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Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Aula de Física III - Equações de Maxwell
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
19 de outubro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Equações de Maxwell
Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Teoremas Integrais
Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Equações de Maxwell
Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Teoremas Integrais
Teorema da Divergência:
∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Ondas Eletromagnéticas Planas
Teoremas Integrais
Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:
∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Teoremas Integrais
Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Teorema da Divergência:∮S
~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então:
∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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~a ∗ n dS =
∫V
~∇ ∗~a dV (1)
Teorema do Rotacional:∮C
~a ∗ ~dl =∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS (2)
Como vale a identidade:
~∇ ∗ (~∇ x ~a) = 0 (3)
então: ∫S
(~∇ x ~a) ∗ n dS = 0 (4)
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Ondas Eletromagnéticas Planas
Aplicando os teoremas, as equações básicas para campos
eletromagnéticos no vácuo �cam:
∮S
~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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Aplicando os teoremas, as equações básicas para campos
eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S
~E ∗ n dS =q
ε0
=⇒ ~∇ ∗ ~E =ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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Aplicando os teoremas, as equações básicas para campos
eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S
~E ∗ n dS =q
ε0=⇒
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0
=⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒
~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC
=⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S
~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒
~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS
=⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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Aplicando os teoremas, as equações básicas para campos
eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S
~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒
~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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eletromagnéticos no vácuo �cam:∮S
~E ∗ n dS =q
ε0=⇒ ~∇ ∗ ~E =
ρ
ε0(5)
∮S
~B ∗ n dS = 0 =⇒ ~∇ ∗ ~B = 0 (6)
∮C
~B ∗ ~dl = µ0IC =⇒ ~∇ x ~B = µ0~j (7)
∮C
~E ∗ ~dl = − d
dt
∫S
~B ∗ n dS =⇒ ~∇ x ~E = −∂~B
∂t(8)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0
=⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒
~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E
=⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Ondas Eletromagnéticas Planas
Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒
∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Ondas Eletromagnéticas Planas
Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Ondas Eletromagnéticas Planas
Agora, tomando a equação (7), temos:
~∇ ∗ (~∇ x ~B) = 0 =⇒ ~∇ ∗~j = 0 (9)
Este resultado contradiz a Equação da Continuidade:
~∇ ∗~j + ∂ρ
∂t= 0 (10)
Por outro lado, escrevendo (5) em função de ρ, temos:
ρ = ε0~∇ ∗ ~E =⇒ ∂ρ
∂t=
∂
∂t(ε0~∇ ∗ ~E ) = ~∇ ∗
(ε0∂~E
∂t
)(11)
de modo que a Equação da Continuidade pode ser escrita como:
~∇ ∗
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= 0 (12)
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Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:
~∇ x ~B = µ0
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= µ0~j + ε0µ0
∂~E
∂t(13)
Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:
~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
~∇ ∗ ~B = 0
que é compatível com a Equação da Continuidade (10).
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Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:
~∇ x ~B = µ0
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= µ0~j + ε0µ0
∂~E
∂t(13)
Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:
~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
~∇ ∗ ~B = 0
que é compatível com a Equação da Continuidade (10).
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Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:
~∇ x ~B = µ0
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= µ0~j + ε0µ0
∂~E
∂t(13)
Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:
~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
~∇ ∗ ~B = 0
que é compatível com a Equação da Continuidade (10).
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Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:
~∇ x ~B = µ0
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= µ0~j + ε0µ0
∂~E
∂t(13)
Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:
~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
~∇ ∗ ~B = 0
que é compatível com a Equação da Continuidade (10).
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Comparando (12) com (9), temos que (7) deve ser escrita como:
~∇ x ~B = µ0
(~j + ε0
∂~E
∂t
)= µ0~j + ε0µ0
∂~E
∂t(13)
Portanto, o sistema de Equações de Maxwell no vácuo é:
~∇ x ~B = µ0~j + ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
~∇ ∗ ~B = 0
que é compatível com a Equação da Continuidade (10).
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Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde
não há cargas nem correntes:
~∇ x ~B = ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E = 0
~∇ ∗ ~B = 0
Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só
dependam de uma única coordenada e do tempo:
~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)
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Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde
não há cargas nem correntes:
~∇ x ~B = ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E = 0
~∇ ∗ ~B = 0
Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só
dependam de uma única coordenada e do tempo:
~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)
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Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde
não há cargas nem correntes:
~∇ x ~B = ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E = 0
~∇ ∗ ~B = 0
Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só
dependam de uma única coordenada e do tempo:
~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)
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Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde
não há cargas nem correntes:
~∇ x ~B = ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E = 0
~∇ ∗ ~B = 0
Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só
dependam de uma única coordenada e do tempo:
~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)
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Consideremos as Equações de Maxwell no vácuo, numa região onde
não há cargas nem correntes:
~∇ x ~B = ε0µ0∂~E
∂t
~∇ x ~E = −∂~B
∂t
~∇ ∗ ~E = 0
~∇ ∗ ~B = 0
Vamos porcurar soluções simples para esse sistema, que só
dependam de uma única coordenada e do tempo:
~E = ~E (z , t); ~B = ~B(z , t)
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Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:
−∂By∂z
i +∂Bx∂z
j = µ0ε0
(∂Ex∂t
i +∂Ey∂t
j +∂Ez∂t
k
);∂Bz∂z
= 0
−∂Ey∂z
i +∂Ex∂z
j = −(∂Bx∂t
i +∂By∂t
j +∂Bz∂t
k
);∂Ez∂z
= 0
que dão ∂Ez∂z = ∂Ez
∂t = ∂Bz
∂z = ∂Bz
∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser
constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:
∂By∂z
= −µ0ε0∂Ex∂t
;∂Ex∂z
= −∂By∂t
(14)
∂Bx∂z
= µ0ε0∂Ey∂t
;∂Ey∂z
=∂Bx∂t
(15)
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Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:
−∂By∂z
i +∂Bx∂z
j = µ0ε0
(∂Ex∂t
i +∂Ey∂t
j +∂Ez∂t
k
);∂Bz∂z
= 0
−∂Ey∂z
i +∂Ex∂z
j = −(∂Bx∂t
i +∂By∂t
j +∂Bz∂t
k
);∂Ez∂z
= 0
que dão ∂Ez∂z = ∂Ez
∂t = ∂Bz
∂z = ∂Bz
∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser
constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:
∂By∂z
= −µ0ε0∂Ex∂t
;∂Ex∂z
= −∂By∂t
(14)
∂Bx∂z
= µ0ε0∂Ey∂t
;∂Ey∂z
=∂Bx∂t
(15)
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Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:
−∂By∂z
i +∂Bx∂z
j = µ0ε0
(∂Ex∂t
i +∂Ey∂t
j +∂Ez∂t
k
);∂Bz∂z
= 0
−∂Ey∂z
i +∂Ex∂z
j = −(∂Bx∂t
i +∂By∂t
j +∂Bz∂t
k
);∂Ez∂z
= 0
que dão ∂Ez∂z = ∂Ez
∂t = ∂Bz
∂z = ∂Bz
∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser
constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:
∂By∂z
= −µ0ε0∂Ex∂t
;∂Ex∂z
= −∂By∂t
(14)
∂Bx∂z
= µ0ε0∂Ey∂t
;∂Ey∂z
=∂Bx∂t
(15)
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Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:
−∂By∂z
i +∂Bx∂z
j = µ0ε0
(∂Ex∂t
i +∂Ey∂t
j +∂Ez∂t
k
);∂Bz∂z
= 0
−∂Ey∂z
i +∂Ex∂z
j = −(∂Bx∂t
i +∂By∂t
j +∂Bz∂t
k
);∂Ez∂z
= 0
que dão ∂Ez∂z = ∂Ez
∂t = ∂Bz
∂z = ∂Bz
∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser
constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:
∂By∂z
= −µ0ε0∂Ex∂t
;∂Ex∂z
= −∂By∂t
(14)
∂Bx∂z
= µ0ε0∂Ey∂t
;∂Ey∂z
=∂Bx∂t
(15)
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Desta forma, as Equações de Maxwell podem ser escritas assim:
−∂By∂z
i +∂Bx∂z
j = µ0ε0
(∂Ex∂t
i +∂Ey∂t
j +∂Ez∂t
k
);∂Bz∂z
= 0
−∂Ey∂z
i +∂Ex∂z
j = −(∂Bx∂t
i +∂By∂t
j +∂Bz∂t
k
);∂Ez∂z
= 0
que dão ∂Ez∂z = ∂Ez
∂t = ∂Bz
∂z = ∂Bz
∂t = 0. Logo, Ez e Bz teriam de ser
constantes. Tomando Ez = Bz = 0, temos:
∂By∂z
= −µ0ε0∂Ex∂t
;∂Ex∂z
= −∂By∂t
(14)
∂Bx∂z
= µ0ε0∂Ey∂t
;∂Ey∂z
=∂Bx∂t
(15)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:
∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒
∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:
∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒
∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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Derivando a primeira equação de (14) com respeito a z, e a
segunda, com respeito a t, obtemos:∂2By
∂z2= −µ0ε0 ∂
2Ex∂z∂t
∂2Ex∂z∂t = −∂2By
∂t2
=⇒ ∂2By∂z2
− µ0ε0∂2By∂t2
= 0 (16)
E, derivando a primeira equação de (14) com respeito a t, e a
segunda, com respeito a z, obtemos:∂2By
∂z∂t = −µ0ε0 ∂2Ex∂t2
∂2Ex∂z2
= −∂2By
∂z∂t
=⇒ ∂2Ey∂z2
− µ0ε0∂2Ey∂t2
= 0 (17)
Portanto, tanto Ex quanto By satisfazem:
∂2f
∂z2− 1
ν2∂2f
∂t2= 0 (18)
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:
{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒
(ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A equação (18) é dita Equação da Onda Unidimensional, onde
ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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ν = (ε0µ0)− 1
2 (19)
e vale tanto para Ey quanto para Bx no sistema (15). Com efeito,
temos que:{ε0 ∼= 10−9
4π∗8,98755Fm
µ0 = 4π ∗ 10−7 Hm
=⇒ (ε0µ0)− 1
2 ∼= 2, 99792 ∗ 108 (20)
que é o valor da velocidade da luz no vácuo.
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A solução geral da Equação da Onda (18) é dada por:
f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
(23)
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Teoremas IntegraisA Equação da Onda
Ondas Eletromagnéticas Planas
Ondas Eletromagnéticas Planas
A solução geral da Equação da Onda (18) é dada por:
f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):
{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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A solução geral da Equação da Onda (18) é dada por:
f (z , t) = F (z − vt) + G (z + vt) (21)
onde F e G são funções arbitrárias. Vamos considerar uma solução
do sistema (14):
Ex(z , t) = Ex(z − ct); c = (ε0µ0)− 1
2 (22)
Para obtermos a solução correspondente para By , substituímos a
expressão (22) no sistema (14):{ ∂By
∂z = −µ0ε0 ∂Ex∂t = − 1c2∂Ex∂t = − 1
c2E ′x(z − ct)
∂Ex∂z = E ′x(z − ct) = −∂By
∂t
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒ ~B =
1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct)
=⇒ ~B =1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒
~B =1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒ ~B =
1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒ ~B =
1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒ ~B =
1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Desta forma, concluímos que:
By (z , t) =1
cEx(z − ct) =⇒ ~B =
1
ck x ~E (24)
ou seja, as ondas são transversais à direção de propagação k ,
formando um triedro ortogonal direto. a forma mais simples da
onda é aquela para qual a dependência de z − ct é oscilatória, ou
seja:
~E = A ∗ cos[kz − ωt + δ]i ; ~B =A
c∗ cos[kz − ωt + δ]i (25)
onde k = ωcé o número de onda, e A a amplitude. Uma onda dessa
natureza é dita harmônica ou monocromática.
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Ondas Eletromagnéticas Planas
As duas soluções independentes correspondem às duas polarizações
lineares independentes possíveis, que são ortogonais. Qualquer
outra direção de polarização linear é uma superposição destas duas
(combinação linear). Podemos generalizar assim:
~E = Re(A ∗ ε ∗ exp[i(ku ∗ r − ωt + δ)]); ~B =1
cu x ~E (26)
onde u é o versor de onda, e ε é o versor de polarização, que
correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .
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As duas soluções independentes correspondem às duas polarizações
lineares independentes possíveis, que são ortogonais. Qualquer
outra direção de polarização linear é uma superposição destas duas
(combinação linear). Podemos generalizar assim:
~E = Re(A ∗ ε ∗ exp[i(ku ∗ r − ωt + δ)]); ~B =1
cu x ~E (26)
onde u é o versor de onda, e ε é o versor de polarização, que
correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .
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As duas soluções independentes correspondem às duas polarizações
lineares independentes possíveis, que são ortogonais. Qualquer
outra direção de polarização linear é uma superposição destas duas
(combinação linear). Podemos generalizar assim:
~E = Re(A ∗ ε ∗ exp[i(ku ∗ r − ωt + δ)]); ~B =1
cu x ~E (26)
onde u é o versor de onda, e ε é o versor de polarização, que
correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .
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As duas soluções independentes correspondem às duas polarizações
lineares independentes possíveis, que são ortogonais. Qualquer
outra direção de polarização linear é uma superposição destas duas
(combinação linear). Podemos generalizar assim:
~E = Re(A ∗ ε ∗ exp[i(ku ∗ r − ωt + δ)]); ~B =1
cu x ~E (26)
onde u é o versor de onda, e ε é o versor de polarização, que
correspondem, em nosso caso, a ε = i ou ε = j , e u ≡ k .Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Equações de Maxwell