esta funo do 1o grau, podemos ter os seguintes grficos s x t para o MRU:

MOVIMENTO PROGRESSIVO MOVIMENTO RETRfiGRADO

GRFICOS DA VELOCIDADE EM FUNO DO TEMPO (v x t)Para o MRU, a velocidade constante e diferente de zero. Nesse caso a funo ser uma reta

paralela ao eixo dos tempos.

MOVIMENTO PROGRESSIVO MOVIMENTO RETRfiGRADO


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GRFICOS DA ACELERAO EM FUNO DO TEMPO (a x t)

No MRU a acelerao igual a zero e portanto teremos:

2.4PROPRIEDADES NOS GRFICOS DO MRU

No grfico s x t, no MRU temos:

A definio de tangente: tgcateto oposto

cateto adjacente =

Aplicando a definio de tangenteno nosso caso, temos: tg

s

t =

Sabendo que vs

t=

, temos ento: v tg

No grfico v x t, no MRU temos:


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24

A rea de um retngulo: A = B.h

Aplicando em nosso caso, temos: A t v= .

Sabendo que v t s. = , teremos ento: s A

EXERCCIOS

27> Um mvel se desloca segundo o diagrama da figura.Determine:(a)a funo horria do movimento;(b)a posio do mvel no instante t = 30 s;

28> O diagrama horrio representa o comportamento da velocidadeescalar de um mvel em funo do tempo. No instante t = 0, o mvelencontra-se na posio so = 3 m.(a)Determine o deslocamento do corpo nos primeiros 10 s.(b)Escreva a funo horria para o espao escalar.(c)Determine o espao do corpo aps 10 s do incio do movimento.(d)Construa um esboo do grfico s x t deste movimento.


29> Durante uma tempestade, um indivduo v um relmpago, mas ouve o trovo 5 s depois.Considerando-se o som no ar, com velocidade praticamente constante e igual a 340 m/s determine:

(a) a distncia que separa o indivduo e o local do relmpago;(b) o tempo que a luz levou para ir do local onde foi produzido o relmpago at onde est oindivduo. A velocidade da luz aproximadamente 300 000 km/s.

30> Um atirador aponta para um alvo e dispara um projtil. Este sai da arma com velocidade de 300m/s. O impacto do projtil no alvo ouvido pelo atirador 3,2 s aps o disparo. Sendo 340 m/s avelocidade de propagao do som no ar, calcule a distncia do atirador ao alvo.


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(FUVEST-SP) 31> Uma composio ferroviria (19 vages e uma locomotiva) desloca-se a 20 m/s.Sendo o comprimento de cada elemento da composio 10 m, qual o tempo que o trem gasta paraultrapassar:(a) um sinaleiro ? (b) uma ponte de 100 m de comprimento ?

(Mackenzie-SP) 32> Uma partcula est em movimento retilneo esuas posies variam com o tempo de acordo com o grfico aolado. No instante t = 1,0 minuto, sua posio ser:(a)5,0 m; (d) 300 m;(b)12 m; (e) 1.200 m.(c)20 m;

(PUC-RJ) 33> O grfico relaciona a posio (s) de um mvel emfuno do tempo (t). A partir do grfico pode-se concluircorretamente que:(a) o mvel inverte o sentido do movimento no instante t = 5 s;

(b)a velocidade nula no instante t = 5 s;(c) o deslocamento nulo no intervalo de 0 a 5 s;(d)a velocidade constante e vale 2 m/s;(e) a velocidade vale 2 m/s no intervalo de 0 a 5 s e 2 m/s no

intervalo de 5 a 10 s.

3 - MOVIMENTO RETILNEO UNIFORMEMENTE

VARIADO (MRUV)

3.1-INTRODUOA partir de agora, passaremos a estudar um tipo de movimento em que a velocidade no maisconstante. No MRUV passa a existir a acelerao constante, isso significa que a velocidade varia deuma forma uniforme. Poderamos citar como exemplo desse tipo de movimento uma pedra caindode uma certa altura ou um carro freando ao ver os sinal vermelho.

Ento, o MRUV aquele em que o mvel sofre variaes de velocidades iguais em intervalos detempo iguais.

MOVIMENTO ACELERADO


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MOVIMENTO RETARDADO

No MRUV, como a acelerao constante, a acelerao mdia ser igual a instantnea, logo:

a = am

3.2-FUNO DA VELOCIDADEDeterminaremos, agora, a expresso que relaciona velocidade e tempo no MRUV. Para issofaremos algumas consideraes iniciais.

Observe o esquema abaixo:

mvel parte com velocidade inicial vo no instante t = 0;Num instante t qualquer ele estar com velocidade v.

Partindo da definio da acelerao:12

12

tt

vv

t

va

=

=

Aplicando as observaes descritasacima, temos:

0t

vva o

=

Simplificando a expresso, temos que: ovvt.a =

Isolando a velocidade v, fica: vt.avo =+

Portanto a Funo da velocidade noMRUV dada por: t.avv o +=


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27

EXERCCIOS

34> Um mvel realiza um MRUV e sua velocidade varia com o tempo de acordo com a funo:v t= +20 4 (SI)

Determine:

(a) a velocidade inicial e a acelerao escalar;(b) sua velocidade no instante t = 4 s;(c) o instante em que atingir a velocidade de 20 m/s;(d) o instante em que ocorrer a inverso no sentido do movimento.

35> Um ponto material parte do repouso com acelerao constante e 4 s depois tem velocidade de108 km/h. Determine sua velocidade 10 s aps a partida.

3.3GRFICO DA VELOCIDADE E ACELERAO NO MRUVPassemos a analisar os grficos do Movimento Retilneo Uniformemente Variado.

GRFICOS DA VELOCIDADE EM FUNO DO TEMPO (v x t)

No caso do MRUV a funo da velocidade :

t.avv o +=

Observamos que a funo do 1o grau, portanto o grfico ser uma reta crescente ou decrescente.

GRFICOS DA ACELERAO EM FUNO DO TEMPO (a x t)

No MRUV a acelerao constante, e portanto o grfico ser uma reta paralela ao eixo t.


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3.4-FUNO HORRIA DO MRUVPrecisamos encontrar uma funo que nos fornea a posio do mvel em qualquer instante numMovimento Retilneo Uniformemente Variado.Considerando que o mvel realiza um MRUV e est partindo, no instante t = 0, do espao inicial socom velocidade inicial vo e acelerao a, passemos a demonstrar a funo horria s = f (t).

Observando o grfico v x t do MRUV,temos:

Calculando a rea do Trapzio fica:t

2

vvh

2

bBA o

+=

+=

mas, sabemos que: t.avv o +=

Logo, podemos rescrever a rea daseguinte maneira: 2

t.a

2

tv2t.

2

vt.avA

2ooo +=

++=

Finalmente a rea fica:2

t.at.vA

2

o +=

Como vimos na 2a propriedade de grficosdo MRU, o deslocamento s

numericamente igual a rea, logo:As ou ainda, Ass o =

Finalmente temos, ento que:2

t.at.vss

2

oo +=

ou seja:

2

t.at.vss

2

oo ++=

Sabemos que essa funo do 2o grau e nos fornecer a posio do mvel num instante qualquer.


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EXERCCIOS

36> Um mvel realiza um MRUV regido pela funo horria:

s t t= + 3 2

2

(SI)Determine:(a) o espao inicial, a velocidade inicial e a acelerao;(b) a funo velocidade;(c) o espao e a velocidade do mvel no instante 2 s;(d) o instante em que o mvel inverte o sentido do movimento;(e) o instante em que o mvel passa pela origem dos espaos.

(FUVEST-SP) 37> Um veculo parte do repouso em movimento retilneo e acelera a 2 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade e a distncia percorrida, aps 3 segundos, valem, respectivamente:

(a) 6 m/s e 9 m; (b) 6 m/s e 18 m; (c) 3 m/s e 12 m;(d)12m/s e 36m; (e) 2 m/s e 12 m.

GRFICOS DO ESPAO EM FUNO DO TEMPO (s x t)

No caso do MRUV a funo horria :

2oo at2

1tvss ++=

Como a funo horria do 2o grau podemos ter os seguintes grficos para o MRUV:

3.5-PROPRIEDADES NOS GRFICOS DO MRUV

No grfico v x t, no MRUV temos:


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A definio de tangente: tgcateto oposto

cateto adjacente =

Aplicando a definio de tangenteno nosso caso, temos: tg

v

t =

Sabendo quet

va

= , temos ento: tga

No grfico a x t, no MRUV temos:

A rea de um retngulo: A = B.h

Aplicando em nosso caso, temos: a.tA =

Sabendo que vt.a = , teremos ento: Av

Portanto, se tivermos um grfico a x t no MRUV, a rea abaixo da curva, nos fornecer o valor dodeslocamento.

EXERCCIOS

38> O grfico ao lado fornece a velocidade de um corpo no decorrerdo tempo.

(a) Qual a acelerao do corpo ?(b) Qual a funo horria da velocidade ?(c) Qual a velocidade do corpo no instante 20 s ?


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39> A posio inicial para o mvel que descreve o movimentoretilneo, cujo grfico v x t o representado ao lado, vale 5 m.Quais so as equaes horrias para o movimento considerado ?

40> O grfico s x t do movimento de um mvel mostrado aolado. Calcule a velocidade desse mvel no instante t = 6 s.

41> Um mvel descreve um movimento em que sua velocidade

escalar varia com o tempo de acordo com o grfico ao lado.Calcule:(a) a acelerao escalar desse mvel no instante t = 3 s;(b) seu deslocamento entre os instantes t = 2 s e t = 12 s.

DESAFIO: (FUVEST-SP) 3> Um trem de metr parte de uma estao com aceleraouniforme at atingir, aps 10 s, a velocidade 90 km/h, que mantida durante30 s, para ento desacelerar uniformemente durante 10 s at parar naestao seguinte.

(a) Represente graficamente a velocidade em funo do tempo.(b) Calcule a distncia entre as duas estaes.(c) Calcule a velocidade mdia do trem nesse percurso.

DESAFIO: (FUVEST-SP) 4> Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso,acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante passa por ele um outro ciclista B, comvelocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido de A.(a) Depois de quanto tempo, aps a largada, o ciclista A alcana o ciclista B ?(b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcanar o ciclista B ?

3.6-EQUAO DE TORRICELLIAt agora estudamos sempre equaes que relacionavam grandezas fsicas com o tempo. A equaode Torricelli uma relao de extrema importncia pois ela independe do tempo e ser fundamentalem problemas que no trabalhem com o mesmo.

Para obtermos a Equao de Torricelli teremos que eliminar a grandeza tempo e faremos issocombinando a funo da velocidade com a funo horria.


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Partindo da funo da velocidade: t.avv o +=

Elevando a equao ao quadrado edesenvolvendo, temos:

( )2o2 t.avv +=

22o

2o

2 t.at.a.v.2vv ++=

++= 2o

2o

2 t.a2

1t.v.a.2vv (1)

A funo horria: 2oo t.a21tvss ++=

Rescrevendo a funo horria,temos:

2oo t.a2

1tvss +=

Ou ainda:2

o t.a2

1tvs += (2)

Substituindo a Eq. (2) na Eq. (1),

temos a Equao de Torricelli: s.a.2vv2

o

2

+=

EXERCCIOS

42> Um mvel em MRUV parte do repouso e atinge a velocidade de 20 m/s. Se a acelerao domvel 2 m/s2, determine a distncia percorrida por esse mvel.

43> Um carro em alta velocidade (120 km/h) observa o semforo indicar vermelho. Ao mesmotempo uma pessoa atravessa sobre a faixa de segurana. Sabendo que a distncia entre o carro efaixa de segurana de 50 m, pergunta-se qual deve ser a acelerao mnima para que o carro pare a

tempo de evitar uma catstrofe.


(UNITAU-SP) 44> A equao horria do movimento de um ponto material P :s = 400 20t 4t2,


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onde o espao s dado em metros e o tempo t em segundos. A velocidade mdia de P no intervalode 0 a 5s , em m/s:(a) 40; (b) 25; (c) 120; (d) 60; (e) 30.

(ITA-SP) 45> De uma estao parte um trem A com velocidade constante vA = 80 km/h. Depois decerto tempo, parte dessa mesma estao um outro trem B, com velocidade constante vB = 100 km/h.

Depois de um tempo de percurso, o maquinista de B verifica que o seu trem se encontra a 3 km deA; a partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem umaacelerao a = - 50 km/h2. O trem A continua no seu movimento anterior. Nessas condies:(a)no houve encontro dos trens.(b)depois de duas horas o trem B pra e a distncia que o separa de A de 64 km.(c)houve encontro dos trens depois de 12 min.(d)Houve encontro dos trens depois de 36 min.(e)No houve encontro dos trens; continuam caminhando e a distncia que os separa agora de 2

km.

46> dado o grfico da velocidade em funo do tempo para um mvel que realiza um movimentoem trajetria retilnea. Classifique o movimento (MRU ou MRUV, progressivo ou retrgrado,

acelerado ou retardado) para cada um dos trechos da curva dada.

47> Um ponto material movimenta-se segundo:

s = 12 4t (SI)

Faa os grficos das funes: s = f(t), v = f(t) e a = f(t) desse movimento.

48> O espao de um ponto material varia no decurso de tempo de acordo com o grfico. Determine:(a)o espao inicial do movimento;(b)o que acontece com o ponto material no intervalo de tempo de 2 s a 5 s;(c)em que instantes o mvel passa pela origem;(d)a velocidade escalar no instante 1,5 s.


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(FUVEST-SP) 49> A tabela indica as posies s e os correspondentes instantes t de um mveldeslocando-se numa trajetria retilnea.(a)Esboce o grfico s x t desse movimento.(b)Calcule a velocidade mdia do mvel entre os instantes t = 1 s e t = 3 s.

t (s) 0 1 2 3 4 ...s (m) 0 0,4 1,6 3,6 6,4 ...

(FEI-SP) 50> O grfico da acelerao escalar de um mvel, em movimento retilneo, em funo dotempo dado na figura. Determine:(a)a acelerao escalar mdia no intervalo de 0 a 40 s;(b)o grfico da velocidade escalar em funo do tempo.Sabe-se que a velocidade inicial nula.

4 MOVIMENTOS VERTICAIS NO VCUO

4.1-INTRODUODesde a antigidade o estudo dos movimentos verticais era de grande importncia para algunscientistas conceituados, este era o caso de Galileu Galilei que fez um estudo minucioso da quedalivre. importante o aluno notar que embora o movimento seja vertical ele ficar sujeito a leis de ummovimento que j estudamos anteriormente.Outro fato muito importante que estaremos desprezando a resistncia do ar, j que todas asobservaes sero feitas para movimentos no vcuo.

4.2-QUEDA LIVREO Movimento de Queda Livre caracterizado pelo abandono de um corpo a uma certa altura emrelao ao solo.


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Analisemos a seguinte situao:

Um garoto do alto do prdioabandona uma pedra. O que eusei a respeito ?

Sua velocidade inicial vo = 0

Observa-se que a medida que a pedra vai caindo sua

velocidade aumenta.

Para velocidade aumentar necessrio que exista acelerao

com sentido para baixo.Se a pedra no possui motor deonde vem esta acelerao ?

a acelerao da gravidade, g.A acelerao constante.

IMPORTANTE:Acelerao da gravidade uma grandeza vetorial, com as seguintescaractersticas:

MDULO: g 9,8 m/s2;DIREO: Vertical;

SENTIDO: Orientado para o centro da Terra.

4.3-LANAMENTO VERTICALO que difere o lanamento vertical da queda livre o fato da velocidade inicial no primeiro serdiferente de zero. No caso da queda livre s poderemos ter movimentos no sentido de cima para

baixo, no caso do lanamento vertical poderemos ter movimentos em ambos os sentidos, ou seja, decima para baixo ou de baixo para cima.

LANAMENTO VERTICAL PARA

BAIXOLANAMENTO VERTICAL PARA CIMA


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Qual a velocidade, no pontomais alto da trajetria de um

Lanamento Vertical p/ cima ?

A velocidade igual a zero.

Qual o tipo de movimento nasubida ?

Movimento Retardado.

Qual o tipo de movimento nadescida ?

Movimento Acelerado.

4.4-DESCRIO MATEMTICA DOS MOVIMENTOS VERTICAIS NO VCUOAs equaes que descrevem os movimentos verticais no vcuo so as mesmas que apresentamos noMRUV, j que os movimentos verticais possuem acelerao constante e tambm so movimentosretilneos.Portanto as equaes que regem esses movimentos so:

QUEDA LIVRE LANAMENTO VERTICAL

FUNO DA

VELOCIDADE

v g t= . v v g to= + .

FUNOHORRIA

s g t=1

22. s s v t gto o= + +

1

22

EQUAO DE

TORRICELLIv g s2 2= . . v v g so

2 2 2= + . .

importante notar que para facilidade dos problemas, utilizamos so = 0 no caso da queda livre, ouseja colocamos nosso referencial de origem no incio do movimento.

4.4.1-ESTUDO DOS SINAIS DA ACELERAO DA GRAVIDADEO sinal da acelerao da gravidade adotado a partir do incio do movimento. Caso o incio seja decima para baixo teremos g positivo (pois o corpo estar descendo auxiliado pela gravidade). Caso oincio seja de baixo para cima, teremos g negativo (pois o corpo estar sendo lanado contra agravidade).


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IMPORTANTE:O mdulo da acelerao da gravidade varia com a altitude do localonde ela est sendo medida, mas em nosso estudo iremos consider-la constante.

EXERCCIOS

51> Uma pedra lanada do solo, verticalmente para cima, com velocidade de 18 m/s.Desprezando a resistncia do ar e adotando g = 10 m/s2, determine:(a) as funes horrias do movimento;(b) o tempo de subida;(c) a altura mxima;(d) em t = 3s, contados a partir do lanamento, o espao doa pedra e o sentido do movimento;(e) o instante e a velocidade escalar quando o mvel atinge o solo.

52> Um corpo lanado verticalmente para cima, com velocidade de 20 m/s, de um ponto situado a

160 m do solo. Despreze a resistncia do ar e adote g = 10 m/s2.(a) Qual o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo ?(b) Qual a velocidade do corpo no instante 5 s ?

53> Uma pedra abandonada do topo de um prdio e gasta exatamente 4 segundos para atingir osolo. Despreze a resistncia do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:(a)a altura do prdio;(b)o mdulo da velocidade da pedra ao atingir o solo.

DESAFIO: (UNICAMP-SP) 5> Uma torneira, situada a uma altura de 1 macima do solo, pinga lentamente razo de 3 gotas por minuto.(a) Com que velocidade uma gota atinge o solo ?(b) Que intervalo de tempo separa as batidas de duas gotas

consecutivas no solo ? Considere, para simplificar, g = 10 m/s2.


54> Uma bola de tnis arremessada verticalmente para cima, partindo do cho, com umavelocidade de 20 m/s. Em que instantes a bola estar a 15 m acima do cho ?

55> Dois mveis A e B so lanados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de

15 m/s, do mesmo ponto. O mvel A lanado no instante t = 0 e o mvel B lanado 2 s depois.Determine, a contar do ponto de lanamento, a posio e o instante do encontro dos mveis. Adoteg = 10 m/s2 e despreze a resistncia do ar.

(UNICAMP-SP) 56> Um malabarista de circo deseja Ter 3 bolas no ar em todos os instantes. Elearremessa uma bola a cada 0,40 s. (Considere g = 10 m/s2.)(a)Quanto tempo cada bola fica no ar ?(b)Com que velocidade inicial deve o malabarista atirar cada bola para cima ?(c)A que altura se elevar cada bola acima de suas mos ?


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5 MOVIMENTO CIRCULAR5.1-INTRODUOUma partcula est em movimento circular quando sua trajetria uma circunferncia, como porexemplo, a trajetria descrita por uma pedra que gira presa na ponta de um barbante ou um carrinho

num loopingde uma montanha-russa..

5.2-PERODO (T)Perodo de um movimento o intervalo de tempo mnimo para que um fenmeno cclico se repita.Estudaremos no captulo 5.5 o Movimento Circular Uniforme, para este tipo de movimento o

perodo seria o tempo gasto para o mvel completar uma volta.

UNIDADE NO SI:

=> segundos (s)

5.3-FREQNCIA (f)Freqncia de um movimento peridico o nmero de vezes de que um fenmeno se repete na

unidade de tempo. No captulo 6.5 teremos que o conceito de freqncia significar nmero devoltas realizadas na unidade de tempo.

Matematicamente temos para um nmero n de voltas em um certo intervalo de tempo t:

fn

t=

UNIDADE NO SI:

f => rotaes por segundos =>

Hertz (Hz)

Considerando uma nica volta, ou seja, n = 1, o intervalo de tempo corresponde ao perodo T, sesubstituirmos essas consideraes na relao matemtica da freqncia, encontraremos uma relaoentre freqncia e Perodo:


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fT

=1

IMPORTANTE:

O conceito de freqncia de extrema importncia para o aluno. Todosos materiais so constitudos de uma freqncia natural, inclusive o serhumano com seus batimentos cardacos. O fenmeno da ressonnciaacontece quando uma freqncia se iguala a freqncia natural de ummaterial, ela pode produzir um resultado de oscilao, apenas ou dedestruio.

Em 1o de julho de 1940, a ponte Tacoma Narrow, construda em PugetSound, no estado de Washington, EUA, foi inaugurada e caiu quatromeses depois. Um vento brando, mas com freqncia prxima dafreqncia natural da estrutura, fez a ponte oscilar com amplitudes cada

vez maiores at o rompimento de seu vo principal.

Aps a sua destruio todas as pontes, antes da construo, passaram arealizar testes em tneis de vento, somente aps a aprovao nestestestes que elas eram construdas.

IMPORTANTE:

importante dizer que os movimentos dos planetas, muitas vezesestudados como circunferncias, na realidade so movimentos elpticosque se aproximam de circunferncias, exatamente por esse fato queeles, ao nvel do 2o grau, so estudados como tal.

EXERCCIOS

57> Um motor efetua 3000 rpm. Determine a freqncia e o perodo em unidades do SI.


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58> Determine, em unidades do SI, o perodo e a freqncia nos casos abaixo:(a) ponteiro dos segundos de um relgio;(b) ponteiro dos minutos de um relgio;(c) ponteiro das horas de um relgio;(d) movimento de rotao da Terra;(e) movimento de Translao da Terra;

5.4-GRANDEZAS ANGULARESPara que tornemos mais simples o estudo do movimento circular, precisamos definir algumasgrandezas angulares que sero extremamente teis nos clculos e interpretaes desse tipo demovimento.

De modo geral, para converter uma grandeza escalar em uma grandeza angular, basta uma divisopelo raio:

Grandeza AngularGrandeza Escalar

=

Raio

5.4.1 - Espao Angular ()Considere um mvel em trajetria circular de raio R e centro C.

Podemos medir o espao desse mvel pelo ngulo , medido a partir da origem O, ou atravs doespao s, medido sobre a trajetria, evidentemente que se tratando de movimento circular muitomais simples utilizarmos a grandeza angular para localizar o mvel .

Utilizando a regra geral de converso entre grandeza angular e escalar, temos que:

=s

R

UNIDADE NO SI:

=> radiano (rad)

CONVERTENDO GRAUS EM RADIANOS:

rad 180= o 2 rad = 360o


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IMPORTANTE:Radiano o ngulo central que subentende um arco cujo a medida igualao raio da circunferncia.

5.4.2 - Deslocamento Angular ()Da mesma forma que o deslocamento escalar mostra a variao do espao de um mvel entre dois

pontos, o deslocamento angular determina a variao angular de dois pontos no MovimentoCircular.

Observe o esquema:

1 a posio angular do mvel no instante t1.2 a posio angular do mvel no instante t2.

Para determinarmos o deslocamento angular, basta fazer:

= 2 1

UNIDADE NO SI:

=> radiano (rad)

5.4.3 - Velocidade Angular Mdia (m)Velocidade angular mdia a rapidez com que um mvel varia sua posio angular num intervalode tempo t.

m t t t= =

2 1

2 1

UNIDADE NO SI:

m => radianos por segundo(rad/s)


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DINMICA6 LEIS DE NEWTON

6.1-INTRODUOA Mecnica a parte da fsica que estuda o movimento. Pelo que sabemos, h pelo menos cerca de2000 anos o homem j se preocupava em explicar os movimentos, tanto dos corpos terrestres comodos corpos celestes. No entanto, foi Isaac Newton o primeiro a apresentar uma teoria que realmenteexplicava os movimentos, em trabalho intitulado Princpios Matemticos da Filosofia Natural,

publicado em 1686. O sucesso da Mecnica Newtoniana foi imediato e duradouro; ela reinousoberanamente por mais de 200 anos.

Houve, verdade, a necessidade de alguns aperfeioamentos, os quais foram feitos mais tarde poroutros fsicos. No entanto a base da Mecnica de Newton permaneceu inalterada at o comeo dosculo XX, quando surgiram duas novas mecnicas, a Mecnica Relativstica (Albert Einstein) e aMecnica Quntica (Planck), para explicar certos fatos que a Mecnica Newtoniana no conseguiaexplicar. A partir do surgimento destas duas novas mecnicas, a Mecnica Newtoniana passou a ser

chamada de Mecnica Clssica, e esta mecnica que estaremos estudando nos prximos captulos,pois ela continua vlida para a maioria dos movimentos que lidamos. A mecnica relativstica s realmente necessria quando os corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000 km/s),enquanto a mecnica quntica s realmente necessria para o estudo dos fenmenos atmicos enucleares.

costume dividir a Mecnica Clssica em trs partes como j vimos anteriormente. A partir deagora passaremos a estudar a Dinmica parte da fsica que relaciona grandezas como velocidadeacelerao com outras grandezas, massa, fora, energia e quantidade de movimento, entre outras.Comecemos, ento este estudo pelo conceito de Fora.

6.2-FORA

O Conceito de fora est ligado a idia de empurrar ou puxar algo. Para Newton, a grandeza foraest associada mudana de velocidade e veremos isso quando estudarmos a 2a Lei de Newton.Uma caracterstica importante da Fora que ela uma grandeza vetorial, isto , para sua perfeitacaracterizao necessrio fornecer seu mdulo, sua direo e seu sentido.

UNIDADE NO SI:

F => Newton (N)


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O Princpio Fundamental (PF) nos mostra como fazer para tirar um corpo do estado de equilbrio.Em outras palavras a 2a Lei de Newton estabelece que se houver uma fora resultante atuando sobreo corpo, a velocidade vetorial desse corpo sofrer alteraes, ou seja, a fora resultante atuandosobre o corpo far surgir nele uma acelerao.

Expressando esse Princpio, matematicamente, temos:

a.mFR =

UNIDADES NO SI:

FR Fora =>Newton (N)m massa => quilograma (kg)a acelerao => metros por

segundo ao quadrado(m/s2)

ATENO!

A direo e o sentido da Fora Resultante sero sempre iguais acelerao.

EXERCCIOS

69> As figuras abaixo mostram as foras que agem em um corpo, bem como a massa de cada corpo.Para cada um dos casos apresentados, determine a fora resultante (mdulo, direo e sentido) queage sobre o corpo e a acelerao a que este fica sujeito.

(a) (b)

(c) (d)

70> A equao horria da velocidade de uma partcula em movimento retilneo v t= +4 2. (SI), sabendo que sua massa de 3 kg, determine a fora resultante que atua sobre esta partcula.


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A acelerao que o corpo adquire ao descer ou subir o plano inclinado independe da massa docorpo.

Vamos agora calcular qual a intensidade da fora normal que o plano exerce no corpo:

Sei que: yP P. cos=

Como yP

anula N

, resulta:

yN P= N P. cos=

N m.g. cos=

EXERCCIOS

75> Um corpo de massa 1 kg abandonado no ponto A doplano inclinado da figura.

Despreze os atritos, a resistncia do ar e adote g = 10 m/s2.Calcule a velocidade do corpo ao atingir o ponto B.

7.4-FORA DE ATRITO (FAT)Na maioria das vezes consideramos as superfcies de contato lisas e bem polidas, de tal forma queno exista nenhuma dificuldade para o movimento. Mas na realidade isso no ocorre, pois na

prtica deparamos com foras dificultando o movimento ou tentativa de movimento. Essas forasso chamadas de FORAS DE ATRITO. Quando existe movimento relativo entre os corpos de contatoo atrito denominado dinmico. Quando no h movimento o atrito denominado esttico.

Portanto Atrito uma fora que se ope ao movimento ou a tentativa do mesmo. Ela est ligada aomaterial que compem a superfcie de contato e fora de reao que a superfcie faz sobre o corpo.

MDULO: F Nat = . coeficiente de atrito (adimensional)

N reao normal (no SI => N)

SENTIDO: Oposto ao movimento ou tendncia de movimento.

DIREO: Tangente s superfcies de contato.


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57

IMPORTANTE:

Quando considerarmos o fio IDEAL, estaremos dizendo que o fio possui massadesprezvel e inextensvel. Na prtica o fio ideal no existe.

EXERCCIOS

77> Os corpos A e B mostrados ao lado tm massas, respectivamente,iguais a 7 kg e 3 kg. O fio e a polia so ideais e o atrito desprezvel.Adote g = 10 m/s2 e determine a acelerao do sistema e a trao no fio.

78> No sistema ao lado, calcule a acelerao dos corpos e as traes nosfios 1 e 2. Despreze os atritos. Dado: g = 10 m/s2; mA = 3 kg; mB = 2 kg.

79> Os corpos A, B e C mostrados ao lado tm massas,respectivamente, iguais a 5 kg, 7 kg e 7 kg. O fio e a polia soideais e o atrito desprezvel. Adote g = 10 m/s2 e determine:(a) a acelerao desse sistema;

(b) a trao no fio 1 e a trao no fio 2.

7.6-FORA CENTRPETAVoc deve ter reparado que, grande parte dos brinquedos dos parques de diverses executammovimento de rotao ou em trajetrias circulares. E, nesses movimentos ocorrem efeitossurpreendentes: carrinhos conseguem mover-se de cabea para baixo, pessoas mantm-se presas lateral de plataformas cilndricas girantes sem apoiar-se no piso, cadeirinhas vazias ou com pessoassentadas inclinam-se igualmente em relao vertical.

A pista do veldromo (local onde ocorrem corridas de bicicletas) possui uma inclinao. Isso

permite que os ciclistas em alta velocidade faam a curva com segurana.

Agora, como essas coisas acontecem ? O que seria o responsvel para que tudo isso acontea ? Aresposta est na idia do que fora centrpeta. Pois em todo movimento curvo existe foracentrpeta.


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Amarre uma pedra em uma das extremidades de uma corda, efaa esta pedra girar.

A trajetria da pedra circular e seu movimento ditomovimento circular.

Note que a corda age na pedra com uma fora perpendicularao seu movimento e, portanto, perpendicular velocidade;essa fora dirigida para o centro da trajetria e devido a issorecebe o nome de Fora Centrpeta.

Assim, aplicando o princpio fundamental da dinmica, observamos que o corpo possui aceleraodirigida para o centro, chamada acelerao centrpeta.

Da, temos:

cp cpF m. a=

Vimos no captulo 5, que a acelerao centrpeta dada por:2

cp

va

R=

Assim, temos:2

cp

vF m.

R=

Ou em termos da velocidade angular (), temos:

2cpF m . .R=

ATENO!

A fora centrpeta apenas a denominao particular da fora resultante que atuasobre o corpo em movimento circular uniforme, no um novo tipo de fora.

importante observar que a fora centrpeta no causa variao no mdulo da velocidade, masprovoca mudana na direo do movimento e, portanto, no vetor velocidade.


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Se o mdulo da velocidade cresce, a fora normal tambm cresce, uma vez que todas as outrasgrandezas (massa, raio e acelerao da gravidade) so constantes. Logo, a mnima velocidade paraque o trenzinho faa o looping, ser a situao em que N = 0, ou seja, o trenzinho fica na iminnciade cair e no troca foras com a superfcie interna.

Logo na equao I, temos:

2m.vmg

R= 2v Rg= v R.g=

Note que a velocidade mnima independe da massa do trenzinho. Vamos ver um exemplo:

Considere um looping de raio 10 m. Como g = 10 m/s2, temos:

v R.g=

v 10.10= v 100= Portanto: v = 10 m/s ou 36 km/h.

Para maior segurana, os projetistas do brinquedo fazem-no passar pelo ponto mais alto comvelocidades maiores que estas (acima de 70 km/h). Um dos truques utilizados para se obter oaumento da velocidade no ponto mais alto consiste em diminuir o raio da curva. por esse motivoque os loopings no so crculos perfeitos, mas apresentam um aspecto bastante caracterstico.

Essa anlise vale tambm para o motociclista no globo da morte, bem como quando um carro passasobre uma lombada.

EXERCCIOS

84> Um motociclista percorre uma trajetria circular vertical de raio 3,6 m, no interior de um globoda morte. Calcule qual deve ser o menor valor da velocidade no ponto mais alto que permita aomotociclista percorrer toda a trajetria circular. ( g = 10 m/s2)

85> Considere um carro de massa 2 000 kg percorrendo umtrecho de pista circular num plano vertical, com movimentouniforme e velocidade de 10 m/s. Considerando-se g = 10 m/s 2,ao atingir o topo da pista, cujo raio 40 m, determine a foraque a pista aplicar no carro.


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86> A figura representa o perfil de uma estrada que, no plano vertical, tem a forma de um arco decircunferncia de 20 m de raio. Qual a reao da pista sobre um carro de massa 800 kg que passa

pelo ponto mais baixo com velocidade de 72 km/h ?


87> Dois corpos A e B, de massas respectivamente iguais a 2 kg e 3 kg, esto apoiados numasuperfcie horizontal perfeitamente lisa. A fora horizontal de intensidade F = 10 N constante aplicada no bloco A. Determine:(a)a acelerao adquirida pelo conjunto;(b)a intensidade da fora que A aplica em B.

88> No arranjo experimental da figura, os corpos A, B e C tm,respectivamente, massas iguais a 2 kg, 5 kg e 3 kg. A acelerao dagravidade 10 m/s2. Os fios so ideais; no h qualquer tipo de atrito.Determine:(a)a acelerao do sistema de corpos;(b)as traes nos fios.

89> Determine a fora que o homem deve exercer no fio para manter em equilbrio esttico o corposuspenso de 120 N. Os fios so ideais e no existe nenhum tipo de atrito.


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90> Um corpo de massa m escorrega em um plano inclinado que forma com a horizontal um ngulo. Desprezando os atritos, determine a acelerao adquirida pelo corpo. dado g.

91> Refaa o exerccio anterior incluindo atrito de coeficiente .

92> No sistema da figura, o atrito entre os blocos e oplano e na roldana desprezvel. Sendo mA = 20 kg,mB = 30 kg e g = 10 m/s

2, determine:(a) a acelerao do sistema;(b) a trao no fio.

8 TRABALHO

8.1INTRODUOO estudo da grandeza fsica Energia fundamental para acompreenso de fenmenos do nosso cotidiano. Para o completoentendimento necessrio conhecer, antes, um outro conceito fsicochamado Trabalho. Passemos ao seu estudo.

8.2

TRABALHO DE UMA

FORA

CONSTANTE

Supondo a seguinte situao:Uma fora F constante atua sobre um corpo que se desloca em uma trajetria retilnea.

Por definio, temos que o trabalho realizado pela fora F sobre o corpo , no deslocamento d dadopor:

= cos.d.FW

UNIDADES NO SI:

W Trabalho => Joule (J)F mdulo da Fora =>Newton (N)

d deslocamento => metros (m)


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8.3.3 Trabalho Nulo

Quando a fora aplicada sobre o corpo perpendicular ao mesmo, o trabalho igual azero e chamado de trabalho nulo. Note que

esta fora no ser responsvel pelodeslocamento.

O Trabalho ser nulo quando:

o90=

8.4TRABALHO DE UMA FORA VARIVELQuando a fora aplicada sobre o corpo no constante, no podemos aplicar a expressomatemtica dada anteriormente, portanto necessrio buscar um outro caminho para resolver este

problema.

Observemos o grfico F x d no caso de uma fora constante.

Calculando a rea do retngulo pintadotemos:

Altura.BaseA =

F.dA = Portanto:

WA =

A pergunta : Posso utilizar este mtodo para foras variveis ?A resposta sim. exatamente esta a sada para o clculo do trabalho de fora varivel. Portanto

para se determinar o Trabalho realizado por uma fora varivel basta calcular a rea nodeslocamento considerado.


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EXERCCIOS

93> O bloco da figura, de peso P = 50 N, arrastado ao longodo plano horizontal pela fora F de intensidade F = 100 N. Afora de atrito tem intensidade Fat = 40 N.

(a)Determine o trabalho realizado, no deslocamento demdulo 10 m, pelas foras: F, Fat, P e pela reao normal

N.(b)Calcule a intensidade da fora resultante e o trabalho

dessa mesma fora no deslocamento mencionadoanteriormente.

94> Um carro de massa 1000 kg move-se sem resistnciasdissipadoras em trajetria retilnea, a partir do repouso. Ogrfico da fora motora na prpria direo do movimento representado na figura. Determine:(a)a acelerao do carro quando se encontra a 400 m da

origem;(b)o trabalho da fora F no deslocamento de 200 m a 1000

m;(c) o trabalho da fora F no deslocamento de 0 a 1000 m.

95> Do ponto de vista fsico o homem da figura, ao lado,est realizando algum tipo de trabalho ? Por que ?

8.5CASOS ESPECIAIS

8.5.1 Trabalho da Fora PesoConsiderando um corpo de massa m, que deslocado pelo campo gravitacional terrestre de um

ponto A para um ponto B, observe a figura seguinte.

O Trabalho realizado pela fora Peso no deslocamento de A para B calculado da seguinte forma:

h.PW =

como: g.mP = temos:

h.g.mW =

Se o corpo estiver subindo o trabalho ser resistente; caso contrrioele ser motor.


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(U. F. So Carlos-SP) 98> Um bloco de 10 kg movimenta-se em linha reta sobre uma mesa lisa emposio horizontal, sob a ao de uma fora varivel que atua na mesma direo do movimento,

conforme o grfico. O trabalho realizado pela fora quando o bloco se desloca da origem at oponto x = 6 m :(a) 1 J; (b) 6 J; (c) 4 J; (d) zero; (e) 2 J.

99> Um pequeno bloco de massa igual a 2 kg sobe uma rampa inclinada de 30o em relao horizontal, sob a ao de uma fora F de intensidade 20 N, conforme indica a figura. Sendo g = 10

m/s2 e h = 2 m, determine o trabalho realizado pela fora F, pelo peso P e pela normal N nodeslocamento de A para B.

8.6POTNCIAO conceito de potncia de um sistema fsico est relacionado com a rapidez que um trabalho realizado por este sistema.

A usina hidreltrica de Itaipu utiliza umagrandiosa queda dgua para gerarenergia eltrica com uma potncia de:

12 600 MW

Portanto, temos que a potncia num intervalo de tempo t em que realizado um trabalho dadopor:


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Repare que o 1o termo o trabalhoda fora resultante; o 2o e 3otermos so a energia cintica iniciale final do mvel.

AB CCREEW =

TEOREMA DA ENERGIA CINTICA

O Trabalho realizado pela fora resultante que atua sobre o corpo igual a variao da energiacintica sofrida por este corpo.

EXERCCIOS

107> Uma bala de 10 g atinge normalmente um obstculo com velocidade igual a 600 m/s e penetraa 20 cm no mesmo, na direo do movimento. Determine a intensidade da fora mdia deresistncia oposta, pela parede, penetrao, suposta constante.

108> O bloco de peso P = 10 N parte do repouso e sobe a rampa, mediante a aplicao da fora F,cujo grfico em funo de x est indicado. O trabalho da fora de atrito de A at B, em mdulo 10J. Calcule a velocidade do bloco ao atingir o ponto B.(g = 10 m/s2)

9.4ENERGIA POTENCIAL

Existe uma forma de energia que est associada a posio, oumelhor, uma energia que fica armazenada, pronta para semanifestar quando exigida, esta forma de energia recebe onome de Potencial.

Quando discutimos o conceito de trabalho, falamos sobre dois casos especiais: o trabalho do peso eda fora elstica. Esses trabalhos independem da trajetria e conduzem ao conceito de uma novaforma de energia Energia Potencial.


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9.4.1 Energia Potencial Gravitacional(EPG)Devido ao campo gravitacional um corpo nas proximidades da superfcie terrestre tende a cair emdireo ao centro da Terra, este movimento possvel devido a energia guardada que ele possua.Esta energia chamada Potencial Gravitacional.

Como calcular ?

h.g.mE GP =

UNIDADE NO SI:

EPG Energia Potencial Gravitacional => Joule (J)m massa => quilograma (kg)

g acelerao da gravidade local => metro por segundo ao quadrado(m/s2)

h altura => metro (m)

9.4.2 Energia Potencial Elstica(EPE)

Ao esticarmos ou comprimirmos uma mola ou um elstico,sabemos que quando soltarmos esta mola ela tender aretornar a sua posio natural (original). Essa tendncia deretornar a posio natural devido a algo que ficaarmazenado na mola a medida que ela esticada oucomprimida. Este algo a energia potencial elstica.

Como calcular ?

2

x.kE

2

Pel=

UNIDADE NO SI:

EPel Energia Potencial Elstica => Joule (J)k constante elstica => Newton por metro (N/m)

x deformao da mola => metro (m)

9.5PRINCPIO DE CONSERVAO DA ENERGIA MECNICAExistem determinadas situaes em que podemos perceber a energia potencial sendo transformadaem energia cintica e vice-versa.

Vejamos por exemplo a movimentao de um pndulo simples:


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BBAA PCPCEEEE +=+

EXERCCIOS

109> Uma pedra atirada verticalmente para cima com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando aresistncia do ar e adotando g = 10 m/s2, determine a altura mxima atingida pela pedra.

(FUVEST-SP) 110> Numa montanha russa, um carrinho com 300 kg de massa abandonado dorepouso de um ponto A que est a 5 m de altura. Supondo que o atrito seja desprezvel, pergunta-se:(a)o valor da velocidade do carrinho no ponto B (ele passa pelo cho logo aps passar por A).(b)a energia cintica do carrinho no ponto C que est a 4 m de altura.(c)Mostre que a energia mecnica se conserva nos 3 pontos.

111> Uma bola de massa 0,5 kg lanada verticalmente de baixo para cima, com velocidade inicialvo = 20 m/s. A altura atingida pela bola foi de 15 m. Supondo-se a acelerao da gravidade local g =

10 m/s2

, calcule a energia dissipada devido a resistncia do ar.

DESAFIO:11> Um pndulo simples, cuja esfera pendular tem massa de 1 kg, abandonado em repouso na posio A, indicada na figura. No local, aacelerao da gravidade g = 10 m/s2 e a resistncia do ar nula.Determine, quando a esfera passa pela posio B:(a)qual sua energia cintica;(b)qual sua velocidade escalar.

AC


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EXERCCIOS

116> Um ponto material fica sujeito ao de uma fora F, constante, que produz uma aceleraode 2 m/s2 neste corpo de massa 50 000 gramas. Esta fora permanece sobre o corpo durante 20 s.Qual o mdulo do impulso comunicado ao corpo ?

Fora Varivel

No caso em que a fora aplicada sobre o corpo seja varivel no podemos utilizar a frmula anteriorpara resolver, ento como faremos ?A resposta aquela utilizada para o clculo do trabalho de foras variveis, ou seja, determinar ogrfico e calcular a rea.

Imaginemos uma fora constante aplicada sobre um corpo durante um intervalo de tempo t. Ogrfico F x t seria:

Determinando a rea da parte pintada, temos:

AlturaxBaseA =

Portanto: (lembre-se: t = t2 t1)

F.tA = Finalmente:

AI =

importante dizer que esta propriedade vale tambm para o caso da fora variar.

EXERCCIOS

117> O grfico a seguir nos d a intensidade da fora que atua sobre um corpo, no decorrer dotempo. A partir desse grfico, calcule o impulso comunicado ao corpo entre os instantes t1 = 0 e t2 =

14 s.


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10.4TEOREMA DO IMPULSOEmbora no fim desta parte de nosso estudo ns cheguemos a uma expresso matemtica, o conceitodo Teorema do Impulso muito mais importante do que a matemtica dele.

Observemos a seqncia abaixo:

Imagine uma criana num balano com uma certa velocidade. Imagine tambm que num certoinstante o pai desta criana aplica-lhe uma fora durante um intervalo de tempo, ou seja, lhe d umimpulso. O resultado do impulso dado pelo pai um aumento na quantidade de movimento que o

menino possua. O teorema do impulso diz que se pegarmos o movimento que o menino passou ater no final e compararmos com o movimento que ele tinha veremos que ele ganhou um certomovimento que exatamente o impulso dado pelo pai.

Colocamos a palavra movimento entre aspas, pois na realidade a quantidade de movimento.

O Teorema do Impulso vlido para qualquer tipo de movimento. Entretanto iremos demonstr-lopara o caso de uma partcula que realiza um movimento retilneo uniformemente variado (MRUV).

Retomando o desenho do balano:

Pelo Princpio Fundamental daDinmica:

a.mFR =

Utilizando a definio de acelerao:

t

v.mFR

=


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Passando o tempo de um lado e avelocidade do outro, temos:

( )12R vv.mt.F =

Aplicando a propriedade distributiva: 12R v.mv.mt.F =

Portanto, como I = F . t e Q = m . v,o Teorema do Impulso : 12R

QQI =

TEOREMA DO IMPULSO

O impulso resultante comunicado a um corpo, num dado intervalo de tempo, igual variao na quantidade de movimento desse corpo, no mesmo intervalo de tempo.

EXERCCIOS

119> Uma fora constante atua durante 5 s sobre uma partcula de massa 2 kg, na direo e nosentido de seu movimento, fazendo com que sua velocidade escalar varie de 5 m/s para 9 m/s.Determine:(a)o mdulo da variao da quantidade de movimento;(b)a intensidade do impulso da fora atuante;(c)a intensidade da fora.

120> Um corpo lanado verticalmente para cima com velocidade inicial 20 m/s. Sendo 5 kg amassa do corpo, determine a intensidade do impulso da fora peso entre o instante inicial e oinstante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetria.

10.5PRINCPIO DA CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTOOs Princpios de Conservao, em fsica, so extremamente importantes para melhor compreensodos fenmenos do dia-a-dia e ajudam muito na resoluo de problemas complexos.

Neste caso necessrio que saibamos o conceito de Sistema Isolado; sistema no qual a resultantedas foras externas que atuam sobre ele nula.Antes de enunciarmos este princpio, vejamos sua demonstrao.

Partindo do Teorema do Impulso, temos: QI

=

Podemos escrever ainda que: Qt.F

=


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124> Um projtil de massa 20 g incide horizontalmente sobre a tbua com velocidade 500 m/s e aabandona com velocidade horizontal e de mesmo sentido de valor 300 m/s. Qual a intensidade doimpulso comunicado ao projtil pela tbua ?

125> Um vago de trem, com massa m1 = 40 000 kg, desloca-se com velocidade v1 = 0,5 m/s numtrecho retilneo e horizontal de ferrovia. Esse vago choca-se com outro, de massa m2 = 30 000 kg,

que se movia em sentido contrrio, com velocidade v2 = 0,4 m/s, e os dois passaram a se moverengatados. Qual a velocidade do conjunto aps o choque ?

126> Um tenista recebe uma bola com velocidade de 50 m/s e a rebate, na mesma direo e emsentido contrrio, com velocidade de 30 m/s. A massa da bola de 0,15 kg. Supondo que o choquetenha durado 0,1 s, calcule a intensidade da fora aplicada pela raquete bola.

DESAFIO: (ITA-SP) 13> Na figura temos uma massa M = 132 g, inicialmente emrepouso, presa a uma mola de constante elstica k = 1,6 . 104 N/m, podendose deslocar sem atrito sobre a mesa em que se encontra. Atira-se uma balade massa m = 12 g que encontra o bloco horizontalmente, com umavelocidade vo = 200 m/s incrustando-se nele. Qual a mxima deformaoque a mola experimenta ?(a) 25 cm; (b) 50 cm; (c) 5,0 cm; (d) 1,6 m; (e) n.r.a.

11 COLISES MECNICAS11.1INTRODUO

O conceito de coliso muito importante no curso de fsica, alm dos choques mais simples queiremos tratar, existem colises extremamente complexas como as estudadas por centros de pesquisacomo a NASA, colises entre partculas. Neste estudo existe a preocupao de materiais capazes aresistir a colises no espao.Portanto fiquemos atentos aos detalhes desta discusso.

11.2DEFINIOCoques mecnicos ou colises mecnicas so resultados de interao entre corpos. Podemos dividiressas interaes em duas partes:

Deformao: Onde a energia cintica convertida em energia potencial.

Restituio: A energia potencial transformada em energia cintica. Essatransformao pode ser total, parcial ou no existir.

exatamente a forma como a energia potencial restituda em energia cintica que define os tiposde colises e isso que estudaremos agora.


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11.3TIPOS DE COLISOCOLISO ELSTICA

Neste tipo de coliso a energia cintica antes da coliso igual a energia cintica aps a coliso, portanto no existe dissipao de energia. Como no houve dissipao podemos concluir que avelocidade aps a coliso trocada, ou seja a velocidade de um corpo passa para outro e vice-versa.

Esquematicamente temos:

COLISO PARCIALMENTE ELSTICA Na Coliso Parcialmente Elstica temos a energia cintica antes da coliso maior que a energiacintica aps a coliso, portanto existe

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Apostial de Física - Mecânica