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Clculo Diferencial em IRn

(Clculo diferencial em campos escalares)

Jos Antnio Caldeira Duarte

DMAT

16 Maio 2001


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Contedo

1 Clculo Diferencial em Campos Escalares 2

1.1 Derivadas Parciais de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Derivadas Parcias de Ordem Superior Primeira . . . . . . . 61.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . 71.4 Derivada Dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 O vector Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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1 Clculo Diferencial em Campos Escalares

O conceito fundamental desta seco o de derivada de um campo escalar.

1.1 Derivadas Parciais de 1a Ordem

Considere-se uma funo z= f(x, y)definida num subconjunto Dde IR2 eseja (a, b) um ponto interior de D. Fixando y em b, est-se a restringir odomnio da funo aos pontos que pertencem a D e se encontram sobre arectay = b do plano XOY;a correspondncia

x

f(x, b)

define ento uma funo de uma nica varivel x.

a

O b

x

y

c

zO grfico da funo

z=f(x,y)

a

O b

x

y

c

z

O grfico

da funo f(x,b)

Se esta funo for derivvel no ponto x = a, tem-se que a sua derivadanesse ponto dada por

limh0

f(a+h, b) f(a, b)h

.

a este limite (caso exista) que se d o nome de derivada parcial

da funo f(x, y) em ordem a x, no ponto (a, b). Simbolicamente representada por

fx(a, b) , f

x(a, b) ou (Dxf) (a, b)

Podemos interpretar geometricamente este conceito da seguinte forma:A funo f(x, b)foi obtida fixando o valor da varivel yembna funo

f(x, y);ento o seu grfico ser obtido pela interseco do grfico da funoz=f(x, y)com o plano vertical y= b.

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A derivada parcial de fem ordem a xno ponto (a, b),sendo a derivada

da funo real de varivel real z = f(x, b), representar o declive da rectatangente ao seu grfico no ponto(a,b,c).

a

O b

x

y

c

z

A recta tangente

ao grfico da funo

f(x,b) no ponto (a,b,c).

O grfico

da funo f(x,b)

De forma anloga define-se a derivada parcial de f(x, y)em ordem a yno ponto(a, b). Fixando x em a, a transformao

y f(a, y)

define uma funo de uma s varivel y;

a

O b

x

y

c

z

O grfico

da funo f(a,y)

se esta funo for derivvel no ponto y = b, a sua derivada nesse ponto dada por

limk0

f(a, b+k) f(a, b)k

que representa a derivada parcial de f(x, y) em ordem a y no ponto(a, b).

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Simbolicamente esta derivada parcial representada por

fy(a, b) , f

y(a, b) ou (Dyf) (a, b) .

Geometricamente, fy(a, b)representa o declive da recta tangente ao gr-fico de z=f(a, y)no ponto(a,b,c).

a

O b

x

y

c

z

O grfico da funo

f(a,y)

A recta tangente

ao grfico da funo

f(a,y) no ponto (a,b,c).

As definies apresentadas mostram que as derivadas parciais, caso exis-tam, obedecem s j conhecidas regras de derivao para as funes reaisde varivel real; isto significa que para derivar em ordem a x uma funo

das variveis x e y, a varivel y deve ser encarada como uma constante e,reciprocamente, para obter a derivada em ordem a y, a varivel x deve sertratada como constante.

Exemplo 1 No caso de funo f(x, y) =y2 +xy+ 4x3, ter-se-

fx(0, 1) =

df

dx

12 +x1 + 4x3

x=0

=

df

dx

1 + 12x2

x=0

= 1

fy

(0, 1) = dfdy

y2 + 0 + 0y=1

= dfdy

(2y)y=1

= 2.

Exemplo 2 Calcular as derivadas parciais da funo f(x, y)definida por

f(x, y) =

x+y x= 0 y= 01 x = 0 y = 0

no ponto(0, 0).Como em qualquer vizinhana de (0, 0) existem pontos onde a funo

definida por um dos ramos, e pontos onde definida pelo outro ramo,

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(qualquer vizinhana de(0, 0)contm pontos que se encontram sobre os eixos

onde a funo definida pela expresso x+y, e pontos que no pertencemaos eixos, onde a funo assume o valor 1),

as derivadas parciais tero que ser calculadas utilizando a definio.Tem-se ento,

fx(0, 0) = limh0

f(h, 0) f(0, 0)h

= limh0

h 0h

= 1

fy(0, 0) = limk0

f(0, k) f(0, 0)k

= limk0

k 0k

= 1.

Repare-se que no exemplo anterior ambas as derivadas parciais de fexistem na origem, mas a funo no continua neste ponto; de facto

lim(x,y)(0,0)

f(x, y)no existe.

Contrariamente ao que se verifica para as funo reais de varivel real,em que a existncia de derivada finita num ponto implica que a funo sejacontinua. nesse ponto, em campos escalares a existncia de derivadas parciaisfinitas no implica continuidade.

A definio de derivada parcial generaliza-se com facilidade a campos

escalares deIRn

emIR.

Definio 1 Seja f : D IRn IR e (a1, a2, . . . , an) intD. Chama-se derivada parcial de f em ordem varivel xi, 1 i n, no ponto(a1, a2, . . . , an), e representa-se por

fxi

(a1, a2, . . . , an), ao limite

limh0

f(a1, a2, . . . , ai+h, . . . , an) f(a1, a2, . . . , ai, . . . , an)h

.

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1.2 Derivadas Parcias de Ordem Superior Primeira

Considere-se agora uma funof :D IR2 IRque admite derivada parcialem ordem ax, num conjunto de pontosE D. A cada ponto deEpodemospois associar um nmero real - a derivada parcial de fem ordem a xnesseponto. Obtm-se assim uma nova funo deEemIR, que se chama a funoderivada parcial de f em ordem a x, e que se representa por f

xoufx.

De uma forma anloga se poderia definir a funo derivada parcialem ordem a y, f

y oufy.

Exemplo 3 A funo f(x, y) =x3y2 3xyadmite como funes derivadasparciais

fx= 3x2y2 3y

fy = 2x3y 3x

Como novas funesfxefypodem admitir por sua vez, derivadas parciais.

Assim, a derivada parcial defxem ordem ax, num ponto(a, b) Dser

limh0

fx(a+h, b) fx(a, b)h

e representa-se por fx2(a, b)ou

2f

x2(a, b).

A derivada parcial defxem ordem ay, no ponto(a, b)ser calculada por

limk0

fx(a, b+k) fx(a, b)k

que se representa por fxy(a, b)ou 2fyx

(a, b).As derivadas parciais da funo fy, em ordem a x e em ordem a y, so

respectivamente,

2f

xy(a, b) =fyx(a, b) e

2f

y2(a, b) =fy2(a, b)

Note que 2f

yx(a, b)e

2fxy

(a, b)so abreviaturas das notaes

2f

yx(a, b) =

y

f

x(a, b)

,

2f

xy(a, b) =

x

f

y(a, b)

.

s derivadasfx2,fxy,f

y2 ef

yxchamam-se as derivadas parciais de 2

a

ordem da funo f.

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Exemplo 4 No exemplo anterior,

fx2 = 6xy2

fxy= 6x2y 3

fyx = 6x2y 3

fy2 = 2x3

A partir das derivadas de 2aordem podem ser definidas as derivadas de3a ordem e assim sucessivamente.

As derivadasfxye fyxcostumam ser designadas por derivadas mistas e em

certas condies d-se a igualdade entre elas, como acontece no exemplo an-terior. O teorema que apresentamos a seguir, sem demonstrao, estabelecealgumas condies em que se d essa igualdade.

Teorema 1 (Schwarz) Se existiremfx, fy e f

xy numa vizinhana de(a, b)

e sefxy for contnua nesse ponto, ento tambm existefyx(a, b) e

fxy(a, b) =fyx(a, b) .

Dem. Omitida.

1.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares

Da mesma forma que a diferenciabilidade de uma funo real de varivelreal, num certo ponto ado seu domnio, est associada existncia de umarecta tangente ao grfico da funo no ponto (a, f(a)), a diferenciabilidadede um campo escalar de IR2 em IR, num ponto (a, b)do seu domnio, est

associada existncia do plano tangente ao grfico desse campo escalar no

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ponto(a,b,f(a, b)).

b

a

O b

x

y

c

z O plano tangente

ao grfico da funo

z=f(x,y)

no ponto (a,b,c).

De acordo com a figura, natural esperar que o plano tangente contenha asrectas cujos declives so as derivadas parciais da funo em ordem a xe emordem a y,no ponto(a, b).Sendo as equaes cartesianas dessas rectas

y= bz f(a, b) =fx(a, b)(x a)

e x= az f(a, b) =fy(a, b)(y b) ,

a equao do plano que as contm

f

x(a, b)(x a) +f

y(a, b)(y b) (z f(a, b)) = 0. (1)

No entanto, a existncia do plano tangente no depende apenas da existn-cia das derivadas parciais como facilmente se pode concluir pelo exemplo

seguinte.

Exemplo 5 A funof(x, y) =|xy|,cujo grfico pode ser visto na figura

seguinte, admite derivadas parciais finitas na origem,

f

x(0, 0) =f

y(0, 0) = 0.

Apesar disso, intuitivamente percebe-se que no tem sentido falar da exis-tncia de plano tangente ao grfico da funo no ponto (0, 0, 0),donde esta

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funo no diferencivel na origem.

O plano tangente ao grfico de uma funo no ponto (a,b,f(a, b))s serdefinido se a diferena entre o valor da funo num ponto (a+h, b+k)deuma vizinhana de(a, b),e a cota nesse ponto, do plano definido pela equaof

x(a, b)(x a) +fy(a, b)(y b) (z f(a, b)) = 0,for um infinitsimo coma distncia entre os pontos (a, b)e (a+h, b+k),isto , se

lim(h,k)(0,0)

f(a+h, b+k) f(a, b) +hfx(a, b) +kfy(a, b)h2 +k2

= 0.

b

c

z

a

O b

x

yb+k

a+h

f(a+h,b+k)

f(a,b)+hfx(a,b)+kf

y(a,b)

f

(a+h,b

+k)-f(a,b

)-hf(a,b

)-kf(a

,b)

(h,k)

Concluindo, diremos que f uma funo diferencivel em (a, b),ponto interior do domnio de f, se e s se existirem as derivadas parciaisf

x(a, b)e f

y(a, b),e alm disso

lim(h,k)(0,0)

f(a+h, b+k) f(a, b) hfx(a, b) kfy(a, b)h2 +k2

= 0. (2)

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Exemplo 6 Para provar que a funo f(x, y) = x2y2 diferencivel em(0, 0)comecemos por calcular fx(0, 0)e fy(0, 0):

fx(x, y) = 2xy2 e fy(x, y) = 2yx

2 fx(0, 0) = 0e fy(0, 0) = 0.Vamos agora demonstrar que

lim(h,k)(0,0)

f(0 +h, 0 +k) f(0, 0) hfx(0, 0) kfy(0, 0)h2 +k2

= 0.

Para isso vamos utilizar a definio de limite; neste caso,

lim(h,k)(0,0)

f(0 +h, 0 +k)

f(0, 0)

hfx(0, 0)

kfy(0, 0)

h2 +k2 = 0 lim

(h,k)(0,0)h2k2

h2 +k2= 0

>0, >0 :

h2 +k2 < h

2k2h2 +k2

< .Ora,

h2k2h2 +k2

= h2k2

h2 +k2 (h

2 +k2)2

h2 +k2

=

h2 +k223 ;

Ento, fazendo = 3

2 fica provado que, quandoh2 +k2 < , h2k2

h2 +k2

h2 +k223 < 23 =

3

2

23

=.

Repare-se agora que da relao 2 podemos concluir que

lim(h,k)(0,0)

f(a+h, b+k) f(a, b) hfx(a, b) kf

y(a, b) = 0,

ou, equivalentemente,

f(a+h, b+k) =f(a, b) +hf

x(a, b) +kf

y(a, b) +R (h, k) , com (3)

lim(h,k)(0,0)

R (h, k) = 0.

A igualdade 3 pode ainda ser expressa na forma

f(a+h, b+k) =f(a, b) +

f

x(a, b) f

y(a, b) h

k

+R (h, k) ;

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fazendo

= (a, b) , v= he1+ke2

e designando por Df a aplicao linear de IR2 em IR representada matri-cialmente por

f

x(a, b) f

y(a, b)

tem-se

f( + v) =f() +Df(v) +R (v) ,

o que sugere a definio seguinte.

Definio 2 Sejaf : D

IR2

IR e = (a, b)

intD. f diferencivel

em se e s se existir uma bola aberta centrada em e de raior, Br() D,e uma aplicao linearDf deIR

2 IR, tais que:

f( + v) =f() +Df(v) +R (v) , (4)

com limv0

R (v)

v = 0,

para qualquer vectorv IR2 que satisfaa a condiov < r.

A aplicao linearDfreferida na definio anterior diz-se o diferencial,derivadaou derivada total de f em e representa-se habitualmente porf

().O teorema que enunciamos a seguir mostra que esta definio equiva-

lente apresentada inicialmente.

Proposio 2 Seja f : D IR2 IR e = (a, b) intD. Se f diferen-civel em,ento a aplicao linearDf representada matricialmente por

f

x(a, b) f

y(a, b)

.

Dem. SejaDf = s1 s2 , = (a, b) , v = he1+ ke2. A relao 4pode ento ser escrita na forma

f(a+h, b+k) =f(a, b) +s1h+s2k+R (h, k) . (5)

Fazendoh= 0 na relao anterior, tem-se

f(a, b+k) =f(a, b) +s2k+R (0, k) f(a, b+k) f(a, b)

k =s2+

R(0, k)

k .

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Como limk0

R(0,k)k

= 0, conclui-se que

limk0

f(a, b+k) f(a, b)k

=s2s2=f

y(a, b).

Fazendo agorak= 0 na relao 5, tem-se

f(a+h, b) =f(a, b) +s1h+R (h, 0) f(a+h, b) f(a, b)

h =s1+

R(h, 0)

h .

Como tambm limh0

R(h,0)h

= 0, conclui-se que

limk0

f(a+h, b) f(a, b)h

=s1s1=f

x(a, b).

A equao 4, vlida parav < r, chamada a frmula de Taylor de1aordem para f( + v)e fornece uma aproximao linear, Df(v) ,paraa diferena f( + v) f() .Desprezando R (v)podemos escrever

f( + v) f() Df(v) .

O erro que se comete ao fazer esta aproximao portanto igual a R (v) ,que um termo de ordem inferior avquandov 0.

Era isto, alis, o que j acontecia com as funes reais de varivel real.Relembrando um pouco este assunto, dizer que uma funo real de varivelreal,f, pode ser aproximada linearmente emx = a, ser poder escrev-la nafrmula de Taylor com resto de primeira ordem:

f(a+h) =f(a) +f (a) h+R1(x) , com lim|h|0

R1(h)

h = 0

Repare-se que na vizinhana dea, a aproximao linear def(x) a funo

f(x) = f(a) +f (a) (x a) =f (a) x+ [f(a) f (a) a]

que representa a equao de uma recta com declive f (a) e ordenada naorigem[f(a) f (a) a].

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Exemplo 7 A funo f(x) = ex, numa vizinhana do ponto 0, tem como

aproximao linear a funo y= x+ 1.Como df=f (x0) dxento

f f (x0) x.

Assim,

ex e0 e0 (x 0) ,

resultando

ex x+ 1.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0.5 1x

Exemplo 8 A funo do exemplo 6, f(x, y) =x2y2,tem como aproximaolinear numa vizinhana do ponto(0, 0),o plano tangente de equao z= 0.

Isto significa que numa vizinhana de (0, 0), x2y2 0.

Vamos agora apresentar a generalizao dos resultados anteriores, a cam-pos escalares definidos emIRn.

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Definio 3 Seja f : D

IRn

IR e = (1, . . . , n)

intD. f

diferencivel em se e s se existir uma bola aberta centrada em e deraio r, Br(), e uma aplicao linearDf deIR

n IR, tais que:

f( + v) =f() +Df(v) +R (v) , (6)

com limv0

R (v)

v = 0,

para qualquer vectorv IRn que satisfaa a condiov < r.

Proposio 3 Seja f : D IRn IR e = (1, . . . , n) intD. Se f diferencivel em , ento a aplicao linearDf representada matricial-mente por

f

x1() . . . f

xn()

.

Dem. Exerccio.

Vimos anteriormente que a existncia das derivadas parciais no garantea diferenciabilidade de um campo escalar; mas o mesmo no se passa com aderivada total.

Proposio 4 Seja: f :D IRn IR e intD. Se f diferencivel emento f contnua neste ponto.

Dem. Pretende-se mostrar que limx

f(x) = f() , ou de outro modo,

que limv0

f( + v) =f()Como f diferencivel em, tem-se

f( + v) =f() +Df(v) +R (v) ,

com limv0R (v)

v = 0.Fazendo v 0, na expresso anterior, resulta

limv0

f( + v) = limv0

f() + limv0

Df(v) + limv0

R (v) =

= f() .

pois por hiptese limv0

R (v) = 0 e qualquer aplicao linear uma funo

contnua.

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A afirmao recproca no verdadeira! Existem funes contnuas que

no so diferenciveis como o exemplo 5 mostra!Nem sempre fcil verificar se uma funo diferencivel recorrendo

definio. Tem interesse, por isso, conhecer condies suficientes que garan-tam a diferenciabilidade de uma funo.

Proposio 5 Seja f um campo escalar definido num subconjunto D deIRn e intD; se todas as derivadas parciais de f so continuas numavizinhana deento f diferencivel nesse ponto.

Dem. Omite-se a demonstrao deste resultado.

Exemplo 9 A funo f(x, y) = x2

+ 2xy+ y2

diferencivel em qualquerponto deIR2, pois

fx= 2x+ 2ye fy = 2x+ 2y

so funes contnuas em qualquer ponto deIR2.

Interessa agora apresentar a definio de um conceito que ser frequente-mente utilizado daqui em diante.

Definio 4 Quando uma funo admite derivadas parciais continuas at

ordem p em todos os pontos de um conjunto S, diz-se de classe Cp emS e representa-se por f Cp (S). Se uma funo tiver derivadas parciaiscontnuas, de qualquer ordem em todos os pontos de um conjunto S, diz-sede classeC, nesse conjunto. Uma funo diz-se de classeC0 no conjuntoSse for contnua emS.

Em face desta definio podemos pois afirmar que uma funo de classeC1 numa vizinhana de um ponto (a, b) diferencivel nesse ponto.

Exemplo 10 Nas figuras seguintes representam-se campos escalares comdiferentes comportamentos na vizinhana da origem: f(x, y) = xy

x2

+y2 (des-

contnuo),g (x, y) = xy2

x2+y2(prolongvel por contnuidade mas com prolonga-

mento no diferencivel), h (x, y) = xy3

x2+y2 (com prolongamento por con-

tinuidade diferencivel). O campo escalar, w (x, y) =x3 + 3xy2 15x 12y,constitui um exemplo de uma aplicao C (suave).

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-4-2

02

4

x

-4

-2

0

2

4

y

-0.50

0.5

f(x, y) = xyx2+y2

-4-2

02

4

x

-4

-2

0

2

4

y

-2

0

2

g (x, y) = xy2

x2+y2

-4-2

02

4

x

-4

-2

0

2

4

y-10

0

10

h (x, y) = xy3

x2+y2

-4-2

02

4

x

-4

-2

0

2

4

y-500

0

500

w (x, y) =x3 + 3xy2 15x 12y

1.4 Derivada Dirigida

Neste pargrafo iremos apresentar o conceito de derivada segundo a direcode um vector. Tendo em ateno, que a derivada de uma funo pode serencarada como a taxa de variao instantnea da funo, o que se pretendeestudar qual a variao do campo escalar quando passa de um ponto a paraum ponto x, de uma vizinhana de a.

Por exemplo, se f(a, b) representar a temperatura de um ponto (a, b)numa sala com um aquecedor e uma janela aberta, evidente que se nosmovermos do ponto (a, b)em direco janela a temperatura ir diminuir,mas se nos movermos em direco ao aquecedor, aumentar.

Duma forma geral, um campo escalar varia de acordo com a direcosegundo a qual se passa de um ponto para outro.

Exemplo 11 Seja f(x, y) = x2 + 2y2 um campo escalar de duas variveiscuja representao grfica a superfcie parablica representada na figura

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seguinte.

12

A funo na origem assume o valor 0.Quando se passa do ponto (0, 0)parao ponto (1, 1), (segundo a direco da recta y = x), a funo nesse pontotoma o valor 3.Mas, quando de (0, 0)passamos ao ponto (

2, 0), segundo

a direco do eixo OX, f(

2, 0) = 2.Repare-se que os pontos considerados,(1, 1) e (

2, 0), esto mesma distncia da origem; a funo, no entanto,

cresce mais rapidamente na direco da rectay = x,do que segundo o eixodosxx.

Sendo f : D

IR2

IR, (a, b) um ponto interior de D, e v = (v1, v2)

um vector unitrio1 qualquer de IR2, define-se derivada da funo f noponto (a,b), segundo a direco do vector v, como

limt0

f((a, b) +t (v1, v2)) f(a, b)t

e representa-se por fv

(a, b).Em termos geomtricos, esta derivada pode ser interpretada da seguinte

forma:

(x, y) = (a, b) +t (v1, v2) , t

IR,

a equao vectorial de uma rectasque passa no ponto(a, b)e tem a direcodo vector v= (v1, v2);

f((a, b) +t (v1, v2))

a restrio da funo fa esses pontos.

1Diz-se que v um vector unitrio se e s se a sua norma igual a 1(v= 1).

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O grfico desta restrio pode ser obtido intersectando o grfico def(x, y)

com um plano que contenha o ponto (a, b),o vector ve seja paralelo ao eixoOZ.

a

O b

x

y

c

v

O grfico da funo

z=f(a,b)+t(v1,v

2)

a

O b

x

y

c

z

v

A recta tangente ao

grfico da funo

z=f(a,b)+t(v1,v

2)

fv

(a, b)representar o declive da recta tangente ao grfico de

z=f((a, b) +t (v1, v2))

no ponto(a,b,f(a, b)) .Por outras palavras, a derivada dirigida de uma funo f, num ponto

e segundo um vector v,representa a taxa de variao instantnea da funofnesse ponto e segundo a direco do vector v.

Exemplo 12 Calculemos a derivada da funo f(x, y) = 3x2 + 2y, segundoa direco do vector v= (3, 5), no ponto(1, 1); o vector vno um vectorunitrio, pelo que vamos comear por definir um vector que tenha a mesmadireco e o mesmo sentido de vmas com norma igual a1; esse vector podeser o versor de v(representado por ev):

ev=

3

34,

534

.

fev

(1, 1) = limt0

f(1, 1) +t 334, 5

34 f(1, 1)t

=

= limt0

f

1 + 334

t, 1 + 534

t f(1, 1)

t =

= limt0

3

1 + 334

t2

+ 2

1 + 534

t (3 + 2)

t =

= limt0

1

1156

34

952 + 27

34t

=

14

17

34

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A definio apresentada generaliza-se facilmente para uma funo definida

num subconjunto deIRn.

Definio 5 Seja f : D IRn IR, intD e v um vector qualquerde IRn; Chama-se derivada de f no ponto , segundo o vector v, erepresenta-se porf

v(), ao seguinte limite quando este existe:

limt0

f( +tv) f()t

Chama-se derivada defno ponto segundo a direco do vectorv a derivadasegundo o versor ev dev.

As derivadas parciais de um campo escalar constituem casos particularesde derivadas direccionais; de facto, fazendo v= ei, i= 1, . . . , n,na definio5 obtemos

fei

() = f

xi() .

1.5 O vector Gradiente

Neste pargrafo iremos admitir que a funof :D IRn IR diferencivelem

intD. Nestas condies define-se vector gradiente da funo f

no ponto e representa-se por

f() ougradf() .ao vector cujas componentes so as derivadas parciais de fno ponto ,

f

x1() , . . . ,

f

xn()

.

Repare-se que, sendo (e1, . . . , en)a base cannica deIRn,

f() = f

x1 () e1+ + f

xn ()en.

Exemplo 13 Calculemos o gradiente da funof(x, y) = 3x2+2y, no ponto(1, 1);

fx(x, y) = 6x fx(1, 1) = 6e fy(x, y) = 2 fy(1, 1) = 2.Assim

gradf(1, 1) = f(1, 1) = (6, 2) = 6e1+ 2e2.

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Vejamos agora algumas propriedades do vector gradiente.

Proposio 6 Sef :D IRn IR, for diferencivel em, ento:

fv

() = f() |v.

Dem. Sendo f :D IRn IR diferencivel em, tem-se

f( +tv) =f() +Df(tv) +R (tv)

com

limt0R (t

v)tv = 0.

Ora

fv

() = limt0

f( +tv) f()t

=

= limt0

Df(v) +

R (tv)

t

=

= Df(v) =

=

f()

|v.

Em resumo, a derivada segundo um vector de uma funo diferencivel podeser obtida pelo produto interno entre o vector gradiente e o vector em questo.

Proposio 7 Nas condies da proposio anterior,

fv

() = f() |v= f() v cos , (7)

em que o ngulo entre os vectoresf() ev.Dem. Resulta imediatamente da caracterizao de produto interno atravs

da noo de norma e ngulo entre dois vectores.

Proposio 8 A taxa de variao mxima de um campo escalar verifica-sena direco e do vector gradiente (sef()= 0) e o valor absoluto destataxa de variao igual norma do vector gradiente, isto ,

|fe()| = f() .

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Dem. Seja vum vector de norma 1;a igualdade 7 toma ento a forma

fv

() = f() |v= f() cos .

Assim, a derivada segundo a direco de v, fv

(), maxima quandoo vector v tiver a direco e do vectorf() , pois nestas circunstnciascos = 1. Mas a derivada segundo a direco de e, f

e(), traduz precisa-

mente a taxa de variao do campo escalar nesta direco. Por outro lado,nesta direco,|f

e()| = f() .

Exemplo 14 Qual a direco de maior crescimento da funo f(x, y) =x2

y2, no ponto(0, 1)?

A direco procurada a direco do vector gradiente de fem(0, 1),

f(0, 1) = (0,2) .

yx

z

x2-y

2=0

x2 -y

2 =1

1

-1

-1 1

x2-y2=-4

x2-y

2=-1

2

2

x2 -y

2 =4

A curva de nvel que passa

no ponto (0,1).

O vector gradiente

f(0,1).

Esta resposta perfeitamente consistente com os grficos apresentadosanteriormente; de facto, se as linhas de nvel representam o lugar geomtricodos pontos onde a funo assume um valor constante, e o gradiente apontana direco de maior crescimento, sendo fuma funo razoavelmente bemcomportada, natural esperar que o gradiente da funo num determinadoponto, e a curva de nvel que passa nesse ponto sejam perpendiculares.

O teorema que apresentamos a seguir para n = 3,e cuja demonstraoser deixada como exerccio, traduz esta importante propriedade do vectorgradiente.

Proposio 9 Sejaf :D IR3 IRuma funo diferencivel em(a,b,c) intD;ento f(a,b,c) perpendicular superfcie de nvel da funo f quepassa nesse ponto.

Dem. Exerccio.

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Exemplo 15 Determinemos a equao do plano tangente superfcie esfri-

cax2 +y2 +z2 = 3no ponto (1, 1, 1). de fcil verificao que o ponto referido pertence superfcie indicada.

Por outro lado, designando por fa funo definida por

f(x,y,z) =x2 +y2 +z2,

sabemos que o vector gradiente de fno ponto(1, 1, 1) ,

f(1, 1, 1) = (2, 2, 2)

normal referida superfcie no ponto em questo Assim a equao do plano

tangente ser:

(x 1)2 + (y 1) 2 + (z 1)2 = 0.

As equaes normais da recta normal superfcie no ponto (1, 1, 1)sero:

x 12

=y 1

2 =

z 12

Generalizando este exemplo, suponha-se, agora, que uma dada superfcie caracterizada pela equao F(x,y,z) = Ce que P = (a,b,c) um ponto

da referida superfcie. Nestas circunstncias sabemos que v=gradF(a,b,c)ser um vector normal superfcie emP. Assim a equao do plano tangentee as equaes da recta normal superfcie sero, respectivamente:

1. Equao do Plano Tangente superfcie F(x,y,z) = C em P =(a,b,c) :

(x a)Fx

(a,b,c) + (y b)Fy

(a,b,c) + (z c)Fz

(a,b,c) = 0

2. Equaes da Recta Normal superfcie F(x,y,z) =CemP= (a,b,c):

x aFx

(a,b,c)=

y bFy

(a,b,c)=

z cFz

(a,b,c).

Exemplo 16 Consideremos agora o campo escalar z = f(x, y). Deter-minemos a equao do plano tangente ao grfico de fno ponto(a,b,f(a, b))bem como as equao cartesianas da recta perpendicular ao seu grfico nesseponto.

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Nesta situao, os pontos do grfico da funo fso caracterizados pela

condiof(x, y) z= 0. Fazendo F(x,y,z) =f(x, y) z, tem-seFx

(a,b,f(a, b)) = fx

(a, b) ,

Fy

(a,b,f(a, b)) = fy

(a, b) ,

eFz

(a,b,f(a, b)) = 1.

1. Equao do plano tangente superfcie z=f(x, y)em (a,b,f(a, b)) :

z= (x a)f

x (a, b) + (y b)f

y (a, b) +f(a, b) .

2. Equaes da recta normal superfcie z=f(x, y)em (a,b,f(a, b)) :

x afx

(a, b)=

y bfy

(a, b)=

z f(a, b)1

Referncias

[1] Apostol, T. M., Calculus, Revert, 1977;[2] Azenha, Acilina e Jernimo, M. A., Clculo Diferencial Integral em IRe

IRn, McGraw-Hill, 1995;

[3] Lima, Elon Lages, Curso de Anlise (Vol 1 e 2), IMPA, Projecto Euclides,1995;

[4] Piskounov, N., Calcul Diffrentiel et Intgral, MIR, 1976;

[5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Mas-sachusetts, 1972;

[6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;

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