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ESTTICA DAS ESTRUTURAS MTODO DE CROSS Prof. Vicente Rossi Neto O Mtodo de Cross ou mtodo da compensao dos momentos permite a resoluo de vigas e prticos hiperestticos. 1 Introduo: 1.1 Fatores de Forma: g - g - momento unitrio em A momento unitrio em B 1 1 A B A B g g l l x x x x A _______________ B A ________________ B mb 1 ma 1 x / l x / l

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l

- 1.g = Ec Ic (ma2) / ( EI) dx 0

1 1 1 para EI constante: g = Ec Ic ma2dx = Ec Ic ( x / l )2dx = Ec Ic x2dx EI 0 EI 0 l2 EI 0 g = Ec Ic . l3 = Ec Ic . l l2 EI 3 EI 3 vo reduzido: l = Ec Ic .l EI Teremos: g = l / 3

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- 1.g = Ec Ic (mb2) / ( EI) dx 0

para EI constante e integrando, teremos: g = l / 3 l

- 1. = Ec Ic (ma2 . mb2) / ( EI) dx para EI constante 0

l l = Ec Ic [( x / l ) .( x / l )] dx = Ec Ic (l x ) x dx = Ec Ic . l

EI 0 l2 EI 0 EI 6

= l / 6

g = g = 2 = l / 3

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1.2 Coeficiente de Propagao: M ( + ) [sentido horrio]

AB

B A AC C

IAB IAC lBA lAC

MAB AC . MAC _____________________________________________________________ AB . MAB MAC M = MAB + MAC onde: : rotao devido ao momento; IAB: momento de inrcia da seo no trecho AB; IAC: momento de inrcia da seo no trecho AC; lBA: vo do trecho BA da viga; lAC: vo do trecho AC da viga; AB: coeficiente de propagao do momento do apoio A para o opoio B; AC: coeficiente de propagao do momento do apoio A para o opoio C; Frmula geral: = / g 0,50

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Casos Particulares para EI constante: a) para apoio engastado: B A AB = / g = (l / 6 ) / (l / 3 ) = 0,50 AB = 0,50

b) para apoio articulado: B A AB = / g = 0 / (l / 3 ) = 0 AB = 0

1.3 Coeficiente de Rigidez: ( rigidez ao giro de uma barra em relao ao apoio articulado) 1.3.1 - Frmula geral: =1/( g . ) Para EI constante:

a) = 0,50 1 =1/( g . ) =1 / (l / 3 0,50. l/ 6) = 4 / l = 4 /l

b) = 0 1 =1/( g . ) =1 / (l / 3 0.l/ 6) = 3 /l = 3 / l

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1.3.2 - Frmula geral: i = 6 . wi / ( 2 - i ) w = I / l w: ndice de rigidez I: momento de inrcia da seo l: vo do trecho da viga exemplo: AB = 6 . wAB / ( 2 - AB ) wAB = IAB / lAB 1.4 Coeficiente de Distribuio: ( a porcentagem de influncia do momento M para cada trecho). i = i / i Obs.: No mesmo n, a soma de = 1. Exemplo: AB + AC = 1 ( 100 % ). 2 Conveno de sinais: GRINTER

( + )

( ) Se M girar o n no sentido anti-horrio: Negativo. Se M girar o n no sentido horrio: Positivo.

M > 0 horrio no n / anti-horrio na barra ( + ) ( - ) Grinter

( - ) ( - ) usual

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Portanto: GRINTER ---------------- USUAL Momento esquerda da barra: troca de sinal. Momento direita da barra: mantm o sinal. Sinais: Distribuio e Propagao M ( + ) sentido horrio ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) Na distribuio: troca o sinal (coeficiente ). Na propagao: mantm o sinal (coeficiente ).

3 Momentos de Engastamentos Perfeitos:

Podem ser determinados atravs da tabela de Grinter: (pginas 09 a 11). 4 ROTEIRO: 4.1 Nos apoios intermedirios, os ns devem ser bloqueados, ou seja, os ns

intermedirios so supostos inicialmente rgidos, isto , esto impedidos de quaisquer rotaes, passando a comportar como engastamentos perfeitos. Os ns extremos so mantidos na situao em que se encontram (articulados ou engastados);

4.2 - Com o carregamento da estrutura, determinam-se os momentos de engastamento perfeito que as barras aplicam nos ns bloqueados (tabela: pginas 09; 10; 11);

4.3 Determina-se, para cada n intermedirio, os coeficientes (propagao), (rigidez) e (distribuio) das barras que concorrem a este n;

4.4 - Desbloqueia-se um dos ns intermedirios, sendo que os restantes permanecem bloqueados. No caso, dos momentos aplicados se equilibrarem neste n desbloqueado, o n no sofrer rotao. Caso contrrio, havendo um momento no equilibrado M

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ocorrer, que nas barras que concorrem a este n ficaram solicitadas por M. Nesta situao, cada barra aplicar no n o momento Mi = - i M. Calculados os momentos Mi necessrio transmiti-los para os outros ns, atravs dos coeficientes . Estas operaes recebem o nome de compensao do n liberado.

4.5 - Terminada a compensao de um n, ele novamente bloqueado. Passa-se a libertar outro n intermedirio caso exista, repetindo as operaes do item 4.4. No clculo dos momentos no equilibrados M, alm dos momentos de engastamento perfeito devem ser considerados os eventuais momentos transmitidos pela compensao dos ns vizinhos;

4.6 - O processo esta concludo quando todos os ns intermedirios, que no eram engastamentos perfeitos na estrutura real, possam ser simultaneamente libertados, sem que na estrutura apaream momentos no equilibrados;

4.7 - A soma dos momentos parciais que cada barra aplica ao mesmo n fornece o momento que na estrutura real, esta barra aplica a esse n;

OBS.: 1 Terminada a compensao de um n conveniente fazer um trao sob os valores de Mi; Caso seja necessrio libertar o mesmo n novamente, em outras etapas posteriores, o trao indicar que todos os momentos escritos acima dele j esto equilibrados, portanto no so computados no clculo dos novos M; 2 A ordem em que os ns so liberados no altera os resultados. Para acelerar o processo conveniente iniciar pelo n com o maior momento no equilibrado, alternando os ns, ou seja, libertando, por exemplo, os ns pares (um de cada vez) e em seguida os ns mpares, e assim sucessivamente; 3 Deve-se evitar o clculo com decimais. Para isto, multiplica-se os momentos de engastamento perfeito por uma potncia de 10 de modo que, desprezando no clculo a parte decimal, obtem-se os resultados com uma aproximao desejada. DETERMINAO DO ESFORO CORTANTE E DA REAO DE APOIO: 1 Determina-se o cortante na etapa isosttica: V(Isosttico);

2 Determina-se M /l (M = MDIREITA MESQUERDA) ou (M = MAB MBA); Obs: MDIREITA e MESQUERDA: com os sinais na USUAL.

3 Determina-se o cortante real: V = V (Isosttico) + M /l; 4 Determina-se as reaes de apoio: R = VDIREITA VESQUERDA.

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