Fundamentos da Mecnica dos Slidos e das Estruturas

Paulo de Mattos Pimenta

Professor Titular do Departamento de Estruturas e Fundaes da

Escola Politcnica da Universidade de So Paulo

So Paulo 2006

Cia e ao Leandro

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Prefcio

Este o texto de apoio s aulas das disciplinas de ps-graduao sobre Fundamentos da Teo-ria das Estruturas e de Anlise No-linear de Estruturas ministradas pelo autor no Departa-mento de Engenharia de Estruturas e Fundaes da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo desde 1985.

Embora se deseje transform-lo em um livro, ele, contudo, deve ainda ser considerado provi-srio. Ele ainda no inclui referncias bibliogrficas, o nmero de figuras, de exemplos e de exerccios pequeno, alguns captulos ainda nem foram completados. Modificaes e com-plementaes tm sido introduzidas todos os anos na tentativa de melhor-lo. Para isso, su-gestes, correes e contribuies por parte do leitor so bem-vindas. Pede-se, pela mesma razo, compreenso e boa vontade aos alunos que o utilizarem.

O texto conceitual e contm muita matemtica, requerendo esforo e persistncia dos alu-nos. Procurou-se apresentar os tpicos matemticos de forma mais operacional, ou seja, de forma simples e intuitiva, sem rigorismo. um texto para Engenheiros, no para Matemti-cos. Por isso, como motivao, um captulo introdutrio s Estruturas Civis foi elaborado. No entanto, o texto pode servir muito bem a Engenheiros Estruturais de outras reas como a Me-cnica, Automotiva, Naval e Aeronutica. a opinio do autor que estes conceitos so indis-pensveis para a formao de um Engenheiro de Estruturas completo, que possa compreender os trabalhos mais recentes nesta rea, efetuar pesquisas tanto para o Mestrado como para o Doutorado nas reas de Mecnica dos Slidos e de Estruturas e ser responsvel pelo desen-volvimento de novas tecnologias.

Recomenda-se antecipadamente aos alunos, assim como aos demais leitores, que faam uma reviso da Matemtica do curso de graduao com nfase em matrizes, determinantes, clculo diferencial e integral de funes de uma ou mais variveis reais. A quantidade de informao disponibilizada aos alunos aqui avassaladora. Por isso, recomenda-se que os alunos estudem com afinco semanalmente a matria apresentada. fcil o aluno perder o p. Da mesma for-ma, recomenda-se que os alunos elaborem sempre os exerccios deste texto e os sugeridos em aula.

Nos captulos iniciais os Fundamentos Matemticos necessrios compreenso da Mecnica dos Slidos e das Estruturas so apresentados. Uma introduo lgebra Linear elaborada no Captulo 2, dando importncia aos seus aspectos operacionais. A lgebra Linear crucial para o entendimento dos conceitos de vetor e de tensor que permeiam toda a Mecnica dos Slidos e das Estruturas. Os Princpios da Mecnica dos Slidos ficam muito mais claros com a utilizao desta ferramenta matemtica. Formulaes no espao tridimensional ficam enor-memente facilitadas com o seu emprego. Como todo novo conhecimento, o aprendizado inici-al sempre rduo. No entanto, o esforo recompensado pelo ganho operacional e pela ele-gncia alcanada na notao. A seguir, no Captulo 3, luz dos elementos de lgebra Linear, so ento revistos e estendidos alguns resultados de Clculo Diferencial e Integral aplicados Anlise Tensorial, dando novamente mais relevncia ao aspecto operacional. No Captulo 4, um breve estudo das Equaes Diferenciais Ordinrias e Parciais oferecido ao leitor com o intuito de complementar seu background matemtico. O Captulo 5 uma introduo ao Cl-

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culo Variacional, que condio sine qua non para o entendimento das formulaes integrais da Mecnica dos Slidos e das Estruturas, as quais so empregadas na forma de teoremas to importantes como o Teorema dos Trabalhos Virtuais e na formulao de mtodos aproxima-dos de soluo como o Mtodo dos Elementos Finitos. Trata-se de uma parte da Matemtica que geralmente no abordada em cursos de graduao de Engenharia.

Nos quatro captulos seguintes os fundamentos da Mecnica dos Slidos Deformveis so apresentados. No Captulo 6, expe-se a Cinemtica dos Slidos Deformveis, utilizando-se o ferramental matemtico do Captulo 2 em toda a sua potencialidade. No Captulo 7, os Princ-pios da Mecnica so reapresentados ao leitor, inicialmente para os pontos materiais, a seguir para os slidos rgidos e finalmente para os slidos deformveis. No Captulo 8 a Esttica e Dinmica dos Slidos so descritas. O conceito de tenso discutido com profundidade e as Equaes do Movimento e do Equilbrio so deduzidas. No Captulo 9, uma introduo Te-oria das Equaes Constitutivas elaborada, completando os conhecimentos bsicos necess-rios para a compreenso da moderna Mecnica dos Slidos e das Estruturas.

Nos captulos finais diversas aplicaes da Mecnica dos Slidos Deformveis so apresenta-das, como a Teoria Linear da Elasticidade, a Teoria No-linear da Elasticidade, a Teoria da Plasticidade, a Teoria da Viscoelasticidade e a Teoria da Estabilidade. bvio que tais apli-caes so expostas em carter preliminar, no se almejando uma apresentao completa so-bre o assunto. Elas servem para ilustrar o poder da Mecnica dos Slidos na resoluo de pro-blemas da Teoria das Estruturas.

Devo o meu agradecimento aos alunos que me ajudaram a preparar este texto, em particular com figuras, exerccios, correes e sugestes. Sem ser exaustiva, a lista de meus credores contm o Eduardo de Moraes Barreto Campello, o Elivaldo Elenildo da Silva, o Evandro Ros-si Dasambiagio e o Hudson Chagas dos Santos.

Aproveito o ensejo para agradecer ao CNPq, que tem me apoiado com uma bolsa de Pesqui-sador, em nvel 1, desde 1996, e ao Professor Peter Wriggers, chefe da cadeira de Mecnica Estrutural e Computacional da Universidade de Hannover, que me proporcionou dois estgios como Professor Visitante em 2002. Esta cadeira sucessora da Cadeira de August Ritter, co-nhecido dos alunos de Resistncia dos Materiais pelos seus trabalhos no sculo XIX sobre o clculo de trelias. Agradeo tambm aos Professores Balthasar Novak e Wolfgang Ehlers da Universidade de Stuttgart, respectivamente do Instituto de Projeto de Estruturas Leves e do Instituto de Mecnica Estrutural, que me convidaram para um estgio de ps-doutorado nesta renomada instituio. Sou tambm grato aos governos brasileiro e portugus que, atravs da CAPES e do ICCTI tm apoiado a mim e ao Professor Srgio Proena da Escola de Engenha-ria de So Carlos em um convnio internacional entre a Universidade de So Paulo e o Insti-tuto Superior Tcnico da Universidade Tcnica de Lisboa. Este convnio tem financiado est-gios a diversos alunos e professores de ambos os pases. Em particular, agradeo ao Professor Teixeira de Freitas que to bem tem-me acolhido em Lisboa. Nestes estgios tive a paz neces-sria para preparar esta reviso.

Paulo de Mattos Pimenta

Hannover, Stuttgart, Lisboa e So Paulo, fevereiro de 2006

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ndice

Prefcio i ndice iii 1 As Estruturas da Engenharia 9

1 Slidos e estruturas 9 2 Estruturas civis 10

2.1 Notas histricas 10 2.2 Propriedades dos Materiais Estruturais Civis 25 2.3 O Projeto Estrutural Civil 27

3 Estruturas mecnicas 29 2 Elementos de lgebra Tensorial 31

1 Espaos Vetoriais 31 2 Espaos Afins 32 3 Dimenso e Base 33 4 Componentes 34 5 Conveno da Somatria 35 6 Espaos Vetoriais Euclidianos 36 7 Bases Ortonormais 39 8 Formas Lineares 41 9 Operadores Vetoriais 42 10 Tensores de Segunda Ordem 47 11 Formas Bilineares e Formas Quadrticas 51 12 Produto Escalar entre Tensores de Segunda Ordem 52 13 Produto Vetorial 54

13.1 Relao de Euler 57 13.2 Relao de Nanson 57

14 Rotaes 57 15 Tensores Simtricos 58

15.1 Autovalores e Autovetores 59 15.2 Decomposio espectral de um tensor simtrico 61 15.3 Mximos e mnimos da forma quadrtica associada 62

16 Tensores de Terceira Ordem 64 17 Tensores de Quarta Ordem 66

3 Elementos de Clculo Diferencial 71 1 Funes 71 2 Diferenciais e Derivadas 71 3 Extremos 74

3.1 Condies Necessrias para Extremos 74 3.2 Condies para mnimos locais 75

4 Convexidade 76 5 Elementos de anlise tensorial 78

5.1 Campos tensoriais 78 5.2 Operadores Diferenciais 79 5.3 Integrais de Volume 81

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4 Elementos de Equaes Diferenciais 84 1 Equaes Diferenciais Ordinrias 84

1.1 Introduo 84 1.2 Equaes Diferenciais de Primeira Ordem 87 1.3 Soluo de EDO's Lineares de Primeira Ordem 90 1.4 Soluo de SEDO's Lineares de Primeira Ordem 96

2 Equaes Diferenciais Parciais 102 2.1 Introduo 102 2.2 Classificao de EDPs quase-lineares de 2 ordem 105 2.3 Equao de Euler 107 2.4 Problemas de Valor no Contorno 109 2.5 Mtodo das Diferenas Finitas 110

5 Elementos de Clculo Variacional 113 1 Funcionais 113 2 Variaes 119

2.1 Funcionais de primeira ordem 121 2.2 Funcionais de segunda ordem 122 2.3 Equao de Euler-Lagrange 124

3 Extremos 125 3.1 Condies Necessrias para Extremos 126 3.2 Condies necessrias e suficientes para mnimos locais 130

4 Convexidade 131 6 Cinemtica dos Slidos Deformveis 133

1 Meio Contnuo 133 2 Movimento de um Slido Deformvel 133 3 Fibras 136

3.1 Estiramento de uma fibra 138 3.2 Alongamento de uma fibra 138

4 Tensores das Deformaes 139 4.1 Tensor das deformaes de Green 139 4.2 Outros tensores das deformaes 141

5 Distoro 143 6 Membranas 144 7 Deformao Volumtrica 145 8 Tensor das Rotaes 146 9 Velocidades e Aceleraes 147 10 Movimento de Corpo Rgido 148 11 Pequenas Deformaes 148

11.1 Mximo e mnimo alongamento 150 11.2 Mxima distoro 150

12 Pequenas Rotaes 154 7 Princpios da Mecnica dos Slidos 156

1 Princpios da Mecnica Newtoniana 156 1.1 Primeiro Princpio ou Princpio do Espao Absoluto 156 1.2 Segundo Princpio ou Princpio do Tempo Absoluto 156 1.3 Terceiro Princpio ou Princpio das Foras 159 1.4 Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia 159 1.5 Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa 159 1.6 Sexto Princpio ou Princpio Fundamental da Dinmica 160 1.7 Stimo Princpio ou Princpio da Ao e Reao 160

2 Princpios da Mecnica dos Slidos Rgidos 162 2.1 Primeiro Princpio 162 2.2 Segundo Princpio 162 2.3 Terceiro Princpio 163 2.4 Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia 164 2.5 Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa 164

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2.6 Sexto Princpio ou Leis de Euler 166 2.7 Stimo Princpio 167

3 Princpios da Mecnica dos Slidos Deformveis 167 3.1 Primeiro Princpio 167 3.2 Segundo Princpio 167 3.3 Terceiro Princpio 167 3.4 Quarto Princpio ou Princpio da Inrcia 168 3.5 Quinto Princpio ou Lei da Conservao da Massa 168 3.6 Sexto Princpio ou Leis de Euler 169 3.7 Stimo Princpio 169

8 Esttica e Dinmica dos Slidos Deformveis 170 1 Tenses 170

1.1 Tensor das Tenses de Cauchy 170 1.2 Tensores de Kirchhoff 179 1.3 Tensores Energeticamente Conjugados 180 1.4 Taxas de Tensionamento 182

2 Equaes Globais do Movimento e do Equilbrio 183 2.1 Equaes Globais do Movimento 183 2.2 Equaes Globais do Equilbrio 183

3 Equaes Locais do Movimento e do Equilbrio 183 3.1 Equaes Locais do Movimento 183 3.2 Equaes Locais do Equilbrio 184

4 Linearidade Geomtrica 185 9 Teoria dos Materiais 188

1 Introduo 188 2 Princpios da Teoria dos Materiais 188

2.1 Princpio do Determinismo 188 2.2 Princpio da Localidade 189 2.3 Princpio da Objetividade 189

3 Modelos Bsicos 191 4 Modelos Materiais Unidimensionais 193

4.1 Modelo elstico de Hooke 193 4.2 Modelo plstico de Saint-Venant 194 4.3 Modelo viscoso de Newton 195 4.4 Modelo elastoplstico de Prandtl-Reuss 196 4.5 Modelo viscoelstico de Maxwell 197 4.6 Modelo viscoelstico de Kelvin-Voigt 198 4.7 Modelo viscoelstico de trs parmetros 199 4.8 Modelos viscoelsticos de vrios parmetros 202 4.9 Modelo viscoplstico de Bingham 203 4.10 Modelo viscoplstico de Hohenemser-Prager 205

5 Equaes Materiais Hiperelsticas 206 5.1 Classes de Materiais Hiperelsticos 206 5.2 Materiais Hiperelsticos Istropos 208 5.3 Materiais Hiperelsticos Transversalmente Istropos 209 5.4 Materiais Hiperelsticos Orttropos 210

10 Teoria Linear da Elasticidade 213 1 Introduo: linearidade geomtrica e fsica 213 2 Isotropia 214

2.1 Materiais hiperelsticos istropos 215 2.2 Lei de Hooke generalizada 215

3 Compatibilidade 219 4 O Problema Esttico da Teoria Linear da Elasticidade 221

4.1 Equaes do Problema Esttico da Teoria Linear da Elasticidade 221 4.2 Superposio dos Efeitos 222 4.3 Unicidade da Soluo 223 4.4 Mtodo dos Deslocamentos 224

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4.5 Mtodo dos Esforos 226 4.6 Princpio de Saint-Venant 228 4.7 Notao Tcnica 228 4.8 Problemas Planos da Teoria Linear da Elasticidade 229 4.9 Funo de Airy 232 4.10 Teoria da Toro Uniforme 233

5 O Problema Dinmico da Teoria Linear da Elasticidade 239 5.1 Equaes do Problema Dinmico da Teoria Linear da Elasticidade 239 5.2 Superposio dos Efeitos 240 5.3 Mtodo dos Deslocamentos 241 5.4 Ondas Elsticas 242 5.5 Vibraes Livres 242

11 Teoria No-linear da Elasticidade 244 1 Introduo 244 2 Linearidade Geomtrica 244

2.1 Elasticidade linear 244 2.2 Elasticidade no-linear 248 2.3 Soluo de Problemas Quase-estticos 251

3 No-linearidade Geomtrica 252 3.1 Problema Esttico 252 3.2 Material elstico istropo 255 3.3 Problema Quase-esttico 257 3.4 Problema Tangente 257 3.5 Soluo de Problemas Quase-estticos 259

12 Formulaes Integrais da Mecnica dos Slidos 263 1 Formulaes sob No-linearidade Geomtrica 263

1.1 Potncia e Trabalho dos Esforos Externos 263 1.2 Potncia e Trabalho dos Esforos Internos 264 1.3 Energia Cintica 265 1.4 Teorema das Potncias 265 1.5 Teorema dos Trabalhos Virtuais 266 1.6 Potenciais 269 1.7 Energia Potencial e Energia Mecnica 270 1.8 Funcional misto de Hu-Washizu 272 1.9 Funcional hbrido-misto geral 272 1.10 Funcionais hbridos de compatibilidade 273 1.11 Teorias Estruturais 275

2 Formulaes sob Linearidade Geomtrica 276 2.1 Potncia e Trabalho dos Esforos Externos 276 2.2 Potncia e Trabalho dos Esforos Internos 277 2.3 Energia Cintica 277 2.4 Teorema das Potncias 277 2.5 Teorema dos Trabalhos Virtuais 278 2.6 Potenciais 281 2.7 Energia Potencial e Energia Mecnica 282 2.8 Funcional misto de Hu-Washizu 284 2.9 Funcional hbrido-misto geral 285 2.10 Funcionais hbridos de compatibilidade 286 2.11 Teorema dos Trabalhos Virtuais Complementares 288 2.12 Teorema da Energia Potencial Complementar 289 2.13 Funcional misto de Hellinger-Reissner 291 2.14 Funcional hbrido-misto complementar 291 2.15 Funcionais hbridos de equilbrio 292 2.16 Funcional Hbrido de Trefftz 294 2.17 Teorias estruturais sob linearidade geomtrica 295 2.18 Mtodo da Carga Unitria para Estruturas de Barras 309 2.19 Teoremas de Energia para Estruturas de Barras 314

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13 Mtodos Diretos de Soluo de Problemas Estticos 317 1 Projees e Resduos Ponderados 317

1.1 Projeo Clssica 317 1.2 Resduos Ponderados 319 1.3 Projeo Generalizada 320

2 Formulaes Equivalentes na Teoria das Estruturas 321 2.1 Formulao Diferencial 322 2.2 Formulao Forte 322 2.3 Formulao Fraca 323 2.4 Formulao Variacional 324

3 Mtodos Aproximados para Problemas Estticos 325 3.1 Gerao de Subespaos de Aproximao 325 3.2 Mtodo de Ritz 325 3.3 Mtodo dos Elementos Finitos 328 3.4 Mtodo da Colocao 329 3.5 Mtodo de Ritz-Galerkin e mtodo de Petrov-Galerkin 330

14 Critrios de Resistncia 331 1 Introduo 331 2 Classes de Critrios de Resistncia 332 3 Critrios de Resistncia Istropos 332

3.1 Critrio de Rankine 333 3.2 Critrio de Tresca 333 3.3 Critrio de Huber-von Mises 334 3.4 Critrio de Mohr-Coulomb 335 3.5 Critrio de Drucker-Prager 336

15 Introduo Teoria da Plasticidade 338 1 Equaes Constitutivas Elastoplsticas 338

1.1 Modelo uniaxial elstico perfeitamente plstico 338 1.2 Modelo multiaxial elstico perfeitamente plstico 342

2 O Problema Esttico da Teoria da Plasticidade 348 2.1 O Problema Quase-esttico 348 2.2 O Problema Tangente da Teoria da Plasticidade 348

3 Anlise Limite para Carregamentos Proporcionais 349 3.1 Colapso plstico sob carregamento proporcional 350 3.2 Teorema Esttico 350 3.3 Teorema Cinemtico 355

16 Introduo Teoria da Viscoelasticidade 359 1 Modelos Uniaxiais 359

1.1 Modelo de trs parmetros 359 1.2 Funo de fluncia e de relaxao 360 1.3 Formulao integral 363 1.4 Envelhecimento 365

2 Equaes Constitutivas Viscoelsticas Lineares 368 2.1 Materiais viscoelsticos lineares istropos 369 2.2 Metais e polmeros 369 2.3 Concreto 369

3 Teoremas de Correspondncia 370 3.1 Decomposio do Problema Esttico 370 3.2 Estruturas de Concreto 370

17 Introduo Teoria da Estabilidade 376 1 Estabilidade de Slidos Conservativos 376

1.1 Configurao de Equilbrio Estvel 376 1.2 Configurao de Equilbrio Crtica 378

2 Anlise de Euler 379 3 Modelos Unidimensionais 381

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1 As Estruturas da

Engenharia

1 Slidos e estruturas Como este texto trata de slidos e de estruturas, necessrio primeiramente introduzir preliminar-mente alguns conceitos e definies. Slidos1, em oposio aos fluidos, so conjuntos conexos de material que possuem forma definida quando no so submetidos ao de nenhum esforo exter-no.

Slidos na Mecnica dos Meios Contnuos so considerados um conjunto contnuo de pontos mate-riais que podem ser identificados pela posio que ocupam no espao fsico tridimensional. Slidos so considerados rgidos quando a distncia relativa entre quaisquer dois de seus pontos materiais no se altera no tempo. Caso contrrio so chamados deformveis. Slidos so considerados uma estrutura quando tm a funo de transmitir ou resistir ao de es-foros externos. Para isso necessrio que tenham tambm mantenham uma forma definida quando submetidos ao dos esforos externos para os quais devam ser funcionais. Uma estrutura por-tanto um slido com uma funo mecnica. Estruturas podem ser projetadas e construdas para que tenham a funo desejada. Este o objetivo principal da Engenharia Estrutural. Existem estruturas em todas as construes civis, assim como nas mquinas, sejam elas guindastes, automveis, avi-es, foguetes, navios ou submarinos. Existem estruturas naturais, como a formada pelo esqueleto e msculos dos corpos dos mamferos.

A Mecnica dos Meios Contnuos a parte da fsica que trata de slidos e fluidos, quando so con-siderados um conjunto contnuo de pontos materiais que podem ser identificados pela posio que ocupam no espao fsico tridimensional. Mecnica dos Slidos a parte da Fsica que trata tanto dos slidos rgidos como dos deformveis. A Mecnica dos Slidos trata tambm de sistemas for-mados por slidos, como uma mquina. A Mecnica dos Slidos Deformveis a parte da Mecni-ca dos Meios Contnuos que trata apenas dos slidos deformveis. A Mecnica das Estruturas a parte da Mecnica dos Slidos Deformveis que trata especificamente das estruturas.

1 Quando definies so feitas ao longo do texto, coloca-se o conceito definido em itlico.

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2 Estruturas civis

2.1 Notas histricas

2.1.1 Estruturas em alvenaria Construes em alvenaria, isto , com pedras naturais ou artificiais (tijolos cermicos, blocos de argamassa ou gesso, etc.) so, juntamente com as construes de madeira, as mais antigas da Cultu-ra Humana. J havia construes em alvenaria nas mais priscas eras. No incio, as pedras eram ape-nas empilhadas, mas logo se desenvolveu a tcnica do alvener ou alvanel, ou seja, de talhar as pe-dras, dando-lhes um melhor encaixe. O exemplo supremo desta tcnica talvez possa ser visto na Fortaleza de Saqshuyaman (Figura 1.1), nas proximidades de Cuzco, na qual os Incas levantaram pedras naturais de diversas toneladas, talhadas e polidas, com encaixes perfeitos e sem argamassa, cuja execuo at hoje um enigma permanece. O assentamento das pedras com o auxlio de arga-massa, isto , de uma mistura de gua, areia e algum material ligante como barro ou cal tambm quase to antigo.

Figura 1.1: Fortaleza de Saqshuyaman No passado, a maioria das coberturas e telhados era realizada com a ajuda de estruturas de madeira, uma vez que os vos que podem ser vencidos com a alvenaria eram bastante limitados. Um exem-plo desta limitao so os tmulos executados pelos povos neolticos da Bretanha, nas proximidades da cidade de Carnac. No entanto, o Homem desde cedo tentou desenvolver tcnicas para superar esta limitao. Uma delas, chamada de falso arco ou abbada, consistia em empilhar pedras em ba-lano at se fecharem no topo da construo. O exemplo mais conhecido desta tcnica a Cmara do Tesouro de Atreu em Micenas no Peleponeso, erguida estimativamente em 1325 AC.

Figura 1.2: Arcos e abbadas romanos em alvenaria a) Pont du Gard perto de Nmes; b) Panteo em Roma (118-125)

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Os romanos levaram a tcnica dos arcos e das abbadas ao um grande florescimento com a constru-o de pontes e aquedutos assim como com a cobertura de grandes espaos, atingindo vos que s foram alcanados novamente na Renascena, muitos sculos depois. Na Figura 1.2a v-se o aquedu-to romano de Pont du Gard na Provena, exemplo muito bem conservado da tcnica romana com os arcos de alvenaria. Ao lado, na Figura 1.2b est um dos mais belos exemplos de abbada da Anti-gidade: o Panteo de Roma (dimetro de 40 m).

Na Figura 1.3 v-se a primeira tentativa de se utilizar a mesma tcnica na Renascena: a cpula da Catedral de Florena, projeto de Bruneleschi2 em 1420 (dimetro de 42 m). A habilidade dos alve-neiros (hoje, pedreiros) atingiu um mximo, tanto no aproveitamento dos materiais como na forma arquitetnica, na construo das catedrais gticas europias, sejam elas em pedra natural como as francesas e as do centro-sul da Alemanha, assim como as executadas em tijolos cermicos do norte da Alemanha.

Figura 1.3: Cpula da Catedral de Florena A construo em alvenaria ainda hoje muito importante, principalmente em obras residenciais. No entanto, ela perdeu parte de sua significncia aps o desenvolvimento de novos materiais de cons-truo como o ao e o concreto. A baixa resistncia trao da alvenaria limita o seu uso a paredes e muros sujeitos a pouca solicitao de flexo, ou ao uso de arcos e cpulas. Edifcios residenciais de vrios pavimentos com paredes estruturais de alvenaria, armadas ou no, complementados por elementos estruturais de concreto armado como lajes e travamentos, podem ser uma opo em pa-ses em desenvolvimento, nos quais a mo de obra ainda relativamente barata. J em pases com nveis salariais mais altos, a construo em alvenaria concentra-se em obras residenciais de pequeno porte.

Existem alguns desenvolvimentos modernos em materiais para obras de alvenaria, principalmente com o desenvolvimento de blocos leves, inclusive de materiais artificiais derivados do petrleo, e de blocos de alto desempenho.

2.1.2 Estruturas de madeira A execuo artesanal de estruturas de vigas de madeira desenvolveu-se desde cedo tanto na China e, depois, na Idade Mdia Europia, seja em coberturas, seja em pontes, conforme se podem ver nas Figura 1.4a e na Figura 1.5. No entanto, a construo de estruturas de madeira passou a ser um as-sunto propriamente da Engenharia somente aps a Revoluo Industrial. Em particular, nos Estados

2 Filippo Bruneleschi (1377-1446).

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Unidos e na Europa Central, pases ricos em florestas, inmeras pontes ferrovirias foram erguidas no sculo XIX, que posteriormente foram todas substitudas por pontes metlicas.

Figura 1.4: Estruturas em madeira a) Igreja em Saalfeld (sc.XIII); b) Balnerio de Bad Drrheim (1985-1987)

Figura 1.5: Ponte em madeira sobre o Rio Reno em Schaffhausen Projeto com 2 vos de 60 m de J. U. Grubenmann (1756)

Uma inovao recente nas estruturas de madeira so as vigas de madeira colada que possibilitam a construo de vigas curvas de grande vo (Figura 1.4b e Figura 1.6). Contribuiu, para isso, tambm o desenvolvimento de diversos tipos de ligaes metlicas que muito simplificaram estas constru-es e lhes deram um carter de estruturas metlicas.

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Figura 1.6: Ginsio de esportes do Parque das Naes, Lisboa

2.1.3 Estruturas metlicas A utilizao do ferro e do ao em estruturas dependeu muito do desenvolvimento da siderurgia du-rante a Revoluo Industrial na Inglaterra. Alguns marcos deste desenvolvimento so a produo de ferro gusa em alto-fornos por volta de 1735 por Abraham Darby II e a descoberta do processo de fabricao do ao pelo processo puddling por Henry Cort em 1784. Com o desenvolvimento das primeiras laminaes na primeira metade do sculo XIX, pde o ao ser finalmente transformado de forma econmica em perfis adequados ao uso estrutural. A produo econmica do ao em grandes quantidades tornou-se possvel somente aps a descoberta em 1855 do processo da garrafa de Henry Bessemer e a inveno em 1867 do forno de Siemens-Martin.

Figura 1.7: Ponte de ferro fundido em Coalbrookdale/Severn A primeira ponte de ferro (Figura 1.7) foi construda em Coalbrookdale/Severn por Abraham Darby III e John Wilkinson nos anos 1773-1779 com 30,6 m de vo e pode ainda ser visitada hoje. No ano 1794 surgiu a primeira ponte de ferro na Alemanha com 13 m de vo (Figura 1.8). No princpio do sculo XIX inmeras pontes foram construdas em toda a Europa com a mesma tcnica. As primei-ras pontes adotaram as formas tradicionais das pontes em alvenaria, sendo construdas em arco, uma vez que ainda eram executadas de forma artesanal, sem fundamentos tericos. Os elementos de fer-

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ro fundido, que so muito frgeis quando submetidos a compresso, eram ligados por encaixes e molas ou com chapas de ao forjado.

Figura 1.8: Ponte de ferro fundido em Laasan, Silsia Alm das pontes em arco, a partir de 1825, com a construo acelerada das estradas de ferro, foram executadas inmeras pontes em trelia em diversos esquemas. Este sistema estrutural atingiu seu apogeu com a ponte sobre o Firth of Forth (Figura 1.9), prxima a Edimburgo, com o vo principal de 521 m, construda em 1883-1890.

Figura 1.9: Ponte sobre o Firth of Forth, Esccia Paralelamente ao desenvolvimento da tecnologia do ao, a compreenso de forma racional do com-portamento das estruturas foi um fator importantssimo para o rpido desenvolvimento da Engenha-ria de Estruturas no sculo XIX. A partir de meados do sculo XIX, as estruturas passam a serem concebidas no mais artesanalmente e suas formas no mais determinadas por propores, mas sim por sua capacidade portante calculada a partir de fundamentos cientficos e de resultados de ensaios. Baseados na Mecnica, e com o auxlio de resultados experimentais, Hooke (1635-1703), Belidor (1693-1761), Bernoulli (1700-1782), Coulomb (1736-1806) e outros haviam estabelecido os fun-damentos da Esttica. Navier (1735-1806) ordenou em 1821 este conhecimento, resumindo-o e complementando-o em suas prelees na "cole des Ponts et Chausses", transformando-o em um conhecimento prtico, ou, como hoje denominamos, em tecnologia. Em 1858 aparecia uma outra obra importantssima, denominada Manual of Applied Mechanics do engenheiro escocs William Rankine (1820-1872). Contribuies importantes vieram tambm do alemo Karl Culmann (1821-

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1881) com a Grafosttica, hoje desnecessria depois dos computadores, e do fsico escocs James Clerk Maxwell (1831-1879) e do italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) com os teoremas de energia de deformao. A exemplo de Maxwell, outros fsicos e matemticos tambm se ocupa-ram dos fundamentos da Mecnica dos Slidos no sculo XIX, como Lagrange (1763-1813), Young (1773-1829), Poisson (1781-1840), Cauchy (1789-1857) e Kirchhoff (1824-1887). O matemtico August Ritter (1826-1908), da escola Politcnica de Hannover (hoje Universidade de Hannover), viabilizou, na segunda metade do sculo XIX, mtodos de anlise para as j mencionadas pontes em trelias metlicas3. Sua cadeira existe at hoje com o nome de Mecnica das Construes Civis e Computacional. Por outro lado, no final do sculo XIX, contribuies mais tcnicas vieram de en-genheiros alemes como Engesser (18481931), Mohr (1835-1918), Mller-Breslau (1851-1925) e Whler (1819-1914), levando formao da disciplina denominada na poca de Resistncia dos Materiais. A premissa bsica da Resistncia dos Materiais era que a determinao das tenses nas estruturas era suficiente para um bom dimensionamento.

A "cole des Ponts et Chausses" havia sido fundada em 1747 para a formao cientfica dos ofici-ais do exrcito francs, que tambm se ocupavam da construo pelo estado francs de pontes e obras enterradas. Cabe aqui comentar que, desde o Imprio Romano at o sculo XVIII, a profisso de engenheiro estava ligada atividade militar, sendo muitas vezes considerada uma das armas do exrcito e da marinha. A construo, hoje dita civil, era tocada basicamente por artesos e arquite-tos, cabendo aos engenheiros a tarefa de construir fortificaes e pontes. tambm interessante comentar que a palavra engenheiro vem do latim ingenium, atravs do francs antigo ingenieu-re, significando fazer com o esprito, ou seja, fazer com razo e habilidade, enquanto que a palavra arquiteto vem do grego architekton, significando operrio-chefe, ou mestre-de-obras.

Em 1775, fundada a "cole Polytechnique de Paris, a qual, embora seja uma escola militar, passa tambm a formar Engenheiros Civis, tornando-se paradigma para diversas escolas tcnicas em todo o mundo. Logo aps, em Troy, Nova York, fundada a primeira Escola Politcnica do continente americano. A partir do incio do sculo XIX, elas se espalham por toda a Europa.

A primeira escola de engenharia brasileira fundada no Rio de Janeiro em 1810, por D. Joo VI, com o nome de Academia Real Militar. Dela desmembrada, em 1874, a famosa Escola Politcnica do Rio de Janeiro, alma mater das Escolas de Engenharia do Brasil e que foi instrumento impor-tantssimo para mitigar o bacharelismo vigente at ento nos centros de poder brasileiros. Ela foi inspirao para a fundao da Escola de Minas de Ouro Preto em 1876, das Escolas Politcnicas da Bahia (1887) e de So Paulo (1893), do Mackenzie College em So Paulo (1896) e das Escolas de Engenharia do Recife (1896) e de Porto Alegre (1897). Adotando diversos nomes no decorrer do sculo XX, acabou por ser incorporada Universidade Federal do Rio de Janeiro.

A primeira Escola Politcnica alem (Polytechnikum) fundada em 1825 em Karlsruhe, tendo tam-bm a co-irm de Paris como inspirao. Da mesma poca a Escola Politcnica de Zurique, na Sua, hoje conhecida como ETH (Eidgenssische Technische Hochschule Zrich). Estas duas serviram de modelo a Francisco de Paula Souza na fundao da Escola Politcnica de So Paulo em 1893, o que muito contribuiu para a industrializao da cidade. Em 1934, a Escola Politcnica de So Paulo foi incorporada recm criada Universidade de So Paulo.

Na Alemanha, as Escolas Politcnicas mais importantes, como a de Stuttgart, passaram a ter a de-nominao de Escolas Tcnicas Superiores (TH), deixando o termo escola politcnica para escolas tcnicas de menor importncia. A partir da dcada de 50, muitas das Escolas Tcnicas Superiores passaram a ser denominadas Universidades Tcnicas ou, simplesmente, Universidades.

3 A. Ritter, Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach-und Brcken-Konstruktionen, Rmpler, Hannover, 1873.

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Figura 1.10: Pontes Pnseis do sculo XIX a) Ponte sobre o estreito de Menai (1816); b) Brooklin Bridge em Nova York (1883)

Das estruturas metlicas, as pontes suspensas destacam-se por vencer os maiores vos. Conhecidas h mais de 2000 anos na China, utilizando cordas, elas se desenvolveram aps a Revoluo Indus-trial a partir de estruturas suspensas por correntes feitas de elementos forjados, passaram a ser exe-cutadas em cadeias de barras, como a Ponte Herclio Luz de Florianpolis e, terminaram, nos dias de hoje por serem quase que exclusivamente executadas com o auxlio de cabos de ao. O pas que mais contribuiu para o desenvolvimento de pontes suspensas por cabos, ou simplesmente, pontes pnseis, foram os Estados Unidos. Na Figura 1.10 v-se duas notveis obras do sculo XIX: a ponte em correntes sobre o estreito de Menai, Inglaterra, de Thomas Telford, construda de 1816 a 1826 e a maravilhosa Brooklin Bridge em Nova York, de J. A. & W. A. Roebling, construda de 1870 a 1883.

Figura 1.11: Golden Gate Bridge em So Francisco Na Figura 1.11 est a famosa Golden Gate em So Francisco, que deteve brevemente o recorde de maior vo principal em pontes. Na Figura 1.12 esto as duas das maiores pontes pnseis j constru-das: a ponte sobre a entrada do porto de NovaYork, chamada de Verrazano Narrows, terminada em 1964, e a Ponte Akashi-Kaikyo no Japo, de quase 2.000 m de vo central, o recorde mundial, cons-truda de 1993 a 1998. Na Figura 1.13, v-se a Ponte 25 de Abril sobre o Tejo em Lisboa, inaugura-da em 1972, e que, em 1998 recebeu cabos adicionais para permitir a passagem do trem metropoli-tano sob o tabuleiro rodovirio.

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Figura 1.12: Pontes Pnseis do sculo XX Verrazano Narrows, Nova York (1964); b) Ponte Akashi-Kaikyo (1990)

Hoje, planeja-se a superao dos estreitos de Messina (3 km) e de Gibraltar (11 km) por meio de pontes que combinam cabos estaiados com cabos pnseis.

Figura 1.13: Ponte 25 de Abril sobre o Tejo em Lisboa (1972) Na tabela a seguir expem-se alguns dados sobre pontes suspensas que podem ser de interesse.

data Ponte suspensa Vo principal (m) 1796 Primeira ponte suspensa moderna (correntes) de J. Finley 21

1816-26 Ponte de correntes no Estreito de Menai de Th. Telford 127 1816 Primeira ponte pnsil nos EUA 124

1832-34 Grand Pont de Friburgo, Sua, de J. Chaley 273 1870-83 Brooklyn Bridge em Nova Iorque de J. A. & W. A. Roebling 486 1929-32 George Washington Bridge em Nova Iorque de O. H. Ammann 1067 1933-35 Golden Gate Bridge em So Francisco de J. B. Strauss 1280

1964 Verrazano Narrows em Nova York 1660 1993-98 Ponte Akashi-Kaikyo no Japo 1990 planejada Ponte sobre o Estreito de Messina 3300 planejada Ponte sobre o Estreito de Gibraltar 3 x 3500

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Figura 1.14: Ponte de Stromsund Desde 1950, vos mdios a moderadamente grandes passaram a ser vencidos por pontes suspensas por cabos retos (pontes estaiadas). Em 1955 a primeira ponte moderna deste tipo foi executada na Sucia (Figura 1.14) pelo eminente engenheiro alemo Dischinger (1887-1953). Em 1957 foi exe-cutada a ponte estaiada sobre o Reno, ao norte de Dsseldorf, com um vo principal de 260 m. Em 1995 foi erguida a Ponte da Normandia no Havre com 865 m de vo principal. A primeira ponte estaiada brasileira executada em 2000 sobre o Rio Pinheiros, em So Paulo, e contm uma estao do trem metropolitano.

As primeiras pontes em viga de alma cheia, a ponte de Conway (122 m), mostrada na Figura 1.15a e a Ponte Britannia (140 m), foram completadas por W. Fairbairn e R. Stephenson em 1847 e 1850, respectivamente. Elas foram percussoras das pontes de seo celular que se tornaram, nas ltimas dcadas, o tipo padro de pontes de ao e de concreto protendido (Figura 1.15b) em todo o mundo.

Figura 1.15: Pontes em viga caixo a) Ponte de Conway (1847); b) Ponte de Twinberg, ustria, (1987)

Muitas pontes expressivas, vrias delas suspensas, ruram por ruptura frgil, por fadiga dos materi-ais, por flambagem de elementos estruturais insuficientemente enrijecidos, por ressonncia causada pela marcha de soldados, por instabilidade aerodinmica (Figura 1.16) ou por outros fenmenos subestimados. Estes fracassos levaram invariavelmente a uma intensificao da atividade de pesqui-sa e, posteriormente, a um maior desenvolvimento tecnolgico.

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Figura 1.16: Desabamento da Tacoma Narrows Bridge (1940) A construo metlica imps-se de forma mais vagarosa no setor de edificaes, embora, j no co-meo do sculo XIX, grandiosas estruturas, principalmente de galpes, tenham sido executadas (Figura 1.17). Inicialmente elas eram compostas de barras de ferro fundido e, depois, de ferro forja-do e ao laminado.

Figura 1.17: Estruturas de ao na Paris do sculo XIX a) Cpula do Halle au Bl (1813); b) Palais des Machines (1889)

Despertou muita admirao no sculo XIX, a construo do Crystal Palace (Figura 1.18) de Lon-dres por Joseph Paxton, em 1851, e da Torre Eiffel para a Exposio Mundial de Paris de 1889. Em Stuttgart, as estufas do Jardim Botnico Wilhelma, de 1842-53, so tambm um exemplo deste pe-rodo. Por toda a Europa, a nova linguagem arquitetnica das construes metlicas, com vastas reas envidraadas, passou a concorrer fortemente com as tradicionais construes em alvenaria principalmente em estaes ferrovirias, estufas, galerias comerciais, mercados e galpes de expo-sio.

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Figura 1.18: Crystal Palace, Londres (1851) Desde o final do sculo XIX, desenvolveu-se, principalmente nos Estados Unidos, a construo de edifcios altos, os chamados arranha-cus. Em 1930, a estrutura em ao do Empire State Building (Figura 1.23a), com 102 andares, foi levantada em Nova York em apenas seis meses.

Em 1972, as torres gmeas do World Trade Center de Nova York, com 110 andares, foram inau-guradas e permaneceram por pouco tempo como os edifcios mais altos do mundo. Em 1974 a Se-ars Tower em Chicago (Figura 1.23b), tambm em estrutura de ao, atingiu o recorde de 422 m de altura.

Figura 1.19: Arranha-cus americanos a) Empire State Building (1930); b) Sears Tower (1974)

Esta altura foi superada na dcada de 90 pelas torres gmeas "Petronas Towers" (Figura 1.20) com 452 m em Kuala Lumpur na Malsia, desta vez em estrutura mista em ao e concreto e com a ajuda de torres de comunicao em seu topo. Existem projetos para edifcios ainda mais altos na China. No entanto, aps o ataque terrorista contra o World Trade Center de Nova York, em 11 de setem-bro de 2001, a segurana de edifcios muito altos foi colocada em questionamento.

Desde o comeo do sculo XX, as estruturas de ao passaram a ter a concorrncia das estruturas de concreto armado. Depois da Segunda Guerra Mundial, o concreto protendido juntou-se a esta con-corrncia, vencendo-a quase que completamente no segmento de pontes de pequeno e mdio vo. A utilizao de elementos estruturais mistos, compostos de ao e de concreto, principalmente em lajes, abriu um espao amplo para as obras de edifcios em todo mundo. Deve-se esperar desta combina-o um grande desenvolvimento nos prximos anos no Brasil.

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Figura 1.20: Petronas Twin Towers, Malsia Depois que a questo da produo em massa do ao foi resolvida na segunda metade do sculo XIX, os desenvolvimentos se orientaram primordialmente para a produo de aos de melhor quali-dade, com maior resistncia, tenacidade, soldabilidade e resistncia corroso. Desde a dcada de 60 so produzidos aos para fins estruturais resistentes a corroso. Embora o seu uso demande um pouco de cuidado, eles contriburam para alargar o campo de utilizao das estruturas de ao. Aos inoxidveis e alumnio, devido aos seus altos custos, so utilizados em casos muito especiais, quan-do materiais incorrosveis so necessrios e quando, no caso do alumnio, a leveza absolutamente necessria.

Pouco a pouco, em meados do sculo XX, a ligao por rebites dos elementos em ao foi substitu-da por soldas e parafusos. As ligaes por parafusos apresentam sempre uma certa flexibilidade e permitem escorregamentos devidos s folgas de montagem. Ligaes mais rgidas, com a ajuda de parafusos de alta resistncia, tm sido observadas com maior freqncia nos ltimos anos. J as ligaes com cola podem ser uma boa surpresa para os prximos anos.

Desde a construo da cobertura do Parque Olmpico de Munique em 1972, o ferro fundido, agora elaborado de forma a torn-lo dctil, voltou a ser utilizado, principalmente em ns complexos de estruturas modernas de alta tecnologia (high-tech structures).

2.1.4 Estruturas de concreto armado e protendido Concretos com cal hidrulica ou com cimento pozolnico (de origem vulcnica) j eram conhecidos dos romanos h mais de 2000 anos (Opus Caementitium). As descobertas do cimento romano no ano de 1796 pelo ingls J. Parker e do cimento Portland pelo francs J. Aspdin em 1824 introduzi-ram um novo desenvolvimento nas construes de concreto.

Em meados do sculo XIX, na Frana, introduziram-se agregados de pedra britada no concreto pela primeira vez. Em 1855 J. L. Lambot construiu um barco de argamassa de cimento reforada por ferro. Em 1861 J. Monier produziu floreiras de concreto reforado com arames de ao (Monier-Beton). Em 1861 F. Coignet publicou os primeiros fundamentos para a construo com concreto armado e exps na Exposio Mundial de Paris de 1867 vigas e tubos com o novo material.

O americano W. E. Ward construiu, em 1873, em Nova Iorque, uma manso de concreto armado que existe at hoje (Figura 1.21). Outros importantes pioneiros foram T. Hyatt, F. Hennebique, G. A. Wayss, M. Koenen e C. W. F. Doehring.

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A Igreja de So Marcos em Stuttgart, inaugurada em 1908, a primeira igreja de concreto armado do mundo. O Mercado Central de Stuttgart de 1912, que sobreviveu aos bombardeios da Segunda Guerra Mundial, um exemplo precoce de obra puramente em concreto armado na Alemanha.

Figura 1.21: Wards Castle, estado de Nova York Emil Mrsch (1872-1950), Professor da Escola Tcnica Superior de Stuttgart de 1916 a 1948, rece-beu em 1902 da firma Wayss und Freytag a tarefa de criar uma base cientfica para o projeto de estruturas de concreto armado. Os resultados de seu trabalho terico e de seus ensaios experimen-tais foram publicados na forma de uma coleo de livros e constituem-se na primeira obra funda-mental para o dimensionamento de estruturas de concreto. Herdeiros famosos da cadeira de Mrsch em Stuttgart foram os Professores F. Leonhardt e J. Schlaich.

Figura 1.22: Cascas de concreto a) Casca em Xochimilco (Candela); b) Teatro em Grtzingen (Isler); c) pera de Sydney (Utzon); d) NovoMuseu em Curitiba (Niemeyer)

Concreto o material estrutural mais produzido em todo o mundo. difcil encontrar hoje uma obra onde ele no tenha sido utilizado, mesmo que somente nas fundaes ou em lajes. No Brasil, sua

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presena marcante em nossas cidades e estradas. Infelizmente, s vezes, ele utilizado como um mau smbolo do pssimo urbanismo brasileiro. No entanto, mais que qualquer outro material estru-tural, o concreto no tem formas pr-definidas, podendo ser plasticamente moldado para aproveitar ao mximo as caractersticas do material e para dar belas formas arquitetnicas s construes, co-mo nos quatro exemplos da Figura 1.22, nos quais cascas de concreto destacam-se pelo arrojo e pela esbelteza. Como o Homem progrediu desde o Panteo de Roma! Neste aspecto, o Brasil, principal-mente nas quatro dcadas finais do sculo XX, tornou-se um exemplo da arte de combinar as estru-turas de concreto com a arquitetura, como, por exemplo, nos belos edifcios de Braslia.

A Figura 1.23 ilustra, atravs de uma simples ponte de pedestres, como a forma livre das estruturas de concreto possibilita uma concepo otimizada quanto ao aspecto e funcionalidade estrutural. Nesta ponte, no lugar de barras de ao para reforar o concreto trao, foram utilizadas, pela pri-meira vez, barras de concreto protendido de alta resistncia. As escoras inclinadas foram executadas em concreto de alta resistncia, com resistncia compresso da ordem de 120 N/mm2.

Figura 1.23: Ponte sobre o Rio Gera em Rudisleben, Turngia Desde a Segunda Guerra Mundial, novas tecnologias de construo em concreto estrutural foram desenvolvidas que contriburam em muito para a execuo econmica de obras significativas. Aqui algumas palavras-chave: formas lisas, formas pr-fabricadas e reaproveitveis, formas deslizantes, concreto bombeado, concreto usinado, concreto projetado, concreto sub-aqutico, injeo de arga-massas e resinas, concreto reforado por fibras, estacas escavadas, protenso com aderncia poste-rior, protenso com aderncia inicial, protenso sem aderncia, construo por etapas, construo empurrada, construo por aduelas sucessivas, elementos estruturais pr-fabricados, lajes extruda-das, lajes-painel, super-plastificantes, etc. Os ltimos desenvolvimentos apontam para concretos de alta resistncia, concretos reforados por fibras, concretos auto-adensveis e robs especficos para obras civis de concreto. Nenhum outro material estrutural conseguiu em to pouco tempo aumentar a sua qualidade estrutural como o concreto. Hoje, fala-se naturalmente de concretos com resistncia a compresso de 250 N/mm2, quando h vinte anos o natural era menos de um dcimo disso. Longe de ser um material antigo, o concreto hoje muito mais um material de moderna tecnologia.

A grande diferena de deformabilidade entre o concreto e o ao inspirou o americano Jackson, em 1886, e o berlinense Doehring, em 1888, a patentearem sistemas com barras de ao pr-tracionadas por meio de porcas. Assim o concreto era submetido inicialmente a uma tenso de compresso e as tenses de trao provocadas pelos momentos fletores levavam a formao de fissuras muito mais tarde. Este tipo de concreto atualmente denominado concreto protendido. Doehring, Koenen e outros experimentaram este processo na prtica, mas falharam, pois ainda no se sabia que o con-creto apresenta deformaes deferidas no tempo quando submetido compresso duradoura, fen-meno conhecido como fluncia, de tal forma que a pr-compresso era totalmente perdida algum

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tempo depois. Somente em 1928, E. Freyssinet desenvolveu um processo com o emprego de aos de alta resistncia que possibilitou manter a protenso mesmo com a ocorrncia da fluncia do con-creto.

O concreto protendido imps-se aps a Segunda Guerra Mundial, invadindo segmentos onde a construo de ao predominava. Ele concorre hoje com o ao mesmo em pontes de grande vo, em edifcios grandes e em estruturas esbeltas.

2.1.5 Estruturas mistas e novos materiais O concreto armado e o concreto protendido so a combinao apropriada de dois materiais diferen-tes. Alm disso, como j mencionado, podem-se combinar perfis de ao, ou painis corrugados de ao, com lajes de concreto na confeco de pavimentos de edifcios. Muitos edifcios so constru-dos com alvenaria e lajes de concreto armado. Pontes estaiadas so freqentemente construdas com tabuleiros de concreto protendido e cabos de ao de alta resistncia. Outras combinaes so, no entanto, possveis e geram uma classe de estruturas chamada de mistas. Hoje, um Engenheiro Civil deve estar preparado para combinar os materiais estruturais sem preconceito, otimizando o seu em-prego nos projetos. Infelizmente, a formao e a experincia especializadas dos engenheiros, das firmas de engenharia e dos operrios, no somente no Brasil, tm limitado a construo de estrutu-ras mistas. Diversas Escolas de Engenharia tm reformado seus currculos nos ltimos anos, tentan-do eliminar esta falha educacional. As normas tcnicas europias, os Eurocodes, esto sendo ela-borados, procurando estabelecer uma unidade de projeto para os diversos materiais e estruturas. No deve mais haver engenheiros estruturais de apenas um sistema estrutural e um material estrutu-ral.

A combinao de materiais tradicionais com novos materiais, como as membranas txteis de PVC e Teflon, de polmeros reforados por fibras e de vidro, abriu uma avenida de possibilidades para a concepo de novos sistemas estruturais, conhecidos como estruturas de alta tecnologia (high-tech structures). Estas estruturas procuram combinar materiais novos e tradicionais de forma otimizada e de forma ecolgica, conservando energia, permitindo que a luz natural chegue at os locais de permanncia humana e contendo a maior massa possvel de materiais reciclveis. Um dos pais espi-rituais destas estruturas o Prof. Frei Otto da Universidade de Stuttgart, conhecido pela criao das coberturas do Parque Olmpico de Munique em 1972. Hoje diversas estruturas seguem esta tendn-cia (Figura 1.24).

Figura 1.24: Ginsio de esportes de inverno, Munique Projeto de Ackermann, Schlaich & Bergermann (1983)

Em 2000, as antigas cadeiras do Prof. F. Otto de estruturas leves e do Prof. E. Mrsch de concreto estrutural, mais as cadeiras de estruturas metlicas e de madeiras, foram fundidas em uma s, de-nominada Concepo e Construo de Sistemas Estruturais.

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Na Figura 1.25 so vistos quatro exemplos de estruturas de alta tecnologia existentes no Parque das Naes em Lisboa. No alto, esquerda a estrutura atirantada (tenso-estrutura) que cobre a entrada do pavilho de exposies, composta por escoras metlicas, cabos e membrana txtil tracionados. No alto, direita, a belssima estao Oriente do metropolitano de Lisboa, projeto de Calatrava, em ao, vidro e concreto. Embaixo, esquerda, uma membrana tracionada de concreto armado. Final-mente, no canto inferior direito, o centro comercial Vasco da Gama em arcos intertravados de ao cobertos de vidro, sobre os quais corre permanentemente gua de modo a minimizar o consumo de energia pelo ar-condicionado.

Figura 1.25: Construes high-tech da EXPO 98, Lisboa, 1998

2.2 Propriedades dos Materiais Estruturais Civis Madeira natural apropriada somente para a confeco de elementos estruturais lineares (barras) com dimenses limitadas pelas dimenses da rvore original. Em estruturas, so utilizadas na forma de vigas, pontaletes, caibros e ripas com seo transversal retangular. Com a tcnica de colagem de barras de madeira natural, possvel se construir elementos estruturais lineares retos ou curvos de qualquer comprimento e com qualquer seo transversal. Existem tambm chapas de madeira in-dustrializada, como compensados e aglomerados, que requerem elementos de ligao especial, na maioria das vezes metlicos.

Por questes de facilidade de produo e de economia, os elementos estruturais de ao so utiliza-dos principalmente na forma de perfis e chapas laminados ou conformados a frio. A perfilhao aumenta a rigidez e a resistncia flexo em relao a sees retangulares com mesma rea e facili-ta a ligao entre barras com solda ou parafusos. Com ao fundido podem ser realizadas peas de formas tridimensionais complexas, mas com alto custo. Por isso s deve ser utilizado em casos es-peciais ou quando a repetio de muitos elementos iguais torna-o competitivo.

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Em contraste com a madeira e o ao laminado, o concreto plstico (palavra com origem no grego, significando que pode ter qualquer forma, como em artes plsticas). No vem em partes nem preci-sa de ligaes. Pode ser moldado em qualquer forma, seja em barras, placas, cascas ou blocos. claro que, por razes de produo e de economia, frmas planas com ngulos retos predominam. Em estruturas de concreto podem ser combinados monoliticamente de infinitas maneiras escoras, pilares, vigas, paredes, lajes, blocos, etc. Muitas vezes membros estruturais pertencem simultanea-mente a diversos elementos, como a mesa da viga que pertence laje. Outras vezes, elementos no-estruturais como painis de fechamento, tem a misso de transferir o carregamento devido ao vento para os elementos estruturais.

O Engenheiro de Estruturas deve almejar a combinao dos materiais de tal forma que eles sejam utilizados nas suas funes mais apropriadas e onde suas deficincias tenham um papel secundrio. Muitas vezes isto leva a estruturas mistas, como por exemplo, edifcios com pilares e vigas metli-cos, lajes de concreto armado e paredes de alvenaria. Outras vezes isto leva combinao de mate-riais em uma seo transversal, denominadas de materiais compostos ou elementos estruturais mis-tos. O concreto armado um material composto, assim como resinas reforadas com fibras de poli-amida (kevlar) so materiais compostos de alta tecnologia utilizados em segmentos no-civis. O concreto armado talvez seja o material composto mais utilizado no mundo. J as vigas formadas pela combinao de perfis laminados ou soldados de ao com mesas em laje de concreto armado e as lajes moldadas sobre uma chapa trapezoidal de ao, que lhe serve de frma e armao, so ele-mentos estruturais mistos.

Quando se compara o material concreto com os outros materiais estruturais, imediatamente destaca-se a grande diferena entre suas resistncias compresso e trao. Esta aproximadamente um dcimo daquela. Enquanto que a compresso pode ser suportada pelo concreto de forma econmica, membros tracionados ou fletidos de concreto simples no tm sentido. A pequena resistncia tra-o do concreto facilmente ultrapassada por tenses provocadas pela restrio retrao do con-creto, de modo que muitas vezes ela no fica disponvel para suportar o carregamento atuante na estrutura. Se construssemos as estruturas de concreto de forma a no termos tenses de trao, esta-ramos submetidos s mesmas limitaes das estruturas em alvenaria.

As formas atuais das estruturas de concreto somente se tornaram possveis atravs da simbiose do concreto e do ao. O princpio do concreto estrutural essencialmente substituir ou reforar o con-creto tracionado pelo ao. Existem para isso diversas possibilidades. Pode-se substituir totalmente a zona tracionada de uma viga por um perfil de ao, como nos elementos compostos. A aderncia dos dois materiais, neste caso, pode ser garantida por pinos soldados ao perfil de ao. Pode-se fundir uma laje de concreto sobre uma chapa corrugada de ao, que lhe serve de frma. A aderncia entre o concreto e o ao garantida pelo corrugamento. Pode-se, como no concreto armado convencional, distribuir barras ou telas de ao principalmente nas zonas tracionadas do concreto. Em vigas, as barras so colocadas principalmente ao logo das bordas tracionadas pelo momento fletor. As barras desta assim chamada armadura de ao precisam ser colocadas a uma certa distncia da superfcie externa das peas para se evitar a sua corroso por agentes externos, como o cloro, tpico de ambi-entes marinhos. A armadura longitudinal complementada por estribos ou armadura transversal que importante para resistir aos esforos transversais como o cortante, e por uma armadura construtiva importante para a montagem e para suportar efeitos no considerados nos clculos. Quando a zona do concreto sob trao fissura, o ao ali colocado assume as foras de trao. A transferncia das foras entre a armadura e o concreto d-se por aderncia na superfcie de contato entre os dois ma-teriais, o que depende das condies e geometria destas superfcies. O ao alonga-se mais na trao que o concreto, o que provoca uma certa abertura nas fissuras que se formam no concreto. Esta a-bertura pode ser controlada por uma boa distribuio e detalhamento da armadura, de modo que as fissuras fiquem to finas que sejam inofensivas. No entanto, elas so vistas, muitas vezes, como uma desvantagem do concreto armado.

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Pode-se tambm utilizar a idia de se pr-tracionar as barras longitudinais de ao contra o prprio concreto, criando-lhe um estado de pr-compresso, que lhe favorvel durante o carregamento por outras aes. Isto pode ser realizado, por exemplo, por uma barra de ao de alta resistncia embuti-da em um tubo, ou bainha, colocado antes da concretagem. O estado de pr-trao do ao seria en-to alcanado, tracionando-se a barra com macacos, ou mesmo com porcas, contra placas de ao de apoio colocadas nas extremidades da viga de concreto. Posteriormente, mas no necessariamente, a folga entre a barra e a bainha pode ser preenchida por argamassa, de modo a dar ao elemento estru-tural um comportamento sob carregamento mais parecido com o concreto armado. A fora longitu-dinal excntrica provocada pela pr-trao do ao atua ento de forma contrria ao estado de ten-ses provocado pelo carregamento transversal. O concreto ento se encontra num estado de pr-compresso e os materiais, que compem a viga, em um estado de pr-tenso. Uma denominao possvel para este elemento estrutural seria ento viga pr-tensionada, uma vez que os dois materi-ais assim se encontram. Para o material concreto a terminologia concreto pr-comprimido seria a-dequada. No entanto, consagrou-se a terminologia de concreto protendido para este material e para os decorrentes elementos estruturais e estruturas. Como o prefixo pro significa favorvel, pode-se interpretar esta denominao como estrutura pr-tensionada de forma favorvel aos materiais que a compem.

Na tabela abaixo, algumas das vantagens e desvantagens dos materiais estruturais considerados at o momento so apresentadas de forma resumida.

Materiais Estruturais Civis material vantagens desvantagens

alvenaria

Tecnologia simples; montagem e aderncia entre materiais simples; estruturas no necessitam frmas; possui boas propriedades trmicas, acs-ticas e higroscpicas; incombustvel e resisten-te ao fogo; tem bom aspecto natural.

Tem baixas resistncias, em particular, trao; apropriada apenas para paredes, arcos e abbadas; exige muitas vezes revestimentos e tratamentos superficiais caros; exige o uso intensivo de mo-de -obra.

madeira natural, fcil de trabalhar e leve em relao resistncia; possui boas propriedades trmicas e acsticas; tem bom aspecto natural.

combustvel, apodrece ou atacado por pragas, muito deformvel, inclusive por efeito de variaes de umidade e temperatura; nem sempre tem origem ecologicamente correta.

ao

Tem alta resistncia, mesmo em relao ao seu peso; tem boa ductilidade e tenacidade; os ele-mentos estruturais podem ser industrializados e montados na obra com facilidade; montagem simples, com parafusos ou com solda; a obra desmontvel e reciclvel; reformas e expanses so facilitadas; possibilitam estruturas esbeltas.

Pode ter ruptura frgil, especialmente em aos de alta resistncia, ou em aos submetidos a baixas temperaturas, ou a ciclos de tenso ou a ms soldagens; so corrosveis, necessitam tratamento superficial; tm alta condutibilida-de trmica; perdem resistncia em altas tem-peraturas, deve ser protegido frente a incn-dios; leva a estruturas mais sujeitas a instabi-lidades.

concreto estrutural

Pode-se dar qualquer forma, a armadura pode se adaptar ao caminhamento dos esforos; estrutu-ras com boa resistncia, e, se bem dimensionada, boa ductilidade; incombustvel, tem boa resis-tncia ao fogo, abraso e ao intemperismo; se forem bem executadas, necessitam baixa manu-teno; material econmico e de tecnologia sim-ples.

pesado; oferece pouco conforto trmico; frmas e cimbramentos podem ser muito caros; reformas e demolies so caras; se mal projetado e executado pode ser frgil, ficar demasiadamente fissurado e apresentar corroso precoce das armaduras; possui mau aspecto natural, exigindo muito boa arquitetu-ra; industrializao limitada.

2.3 O Projeto Estrutural Civil O trabalho do Engenheiro Civil no projeto estrutural dividido tradicionalmente em quatro fases: (i) concepo, (ii) modelao estrutural, (iii) dimensionamento e (iv) detalhamento.

28

A concepo representa a fase mais importante, mais criativa e mais difcil do projeto e requer, via de regra, muita experincia do engenheiro. Erros bsicos de concepo dificilmente podem ser cor-rigidos pelas fases seguintes. Acidentes ocorrem, na maioria das vezes, por falhas originadas nesta fase. Na concepo, o engenheiro deve pensar na funcionalidade estrutural, na economia, na estti-ca, no processo e na facilidade de execuo, no prazo de execuo, nas interferncias com outros aspectos da obra, na escolha dos materiais, na escolha do sistema estrutural e na facilidade de di-mensionamento. nesta fase que o engenheiro tem uma grande interao com o arquiteto ou com a arquitetura da obra.

Em obras como casas e edifcios de pequeno a mdio porte, a arquitetura praticamente pr-determinada pelo arquiteto, cabendo ao engenheiro civil conceber uma estrutura que atenda os re-quisitos estticos, econmicos e comerciais. Neste tipo de obra a estrutura custa uma frao da obra, da ordem de 10 a 30%, sendo muito comum estar parcialmente ou totalmente oculta. J em obras de grande porte, a estrutura determina a forma arquitetnica da obra e seu principal custo. o caso de edifcios de grande porte, de pontes e outras obras pblicas. Nestas obras o engenheiro interage intensamente com a arquitetura da obra e a estrutura fica sempre muito visvel.

A modelao estrutural visa a determinao dos esforos de dimensionamento e constitui-se em uma fase basicamente fsico-matemtica que era realizada manualmente, mas que, hoje, cada vez mais realizada computacionalmente. nesta fase que o engenheiro estabelece as aes sobre a es-trutura que devem ser consideradas, escolhe quais so os esquemas estruturais necessrios para a anlise, decide quais simplificaes geomtricas e fsicas devem ser feitas, especifica quais os tipos de simulao que devem ser executados e determina os esforos necessrios ao dimensionamento da estrutura.

Como ilustrao, considere-se um edifcio residencial convencional. As principais aes a serem consideradas so as devidas ao peso prprio do edifcio, s sobrecargas de utilizao das lajes e as devidas ao vento. As duas primeiras aes so verticais e podem ser simuladas em anlises estticas sobre vigas contnuas ou vigas simples engastadas no ncleo do edifcio. claro que uma anlise tridimensional envolvendo toda a estrutura poderia ser elaborada, principalmente com os programas computacionais hoje disponveis. No entanto, ela no seria necessariamente mais realista, porque os esforos devidos ao peso prprio no so introduzidos repentinamente na estrutura, mas sim pouco a pouco durante as etapas de construo. Por isso, o engenheiro deve sempre ter em mente que uma modelao de maior porte nem sempre mais realista que uma modelao aparentemente simplifi-cada. Para o vento, podem-se modelar os pilares e vigas como elementos rgidos que transmitem os esforos para o ncleo do edifcio, que trabalha como uma viga em balano engastada na fundao.

Na terceira fase as dimenses da estrutura so determinadas de forma a assegurar que a construo seja confivel. Isto significa garantir que a estrutura tenha uma probabilidade baixa de no cumprir suas funes no perodo de sua vida til. neste momento que as normas tcnicas aplicveis devem ser obedecidas, uma vez que o nvel de segurana das obras deve ser estabelecido pela Sociedade Civil atravs dos rgos para isso constitudos. Em muitos pases, as normas tcnicas so obrigat-rias e tm fora de lei.

O detalhamento a ltima fase e engloba toda a complementao necessria ao projeto estrutural, que no foi realizada por ocasio do dimensionamento. Muitas decises aqui so tomadas baseadas na experincia do projetista e em normas tcnicas. Falhas de detalhamento so responsveis por muitos acidentes. Ele deve possibilitar a representao grfica da estrutura, de modo a permitir a sua fabricao e execuo.

Por ocasio da concepo, alguns clculos e dimensionamentos preliminares precisam ser feitos para se definir os elementos estruturais e justificar diversas decises. Como na fase de modelao as dimenses tambm so necessrias, percebe-se que as fases acima listadas no so seqenciais, mas repetidas ciclicamente at a convergncia em um projeto final.

29

Atualmente a fase de modelao e dimensionamento tm sido cada vez mais executada com o aux-lio de computadores. O mesmo tem acontecido com o detalhamento e a representao grfica do projeto estrutural. Hoje, a maioria dos escritrios de projeto estrutural realiza boa parte da modela-o, do dimensionamento e detalhamento com o auxlio de computadores. o chamado Projeto Auxiliado por Computadores. Mesmo assim, para se manter o trabalho de modelao e dimensio-namento dentro de uma escala razovel, diversas decises de modelao e de simulao so neces-srias. Esta hoje a parte mais criativa das fases de modelao e dimensionamento, e a que talvez mais exija preparo terico dos engenheiros de projeto.

Hoje, em obras mais convencionais, um nico engenheiro pode rapidamente executar a modelao, o dimensionamento, o detalhamento e a representao grfica final da estrutura. Obras especiais ou excepcionais necessitam ainda um maior desenvolvimento dos sistemas. Acreditamos, no entanto, que, em um prazo no maior que dez anos, estas trs fases encontrar-se-o reunidas em um mesmo sistema computacional para a grande maioria das obras civis. Embora este fato possa significar uma reduo do mercado de trabalho do engenheiro de projeto, por outro lado, ele, ao reduzir os custos de projeto, torna possvel realizar projetos estruturais mesmo para obras de pequeno porte. O uso de programas de computador demanda um preparo cada vez melhor do ponto de vista conceitual dos engenheiros de projeto. Alguns pases estudam, ou j implementaram parcialmente, algum sistema de controle de qualidade do pessoal envolvido com o projeto estrutural, com a execuo de exames de capacitao peridicas e a certificao de profissionais.

A incorporao em sistemas computacionais dos aspectos da concepo que possam ser objetiva-mente quantificados objeto de pesquisas e encontra-se em experimentao. O verdadeiro dimensi-onamento de uma estrutura, e parte da concepo, consiste em otimizar os diversos aspectos de uma obra, sejam eles de ordem tcnica, esttica ou econmica, atendendo os requisitos de confiabilidade que a Sociedade Civil lhe impe. Por exemplo, dimensionar uma viga contnua de concreto armado significa encontrar as dimenses da seo transversal e a distribuio de armadura que, satisfazendo as normas tcnicas em termos de confiabilidade e os requisitos estticos e construtivos especifica-dos inicialmente, levem maior economia. Economia esta que no apenas equacionada pelo custo unitrio dos materiais, mas que engloba muitos outros aspectos executivos. Em matemtica um problema bastante complexo, pois boa parte das variveis, como bitolas das barras de ao, espaa-mentos, dimenses das frmas, propriedades mecnicas dos materiais, nmero de operrios e de equipamentos necessrios execuo, prazo de execuo, interao com outros aspectos da obra (p.ex.: posio dos pilares na garagem subterrnea ou largura dos blocos de alvenaria) so discretas e no contnuas.

3 Estruturas mecnicas Aps a Revoluo Industrial as mquinas ganharam grande importncia na sociedade humana. To-da mquina possui uma estrutura responsvel por transmitir a ao dos esforos aos quais ela submetida durante a sua operao. Os veculos, como os automveis, nibus, caminhes, trens, avi-es e navios de todos os tipos, possuem uma estrutura. Mquinas como motores, turbinas, gerado-res, guindastes, pontes rolantes, vasos de presso, caldeiras, aparelhos domsticos, etc. tambm sempre possuem uma estrutura. A Figura a seguir mostra algumas estruturas da Engenharia Mec-nica.

30

Figura 1.26: Estruturas mecnicas

31

2 Elementos de lgebra

Tensorial

1 Espaos Vetoriais Na Geometria e na Fsica entra-se em contacto com grandezas denominadas vetores, designados por xG , yG , etc., para os quais so definidas as operaes de adio, produto por um escalar, produto es-

calar e produto vetorial, entre outras. Neste captulo o conceito de vetor ser generalizado e novas operaes sero introduzidas. Para isso, define-se a seguir o que um espao vetorial.

Definio 2.1: Espaos vetoriais Chama-se espao vetorial ou linear a todo conjunto V , cujos elementos, denotados por , ,x y , so denominados vetores, tal que:

a) a cada par de elementos x e y de V fica associado um e s um elemento +x y deV , denominado soma de x com y , de modo que: (i) ;+ + x y = y x , x,y V (ii) ( ) ( ) , ;+ + + + x y z = x y z x,y,z V (iii) | ; + o x o = x , x VV (iv) ( )| ; + = x x x o , x VV

b) a a \ e a um elemento x V fica associado um e s um elemento de V , indicado por ax , denominado produto do vetor x pelo escalar a , de modo que: (i) ( ) , , ;a b a b a b+ + x = x x , x\ V (ii) ( ) , ;a a a a+ = + x y x y , x,y\ V (iii) ( ) ( ) ( ) , , ;a b b a ab a b= = x x x , x\ V (iv) 1 . x = x , x V

32

Exemplos 2.1

Espao vetorial da Geometria Clssica: 3V ; Conjunto dos nmeros reais:\ ; Conjunto dos nmeros complexos: ^ ; Produtos cartesianos de \ :

vezesnn = \ \ \ \ , ou seja, o conjunto das nuplas dadas

por ( )1 2, , , , 1,2,n ia a a a i n = \ ; Conjunto das funes de uma varivel real ( ): ,f a b \ , definidas sobre um aberto de

\ , indicado por ( ),a b = , contnuas at a derivada de ordem k : ( ),k a bC ou ( )k C ; Conjunto das funes de n variveis reais, :f \ , contnuas at a derivada de or-

dem k , onde um aberto de n\ : ( )k C ; Conjunto das solues de uma equao diferencial ordinria linear homognea de ordemk :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }h 11 2 1 0| 0 .k kk ky x a x y a x y a x y a x y a x y = + + + + + ="S Exerccios 2.1

Mostre que o conjunto m nM das matrizes de dimenso m n , com as operaes usuais de soma de matrizes e de produto de matrizes por nmeros reais, formam um espao veto-rial;

Mostre que o conjunto das solues de uma equao diferencial ordinria linear homog-nea de ordem k realmente forma um espao vetorial;

Mostre que nP , o conjunto dos polinmios de grau n definidos em\ , um espao vetori-al;

Considere o conjunto das funes contnuas no intervalo ( ),a b denotado por ( )0 ,a bC ; de-fina soma de funes e produto de funo por nmero real, e mostre que este conjunto um espao vetorial.

2 Espaos Afins Na Geometria um conceito fundamental o de ponto. Os problemas da Geometria so ento formu-lados em um conjunto de pontos chamado de espao geomtrico. Na Geometria Plana este espao denominado plano geomtrico. Na Geometria, a cada par ordenado de pontos geomtricos fica as-sociado um nico vetor. Estes conceitos sero generalizados atravs da seguinte definio.

Definio 2.2: Espao afim Seja E um conjunto e V um espao vetorial. E chamado de espao afim associado ao espao vetorial V e seus elementos , ,A B so denominados pontos, se a cada par ordenado de pontos ( ),A B corresponder um e s um elemento x V , indicado porABJJJG , tal que:

a) AA A= o ,JJJG E ; b) , ,AB BA A B= JJJG JJJG E ; c) , , ,AB BC AC A B C+ = JJJG JJJGJJJG E ; d) Para todo O E e x V , existe um nico |X OX x = JJJGE .

33

Exemplos 2.2 a) Espao afim da Geometria Clssica: 3E ; b) Espao afim da Geometria Plana: 2E ; c) Espao afim da Fsica Clssica: 3E .

Observao 2.1 Uma vez definida uma origem em 3E , isto , um ponto 3O E , usual, de acordo com d) da Definio 2.2, confundir-se o vetor x com o prprio pontoX .

3 Dimenso e Base Definio 2.3: Vetores linearmente independentes Diz-se que os vetores 1 2, , nx x x so linearmente independentes (LI) se 1 1 2 2 1 2 .n n na a a a a a+ + + = = = =x x x o Caso contrrio, eles se dizem linearmente dependentes (LD).

Exemplos 2.3

Na Geometria Plana quaisquer dois vetores no nulos e no colineares so LI. Em 2\ os vetores ( ) ( )e 1,21,1 so LI, mas os vetores ( ) ( )e 2,21,1 so LD. Em ( )0 ,a bC os vetores { }2 31, , , ,x x x so LI. Em ( )0 0, AC os vetores { }sen sen sen2 31, , , ,x x x A A A so LI.

Exerccios 2.2 a) Mostre que se o vetor nulo estiver contido em um conjunto de vetores ento eles so LD. b) Mostre que, em 2 2M , as matrizes abaixo so LI

0 0 0 01 0 0 1

, , , .0 0 0 0 1 0 0 1

(2.1)

Definio 2.4: Dimenso de um espao vetorial Diz-se que um espao vetorial V tem dimenso n finita quando nele existirem n vetores linear-mente independentes e quaisquer 1n + vetores forem linearmente dependentes. Caso contrrio, diz-se que a dimenso de V infinita ( )n = . Exemplos 2.4

a) A dimenso de 3V 3; b) A dimenso de \ 1; c) A dimenso de n\ n ; d) A dimenso de ^ 2; e) A dimenso de ( ),k a bC .

34

Exerccios 2.3 a) Qual a dimenso de 2 2M ? b) Qual a dimenso de nP ?

Definio 2.5: Base Um conjunto ordenado de n vetores linearmente independentes pertencentes a um espao vetorial V de dimenso finita n forma uma base.

Exemplos 2.5

a) Em 2\ , os vetores ( ) ( )e 1,21,1 formam uma base; b) Em 2\ , ( ) ( ){ }1,0 , 0,1 formam a chamada base cannica; c) Em 2 2M , as matrizes (2.1) formam a chamada base cannica. d) Mostre que a base cannica de 2\ e de 2 2M esto relacionadas da seguinte forma:

se , 1,2i i =e , so os elementos da base cannica de 2\ e , , 1,2ij i j =E , so os elementos da base cannica de 2 2M , ento Tij i j=E e e .

Exerccios 2.4 a) Generalize o conceito de base cannica para n\ ; b) Generalize o conceito de base cannica para m nM ; c) Mostre que { }2 31, , , , nx x x x formam uma base em nP , o espao vetorial dos polinmios

de grau n .

Observao 2.2 A partir deste momento adota-se a dimenso 3n = para V , designando-o por 3V , pois o espao vetorial de dimenso 3 tem importncia fundamental na Mecnica. No entanto, a maioria dos resul-tados deste captulo valem para n qualquer. O caso de dimenso infinita ser examinado com mai-or detalhe posteriormente.

4 Componentes Considere-se 3x V e a base { }1 2 3, ,e e e em 3V . Como { }1 2 3, , ,x e e e so linearmente dependen-tes, pode-se escrever 1 1 2 2 3 3 0 .a a a a a+ + + = x e e e o , Assim, fazendo-se , 1,2, 3ii

ax ia

= = , tem-se que 1 1 2 2 3 3 .x x x+ +x = e e e

Definio 2.6: Componentes de um vetor em uma base Seja 3x V e seja { }1 2 3, ,e e e uma base de 3V . Se

3

1,i i

ix

=x = e

35

ento os nmeros reais , 1,2, 3ix i = recebem a denominao de componentes do vetor x na base { }1 2 3, ,e e e .

Observao 2.3 As componentes , 1,2, 3ix i = , podem ser agrupadas em uma matriz-coluna, indicada por [ ]ix , como abaixo

[ ]1

2

3

.i

xx x

x

= (2.2)

Quando no houver dvida ou perigo de confuso quanto base utilizada para a definio das com-ponentes, confundir-se- o vetor com a matriz-coluna de suas componentes, escrevendo-se

[ ] .ix=x (2.3) Muitas vezes, matrizes-colunas so chamadas de vetores, embora, a rigor, quaisquer matrizes sejam vetores.

5 Conveno da Somatria Concebida por Einstein, a conveno da somatria retira o smbolo da somatria das expresses, aliviando a notao com componentes.

Definio 2.7: Conveno da somatria A conveno da somatria permite escrever

3

1.i i i i

ix x

== =x e e (2.4)

ou seja, a repetio de um ndice numa expresso significa uma somatria neste ndice de 1 at 3.

Propriedades 2.1 a) Podem-se tratar algebricamente as expresses contendo adies e multiplicaes de soma-

trias como se elas no existissem: ( ) .i i i i i i ia b a c a b c+ = +

b) O ndice sobre o qual efetuada a somatria denominado ndice mudo e pode ser trocado livremente:

.i i j j r ra b a b a b= = = " c) Seja, por exemplo, o seguinte sistema de equaes lineares

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

.

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + = + + = + + =

Ele pode ser substitudo por ,ij j ia x b=

36

que demonstra a fora da notao indicial combinada com a conveno da somatria. Na representao acima j o ndice mudo. O ndice i , que varia tambm de 1 a 3, denomi-nado ndice livre e pode ser tambm livremente trocado em ambos os lados da equao. Pode-se concluir que o nmero de equaes sintetizadas dado por

on de indices livres3 e que cada lado da equao contm

on de indices mudos3 parcelas. A expresso ijklm jlm ika b c= re-presenta, por exemplo, 9 equaes com 27 parcelas do lado esquerdo.

Exerccios 2.5 a) Quantas equaes a expresso 0ijkl ik la c b = sintetiza? Quantas parcelas cada expresso

tem? b) Por que as expresses ij j ija b c= e ijk k ia b d= contm erros? c) Mostre que ik kj ijA B C= indica o produto matricial AB = C , se o primeiro ndice re-

presentar a linha e o segundo ndice a coluna, como usual. d) Mostre que ki kj ijA B C= indica o produto matricial TA B = C . e) Mostre que toda matriz pode ser expressa por ij ijA=A E , onde ijA so os elementos da

matriz e ijE a base cannica de m nM .

6 Espaos Vetoriais Euclidianos Na Geometria travou-se contacto com o produto escalar de dois vetores. Aqui este conceito ser generalizado atravs da seguinte definio.

Definio 2.8: Produto escalar Um espao vetorial com produto escalar ou interno um espao vetorial munido de uma aplicao denominada produto escalar que associa a cada par de vetores 3x, y V um e s um nmero re-al x y , verificando as seguintes propriedades

a) 3, x y = y x x,y V ; b) ( ) 3, , ,+ + x y z = x z y z x y z V ; c) ( ) 3, , ,a a a a+ = + x y x y x y \V ; d) e30, , 0 = x x x x x x = o .V

Observao 2.4 a) A notao ,x y utilizada para o produto escalar, especialmente no contexto de funes. b) A notao :A B utilizada para o produto escalar, especialmente no contexto de matrizes

(e de tensores). c) Um espao vetorial com produto escalar denominado tambm pr-Hilbertiano.

Exemplos 2.6

a) Em 2\ ,( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ,x x y y x y x y = + ; b) Em ( )0 ,a bC , ,

b

af g fgdx= ;

c) Sejam n nA,B M . Uma definio para o produto escalar de duas matrizes quadradas

37

( )tr: ,TA B = A B (2.5) onde ( )tr M indica o trao da matrizM . O operador trao definido por

( )tr1

.n

iiiM

== M (2.6)

Exerccios 2.6

a) Mostre que, em 2\ , ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ,x x y y x y x y = + satisfaz as propriedades do produto escalar;

b) Mostre que em ( )0 ,a bC , ,b

af g fgdx= satisfaz as propriedades do produto escalar;

c) Mostre que em 2 2M a definio ( )tr: TA B = A B satisfaz as propriedades do produto escalar. Mostre tambm que : ij ijA BA B = .

Definio 2.9: Espao vetorial Euclidiano Um espao vetorial dotado de produto escalar e de dimenso finita denominado espao vetorial Euclidiano4 e o espao afim associado denominado espao afim Euclidiano.

Definio 2.10: Norma Euclidiana A magnitude ou norma Euclidiana de um vetor x pertencente a um espao vetorial Euclidiano dada pelo escalar

.= x x x (2.7)

Propriedade 2.2: Desigualdade de Schwarz Em um espao vetorial com produto interno vale a Desigualdade de Schwarz5 3, , . x y x y x y V (2.8) Para demonstr-la, considere-se que 30 , , . + x y x,y \V Mas

( ) ( )2 22 + = + + = + + x y x y x y x x x y y y . Logo

222 2 0 , . + + x x y y \ (2.9) O discriminante do trinmio em acima no deve ser positivo, portanto, ( )2 22 0 , x y x y de onde resulta (2.8).

Propriedade 2.3: Desigualdade triangular Da Desigualdade de Schwarz decorre a Desigualdade Triangular

4 Euclides (ca. 320-260 AC) 5 Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)

38

3, .+ + x y x y x,y V (2.10) De fato, fazendo 1 = em (2.9), tem-se 2 2 22 22 2+ = + + + +x y x x y y x x y y (2.11) Utilizando-se (2.8), de (2.11) vem

( )2 2 2 22 22 2 ,+ + + + + = +x y x x y y x x y y x y (2.12) de onde decorre (2.10).

Propriedade 2.4 Da Desigualdade de Schwarz (2.8) decorre tambm

1 1 . x yx y

(2.13)

Definio 2.11: Distncia entre dois pontos A distncia entre dois pontos A e B de um espao afim Euclidiano dada por

( ), .d A B AB= JJJG (2.14)

Definio 2.12: ngulo entre vetores O ngulo entre dois vetores x e y dado por cos . = x y

x y (2.15)

A definio acima faz sentido por causa de (2.13).

Definio 2.13: Ortogonalidade Dois vetores x e y so ditos ortogonais se 90o = ou 0 .x y =

Propriedade 2.5: Teorema de Pitgoras6 Em um espao vetorial com produto interno vale o seguinte teorema (Teorema de Pitgoras)

2 2290 .o = + = +x y x y (2.16) (2.16) decorre de (2.11) e da definio de ortogonalidade acima.

Exerccios 2.7

a) Considere-se o espao vetorial ( )0 0,1C com o produto escalar1

0,f g fgdx= . Deter-

mine as normas das funes ( ) 1f x = e ( )g x x= e o ngulo entre elas; elas so LI? De-termine o coeficiente de ( )h x x = + , de modo que f e h sejam ortogonais. Deter-mine a distncia entre f e g , definindo-se distncia entre funes por ( ),d f g f g= . Determine o erro de se aproximar ( ) 2p x x= por ( )g x , definindo-se a funo erro ( )x p g = e o erro por ( ),d p g = .

b) Mostre que

6 Pitgoras (571-497 a.C.)

39

2 2 .b b b

a a afgdx f dx g dx (2.17)

Definio 2.14: Colinearidade Dois vetores x e y so ditos colineares se 0o = . Propriedades 2.6 Sejam os vetores x e y , dados por i ixx = e e i iyy = e . Efetuando-se o produto escalar e utili-zando-se as propriedades b) e c) deste, tem-se

( ) .i j i jx y = x y e e (2.18) Definio 2.15: Mtrica O conjunto dos produtos

ij i jg = e e (2.19) recebe a denominao de mtrica do espao vetorial. Note-se que estes produtos so simtricos, isto , ij jig g= por causa da propriedade a) do produto escalar.

7 Bases Ortonormais Definio 2.16: Base ortonormal Uma base dita ortonormal se ,ij i j ijg = =e e (2.20) onde ij o smbolo de Kronecker7 abaixo

se

se

1, ,

0, .iji j

i j

== (2.21)

Propriedades 2.7 a) Em uma base ortonormal, os vetores so unitrios, isto ,

1 , 1,2,3 .i i= =e (2.22) b) Em uma base ortonormal, os vetores so ortogonais entre si, ou seja,

0 , .i j i j = e e (2.23)

Propriedades 2.8 a) O produto escalar de dois vetores x ey , dados por i ixx = e e i iyy = e ,

.ij i jx yx y = (2.24) b) Note-se, no entanto, que (2.21) leva a

.i i j jx y x yx y = = (2.25) 7 Leopold Konecker (1823-1891)

40

evidenciando uma propriedade muito importante de ij : o smbolo de Kronecker pode ser utilizado para substituir ou trocar ndices de grandezas indexadas. Assim, por exemplo, tem-se que ik jl lmn kn jmn ina b a b = .

c) Note-se que

[ ] ,ij = I (2.26) onde I a matriz identidade.

d) Note-se tambm que

( ) ( ) ,j i i j i i j ij ix x x = = =x e e e e e (2.27) e portanto

.j jx = x e (2.28) (2.28) fornece uma interpretao geomtrica para as componentes de um vetor em uma ba-se ortonormal. Utilizando-se (2.15) e (2.28), tem-se

cos ,jx = x (2.29) onde o ngulo entre x e je , ou seja, a componente a projeo do vetor na direo do vetor unitrio da base, conforme a Figura 2.1.

jx

x

je

Figura 2.1: Interpretao geomtrica da componente de um vetor

Exerccios 2.8 Sejam e1 2 1 22 3+ = z = e e w e e em 2V .

a) Calcule e, , z w z w entre estes vetores; b) Construa uma base ortonormal { }1 2,e e , na qual 1e tenha a direo e o sentido dez ; c) Encontre as componentes de w na base { }1 2,e e do item acima.

Observao 2.5 Neste texto sero utilizadas somente bases ortonormais. Bases que no so ortonormais surgem, por exemplo, com a utilizao de coordenadas curvilneas.

Propriedades 2.9: Mudana de base Sejam duas bases ortonormais{ } { }e1 2 3 1 2 3, , , ,e e e e e e . Sejam os seguintes coeficientes

.ij i jm = e e (2.30)

41

Note-se que no h simetria nestes coeficientes, isto , em geral, ij jim m . Determine-se, agora, as componentes de um vetor x na base { }1 2 3, ,e e e por meio de (2.28), ou seja, i ix = e x . Lem-brando-se que j jx=x e , tem-se ( ) ( ) .i i j j j i jx x x= = e e e e (2.31) Logo, tem-se

,i ij jx m x= (2.32) que a expresso da mudana de base para as componentes de um vetor.

Observao 2.6 Os coeficientes ijm so os co-senos dos ngulos entre os vetores unitrios das duas bases.

Exerccios 2.9 a) Mostre que

;i ji jx m x= (2.33) b) Mostre que a matriz [ ]ijm=M ortogonal, isto ,

T TM M = MM = I . (2.34)

(Sugesto: utilize [ ]T ki kjm m=M M ); c) Mostre que a matriz

sen

sen

cos

cos

= R (2.35)

ortogonal e quedet 1=R . d) Mostre que a matriz

sensen

2

21 2 ,22

= + +

R I (2.36)

onde

e3 2

2 2 21 2 3 3 1

2 1

0

0 ,

0

= + + = (2.37)

ortogonal e quedet 1=R . (2.36) conhecida como frmula de Euler-Rodrigues8. e) Encontre ijm dos Exerccios 2.8.

8 Formas Lineares Na lgebra Linear so definidos diversos tipos de aplicaes com propriedades de linearidade e multilinearidade. Formas lineares sero as primeiras a serem consideradas aqui.

8 Leonhard Euler (1707-1783), Benjamin Olinde Rodrigues (1794-1851)

42

Definio 2.17: Forma linear Chama-se forma linear em 3V a toda aplicao 3:A \V , de modo que

a) ( ) ( ) ( ) 3,A A A+ = + x y x y x,y V ; b) ( ) ( ) 3, ,A a aA a= x x x\ V .

Propriedades 2.10 a) Uma forma linear A fica inteiramente caracterizada na base { }1 2 3, ,e e e pelo conhecimen-

to dos coeficientes

( ) .i iA = e (2.38) Para se verificar isto, seja i ix=x e . Pelas propriedades a) e b) da Definio 2.17, tem-se que

( ) ( ) ( ) .i i i i i iA A x x A x = = =x e e i so chamadas de componentes de A na base{ }1 2 3, ,e e e .

b) DadaA , existe um nico vetor a V tal que ( )A = x a x . (2.39)

Para se verificar isto, considere-se que ( )e .i i i ia x A x = =a x x

Logo .i ia =

Diz-se, ento, que o vetor a representa a forma linearA . H autores que definem vetores diretamente como formas lineares.

Exerccios 2.10 Considere a forma linear na base { }1 2 3, ,e e e dada por ( ) 1 2B x x= +x .

a) Determine o vetor b que representaB ; b) Calcule ( )B x , com 1 2 3+ +x = e e e .

9 Operadores Vetoriais Introduz-se, agora, uma aplicao com propriedades de linearidade denominada operador vetorial. Esta aplicao facilita muito o entendimento do conceito de tensor e, por isso, muito importante neste texto.

Definio 2.18: Operador Vetorial Chama-se operador vetorial em 3V a toda aplicao 3 3: T V V , de modo que

a) ( ) ( ) ( ) 3,+ = + T x y T x T y x,y V ; b) ( ) ( ) 3, ,a a a= T x T x x\ V .

43

Propriedades 2.11 a) Um operador vetorial T fica inteiramente caracterizado em uma base { }1 2 3, ,e e e pelo

conhecimento dos vetores ( )iT e . Para se verificar isto, seja i ix=x e . Utilizando-se as propriedades da Definio 2.18 dos operadores vetoriais, tem-se

( ) ( ) ( ) .i i i ix x= =T x T e T e b) Denotando-se as componentes do vetor ( )jT e na base { }1 2 3, ,e e e por ijT , de modo que

( ) ,j ij iT=T e e (2.40) tem-se

( ) ( ) .j j ij j ix T x= =T x T e e (2.41) Logo, se ( )=y T x , ento as componentes de y na base { }1 2 3, ,e e e so dadas por

.i ij jy T x= (2.42) c) ijT so as componentes do operador T na base{ }1 2 3, ,e e e . Veja-se que

( ) .ij i jT = e T e (2.43) Observao 2.7 Tendo em vista a Definio 2.18 e as Propriedades 2.11, o vetor ( )T x grafado a partir deste pon-to como um produto, como se segue

( ) .=T x Tx (2.44) Logo, se ( )=y T x , ento =y Tx . (2.43) grafado, ento, da seguinte forma .ij i jT = e Te (2.45)

Definio 2.19: Operador nulo O operador vetorial O tal que 3,= Ox o x V (2.46) denominado operador nulo. Note-se que 0ijO = .

Definio 2.20: Operador identidade O operador vetorial I tal que 3= Ix x , x V (2.47) denominado operador identidade. Note-se que ij ijI = (2.48) em bases ortonormais.

Definio 2.21: Transposio de operadores vetoriais

O operador TT denominado o operador transposto de T , se

( ) ( ) 3, .T = x Ty y T x x,y V (2.49)

44

Propriedade 2.12 fcil mostrar que

Tij jiT T= (2.50) em bases ortonormais. (2.50) indica que

[ ] [ ] .TTij ijT T= (2.51) Definio 2.22: Operadores simtricos O operador vetorial T dito simtrico se ( ) ( ) 3, . = x Ty y Tx x,y V (2.52)

Propriedades 2.13 De acordo com (2.49) para operadores simtricos

.T =T T (2.53)

Propriedades 2.14 De (2.50) decorre que, para operadores simtricos,

,ij jiT T= (2.54) ou seja,

[ ] [ ] ,Tij ijT T= (2.55) em bases ortonormais.

Definio 2.23: Operadores anti-simtricos Um operador vetorial dito anti-simtrico se ( ) ( ) 3, . = x Ty y Tx x,y V (2.56) De acordo com (2.49) para operadores anti-simtricos

.T = T T (2.57)

Propriedades 2.15 De (2.50) decorre que, para operadores anti-simtricos,

,ij jiT T= (2.58) ou seja

[ ] [ ] ,Tij ijT T= (2.59) em bases ortonormais.

Definio 2.24: Soma de operadores vetoriais Sejam e,T U V operadores vetoriais em 3V . Se

3, ,= + Tx Ux Vx x V (2.60)

45

ento o operador vetorial T denominado a soma dos operadores vetoriais U e V , sendo, por isso, denotado por = +T U V . Propriedade 2.16 Todo operador vetorial T pode ser decomposto na soma de um operador simtrico S e um opera-dor anti-simtrico A como se segue ,= +T S A (2.61) onde

( ) ( )e1 1 .2 2T T= + = S T T A T T (2.62) Em termos das componentes em uma base ortonormal, tem-se

( ) ( )e1 1 .2 2ij ij ji ij ij ji