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APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL E FUNDAMENTAL

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APOSTILA DE MATEMTICA SANTO AMARO NVEL MDIO BA 2011

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Nota ao concurseiro: O material a seguir segue a ordem e lgica matemtica do edital corrente, para um melhor aprendizado siga a sequncia das matrias abaixo: CONTEDO DO EDITAL:Nmeros Naturais e Inteiros, Divisibilidade, MMC, MDC, Decomposio em Fatores Primos, Nmeros Racionais, Noes de Nmeros Reais, Relao de Ordem, Valor Absoluto, Equao de 1 e 2 Grau, Problemas com as quatro operaes, Funo do 1 e 2 Grau, Progresso Aritmtica e Geomtrica, Soma de Nmero Finito de Termos de uma PA e de uma PG, Porcentagem, Razo, Proporo, Juros Simples e Noes de Estatstica.

CONTEDO: NMEROS NATURAIS E INTEIROS: Introduo aos Nmeros Naturais O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra maiscula N e estes nmeros so construdos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que tambm so conhecidos como algarismos indo-arbicos. No sculo VII, os rabes invadiram a ndia, difundindo o seu sistema numrico. Embora o zero no seja um nmero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos consider-lo como um nmero natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algbricas que os nmeros naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numerao para suprir a deficincia de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas histricas sobre o zero ou Notao Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belssimo livro: "Histria Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah. Na sequncia consideraremos que os naturais tm incio com o nmero zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Representaremos o conjunto dos nmeros naturais com a letra N. As reticncias (trs pontos) indicam que este conjunto no tem fim. N um conjunto com infinitos nmeros. Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto ser representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} A construo dos Nmeros Naturais 1. Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vem depois do nmero dado), considerando tambm o zero. Exemplos: Seja m um nmero natural.

(a) (b) (c) (d)

O O O O

sucessor sucessor sucessor sucessor

de de de de

m m+1. 0 1. 1 2. 19 20.

2. Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos. Exemplos: (a) 1 e 2 so nmeros consecutivos. (b) 5 e 6 so nmeros consecutivos. (c) 50 e 51 so nmeros consecutivos. 3. Vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos. (b) 5, 6 e 7 so consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos. 4. Todo nmero natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem antes do nmero dado). Exemplos: Se m um nmero natural finito diferente de zero. (a) O antecessor do nmero m m-1. (b) O antecessor de 2 1. (c) O antecessor de 56 55. (d) O antecessor de 10 9. O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais pares. Embora uma seqncia real seja um outro objeto matemtico denominado funo, algumas vezes utilizaremos a denominao sequncia dos nmeros naturais pares para representar o conjunto dos nmeros naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais mpares, s vezes tambm chamado, a sequncia dos nmeros mpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Igualdade e Desigualdades Diremos que um conjunto A igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A est contido no conjunto B e o conjunto B est contido no conjunto A. Quando a

condio acima for satisfeita, escreveremos A=B (l-se: A igual a B) e quando no for satisfeita denotaremos tal fato por:

(l-se: A diferente de B). Na definio de igualdade de conjuntos, vemos que no importante a ordem dos elementos no conjunto. Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A so os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situao em que os elementos dos conjuntos A e B sero distintos. Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A esto no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B esto no conjunto A. Tambm no podemos afirmar que um conjunto maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A diferente do conjunto B. Exerccio: H um espao em branco entre dois nmeros em cada linha. Qual o sinal apropriado que deve ser posto neste espao: ou =?159 852 587 170 321 587

Exerccio: Representar analiticamente cada conjunto, isto , atravs de alguma propriedade e depois por extenso, apresentando os elementos: a. Conjunto N dos nmeros Naturais b. Conjunto P dos nmeros Naturais Pares c. Conjunto I dos nmeros Naturais mpares d. Conjunto E dos nmeros Naturais menores que 16 e. Conjunto L dos nmeros Naturais maiores que 11 f. Conjunto R dos nmeros Naturais maiores ou iguais a 28 g. Conjunto C dos nmeros Naturais que esto entre 6 e 10 Operaes com Nmeros Naturais Na sequncia, estudaremos as duas principais operaes possveis no conjunto dos nmeros naturais. Praticamente, toda a Matemtica construda a partir dessas duas

operaes: adio e multiplicao. A adio de nmeros naturais A primeira operao fundamental da Aritmtica, tem por finalidade reunir em um s nmero, todas as unidades de dois ou mais nmeros. Antes de surgir os algarismos indo-arbicos, as adies podiam ser realizadas por meio de tbuas de calcular, com o auxlio de pedras ou por meio de bacos.

Propriedades da Adio 1. Fechamento: A adio no conjunto dos nmeros naturais fechada, pois a soma de dois nmeros naturais ainda um nmero natural. O fato que a operao de adio fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A adio uma lei de composio interna no conjunto N.

2. Associativa: A adio no conjunto dos nmeros naturais associativa, pois na adio de trs ou mais parcelas de nmeros naturais quaisquer possvel associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com trs nmeros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que igual soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3. Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, existe o elemento neutro que o zero, pois tomando um nmero natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado ser o prprio nmero natural.

4. Comutativa: No conjunto dos nmeros naturais, a adio comutativa, pois a ordem das parcelas no altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Curiosidade: Tabela de adio Para somar dois nmeros, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um nmero na 1a. coluna e um segundo nmero na 1a. linha. Na interseo da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos nmeros.0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8 9 10 9 10 11

9 10 11 12

9 10 11 12 13

9 10 11 12 13 14

9 10 11 12 13 14 15

9 10 11 12 13 14 15 16

9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Por exemplo, se tomarmos o nmero 7 na linha horizontal e o nmero 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que est no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6. Multiplicao de Nmeros Naturais a operao que tem por finalidade adicionar o primeiro nmero denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas so as unidades do segundo nmero denominado multiplicador. Exemplo: 4 vezes 9 somar o nmero 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 O resultado da multiplicao denominado produto e os nmeros dados que geraram o produto, so chamados fatores. Usamos o sinal ou ou x, para representar a multiplicao. Propriedades da multiplicao 1. Fechamento: A multiplicao fechada no conjunto N dos nmeros naturais, pois realizando o produto de dois ou mais nmros naturais, o resultado estar

em N. O fato que a operao de multiplicao fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A multiplicao uma lei de composio interna no conjunto N.

2. Associativa: Na multiplicao, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro nmero natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m.n).p = m.(n.p) (3.4).5 = 3.(4.5) = 60 3. Elemento Neutro: No conjunto dos nmeros naturais existe um elemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que seja o nmero natural n, tem-se que: 1.n = n.1 = n 1.7 = 7.1 = 7 4. Comutativa: Quando multiplicamos dois nmeros naturais quaisquer, a ordem dos fatores no altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m.n = n.m 3.4 = 4.3 = 12 Propriedade Distributiva Multiplicando um nmero natural pela soma de dois nmeros naturais, o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q 6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48 Diviso de Nmeros Naturais

Dados dois nmeros naturais, s vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo est contido no primeiro. O primeiro nmero que o maior denominado dividendo e o outro nmero que menor o divisor. O resultado da diviso chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos nmeros naturais, a diviso no fechada, pois nem sempre possvel dividir um nmero natural por outro nmero natural e na ocorrncia disto a diviso no exata. Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturais 1. Em uma diviso exata de nmeros naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 2. Em uma diviso exata de nmeros naturais, o dividendo o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 3. A diviso de um nmero natural n por zero no possvel pois, se admitssemos que o quociente fosse q, ento poderiamos escrever: n0=q e isto significaria que: n=0xq=0 o que no correto! Assim, a diviso de n por 0 no tem sentido ou ainda dita impossvel. Exerccio: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y. Potenciao de Nmeros Naturais Para dois nmeros naturais m e n, a expresso mn um produto de n fatores iguais ao nmero m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezes O nmero que se repete como fator denominado base que neste caso m. O nmero de vezes que a base se repete denominado expoente que neste caso n. O resultado donominado potncia. Esta operao no passa de uma multiplicao com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 2 2 = 8 43 = 4 4 4 = 64

Propriedades da Potenciao 1. Uma potncia cuja base igual a 1 e o expoente natural n, denotada por 1n, ser sempre igual a 1. Exemplos: a. 1n = 11...1 (n vezes) = 1 b. 13 = 111 = 1 c. 17 = 1111111 = 1 2. Se n um nmero natural no nulo, ento temos que no=1. Por exemplo: (a) n = 1 (b) 5 = 1 (c) 49 = 13. A potncia zero elevado a zero, denotada por 0o, carente de sentido no

contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero? 4. Qualquer que seja a potncia em que a base o nmero natural n e o expoente igual a 1, denotada por n1, igual ao prprio n. Por exemplo: (a) n = n (b) 5 = 5 (c) 64 = 64 5. Toda potncia 10n o nmero formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a. 103 = 1000 b. 108 = 100.000.000 c. 10o = 1 Potenciao com o browser Para obter uma potncia Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando: javascript:Math.pow(12,5) exatamente da forma como est escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que est sendo acessado neste momento (location=endereo). Aps isto, pressione a tecla ENTER. Voc ver uma nova janela com a resposta 248832

Para sair da janela com a resposta, pressione o boto Voltar (Back) de seu browser. Nmeros grandes No livro "Matemtica e Imaginao", o matemtico americano Edward Kasner apresentou um nmero denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros. 1 Googol = 10100 Ele pensou que este era um nmero superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol um pouco maior do que o nmero total de partculas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espao com estas partculas fosse comprimido de uma forma slida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partculas. Outro matemtico criou ento o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol. 1 Googolplex = 10Googol Exerccios 1. Na figura abaixo, insira os nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos crculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.

2. Um gavio viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse: Ol minhas 100 pombinhas. Uma delas respondeu: No somos 100 no meu caro gavio, seremos 100, ns, mais dois tantos de ns e mais voc meu caro gavio. Quantos pombos h neste grupo? 3. Trs homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no mximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual ser o processo para eles atravessarem o rio sem afundar? 4. Forme um quadrado mgico com os nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos nmeros de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal dever ser sempre igual a 15. Mltiplos de nmeros Naturais

Diz-se que um nmero natural a mltiplo de outro natural b, se existe um nmero natural k tal que: a=kb Exemplos: (a) 15 (b) 24 (c) 24 (d) 27

mltiplo mltiplo mltiplo mltiplo

de de de de

5, 4, 6, 9,

pois pois pois pois

15=35. 24=64. 24=46. 27=39.

Se a=kb, ento a mltiplo de b, mas tambm, a mltiplo de k, como o caso do nmero 35 que mltiplo de 5 e de 7, pois: 35=75 Se a=kb, ento a mltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus mltiplos, basta fazer k assumir todos os nmeros naturais possveis. Para obter os mltiplos de 2, isto , os nmeros da forma a=k2 onde k substitudo por todos os nmeros naturais possveis. A tabela abaixo nos auxiliar: 0=02, 2=12, 4=22, 6=32, 8=42, 10=52, 12=62 O conjunto dos nmeros naturais infinito, assim existem infinitos mltiplos para qualquer nmero natural. Se y um nmero natural, o conjunto de todos os mltiplos de y, ser denotado por M(y). Por exemplo: M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... } M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... } Observao: Como estamos considerando 0 como um nmero natural, ento o zero ser mltiplo de todo nmero natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo: 0=02, 0=05, 0=012, 0=015 Observao: Um nmero b mltiplo dele mesmo. a = 1 b se, e somente se, a=b Por exemplo, basta tomar o mesmo nmero multiplicado por 1 para obter um mltiplo dele prprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15. Divisores de nmeros Naturais A definio de divisor est relacionada com a de mltiplo. Um nmero natural b divisor do nmero natural a, se a mltiplo de b.

Exemplo: 3 divisor de 15, pois 15=35, logo 15 mltiplo de 3 e tambm mltiplo de 5. Um nmero natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o nmero 6 poder ter no mximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos nmeros naturais no podemos dividir 6 por um nmero maior do que ele. Os divisores de um nmero y tambm formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y). Exemplos: (a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6} (b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18} (c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15} Observao: O nmero zero mltiplo de todo nmero natural e alm disso, zero no divide qualquer nmero natural, exceto ele prprio. Se aceitarmos que 60=b, ento teremos que admitir que: 6=0xb mas no existe um nmero b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a diviso de 6 por 0 impossvel. A diviso de 0/0 (zero por zero) indeterminada, o que significa que pode existir uma situao que ela passe a ter significado, no sentido seguinte: Se aceitarmos que 00=X, ento poderemos escrever que: 00=X1 Como temos uma igualdade de fraes, gerando uma proporo, deveremos aceitar que o produto dos meios igual ao produto dos extremos nesta proporo e assim: 01=0X=0 que no contraditrio e isto pode ser realizado para todo X real, razo pela qual a expresso da forma 00 dita indeterminada. Nmeros primos Um nmero primo um nmero natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos: (a) 1 no primo pois D(1)={1} (b) 2 primo pois D(2)={1,2} (c) 3 primo pois D(3)={1,3} (d) 5 primo pois D(5)={1,5} (e) 7 primo pois D(7)={1,7} (f) 14 no primo pois D(14)={1,2,7,14} Observao: 1 no primo pois tem apenas 1 divisor e todo nmero natural pode ser escrito como o produto de nmeros primos, de forma nica. Crivo de Eratstenes um processo para obter nmeros primos menores do que um determinado nmero natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n nmeros naturais. Para determinar os nmeros primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos. 1. Antes de iniciar, lembramos que 1 no um nmero primo. 2. Marcamos o nmero 2, que o primeiro nmero primo e eliminamos todos os mltiplos de 2 que encontrarmos na tabela. 3. Marcamos o nmero 3 e eliminamos todos os mltiplos de 3 que encontrarmos na tabela. 4. Determinamos o prximo nmero primo, que ser o prximo nmero no marcado da tabela e eliminamos todos os mltiplos desse nmero primo que encontrarmos na tabela. 5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o prximo nmero primo. 6. Os nmeros que no foram eliminados so os nmeros primos.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Na tabela, listamos os 100 primeiros nmeros naturais, indicando com a cor mais forte os nmeros primos e com a cor clara os nmeros que no so primos. Como

exemplo, 2 primo, enquanto 25 no primo, pois mltiplo de 5. No quadro abaixo, mostramos os nmeros primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratstenes. P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97} Mnimo Mltiplo Comum Diz-se que um nmero m mltiplo comum dos nmero a e b se m mltiplo de a e tambm mltiplo de b, ou seja. m=ka e m=wb onde k e w nmeros naturais. Exemplos: Mltiplos comuns (a) 24 mltiplo comum de 6 e 8. (b) 15 mltiplo comum de 3 e 5. Determinaremos agora todos os nmeros que tem 18 como mltiplo comum, o que o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18. 18 mltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18 18 mltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9 18 mltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6 O nmero 18 mltiplo comum de todos os seus divisores, logo: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 } Agora obteremos os mltiplos comuns dos nmeros a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos mltiplos de a, por M(b) o conjunto dos mltiplos de b e tomaremos a interseo entre os conjuntos M(a) e M(b). Exemplo: Mltiplos comuns de 3 e 5. M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...} M(3) M(5)={0,15,30,45,...} Como estamos considerando 0 (zero) como nmero natural, ele ir fazer parte dos conjuntos de todos os mltiplos de nmeros naturais e ser sempre o menor mltiplo comum, mas por definio, o Mnimo Mltiplo Comum (MMC) de dois ou mais nmeros naturais o menor mltiplo comum a esses nmeros que diferente de zero. Logo, no conjunto: M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...} o Mnimo Mltiplo Comum entre 3 e 5 igual a 15.

Ao trabalhar com dois nmeros a e b, utilizamos a notao MMC(a,b) para representar o Mnimo Mltiplo Comum entre os nmeros naturais a e b, lembrando sempre que o menor mltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo: M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...} M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...} MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12 O conjunto dos mltiplos do MMC(a,b) igual ao conjunto dos mltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5: M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...} M(3) M(5)={0,15,30,45,...} M(15)={0,15,30,45,60,...} Observe que M(15)=M(3) M(5) Mtodo prtico para obter o MMC Do ponto de vista didtico, o processo acima excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um mtodo prtico para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos. 1. Em um papel faa um trao vertical, de forma que sobre espao livre tanto direita como esquerda do trao.| | |

2. esquerda do trao escreva os nmeros naturais como uma lista, separados por vrgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do trao vertical e do lado direito do trao poremos o menor nmero primo que divide algum dos nmeros da lista que est esquerda. Aqui usamos o 2.12 22 28 | | | 2

3. Dividimos todos os nmeros da lista da esquerda, que so mltiplos do nmero primo que est direita do trao, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divises (possveis) e com os nmeros que no foram divididos.12 22 28 | 6 11 14 | | 2

|

4. Repetimos a partir do passo 3 at que os valores da lista que est do lado esquerdo do trao se tornem todos iguais a um.12 22 28 | 2 6 11 14 | 2 3 11 7 | 3 1 11 7 | 7 1 11 1 | 11 1 1 1 | 924

5. O MMC o produto dos nmeros primos que colocamos do lado direito do trao e neste caso: MMC(12,22,28)=924. Exemplo: Obtemos o MMC dos nmeros 12 e 15, com a tabela:12 15 | | |

e depois dividimos todos os nmeros da lista da esquerda pelos nmeros primos (quando a diviso for possvel), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 o produto de todos os nmeros primos que colocamos do lado direito do trao.12 15 | 2 6 15 | 2 3 15 | 3 1 5 | 5 1 1 | 60

Mximo Divisor Comum Para obter o Mximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vrios nmeros naturais. Um nmero d divisor comum de outros dois nmeros naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que: a = k1 d e b = k2 d Exemplos: Divisores comuns. (a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8. (b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3. Observao: Um nmero d divisor de todos os seus mltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois nmeros finito, pois o conjunto dos divisores de um nmero finito. O conjunto dos divisores de um nmero natural y, ser denotado por D(y).

Obteremos agora os divisores comuns aos nmeros 16 e 24, isto , obteremos a interseo entre os conjunto D(16) e D(24). D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 } D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D(16) D(24)={1, 2, 4, 8} Ocorre que o menor divisor comum entre os nmeros 16 e 24, 1, assim no interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores. Denotaremos por MDC(a,b), o Mximo Divisor Comum entre os nmeros naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, ento: MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8 Mtodo prtico para obter o MDC De forma similar ao clculo do MMC(a,b), temos tambm um procedimento prtico para determinar o MDC(a,b) entre dois nmeros naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada nmero pode ser trabalhoso. Para introduzir este mtodo, determinaremos o MDC entre os nmeros 30 e 72, a ttulo de exemplo. 1. Construmos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os nmeros dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.72 30

2. Realizamos a diviso do maior pelo menor colocando o quociente no espao sobre o nmero menor na primeira linha e o resto da diviso no espao logo abaixo do maior nmero na terceira linha.2 72 30 12

3. Passamos o resto da diviso para o espao localizado direita do menor nmero na linha central.2 72 30 12 12

4. Realizamos agora a diviso do nmero 30, pelo resto obtido anteriormente que 12. Novamente, o quociente ser colocado sobre o nmero 12 e o resto da diviso ficar localizado abaixo do nmero 30.2 2 72 30 12 12 6

5. Realizamos agora a (ltima!) diviso do nmero 12, pelo resto obtido anteriormente que 6. De novo, o quociente ser posto sobre o nmero 6 e o resto da diviso ficar localizado abaixo do nmero 12.2 2 72 30 12 12 6 0 2 6

6. Como o resto da ltima diviso 0 (zero), o ltimo quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por: MDC(30,72) = 6 Exerccios: a. Se a diferena entre dois nmeros naturais 126 e o mximo divisor comum entre eles 18, quais so esses nmeros? Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser mltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=187, o que equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18. b. Se a soma de dois nmeros naturais 420 e o mximo divisor comum entre eles 60, quais so esses nmeros? Soluo: Sejam X e Y os nmeros procurados. Se MDC(X,Y)=60, os nmeros X e Y devem ser mltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b so nmeros inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher nmeros naturais tal que a+b=7, e assim, temos vrias opes. Se a=6 e b=1 ento X=360 e Y= 60 Se a=5 e b=2 ento X=300 e Y=120 Se a=4 e b=3 ento X=240 e Y=180 Se a=3 e b=4 ento X=180 e Y=240 Se a=2 e b=5 ento X=120 e Y=300 Se a=1 e b=6 ento X= 60 e Y=360 c. Se a diviso entre dois nmeros naturais igual a 6/5 e o mximo divisor comum entre eles 15, quais so esses nmeros? Soluo: Sejam X e Y os nmeros procurados. Se MDC(X,Y)=15, ento X e Y

devem ser mltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas solues para o problema, so: Se a= 6 e b= 5 ento X= 90 e Y= 75 Se a=12 e b=10 ento X=180 e Y=150 Se a=18 e b=15 ento X=270 e Y=225 Relao entre o MMC e MDC Uma relao importante e bastante til entre o MMC e o MDC o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) igual ao produto de a por b, isto : MDC(a,b) MMC(a,b) = a b MDC(12,15) MMC(12,15)=12 15 Esta relao til quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois nmeros, basta encontrar um deles e usar a relao acima. Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo obter o que for possvel. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)MMC(15,20)=1520 e fazer: 5 MMC(15,20) = 300 de onde se obtm que MMC(15,20)=60. Exerccio: Se a soma de dois nmeros 320 e o mnimo mltiplo comum entre eles 600, quais so esses nmeros? Qual o mximo divisor comum entre eles? Soluo: Se X e Y so os nmeros procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600): {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600} Pares de nmeros deste conjunto que somam 320, so: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par no serve pois MMC(300,20)=300. Os nmeros que servem so X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40. Primos entre si Dois nmeros naturais so primos entre si quando o MDC entre eles igual a 1. Por exemplo, 16 no um nmero primo, 21 tambm no um nmero primo mas 16 e 21 so primos entre si pois MDC(16,21)=1. Radiciao de nmeros naturais Radiciao de ordem n o processo pelo qual dado um nmero natural a devemos determinar um nmero natural b tal que:

bn = a onde n um nmero natural. o processo inverso da potenciao. Neste trabalho, representaremos a operao de radiciao por Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n), que se l: raiz n-sima de a. Uma notao simples e muito comum no meio cientfico aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n). Raiz quadrada: A raiz quadrada de um nmero no negativo (no somente natural) um outro nmero no negativo b tal que: b2 = a A raiz quadrada de um nmero a>0 pode ser denotada por a1/2. Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numrico de b de forma que: b2 = b b = 36 Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores at que o divisor seja igual ao quociente 362=18, 363=12, 364=9, 366=6 Portanto 6 a raiz quadrada de 36. Raiz cbica: A raiz cbica de um nmero (no somente natural) a um nmero b tal que: b3 = b . b . b = a A raiz cbica de um nmero a pode ser denotada por a1/3. Exemplo: Para determinar a raiz cbica de 64, deve-se obter um nmero b de forma a obter b3=bbb=64 Por tentativa, temos: 111=1, 222=8, 333=27, 444=64 Portanto 4 raiz cbica de 64.

Em estudos mais avanados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cbica de um nmero no necessariamente natural, com qualquer preciso que se queira.

NMEROS INTEIROS: Curiosidades com nmeros inteiros 12345679 x 9 = 111111111 12345679 x 18 = 222222222 12345679 x 27 = 333333333 12345679 x 36 = 444444444 12345679 x 45 = 555555555 12345679 x 54 = 666666666 12345679 x 63 = 777777777 12345679 x 72 = 888888888 12345679 x 81 = 999999999 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 x x x x x x x x x x x x x x x x x 9 + 7 98 + 6 987 + 5 9876 + 4 98765 + 3 987654 + 2 9876543 + 1 98765432 + 0 = = = = = = = = 88 888 8888 88888 888888 8888888 88888888 888888888 = = = = = = = = = 11 111 1111 11111 111111 1111111 11111111 111111111 1111111111 = = = 121 12321 1234321

1 + 2 12 + 3 123 + 4 1234 + 5 12345 + 6 123456 + 7 1234567 + 8 12345678 + 9 123456789 + 10

11 x 11 111 x 111 1111 x 1111

11111 x 11111 111111 x 111111 1111111 x 1111111 11111111 x 11111111 111111111 x 111111111 9 99 999 9999 99999 999999 9999999 99999999 x x x x x x x x 7 77 777 7777 77777 777777 7777777 77777777 x x x x x x x x x x x x 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 + + + + + + + + + + + + 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1

= 123454321 = 12345654321 = 1234567654321 = 123456787654321 = 12345678987654321

= 63 = 7623 = 776223 = 77762223 = 7777622223 = 777776222223 = 77777762222223 = 7777777622222223 = = = = = = = = = = = = 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000 100000000000 1000000000000

1 14 142 1428 14285 142857 1428571 14285714 142857142 1428571428 14285714285 142857142857 9 99 999 9999 99999 999999 12 x 12 13 x 13 102x102 103x103 112x112 122x122 x x x x x x = = = = = =

9 99 999 9999 99999 999999 144, 169, 10404, 10609, 12544, 14884,

= 81 = 9801 = 998001 = 99980001 = 9999800001 = 999998000001 21 x 21 31 x 31 201x201 301x301 211x211 221x221 = = = = = = 441 961 40401 90601 44521 48841

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1 100 = 1+2+3+4+5+6+7+89 134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9 1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

45 = 8+12+5+20, 8+2=12-2=5x2=202=10 100 = 12+20+4+64, 12+4=20-4=4x4=644=16 225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=22 5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1) Notao: Para indicar que um nmero x est elevado a y, escreverei x^y, que uma notao comum no meio cientfico. Introduo aos nmeros inteiros Na poca do Renascimento, os matemticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de nmero, que pudesse ser a soluo de equaes to simples como: x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0 As Cincias precisavam de smbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0 C, por exemplo. Astrnomos e fsicos procuravam uma linguagem matemtica para expressar a atrao entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma fora sobre outro corpo, este reage com uma fora de mesma intensidade e sentido contrrio. Mas a tarefa no ficava somente em criar um novo nmero, era preciso encontrar um smbolo que permitisse operar com esse nmero criado, de modo prtico e eficiente. Sobre a origem dos sinais A idia sobre os sinais vem dos comerciantes da poca. Os matemticos encontraram a melhor notao para expressar esse novo tipo de nmero. Veja como faziam tais comerciantes: Suponha que um deles tivesse em seu armazm duas sacas de feijo com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijo, ele escrevia o nmero 8 com um trao (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para no se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijo. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o nmero 2 com dois traos cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijo a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notao,os matemticos poderiam, no somente indicar as quantidades, mas tambm representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atravs de nmeros, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Nmeros Inteiros Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos nmeros inteiros excludo o nmero zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observao: No existe padronizao para estas notaes. Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z construir uma reta numerada, considerar o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros inteiros obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, no haveria qualquer problema. Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os nmeros inteiros possuem um e somente um antecessor e tambm um e somente um sucessor. Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: (a) 3 sucessor de 2 (b) 2 antecessor de 3

(c) (d) (e) (f) (g) (h)

-5 -4 0 1 -1 -2

antecessor de -4 sucessor de -5 antecessor de 1 sucessor de 0 sucessor de -2 antecessor de -1

Todo nmero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto -z e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto z como -z esto mesma distncia da origem do conjunto Z que 0. Exemplos: (a) O oposto de ganhar perder, logo o oposto de +3 -3. (b) O oposto de perder ganhar, logo o oposto de -5 +5. Mdulo de um nmero Inteiro O mdulo ou valor absoluto de um nmero Inteiro definido como sendo o maior valor (mximo) entre um nmero e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim: |x| = max{-x,x} Exemplos: (a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6 Observao: Do ponto de vista geomtrico, o mdulo de um nmero inteiro corresponde distncia deste nmero at a origem (zero) na reta numrica inteira. Soma (adio) de nmeros inteiros Para melhor entendimento desta operao, associaremos aos nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 perder 3 + perder 4 = perder 7 ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (+3) + (+4) = (+7) (-3) + (-4) = (-7) (+8) + (-5) = (+3) (-8) + (+5) = (-3)

Ateno: O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 Propriedades da adio de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a adio, isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a+(b+c)=(a+b)+c 2+(3+7)=(2+3)+7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a+b=b+a 3+7=7+3 Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto : z+0=z 7+0=7 Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0 Multiplicao (produto) de nmeros inteiros A multiplicao funciona como uma forma simplificada de uma adio quando os nmeros so repetidos. Poderiamos analisar tal situao como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos que a multiplicao um caso particular da adio onde os valores so repetidos. Na multiplicao o produto dos nmeros a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicao de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra de sinais:

(+1) (+1) (-1) (-1)

(+1) (-1) (+1) (-1)

= = = =

(+1) (-1) (-1) (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos nmeros Resultado do produto iguais positivo diferentes negativo

Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: ax(bxc)=(axb)xc 2x(3x7)=(2x3)x7 Comutativa: Para todos a,b em Z: axb=bxa 3x7=7x3 Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto : zx1=z 7x1=7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que z x z-1 = z x (1/z) = 1 9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1 Propriedade mista (distributiva) Distributiva: Para todos a,b,c em Z: ax(b+c)=(axb)+(axc) 3x(4+5)=(3x4)+(3x5) Potenciao de nmeros inteiros A potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente. an = a a a a ... a

a multiplicado por a n vezes Exemplos: a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b. (-2) = (-2) x (-2) x (-2) = -8 c. (-5) = (-5) x (-5) = 25 d. (+5) = (+5) x (+5) = 25 com os exemplos acima, podemos observar que a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente par um nmero positivo e a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente mpar um nmero que conserva o seu sinal. Observao: Quando o expoente n=2, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente n=3, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras so provenientes do fato que rea do quadrado pode ser obtida por A=a onde a a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a onde a a medida do lado do cubo. Potenciao com o browser Para obter a potncia Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando: javascript:Math.pow(12,5) exatamente da forma como est escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que est sendo acessado neste momento (location=endereo). Aps isto, pressione a tecla ENTER. Voc ver uma nova janela com a resposta 248832 Para sair da janela com a resposta, pressione o boto Voltar (Back) de seu browser. Radiciao de nmeros inteiros A raiz n-sima (de ordem n) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro no negativo b que elevado potncia n fornece o nmero a. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero a o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observao seguinte para entender as razes pelas quais no uso o smbolo de radical neste trabalho. Observao: Por deficincia da linguagem HTML, que at hoje no implementou o sinal de raiz n-sima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-sima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um nmero inteiro a como R[a]. Assim, b a raiz n-sima de a se, e somente se, a=bn, isto :

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn A raiz quadrada (de ordem 2) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro no negativo que elevado ao quadrado coincide com o nmero a. Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero inteiro negativo no conjunto dos nmeros inteiros. A existncia de um nmero cujo quadrado igual a um nmero negativo s ser estudada mais tarde no contexto dos nmeros complexos. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: R[9] = 3 mas isto est errado. O certo : R[9] = +3 Observamos que no existe um nmero inteiro no negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nmero negativo. A raiz cbica (de ordem 3) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao nmero a. Aqui no restringimos os nossos clculos somente aos nmeros no negativos. Exemplos: (a) R[8] (b) R[-8] (c) R[27] (d) R[-27] = 2, pois 2 = 8. = -2, pois (-2) = -8. = 3, pois 3 = 27. = -3, pois (-3) = -27.

Observao: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de nmeros inteiros, conclumos que: (a) Se o ndice da raiz for par, no existe raiz de nmero inteiro negativo. (b) Se o ndice da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero inteiro. DIVISIBILIDADE: Alguns critrios de divisibilidade Divisibilidade por 2 Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: O nmero 5634 divisvel por 2, pois o seu ltimo algarismo 4, mas 135 no divisvel por 2, pois um nmero terminado com o algarismo 5 que no

par. Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por 3 se a soma de seus algarismos divisvel por 3. Exemplos: 18 divisvel por 3 pois 1+8=9 que divisvel por 3, 576 divisvel por 3 pois: 5+7+6=18 que divisvel por 3, mas 134 no divisvel por 3, pois 1+3+4=8 que no divisvel por 3. Divisibilidade por 4 Um nmero divisvel por 4 se o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4. Exemplos: 4312 divisvel por 4, pois 12 divisvel por 4, mas 1635 no divisvel por 4 pois 35 no divisvel por 4. Divisibilidade por 5 Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimo algarismo 0 (zero) ou 5. Exemplos: 75 divisvel por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 no divisvel por 5 pois o seu ltimo algarismo no 0 (zero) nem 5. Divisibilidade por 6 Um nmero divisvel por 6 se par e a soma de seus algarismos divisvel por 3. Exemplos: 756 divisvel por 6, pois 756 par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 divisvel por 3, 527 no divisvel por 6, pois no par e 872 par mas no divisvel por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 no divisvel por 3. Divisibilidade por 7 Um nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimo algarismo, subtrado do nmero sem o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 7. Exemplo: 165928 divisvel por 7 pois:16592 Nmero sem o ltimo algarismo -16 Dobro de 8 (ltimo algarismo) 16576 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.1657 Nmero sem o ltimo algarismo -12 Dobro de 6 (ltimo algarismo) 1645 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.164 Nmero sem o ltimo algarismo -10 Dobro de 5 (ltimo algarismo) 154 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.15 Nmero sem o ltimo algarismo -8 Dobro de 4 (ltimo algarismo) 7 Diferena

A diferena divisvel por 7, logo o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 7. Exemplo: 4261 no divisvel por 7, pois:426 Nmero sem o ltimo algarismo -2 Dobro do ltimo algarismo 424 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.42 Nmero sem o ltimo algarismo -8 Dobro do ltimo algarismo 34 Diferena

A ltima diferena 34 que no divisvel por 7, logo o nmero 4261 dado inicialmente no divisvel por 7. Divisibilidade por 8 Um nmero divisvel por 8 se o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8. Exemplos: 45128 divisvel por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 no divisvel por 8 pois 321 no divisvel por 8. Divisibilidade por 9 Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus algarismos um nmero divisvel por 9. Exemplos: 1935 divisvel por 9 pois: 1+9+3+5=18 que divisvel por 9, mas 5381 no divisvel por 9 pois: 5+3+8+1=17 que no divisvel por 9. Divisibilidade por 10 Um nmero divisvel por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 divisvel por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 no termina

em 0 (zero). Divisibilidade por 11 Um nmero divisvel por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem mpar Si um nmero divisvel por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, ento o nmero divisvel por 11. Exemplo: 1353 divisvel por 11, pois:Nmero

1

3

5

3

Ordem mpar par mpar par

O primeiro e o terceiro algarismos tm ordem impar e a sua soma : Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos tm ordem par e a sua soma : Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp igual soma dos algarismos de ordem mpar Si, logo o nmero divisvel por 11. Exemplo: 29458 divisvel por 11, pois:Nmero

2

9

4

5

8

Ordem mpar par mpar par mpar

A soma dos algarismos de ordem mpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas so iguais, o nmero 29458 divisvel por 11. Exemplo: 2543 no divisvel por 11, pois:Nmero

2

5

4

3

Ordem mpar par mpar par

A soma dos algarismos de ordem impar Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par Sp=5+3=8 e como a diferena Si-Sp no divisvel por 11, o nmero original tambm no divisvel por 11. Exemplo: 65208 divisvel por 11, pois:Nmero

6

5

2

0

8

Ordem mpar par mpar par mpar

A soma dos algarismos de ordem impar Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par Sp=5+0=5. Como a diferena Si-Sp=11, o nmero 65208 divisvel por 11 Divisibilidade por 13

Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel por 13. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 13. Este critrio semelhante quele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invs de subtrao. Exemplo: 16562 divisvel por 13? Vamos verificar.1656 Nmero sem o ltimo algarismo +8 Quatro vezes o ltimo algarismo 1664 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.166 Nmero sem o ltimo algarismo +16 Quatro vezes o ltimo algarismo 182 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.18 Nmero sem o ltimo algarismo +8 Quatro vezes o ltimo algarismo 26 Soma

Como a ltima soma divisvel por 13, ento o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 13. Divisibilidade por 16 Um nmero divisvel por 16 se o nmero formado pelos seus quatro ltimos algarismos divisvel por 16. Exemplos: 54096 divisvel por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 no divisvel por 16 pois 5321 no divisvel por 16. Divisibilidade por 17 Um nmero divisvel por 17 quando o quntuplo (5 vezes) do ltimo algarismo, subtrado do nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 17. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 17. Exemplo: 18598 divisvel por 17 pois:1859 Nmero sem o ltimo algarismo -40 Cinco vezes o ltimo algarismo 1819 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.

181 Nmero sem o ltimo algarismo -45 Cinco vezes o ltimo algarismo 136 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.13 Nmero sem o ltimo algarismo -30 Cinco vezes o ltimo algarismo -17 Diferena

A diferena, embora negativa, divisvel por 17, logo o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 17. Divisibilidade por 19 Um nmero divisvel por 19 quando o dobro do ltimo algarismo, somado ao nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 19. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 19. Exemplo: 165928 divisvel por 19? Vamos verificar.16592 Nmero sem o ltimo algarismo +16 Dobro do ltimo algarismo 16608 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.1660 Nmero sem o ltimo algarismo +16 Dobro do ltimo algarismo 1676 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.167 Nmero sem o ltimo algarismo +12 Dobro do ltimo algarismo 179 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.17 Nmero sem o ltimo algarismo +18 Dobro do ltimo algarismo 35 Soma

Como a ltima soma no divisvel por 19, ento o nmero dado inicialmente tambm no divisvel por 19. Exemplo: 4275 divisvel por 19, pois:427 Nmero sem o ltimo algarismo +10 Dobro do ltimo algarismo

437

Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.43 Nmero sem o ltimo algarismo +14 Dobro do ltimo algarismo 57 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.5 Nmero sem o ltimo algarismo +14 Dobro do ltimo algarismo 19 Soma

Como a ltima Soma o prprio 19, segue que divisvel por 19, ento o nmero 4275 dado inicialmente divisvel por 19. Divisibilidade por 23 Um nmero divisvel por 23 quando o hptuplo (7 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 23. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 23. Exemplo: 185909 divisvel por 23? Vamos verificar.18590 Nmero sem o ltimo algarismo +63 Dobro do ltimo algarismo 18653 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.1865 Nmero sem o ltimo algarismo +21 Dobro do ltimo algarismo 1886 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.188 Nmero sem o ltimo algarismo +42 Dobro do ltimo algarismo 230 Soma

Como a ltima soma divisvel por 23, ento o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 23. Divisibilidade por 29 Um nmero divisvel por 29 quando o triplo (3 vezes) do ltimo algarismo, subtrado do nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 29. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 29.

Exemplo: O nmero 8598 divisvel por 29?859 Nmero sem o ltimo algarismo -24 Dobro do ltimo algarismo 835 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.83 Nmero sem o ltimo algarismo -15 Dobro do ltimo algarismo 68 Diferena

Repete-se o processo com este ltimo nmero.6 Nmero sem o ltimo algarismo -24 Dobro do ltimo algarismo -18 Diferena

A diferena, embora negativa, no divisvel por 29, logo o nmero dado inicialmente tambm no divisvel por 29. Divisibilidade por 31 Um nmero divisvel por 31 quando o triplo (3 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 31. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 31. Exemplo: 8598 divisvel por 31?859 Nmero sem o ltimo algarismo +24 Triplo do ltimo algarismo 883 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.88 Nmero sem o ltimo algarismo +9 Triplo do ltimo algarismo 97 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.9 Nmero sem o ltimo algarismo +21 Triplo do ltimo algarismo 30 Soma

A soma no divisvel por 31, logo o nmero dado inicialmente tambm no divisvel por 31. Divisibilidade por 49

Um nmero divisvel por 49 quando o quntuplo (5 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero que no contm este ltimo algarismo, proporcionar um nmero divisvel por 49. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 49. Exemplo: 8598 divisvel por 49?859 Nmero sem o ltimo algarismo +40 Cinco vezes o ltimo algarismo 899 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.89 Nmero sem o ltimo algarismo +45 Cinco vezes o ltimo algarismo 134 Soma

Repete-se o processo com este ltimo nmero.13 Nmero sem o ltimo algarismo +20 Cinco vezes o ltimo algarismo 33 Soma

A soma no divisvel por 49, logo o nmero dado inicialmente tambm no divisvel por 49. DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS:Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposio do nmero 24: 24 = 2 x 2 x 3 x 2 Decomposio do nmero 50: 50 = 2 x 5 x 5 50 = 5 x 2 x 5 Decomposio do numero 20: 20 = 2 x 5 x 2 20 = 5 x 2 x 2 Decomposio do nmero 50: 50 = 2 x 5 x 5. 50 = 5 x 2 x 5. NMEROS RACIONAIS: Relacionando nmeros racionais com fraes

Um nmero racional o que pode ser escrito na formam

n

onde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser no nulo, isto , n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n. Quando no existe possibilidade de diviso, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este nmero um nmero racional. Como podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo (em Latim: ratio=razo=diviso=quociente) entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao: Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero} Quando h interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos nmeros racionais positivos e Q_ o conjunto dos nmeros racionais negativos. O nmero zero tambm um nmero racional. No nosso link Fraes j detalhamos o estudo de fraes e como todo nmero racional pode ser posto na forma de uma frao, ento todas as propriedades vlidas para fraes so tambm vlidas para nmeros racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos nmeros racionais. Dzima peridica Uma dzima peridica um nmero real da forma: m,npppp... onde m, n e p so nmeros inteiros, sendo que o nmero p se repete indefinidamente, razo pela qual usamos os trs pontos: ... aps o mesmo. A parte que se repete denominada perodo. Em alguns livros comum o uso de uma barra sobre o perodo ou uma barra debaixo do perodo ou o perodo dentro de parnteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Pgina, usaremos o perodo sublinhado. Exemplos: Dzimas peridicas 1. 0,3333333... = 0,3 2. 1,6666666... = 1,6 3. 12,121212... = 12,12 4. 0,9999999... = 0,9 5. 7,1333333... = 7,13 Uma dzima peridica simples se a parte decimal formada apenas pelo perodo. Alguns exemplos so:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63 Uma dzima peridica composta se possui uma parte que no se repete entre a parte inteira e o perodo. Por exemplo: 1. 0,83333333... = 0,83 2. 0,72535353... = 0,7253 Uma dzima peridica uma soma infinita de nmeros decimais. Alguns exemplos: 1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ... A conexo entre nmeros racionais e nmeros reais Um fato importante que relaciona os nmeros racionais com os nmeros reais que todo nmero real que pode ser escrito como uma dzima peridica um nmero racional. Isto significa que podemos transformar uma dzima peridica em uma frao. O processo para realizar esta tarefa ser mostrado na sequncia com alguns exemplos numricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequncia, deve-se aprofundar o estudo de sries geomtricas no mbito do Ensino Mdio ou mesmo estudar nmeros racionais do ponto de vista do Clculo Diferencial e Integral ou da Anlise na Reta no mbito do Ensino Superior. A geratriz de uma dzima peridica Dada uma dzima peridica, qual ser a frao que d origem a esta dzima? Esta frao de fato um nmero racional denominado a geratriz da dzima peridica. Para obter a geratriz de uma dzima peridica devemos trabalhar com o nmero dado pensado como uma soma infinita de nmeros decimais. Para mostrar como funciona o mtodo, utilizaremos diversos exemplos numricos. 1. Seja S a dzima peridica 0,3333333..., isto , S=0,3. Observe que o perodo tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o perodo tem 1 algarismo), obteremos: 10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penltima expresso da ltima, obtemos: 10 S - S = 3 donde segue que 9S=3 Simplificando, obtemos:1 S= 3 = 0,33333... = 0,3

Exerccio: Usando o mesmo argumento que antes, voc saberia mostrar que: 0,99999... = 0,9 = 1 2. Vamos tomar agora a dzima peridica T=0,313131..., isto , T=0,31. Observe que o perodo tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 10=100 (o perodo tem 2 algarismos), obteremos: 100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha, assim: 100 T = 31 + T de onde segue que 99 T = 31 e simplificando, temos que31 T= 99 = 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dzima peridica T=7,1888..., isto , T=7,18. Observe que existe um nmero com 1 algarismo aps a vrgula enquanto que o perodo tem tambm 1 algarismo. Escreveremos este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Manipule a soma "infinita" como se fosse um nmero comum e passe a parte que no se repete para o primeiro membro para obter: R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o perodo tem 1 algarismo),

para obter: 10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penltima expresso da ltima para obter: 10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8 Assim: 10R - 71 - R + 7,1 = 0,8 Para evitar os nmeros decimais, multiplicamos toda a expresso por 10 e simplificamos para obter: 90 R = 647 Obtemos ento:647 T= 90 = 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dzima peridica T=7,004004004..., isto , U=7,004. Observe que o perodo tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros so iguais a zero e apenas o terceiro no nulo. Decomporemos este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Manipule a soma "infinita" como se fosse um nmero comum e passe a parte que no se repete para o primeiro membro para obter: U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 10=1000 (o perodo tem 3 algarismos), para obter: 1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penltima expresso da ltima para obter: 1000(U-7) - (U-7) = 4 Assim: 1000U - 7000 - U + 7 = 4 Obtemos ento 999 U = 6997 que pode ser escrita na forma:

6997 T= 999 = 7,004004... = 7,004

Nmeros irracionais Um nmero real dito um nmero irracional se ele no pode ser escrito na forma de uma frao ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dzima peridica. Exemplo: O nmero real abaixo um nmero irracional, embora parea uma dzima peridica: x=0,10100100010000100000... Observe que o nmero de zeros aps o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos nmeros reais que no so dzimas peridicas e dois nmeros irracionais muito importantes, so: e = 2,718281828459045..., Pi = 3,141592653589793238462643... que so utilizados nas mais diversas aplicaes prticas como: clculos de reas, volumes, centros de gravidade, previso populacional, etc... Exerccio: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numrico um nmero irracional e pode ser obtido atravs da relao de Pitgoras. O resultado a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notaes estranhas. Representao, ordem e simetria dos racionais Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos nmeros racionais atravs de uma reta numerada. Consideramos o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros racionais obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar em outras possibilidades. Dizemos que um nmero racional r menor do que outro nmero racional s se a diferena r-s positiva. Quando esta diferena r-s negativa, dizemos que o nmero r maior do que s. Para indicar que r menor do que s, escrevemos: r0. R[5] representar a raiz quadrada de 5. Esta notao est sendo introduzida aqui para fazer com que a pgina seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda no permite apresentar notaes matemticas na Internet de uma forma fcil. Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equao e lembrando que a raiz quadrada de todo nmero real no negativo tambm no negativa, obteremos duas respostas para a nossa equao: x + (b/2a) = + R[(b-4ac) / 4a] ou x + (b/2a) = - R[(b-4ac) / 4a]

que alguns, por preguia ou descuido, escrevem:

contendo um sinal que lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal no tem qualquer significado em Matemtica. Como estamos procurando duas razes para a equao do segundo grau, deveremos sempre escrever: x' = -b/2a + R[b-4ac] /2a ou x" = -b/2a - R[b-4ac] /2a A frmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (s vezes usamos a letra maiscula "delta" do alfabeto grego) o discriminante da equao do segundo grau, definido por: D = b - 4ac Equao do segundo grau Uma equao do segundo grau na incgnita x da forma: a x + b x + c = 0 onde os nmeros reais a, b e c so os coeficientes da equao, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equao tambm chamada de equao quadrtica, pois o termo de maior grau est elevado ao quadrado. Equao Completa do segundo grau Uma equao do segundo grau completa, se todos os coeficientes a, b e c so diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x + 7x + 5 = 0 2. 3 x + x + 2 = 0

Equao incompleta do segundo grau Uma equao do segundo grau incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equao incompleta o coeficiente a diferente de zero. Exemplos: 1. 4 x + 6x = 0 2. 3 x + 9 = 0 3. 2 x = 0 Resoluo de equaes incompletas do 2o. grau Equaes do tipo ax=0: Basta dividir toda a equao por a para obter: x = 0 significando que a equao possui duas razes iguais a zero. Equaes do tipo ax+c=0: Novamente dividimos toda a equao por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter: x = -c/a Se -c/a for negativo, no existe soluo no conjunto dos nmeros reais. Se -c/a for positivo, a equao ter duas razes com o mesmo valor absoluto (mdulo) mas de sinais contrrios. Equaes do tipo ax+bx=0: Neste caso, fatoramos a equao para obter: x (ax + b) = 0 e a equao ter duas razes: x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais 1. 4x=0 tem duas razes nulas. 2. 4x-8=0 tem duas razes: x'=R[2], x"= -R[2] 3. 4x+5=0 no tem razes reais. 4. 4x-12x=0 tem duas razes reais: x'=3, x"=0 Exerccios: Resolver as equaes incompletas do segundo grau. 1. x + 6x = 0 2. 2 x = 0 3. 3 x + 7 = 0 4. 2 x + 5 = 0 5. 10 x = 0

6. 9 x - 18 = 0 Resoluo de equaes completas do 2o. grau Como vimos, uma equao do tipo: ax+bx+c=0, uma equao completa do segundo grau e para resolv-la basta usar a frmula quadrtica (atribuda a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b-4ac o discriminante da equao. Para esse discriminante D h trs possveis situaes: 1. Se D