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Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Zé Moreira

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Apostila Mpe - Ze Moreira

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    DIVISO PROPORCIONAL

    Vamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3, 4, e 5, entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente.

    Portanto:

    1a Pessoa - Recebe proporcional a 3 A = 3 K

    2a Pessoa - Recebe proporcional a 4 B = 4 K

    3a Pessoa - Recebe proporcional a 5 C = 5 K

    Logo: A + B + C = 120 3 K + 4K + 5K = 120

    ACHAR A CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE >>>>> IDEIA CENTRAL

    K = 120_____ K=10

    3k+4k+5k

    Logo: A = 30.

    B = 40.

    C = 50.

    PROBLEMAS PROPOSTOS

    1. Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

    2. Dividir o nmero 810 em parte diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6.

    3. Dividir o nmero 48 em partes inversamente proporcionais a 1/3, 1/5 e 1/8.

    DICA:

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    4. Dividir o nmero 305 em partes inversamente proporcionais a 3/8, 5 e 5/6.

    DICA:

    5. Dividir o nmero 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4, 3.

    DICA:

    6. Dividir o nmero 148 em partes diretamente proporcionais a 2 6 8 e inversamente

    proporcionais a 1/4, 2/3 e 0,4.

    DICA:

    7. Dividir o nmero 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a 2/5, 4, 0,3 e 6, 3/2, 2/3.

    DICA:

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    8. Uma herana foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais s suas idades que so 32,38 e 45.

    Se o mais novo recebeu R$ 96000, quanto recebeu o mais velho?

    DICA:

    9. Uma empresa dividiu os lucros entre seus scios, proporcionalmente a 7 e 11.

    Se o 2 scio recebeu R$ 20.000,00 a mais que o 1 scio, quanto recebeu cada um?

    DICA:

    10. Trs scios formam uma empresa. O scio A entrou com R$ 2000 e trabalha 8h/dia. O scio B entrou com R$ 3000 e trabalha 6h/dia. O scio C entrou com R$ 5000 e trabalha 4h/dia. Se, na diviso dos lucros o scio B recebe R$ 90.000, quanto recebem os demais scios?

    DICA:

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    PROBLEMAS DE CONCURSOS

    1. (Carlos Chagas) Certo ms o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionrios uma gratificao no valor de R$ 500. Essa quantia foi dividida entre eles em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos nmeros de horas de plantes que cumpriram no ms e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais suas respectivas idades. Se um dos funcionrios tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantes e, outro, de 45 anos cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber.

    a) R$ 302,50

    b) R$ 310,00

    c) R$ 312,50

    d) 325,00

    e) 342,50

    2. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa h um certo nmero de aparelhos eltricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois tcnicos dividirem o total de aparelho entre si, na razo inversa de seus respectivos tempos de servio na empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total reparados foi:

    a) 21 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12

    Gabarito:

    01. C 02. D

    PROBLEMAS PROPOSTOS

    01. Dividir o nmero 72 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

    02. Dividir o nmero 240 em partes diretamente proporcionais a 9, 10 e 11.

    03. Dividir o nmero 495 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 4 e 5/6.

    04. Dividir o nmero 4550 em partes diretamente proporcionais a 3/4, 1/2, e 5/9.

    05. Dividir o nmero 600 em partes inversamente proporcionais a 1/3, 1/8 e 1/9.

    06. Dividir o nmero 291 em partes inversamente proporcionais a 2, 3/4 e 5/7.

    07. Dividir o nmero 250 em partes diretamente proporcionais a 15, 9 e 6.

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    08. Dividir o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.

    09. Dividir o nmero 60 em parte diretamente proporcionais a 6, 8 e 10.

    10. Dividir o nmero 60 em partes diretamente proporcionais a 4,5; 6 e 7,5.

    11. De que outra maneiras poderamos dividir o nmero 60 para obtermos o mesmo resultado dos problemas anteriores?

    12. Dividir o nmero 240 em 3 partes de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 3 est para 4 e que a segunda esteja para a terceira como 6 est para 7,5.

    13. Dividir o nmero 500 em 3 partes de tal forma que o primeiro seja 2/3 do segundo e que o terceiro seja igual ao dobro do primeiro acrescido da quarta parte desse dobro.

    14. Dividir o nmero 650 em partes diretamente proporcionais simultaneamente a 3, 7, 8 e 9, 2, 3.

    15. Dividir o nmero 4590 diretamente proporcional a 6, 15 e 18 e inversamente proporcional a 3/5, 8 e 0,9.

    16. Um nmero X dividido proporcionalmente a 2 e a 3. Contudo, se este mesmo nmero X fosse dividido proporcionalmente a 5 e 7, a segunda parte ficaria diminuda em 16 unidades. Determine o nmero.

    17. Um certo nmero dividido proporcionalmente a 3, 5 e 8. Determine o nmero e cada uma das trs partes sabendo que o qudruplo da primeira mais o dobro do segundo menos o dobro do terceiro igual a 36.

    18. Um certo nmero dividido proporcionalmente a 7 e 8. No entanto, se fosse dividido proporcionalmente a 3 e 9, a primeira parte ficaria diminuda em 26 unidades. Determine o nmero e as partes.

    19. Certa herana foi dividida de forma proporcional s idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $ 525,00 quanto coube ao mais novo?

    a) $ 230,00 b) $ 245,00 c) $ 325,00 d) $ 345,00 e) $ 350,00

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    20. Certa quantia foi dividida entre duas pessoas em partes proporcionais a 5 e 8. Se a Segunda recebeu $ 3600 a mais que a primeira determine o total distribudo e a parte que correspondeu a cada pessoa.

    21. Na sucesso de nmeros inversamente proporcionais 6, 16, 4 e 8 X, 12 o valor de X :

    a) 10 b) 8 c) 3 d) 4 e) 6

    22. Paulo pesa 80kg e Antnio 60kg. Se suas idades so inversamente proporcionais a seus pesos e Paulo tem 30 anos, a idade de Antnio :

    a) 20 anos b) 40 anos c) 16 anos d) 45 anos e) 70 anos

    23. Dividir 45 partes diretamente proporcionais a 0,003 e 0,012.

    24. A importncia de $ 684.000 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razo direta de 7 e 3 e que a segunda recebeu na razo direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.

    25. Um prmio dividido entre e pessoas proporcionalmente a 10, 12 e 15. Se o terceiro recebeu $ 8500 a mais que o primeiro, determine o valor do prmio e quanto coube aos demais.

    26. A famlia A, de cinco pessoas, e a famlia B, de quatro pessoas, combinaram passar as frias numa casa de campo, com despesas em comum, distribudas de acordo com o nmero de pessoas de cada uma. Terminada as frias, verificou-se que a famlia A gastou $ 8.424,00 e a famlia B $ 9.342,00 razo pela qual tiveram de fazer acerto de contas. Que quantia a famlia A teve de dar famlia B?

    27. Dois carros so avaliados na proporo direta de sua potncia e na proporo inversa do tempo de uso. O carro A tem 80Hp e 2 anos de uso e o carro B tem 120Hp e 5 anos de uso. Se o carro A foi vendido por $ 10.000,00 qual o valor do carro B?

    28. As sucesses 12, a, b e 3, 4, 5 so inversamente proporcionais. Ento a-b vale:

    a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1,8

    29. Duas pessoas fazem uma viagem com os gastos divididos proporcionalmente a suas idades de 21 e 24 anos. Como os gastos foram feitos aleatoriamente tiveram de fazer um acordo de contas no final da viagem. Verificou-se que a primeira pessoa gastou $ 1850 e que a segunda pessoa gastou $ 1300. Qual o valor que a segunda pessoa deve restituir primeira?

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    30. Trs irmos tiveram as seguintes faltas no semestre escolar: Pedro (4), Cristina (7) e Carlos (12). O pai resolveu repartir $ 1200 em partes inversamente proporcionais as suas faltas. Quanto recebeu cada filho?

    31. Dividir o nmero 735 em trs partes, de tal forma que o primeiro esteja para o segundo como 0,3 est para 4/5 e que o segundo esteja para o terceiro como 3,6 est para 2,4.

    32. Uma coleo de 385 figurinhas ser repartida entre Fernando, Roberto e Francisco proporcionalmente idade de cada um. Para cada 4 figurinhas dadas Fernando so dadas 3 figurinhas Roberto e para cada 6 figurinhas dadas Fernando so dadas 7 figurinhas a Francisco. Ento, Francisco recebe:

    a) 133 b) 121 c) 143 d) 154 e) 165

    33. O montante de $ 12.640 deve ser dividido em 3 partes de tal forma que a segunda seja 20% maior que a primeira e a terceira 20% menor que a segunda. Quanto recebe o segundo?

    a) $ 4740 d) $ 4000

    b) $ 4800 e) $ 3840

    c) $ 3950

    34. Dividir o nmero 245 em 3 partes sabendo que a Segunda parte 1/8 menor que a primeira e que a terceira 4/3 da soma das duas primeiras.

    35. Uma herana de $ 200.000 foi dividida entre trs irmos de acordo com suas idades de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmos mais velhos receberam $ 150.000. Sabendo-se que a soma das idades dos trs irmos de 40 anos, a idade do irmo mais moo, contada em anos, de:

    a) 11 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13

    36. Em uma pesquisa eleitoral, de um universo de 240 pessoas entrevistadas, 50 votam no candidato A, 90 no candidato B e 80 no candidato C. Os restantes votam em branco. Mantendo-se esta proporo, podemos dizer que em 150 milhes de eleitores, o vencedor ter:

    a) 56,25 milhes b) 35 milhes c) 31,25 milhes

    d) 50 milhes e) mais de 120 milhes

    37. 165 balas foram distribudas entre 3 irmos, cujas idades somadas totalizaram 33 anos. Sabendo-se que a distribuio foi diretamente proporcional idade de cada um, que o mais moo recebeu 40 balas e o do meio 50, calcular suas idades.

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    a) 6, 13, 14 d) 6, 11, 16

    b) 7, 9, 17 e) 8, 10, 15

    c) 3, 12, 18

    GABARITO

    01. 16, 24, 32 20. 15600 A = 6000 B = 9600 02. 72, 80, 88 21. C

    03. 60, 360, 75 22. B 04. 1890, 1260, 1400 23. 9 e 36

    05. 90, 240, 270 24. 252 e 432 06. 45, 120, 126 25. 62900 (17000, 20400, 25500)

    07. 125, 75, 50 26. $ 1446 08. 15, 20, 25 27. $ 6000

    09. 15, 20, 25 28. E 10. 15, 20, 25 29. $ 380

    11. Qualquer sequncia proporcional a 3, 4, 5 30. 630, 360, 210

    12. 60, 80, 100 31. 135, 360, 240 13. 100, 150, 250 32. D

    14. 270, 140, 240 33. B 15. 1440, 270, 2880 34. 56, 49, 146

    16. 960 35. C 17. 18, 30, 48 N = 96 36. A

    18. N=120 A) 56 e 64 B) 30 e 90 19. D

    20. 15600 A = 6000 B = 9600 21. C

    22. B 23. 9 e 36 24. 252 e 432 25. 62900 (17000, 20400, 25500)

    26. $ 1446 27. $ 6000 28. E 29. $ 380 30. 630, 360, 210

    31. 135, 360, 240 32. D 33. B 34. 56, 49, 146 35. C 36. A 37. E

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    GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

    TEOREMA DE PITGORAS

    ARCO E NGULO

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    NGULO AGUDO________________________________________________

    NGULO OBTUSO_______________________________________________

    CONGRUNCIA DE NGULOS

    1. ANGULOS CORRESPONDENTES

    2. NGULOS OPOSTOS PELO VRTICE

    CLASSIFICAO DOS NGULOS

    NGULO RETO NGULO RASO

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    TEOREMA NGULAR DE TALES

    SEMELHANAS DE TRINGULOS

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    RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

    EXEMPLOS

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    RELAES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

    EXEMPLOS

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    PERMETRO

    QUADRADO

    REAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

    RETNGULO

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    TRINGULO QUALQUER

    FRMULA DE HERO

    ( ) ( ) ( ) a b

    c

    ALTURA DO TRINGULO EQUILTERO

    REA DO TRINGULO EQUILTERO

    TRINGULO EQUILTERO

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    TRINGULO RETNGULO

    TRAPZIO

    HEXGONO REGULAR

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    PARALELOGRAMA

    LOSANGO

    CRCULO

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    INSCRIO E CIRCUNSCRIO DE POLGONOS E CRCULOS

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    CUBO OU HEXAEDRO REGULAR

    GEOMETRIA ESPACIAL

    PARALELEPPEDO OU ORTOEDRO

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    CILINDRO

    PRISMA QUADRANGULAR REGULAR

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    PRISMA TRIANGULAR REGULAR

    PRISMA HEXAGONAL REGULAR

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    CONE

    ESFERA

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    PIRMIDE

    DICAS

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    MEDIDA DE TENDNCIA CENTRAL

    EXEMPLO 2

    PREO Fi

    10 5

    20 3

    30 2

    40 6

    50 4

    fi = 20

    OBSERVAES

    N mpar a posio mediana ser

    OU DICA

    N Par a mediana mdia aritmtica dos 2 exemplos centrais

    NOES DE ESTATSTICA

    MDIA, MODA E MEDIANA

    SEM INTERVALOS DE CLASSE MDIA DE PULSAO =

    MDIA DE AMOSTRA = X

    EXEMPLO 1

    NOTAS fi FI

    1,0 2

    3,0 4 =

    5,0 8 Mo =

    7,0 3 Md =

    9,0 3

    fi = 20

    X

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    MDIA, MODA < MEDIANA

    COM INTERVALO DE CLASSE

    CLASSE SALRIO fi

    i = 1 200 500 4

    i = 2 500 800 8

    i = 3 800 1100 6

    i = 4 1100 1400 2

    fi = 20

    MDIA

    R = 740

    EXEMPLO 3

    CLASSE (kg)

    MASSA fi Fi

    i = 1 3 6 =

    i = 2 4 13 Mo =

    i = 3 5 21 Md =

    i = 4 6 25

    X

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    MODA MODA BRUTA

    R. 650 MODA PELO MTODO DE CZUBER

    CLASSE MODAL

    X

    Y

    4

    8

    6

    INTERVALO DE CLASSE

    300

    MODA PELO MTODO DE PEARSON R = 700 Utilizamos quando os 3 parmetros de tendncia central so prximos

    Mo = 3 md - 2

    MEDIANA

    6

    8

    INTERVALO DE CLASSE

    300

    R = 725

    X

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    (RECEITA FEDERAL / 94) Considere a distribuio de freqncia transcrita a seguir para resolver s questes de 01 a 04.

    A) 65% das observaes tm peso no inferior a 4kg e inferior a 10kg. B) Mais de 65% das observaes tm peso maior ou igual a 4kg. C) Menos de 20% das observaes tm peso igual ou superior a 4kg. D) A soma dos pontos mdios dos intervalos de classe inferior ao tamanho da populao. E) 8% das observaes tm peso no intervalo de classe 8 10. 02. A mdia da distribuio igual a: A) 5,27kg. B) 5,24kg. C) 5,21kg. D) 5,19kg. E) 5,30kg. 03. A mediana da distribuio igual : A) 5,30kg. B) 5,00kg. C) um valor inferior a 5kg. D) 5,10kg. E) 5,20kg. 04. A moda da distribuio: A) coincide com o limite superior do intervalo de classe; B) coincide com o ponto mdio de um intervalo de classe; C) maior do que a mediana e do que a mdia geomtrica; D) um valor inferior mdia aritmtica e mediana; E) pertence a um intervalo de classe distinto do da mdia aritmtica.

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    05. Determine a moda dos valores apresentados na tabela abaixo, pelo mtodo de CZUBER. CLASSES FREQNCIA

    A) 36,25 B) 35,25 C) 34,44 D) 34,16 E) 35,00 06. (AFC) Entre os funcionrios de um orgo do governo, foi retirada uma amostra de dez indivduos. Os nmeros que representam as ausncias ao trabalho registradas para cada um deles, no ltimo ano, so: 0; 0; 0; 2; 2; 2; 4; 4; 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padro desta amostra : A) 3 B) 9 C) 10 D) 30 07. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MINAS GERAIS) O desvio padro do conjunto de dado A = {2, 4, 6, 8, 10} , aproximadamente, igual a: A) 2,1 B) 2,4 C) 2,8 D) 3,2 E) 3,6 08. (TCU) Doze fichas de funcionrios de uma empresa foram selecionadas as acaso; foram anotados os nmeros de dependentes, na ordem de seleo, a saber: 3; 0; 5; 2; 3; 6; 4; 1; 3; 2; 4 ; 3. Para a varivel nmero de dependentes, resolva a expresso: "mdia + moda + mediana + varincia + 1,5"

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    09. Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa.

    A cada uma delas perguntou-se: Quantos filhos voc tem?. O entrevistador foi anotando

    cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido pressa, esqueceu-

    se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em

    que foram registradas.

    2 0 3 1 1 0 1 4 1

    A partir das informaes acima, analise as afirmativas a seguir.

    I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no

    registrada.

    II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta no

    registrada.

    III - A mdia das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no

    registrada.

    Est correto APENAS o que se afirma em

    (A) I.

    (B) II.

    (C) III.

    (D) I e II.

    (E) II e III

    10. Em uma pesquisa de preos de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de

    uma amostra aleatria colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam.

    Estabelecimento Preo

    P 5,00

    Q 8,00

    R 6,00

    S 6,00

    T 4,00

    U 7,00

    A varincia dessa amostra

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    (A) 1,50

    (B) 1,75

    (C) 2,00

    (D) 2,25

    (E) 2,50

    Para responder s questes de nmeros 3 e 4, considere as informaes abaixo:

    Suponha que certa Agncia do Banco do Brasil tenha 25 funcionrios, cujas idades, em anos,

    so as seguintes:

    24 24 24 25 25 30 32 32 32

    35 36 36 40 40 40 40 46 48

    48 50 54 54 60 60 65.

    11. A mdia das idades dos funcionrios dessa Agncia, em

    anos, igual a

    (A) 36.

    (B) 38.

    (C) 40.

    (D) 42.

    (E) 44.

    12. A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionrios, a sua idade

    seja superior a 48 anos de

    (A) 28%.

    (B) 27,4%.

    (C) 27%.

    (D) 25,8%.

    (E) 24%.

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    13. Dos 36 funcionrios de uma Agncia do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7 so fumantes,

    22 so do sexo masculino e 11 so mulheres que no fumam. Com base nessas afirmaes,

    correto afirmar que o

    (A) nmero de homens que no fumam 18.

    (B) nmero de homens fumantes 5.

    (C) nmero de mulheres fumantes 4.

    (D) total de funcionrios do sexo feminino 15.

    (E) total de funcionrios no fumantes 28.

    Gabarito

    01. B 02. A 03. B 04. D

    05. D 06. C 07. C 08. 13

    09. A 10. C 11.C 12.E 13.A