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CÁLCULO: VOLUME I MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ

calculo I

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Livro de Cálculo I produzido pelo Instituto de Matemática e Estatística da UERJ.

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CÁLCULO: VOLUME I

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA

Departamento de Análise - IMEUERJ

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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total

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PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar."Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas

Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com-preensão das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos pro-blemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidadehumana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza.Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de proble-mas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemasde integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem va-riações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentoseconômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos deproblemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas porcurvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula.Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por IsaacNewton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época,Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerá-vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entrederivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibnizsão as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integralde uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formalda disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos.O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. Asprovas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice,foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estãoincluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente pro-fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante éque o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos proble-mas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem serencaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar aapresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferenciale Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri-

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teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil aoaprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, dealgum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M.Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dosautores.

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorrêaRio de Janeiro

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Conteúdo

1 INTRODUÇÃO 91.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 312.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . 472.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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6 CONTEÚDO

2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 86

2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 LIMITE E CONTINUIDADE 993.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 DERIVADA 1414.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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CONTEÚDO 7

4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5 APLICAÇÕES DA DERIVADA 1915.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 2396.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 2456.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 2717.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

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8 CONTEÚDO

7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 3338.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9 EXEMPLOS DIVERSOS 3479.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569.4 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10 APÊNDICE 37310.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.3 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11 RESPOSTAS 38111.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38411.4 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38511.5 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38611.6 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38811.7 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38911.8 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Bibliografia Básica 392

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Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do���

grau essenciais parao estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con-junto dos números reais, denotado por � , com as operações fundamentais e suas respectivaspropriedades, bem como com a visualização geométrica de � como uma reta e dos númerosreais como pontos dessa reta.

1.1 Desigualdades

A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usandoos símbolos usuais para maior ( � ), maior ou igual ( � ), menor ( � ), menor ou igual ( � ), podemosver, por exemplo, que se ���� �� e ����� , então ��������� ; no eixo coordenado temos que � estáà esquerda de � . Para todo ����� �� temos: ou ����� , ou ����� , ou ����� .

1.2 Intervalos

Muitos subconjuntos de � são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são osintervalos.

Sejam ���� �� tais que ����� .

Intervalo aberto de extremidades � e � , denotado por � ����"! é definido por:

� ����#!$�&%(') ��+*,�)��'-���/.10

a b( )

Figura 1.1: Intervalo aberto.

Intervalo fechado de extremidades � e � , denotado por 2 �����3 é definido por:

2 ����435�&%('- ��+*6�7��'-���/.10

9

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10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

a b][

Figura 1.2: Intervalo fechado.

Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente,por:

2 ���"! � %(') ��+* � � ')���/. e � ����3 � %(') ��$* � � ')���/.10

a b[ )

a( ]

b

Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.

Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos � � e � � ,os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

� �� � � ! � %(') ��$* � � ' . e � � � 4� 3 �&%(') ��+* ' ��� .1� � � 4� ! � %(') ��$*6' ���. e 2 � � � ! �&%(') ��+* ' ��� .10

Note que � � � � � � � ! . Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa-ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.

Desigualdades Lineares:

Determinemos o conjunto-solução de:

�+' � ����� 0�+' � ����� é equivalente a �$' � � � ; logo, se ����� , ')� �

�� ; o conjunto-solução é 2 �

�� � � ! . Se

����� , '-� ��� ; o conjunto-solução é

� � � (� ��� 0

Desigualdades Quadráticas:

Seja �+'�� � ��' �� � � a equação de segundo grau. Denotemos por � ��� � � � � o discri-minante da equação e � , � as raízes reais da equação ( �&��� ). O conjunto-solução � de umadesigualdade quadrática depende do sinal de � e de .

Para ��� . Se ����� , a desigualdade �$' � � ��' ��� ��� tem conjunto-solução � � � �� 3���2 � � � !e �+'�� � ��' ��� ��� tem conjunto-solução 2�� ��53Se ����� , a desigualdade �+'�� � �' ��� � � tem conjunto-solução 2�� �� 3 e �$'�� � ��' ��� ��� temconjunto-solução � � � �� 3��72 �$ � � ! .

Page 11: calculo I

1.3. VALOR ABSOLUTO 11

Para � � . Se ����� , a desigualdade �+' � � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+' � � �' � � ���tem conjunto-solução % � . .

Se �)� � , a desigualdade �$' � � �' � � � � tem conjunto-solução % � . e �$' � � ��' � � � � temconjunto-solução � .

Para ��� . Se ����� , a desigualdade �+'�� � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+'�� � �' � � ���tem conjunto-solução

�. Se �)�&� , a desigualdade �$' � � ��' � � � � tem conjunto-solução � e

�+'�� � ��' ��� ��� tem conjunto-solução � .

Exemplo 1.1.

[1] Ache a solução de: '�� � ' . Fatorando '�� ��' � ' � ' ��� ! � ' � � ! ; então, '�� � ' � � éequivalente a ' � ' ��� ! � '�� � ! ��� , da qual obtemos '7�&� � ou ����'7� � . O conjunto-soluçãoé:

� � � � � (� � ! ��� � � ! 0[2] Ache a solução de:

'�� �' � � �� 0

Note que a desigualdade não é equivalente a'�� � �� � ' � � ! . Se ' � � � � , isto é ' � � �

;então,

'�� � � � ' � � ! , de onde obtemos ' � ��� . Se ' � � � � , isto é ' � � �

; então,'�� � �� � ' � � ! , de onde obtemos ����� ' . Logo, o conjunto-solução é:

��� 2 ��� (� � ! 0

[3] Ache a solução de:' � �'�� � � '

' � � 0

Resolvemos' � �'�� � � '

' � � � � , que é equivalente a� ' ���

� '�� � ! � ' � � ! � � , da qual obtemos

�� � ��'-� � ou '-� � � . Logo, o conjunto-solução é:

����� � � (� ��� ��� � � � � �10

1.3 Valor Absoluto

O valor absoluto ou módulo de um número real � , denotado por � ��� é definido como o maiornúmero do conjunto %/�� � �. , ou equivalentemente:

� ���,��

� se ������ � se ����� 0

Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintespropriedades imediatas. Sejam � � �� ; então:

Page 12: calculo I

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1. � � � � � ��� , para todo �� ��2. � � � ��� se e somente se � � � �4��! , �����3. � ���/� �1� � ����� � � �4. � � � ��� se e somente se � ��� ou ��� � �� �����

5.���������� �� ���� � � , se ���� �

6. � � � � � � � ��� � � � � .Exemplo 1.2.

[1] Achar a solução de: � '�� �7' � � � � � .Pelas propriedades anteriores, � '�� � ' � � � � � é equivalente a: '�� � ' � � � � ou '�� � ' � � � � � .Se ' � � ' � � � � , então ' � ' � � !���� e '-��� ou '-� � ; se ' � � ' � � � � � , então � ' �

�� � � � �� ��� ,

o que é impossível. O conjunto-solução é:

� � � 4� ! ��� � � � ! 0[2] Achar a solução de: � � � � ' � � � � ' � .Pela propriedades anteriores, � ��� � ' ����� � ' � é equivalente a: ��� � ')��� � ' � ou ��� � ' � � � � ' � ;Se � � � '-��� � ' � , então

� '������ � ')��� � � ' ; logo,

� �� � ')�� 0

Se � � � ')� � � � ' � , então � � � ' ��� ' � � ' �� , que não possui solução. O conjunto-solução é:

� � �� � � 0

1.3.1 Distância

Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distânciaentre os números reais � e �� é � � � � � . Então � ��� é a distância de � à origem.

Exemplo 1.3.

[1] A distância entre os números e �� é � ���� �� ! �1� � .

[2] A distância entre os números �� e � �é � � ��&� � � ! � � � � � �

e a distância entre os

números � e � � é � � � � � � ! � � � .[3] A distância entre os números �

� e

� é:

���� �� � � ���� �

���� �� � ���� �� � 0

Page 13: calculo I

1.4. PLANO COORDENADO 13

1.4 Plano Coordenado

Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais � ' ���! , tais que � ' �� ! � ��� ' !se e somente se ' ��� . O elemento ' do par ordenado é chamado primeira coordenada dopar e � é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geo-métrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con-sideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmen-te. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos ' e a reta vertical é chamadaeixo das ordenadas ou eixo dos � . A interseção das retas é chamada origem, à qual asso-ciamos o par � � 4� ! e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamadoplano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadasquadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca-mente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos� � � � � ! �� � � � � � ! �� � � � � (� � ! � � � (� � ! , tem a seguinte representação no planocoordenado:

D

A2

1

-1

-2

-2 10 x

y

B

C

Figura 1.4:

Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor-denado.

B

x

y

x

y

1 2

1

2

A

d

y

x

Figura 1.5:

Page 14: calculo I

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Sejam� � � '��(���� ! e � � � ' � �� � ! pontos do plano. A distância

�entre

�e � é:

� � � � !$��

� ' � �7'�� ! � � ��� � � ��� ! �

A distância possui as seguintes propriedades imediatas.

Proposição 1.1. Sejam�

, � e � pontos do plano, então:

1.� � � � ! ��� e

� � � ��!$� � se e somente se� � � .

2.� � � � !$� � � �� � ! .

3.� � � � ! � � � � � ! � � � �� � ! .

Exemplo 1.4.

[1] Calcule a distância entre os pontos� � � � (�

! e � � � � � � ! . Aplicando a fórmula:

� � � ��!+��

� � � � � ! � � � � ��� �! ! � � � � 0

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

Figura 1.6:

[2] Determine o ponto � , que divide na razão �� o segmento de reta que liga os pontos � � ��(� � !e � � � � � ! .Sejam �&� � � ��(� � ! , � � � � � � � ! os pontos dados e � � � ' ���! o ponto procurado e � � � ' (� � ! , � � � � (� � ! pontos auxiliares como no desenho:

Page 15: calculo I

1.5. EQUAÇÃO DA RETA 15

P

Q

S T

R

Figura 1.7:

Os triângulos � � � e � � são semelhantes; logo:� � � � !� � � ! �

� � � � !� � � � ! e� � � � !� � � ! �

� � � � !� � � � ! 0

Por outro lado,

� � � � ! � � � � � !

� e� � � � !$�

� � � � !� 0

Aplicando a fórmula da distância, temos que:� � � �$!�� ' � � , � � �� � ! � � � � e

� � � ! � � � .Obtemos o sistema: �

' � � � � �� ��� � �

que tem como solução: '�� � � � ; logo �&� � � � ! .1.5 Equação da Reta

1.5.1 Equação Geral da Reta

Sejam � ��� � ' �(���� ! e � � � � ' � �� � ! dois pontos distintos no plano:

x1 2

2

1P

P

1

2y

y

x x

y

Figura 1.8:

A equação da reta que passa pelos pontos � � e � � é:

�+' � �� ��� � �

Page 16: calculo I

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

onde � � � � � � � , � � ' � �7'�� e � � '���� � ��' � ��� . Veja [TA], [LB].

Se � � � a reta é horizontal; se ��� � a reta é vertical. O ponto � � � � ' � �� � ! pertence à reta�+' � �� ��� � � se �+' � � �� � ��� � � .

Exemplo 1.5.

[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos � ��� � � � ! e � � � � � (� � ! .Neste caso: ���

� � � � , � � � � � �

e � � � �; logo, a equação é:

� ' �� � � � � .

-1 1 2 3x

-4

-2

2

4

y

Figura 1.9: A reta� ' �

��� � ��� .

[2] Determine�

tal que o ponto � � � � ! pertença à reta

' � ��� � � ��� .

O ponto �&� � � ! pertence à reta

' � � � � � � � se, e somente se

� � � � � � � � � ; logo,� �

.

-1 1 2 3 4 5x

-1

1

2

3

4

y

Figura 1.10: A reta' � � � � � � � e o ponto � � �

* 1! .

1.5.2 Equação Reduzida da Reta

Se uma reta não é paralela ao eixo dos � , então ���� � . Fazendo:

� � � � � ���' � �7' � e � � ' � � � �7'�� � �' � �7' �

Page 17: calculo I

1.5. EQUAÇÃO DA RETA 17

obtemos a equação reduzida da reta:

��� � ' � �

� é chamado coeficiente angular da reta e � coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equaçãoda reta que passa pelo ponto � � � � ' � �� � ! e tem coeficiente angular � é:

� � � � � � � '��7' � !

Exemplo 1.6.

[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos � � � � � � ! e � � � � � 1! .Neste caso: � � � e fazemos � � � � � ou � � � � � ; então, se ' � � �

e � � � � , temos, � ��' � � � �ou � � '�� � .

-1 1 2 3x

-2

-1

1

2

y

Figura 1.11: A reta � � '�� � .[2] Escreva na forma reduzida a equação: � ' � � � � � � .

A forma reduzida é do tipo ��� � ' � � ; então, ��� � � '���� �1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas

Sejam � � � ��' � � � e ��� �� ' � � � as equações de duas retas. As retas são paralelas se, e

somente se:

� �$� �� 0

As retas são perpendiculares se, e somente se:

� � � �� � � � 0

Logo, as retas de equações � ��' � � � � � � � �&� e � � ' � � � ����

� � � são perpendiculares, se, esomente se:

� � � �� � � � � � � 0

Page 18: calculo I

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Exemplo 1.7.

[1] Ache o valor de�

tal que as retas::

(a) � � � � � � ! '� � � � � e � �' �

� � �� � � ��� sejam paralelas.

(b)� � � ' � � � e � � � � � � �#' sejam perpendiculares.

(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo,� � �

� � � �; donde

� � � .(b) As retas são perpendiculares se: � �� � � � � � �/!$� � � , donde

� � ��� .

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente.

[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas� '+�

� � � � � e ' � � � � � �

e é perpendicular a� '�� � ��� � � .

Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:� � '��� � � � ' � � � � � 0

Obtemos o ponto � � � � ! . A reta que procuramos tem equação � � �� ' � � tal que � ��� �

� � � � ,onde � �$� �

é o coeficiente angular da reta� ' � � � � � � ; logo, �

� � ��� e � � � ' � � � . Como

a reta passa por � � � � ! , a reta procurada é ' � � � � � .

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 1.13: As retas do exemplo [2].

Page 19: calculo I

1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 19

1.6 Equações das Cônicas

A equação do segundo grau em duas variáveis:� ' � � � � � � �' ��� � ��� ���

sendo�

e � não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamadacônica, cuja natureza depende dos coeficientes

�, � , , � e � . Podemos considerar dois casos:� �� � e � �� � e

� � � � .

Caso 1 : Se� �� � e � �� � , completando quadrados dos binômios nas variáveis ' e � , a equação

acima pode ser escrita como:� � ' ��� ! � � ����� � � ! � ���

onde � ���� ,� ����� e � � � � � � � � � � � . Se � � � , o lugar geométrico é um ponto.

Se � e � ou�

tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se � �� � , a equação pode serescrita como:

� � ! � ' ��� ! ��

� ��� � � ! ��

� � 0Se

� � � � (�

e � tem o mesmo sinal) e � tem o mesmo sinal de�

ou � , a equação � � ! podeser escrita como:

� � ! � ' ��� ! �� �

� ��� � � ! �� � � �

onde � � ��

e � � ��

. A equação � � ! representa uma elipse centrada em � � � (� � ! e eixosparalelos aos eixos coordenados; no caso particular

� � � , a equação representa um círculo deraio � , centrado em � � � (� � ! :

� ' ��� ! � � ��� � � ! � � � �Se

� � ��� (�

e � tem sinais opostos). Se � ��� e� ��� (ou � ��� e � ��� ), a equação � � ! pode

ser escrita como:

�! � ' ��� ! �

� � � ��� � � ! �� � � �

onde � � �� e � � �

�� � �� .

Se ����� e � ��� (ou � ��� e� ��� ), a equação � � ! pode ser escrita como:

� � ! ��� � � ! �� � � � ' ��� ! �

� � � �onde � � �

�� ��� e � � �

� . As equações �

! e � � ! representam uma hipérbole de eixos paralelos

aos eixos coordenados.

Se ��� � , a equação pode ser escrita como:� � ' ��� ! � � ����� � � ! � � � , que representa duas

retas que se intersectam.

Caso 2: Se� � � ou � ��� . Supondo

� � � e � ���� , a equação é:

� � � � �' ��� � ��� � �

Page 20: calculo I

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' .

Se� �� � e �&� � a equação é:

� ' � � �' ��� � ��� � �

que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � . Se� � � � � , a equação

representa uma reta.

Exemplo 1.8.

Diga o que representam as seguintes equações:

[1] � ' � � � � � � '�� � � � ��� � � � .

[2] ' � � � � � � '��.

[3] � ��� � � '�� � � .

[4] � '�� � � ��� � � � ' ��� ��� � � � .

[5] ' � � � � � � '�� � � �

� � .

[6] ������'�� � ��� .

[7] ' � � � � �

� � .

Soluções:

[1]� � � , � � � , � � � � ; � �

�, � � � � � e � � � � ; logo, � � � � , � � ��� , � � � � , ��� �� e

� � � � � . A equação representa uma elipse centrada no ponto � �� �1! de equação:

� '�� � ! ��

� ����� �1! �� � � � 0[2]

� � � � � , � � � � ; � � �, � � � e � � �

; logo, ��� � , � � � � , � � � e � � � � � � � . A

equação representa um círculo centrado em � � 4� ! , de raio�

e tem a forma: � '�� � ! � � ��� � � .

1 2 3 4 5 6x

2

4

6

8

10

y

-1 1 2 3x

-2

-1

1

2

y

Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.

[3] Como� � � � , � � � , � � � � e � � �

� , temos:� � � � , � � � � � , � �

� ,� � � �6� � �1� � e � � � � . A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como:

� �� � '��

� � � 0

Page 21: calculo I

1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 21

[4] Como� � � , � � � � , � � � � , � � � e � � �

� , temos:,� � ��� , � � � � , � � � � , � �

� ,� � � � e � � � � . A equação representa uma hipérbole:

� '�� � ! �� � ��� � � ! �

� � � 0

-4 -2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figura 1.15: Desenhos do exemplo [3] e [4], respectivamente.

[5] Como� � � � � � � e � � � , a equação representa duas retas concorrentes; de fato:

'�� � ��� � � '�� � � �

� � '�� � ! � ����� � � ! � � � . Logo, � '�� � ! � � ��� � � ! � ; então, ��� '��

ou� � � '�� � .[6] Como

� � � , �&� � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' .

-4 -2 2 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

y

-1 1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

y

Figura 1.16: Desenhos do exemplo [5] e [6], respectivamente.

[7] Como �&� � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � .

Page 22: calculo I

22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

-3 -2 -1 1 2 3x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].

1.7 Trigonometria

Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos quesubtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razãoentre os raios. Num círculo de centro � e raio � , seja � o comprimento do arco

� � subtendidopelo ângulo central � .

A

B

l

O

Figura 1.18:

� é diretamente proporcional a � e à medida do ângulo � . Admitindo que o arco e o raio sejammedidos com a mesma unidade e denotando por ��� � � � ! a medida do ângulo � , temos � �

� � ��� � � � ! , onde a constante�

depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radianoé a unidade de medida de ângulos para a qual

� � � , ou seja, tal que ����� ��� � � � ! . Emresumo, a medida do ângulo � em radianos é dada pela razão: � *�� , onde � é o comprimentodo arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e � é o raio do círculo. Como ocomprimento de um semi-círculo ou arco de � � � �

é �� , então � � � � � radianos; logo,

� � � � � � � � � � ��� � � 0

Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento consi-derada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário,centrado na origem e de raio igual a � . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. Oponto

�, interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Os

pontos�

, � , � , , interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partescongruentes.

Page 23: calculo I

1.7. TRIGONOMETRIA 23

B

C A

D

III

II I

IV

Figura 1.19:

Como a equação do círculo é '�� � � ��� � , seu comprimento é � � � . Portanto, a medida dequalquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos.Considere o ângulo � que determina sobre o círculo de raio � , o arco de origem

� � � � 4� ! eextremidade � � � ' ���! tais que � � � �,� ' e � ��� �1� � , como no desenho:

M

P A

Figura 1.20:

O seno do ângulo � é denotado por � � �$� � ! e definido por: � � �$� � !$� ��0O co-seno do ângulo � é denotado por ��� � � � ! e definido por: ��� � � � !$� ' 0A tangente do ângulo � é denotada por ��� � � ! e definida por: ��� � � ! �� se ' �� � ; equivalente-mente,

��� � � !$� � � �$� � !��� � � � ! se ��� � � � ! �� � 0

A co-tangente do ângulo � é denotada por ��� ��� � � ! e definida por ��� ��� � � !+� �

se � �� � ; equiva-lentemente,

��� ��� � � !$���� � � � !� � �$� � ! se � � �$� � ! �� � 0

Identidade Fundamental : Do triângulo ��� � e como ' � � � � � � , tem-se:

� � � � � � ! � ��� � � � � ! � � 0As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes comnossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que * �

. Como

Page 24: calculo I

24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de� , temos que dois

arcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co-seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco � por � � � � , onde

�é um

número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo� por:

� � � � � !+��' �

���� � � � ! e ��� � � � � � !$�

�� �

�� � �$� � !

onde ��� � � � ! �� � e � � �$� � ! �� � , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades:

Se � �� � * � � �� : ��� � � ! ��� ��� � � !�� � 0 Se � �� * � � � � �� : � � � �,� � ! � ��� �1� � !�� � 0 Se� �� � � �� : ��� � � � � � � ! � ��� ��� � � � ! � � 0 Observamos que para qualquer ângulo � tem-se:� � � �$� � ! � � � e � ��� � � � ! ��� � 0Adição dos arcos :

� � �$� ��� � ! � � � �$� � ! ��� � � � !�� � � �$� � ! ��� � � � ! 0��� � � ��� � ! � ��� � � � ! ��� � � � !� � � �$� � ! � � �$� � ! 0��� � �� � ! � ��� � � !�� ��� � � !� � ��� � � ! ��� � � ! 0

A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definiçõesé possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo:

1. � � �$� � � !$� � � � �$� � ! ��� � � � !

2. ��� � � � � !$� ��� � �1� � ! � � � � �,� � !

3. � � � �6� � !$�� � ��� � � � � !�

4. ��� � � � � !$�� ����� � � � � !� 0

A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:

� � * � * � * * � * �

� � �$� � ! � � * � � � * � � * � � � � * � ���� � � � ! � � * � � � * � � * � � � � � * � � �

� * � � * * � *

� * � � � * � � � � �$� � ! � � � * � � � * � � � � � * � � � � * � � � * � ���� � � � ! � � � * � � � * � � � * � � � * � �

* � �

1.7.1 Aplicações

Lei dos Senos Para qualquer triângulo� � � verifica-se:

� � �$� � !� � � � �$� � !

� � � � �$� �5!� onde ����� � � � , � � � � � � , � ��� � � � são os lados opostos aos ângulos �7��� � � � , �7��� � � � e����� � � � , respectivamente. Considere o seguinte desenho:

Page 25: calculo I

1.8. EXERCÍCIOS 25

C

B

α

β

D

b

a

A

c

γ

Figura 1.21:

Seja o ponto obtido pela interseção da reta que passa por � e é perpendicular ao lado� � .

Logo:

� � �$� � ! � � � �� � � � � � �$� � ! � � � �� � � � o que implica: � � � � � � �$� � ! � � � ��� � � � � � � �$� � ! . Portanto: �

��������� ��������� �� . Analogamente,

obtemos:

� � �$� � !� � � � �$� � !

� � � � �$� �5!� 0

Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo� � � :

� ��� � � � � �$� � ! �

�� � � � � �$� � ! �

�� � � � � �$� � ! 0

1.8 Exercícios

1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjuntosolução:

(a) ' � �7' � ���(b) '�� � � � '(c) '�� � '-� �

(d) � '�� 1! � � ' ��� � ! ���(e) � ' � � � � �(f) � '�� � � � ' ��� �(g) � ' � ��� � '�� �����(h) � '�� � � � � � � ' ��� �

(i)

'�� � ' � � � �

(j) � '�� � � � � ' ��� �����(k)

� '�� � � � '�� ��'(l) � '�� � � � � '�� � ��� � � � '�� � �

(m) '�� � � ' � � �&� '�� �1! �(n) � '�� ��'�� � � � �

(o)� ' � � ' � � �� ' � � � � � �

Page 26: calculo I

26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

(p) � '�� � � � � ' � � � � � '�� � �� (q) � ' ��� � � � ' � � � ��� � � '�� � �(r) � ' � � � � � � '�� � �

2. Determine os valores de ' tais que:

(a) � ' � � '(b)

�� '�� � ! � � '�� �

(c) � ' � � � ' ��� � � � '

(d) � ' � � ' �(e) � ' ��� �1� � '�� � �(f) � '�� � � � � � � '�� � �

(g) � ' �1� � ' � � �(h) � '�� � � � � � � ' ��� �

3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso:

(a) Para todo ' , � e � : � ' � � � � �,� � ' � � � � � � � � � e(b) para todo ' e � : � '�� � � � � ' � � � ��� .

4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles:

(a) � �� 1!�� � � ��(��1!(b) � � �1!�� � �

(���1!

(c) � � � (�!�� � � � (���1!

(d) � � !�� � � ��!

(e) � � � � !�� � � � !(f) � �

!�� �

!

(g) � �� �1!�� � ��(� � !(h) � � � (� � � !�� � � � � !

(i) � � �� 1!�� � � �� �1!(j) � � �,� �

!�� � � � !

5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos � � � � ! , � � � ! , � � � �� ! são coli-neares.

6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de umretângulo são iguais.

7. Verificar que os seguintes pontos: �(�! , � �

! e �

��! são os vértices de um

triângulo equilátero.

8. Determine os pontos equidistantes dos pontos � � (� � ! e � � �� ! .9. Verifique que a distância do ponto � ' � �� � ! à reta � ' � � � ��� � � é

� � ' � � � � � � � �� � � � � �

0

10. Determine a distância entre as retas �,' �� ��� � � � e �,' �

���

� � � .

11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:

Page 27: calculo I

1.8. EXERCÍCIOS 27

(a) � ��� � � !�� � � � � � !

(b) � ��� � � !�� � � � � � 1!(c) � � � � �� !�� � � � � � �� !

(d) � ��� � � (� � !�� � � � � � � � !(e) � ��� � �

!�� � � � � �� � !

(f) f) � � � � � � !�� � � � � � � (� � !12. Obtenha a equação da reta paralela à reta

� ' �� � � � � e que passa pelo ponto � �

� (� � ! .

13. Ache a equação da reta perpendicular à reta� ' � ��� � � � e que passa pelo ponto

�&� � � � ! .14. Verifique que as retas

� ' �� � � e � '�� � � � � � � são perpendiculares.

15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:

(a)��� � � '�� � � � ��� � � �

(b) � �6'�� � � ��� � � � � �(c) '�� � ��� � � '�� � � �(d)

� ' � � �,' ���� � � �

(e) �6' � � � � � � � � '�� � � � � � � � �(f) �6'�� � � � ��� �

�6'�� � ��� � � � � �

(g) �6'�� ��� � ��� � �

(h) '�� � � � ��� �6' ��� � � � � � � � 0(i) 6'�� � � 6' ��� � ��� � ���(j) '�� � � ' � � ��� �

� � � 0

(k) ' � � � � � � '�� � � � �(l) ' � � � � � � � '�� � � � ��� � ��� 0

(m) '�� � � � ��� ' ��� � � � �1� � �(n) � '�� � � � � ��� � '��

� ��� � � 0

16. Seja � um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por � é dita tangen-te à parábola ou à elipse no ponto � se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramentenum dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta � ����' � � é tangenteà parabola � � �+' � � ��' ��� no ponto � � � ! .

17. Dada a reta ��� ' � �e o círculo '�� � ��� � � , determine

�tal que:

(a) sejam secantes;

(b) sejam tangentes.

18. Para que valores de�

a reta � � � ' é tangente ao círculo ' � � � � � � � � � � � � ?

19. Obter o valor simplificado de:

(a) � � ��� � � � �(b) ��� � � � � ���� �

(c) � � � � � � � !(d) � � �$� � �

� � !(e) ��� � � � � � � � !(f) � � ��� � � ���� � ��� ��� � � � � �

Page 28: calculo I

28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas:

(a) ��� � ' ! � ��� ��� � ' !+� � ��� � � � � � '5!(b)

��� � � � ���� � � � ��� ��� � � � � � ��� � � � ' !(c) � � �$� ' ! ��� ��� � ' ! � � � � ' !�� �

(d) � � �$� ' ! ��� � � '5! � ��� � '5! ����� ��� � ' ! !+� �(e) � � � � � ! � ��� � � ! � ���

�������� �

� � � � ��� � � �21. Prove as seguintes propriedades:

(a) ��� � � � ! ����� � � � ! � � ��� ��� � � �� � ��� � � ��� �� �(b) ��� � � � ! � ��� � � � ! � � � � � ��� � � �� � � � ��� ��� �� �(c) � � �$� � ! � � � �$� � ! � � � � ��� � � �� � ��� � � ��� �� �(d) � � �$� � ! � � � �$� � ! � � � � ��� ��� �� � ��� � � � � �� �

22. Num triângulo de ângulos �$ � e � e lados ��� e � tal que�� ��� � � ��� , verifique:

(a) � ���� � ��� �

� �� ��� � � � � ��� � � �

��� � ��� �

� �� ��� � � � � ��� � e � �

��� � ��� �

� �� ��� � � � � ��� � 0

(b) � � ��� � � � ! � � � ������� � �� � �� � � ����� � � � !$� � � � �� � �� � 0

(c) A área do triângulo é� � ����! � � �#! � � � ! . Esta expressão é chamada Fórmula

de Herón.

23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo� � � , verifique:

(a) � � ��� � ��� � � � � ����� � � � !(b) � � � � � ��� � � � � ����� � � � !

(c) � � � � � � � ��� � ��� ��� � � � !

onde � � � � � � , � � � � � � , � � � � � � são os lados opostos aos ângulos � � � � � � ,�7� � � � � e ��� � � � � , respectivamente.

24. Determine a área do triângulo� � � , se:

(a) � � � � � � �)� � �

(b) � � � �� � ��� � �(c) � � � � � ��� � �(d) � � �� � � � � ��7� � �

25. Sejam a reta ��� � ' � � e � o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos ' . Verifiqueque � � ��� � � ! . Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme como eixo dos ' o ângulo dado.

Page 29: calculo I

1.8. EXERCÍCIOS 29

(a) � � � � � �&� � � 1!(b) � � ���� � �&� � � 1!(c) � � � � � �&� � ' � �� � !

(d) �7� � � �&� � ' � �� � !(e) �7� � � � �&� � � 4� !(f) �7� � � � �&� � �

(� � !

(g) �7� � � � � � � � � !(h) �7� � �&� � � � !

26. Dada a equação� ��� � � � � ! ' � � � ��� � � � ! ' � � ��� � � � � ! � � ��� , sendo � � � � :

(a) Para que valores de � a equação tem soluções reais?

(b) Para que valores de � a equação admite raízes reais negativas?

27. Resolva as inequações:

(a) � � �$� '5! ����� � � ' ! ��

��(b) � ��� � ' ! ��� �

(c) � � � � � ' ! � �(d) � � � �,� ' ! � �

� se '- 2 � 3

28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a

� de umaparede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben-do que esta sombra tem � � � e que a altura do poste é

� � � , determine a inclinação dosraios solares em relação ao plano horizontal.

29. Um retângulo com lados adjacentes medindo � � �$� � ! e ��� � � � ! com � ����� � � tem períme-tro igual a � � Calcule a área do retângulo.

30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos�

, � e � . Ocomandante, quando o navio está em

�, observa um farol � e calcula o ângulo � � � � �

� �. Após navegar � milhas até � , verifica o ângulo � � � � � � � �

. Quantas milhas separao farol do ponto � ?

Page 30: calculo I

30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Page 31: calculo I

Capítulo 2

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

2.1 Definições e Exemplos

Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de fun-ção. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade édeterminada por outra quantidade, de maneira única. Existem várias alternativas para definirformalmente uma função. Escolhemos a seguinte:

Definição 2.1. Sejam� ��� � . Uma função � definida em

�e com valores em � é uma regra que

associa a cada elemento ') �um único elemento �� � .

As notações usuais são: ��� � ��� � tal que � ��� � ' ! ou

��� � ��� �')���� � '5! 0

O número ' é chamado variável independente da função e � variável dependente da função.

Exemplo 2.1.

[1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa umafunção:

Dia � 2 3 4 5 6 7� � * � � � � � � � 870 870 950 497 510

De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade devazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a funçãodo exemplo, mas, a definição de função é satisfeita.

[2] Foi feita uma pesquisa de preços (em R$) de produtos da cesta básica em três supermercados

31

Page 32: calculo I

32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela:

Produto Sup. A Sup. B Sup. C� � 0 � � 0 � � 0 �� � 0 � � � 0 � � � 0 � � 0 � � � 0 � 0 �� � 0 � � 0��� � 0 �

0 �0 � � 0 � � ��0 � �

0 � � ��0 �� � 0 � 0 � � � 0

Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto corresponde mais de um preço.

[3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.

Se o raio do círculo é denotado por � , então,� � � ! � � � . Um círculo de raio igual a �� 0 � 0 ,

tem área� � 1!�� � �� 0 � ; um círculo de raio igual a

�,��� 0 � 0 , tem área

� ��,� ! � � �,�,�,� �� 0 � .

( � 0 � 0 =unidades de comprimento) e ( � 0 ��0 =unidades de área).

[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin-dro circular reto de � � ( � � metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. Ovolume do tanque é descrito em função do raio � .

r

Figura 2.1: Tanque de raio � .

O volume do cilindro é � � � � � e o dos dois hemisférios é� � � � � ; logo, o volume total é:

� � � ! � � � � � � � �1! � � 0Por exemplo, se o raio for � � � � , o volume é

� � � ! �� � � � .

[5] Dois satélites artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a��0 ��� � �� � � . O comprimento � que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angular

de � (em radianos), é ��� � � , onde � é o raio.

Page 33: calculo I

2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 33

Figura 2.2: Satélites em órbita.

Logo, podemos descrever o comprimento � em função da separação angular:

� � � ! � � ��0 � � � � � ! ��0

[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a queela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura dogás é constante. Denotamos a pressão por � , o volume por

�e a temperatura constante por � ;

então, �� � � � . Podemos escrever a pressão em função do volume:

� � � � � ! � ��7 ou o volume em função da pressão:� � � � � ! � �

� 0

[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artériasou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos temformato cilíndrico não elástico.

R

Figura 2.3: Vaso de raio � .

Denotemos por � o raio e � o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade� do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância

�do eixo à

parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e�

é dada por:

� � � !+� ��� � � � � � !� ���

onde � é a viscocidade do sangue e � a diferença entre a pressão de entrada e a da saída dosangue no vaso. Experimentalmente, para o sangue humano numa veia: ��� � 0 �,� � �

, � � �,

� � � � � � � � e �&� �� � � � , logo:

� � � !+� � � 0 � � � � � � � � � � � 0 � � � � � � � � � � * � � �0

Page 34: calculo I

34 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

[8] Temos � �,�,� metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrevera área do curral em função de um dos lados. De fato, se ' e � são os lados do curral, seuperímetro é

� � ' � � ! � � �,�,� e a área do retângulo é� � ' � ; logo:

� � '5! � ' � �,� �7'5! � �,� '��7' � 0[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animaisem função de seu peso. Se denotamos por � a superfície corporal, então:

� � ! � ���� � onde

é o peso em quilos do animal e

� � � é uma constante que depende do animal. Experi-mentalmente, é conhecido que

� � � 0 � � para humanos e� � � 0 � � � para primatas. Por exemplo,

um homem de� � quilos tem uma superfície corporal aproximada de:

� � � � !$��� 0 � � � �� � � � � � 0 � � � � � � � �

uma criança de� � quilos tem uma superfície corporal aproximada de:

� � � � !+� � 0 � � � �� � � � � � 0 � � � � � � � 0 � � ! � � 0 � � � �� �

20 � 0 � � � �� � � ��� � 0 � � � � � � �

54 � 0 � � � �� � � �� � 0 � � � � �70 � 0 � � � �� � � � �� � 0 � � � � � �86 � 0 � � � �� � � � �� � 0 � � � � � �90 � 0 � � � �� � � � �� � 0 � � � � � � �

120 � 0 � � � �� � � � ��� � 0 � � � � � � �

[10] Considere� � � e � a regra que associa a cada número real '& �

, o seu cubo, isto é:� � � � ' ! � '�� 0Por exemplo, ao número � � associamos o número � � � � !�� � � � ! � � � � ; ao número

�associa-

mos o número � � � !$� � � ! ��� � ; ao número � �associamos o número � � � � !$� � � �

, ao número�� � � associamos o número � � � � ��� ! � � � � ��� ! � , etc.

' � � '5! � ' �-1 � � � ! � � � �2 � � ! � � �� � � � � ! � � � � �� � �

�� � � � �

� ��� ! �� � ���

�� � � � ��� � � ��� �

� ��

� ���� � ��� ! � � ��

� ���� � ��� ! � �

Page 35: calculo I

2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 35

[11] Seja� � 2 � � � ! e � a regra que associa a cada número real ')� � sua raiz quadrada, isto é:

��� � � '5!$� � ' 0 Por exemplo, ao número � associamos o número � � � !$� � � � � ; ao número ��

associamos o número � � � � ! � � � � � � � e ao número � � não podemos associar nenhum númeroreal, pois, � � � não é um número real.

' � � ' ! � � '0 �2 � �4

�-4 indefinido��

� ��� ��� �

�� ���

�� � � � �

� �� � � �� � ��� ! � �

� �� � � �� � ��� ! �

[12] Seja� � � e � a seguinte função :

� � ' ! ��

' � se ')� �'�� se ')� � 0

Ao número � � associamos o número � � � � !�� � � � ! � � � ; ao número�

associamos o número� � � ! � � � � � ; ao número � �

associamos o número � � � � ! � � � � ! � � �, etc.

' � -1 -3 2 �

� � � ' ! � � � � ! � � � � �

! � � � � � ! � � � �

[13] Seja� � � e � a seguinte função :

� � '5! �� � se '- �

� � se ' * � 0

Por exemplo, ao número � � associamos o número � � � � ! � � ; ao número�

associamos o núme-ro � � � ! � � ; ao número � �

associamos o número � � � � ! � � � , pois � �é irracional; � � !$� � � ;

� � � � � � � .' � -1 2 � �

� � ' ! � � � � � � � � �Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por equações(que fornecem � quando são atribuidos valores a ' ). No exemplo [13], a função não é dadapor uma equação, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções sãonecessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo:

[14] Se, durante o verão de 2006, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máximaocorrida em cada dia, obteríamos uma função. De fato, a cada dia, está associado uma única

Page 36: calculo I

36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

temperatura máxima, isto é, a temperatura é função do dia. Embora não exista uma fórmulaexplícita para expressar a função do exemplo, a definição de função é satisfeita.

Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações.Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define umafunção. Por exemplo, a equação � � � ' não define uma função, pois para '�� � temos doisvalores para � , a saber: ��� � � ; mas � � � ' dá origem a duas funções: ��� � �(� '5! � � ' e�)� � � � ' !�� � � ' 0 Podemos imaginar uma função como uma máquina que utiliza uma certamatéria prima (input) para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos númerosreais como um depósito de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar,exatamente, neste depósito, qual matéria prima faz funcionar nossa máquina; caso contrário,com certeza, a estragaremos; esta analogia nos leva às seguintes definições:

x f(x)

Figura 2.4:

Definição 2.2.

1. O conjunto de todos os ') �� que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função� e é denotado por � � � � ! 0

2. O conjunto de todos os �� � tais que � � � � ' ! , onde ' � � � � ! é chamado imagem dafunção � e é denotado por � � � � ! .

É claro que � � � � ! � � , � � � � ! � � , e que � � � � ! é o conjunto dos valores da variável in-dependente para os quais � é definida; � � � � ! é o conjunto dos valores da variável dependentecalculados a partir dos elementos do domínio. Duas funções � e � são ditas idênticas se tem omesmo domínio e � � '5!$� � � ' ! , para todo '7 ; por exemplo as funções � � ' !$��' � ' � � e� � '5! � '�� ' �� são diferentes pois seus domínios são diferentes. Antes de ver alguns exem-plos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função, devemos sempre determinar osconjuntos � � � � ! e � � � � ! 0

Exemplo 2.2.

[1] A área de um círculo de raio � é� � � ! � �� � ; � sendo o raio, temos: ����� ; logo,

� � � � ! ��� � � � ! � � � � � ! 0

[2] Considere a função ��� � � ' !$� '�� ; é claro que não existem restrições para o número real ' ;logo, temos que:

� � � � ! � �e � � '�� ��� , para todo '- �� ; então � � � � ! �&2 � � � ! , então:

� � � � ! � 2 � � � ! 0

Page 37: calculo I

2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 37

[3] Considere a função � � � � ' ! � � ' . Uma raiz quadrada existe somente se '-��� ; então:

� � � � ! � 2 � � � ! 0

Como todo número real '-��� possui raiz quadrada:

� � � � ! � 2 � � � ! 0

[4] Considere a função ��� � � ' !�� � ' � � � . Como no caso anterior, � ' � � � existe somente se'�� � � ��� ; resolvendo a inequação temos:

� � � � ! � � � � (� � 3��72 � � � ! e, novamente, temos: � � � � !$� 2 � � � ! 0

[5] Considere a função ��� � � '5! ��' ; é claro que � é definida se e somente se ' �� � ; logo temos

que:

� � � � ! � ��� %/� . � � � � 4� ! �7� � � � !��

por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então

� � � � ! � � � %/� .10

[6] Considere a função � � � � ' ! ��

' � � � ; como no caso anterior o denominador da fração não

pode ser nulo; logo '�� � � �� � ; então, ' �� � � e:

� � � � ! � ��� % � � � . � � � � � ! � � � %/� .10

[7] Considere a função � � � � ' ! � �� ' ; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativoé positiva ou negativa,

� � � � ! ��� � � � ! � � 0

[8] Considere a função � � � � '5! � � ' � � ' � � � . A função é definida se '�� � e '���� � � �simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos ')� � ; logo,

� � � � ! � 2 � � � ! e � � � � ! � � � � � ! 0

Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar,sem perigo, estas funções.

[9] Se � � '5! � � ' , então � � 1! � � , � � ! � � e � � ' � � � ! � � ' � ��� , pois ' � ��� é semprepositivo.

[10] Se � � '5! ��' , calculamos � � �� � � � , se � �� � e � � ' � � � ! �

�' � � � .

Page 38: calculo I

38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

2.2 Gráficos de Funções

A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico noplano coordenado ' � .

Definição 2.3. O gráfico de uma função � � � � ' ! é o seguinte subconjunto do plano:� � � ! �&% � ' � � ' ! ! * '7 � � � � !�.

Geometricamente� � � ! é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção

2.1,� � � ! não é uma curva. Nos casos em que

� � � ! é uma curva, intuitivamente podemospensar que os conjuntos � � � � ! e � � � � ! representam a “largura” e “altura” máxima da curva,respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela,onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quandoserão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a funçãocom seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano.

Exemplo 2.3.

[1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de águade uma represa:

Dia � � * � � �� � �� � � � � �� � � � � �� � � �� � �

O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa aabscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos:

1 2 3 4 5 6 7

200

400

600

800

1000

Figura 2.5: Gráfico da vazão semanal de água da represa.

Page 39: calculo I

2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 39

[2] Esboce o gráfico da função � � ' ! � ' � . Note que � � � � !+� � e � � � � !�� 2 � � ! . Fazendo atabela:

' � � ' ! � ' �� �

� � * � � * � �� � * � * �� � * � � * �� � �� � �� �

' � �&� para todo ' � , os pontos de abscissas ' e � ' tem a mesma ordenada �-� ' � . Logo,o gráfico de � fica situado no primeiro e segundo quadrante. Observando a tabela, conclui-seque se o valor de � ' � aumenta, os valores da correspondente ordenada aumentam mais rapi-damente. Se os valores de � ' � aproximam-se a zero, os valores correspondentes da ordenadaaproximam-se mais rapidamente de zero.

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.6: Gráfico de � � ' ! � ' � .

[3] Esboce o gráfico da função � � ' ! � ' � . Note que � � � � ! ��� � � � ! � � . Fazendo a tabela:

' � � ' ! � ' �� �

� � * � � � * � �� � * � � * � �� � * � � � * �� � � �� � � �

Se ')��� , então ����� e se ')��� , então ����� . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiroquadrantes. Observando a tabela, vemos que quando '�� � e ' cresce, os valores correspon-dentes da ordenada � também crescem e mais rapidamente. Quando ' � � e ' decresce, osvalores correspondentes da ordenada � decrescem e mais rapidamente. O gráfico de � é:

Page 40: calculo I

40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Figura 2.7: Gráfico de � � ' ! � '�� .[4] Esboce o gráfico da função � � ' ! � �� . Note que � � � � ! � � � � � ! � � � %/� . . Fazendo atabela:

' � � ' ! ��'

� � * � �,� � � �,�� � * � � �� � * �

� � * � � �� � � �� � � � * ��

� � * Se ')��� , então ����� e se '-��� , então ����� . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiroquadrantes. Observando a tabela, vemos que quando ' � � e ' cresce, os valores correspon-dentes da ordenada � aproximam-se de zero e à medida que ' aproxima-se de zero, os valorescorrespondentes da ordenada � aumentam muito. Quando ' � � e ' cresce, os valores corres-pondentes da ordenada � decrescem e à medida que ' decresce, os valores correspondentes daordenada � aproximam-se de zero. O gráfico de � é:

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 2.8: Gráfico de � � ' ! � � * ' .

Page 41: calculo I

2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 41

[5] Esboce o gráfico da seguinte função : � � '5! �

��� �� '��7'�� se ')� ��' se � �

� � '-� ��'�� � ' se ')� � �

� 0

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figura 2.9: Gráfico de � � ' ! do exemplo [5].

[6] Determine a função � cujo gráfico é:

-1 1 2 3 5

2

Figura 2.10:

Claramente, � � ' ! � � se ' � � e ' �. Determinemos os segmentos de reta que ligam os

pontos � � 4� ! e � � � ! , � � � ! e �4� ! , respectivamente. A equação da reta que passa por � � 4� ! e

� � � ! é � � � � '�� � ! . A equação da reta que passa por � � � ! e �4� ! é ��� � � � '��

! ; então:

� � '5! �

������ ������ se '-� �� � '�� � ! se � � '-� �� � � '��

! se

� � '-�

� se

� '

0

Observação 2.1.

Os gráficos de � � ' ! �� , � � ' � � ! , � � � ' ! e � � � '5! ( � &� ) podem ser obtidos diretamente dográfico de � � ' ! . De fato. O gráfico de � � '5!�� � � ' ��� ! pode ser obtido a partir do gráfi-

Page 42: calculo I

42 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

co de � transladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidades para a esquerda se � � � , outransladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidades para a direita se � ��� .O gráfico de � � ' !$� � � ' ! � � , � �� pode ser obtido do gráfico de � transladando-o ao longo doeixo dos � em � unidades para cima se � ��� ou � unidades para baixo se � ��� .O gráfico de � � '5!�� � � � '5! , � � � pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de � verticalmentepelo fator � . O gráfico de � � ' ! � � � � ' ! , � � � pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de �horizontalmente pelo fator � .O gráfico de � � ' ! � � � � ' ! , � � � � � pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de � verti-calmente pelo fator � . O gráfico de � � '5! � � � � ' ! , � � � � � pode ser obtido "esticando-se"ográfico de � horizontalmente pelo fator � .O gráfico de � � ' ! � � � � '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de � em torno do eixo dos' . O gráfico de � � ' ! � � � � '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de � em torno do eixodos � . Em cada caso é conveniente especificar os domínios e imagens.

Exemplo 2.4.

[1] Na esquerda, os gráficos de � � � � '5!�� ' (azul), de � � � � � � ' !�� � � ' (vermelho) e� � � � � ' ��� !$� � � ' � � ! (verde).

[2] Na direita, os gráficos de � � � � ' ! � ' � (azul), de � � � � ' ��� ! � � ' ��� ! � (vermelho) e� � � � � '�� � !$� � � '�� � ! � (verde):

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

-3 -2 -1 0 1 2 3x

1

2

3

4

5

y

Figura 2.11: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.

[3] Os gráficos de ��� � � ' ! � ' � (azul), de � � � � ' � � ! � � ' ��� ! � (vermelho) e � � � � �' !$�

� � � '�� (verde):

-2 -1 1 2x

-4

-2

2

4

6

y

Figura 2.12: Gráficos do exemplo [3].

Page 43: calculo I

2.3. FUNÇÃO MODULAR OU VALOR ABSOLUTO 43

A seguir daremos vários exemplos de funções, com seus respectivos domínios, imagens e grá-ficos. A idéia é formar um "catálogo"das funções mais usadas, as quais serão utilizadas nosexemplos e exercícios.

Exemplos de Funções

2.3 Função Modular ou Valor Absoluto

Esta função é definida por:

� � � � ' ! � � ' �Note que � � � � ! �&� e � � � � ! � 2 � � � ! , pois o valor absoluto de um número real é semprenão negativo. O gráfico é constituido de duas semi-retas de coeficientes angulares � e � � ,respectivamente, que se intersectam em � � 4� ! 0

-3 -2 -1 0 1 2 3x

1

2

y

Figura 2.13: Gráfico de � � '5! � � ' � .Observe que os gráficos de � � � ' ! � e de � � � ' � ! podem ser obtidos do gráfico de � � ' ! . De fato,� � '5!�� � � � '5! � é obtido refletindo através do eixo dos ' , no primeiro e segundo quadrantes aporção do gráfico de � que esteja no terceiro e quarto quadrantes. Como exercício, diga comopode ser obtido o gráfico de � � � ' � ! .Exemplo 2.5.

Esboce os gráficos de:

[1] � � ' !$��� '�� � � � �.

[2] � � ' ! ��� ' � � .Seja � � '5! � � ' � ; logo, � � ' ! � � � ' � � ! � �

; então, o gráfico de � é obtido a partir do gráficoda função � transladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidade para a direita e

�unidades

para cima. O gráfico é constituido de dois segmentos de retas de coeficientes angulares � e � � ,passando por (1,2) e (0,3), respectivamente.

Por outro lado � � ' ! � � � '��(! .

Page 44: calculo I

44 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

-1 -0.5 0.5 1

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 2.14: Gráficos de � e � , respectivamente.

2.4 Funções Polinomiais

2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim

Esta função é definida por:

��� � � '5! � � ' � �

onde � ��� �� . Note que � � � � ! � � e � � � � ! � � . Usando a definição de distância entrepontos do plano não é difícil provar que dados três pontos no gráfico de � , estes são colineares;o gráfico de � é a reta de coeficiente angular � passando por � � ��#! . E, reciprocamente, dadosdois pontos que determinem uma reta não vertical existe uma função afim cujo gráfico é a reta.(Verifique!). Note que:

� � � � � ! � � � � !� � �

para todo � � )� , � �� �. Logo, � � � ! �&� , � � � !�� � � � , � � � ! � � � � � � � � � ! � � ; em geral,

� � � � � ! � � � � ! � � , para todo� �� . Logo, � � � ! �� � � ! �� � � !�0 0 � � � ! "0 0 formam uma progressão

aritmética de razão � . A propriedade que caracteriza as funcões polinomiais de primeiro graué que � � ' � � ! � � � ' ! depende apenas de � , isto é a acréscimos iguais dados a ' correspondemacréscimos iguais para � . É esta característica que deve ser utilizada nas aplicações. Quando� � � , a função é chamada constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos ' que passapelo ponto � � ��"! .

Exemplo 2.6.

Usando as observações 2.1, temos:

[1] À esquerda, os gráficos de � � '5! � ' � � (negro), e�� � � ' ! � ' � �� (azul) e

� � � ' ! � � ' � �(vermelho), respectivamente.

[2] À direita, os gráficos de � � ' ! � ' ��� (negro), e � � ' � ��� ' � ��� (azul) e � � � � '5! � � � � '(vermelho), respectivamente:

Page 45: calculo I

2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 45

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

Figura 2.15:

Quando ��� � , obtemos um tipo importante de função, chamada função linear. Portanto, afunção linear é definida por:

� � ' ! � � 'e é modelo matemático para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. Seu gráficoé uma reta de coeficiente angular � passando pela origem.

Proposição 2.1. Seja � uma função linear:

1. Para todo ' �(�' � �� , temos que: � � '�� � ' � ! � � � '���! � � � ' � ! .2. Como � � � ! � � , � � � ! � � � � ! � � � � ! � � � ; em geral, � � � ' ! � � � � ' ! para todo ' �� e

� � .

3. Quando � � � , temos:� � '5! � '

que é chamada função identidade. Seu gráfico é uma reta de coeficiente angular � .Exemplo 2.7.

[1] Suponha que os seguintes dados foram coletados num experimento. Se a teoria subjacenteà experiência indica que os dados tem uma correlação afim, ache tal função afim.

' � � � 0

��� 0 � � 0 � ��0 � � ��0 �� �

0 � � � 0�� � � 0 � 0 � � � � 0 �Seja ��� � � ' ! � �+' � � . Pelas propriedades das funções afins:

��� 0 � � � � 0 1!+� � 0 � � �� 0 � � � � � � � 0

! � � � 0

� � � 0

Resolvendo o sistema, obtemos: � �

e � � �� ; logo, � � '5! �'�� .

Page 46: calculo I

46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

-10 -5 5 10x

-20

-10

10

20

y

Figura 2.16: A reta ���'�� .

Note como o gráfico de uma função afim é uma reta, podemos tomar qualquer par de pontos eobtemos a mesma função; por exemplo: � 0 � � � � � ��0 �1!$� � ��0 � � � �� � � 0 � � � � �

��0 �1!+� � ��0 � � � � 0

[2] Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por � apressão e � a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que apressão da água ao nível do mar é de � � � � , ( � � � � atmosfera) e que acréscimos iguais naprofundidade correspondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto domar para outro situado a � � ( � � metro) de profundidade, haverá um aumento da pressãode aproximadamente � � � � . Passando do nível do mar a uma profundidade de � � , a pressãoaumentará �

�� 0 � . A pressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do

primeiro grau:

�&� � ��� ! � � 0 � � � � 0

20 40 60 80 100x

2

4

6

8

10

y

Figura 2.17: Gráfico de � � � ��� ! .

A pressão da água a uma profundidade de � �,� � é � � � � � �,� ! ��� 0 � � � �,� � � � � � � � � . Se apressão da água é de � � � � , a profundidade é � � � 0 � � � � � ; logo, � � � � � � .

[3] Sabe-se que � �,� � ( � =gramas) de soja contem � de proteínas e � �,� � de lentilhas contem� � � de proteínas. Um adulto médio num, clima moderado, necessita de

� � � de proteínasdiárias em sua alimentação. Uma pessoa deseja prover estas

� � � de proteínas somente com

Page 47: calculo I

2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 47

soja e/ou lentilhas. Se ' é a quantidade de soja e � a quantidade de lentilhas diárias ( ' e �medidas em unidades de � �,� � ), qual é a relação entre ' e � ?

A quantidade de proteína na soja é ' e a quantidade de proteína nas lentilhas é

� � � por dia(ambas medida em gramas). O total de proteínas diário é

� � ; logo, temos a equação de primeirograu:

' � � � � � � � ���� � ' ! � � '� � � � �� � 0

0.5 1.0 1.5 2.0x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

y

Figura 2.18: Gráfico de ' � � � � � � � .

' ����� . Os pontos do gráfico são as possíveis combinações de soja e lentilhas para fornecer� �

gramas de proteínas diárias.

[4] (Lei de Hooke): Se um peso de ' unidades for pendurado em uma mola esta se alonga emum valor � que é diretamente proporcional a ' , isto é,

� � ' ! � � ' 0

A constante�

depende da rigidez da mola (quanto mais rígida for a mola, menor será o valorde

�).

2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática

Esta função é definida por:

� � � � ' ! ���$' � � �' ���

onde �� � �� � � �� � . Claramente � � � � ! � � .

Para todo � �� , � � ' ��� ! � � � '5! é uma função afim em ' . A � � � � ! e o gráfico de � dependemessencialmente do discriminante da equação do

� �grau �$' � � ��' � � � � e do coeficiente � do

termo principal. Não é difícil verificar que o gráfico da função � � ' ! � �+' � é uma parábola defoco � � � * � ��! e diretriz � � � � * � � . Fazendo uma translação adequada dos eixos coordenadosverifica-se que o gráfico da função � � ' ! � �+' � � ��' ��� é uma parábola cujo eixo de simetria éparalelo ao eixo dos � , tem foco � � �"* � � /� � � � � � � � � ! * � � ! e diretriz ��� � � � � � � � � � ! * � � .O vértice da parábola � ���+' � � ��' ��� é o ponto onde a parábola intersecta seu eixo e é dado

Page 48: calculo I

48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

por � � � � �"* � ��(� * � � ! . Se � � � , então � é o ponto da parábola de menor altura, pois oponto mais próximo da diretriz é o vértice. Se �7�&� , então � é o ponto da parábola de maioraltura. Não é difícil ver que se � � é a abscissa do vértice da parábola � � � � ' ! , então � � � � � '5! �� � � � ��' ! para todo ') �� . Usando completamento dos quadrados: � � ' ! � ��� ' � � � ! � ��� , onde� � � � � � ! .

Gráficos da Função Quadrática

Figura 2.19: Gráficos para ����� , ��� , � � ou ��� , respectivamente .

Figura 2.20: Gráficos para ����� , ��� , � � ou ��� , respectivamente .

Exemplo 2.8.

[1] A área de uma esfera é função quadrática de seu raio. De fato, � � �1! � � � � .[2] (Lei do fluxo laminar de Poiseuille): Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ouveias. É uma função quadrática em

�:

� � � !+� � � � � � � � !� ��� 0

Para o sangue humano numa veia: � � � 0 �,� � �, � � �

, � � � � � � � � e � � �� � � � , logo:

� � � !+� � � 0 � � � � � � � � � � � 0 � � � � � � � � � � * � � �0[3] A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resitência do ar, é dada poruma função polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longodo eixo dos ' ), obtemos sua altura � . Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura,

Page 49: calculo I

2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 49

em metros, � segundos após o lançamento é dada por � � � � �4! � � � � � � � � � , qual é a alturamáxima atingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?

Determinemos o vértice da parábola ��� � � � � � � ��� , � �1�,� , ��� � � � ��� e � � � � ; � � � � � � ! .Logo, a altura máxima é de � � � , atingida � segundo após o lançamento.

0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

10

Figura 2.21: A parábola do exemplo [3].

[4] Pelas observações 2.1, os gráficos de ��� � � ' ! � ' � (azul), � � � � � � ' � �� � '��� (vermelha)

e � � � � � ' ! � � '�� (verde), são:

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

Figura 2.22: As parábolas do exemplo [4].

2.4.3 Função Polinomial de Grau n

A função polinomial de grau n é definida por:

� � � � ' ! ��� � ' � � � � � � ' � � � � 0 0 0 0 0 0 � � �

Onde � � �� � � � 0 0 0 0 0 0 0 4� � �� ; � � �� � ; � � � � ! ��� , mas a � � � � ! e o gráfico de � dependem es-sencialmente do grau do polinômio e de � � . Esta função é, claramente, a generalização naturaldas funções anteriores. Como exemplo, vejamos as funções: � � ' ! �&' � ��' e � � '5! � � � ' � � � ;� � � � !$� � e � � � � !$� 2 � � � ! . Seus respectivos gráficos são:

Page 50: calculo I

50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

1-1

-0.5

0.5

1-1

1

Figura 2.23: Gráficos de � e � , respectivamente.

2.4.4 Funções Pares e Ímpares

Definição 2.4.

1. Uma função � é dita par se, para todo ') � � � � ! então � ') � � � � ! e

� � � '5! � � � ' !

2. Uma função � é dita ímpar se, para todo ') � � � � ! então � ') � � � � ! e

� � � '5! � � � � ' !

Pelas definições de função par e de função ímpar é fácil ver que o gráfico de uma função paré simétrico em relação ao eixo dos � e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação àorigem.

Exemplo 2.9.

[1] Seja � ��� � ' ! � '�� ��' � .

� � � � ! � ��� %/� . , a primeira parte das definições é verificada e:

� � � ' ! � � � ' ! � ��

� � '5! � � ' � ��' � � � � ' !��

logo, � é função par.

[2] Seja � ��� � ' ! � ' � �7' � .como � � � � ! � � a primeira parte das definições é verificada e:

� � � ' ! � � � '5! � ��� � ' � ! � � � ' � ! � ' � � � � � '5!��

logo, � é função ímpar.

Page 51: calculo I

2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 51

1-1

1

2

3

4

5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Figura 2.24: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.

[3] Seja � � � � ' ! � ' � , �� � tal que ��� � .A função é par se � é par e é ímpar se � é ímpar. Para '� � � � ! , tem-se: ' � � '�� � ' � � ' � �' � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , isto é, quanto maior o valor de � , menor o valor da função. Consequentemente,o gráfico de � � ' � , está abaixo do gráfico de � � ' � , que também está abaixo do gráfico de� � ' � , e assim sucessivamente. Para valores de ' próximos de zero, as potências menores do-minam e quanto maior o expoente � , os gráficos ficam cada vez mais “planos” (quase paralelosao eixo dos ' ). Para ' � � � � ! , tem-se: ' � � ' � � ' � � ' � � ' � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ou seja paravalores grandes de ' , as potências de maior grau dominam as de menor grau.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

1

1-1

1

-1

Figura 2.25: Gráficos de � ��� � ' ! � ' � para �-� � �� � e �-� � , respectivamente.

Algumas vezes, para esboçar o gráfico de uma função é conveniente verificar se a função é parou ímpar, pois a simetria presente nos gráficos destas funções facilitará o desenho. Note queexistem muitas funções que não são pares e nem ímpares.

Por exemplo, seja � � ' ! � ' � � ' ; como � � � � ! � � e � � � ' ! � ' � � ' ; logo, � � � ' ! �� � � ' ! e� � � '5! �� � � � ' ! ; então, � não é função par nem ímpar.

Achar os ' tais que � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do � � � � ! tal que ospontos do gráfico de � , estão acima da reta �-� � . Achar os ' tais que � � ' ! � � é equivalentea determinar os elementos do � � � � ! tal que os pontos do gráfico de � , estão abaixo da reta� ��� .

Page 52: calculo I

52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Exemplo 2.10.

[1] Se � � '5! � '�� , então, � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do � � � � ! tal queos pontos do gráfico de � , estão acima da reta ��� � .[2] � � ' ! � ' � � '�� � ! ; então, � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do � � � � ! talque os pontos do gráfico de � , estão abaixo da reta � � � .

-1 1

1

Figura 2.26: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.

Podemos afirmar que o gráfico de uma função é, em geral, uma curva no plano coordenado; arecíproca nem sempre é verdadeira, isto é, nem toda curva no plano coordenado (ou conjuntodo plano) é o gráfico de alguma função. Geometricamente uma curva no plano coordenado éo gráfico de uma função se toda reta paralela ao eixo dos � intersecta a curva no máximo numponto (por que?). Por exemplo, a seguinte curva não representa uma função:

Figura 2.27:

[3] O conjunto� � % � ' �� ! � �+* '�� � � � � � . não é o gráfico de uma função. De fato, temos

� � � � � �7' � ; logo, para todo '- � � � � ! existe mais de um � tal que � ' �� ! �.

Page 53: calculo I

2.5. INTERSEÇÃO DE GRÁFICOS 53

-1 1

-1

1

Figura 2.28: O conjunto�

.

2.5 Interseção de Gráficos

Sejam � � � � '5! e � � � � ' ! tais que seus gráficos se intersectam no ponto � ; então, as coordena-das de � são: �&� � '��( � � '�� ! ! � � ' �( � � ' �#! ! , logo � � '�� ! � � � '�� ! ; equivalentemente, ' � é soluçãodo sistema: �

� � � � ' !� � � � ' ! 0

Exemplo 2.11.

[1] Achar os pontos de interseção dos gráficos de � � '5! � ' e � � '5! � ' � . Resolvemos o sistema:�� � '� � '��

donde ' � ��'�� ' � '�� � ! , logo ' � '�� � ! � � e '�� � ou '�� � . Os pontos são � � 4� ! e � � 4� ! .

-1 1

1

Figura 2.29:

[2] Achar os pontos de interseção dos gráficos de � � ' !�� ' � � ' e � � ' ! � ' � � ' � . Resolvemoso sistema: �

� � ' � �7'� � ' � � ' �

donde ' � � ' � � ' � �7' , logo ' � � '�� ' � ' � ��� !$� � e '���� ou '�� � � . Os pontos são � � 4� ! e� � � 4� ! .

Page 54: calculo I

54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

-1 1

0.4

Figura 2.30:

2.6 Álgebra de Funções

A seguir, veremos como construir novas funções a partir de outras já conhecidas.

Definição 2.5. Sejam � ��� � ' ! e � � � � ' ! funções.

1. Adição e subtração de funções:

� � � ��!#� ' !$� � � ' ! � � � '5!

2. Multiplicação de funções:

� � ����!#� ' !$� � � ' ! � � � '5!

3. Divisão de funções: � ���� � ' ! � � � '5!

� � '5! se � � '5! �� �

Em particular, se� 7� , temos que � � � � !#� ' ! � � � � � ' ! 0 Antes de apresentar exemplos destas

definições, determinemos os respectivos domínios.

� � � � � � ! � � � � � ��� ! � � � � � !�� � � � � !

� � � � � � � � � � � � !�� � � � � ! ! � %(') � � � � ! * � � '5!+��� .10

Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de � e � tem, em cadaponto uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das or-denadas de � e � nos pontos correspondentes. A aplicação destas definições é, em geral, muitosimples, como observaremos nos exemplos.

Page 55: calculo I

2.6. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 55

Exemplo 2.12.

[1] A adição e a subtração de funções afins são funções afins. De fato, se � � ' ! � � � ' � � � e� � '5!$� �

� ' � � � ; então:

� � � � !#� '5!$� � � � � �� ! ' � � � � � � � ! 0

Por exemplo, se � � ' ! � � ' � � , � � ' !$� �' � �

; então, � � � � !#� ' ! � � ��' e � � � ��!#� ' ! � ' �.

-2 -1 1 2

-10

-5

5

Figura 2.31: Gráficos de � , � , � � � e ��� � .

[2] A adição e a subtração de funções polinomiais quadráticas são, em geral, funções polinomi-ais quadráticas. De fato, se � � ' ! �&� ��' � � � � ' � � � e � � ' ! �&� � ' � � � � ' � � � tais que � � ��&� � ;então:

� � � � !#� '5!$� � � � � � � ! ' � � � � � � � � ! ' ��� � � � � 0Por exemplo, se � � ' ! � ' � � � ' ��� , � � '5! � � ' � � ' ��� ; então, � � � � !#� ' ! �

' � � ' �

e

� ��� � !#� '5!$� � '�� �' � .

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

10

Figura 2.32: Gráficos de � , � , � � � e ��� � .

[3] Sejam � � ' ! � � ' � � � e � � '5! � '�� ��� . Logo, � � � � !#� ' !+� � � ' ! � � � '5!$� � ' � � � ��� '�� ��� ! ,e � � � � !#� '5!$� � � ' � � � ! � � ' � ��� ! ; os domínios são:

� � � � � � ! � � � � (� � 3��72 � � � ! � � � � � ����! 0

Page 56: calculo I

56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

� � � � � ' ! � � � '5!� � '5! � � ' � � �

' � ��� ; o domínio é � � � � � � � � � � (� � ! �72 � � � ! 0

2.6.1 Funções Racionais

Sejam � � ' ! e � � ' ! polinômios de coeficientes reais. Podemos definir a seguinte função, cha-mada racional:

� � ' ! � ��� ' !� � ' !

Da definição, temos que � � � � ! � � � %('� ���* � � '5!�� � . ; em outras palavras, o domíniode uma função racional é o conjunto dos números reais menos as raízes do polinômio queaparece no denominador. Note que as funções polinomiais são um caso particular das funçõesracionais; basta considerar � � ' ! � � para todo '- �� .

Exemplo 2.13.

[1] A função � � '5!���

' ,� �� é modelo matemático de problemas que envolvem quantidades

inversamente proporcionais. Por exemplo, a lei de Boyle.

[2] Seja � � ' !$� '�� ���' � � ' � � �,' � �7'�� .

Fatorando � � '5! �&' � � '�� � �,' � � '�� � � ' � � � !#� ' � � ' � 1! , tem-se: � � ' ! � � se ' � � � ;logo, � � � � ! � ��� % � � � . .

[3] Seja � � ' !$� ' ���' � � �,' � ��' � � � .

Fatorando � � ' ! � ' � � �,' ��� ' � � ��� � ' ��� � !#� ' � � � ! , tem-se: � � ' ! � � se '7� � , '7� �ou

'�� � �; logo, � � � � ! � ��� % � � � � . .

[4] Seja � � ' !$� ' � � �' � � �,' � �

.

Fatorando � � '5! � ' � � �,'�� �

� � '�� � � !#� '�� � ! , tem-se: � � ' ! não possui raízes reais; logo � � � � ! � � .

2.7 Composta de Funções

Definição 2.6. Sejam � e � funções tais que � � � � ! � � � � � ! . A composta das funções � e � édenotada por ��� � e definida por: � ��� � ! � '5! � � � � � '5! !

Observe que a definição faz sentido pois � � '5!� � � � � ! . Por outro lado:

� � � ��� � ! �&%(') � � � � ! * � � '5! � � � � !�.10Esta definição produz, a partir de funções conhecidas, novas funções, como veremos mais adi-ante. A definição de composta de funções é de fácil manejo, como veremos nos exemplos.

Page 57: calculo I

2.7. COMPOSTA DE FUNÇÕES 57

Exemplo 2.14.

[1] A composta de funções afins é uma função afim.

De fato, sejam � � '5! � � ��' � � � e � � ' ! � �� ' � � � ; então, � � � � !#� '5!+� � � � �

� ! ' � �� � � � � �

e � � � � !#� ' ! � � � �� ' � � ��� �

� � � . Por exemplo, se � � ' ! � � � '-� � e � � '5! � ' � , então,� � � � !#� ' ! � � � ' � � e � � � � !#� '5!$� � � '�� � � .

-6 4-6 4

Figura 2.33: Gráficos de � , � , ��� � e � � � .

[2] Sejam � � '5!�� � ' � � � e � � '5! � ' � � ; calcule � � � � � ���� � � , � � � � � e � � � � � � �respectivamente.

� � � � !$� 2 � � � ! e � � � ��! � � . � � � � !#� ' ! � � � � � ' ! ! � � � � ' � � � ! � � ' � � � ��� . Logo,

� � � ��� � ! � � � � (� � 3 �72 � � � ! 0

� � � ��! � � e � � � � ! � � � � (� � 3�� 2 � � � ! ; logo, não podemos calcular � � � a menos queconsideremos um domínio menor para � de modo que � � � � ! � � � � � ! . De fato: � � � ��!#� ' !��� � � � '5! !$� � � ' ��� ! �

�� ' ��� ! � � � � � ' � � � ' . Temos:

� � � � � � !$� � � � (� � 3 �72 � � � ! 0

� � � � !#� '5! � � � � � ' ! ! � � � � ' � � � ! ��

� � ' � � � ! � � � � � ' � � �. Logo,

� � � � � � ! � � � � (� � � 3 � 2 � � � � ! 0

� � � ��� � !#� '5!$� � � � � � � ' ! ! ! � � � � � ' ��� ! ! � � � ' � � ! � ' �.

� � � ��� ��� � ! � � 0

� � � � � � � � !#� '5! � � � � � � � � � ' ! ! ! ! � � ' � � � .

� � � � � � � � � � ! � � � � (� � 3���2 � � � ! 0

Dos exemplos anteriores podemos concluir que, em geral:

� � � � !#� '5! �� � ��� � !#� ' !

Page 58: calculo I

58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

[3] Suponha que uma mancha de poluente que contamina uma lagoa tem a forma de um discode raio � (em � � ) e sua área

�(em � � � ) é função do raio. Se o raio cresce em função do tempo

� (em ��� � ) pela lei � � � � �4! � � � � � � � 0 1! � � , determine a área da mancha em função do tempo.

A área é� � � ! � �� � ; devemos calcular

� � � ! , por outro lado� � � ! � � � �� !#� �4! � � � � � �4! ! ; logo,� � � ! � � � � � �4! ! � � � � � � � � 0 1! � � � � � � � 0 1! � � � � 0

[4] A função � � ' ! ��

� ' � � ' � ��� pode ser escrita como a composta de duas outras funções.

De fato, � � ' !$� � ��� � !#� '5! , onde � � '5! � ' � � ' � � � e � � '5! ��� ' .

-2 -1 1 2

1

2

Figura 2.34: Gráficos de � (azul), � (vermelho) e � .

[5] Esboce o gráfico de ��� � '�� � � � . A função � � ' ! ��'�� � � pode ser escrita como a compostadas funções � � ' ! � ' � � � e � � ' !�� � ' � ; logo, � � � � � . Pelas observações 2.1, o gráfico de� � '5! � � � � '5! � é

-1 1

-1

1

Figura 2.35: Gráfico de � � '5! � � � � '5! � .[6] Determine � � � ' ! , se:

i) � � � ' ! ��

� �7' e � � � �$� � � � � � , �-� � � � "0 0 0 0 0 .

ii) � � � ' !$� ' � e � � � �+� � � � � � , �-� � � � "0 0 0 0 0 .

i) Se � � � '5! ��

� ��' , então:

Page 59: calculo I

2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 59

� � � '5! � � � � � � � !#� ' !$� � � � � � � '5! ! � � � ��

� �7' ! ��

� � �� � �

�� �7'� � '

� � � '5! � � � � � � � !#� ' !$� � � �� �7'� � ' !$�

�� � � � �� � � � �

� � '

� �'

� � � '5! � � � � � � � !#� ' !$� � � �

� � '� �' !$� � �

'�� � ' 0

Observando as expressões anteriores podemos afirmar que:

� � � ' !$� � ���� ! � � '

� �� � ! ��� �

� � ! ' 0

ii) Se � � � ' ! � '�� , então:

� �/� ' ! � � � � � � � !#� '5!$� � � � '��/!$� ' �

� � � ' ! � � � � � �/� '5! !$� � � � ' � ! � '��� � � ' ! � � � � � � � '5! !$� � � � '��(! � ' � �

� � � ' ! � � � � � � � '5! !$� � � � ' � � ! � ' � � 0Note que: � � � ��� � ��� � , � � � � � � � � � , � �-� � � � � � � � e

� � � � � � � � � . Observando asexpressões anteriores podemos afirmar que:

� � � '5! � ' ���� � 0

2.8 Inversa de uma Função

Observe as seguintes tabelas:

� � � ��� ��!� � � � �� � �

� � �� � �

� � � � � � !� �� � � � � � �� � � � �

A primeira tabela foi obtida num estudo sobre a população de baleias corcundas num certosetor costeiro utilizado como ponto de reprodução pela espécie. O tamanho da população debaleias é medido anualmente, durante � anos. O número � de baleias é função do ano � emque é realizada a medição: � � ��� � ! . Suponha que, em certo instante, os biológos mudam oponto de vista e ficam interessados no tempo estimado para que a população de baleias atinjaum certo número de indivíduos � , ou seja, desejam obter � em função de � : � � � � ��! . Talfunção é chamada de inversa de � � ��� ��! . Veja a segunda tabela.

Page 60: calculo I

60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

50

10 20 30 40

1

2

3

4

5

6

Figura 2.36: Gráfico da � � ��� ��! e ����� � � ! , respectivamente.

Definição 2.7. A função � é dita função inversa de � se:

1. � � � � !$� � � � � ! e � � � � ! � � � � � ! .

2. Para todo ') � � � � ! � � � ��!#� ' !$� ' e para todo '- � � � � ! � ��� � !#� '5! � ' . Em tal caso �é dita invertível.

Exemplo 2.15.

[1] � � '5! � '�� � , � � � ')� � e � � ' ! � ' � �� ���� '-� �

são inversas.

De fato, � � � � ! ��� � � � ! � 2 � � � 3 , � � � � !+��� � � � ! � 2 �� (� 3 e:

� � � ��!#� ' !$� � � � � ' ! !+� � � ' � � ! � ' � ��� � !#� ' ! � � � � � ' ! !+� � � '�� � ! � ' 0

[2] � � '5! � � ' , '-��� e � � ' ! � ' � , '-��� são inversas.

De fato, � � � � ! ��� � � � ! � 2 � � � ! , � � � ��! ��� � � � ! � 2 � � � ! e,

� � � � !#� ' !+� � � � � '5! !$��� � ' � ! � ' � ��� � !#� ' ! � � � � � ' ! ! � � � � ' !$� ' 0

Seja � uma função invertível. Denotemos por � � � sua inversa. Dizer que � � � é a função inversade � é equivalente dizer que � � � � � e � � � � � são a função identidade. Em outras palavras, � ébijetora, ou seja, a função � é invertível se, e somente se para todo ' �#' � � � � � ! , temos; se' � �� ' � , então � � '�� ! �� � � ' � ! . Se � é invertível então � � � é invertível e � � � � ! � � � � . Note que� � � � ' ! �� � � � '5! ! � � . O gráfico de � � � é simétrico ao gráfico de � em relação à reta ��� ' .

Page 61: calculo I

2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 61

Figura 2.37: Gráficos de � e � � � .

2.8.1 Método para Determinar a Inversa

Escreva a equação � � � � '5! que define a função � . Resolva a equação ��� � � ' ! , para ' emfunção de � para obter '�� � � � ��� ! e, a seguir, permute ' por � . A equação obtida define � � � .

Note que, a rigor, a função � � � toma valores nos �� � � � � ! . É possível determinar geometrica-mente se uma função possui ou não função inversa. Para isto, desenhe qualquer reta paralelaao eixo dos ' ; se a reta intersecta o gráfico da função no máximo num ponto, então a funçãopossui inversa.

Figura 2.38: Função sem inversa.

Exemplo 2.16.

[1] Funcionamento de um termômetro: O volume de uma quantidade de mercúrio é funçãoda sua temperartura. Usando a função inversa, determinamos a temperatura através de seuvolume.

[2] A inversa de uma função afim não constante é afim. De fato, se ��� � � '5!+� � ' � � ; então,

� � � ����!$��

� ��� � �#! . Permutando ' por � , � ��� � � � '5! ��

� � '�� �"! .

Page 62: calculo I

62 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Figura 2.39: Uma função afim e sua inversa.

[3] Seja � � ' ! � ' � , �& � . Sabemos que se � é par a função é par e se � é ímpar a função éímpar. Logo � possui inversa para '-��� se � é par:

-1 1

-1

1

Figura 2.40: Desenho para � ímpar.

� possui inversa paraa todo '7 � se � é ímpar. A inversa para ambas é � � � ����!+� �� � . Permu-tando ' por � , � � � � ' !$� �� ' .

1

1

Figura 2.41: Desenho para � par.

[4] Seja � � '5! � �$' � �� ' � � , � � � � � �� � ; fazendo: � � �$' � �� ' � � e resolvendo a equação em relação a' , temos,

'��� � � �� � � � �

Page 63: calculo I

2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 63

logo � � � ����! �� ��� �� � � � se � �� �

� ou, equivalentemente,

� � � � ' !$�� '�� �� � � '

se ' �� � � , que é a inversa de � .

[5] Uma bola de borracha está sendo inflada e seu volume�

é função do tempo � (em ��� � )sendo

� � � ! � � � � � 1! � � � . Quanto tempo demora a bola até atingir o volume de �� � � � ?Devemos determinar a função inversa de

�. Como

� � � � � então � �� � � e

� � � � � � � !$�� � � e � � � � � � ��1!$� � � ��� � 0

[6] É comum, em diferentes Ciências da Natureza, utilizar duas escalas para medir temperatu-ras, Fahrenheit e Celsius.

i) Determine a função � que relaciona a temperatura � em graus Celsius à temperatura ' emgraus Fahrenheit, sabendo que seu gráfico é uma reta.

ii) Determine � � � .i) Se o gráfico é uma reta a função deve ser do tipo: � � � � '5! � � ' � � . Por outro lado, sabemosque: �)� � �

� ! � � , pois a água se congela a � graus Celsius. �7� � � � � � ! � � �,� , pois a águaferve a � �,� graus Celsius. Portanto:

� � � � � � � ! � � � � !� � � �

� � � e � � �� � �� �

logo � � '5! � � '�� � !

� .

ii) Seja � � � � '-�

� ! ; então, ' � � � � � e � � � � '5! � � ' � � . Logo, estas são as regras deconversão entre temperaturas dadas em graus Celsius e graus Fahrenheit.

Figura 2.42: Gráfico do exemplo [6].

[7] Calcule a inversa de uma função polinomial de segundo grau.

Page 64: calculo I

64 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Seja � � ' !�� � '�� � � ' � � � �� � ; observando o gráfico de � temos que fazer � �� � � ' (ou

� �� � � ' ) para obter a inversa. Resolvendo ��� � ' � � � ' ��� ou � '�� � � ' � � � � � !+� � , temos

que: '�� � � ��

� � � �1� � � �1� �� � . Então:

� � �� ��� ! � � � ��

� � � �1� � � �1� �� � se ����� e � � �� ����! � � ����

� � � �1� � � �1� �� � se ����� 0

Analogamente se � �� � � ' , ou equivalentemente:

� � �� � '5! � � � � � � � � �1� � � �1� '� � se ����� e � � �� � ' ! � � �+� � � � � �1� � � �1� '� � se ����� 0

Funções Elementares

A seguir apresentamos uma classe importante de funções que tem um papel fundamental nasaplicações que serão tratadas nos capítulos posteriores.

2.9 Função Exponencial

A função exponencial está associada a fenômenos de crescimento ou decrescimento, como porexemplo, crescimento populacional e desintegração radioativa.

Exemplo 2.17.

Suponha que após 7 meses de observação foram obtidos os seguintes dados de uma populaçãode formigas:

M Q V� � �,�,�,�� � � �,�,� 9000 � � � �1� 9540� � � � � � 10112 � � � � � 10719� � �,� � 11362� � � � � � � 12044

M é o mês, Q é a quantidade de formigas em cada mês da observação e V é a variação mensalda população. Dividindo a quantidade de formigas de um mês em relação ao mês anterior,obtemos um fator constante � 0 � � , o que mostra que a população de formigas cresce, aproxima-damente, � �

ao mês. Temos:

se '���� então � �,�,�,��� � �,�,�,��

� � 0 � �1!��

se '�� � então � � �,�,��� � �,�,�,��

� � 0 � �1! � �se '�� � então � � � �1��� � �,�,�,�

�� � 0 � �1! � �

se '�� então � � � � � � � �,�,�,�

�� � 0 � �1! � 0

Page 65: calculo I

2.9. FUNÇÃO EXPONENCIAL 65

Em geral, decorridos ' meses após a primeira observação, a população de formigas é dada por:

� � ' ! � � �,�,�,��

� � 0 � �1! � 0

1 2 3 4 5 6 7

50000

100000

150000

200000

Figura 2.43: Gráfico de � � ' ! � � �,�,�,��

� � 0 � �1! � .

Definição 2.8. Seja �� �� tal que � ��� �� � . A função exponencial de base � é denotada e definidapor:

� � � � ' ! ��� �

� � � � !�� � , � � � � !�� � � � � ! , � � � !�� � , � � � !�� � e seu gráfico depende de ser � � � ou� ����� � .Se � � , então � � � �

���

0"0"0�

� n vezes. Se � � e � � � , então � � � ��

� � . Se '� �,

então '�� � , onde

� e � ��� %/� . , e:

� � � ��

� � �� � � 0Se '&* �

, isto é, ' é um número irracional como , �, que sentido tem a expresão � � e �

� � ?A resposta rigorosa a esta pergunta será respondida em níveis de estudos mais elevados que odestas notas introdutórias. Por enquanto, vejamos uma idéia intuitiva:

Exemplo 2.18.

Considere� � � ; o número irracional �

é aproximadamente �

�� � 0 � � � � � � � � � 0"0(0 Por outro

lado, os seguintes números são racionais: � 0 � , � 0 � , � 0 � � , � 0 � � � � , etc. Logo, pela observaçãoanterior sabemos calcular

� ��� � , � ��� � � , � ��� � � � , � ��� � � � �� 50"0"0 e podemos obter um valor aproximado

para� � � . Observe a tabela:

' � �

1.7 3.2490091.73 3.317278

1.732 3.3218801.73205 3.321995

......

� � � �

Page 66: calculo I

66 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Proposição 2.2. Seja � � ' ! � � � , �� �� tal que � � � �� �

1. � � '�� � ' � ! � � � '�� ! � � ' � ! . Isto é:

� � � � � � � � � � �

para todo ' �#' � �� .

2. � � ��' !$� � � � '5! � � � � � � �"! � � . Isto é:

�� � � � � � !

�� � �

�! �

para todo ' �� �� 0

Toda progreção geométrica (P.G.) é uma função exponencial quando ' � . De fato, seja aprogressão aritmética de razão � : ' ' � � ' � � � ' �

� ' � � "0 0 0 0 0 0 0 0 ; então, � � ' � � ! ��� � � � ' ! ,

� � ' � � � ! � � � � ' ��� ! ��� ! � � � � � ' ��� ! � � � � � � ' ! ; em geral, � � ' � �� ! � � � � � � ' ! ; logo

obtemos uma progressão geométrica de razão � � .

Pelas propriedades anteriores, cada vez que a abscissa aumenta uma unidade a ordenada émultiplicada por � e cada vez que a abscissa diminui uma unidade a ordenada é multiplicadapor �� . Se � � � , então, a distância da curva ao eixo dos ' cresce quando ' cresce e decrescequando ' decresce. Se ��� � ocorre o contrário. Um caso particular e importante de funçãoexponencial é quando � é a constante de Euler ��� � � � � � � � . Gráficos para � ����� � :

-1 1x

1

y

Figura 2.44: ��� �� (verde), ��� �� (azul) e ��� �� (vermelho).

Gráficos para ��� � :

Page 67: calculo I

2.10. APLICAÇÕES 67

-1 1x

1

y

Figura 2.45: � � �(verde), � � � (azul) e ��� � (vermelho).

2.10 Aplicações

As funções exponenciais ou compostas de exponenciais tem um importante papel em Matemá-tica Aplicada. A seguir, apresentamos algumas destas aplicações.

2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos

Se uma quantia inicial� � em dinheiro for investida a uma taxa de juros compostos de � �

, �

vezes ao ano, o montante do investimento, após � anos será dado por:

� � � �� � � �

����� � 0Por exemplo, suponha que � �,�,� reais são investidos a uma taxa de juros compostos de

� �ao

ano, o montante acumulado após anos, se os juros forem capitalizados semestralmente é de

� � � �,�,�� � � � 0 � �� � � �

logo� �� � � � � 0 � reais.

2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial

Uma quantidade que cresce de acordo com a lei � � �4! � � � ��� � ; � � � ��� é dita que experimentaum crescimento exponencial com valor inicial � � � ! � � � . Este modelo se aplica em diversassituações.

Exemplo 2.19.

[1] Projeta-se que em � anos, a população de um estado será de � � �4!�� � � � ��

� � � milhões dehabitantes. Qual é a população atual? Qual será a população em 20 anos, se a populaçãocontinuar crescendo nesta proporção?

A população atual é � � � !$� � � milhões e:

� � � � !$� � � � ��� �

� � ��0 � � � milhões.

Page 68: calculo I

68 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

[2] Biólogos determinaram que em condições ideais uma colônia de bactérias cresce exponen-cialmente. Se, inicialmente existem

�,�,� bactérias e após

� minutos estão presentes � �,�,� ,

quantas bactérias estarão presentes após uma hora?

Note que � � � ! ��,�,� � � � , pois � � � ! �

�,�,� ; por outro lado � �,�,� � � �

� ! �

�,�,� � � � � e � � � � �

.

Logo,

� � � � !$��,�,� � �

� � ��,�,� � � � � � � � �

�,�,�

� � � � � �,�,� bactérias.

-20 20 40 60

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60

5000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

Figura 2.46: Gráficos de [1] e [2], respectivamente.

Uma quantidade que decresce de acordo com a lei � � � !$� � � � � � � ; � � � ��� é dita que experi-menta um decrescimento exponencial com valor inicial � � � ! � � � .

[3] Em Farmacologia, sabe-se que a concentração de penicilina e outras drogas tem um decres-cimento exponencial, em relação ao tempo da aplicação da droga.

O modelo utilizado é � � �4!�� � � � � � � , onde� � � é uma constante que depende da droga.

Outras aplicações serão vistas nos próximos parágrafos.

2.10.3 Função Logística

O modelo exponencial é interessante, pois é simples e serve como base para outros modelosmais complexos que estudam situações mais gerais. Por outro lado, crescimentos exponenciaisnão acontecem na natureza, pelo menos por tempo ilimitado. No entanto, durante breves inter-valos de tempo populações crescem com este modelo. Observa-se que os níveis de natalidadede uma população diminui quando a população aumenta. Os motivos podem ser variados,como fatores sociais, econômicos ou suprimento limitado de alimentos e de espaço. A popu-lação eventualmente se estabilizaria num nível compatível com o que o meio ambiente podesustentar, sem a extinção da espécie. Um ótimo modelo para o estudo deste tipo de situação éa função logística, definida por:

� � �4! ��� � � � �

� onde

� �� e � são constantes positivas. Este modelo também é usado no estudo da propaga-ção de epidemias, da propagação de doenças infecciosas e na propagação de boatos ou notícias.

Page 69: calculo I

2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 69

Exemplo 2.20.

[1] Uma população de moscas drosófilas num ambiente limitado é dada por:

� �/� �4! � �1�,�� � � � � ��� �

onde � denota o número de dias transcorridos. Qual é a população inicial? Qual é a populaçãono � � �

dia?Note que inicialmente, temos � � � � !�� � � moscas; � � � � � !�� � 0 ; aproximadamente

� moscas.

[2] Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram após � dias, numcerto bairro, é dada por:

� � � �4! �� �,�,�,�� � � � � � �

� � � 0

Quantas pessoas ficaram doentes após o primeiro dia? Quantas pessoas ficaram doentes após� dias?Note que inicialmente, temos � � �

� ! � � � � 0 � � ; aproximadamente � � � doentes e � � �� 1!+� � � � 0 � ;

aproximadamente � � � doentes.

5 10 15 20 25 30

100

200

300

400

10 20 30 40 50

10000

8000

6000

4000

2000

Figura 2.47: Gráficos de � � e � � , respectivamente.

2.11 Função Logarítmica

Como qualquer reta paralela ao eixo dos ' intersecta o gráfico da função exponencial ��� � � nomáximo num ponto, ela possui uma inversa denominada função logarítmica de base � , que édenotada por:

� � '5! � � � � � � '5!e definida por:

� � � � � � � '5!�� � � � '

onde �� �� é tal que ����� �� � . Note que � � � � ! � � � � � ! , � � � � !$� � , � � � !+� � , � � � !+� � eseu gráfico depende de ser ��� � ou ������� � . Gráficos para � ����� � :

Page 70: calculo I

70 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

1 2x

-1

1

y

Figura 2.48: ��� �� (verde), ��� �� (azul) e ��� �� (vermelho).

Gráficos para ��� � :

1x

y

Figura 2.49: � � �(verde), ���

(azul) e � � � (vermelho).

Usando novamente o fato de � � � � � � � ' ! ser a inversa da exponencial temos as seguintesidentidades: � � � � � � � ! � ' , para todo '- �� e � � � ��� � � � � ' para todo '- � � � � ! .

Proposição 2.3. Seja ��� � � � � � ' ! , �� �� e tal que � ��� �� � :1. � � ' � �"' � ! � � � ' � ! � � � ' � ! , para todo ' � ' � � � � � ! , isto é:

� � � � � ' � �"' � !$� � � � � � '�� ! � � � � � � ' � ! para todo '��(�' � � � � � ! 0

2. � � � � � ' � ! � � � � � � � � ' ! 03. � � � � � ' �' �

��� � � � � � ' � ! � � � � � � ' � ! 0

4. � � � � � �"! ��

� � � � � ��! 0

5. � � � � � '5! � � � � � � ' !� � � � � ��! 0

6. � � ��� � � � ��� � � � 0

Um caso particular e importante de função logarítmica é quando � é a constante de Euler, onúmero � � � � � � � � � . Em tal caso a notação usual é � � � � '5! � � � � � � ' ! � � �$� ' ! , chamadologaritmo natural de ' . Veja o capítulo V.

Page 71: calculo I

2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 71

1x

y

Figura 2.50: Gráfico de � � ' ! � � �$� '5! .

A relação entre � � e � � é:

� � � � � � � � � � � � � � � �onde

� � � �$� � ! .

Exemplo 2.21.

[1] Determine o domínio da função � � ' ! � � �$� � �$� ' ! ! .Note que � �$� � ! é definido se �)��� ; logo, para que � � '5! � � �$� � �$� ' ! ! esteja definido é necessárioque � �$� ' ! ��� ; logo ')� � e � � � � ! � � � � � ! .

2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

Figura 2.51: Gráfico de � � ' ! � � �$� � �$� ' ! ! .

[2] Determine a inversa da função � � '5! � � � � � � � � � � . Fazendo �)� � � � � � � � ! � ��� � � e

aplicando logaritmo de base � �

a ambos os lados: � � � � ��� ! � � ' � � e '�� � � � � ����! � �� ou,

� � � ��� ! � � � � � ��� ! � �� 0

Equivalentemente, � � � � ' !$� � � � � � ' ! � �� , ( ')��� ) que é a inversa da função dada.

[3] Uma floresta possui, aproximadamente,� �1�,�,� � � de madeira comercializável, a qual au-

menta na razão de0 �

ao ano. Outra floresta possui, aproximadamente, � � �,�,� � � de madeiracomercializável com a mesma razão de crescimento da primeira.

Page 72: calculo I

72 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

(a) Quantos anos devem trascorrer para que a primeira floresta tenha a mesma quantidade demadeira da segunda?

(b) Quantos ano são necessários para que ambas as florestas tripliquem a quantidade de ma-deira?

Denotemos por � � �4!�� � �1�,�,�� � 0 � � e � � �4!�� � � �,�,�

� � 0 � � as funções exponenciais quemodelam cada floresta. Então:

(a) Devemos ter � � �4!�� � � �,�,� ; logo,� �1�,�,�

� � 0 � � � � � �,�,� , então � 0 � � � �. Aplicando

logaritmo natural a ambos os lados:

� � � �$� � !� �$� � 0 � 1!

�� � � 0 � � anos 0

(b) Devemos ter � � � � ! � � � �,�,� e � � � � ! � � � �1�,�,� , então � 0 � � � �

e � 0 � � � �. . Aplicando

logaritmo natural a ambos os lados: :

� � � � � � �+� � �$�!

� �$� � 0 � 1!�� � 0 � anos 0

2.11.1 Desintegração Radioativa

Considere uma amostra de material que contém uma certa quantidade de isótopo radioativo.Foi experimentalmente observado que uma fração constante desse material radioativo decairáespontaneamente (em outro elemento ou em outro isótopo do mesmo elemento) durante umaunidade de tempo. A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para a meta-de dele decair. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos, a do Tório-234 é de24.5 dias, aproximadamente. Esta é a chave do método para a determinação da idade de obje-tos orgânicos utilizando Carbono-14. Este isótopo é acumulado durante toda a vida e começaa decair com a morte. Como a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos aproximadamente,quantidades mensuráveis de Carbono-14 estão presentes muitos anos após a morte do objetoorgânico. Por exemplo, um osso após 5700 anos possui a metade da quantidade de Carbono-14 que existia quando estava vivo; após 11000 anos possui uma quarta parte da quantidadede Carbono-14 que existia quando estava vivo; após 16000 anos possui uma oitava parte deCarbono-14 que existia quando estava vivo. Para determinar a função que representa o exem-plo, consideramos 5730 anos como unidade. Seja � � a quantidade inicial de Carbono-14; entãoa quantidade � de Carbono-14 após � unidades de tempo é calculada por:

� � � ! � � �� �

� ��

����

0

Em geral, se a meia-vida de um isótopo radioativo é � anos, então a quantidade de isótopoapós � unidades de tempo é determinada por:

� � � ! � � �

� �� �

��

onde � � é a quantidade inicial.

Page 73: calculo I

2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 73

Escrevamos a função que representa o decaimento radioativo do Carbono-14 utilizando a fun-

ção exponencial: � � �4!�� � � . Devemos deteminar�

tal que � � � �� � ��

���� � � � � � � . Aplicando

logaritmo a ambos os lados:� � � � �$� � ! � � � � � 0 �,�,� � � � � e:

� � �4! � � � � � ��

� � � � � � � � 0

5000 10000 15000

1

Figura 2.52: Gráfico de � � � � � ! .

Exemplo 2.22.

[1] Se uma amostra de carvão vegetal achada contem 63 % de Carbono-14, em relação a umaamostra atual de igual massa, determine a idade da amostra achada.

� ��

� 0 � � � � �4! � � � � � ��

� � � � � � � ; aplicando logaritmo a ambos os lados:

� � � � �$� � 0 � !� 0 �,�,� � � � � ��

� � � 0 � que é igual, aproximadamente, a 3800 anos.[2] O elemento radioativo polônio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sa-bendo que uma amostra pesa

� � miligramas inicialmente, quanto restará após duas semanas?

� � �4! � � � � � � � ; como a meia-vida do polônio-210 é de 140 dias, então, � � � �1� !)� � � ; logo,� � � � � � � � � � � e

� � � �$� � !� �1��� � 0 �,� � � � ; portanto,

� � � !$� � � � ���

� � ���� ��

e � � � � ! � � � 0 � � miligramas.

[3] A população de uma cidade é de 20000 habitantes, de acordo com um censo realizado em1990 e 25000 habitantes de acordo de um censo realizado em 1995. Sabendo que a populaçãotem um crescimento exponencial, pergunta-se:

(a) qual era a população no ano de 1980?

(b) quando a cidade atingirá uma população de 40000 habitantes?

Page 74: calculo I

74 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

(a) � � � ! � � �,�,�,� � � � ; por outro lado,� �,�,� � � � 1!+� � �,�,�,� � � � e

� �� � ��� � � �� � 0 � � ��� � � ; logo,

� � � ! � � �,�,�,� ���

� � � � � � �

e � � � � � !$� � � � �,� habitantes.

(b) Se � � �4! � �1�,�,�,� , então � � � 0 � ; aproximadamente, 15 anos.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

10 000

20 000

30 000

40 000

Figura 2.53: Gráfico da evolução da população.

[4] Se a população de uma certa espécie de peixes num ambiente limitado é dada por:

��� � ! � �,�,�,�� ��� � � � � � onde � denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo será necessário para a popu-lação atingir

� �,�,�,� peixes?

Devemos determinar ��� � � � ����! , onde � � � � �4! ; logo, � � � � � ��� ! � � � � � � � � �,�,�,� � � � . Então,

para � � � �,�,�,� , temos � � � � � � � � �� ��0 � � semanas.

0 2 4 6 8 10 12 14

50 000

30 000

10 000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000

2

4

6

8

10

Figura 2.54: Gráficos de � e � � � , respectivamente.

2.12 Funções Trigonométricas

Fenômenos de natureza cíclica ou periódicos são associados às funções trigonométricas. Porexemplo, o batimento cardíaco, as ondas de rádio, o ritmo oscilatório dos braços durante uma

Page 75: calculo I

2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 75

corrida, o movimento periódico dos planetas e a vibração de átomos em cristais.

Definição 2.9. Uma função � é periódica de período � , � � � , quando para todo ' � � � � ! , ' � � � � � � ! e � � '5! � � � ' � � ! .

O gráfico de uma função periódica de período � se repete em cada intervalo de comprimento � .Veja os exercícios.

2.12.1 Função Seno e Função Co-seno

As funções trigonométricas podem ser estendidas para todos os números reais de modo quesejam preservadas todas as suas propriedades básicas. Veja a seção1.7. A forma de estenderé a seguinte: considere um círculo centrado na origem de raio � e fixe o ponto

� � � � 4� ! emtal círculo; considere como sentido positivo, o sentido anti-horário; analogamente, o sentidonegativo é o sentido horário.

Para cada ' �� assosiamos um ponto � de modo que:

Se �7� '�� � , partimos de�

e percorremos o círculo no sentido positivo até obter um arcocujo comprimento seja ' . O ponto onde o arco termina é � .

Se � � � ' � � , partimos de�

e percorremos o círculo no sentido negativo até obter umarco cujo comprimento seja � ' � . O ponto onde o arco termina é � . Assim a cada número realcorresponde um ponto � .

Se ' � � será necessario dar mais uma volta no círculo, no sentido positivo, para atingir aextremidade � do arco. Idem para '�� � � . Assim a cada número da forma ' � � � (

� � )corresponderá um ponto do círculo. Veja seção 1.7.

Definição 2.10.

1. Função Seno A ordenada de � :

� � '5! � � � �$� ' ! 0

2. Função Co-seno A abscissa de � :

� � ' ! � ��� � � '5! 0

Por exemplo � � �$� � �,�! indica que estamos calculando o seno de

� �,�

radianos. Veja a seção1.7. Nas duas funções temos que � � � � ! � � e � � � � ! � 2 � � � 3 ; seno é uma função ímpar eco-seno é uma função par; ambas são periódicas de período

� .

Page 76: calculo I

76 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

x

-1

1

y

Figura 2.55: Gráfico do Seno.

Observe que se � � '5!�� � � �$� ' ! , então ��� ' � � ��� ��� � � '5! ; logo, o gráfico do co-seno é uma

translação de � do gráfico do seno.

x

-1

1

y

Figura 2.56: Gráfico do Co-seno.

2.12.2 Função Tangente e Função Secante

Definição 2.11. Se ��� � � '5! �� � , definimos:

1. Função Tangente :

� � '5! � ��� � ' ! � � � �$� ' !��� � � '5!

2. Função Secante :

� � '5! � � � � � ' ! ��

��� � � ' !

Veja a seção 1.7. Nas duas funções temos que � � � � !�� %(' �+* ' �� � �� � inteiro . ,

� � � ��� ! � � e � � � � � � ! � � � � (� � 3�� 2 � � � ! ; tangente é uma função ímpar e secante é umafunção par; ambas são periódicas de períodos e

� , respectivamente. Seus gráficos são:

Page 77: calculo I

2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 77

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figura 2.57: Gráfico da Tangente.

-4 -2 2 4x

-4

-2

0

2

4

y

Figura 2.58: Gráfico da Secante.

2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante

Definição 2.12. Se � � �$� ' ! ���� , definimos:

1. Função Co-tangente :

� � ' ! � ��� ��� � ' !+���� � � ' !� � �$� ' !

2. Função Co-secante :

� � ' ! � ��� � � � � ' !$��

� � �$� ' !

Veja seção 1.7. Nas duas funções temos que � � � � !$� %('� ��+* ' �� � � inteiro . . � � � ��� ����!+�� e � � � ��� � � � ! � � � � (� � 3 �72 � � � ! ; co-tangente e co-secante são funções ímpares; ambas sãoperiódicas de períodos e

� , respectivamente.

Page 78: calculo I

78 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

-6 -4 -2 0 2 4 6x

-4

-2

2

4

y

Figura 2.59: Gráfico da Co-tangente.

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Figura 2.60: Gráfico da Co-secante.

Observe os gráficos de seno e co-secante, co-seno e secante:

1 2 3 4 5 6x

-2

-1

1

2

y

1 2 3 4 5 6x

-2

-1

1

2

y

Figura 2.61:

Tangente e co-tangente:

Page 79: calculo I

2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 79

0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-2

-1

1

2

y

Figura 2.62:

Exemplo 2.23.

[1] O fluxo de ar através da traquéia é uma função periódica do tempo ' e se dá em ambos ossentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função:

� � ' ! � � � � �$���)' !

onde�

é o fluxo máximo durante a expiração e inspiração; � é o período respiratório; �&� � ��e

é o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo. A função � � ' ! é, certamente,uma aproximação, pois

varia de indivíduo a indivíduo. Mas, estudos experimentais mostram

que é uma "boa"aproximação da realidade.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1

1

2

Figura 2.63: Gráfico para� � � e

� �� ,� � �

e � �� � .

[2] O ritmo oscilatório dos braços durante uma corrida pode ser representado por:

��� � � '5! � � �� � � � � '��

� � � �

� �� � � � ' �

onde � é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e ' é o tempo medidoem segundos. O período é �� segundos por ciclo, isto é, uma oscilação completa, obtida quandoo braço descreve o ciclo para frente e para trás, é concluida em �� segundos.

Page 80: calculo I

80 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

1 2 3 4

-0.3

0.3

Figura 2.64: Gráfico de � � '5! � � � � � �$� � � �� ! para '- 2 � �� 3 .

[3] O movimento harmônico simples descreve a posição das oscilações regulares em torno deuma posição de equilíbrio e que variam suavemente, como um pêndulo que oscila continua-mente na vertical sem nehum tipo de restrição, como por exemplo, a fricção. Estas posições sãomuito bem descritas pelas funções:

� � � ! � � � � �$��� � � �"! ou � � �4!$� � ��� � ��� � � �"!

onde� ��- � e � � � . O período é o tempo

� �

necessário para uma oscilação completa e

a frequência�� é o número de oscilações por unidade de tempo. O movimento harmônico

amortecido descreve fenômenos de oscilação onde são impostas restrições, como por exemplo,um pêndulo que oscila com fricção. Tal tipo de movimento é descrito por:

� � ' ! � � � � � � � �$� ��' ! �������� 0

1 2 3 4

-0.4

-0.8

0.4

0.8

Figura 2.65: Gráfico para � � ' ! � � � � � � � �$� ��' ! .

[4] Se � é uma função periódica de período � , então a função definida por � � ' ! � � � � ' � � ! éperiódica de período

�� , se� ��� .

De fato:

� � ' � �� � � � � � � ' � �� � � � � � � � � ' � � � � ! ��� � � ' � � ! � � � '5! 0

Por exemplo, as funções � � '5! � � � �$� � '5! e � � ' ! � ��� � � � ' ! são periódicas de período�

� .

Page 81: calculo I

2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 81

Determinemos o período da função � � '5!�� � � � � � ' � � . Seja � � ' !�� � � �$� � '5! que é periódica

de período ; � � ' !$� � � � � � ' � � � � � � � � � ' � � � � � � � ' � � � ; logo, a função � é periódicade período .

-4 -2 2 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 2.66: Gráfico de � (vermelho) e de � (verde).

[5] Esbocemos o gráfico de � � '5! � � � � �$� ' ! � .Como � � � � ! � � , � � � � ! � 2 � � 3 , � é uma função par e periódica de período

� ; então, bastaestudar � � ' ! no primeiro quadrante. � � �$� ' ! ��� se � ��'-� .

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 2.67: Gráfico de � � '5! � � � � �$� ' ! � .[6] Esbocemos o gráfico de � � '5! � �

������ � �

.

Como � � � � ! � � e � � � � � �$� ' !�� � , então, � � � � ! � � �� � � , � é uma função periódica de

período� ; logo, basta estudar � � ' ! no primeiro quadrante. � � � ! � � , � � � ��� �

:

-10 -5 5 10

1

2

Figura 2.68: Gráfico de � � '5! � ������� � �

.

[7] Esboce os gráficos de: � � ' ! � ' � � � �$� ' ! e � � ' !+� ' � � �$� '5! .

Page 82: calculo I

82 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

� � � � !-� � � � � ! � � ; a função � não é periódica. Por outro lado, � é ímpar; � � � !-� � ,� � � ! � � ,

� � e � � � � !+��� � � ��!$� � ; a função � não é periódica. Por outro lado, � é par,� � � !$� � ,

� � e

� � � � � ��� ! � ! � � � � ! � � � � ��� ! �

se� � . Utilizando a observação 2.1, temos que os respectivos gráficos são:

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

Figura 2.69: Gráficos de � e � , respectivamente.

[8] Também pela observação 2.1, temos que os gráficos das funções � � � � �$� '5! (azul), ���� � ���

'� � (vermelho) e � � � � ��� ' � � (negro) são:

-3-6 3 6

-1

1

Figura 2.70: Gráfico do exemplo [8]..

2.13 Funções Trigonométricas Inversas

É claro que a função �)� � � �$� ' ! não possui uma inversa, pois para cada � existem infinitos 'que satisfazem a relação � � � � �$� ' ! . Geometricamente, qualquer reta paralela ao eixo dos ' deequação � � � com �� 2 � � � 3 , intersecta o gráfico da função infinitas vezes. Para evitar estasituação, restringimos o domínio de � � �$� ' ! para obter uma nova função que não apresentaráeste problema. A rigor estas duas funções são diferentes, pois tem domínios diferentes. Istoserá feito para cada função trigonométrica.

Page 83: calculo I

2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 83

2.13.1 Função Arco seno

Definamos a função :

��� � � � � � ��� 2 � � � 3tal que � � ' ! � � � �$� '5! . Esta nova função possui inversa chamada função arco seno.

� � � ��2 � � � 3 � � � � � � �

é denotada por ��� � � � � ' ! � � � � � � �$� ' ! e definida por:

����� � � � � �$� ' ! � � � � �$��� ! � '

Para representar graficamente a função � � � � '5! � � � � � � �$� '5! , usamos a simetria de � e � � � emrelação a � � ' . O gráfico é:

-1 1

-1.5

1.5

Figura 2.71: Gráfico de � � '5! � � � � � � �$� '5! .

O domínio usado para definir a função arco-seno, poderia ser substituido por qualquer dos

intervalos seguintes: � � � � �

� � � 0 0 0 , etc.; esta observação também será válida para asoutras funções trigonométricas.

Exemplo 2.24.

[1] Calcule � � � � � ��� � �� � .

Devemos resolver a equação � � � � � � � � � � �� � , que é equivalente a calcular � � �$����! � � �

� . A

solução desta equação é � � � ; então � � � � � � � � �

� � � � � .

[2] Calcule � � � � � ��� � � ��� � � � � .Observe primeiramente que

� � * 2 � � � 3 ; então, não podemos escrever

� � � � � ��� � � ��� � � � � �� � 0

Page 84: calculo I

84 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Mas � � ��� � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � e � �2 � � � 3 ; então,

� � � � � ����� � ��� � � � ��� � � � � � ��� � � ��� � � � � �

pois � � � e � � � � � � são inversas.

[3] Verifique que ��� � � � � � � � �$� ' ! ! � � � ��' � , � ' � � � .Se ��� � � � � � �$� ' ! , então � � �$��� ! � ' , �� � � � � � ; de � � � � ��� ! ����� � � ��� ! � � , segue que��� ���,��� ! � � � � � � �,��� ! � � �7'�� ; logo, ��� � ����! � � � �7' � , pois �� � � � � � e

��� � � � � � � � �$� ' ! ! �� � �7' � 0

2.13.2 Função Arco co-seno

Como no caso anterior, definamos a função : � �+2 � 3�� � 2 � � � 3 tal que � � ' ! � ��� � � ' ! ; estanova função possui inversa chamada função arco co-seno.� � � �2 � � � 3 � � 2 � 3 é denotada por y= � � � � '5! � � � � ��� � � ' ! e definida por:

� � � � � ��� � � ' ! � ���� � ��� ! � '

Para representar graficamente a função � � � � ' ! � � � � ��� � � ' ! , usamos a simetria de � e � � � emrelação a � � ' .

-1 1

1.5

Figura 2.72: Gráfico de � � ' ! � � � � ��� � � ' ! .

O domínio usado para definir a função arco co-seno poderia ser substituido por qualquer dosintervalos seguintes: 2 � 3 2 �

3 0 0 0 , etc.

Exemplo 2.25.

[1] Calcule � � � ��� � � � � ! .Devemos resolver a equação ��� � � � ��� � � � � ! , que é equivalente a calcular ��� � ��� !�� � � . Asolução desta equação é � � ; logo � � � ��� � � � � ! � .

[2] Calcule � � � ��� ��� � �� � .

Page 85: calculo I

2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 85

Devemos resolver a equação � � � � � ��� ��� � �� � , que é equivalente a calcular ��� � ����! � � �

� . A

solução desta equação é � � � ; logo, � � � ��� � � � �

� � � � .

[3] Determine o domínio da função � � ' ! � � � � ��� � � � '' � � � .

A função � � � ��� � � � ! é definido se, e somente se � �2 � � � 3 , logo para que � � � ��� � � � '' ��� � esteja

definido é necessário que� '

' ��� 2 � � � 3 . Então: � � �� '

' ��� � � ; resolvendo as inequações

temos que '-� � e ')� �� ; logo, � � � � ! � � � � � � .

[4] Verifique que � � � � � �$� ' ! � � � � ��� � � ' ! � � � .

Como ��� � � � � � � � � � �$��� ! . Logo, ��� � � � � � � � � � �$� ' ! � � � � � � � � � � � �$� ' ! � � ' ; logo temos que

� � � ��� � � '5! � � ��� � � � � �$� ' ! ; então, � � � � � �$� ' ! � � � � ��� � � ' !$� � 0

2.13.3 Função Arco tangente

Como antes, definamos a função : � � � � � � � � � � � � tal que � � ' ! � ��� � ' ! . Esta nova funçãopossui inversa chamada função arco tangente.� � � �1� � � � � � � � � � é denotada por ��� � � � � ' ! � � � � ��� � '5! e definida por:

����� � � ��� � ' ! � � ��� ����!$� '

Para representar graficamente a função � � � � ' ! � � � � ��� � '5! , usamos a simetria de � e � � � emrelação a � � ' .

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

Figura 2.73: Gráfico de � � '5! � � � � ��� � ' ! .

O domínio usado para definir a função arco-tangente, poderia ser substituido por qualquer dosintervalos seguintes: � � � � �� �, � � �� � �� �150 0 0 , etc.

Page 86: calculo I

86 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Exemplo 2.26.

[1] Calcule � � � ��� � � �! .

Devemos resolver a equação � � � � � ��� � � �! , que é equivalente a calcular ��� ��� !�� � �

. A

solução desta equação é � � � ; logo, � � � ��� � � �! � � .

[2] Calcule � � ��� � � � ��� � � � � .

Resolvamos a equação � � � � � ��� � � � , que é equivalente a calcular ��� ��� ! � �

. A solução

desta equação é ��� � ; logo:

� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � �

�� 0

[3] Se � � ' ! ��� � � ��� � ' ! , verifique que : � � '5! � � ��� ! � ��� ' � �� �7'� � .Sejam � � � � ' � �� �7'� ! � � � � ��� � ' � �� �7'� � , � � � � ' ! e � � � ����! ; pelas definições temos:

��� � � !+� ' � �� �7' � ��� � � !+� ' ��� ��� !$� � 0

Logo, ��� � � !$� ��� � � ! � ��� ��� !� � ��� � � ! ��� ����! � ��� � � � ��! ; então, � � ��

� .

2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante

Analogamente aos casos anteriores, as outras inversas são denotadas e definidas, respectiva-mente por:

Arco co-tangente:

� � � � '5! � � � � ��� ��� � ' !$� � ��� � � ��� � ' ! 0

Note que � � � � � � ! � � e � � � � � � ! � � � ! .Arco secante:

� � � � ' ! ��� � � � � � � ' ! � � � � ��� ��� �' �10

Note que � � � � � � ! � � � � (� � 3��72 � � � ! e � � � � � � ! � � � � � � ��� � � � .Arco co-secante:

� � � � ' !$� � � � ��� � � � � '5!$� � � � � � � � �' � 0Note que � � � � � � ! � � � � (� � 3��72 � � � ! e � � � � � � ! � � � � � 4� � � � � � �

�.

Page 87: calculo I

2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 87

Novamente para representar graficamente a função � � � , usamos a simetria de � e � � � emrelação a � � ' .

-4 -2 2 4x

1

2

3

y

-2 0 2 4x

1

2

3

y

Figura 2.74: Gráficos de � � ' ! ��� � � ��� ��� � '5! e � � ' ! � � � � � � � � '5! , respectivamente.

-4 -2 2 4x

1

-1

y

Figura 2.75: Gráfico de � � '5! � � � � ��� � � � � ' ! .

Exemplo 2.27.

[1] Calcule � � � ��� ��� � � ! .Devemos resolver a equação ��� � � � ��� � � ! , que é equivalente a calcular ��� ��� ! � � . A soluçãodesta equação é ���

� ; � � � ��� ��� � � !�� � ��� � � ��� � � !+� � � � � � .

[2] Calcule � � � � � � � � ! .Como � � � � � � � � ! � � � � ��� � � �� � , devemos resolver a equação ���&� � � ��� � � �� � , que é equivalente a

calcular ��� � ��� ! ��� . A solução desta equação é ��� ; logo, � � � � � � � � !$� .

[3] Calcule � � � ��� � � � � � � � .Como � � � ��� � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � , devemos resolver a equação � � � � � � � � � �

� � , que é

equivalente a calcular � � �$��� ! � �

� . A solução desta equação é ��� ; logo:

� � � ��� � � � � � � ��� 0

Page 88: calculo I

88 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

2.14 Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são definidas como combinações de funções exponenciais e estão rela-cionadas com a hipérbole, da mesma maneira que as funções trigonométricas estão relaciona-das com o círculo. As funções seno e co-seno hiperbólico são denotadas e definidas respectiva-mente como:

Seno hiperbólico: � � '5! � � � �� � '5! �

� � � � � �� 0

Co-seno hiperbólico: � � '5! � ��� � � � ' ! �� � � � � �

� 0

Note que � � � � � �� !�� � � � ��� � � !�� � � � � � �

� !�� � e � � � ��� � � !�� 2 � � � ! ; seus gráficosrespectivos são:

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

Figura 2.76: Gráficos de � � ' ! � � � �� � ' ! e � � '5! � ��� � � � '5! , respectivamente.

Usando as definições, é fácil verificar que ��� � � �1� '5! � � � �� �,� '5!�� � , “análoga” à identidade

trigonométrica ��� � � � ' ! � � � � � � '5! � � . A diferença é que se fizermos ��� ��� � � � '5! e � � � � �� � ' ! ,

temos ���+� � � � � , que é a equação de uma hipérbole no plano � � , o que “justifica”, de algumaforma, o nome de hiperbólico.

As outras funções hiperbólicas são denotadas e definidas, respectivamente, como:

Tangente hiperbólica: � � '5! � ��� � � ' !+�� � � � � �� � � � � � 0

Co-tangente hiperbólica: � � ' ! � ��� ��� � � '5!+�� � � � � �� � � � � � 0

Secante hiperbólica: � � '5! � � � � � � '5! ��

� � � � � � 0

Co-secante hiperbólica: � � '5! � ��� � � � � � ' !$��

� � � � � � 0

Note que � � � ��� � ! � � � � � � � � !�� � , � � � ��� ��� � ! �� � � � ��� � � � � ! � � � � ��� � � � � ! � �&�%/� . , � � � ��� � !�� � � � � ! � � � � � � � ! � � � � 3 e � � � ��� ��� � ! � � � � (� � ! � � � � ! ; seus respectivosgráficos são:

Page 89: calculo I

2.14. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 89

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 2.77:

-3 -2 -1 1 2 3

1

0.5-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 2.78:

As função hiperbólicas tem importantes aplicações.

Exemplo 2.28.

[1] A velocidade de uma onda marinha de comprimento � , onde o solo marinho está a umaprofundidade de � metros é descrita por:

� � � ! �� � ��� � � � !#

onde � é a constante gravitacional,� � � �� e

�� � . O desenho descreve a velocidade de uma

onda de � �,� metros de comprimento; note que a velocidade aumenta quando a profundidadeaumenta:

Page 90: calculo I

90 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

0 50 100 150 200 250

2

4

6

8

10

12

Figura 2.79:

[2] No estudo das linhas de transmissão de energia elétrica, a configuração de equilíbrio deum cabo homogêneo e flexível sob a ação de seu peso e suspenso por dois pontos tem porexpressão:

����� ��� � � � ' � �,onde � é uma constante positiva. O gráfico desta curva é chamado catenária.

-2 -1 21

1

2

3

Figura 2.80: Desenhos para � � �� , ��� � , ��� �� e � � �

.

2.15 Exercícios

1. Exprima como função de ' :

(a) a área de um triângulo de base ' se sua altura é o dobro de sua base.

(b) o volume de uma esfera de raio ' .

(c) o volume de um cone circular reto de raio ' se sua altura é o triplo do raio da base.

(d) o volume e a área de um cilindro circular reto de raio ' sendo sua altura igual a � ��do raio da base.

2. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Page 91: calculo I

2.15. EXERCÍCIOS 91

(a) � � '5! � ' �

(b) � � '5! � �� ' � �7'(c) � � '5! � ���� �(d) � � '5! � ���� � �(e) � � '5! � � �� � �(f) � � '5! �

� � � � '

(g) � � '5! � � ' � � � ' �

(h) � � '5! ��

'�� � '(i) � � '5! � �� ��� �� � �(j) � � '5! � � � � �$� '5! �

(k) � � '5! � � � � �� ��� �(l) � � '5! � �

� � ��� � � � � � � �

(m) � � ' ! � �� ��� �

� �����

(n) � � ' ! �� � � � �

(o) � � ' ! �� ��� �� ��� �

(p) � � ' ! � � � � � � � �

3. Seja � � ' !$� � ' � � � ' ; determine � � � � ! ; calcule � � � ! ��� � �� � e verifique que � � � ��� ! � � � ��� .4. Determine o domínio de � � ' ! � ��� �

� � � � e calcule � � �� � e � � � '5! � � � .5. Simplifique a seguinte expressão:

� � � � � � � � ���� � �' �� � , se:

(a) � � '5! � '�� �� � �(b) � � '5! � ' � �� � � �(c) � � '5! � ' � � ' ��� � �(d) � � '5! � �� ��� �

(e) � � '5! � � ' ��� � � �(f) � � '5! � �� � � �(g) � � '5! � '�� � ' �� � �(h) � � '5! � �� � � �

(i) � � ' ! � �� ' � � � � �(j) � � ' ! � ���� � � �

6. Repita o exercício anterior para um � qualquer e compare os resultados obtidos.

7. Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções:

(a) � � '�� ���(b) � � � '�� � ! �(c) � � � ' � � ! �(d) � � '�� � �(e) � � ' � ' �(f) � � ���� �(g) � � � � �7' �(h) � � � '�� � � � �7'

(i) ��� ���� � �

(j) ��� � '�� � � � � '�� � �(k) ���

� � �� � �

(l) ��� � � '�� � ' �(m) � � ' � se '�� � e �)� � � � ' � � ! � se� � ' .

(n) ��� '�� � � se '-��� e � � ' se � � ' .

8. Verifique se as seguintes funções são constantes:

(a) � � '5! � �� � ��� �� (b) � � ' ! � �� � � �

� � ��

9. Esboce os gráficos no mesmo desenho:

Page 92: calculo I

92 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

(a) � � � ' � � � � ' ��� � � � � '�� � �(b) � � � ' � � � � � ' � � �

� � ��

(c) ��� ��� � � ' ! � � ��� � � � '5! � � ��� � � � ' !(d) ��� � � �$� '5! � � � � � � � � � ��� � � � � � � �

10. Determine � � � , ��� � , � ��� e � * � , se:

(a) � � ' ! � � ' � � ' !$� '�� � �

(b) � � ' ! �'�� � � � ' !$� � ' � � �

(c) � � ' ! � � ' ��� � � '5!$� ' � � �(d) � � ' ! � � ' ��� � � '5!$� � ' �

(e) � � ' ! � ' � � � '5! � � �� ! �

(f) � � ' ! � �� � � ' !+� '��(g) � � ' ! � '�� � ' � � � ' !+� � �� !

(h) � � ' ! � �� � � ' !$� ' �

11. Seja ��� � � � . Calcule � se:

(a) � � ' ! � '�� � � � � ' !$� ' � �(b) � � ' ! � �' � �� � � ' !+� ' � �

(c) � � ' ! � � '�� �' � � � � '5! � � ' �

(d) � � ' ! � � � �$� '5! � � ' !$� ' �12. Seja � � ' ! � �+' � � . Para que valores de � e � vale: � � � � !#� ' ! � � '��

?

13. Se � � ' ! � � '�� � e � � ' ! � �� � , determine o domínio de ��� � e esboce o gráfico de ��� � .

14. Verifique que � � � � ! � � � � � ! e determine ��� � se:

(a) � � ' ! � ' � � � � ' ! �' ���

(b) � � ' ! � '�� � � � � ' !$� � '(c) � � ' ! � '�� �

� � ' !$� � � ���� �

(d) � � ' ! � � '�� � � '5!$� � '�� �

' ���

(e) � � ' ! � ' ��� � � '5!$� ���� �(f) � � ' ! � �� � � � � ' !+� � � ���� �

15. Escreva � � '5! como composta de duas outras funções:

(a) � � '5!$� � '�� ��� ! �(b) � � '5!$� � '�� � �1! � �

(c) � � ' ! � ��' �

(d) � � ' ! � ��� � � �$� '5! !(e) � � '5! � � �

(f) � � '5! � � �$� �� !

16. Determine � � , se � � � '5! � ' �

e � � � � � � � � � � , �-��� � � "0 0 0 0 0 0 .

17. Esboce o gráfico das seguintes funções:

(a) � � ' � � ' � �7'��(b) � � � � � '�� � ! � (c) � � ��� �� � �

(d) � � � � �$�'5!

(e) ��� ��� � � � �(f) ��� � � � � �

' !

18. Ache o domínio das seguintes funções:

Page 93: calculo I

2.15. EXERCÍCIOS 93

(a) � � '5! � � �� ���� � � �

(b) � � '5! ��� �$� '5!

(c) � � '5! � � � ��� �� �(d) � � '5! � �

����� � ��

(e) � � '5! � ��� � �� �(f) � � '5! � � � � � � �$� ' � !

(g) � � ' ! � � � � ��� ��� � �� � � �(h) � � ' ! � � � � ��� � '�� � � !(i) � � ' ! � � � � � � �$� �� ' !(j) � � ' ! � �� � � � � � �$� '5!

(k) � � ' ! � � � � � � � ' � !(l) � � ' ! � � � � � � ' � ' � � � !#� ' � �

! !

19. Determine a inversa das seguintes funções:

(a) � � '5! � ��(b) � � '5! � � � �� � �(c) � � '5! � ' � '-���(d) � � '5! � '���� � ' ')� �(e) � � '5! � � � �� � �

(f) � � '5! � '�� � �,' ��'-��

(g) � � '5! � �� � � �

(h) � � '5! � � � �� ��� �

(i) � � ' ! � � � � � �'-���

(j) � � ' ! � � � � �� � � �(k) � � ' ! � � � � � � � � ' !(l) � � ' ! � �

� �� � � � � � ���� � �

20. Sejam � � ' !$� � �7' e � � ' !+� � � ���� � . Verifique que: � e � são as inversas de � e � respectiva-mente.

21. Verifique:

(a) Se � e � são funções ímpares então � � e�� são funções pares.

(b) Se � e � são funções ímpares então � � � são funções ímpares.

(c) �� � � � '5! � � � � '5! � é função par e �

� � � � ' !� � � � ' ! � é função ímpar para toda função � .Então toda função pode ser escrita como soma de uma função par e de uma funçãoímpar.

22. Sejam � � ' ! � �� � � � � � � � � e � � '5! � �

� � � � ��� � � � , ����� �� �� � . Verifique que:

(a) � � ' � ��! � � � ' ! � ��� ! � � � ' ! � ����!(b) � � ' � � ! � � � ' ! � ����! � � ����! � � '5!

(c) Analise o caso � � � .

23. Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:

(a) � � '5! � � � ��� � � � ��

(b) � � '5! � � � ��� � � � � � �(c) � � ' ! � � � � ��� � �� �

(d) � � ' ! � � � � � ��� � � � � �

24. (a) Se � � ' ! � � � � � � ���� � � , verifique que: � � � ! � � � �#!$� � � � � ���� � � � .(b) Se � � ' ! � � �

, verifique que: � � ' �! � � � '�� � ! � � � � '�� � ! .

25. Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:

Page 94: calculo I

94 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

(a) � � � �$� � ' ! ')���(b) � � � �$� � ' � ! (c) � �

� ��� � ��

(d) � � ' � �$� '5!(e) ����� � �$� '5! �(f) ��� � �$� ' � !

26. Verifique que: � � � ��� � ' ! ��� � � ��� ��� ! � � � � ��� ��� ��� ! ��� � � ��� ��� � ' ! .

27. Se � � ' ! � � � � ��� � � � � � � � ' ! ! , calcule:

(a) � � � ! , se � � � � e � � � .(b) � � � ! �� � � � ! �� � � �,� ! , se ��� � �,� .

28. Verifique que � � ' ! � � � �� � '5! , � � '5!�� ��� � � ' ! , � � ' !�� ��� ��� � � ' ! e � � '5!�� ��� � � � � � ' ! são

funções ímpares e� � ' !$� ��� � � � '5! , � � ' ! � � � � � � ' ! são funções pares.

29. As inversas das funções hiperbólicas são definidas por:

(a) ����� � � � � �� � ' ! se, e somente se, � � �

� ��� ! � ' .

(b) ����� � � ��� � � � ' ! se, e somente se, ��� � � ����! � ' .

(c) ����� � � ��� � � '5! se, e somente se, ��� � ��� ! � ' .

(d) ����� � � ��� ��� � � ' ! se, e somente se, ��� ��� � ��� !$� ' .

(e) � � � � � � � � � � ' ! se, e somente se, � � � � ����! � ' .

(f) ����� � � ��� � � � � � ' ! se, e somente se, ��� � � � � ��� !$� ' .

Verifique que:

(a) � � � � � �� � ' !$� � � � ' � � ' � � � � , ') ��

(b) � � � ��� � � � '5!$� � ��� ' � � ' � � � � , ')� �(c) � � � ��� � � ' !+� � ��� � � � �� � � � , � ' � � �(d) � � � ��� ��� � � '5!+� � � � � � � ���� � � , � ' � � �(e) � � � � � � � � ' !+� � ��� ��� � � � � � � , ') � � � 3(f) � � � ��� ��� � � '5!+� � � � �� � � � � �� � � � , ' ����(g) Esboce o gráfico de cada uma destas funções.

30. Se � � ' ! � � � ���� � , determine � � � � ! e calcule:

Page 95: calculo I

2.15. EXERCÍCIOS 95

(a) � � � � � � � � !#� ' � ��� !(b) � � � � � � !#� � ' ��� ! �/!

(c) � � � � ! � �� � � �(d) � � � � ! � �� �

Determine em cada caso as condições para as compostas.

31. Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: � � ' � � ' � !+� � � '���! � � � ' � !�

Esta propriedade vale ou não para:

(a) � � '5! � '��(b) � � '5! � � '�� (c) � � '5! � � ' ���

(d) � � '5! �'

(e) � � ' ! � ' �

32. Verifique:

(a) ��� � � ' � � ! ���� � � � ��� ��� � �

� � ��� � � � � ��� � � �

(b) ��� � � � � � ! �� ��� � �

�� � � ��

(c) � � � � � �� � � ' � � � ! � � � � ��� � � � '5!

(d) � � � ��� � � � � ' � � � ! ��� � � � � �� � � ' � !

33. Defina a funcão: � � ' ! � 2 2 '3 3 , onde 2 2 '3 3 denota o maior número inteiro � tal que � � ' .Por exemplo 2 2 3 3 �

, 2 2 � �

� 3 3 � � � e � � '5! � � , se ' 2 � � ! . Calcule � � � � ! , � � � � ! eesboce o gráfico de � .

34. Esboce os gráficos de:

(a) � � '5! � 2 2 ' 3 3�� 2 2 � ' 3 3(b) � � '5! � 2 2 ' ��� 3 3 (c) � � ' ! � 2 2 '�� � 3 3

(d) � � ' ! � '���2 2 ' 3 3

35. Escreva de forma mais simples as seguintes funções:

� � ! � � '5! � � � �� � � �$� '5! ! '-��� � �"! � � ' ! � ��� � � � ' !

� � ! � � ' ! � � � �� � ' ! ����� � � � '5!

36. Determine os vértices das seguintes parábolas:

(a) � � � '�� � � '��

(b) � � '�� � � ' � � � (c) ��� � '�� � '�� �(d) ��� '��7'�� � �

37. Determine a função afim tal que � � � !�� �e � � � !�� � � e a função quadrática tal que

� � � !$� � � , � � � !$� � �e � �! � � .

38. Verifique que � � �$� � � � ��� � � '5! ! � � � � ' � , � ' � � � .

Page 96: calculo I

96 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

39. Verifique que � � � ��� � � � ' ! � ��7� � � ��� � � ' ! .

40. Determine o domínio da função � � '5! � � � � � � �$�' ��� ! .

41. Seja � � ' ! ��� � � � � � � � � � � ' � � ! ! . Determine � � � � ! e calcule � � �1! .

42. Se � � � � � � �� �"! � � e � � � � � �"! � � , determine � .

43. Verifique que a função � � '5! � '���2 2 '3 3 é periódica de período � .44. Verifique que se � é uma função periódica de periódo � , então também é periódica de

período � � , �� � .

45. A função :

� � ' ! �� � se '- �

� � se ' * �

é periódica para algum período?

46. Prove que a função afim tem como gráfico uma reta não vertical.

47. Prove que a função polinomial de segundo grau tem como gráfico uma parábola comeixo paralelo ao eixo dos � .

48. Prove que se � é uma função periódica de periódo � , então:

(a) � � ' � ��! é periódica de periódo � , para todo �� �� .

(b) � � �$'5! é periódica de periódo�� , para todo �� ���� %/� . .

49. Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra demetal homogênea submetida à mudanças de temperatura é ��� � � � � � � � � � � � ! , onde �é o comprimento da barra quando a temperatura é � , � � é o comprimento inicial da barrana temperatura � � e � é uma constante que depende do tipo de metal.

(a) Verifique se � é função linear de � .

(b) Supondo que a barra, inicialmente mede � �,� � � a uma temperatura de � � �� e que

para o metal com que foi feita ��� � � � � , esboce o gráfico que expresse o comprimento dabarra em função da temperatura.

Page 97: calculo I

2.15. EXERCÍCIOS 97

50. O custo em � 0 � 0 (unidades monetárias) para remover ' �dos detritos tóxicos despejados

num aterro é dado por:

� � ' !$� � 0 � '� �,� �7' para � � ' � � �,� .

(a) Determine o custo referente à remoção de �1� �, � � �

e � � �dos detritos. Esboce o

gráfico de ��� � � ' ! .(b) Que porcentual de detritos pode ser removido por � � 0 �,�,��� 0 � �

51. Para calcular a dosagem de medicamentos que pode ser prescrita para crianças de � a � �anos é utilizada a função

� � �4! �� �

� ��� � onde � é a dose para adultos em � � e � é a idade em anos. Determine a dose que pode serindicada para uma criança de � anos se a dose adulta é de �1�,� � � .

52. Num sítio arqueológico foram encontrados ossos que contem� � �

da quantidade originalde � � � . Faça uma estimativa da idade dos ossos.

[54] A meia-vida do fósforo-32 é de 14.2 dias. Sabendo que � �,� � desta substância estãopresentes no início, obtenha uma fórmula para a quantidade presente após � anos. Quequantidade de fósforo-32 restará após

�dias?

53. Em ciências naturais, meia-vida é o tempo necessário para que uma quantidade atinjaa metade de seu valor inicial. O processo de eliminação de uma substância pelo orga-nismo dos mamíferos é análogo ao de decaimento radioativo; logo, utiliza-se o modelode decrescimento exponencial. Se

� �

de uma droga aplicada num paciente é eliminadaapós � � horas, qual é a meia-vida da droga?

54. Sabendo que a população de um certo país foi estimada em 23 milhões em 1990 e de 27milhões em 1995, e supondo que a população tem um crescimento exponencial, determi-ne quando a população atingirá 46 milhões.

55. Suponha que � �,�,�,��� 0 � 0 são investidos a uma taxa de juros compostos de � �ao ano. De-

termine o montante acumulado após anos se os juros forem capitalizados mensalmente,semestralmente e mensalmente.

56. Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após �dias é dado por :

� � �4! � � �,�,�,�� ��� � � � � � �� �� 0

(a) Quantas pessoas foram infectadas após � dia; após � � dias?

(b) Em quantos dias �,�,�,� pessoas ficaram com gripe?

Page 98: calculo I

98 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

57. Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se vari-amos

�, � e � .

58. A magnitude de um terremoto na escala Richter é dada por

� � � ! �� � � � � �

� �� � �

onde � é a energia liberada pelo terremoto em Jules e � � � � � � � ��� .

Note que � � � � � 0 � , onde � 0 � é para o maior terremoto registrado.

(a) O terremoto de São Francisco nos EEUU em 1906 liberou aproximadamente

0 � � � � � � � . Qual foi sua magnitude?

(b) Se o terremoto de Koebe no Japão teve uma magnitude de� 0 � , quanta energia liberou?

Page 99: calculo I

Capítulo 3

LIMITE E CONTINUIDADE

3.1 Limites

O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite.Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significadogeométrico ou físico, são estabelecidas usando limites.Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de umafunção � ��� � ' ! nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seudomínio. Por exemplo, seja

� � ' ! �� '�� �7'�� �

'�� � � � � ' � � !#� '�� � !'�� � 0

É claro que � � � � ! � ��� % � . . Estudaremos a função nos valores de ' que ficam próximos de� , mas sem atingir � . Para todo '� � � � � ! temos que � � ' !�� � ' � � . Vamos construir umatabela de valores de ' aproximando-se de � , pela esquerda ( ' � � ) e pela direita ( ' � � ) e oscorrespondentes valores de � � '5! :

' � � � � ' !� �

� 0 �� 0 � � 0��� 0 � � 0 �� 0 � � 0 �

� 0 � � � 0 � �� 0 � � � � 0 � � �

� 0 � � � � � 0 � � � �� 0 � � � � � � 0 � � � � �

� 0 � � � � � � � 0 � � � � � �

')� � � � '5!� � 0 � ��0��� 0 �� 0 � 0��� 0 � �

0 � �� 0 �,� � 0 � � �� 0 �,�,� �

0 �,� � �� 0 �,�,�,� � 0 �,�,� � �� 0 �,�,�,�,� �

0 �,�,�,� � �� 0 �,�,�,�,�,� � 0 �,�,�,�,� � �

Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que ' vai se aproximando de � , osvalores de � � '5! vão aproximando-se de

”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa

utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer ' � � é � � � ' � .Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se � '�� � � aproxima-se de zero, então

99

Page 100: calculo I

100 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

� � � ' ! � � também se aproxima de zero; em outras palavras: para que � � � '5! �

� seja pequeno énecessário que � '�� � � também seja pequeno. O número

é chamado limite de � � '5! quando '

está próximo de � . No exemplo, temos � � � '5! � �,� � � ' � � � ; logo, a distância de � � ' ! a

é igual

a duas vezes a distância de ' a � . É claro que quando ' aproxima-se de � , � '�� � � aproxima-sede zero e consequentemente � � � ' !$�

� também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemostornar � � ' ! tão perto de

quanto desejarmos, bastando para tal considerar ' suficientemente

próximo de � . Por exemplo, se desejarmos que � � � ' ! � � seja igual a � � , basta considerar� '7� � �+� � � ; agora, se desejarmos que � � � ' ! �

� � � 4� �, basta considerar � '7� � � � � 4� � .

De um modo geral, considerando qualquer número real positivo � (letra grega epsilon), tãopequeno quanto se deseje e definindo o número real

�(letra grega delta),

� � �� , teremos quea distância de � � '5! a

é menor que � , desde que a distância de ' a � seja menor que

�. Então

para todo número real positivo � existe outro número real positivo�, que depende de � , tal que

se ����� '�� � � � �, então � � � ' ! �

��� � � '�� � � � � � ��� . Note que todos os intervalos abertosque contém � intersectam � � % � . de forma não vazia.

3

1

Figura 3.1:

Definição 3.1. Sejam � � � � � uma função e � 7� tais que para todo intervalo aberto � , contendo� , tem-se � � � � ��% �/.6! �� � . O número real � é o limite de � � ' ! quando ' aproxima-se de � quandopara todo número ��� � , existe

� �&� (�

dependendo de � ), tal que, se ' �e � � � '�� � �5� �

então� � � ' ! � � � ��� . A notação é: ����

�� � � � ' ! ���

A definição é equivalente a dizer:

Para todo � ��� , existe� ��� tal que se ') � � � � �� � � ! � � � �7% �/. � , então � � '5!� � �)��1�� � � ! .

b- bb δδ

L

L+

L- ε

ε

Figura 3.2:

Page 101: calculo I

3.1. LIMITES 101

Exemplo 3.1.

Verifique que������ � ' � � � � .

Pela definição temos que, dado � ��� , devemos obter um� ��� tal que se ��� � '�� � � � �

então� '�� � � � �$� � . Mas � '���� � � � � � ' ��� � � ' � � � e desejamos que este produto fique menor que� para ' suficientemente próximo de � . Intuitivamente, se ' está próximo de � , � ' � � � estarápróximo de � e � '�� � � ficará próximo de zero. Logo � '�� � � � ' � � � ficará próximo de zero; estamos,pois em condições de tornar � '�� � � � � � � desde que ' fique suficientemente próximo de � . Aprimeira coisa a fazer é limitar o fator � ' � � � . Há várias maneiras de fazer isto. Por exemplo,se

� '-� , teremos � � ��' � � � � ou � ' � � � � � ; logo, � ' � � �1��� ' � � � � � � � '���� � � � ���e � '�� � � � ' � � �� � � '�� � � . Portanto, dado ��� � , considerando

�o menor entre os números � e

� , teremos que, se � � � '�� � � � � , então � '�� � � � � ��� . É recomendável fazer uma tabela, comono exemplo anterior.

Observe que o limite de uma função ��� � � '5! num ponto � , depende apenas dos valores que �assume nas proximidades de � , ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro � .

Proposição 3.1. Unicidade do limite Se����

�� � � � ' ! � � � e����

�� � � � ' !$��� � ; ( � �(�� � �� ), então

� �$� � � 0

Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Para a prova veja oapêndice.

Corolário 3.1. Se as funções � � ' ! e � � ' ! são tais que � � '5! � � � '5! exceto num ponto � , então:����

�� � � � ' ! �����

�� � � � ' !

desde que exista um dos limites.

Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o limite, como no primeiro exem-plo.

Exemplo 3.2.

[1] Sejam � � '5! �� ' � �7'�� �

'�� � e � � ' ! � � ' ��� .Logo, � � ' ! � � � '5! se ' �� � ; então,

������ � � � ' ! �

������ � � � ' ! , como já foi verificado.

[2]� ���� � � � ��� �' � não existe.

Se������ � � � � � �' � existisse, então para valores de ' muito muito próximos de zero, a função � � � � �' �

deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto não ocorre. De fato, consi-

derendo '���

� � �� � ! �� , ( �� � ), ' ficará próximo de zero se � for muito grande. Mas,

� � ��� �' � � � � ��� � � ���� ! � � � � � ��� � � � � � ��� � � � ! � � � � ! �

Page 102: calculo I

102 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

e a função ficará oscilando entre � (se � é par) e � � (se � é ímpar). Logo, o limite de � não podeexistir.

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 3.3: Gráfico de � � �$� �� ! .

[3] Se � � � �� , então:� ���� � � � ' � �"! � � � � � 0

De fato, devemos verificar que, para todo número �)� � , existe outro número� � � , tal que:� � � ' � �#!$� � � � � �#! �5� � se � '�� � � � � 0 Mas, � � � ' � �"!$� � � � � �"! � � � � � � '�� � � ; logo basta

tomar� � �� � � , se � ���� . Se � � � , todo

� ��� serve. logo, por exemplo:������ � �� ' �

! � � ��� � �

0[4] Seja

� � '5! ��

' � se ' �� �� se '�� � 0Calcule

������ � � � ' ! .

Observemos que � � � !+� � , mas o valor do limite da função quando ' tende a � não dependedo valor da função no ponto � , pois � � '5! � ' � se ' �� � ; logo:

� ���� � � � ' ! �

������ � � '

� 1! � � 0Proposição 3.2. Se

������ � � � '5! e

������ � � � '5! , existem, então para todo �$ � �� :

1.� ���� � � � � � '5! � � � � '5! � ��

������ � � � '5! � �

� ���� � � � ' ! 0

2.� ���� � � � � ' ! � � '5! � � � � � ��� � � � ' ! � � ��� ��� � � � '5! � 0

3.� ���� �� � ' !� � ' ! �

������ � � � '5!������ � � � '5! , se

������ � � � '5! �� � 0

Page 103: calculo I

3.1. LIMITES 103

4.� ���� � � � � ' ! �

�� � ��� ��� � � � ' ! �

�, se �� � .

5.� ���� �

�� � � ' ! � �������� � � � ' ! , se

������ � � � '5! � � e � é qualquer natural, ou

������ � � � '5! positivo,

negativo ou nulo e � é um natural ímpar.

6.� ���� � � � � � � '5! � � � � � ��� ��� � � � '5! � se

������ � � � '5!���� 0

7. Se������ � � � '5! �

� ���� � � � ' ! � � e existe

� � � tal que � � '5! � � � '5! � � � ' ! , para ��� � '�� ���� �,

então������ � � � ' ! � � .

Provas no apêndice.

Segue diretamente da proposição 10.3:

(a) Se � � '5! é uma função polinomial, então:������ � ��� ' ! � ��� � ! 0

(b) Se � � ' ! � � � '5!� � ' ! é uma função racional e �� � � � � ! , então:

������ � � � ' ! � � � ��! 0

Exemplo 3.3.

Calcule os seguintes limites:

[1]� ���� � � ' �

� '� � � ' � � ' � �

' ��� ! . Neste caso � � '5! � ' � � ' � � � '�� � ' � �

' � � ; logo:

������ � � ' �

� '� � � ' � � ' � �

' ��� ! �

������ � ��� ' ! � ��� � ! � � 0

[2]� ���� �

'�� ' � � � . Como

� ���� � � ' � � � ! � � � ���� , podemos aplicar a proposição 10.3; então,

������ �

'�� ' � � � �

������ � � '�� 1!������ � � ' � � � ! � �

�� � 0

[3]������ �

'�� � �'�� � . Como

������ � � '�� � ! � � , não podemos aplicar a proposição 10.3; mas fatorando o

numerador:

'�� � �'�� � � � '�� � ! � ' � � !

'�� � � ' � � para todo ' �� � . Logo:

������ �

' � � �'�� � �

������ � � '

��� ! � � 0

Page 104: calculo I

104 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

[4] Determine o valor de � tal que� ���� � �

' � � �$' � � �

' � � '�� �

exista.

Note que '�� � ' � � � � ' � � ! � ' � � ! . Dividindo'�� � �+' � � �

por ' � �

; obtemos,' � � �+' � � �

� � ' � � ! �

' � � � �1! � � � �-��! ; logo, para que a divisão seja exata devemos

ter ��� � ; logo,'�� � �+' � � �

� '�� � ' � �1!$�

� ' � � ! � ' �! :

������ � �

'�� � �+' � � �

' � � '�� � �

� ���� � �

' �

'�� � � � � 0[5]

������ �� ' � � � �

' .

Como� ���� � ' � � , não podemos aplicar diretamente a proposição 10.3; mas racionalizando o

numerador:� � � � � �� �

� � � ��� �� � � ��� � � �

� � � ��� � . Logo:

������ �� ' ��� � �

' ������� �

�� ' ��� ��� �

�� 0

-1 1 2 3 4

0.25

0.5

0.75

1

Figura 3.4: Gráfico de � � '5! �� � � � � �� , perto da origem.

[6]������ �

�� '�� ��� '�� � .

Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis '�� � � �; então:

�� '�� ��� '�� � � � � � �

�� � � � � � � � � � � � � � � ��� ! � � � � !

� � � � ! � � � � � � � � � � ! 0

Se ' � � , então � � � ; logo:������ �

�� '�� ��� '�� � �

����� � ��� � � � � � � � � ���� � � � � � � ��� � � 0

[7]������ � � ' � � � ��� �' � ��� � .

Page 105: calculo I

3.1. LIMITES 105

De fato, � � � � � ��� �� � � � , para todo ' �� ��%/� . ; logo � ' � � ' � � � ��� �� � � ' � , para todo' ���� %/� . . Como

������ � ' � �

� ���� � � � ' � ! � � ; pela proposição 10.3, temos:

������ � � ' � � � ��� �' � � ��� 0

-0.2 -0.1 0.1 0.2

0.01

-0.01

Figura 3.5: Gráfico de � � ' ! � '�� � � � � �� � , perto da origem.

[8] Seja � � '5! uma função tal que � � � ' ! � � ' � ; então,������ � � � ' ! � � .

De fato. Pela proposição 10.3, ítem 7, temos:������ � � � � ' ! �1� � , o que implica,

������ � � � ' ! � � .

[9] Verifique que� ���� �

' � � � �'�� � � � � � � � , �� �� .

Se � � , então:� � � � ���� � � ' � � � � �+' � � � � 0 0 0 0 0 � � � � � , ' �� � ; denotando por � � '5! � ' � � � �

�+' � � � � 0 0 0 0 0 � � � � � , temos:� ���� �

' � ��� �'���� �

������ � � � ' ! � � � � !$� � � � � � 0

Se �� � e � ��� , fazendo �-� � � � � , temos:

' � ��� �'���� �

���� � ����'�� � � �

�' � � � �

' � ��� �'������

pelo caso anterior, temos:������ �

' � ��� �'���� � � �

�� � � � � � � � � � � � � 0

Se �� �, �-� �

� ; � �� � �� � . Fazendo '�� � � e ����� � , então ' � � � � e � � ��� � ; logo:

' � �7� �'��7� � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � �

� � �� � � � � �

do segundo caso:������ �

' � ��� �'���� �

����

� �

� � � � �� � �

� � �� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � 0

Page 106: calculo I

106 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

3.2 Limites Laterais

Sejam � uma função definida em um domínio (que pode ser um intervalo ou uma reuniãode intervalos).

Definição 3.2.

1. Seja �� �� tal que existem �� �� e � ���"! � � � � � ! . O número real � é o limite à direita de � � ' ! ,quando ' se aproxima de � pela direita se para todo � ��� , existe

� ��� tal que � � � '5! � � � � � , se��� ')��� � � . Notação:

����

�� � � � � ' ! � �

2. Seja � � tal que existem � �� e � � 4��! � � � � � ! . O número real � é o limite à esquerdade � � '5! , quando ' se aproxima de � pela esquerda se para todo � � � , existe

� � � tal que� � � '5! � � � ��� , se � � � � ' ��� . Notação:����

�� ��� � � '5! ���

.

.

a+

L.

.

-a

L

Figura 3.6: Limite à direita e à esquerda, respectivamente.

Exemplo 3.4.

[1] Calcule����

�� � �� � ' ! e

����

�� � �� � ' ! , se:

� � '5! �

��� �� '�� ��� se '-� ��

se '�� �� ' � � � se '-� � 0

Para calcular estes limites observemos que ' � � � significa que ' fica perto de�, para valores

de ' maiores que�

e ' � � �significa que ' fica perto de

�, para valores de ' menores que

�.

Assim:����

�� � �� � ' ! �

������ �

� ' � ��� ! � e� ��

�� � �� � ' ! �

� ���� �

� � ' � � �1!$� 0

Page 107: calculo I

3.2. LIMITES LATERAIS 107

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

Figura 3.7: Gráfico de � , perto de�.

[2] Calcule����

�� � � � � ' ! e����

�� ��

� � ' ! , se:

� � '5! ��� � � ' �' se ' ����� se '���� 0

Novamente, para calcular estes limites observemos que ' � � � significa que ' fica perto de � ,para valores ' maiores que � e ' � � � significa que ' fica perto de � , para valores ' menoresque � . Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira:

� � ' ! �� � se ' ���

� � se ' ��� 0

Assim����

�� � � � � ' ! �� ���� �� � � e

����

�� ��

� � '5! ������� � � � � !$� � � .

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

Figura 3.8: Gráfico de � .

[3] Calcule����

�� � � � � ' ! e����

�� � � � � ' ! , se:

� � ' ! ��

'�� se ')� �' se ')� �

Calculando diretamente����

�� � � � � ' ! ������� � �'5!$�

e����

�� � � � � ' ! �� ���� � ' � � � .

Page 108: calculo I

108 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

-2 -1 1 2 3

2

4

6

8

Figura 3.9: Gráfico de � , perto de � .[4] (Contração de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento deum objeto é função de sua velocidade:

��� � ! ��� �

� � �� �� �

onde � � é o comprimento do objeto em repouso e � é a velocidade da luz. A velocidade da luzé de aproximadamente

�� � � � � * � . Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto

pode ir além da velocidade da luz; logo � � � � :����� � � � ��� � !$��� 0

Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.

Teorema 3.2. Seja � � '5! uma função com domínio nas condições das definições. Então� ���� � � � ' ! � �

se e somente se os limites laterais existem e����

�� � � � � '5! �� ��

�� � � � � ' !$��� .

Para a prova, veja o apêndice.

Teste para determinar quando não existe um limite

Se ����

�� � � � � '5! ������

�� � � � � ' !

ou se um dos limites laterais não existe, então������ � � � '5! não existe.

Exemplo 3.5.

[1] Calcule������ �� � ' ! , se:

� � '5! �

��� �� ' � ��� se '-� ��

se '�� �� ' � � � se '-� � 0

Page 109: calculo I

3.2. LIMITES LATERAIS 109

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo1]das páginas anteriores temos

����

�� � �� � '5! � e

����

�� � �� � '5! � . Pelo teorema, temos que

� ���� �� � ' ! � .

[2] Calcule������ � � � ' ! , se:

� � '5! �� � � �� se ' �� �� se '�� � 0

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes.� ��

�� � � � � ' ! �� ���� �� � � e

� � � � � � � � � � �����

�� ��

� � ' ! �� ���� � � � � ! � � � 0

Pelo teorema, temos que������ � � � '5! não existe.

[3] Calcule������ � � � ' ! , se:

� � '5! ��

' � se '-� �' se '-� � 0

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo[3] da página anterior, temos ���

��� � � � � ' ! �

e

� ��

�� � � � � ' ! � � 0Logo,

������ � � � '5! não existe.

[4] A função degrau unitário é definida como:

� � � ' !$��

� se ')� �� se ')� � onde � �� . Logo,

����

�� � � � � � '5! � � e� ��

�� � � � � � ' ! � � ; logo,������ � � � � ' ! não existe.

[5] Calcule����

�� � 2 2 '3 3 . Veja o exercício 33 do capítulo anterior.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

Figura 3.10: Gráfico de � � '5! � 2 2 ' 3 3 .

Se� � ,

����

�� � � 2 2 ' 3 3 � � � � e� ��

�� � � 2 2 '3 3 � �; logo,

����

�� � 2 2 ' 3 3 não existe. Se� �� � � , então� �

��� � 2 2 ' 3 3 existe. (Por que?).

Page 110: calculo I

110 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

3.3 Limites no Infinito

Definição 3.3.

1. Seja � � � �� � � !���� � . Diz-se que������ ��� � � ' ! � � quando para todo � � � , existe

� ��� tal

que � � � '5! � � � � � se '-� � 0

2. Seja � � � � � ��"!�� � � . Diz-se que� ���� � � � � '5! � � quando para todo ��� � , existe � � � tal

que � � � '5! � � � � � se '-� � ��0

Exemplo 3.6.

[1] Verifique que������ ���

�' � � .

De fato, pois para todo � � � existe� �

�� � � , tal que se ' � �

, então �� ��� � � e

���' � � �� � ��

�'�� ��� .

[2] Verifique que������ � �

�' ��� .

De fato, pois para todo � ��� existe � ��� ��� , tal que se ')� � � , então

�� � * ' �� � ��' ��� .

Observe que ' � � � implica ')��� e ' � � � implica '-��� .

Proposição 3.3. Para todo número natural � e para �� ���� %/� . , tem-se:

1.������ ���

�' � ��� .

2.������ � �

�' � ��� 0

1. Devemos provar que para todo � � � existe� � � tal que

�� �� � �� � � se ' � �. De fato,�� �� � �� �

� � �� � � � ��� se

� � � � �� � � � �� � , ou seja, se ')�

� � � � ��� � ; logo basta considerar

� �� � � � ��� � . A prova de

2 é análoga a do item 1.

Figura 3.11: Gráficos de � � ' ! ��

' � para diferentes � .

Page 111: calculo I

3.3. LIMITES NO INFINITO 111

Proposição 3.4. Se������ � �� � ' ! e

������ � �

� � ' ! existem, então, para todo �$ � �� :

� 0 � ���� � �� � � � ' ! � ��� � ' ! � ��

������ � �� � ' ! � �

������ � �

� � '5!

� 0� ���� � �� � � ' ! � � '5! � ��� ��� ��� � �

� � '5! ��� � � ��� � �� � ' ! �

0� ���� � �

� � ' !� � ' ! �

������ � �� � '5!���

��� � �� � '5! se

������ � �

� � '5! �� � 0

As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.

Exemplo 3.7.

[1] Calcule������ ��� � ' � � � .

Aplicando diretamente a proposição anterior:������ ��� �

' � � � �

������ ��� �

' � � �

������ ��� � � � � 0

5

Figura 3.12: Gráfico de � quando ' � � � .

[2] Calcule������ ���

' � .

Aplicando diretamente a proposição anterior :������ ���

' � �� ���

��� ����' � ��� 0

3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais

Proposição 3.5. Seja

� � '5! � � � '5!� � '5!

onde � � ' ! �&� � ' � � � � � � ' � � � � 0 0 0 0 0 � � � e � � ' ! � � � ' � � � � � � ' � � � � 0 0 0 0 0 � � � são polinômiosde coeficientes reais de graus � e � , respectivamente, isto é � � ���� e � � �� � . Então:

������ � �

� � '5!� � '5! �

�� � � �� �

se �-� �

� se ��� �

Page 112: calculo I

112 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

De fato:

� � '5!� � ' ! � � � ' � � � � � � ' � � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 � � �

� � ' � � � � � �4' � � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � � ' � � � � � � �� �� � 0 0 0 0 0 0 0 0 � � �� � �

' � � � �� �

� � �� � 0 0 0 0 0 0 0 0 ���� � � 0

Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para �7� � , veja opróximo parágrafo.

Exemplo 3.8.

[1] Calcule������ ���

' � ���' � � 6' � � ' � � .

Como ��� � , temos:������ ���

' � ���' � � 6' � � ' � � � � 0

[2] Calcule������ � �

� ' �

' � � .

Como �-� � , temos:������ � �

� ' �

' � � �� 0

[3] Calcule������ ���

' ���� ' � � .

Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante-riores. Reescrevendo a expressão temos:

' � �� ' � � � ' ����

' � � � � �� � � ' � �'

� � � �� �

� � ��� � � �� �

então:������ ���

' ���� ' � � �

������ ���

� � ��� � � �� � � 0

[4] Calcule������ � �

' ���� ' � � .

Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, ' �� � , significa que ')��� ; logo, consideramos � ' � � � ' :

� ���� � �

' � �� ' � � �

����� �� ���

� � � ��� � � �� � � � 0

[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonalconstituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-seo terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam umtriângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:

Page 113: calculo I

3.4. LIMITES INFINITOS 113

Figura 3.13:

Denote por� � a área comprendida pela linha poligonal após � passos; logo,

� � �� �� ,

� � �� ,�� �

� � � � � ,� � � � � �

� � ,

� � �� � � � � � � � , em geral:

� � � �� � � � � � � � � � � � � �

se ����� ; então,�� �

����

� � ���� � �

� � . Fica como exercício interpretar o limite.

3.4 Limites Infinitos

Seja � uma função definida num domínio , que pode ser um intervalo ou uma reunião deintervalos. Seja � um ponto que não pertence necessariamente a , mas tal que nas proximi-dades de � existam pontos de ; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem �intersecta de forma não vazia.

Definição 3.4.

1. Diz-se que������ � � � '5! � � � , quando para todo

� ��� , existe� ��� tal que � � ' ! � �

, se '- e

��� � '�� ��� � � .2. Diz-se que

� ���� � � � ' !$� � � , quando para todo � ��� , existe

� ��� tal que � � ' !�� � � , se ') e ��� � '������ � � .

Exemplo 3.9.

[1]� ���� �

�� '�� � ! � � � � .

Como�

� '�� � ! � � �, se � ' � � ! � �

�� , isto é, se � ' � � � �

�� � , então para todo

� � � , existe

� ��� � � � tal que � � '5!�� �

se � � � '�� � � � � 0[2]

� ���� �

�' � � � � .

Page 114: calculo I

114 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

Como�' � � � se � ' � �

�� � , então para todo � � � , existe

� ��� � � � tal que � � ' ! � � se

� � � ' � � � .Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:

Diz-se que����

�� ��� � � '5!�� � � , quando para todo� � � , existe

� � � tal que � � ' ! � �se

� � � � '-����0Diz-se que

����

�� � � � � '5! � � � , quando para todo � � � , existe� � � tal que � � ' !�� � � se

��� '-��� � � .

Proposição 3.6. Para todo número natural � , temos:

1.����

�� � ��

' � � � � .

2.� ��

�� ��

�' � �

� � � se � é par� � se � é ímpar

Proposição 3.7. Sejam � � ' ! e � � '5! funções tais que������ � � � ' ! �� � e

������ � � � '5!$� � . Então

1.� ���� �� � ' !� � ' ! � � � se

� � '5!� � '5! ��� para valores de ' próximos de � .

2.� ���� �� � ' !� � ' ! � � � se

� � '5!� � '5! ��� para valores de ' próximos de � .

As provas das proposições são deixadas como exercícios.

Exemplo 3.10.

[1] Calcule������ �

'�� �

� '�� � ! � .

Como������ � �'�� � ! � � e

������ � � '�� � ! � ��� , observando que se '-� �� , mas ' �� � , então � ��� �� ��� � � ���

e aplicando o teorema, logo:������ �

'�� �

� '�� � ! � � � � .

[2] Calcule������ �

� '�� � '�� � ! � .

Como������ �

� � '�� ! � � � e� ���� � � '�� � ! � � � , observando que se ' � �� , mas ' �� �

, então

� ��� �� ��� � � ��� e aplicando o teorema, temos:� ���� �

� '�� � '�� � ! � � � � .

Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguinteslimites:������ ��� � � '5! � � �

������ ��� � � '5! � � � e

������ � � � � '5! � � �

� ���� � � � � ' ! � � � .

Page 115: calculo I

3.4. LIMITES INFINITOS 115

Corolário 3.3. Para funções racionais, temos:

������ � �

� � ' !� � ' ! �

���� ���� � se ��� �

� �� �

se �-� �

� se ��� �

0

Exemplo 3.11.

[1]� ���� ��� � ' � � ' � � ' ��� � . Como

� ���� ��� � � �

' �

� �' �

� �' � � � � ; temos,

������ ��� � ' � � ' � � ' � � � �

������ ��� ' � � � �

' �� �

' �� �

' � � ������� ��� ' � � � � .

[2]� ���� � � � ' � � ' � � ' ��� � . Como

� ���� � � � � �

' �

� �' �

� �' � � � � ; temos,

������ � � � ' � � ' � � ' � � ���

������ � � ' � � � �

' �� �

' �� �

' � ��������� � � ' � � � � .

[3]� ���� � � � ' � � ' � ��� � . Como

������ � � � � �

�' � �

�' � � � � ; temos,

������ � � � ' � � ' � � � � �

������ � � ' � � � � �

' � ��' � ���

������ � � ' � � � � .

[4]� ���� ��� � ' � � �

' � � 6' � � � � .Como ��� � , pelo corolário anterior:

������ ��� � ' � ���

' � � 6' � � � � � � � 0

[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade:

� � � ! �� � �

� � � � � �

onde � � é a massa da partícula em repouso e � é a velocidade da luz. Logo,� ��� � � � � � � ! � � � �

em outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em ralaçãoa sua massa inicial � � .

[6] Considere o fractal de Koch e denote por � � o perímetro da linha poligonal após � passos;logo:

� � � � ��� �� � � �

� � �

em geral,� � �

� � � � , se � � � ; então, � � �� ��

� � ��� � � � � � . Fica como exercício interpretar

o limite.

Page 116: calculo I

116 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

3.5 Símbolos de Indeterminação

Nas operações com limites, muitas vezes aparecem os símbolos:

� � � � �/� �� �

� �� � � �

chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo deum limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, dependendo daexpressão da qual se está calculando o limite.

Exemplo 3.12.

[1] Se � � ' ! � � � �� '�� � ! � e � � ' !+�

�� '�� � ! � , onde � e � são definidas em ��� % � . , então,

������ � � � '5! �

������ � � � '5! � � �

mas������ � � � � ' ! � � � ' ! � � � .

[2] Se � � ' !�� � � �$��

'�� � � ��

� '�� � ! � e � � ' ! ��

� '�� � ! � , onde � e � são definidas em ��� % � . ,

então,������ � � � '5! �

������ � � � '5!$� � � , mas

������ � � � � ' ! � � � '5! � não existe.

[3] Se � � '5!���' e � � '5!�� � �$� '5! , onde � e � são definidas para ' � � , então,

������ ��� � � '5! � �

e� ���� ��� � � ' !+� � � , mas

������ ��� � � � '5! ��� � � ' ! ��� � . De fato, � �$� '5! � ' para todo ' � � ; então

� �$� ' ! � � �$� � ' � '5! � � � �$� � '5! � � � ' para ' � � ; logo, ���� ��� � �� � �� � . Aplicando limite a

ambas partes e usando o item [7] da proposição 10.3, válida também para limites no infinito,temos o resultado.

[4] Se � � ' ! ��' � e � � ' !$� ' � � � �$�

�' ! , onde � e � são definidas em � ��%/� . , então,

������ � � � ' ! � � �

e������ � � � ' !$� � , mas

������ � � � � ' ! ��� � � ' ! � , não existe.

3.6 Limites Fundamentais

[1] Primeiro limite fundamental:� ���� �

� � �$� ' !' � �

Antes de provar este limite faremos uma tabela, usando o fato de que � � ' !�� �� � � � �� é uma

função par:' ���� � � ' !� � � 0 � � � �� � 0 � 0 � � �� � 0 � � 0 � � � � 0 � � 0 � � � ��� 0 � � � 0 � � � � ���� 0 �,� � � 0 � � � � �

Page 117: calculo I

3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 117

Prova: Considere o seguinte desenho:

O Q S

T

P

Θ

Figura 3.14:

Denotemos por� � e

�� as áreas dos triângulos � � � e � � respectivamente e por

�a área do

setor circular � � � . Claramente� � � � � �

� 0 Por outro lado, se � � ��� � � ,

� ����� � � �$� � ! ��� � � � ! �

� ��� � � �$� � ! � � � � � ! e

� ��� ��0

Então, da desigualdade acima: � � �$� � ! ��� � � � !�� � � � � �$� � ! � � � � � ! ; e, como � � �$� � !�� � se�� � � � � ! , temos ��� � � � !�� �

�������� � � � � � � � ! , ou ��� � � � !�� �

� � � � �� � � � � � � ! se � � ��� � � . Co-

mo����

� � � ���� � � � ! �

����

� � � � � �� � � !�� � , segue que

����

� � � � �� � � � �� � � . Por ser �

� � � � �� uma função par:

����

� � ��

� � �$� � !� � � ; logo,

� ��

� � �� � �$� � !� � � .

1

Figura 3.15: Gráfico da função � � '5! � �� � � � �� se ' �� � e � � � ! � � .

[2] Segundo limite fundamental:

������ � �

� � � �' � �

Page 118: calculo I

118 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

Façamos uma tabela usando a função � � ' ! � � � � �' � �')��� � � ' !� � � � 0 � � �� � � � 0 � � � � �� � � � 0 � � � � �� � � � 0 � � � �

')��� � � '5!

� � � � � 0 � � � � �� � � � � 0 � � �,�� � � � � 0 � � � � �� � � � � 0 � � � � �

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5

6

Figura 3.16: Gráfico de � � '5! � � � � �' � � para ' �� � .

É possível provar que:� ���� � �� � � �' � � � �

onde � � � 0 � � � � � 0 0 0 é o número de Euler. A prova direta desta propriedade poderá ser encon-trada na bibliografia intermediária ou avançada.

[3] Terceiro limite fundamental. Seja �� �� ����� �� �� � , então:������ � � � � � �

' � � � �$� � !

Em particular, � é a única base da exponencial tal que:

������ � � � � � �

' � � � �$� � ! � �Veja o próximo exemplo, item [7].

Exemplo 3.13.

[1] Calcule������ �

��� � ' !' .

������ ���� � '5!

' ������� � � � � �$� ' !

' ��� � � '5! � ������� � � � � �$� ' !

' � ��� ��� � � ���� � � '5! � � � 0

Page 119: calculo I

3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 119

[2] Calcule������ �

� � �$� � ' !� � �$�

' ! .� ���� �

� � �$� � ' !� � �$�

' ! �

� � � ��� � � �� �$� � ' !� ' !

� ���� � �

'

� � �$�' ! ! �

� 0

[3] Calcule������ � � � � ' � �

� . Seja '�� � � ; se ' � � então � � � � ; logo:������ � � � � '�� �

� ������ � � �� � � �� �

�� � 0

[4] Calcule������ � �� � � �

' � � , onde � é um número real.

Seja� � � � , então:

������ � �� � � �

' � � � � ��� �� � � �� � � � � �

� � � � ��0

[5] Calcule������ � �� � � �

' � � � � , onde � é um número real.

Seja ' � � � � , então:������ � �� � � �

' � � � � ������ � � �� � � � � �

� � �� � 0

[6] Sabemos que se uma quantia� � é investida a uma taxa � de juros compostos, capitalizados

� vezes ao ano, o saldo� � �4! , após � anos é dado por

� � � !�� � � � � � �

� ! � � . Se os juros foremcapitalizados continuamente, o saldo deverá ser:

� � � !$�����

� � ���� � � � � �

� � � � � � �� ��

� � ��� � � � � �� � � � � � � � � � � 0

[7] Calcule������ � �� ' � �'�� � � � �

�, onde � é um número real.

������ � �� ' � �'�� � � � �

��

������ � �� � �

'�� � � �

� ���� � �� � �

'�� � �

�� � � 0

[8] Verifique que������ �

� � � �' � � �$� � ! .

Seja � � � � � � ; então � �$� � � ! � � �$� � � � ! ; logo ' � �$� � !$� � �$� � � � ! e '�� � �$� � ��� !� �$� ��! . Quando ' � �

temos que � � � e:������ �

� � � �' �

� ��� � �

�� �$� � ��� !� �$� ��!

� � �$� � !����� � �

��� � �$� � � � ! � � �$� � !

����� � �

�� �$� � � � �4! �

� !� � �$� � ! 0

[9] Calcule������ �

� � � � �' , onde ������� e ���� �� � .

������ �

� � ��� �' �

� ���� �

� � � � � � ��� �' �

������ � � � � � �

' � � � � �' � � � �$� ��! � � �$� �"! � � ��� � � � 0

[10] Se� � � � � � � � � � � e

������ ��� � � � �

' ! � � � � , determine � �$� ��! .

Primeiramente, note que � � � � ; então, � �$� ��! � ��� . Por outro lado� � � � ��� � �

� � ��� � ; logo, � � � � � � � � � , donde� � � � � � �

e ��� � . Portanto, � �$� � ! � � � .

Page 120: calculo I

120 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

3.7 Assíntotas

Definição 3.5. A reta �)� � é uma assíntota horizontal ao gráfico da função �)� � � '5! se pelo menosuma das seguintes afirmações é verdadeira:

� ���� ��� � � ' ! ��� ou

� ���� � � � � ' ! � �/0

Exemplo 3.14.

[1] Esboce o gráfico da função logística:

� � �4! ��� � � � �

� onde� ��� �� 0

� � � � ! � � e a curva passa por � � ����� ! . Por outro lado����� � ��� ��� � ! � �

; logo, �)� �é uma

assíntota horizontal.� ��� � � � ��� � !$� � ; logo, �7� � é uma assíntota horizontal. No caso em que

� � � � �4! descreve o crescimento de uma população, o valor�

é dito valor limite da populaçãoe corresponde ao número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar.

x

y

Figura 3.17: Gráfico da função logística.

[2] A função � � ' ! � � � � � � ' ! possui uma assíntota horizontal � � � .

Definição 3.6. A reta '���� é uma assíntota vertical ao gráfico da função ��� � � ' ! se pelo menos umadas seguintes afirmações é verdadeira:

����

�� � � � � ' !$��� � ou����

�� � � � � ' ! � � � 0

Em geral, se o � � � � ! � � , então o gráfico de � não possui assíntotas verticais.

3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais

Seja � � ' !�� � � ' !� � '5! tal que � * � � � � ! , isto é, � � � !�� � ; então, � � '5! � � ' � ��! � � �/� ' ! , � � �

e � �/� � ! �� � ; analogamente � � ' ! � � ')����! � � � � '5! , � � � e � � � ��!�� � . Se � � � , fazendo� � � � � , temos � � ' ! �

�� '���� ! � � �(� ' ! , onde � �/� ' ! � � � � ' !

� � � ' ! é uma função definida em � .

Então����

�� ��� � � � '5! �1� � .

Page 121: calculo I

3.7. ASSÍNTOTAS 121

a

a

Figura 3.18: Gráficos de � ao redor do ponto � , para�

ímpar e�

par e � �(� ��! ��� .

a

a

Figura 3.19: Gráficos de � ao redor do ponto � , para�

ímpar e�

par e � �(� ��! ��� .

Logo, a função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio � � ' ! .

Exemplo 3.15.

[1] Esboce o gráfico de ��� '' � � � .

� � � � ! � � � % � � � . e a curva passa por � � 4� ! . Por outro lado � � ' ! � � �/� ' !'�� � , onde � �/� ' ! �

'' � � ; � � � e � �/� � !�� � ; então,

� ��

�� � � � � '5! � � � ,����

�� � � � � '5! � � � , Analogamente: � � ' ! ��� � � � �/� ' ! , onde � �/� '5! � '

'�� � ; � � � e � �/� � � ! ��� , então:����

�� � � � � � ' ! � � � e����

�� � � � � � ' ! � � � ;

logo, '�� � e '�� � � são assíntotas verticais. Por outro lado,������ � �� � ' ! � � ; logo, � ��� é uma

assíntota horizontal.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Figura 3.20: gráfico de � � �� � � .

[2] Esboce o gráfico de ��� ' �' � � � .

Page 122: calculo I

122 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

� � � � ! � � ��% � � � . e a curva passa por � � 4� ! . Por outro lado � � '5! � � � � '5!'�� � , onde � �/� ' ! �

'��' � � ; � � � e � �/� � !�� � ; então,

����

�� � � � � ' ! � � � ,����

�� � � � � '5! � � � . Analogamente: � � ' ! ��' � � � �/� ' ! , onde � �/� ' ! � '��

'�� � ; � � � e � �(� � � ! ��� ; então,����

�� � � � � � '5! � � � e����

�� � � � � � '5! � � � ;

logo '�� � e ' � � � são assíntotas verticais. Por outro lado,������ � �� � '5! � � ; logo, ��� � é uma

assíntota horizontal.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Figura 3.21: gráfico de � � � � � � .

3.8 Continuidade de Funções

A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não háinterrupção ou, então, onde não existem partes separadas umas das outras. Nos parágrafosanteriores, estudamos o comportamento de uma função � � � � ' ! para valores de ' próximosde um ponto � . Pode acontecer que o limite de � � '5! quando ' tende a � exista, mas que � nãoseja definida em � ; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de � � � ! . Estudaremos,agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que:���

��� � � � ' ! � � � ��! 0

Definição 3.7. Seja � uma função e �� � � � � ! , onde � � � � ! é um intervalo aberto ou uma reuniãode intervalos abertos. � é dita contínua em � , se:

1.� ���� � � � ' ! existe.

2.� ���� � � � ' ! � � � � ! .

Se � não verifica qualquer das condições da definição, � é dita descontínua em � .

Exemplo 3.16.

[1] Considere:

� � '5! ��� � '�� � �

'�� � se ' �� �� se '�� � 0

Page 123: calculo I

3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 123

Note que � � � � !$� � , mas � não é contínua em � . De fato,� ���� � � � '5! �

������ � � '

� � ! � � �� � � � ! .Veja o desenho:

1

2

Figura 3.22:

Observe que se redefinirmos a função, fazendo � � � !�� �, a função será contínua em todos os

pontos de � . Verifique este fato.

[2] Seja:

� � � '5! �� � se ')� �

� se ')� � 0

A função degrau unitário � � � � � ' ! não é contínua em � , pois não existe������ � � � � ' ! .

c

1

Figura 3.23: Função degrau unitário.

Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da funçãonão apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior).

[3] � � '5! � ' � � �'�� � é uma função contínua em todo ponto de seu domínio.

De fato � � '5! � ' � � se ' �� � e������ � � � � '5! � ' � ��� � � � ' � ! .

[4] O potencial � de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos ' é dado por:

Page 124: calculo I

124 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

� � ' ! �� � �� � � ' � � � � �7' � se '-���� �� � � ' � � � � � '�� se '-��� 0

����7��� ; � é contínua em � .

De fato, como����

�� ��

� � '5! �����

�� � � � � '5! � � �� � ,� ���� � � � ' ! existe e

������ � � � ' !+� � � � ! . Então, � é

contínua em � .

[5] Seja

� � '5! �

��� ��� '�� �

se ' � � �� ' � � se ' �2 � � � 3 ' � � se ' � � 0

Ache�

e � tais que � seja uma função contínua em � .

Os pontos problemáticos do domínio de � são ' � � � e '�� � . Utilizando a definição, � écontínua se: �� �

����

�� � � � � � ' ! �����

�� � � � � � '5!����

�� � � � � ' ! �����

�� � � � � ' !

que é equivalente ao sistema: � � � � � �� � � � � �

logo,� � � e � � � . Então:

� � '5! �

��� ��� '�� �

se ')� � �� ' � � se � � � ')� � ' � � se ')� � 0

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

10

15

20

Figura 3.24:

A continuidade também pode ser expressa em função de � e�. De fato,

� ���� � � � ' ! � � � ��! sig-

nifica que: para todo � � � existe� � � tal que, se ' � � � � ! e � '�� ����� �

, então

Page 125: calculo I

3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 125

� � � ' ! � � � ��! ��� � . Em outras palavras, � é contínua em � quando para todo � � � , existe� ��� tal que � � '5!� � � � ��! � �1 � � ��! � � ! desde que ') �� � � � 4� � � ! � � � � � ! .

Proposição 3.8. Sejam � e � funções contínuas no ponto � . Então:

1. � � � � � são contínuas em � , para todo �$ � �� .

2. � � é contínua em � .

3.�� é contínua em � , se �� � � � � � � .

As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições.

Definição 3.8. Uma função � é dita contínua em� �&� se � é contínua em cada ponto de

�. Se � é

contínua em�

e � � � , então, � é contínua em � .

Exemplo 3.17.

[1] Os polinômios são funções contínuas em � , pois são expressos por somas e produtos defunções contínuas em � .

[2] As funções racionais são funções contínuas no seu domínio.

[3] As funções � � '5! � � � �$� ' ! e � � '5! � ��� � � ' ! são contínuas em � .

[4] As funções exponenciais são funções contínuas em � .

[5] As funções logarítmicas são funções contínuas em � � � � ! .[6] A seguinte função é contínua em � :

� � '5! ��� � ' � � ��� �' � se ' ����� se '���� 0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 3.25: Gráfico de [6]

[7] A função � � ' ! � 2 2 '3 3 é descontínua para cada '- � . Veja exercício 33 do capítulo anterior.

Page 126: calculo I

126 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

-1-2-3 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 3.26: Gráfico de � � '5! � 2 2 ' 3 3 .

[8] A função � � '5!+� � �$� ' ! � � � � ��� � ' !' � � � é contínua em � � � ! �7� � � � ! . De fato, � �$� ' ! é contínua

em � � � � ! e � � � ��� � ' ! é contínua em � , logo � �$� ' ! � � � � ��� � ' ! é contínua em � � � � ! ; o polinô-mio ' � � � possui raízes reais ')� � � e � � * �� � � � ! , então � é contínua em � � � ! � � � � � ! ,que é o domínio de � .

1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

Figura 3.27:

Proposição 3.9. Sejam � e � funções tais que� ���� � � � ' ! ��� e � é contínua no ponto � . Então:

������ � � ��� � � � '5! � � � ��� ��� � � � '5! �

A prova segue das definições.

Exemplo 3.18.

Como aplicação direta desta propriedade temos:

[1] A função � � ' !+� � � é contínua em � ; logo, se existe������ � � � '5! , então:

������ � �

� � � � � ������� � � � '5! 0

[2] As funções � � ' ! � � � �$� ' ! e � � ' ! � ��� � � ' ! são funções contínuas em � ; logo, se existe������ � � � ' ! , então:

Page 127: calculo I

3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 127

������ � � � ��� � � ' ! � � � � ��� ��� ��� � � � '5! � � � �

��� � ��� � � � � '5! � � ��� ��� ��� ��� � � � ' ! � 0[3] A função � � ' !$� � �$� ' ! é contínua em � � � � ! ; logo, se

������ � � � ' !� � � � � ! , então:

������ � � � � � � '5! � � � � � � � ��� � � � ' ! � 0

[4]� ���� � � ��� ' � � '�� ���

' � ��� � � � ��� ��� ��� � ' � � '�� ���' � � � � � � ��� � � .

[5]����

���� � ����� � �$� ' ! � � � ��� ��� ����� � � �$� '5! � � � ��� � � ��� � � � � � �$� � ! ��� .

[6]� ���� �� �

� �� � � � �

� ���� � � '�� � ! � �

�� � .

[7]� ���� ���� � � ' � � � � �$� ' ! � � � ��� � � !$� � � .

Teorema 3.4. Sejam � e � funções tais que � � � esteja bem definida. Se � é contínua no ponto � e � écontínua em � � ��! , então ��� � é contínua em � .

Prova: � � � � ! � � � � � ! . Como � é contínua em � � � � ��! , para todo � � � existe� � � � tal que

se � � � � � ! e � ����� � � � � , então � � ����! � � � �#! �$� � . Por outro lado � é contínua em � ; logo,existe

�� � � tal que se '7 � � � � ! e � '�� ����� �

� , então � � � ' ! � � � ��! � � � � � '5! � � ��� � � . Logo,se '- � � � � !��7� � � � � 4�

� �� ! , � � � � � ' ! ! � � � � � ��! ! ����� .

Exemplo 3.19.

[1] A função � � ' !+� � ' � � � ' � � � é uma função contínua em � , pois � é a composta das seguintesfunções: � � '5! � '�� � � ' ��� e � � ' !+� � ' � ; ambas funções são contínuas em � . (Verifique !).

[2] A função � � '5! � � � � � � � � é contínua. (Verifique !).

[3] A função � � '5! � � � � � ' � �7' �' � � � � é contínua. (Verifique !).

O teorema seguinte estabelece que com hipóteses adequadas, uma função � , definida numintervalo fechado 2 �����3 , assume todos os valores entre � � ��! e � � �"! ; em outras palavras, paraque � passe de � � � ! a � � �#! tem que passar por todos os valores intermediários. A definiçãoanterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reuniãode intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição:

Definição 3.9. Seja ���2 ����3 � � ; � é contínua em 2 ����43 se:

1. � é contínua em � ����"! .2.

����

�� � � � � '5! existe e����

�� � � � � ' ! � � � ��! .

3.����

�� � � � � ' ! existe e� ��

�� � � � � '5! � � � �"! .

Page 128: calculo I

128 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamen-te.

Teorema 3.5. (do Valor Intermediário)Se � � 2 �����3 � � é uma função contínua em 2 �����3 e � � ��! � � � � � �#! ou � � �"! � � ��� � � ! , então existe� �� ����#! tal que � � � ! � �

.

Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR].

Exemplo 3.20.

Seja � ��2 � � � 3 � � tal que � � ' ! � '���� ��� � � '5! � � ; então � assume o valor

� . De fato � é

contínua e � � � � � � ! �� � � � � ! �

; logo, do teorema, temos que existe � � � � � ! tal que

� � � ! �� .

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figura 3.28:

Corolário 3.6. Seja � � 2 ����43 � � uma função contínua em 2 ����43 . Se � � ��! e � � �"! tem sinais opostos,ou seja � � ��! � � �#!���� , então existe � � ����"! tal que � � � ! � � .

acc

c b

Figura 3.29:

Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar.De fato, seja � � ' ! � ' � � � � ' � � � � 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � ' � � � uma função polinomial de grau � ímpar,� � �� . Para os ' ���� , escrevemos:

� � ' ! � ' � � � � � �'� 0 0 0 0 0 0 0 � � �

' � �,0

Page 129: calculo I

3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 129

Como� ���� � �� � � � �

'� 0 0 0 0 0 0 0 � � �

' � � � � ; então,� ���� ��� � � '5! � � � e

������ � � � � ' !$� � � pois, � é

ímpar. Logo, existem ' � ��' � tais que � � ' � ! � � e � � ' � ! � � . � é contínua no intervalo 2 ' � ' � 3 ;pelo corolário, existe � � ' �( ' � ! tal que � � � !��&� . Se � é par, a conclusão é falsa. O polinômio� � ' !$� '�� ��� não possui raízes reais.

Exemplo 3.21.

[1] A equação ' � � � ' � � ��� possui

raízes reais distintas.

De fato, a função � � ' !�� '�� � � ' � �é contínua em � ; logo, é contínua em qualquer intervalo

fechado. Como � � �! � � � � ! � � � � , existe � � � �

(� � ! tal que � � � � ! � � . Como � � � ! � � � ! �

� �, existe � � � � � ! tal que � � � � ! � � . Como � � � ! � � � !$� � �

, existe � � � � � ! tal que � � � � ! � � .

-1-2 1 2

2

Figura 3.30: Exemplo [1]

[2] A equação� � � �$� ' � � � ! � ' � � � � � � � � � ! �

�� � � � possui pelo menos � raízes reais distintas

no intervalo 2 � � � 3 .De fato, a função é contínua em 2 � � � 3 e � � � � ! � � � 0 �

, � � � � 0 1! � � 0 � � � , � � � !-� � � 0 � ,

� � � 0 1! � � 0 �

e � � � ! � � � 0 � ; logo: � � � � ! � � � � 0 1! � � , existe � � � � � (� � 0 1! tal que � � � ��!+� � .Se � � � � 0 1! � � � !�� � , existe � � � � � 0 4� ! tal que � � � � ! � � . Se � � � ! � � � 0 1!�� � ; então, existe� � � � 4� 0 1! tal que � � � � ! � � . Se � � � 0 1! � � � ! ��� ; então, existe � � � � 0 � ! tal que � � � � ! � � .

-1 1 2

Figura 3.31: Exemplo [2]

[3] A função � � ' ! � � � � '�� ��� � � ��� � '5! , atinge o valor�� no intervalo 2 � � 3 .

Considere a função � � ' !$� � � ' ! ��� ; � é função contínua no intervalo 2 � � 3 e

� � � ! � � � ! � � � �� �

Page 130: calculo I

130 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

logo, existe � � � � � ! tal que � � � �#! � � , isto é, � � � � ! ��� .

1

0.5

Figura 3.32:

O seguinte algoritmo serve para determinar aproximadamente as raízes de uma equação, uti-lizando o corolário:

i) Seja � contínua em 2 �����3 . Se � � ��! � � �"!�� � , então, existe pelo menos um � � ����#! tal que� � � ! � � .

ii) Considere � � � � � �� ; se � � � � ! � � , achamos a raiz. Caso contrário, � � ��! � � � � ! � � ou� � � � ! � � �"! ��� .

iii) Se � � � ! � � � � !�� � , então, � � ' !�� � tem solução em 2 �� � � 3 . Considere �� � � � � �� ; se

� � �� ! � � , achamos a raiz. Caso contrário � � � ! � � �

� !���� ou � � �� ! � � � � !���� .

iv) Se � � �� ! � � � � !)� � , então, � � '5!�� � tem solução em 2 �

� � � 3 ; seja � � �

� � � ��� , se

� � � � ! � � , achamos a raiz. Caso contrário � � � � ! � � �� !���� ou � � � � ! � � � ��! ��� .

Continuando obtemos � � tal que � � � � ! � � � � � ! � é menor que a metade do comprimento doúltimo intervalo.

Exemplo 3.22.

No exemplo [1] temos � � ' ! � ' � � � ' � �.

i) � � � ! � � � ! � � ; seja � ��� �� , como � � � � ! �� � e � � � � ! � � � ! �&� , então, procuramos a soluçãono intervalo 2 � �( � 3 ; seja �

� � � � � �� � �� .

ii) Como � � �� ! �� � e � � � ��! � � �

� !�� � , então, procuramos a solução no intervalo 2 � �( �� 3 ;

seja � � �� � � �

�� �� � . Assim, continuando podemos, por exemplo, obter � � � �

� � � ��� � � � ��� 0 � � � � � no intervalo 2 � 0 � � � �� � 0 � � � � 3 e tal que � � � � � ! � � � 0 �,�,�,� � � � .3.9 Exercícios

1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:

Page 131: calculo I

3.9. EXERCÍCIOS 131

(a)������ � �'�� � !

(b)������ � �'�� � !

(c)������ �

'�� �� '�� �

(d)������ �6' � �� ' �

(e)

������ ��

' � ���

(f)� ���� �

' � � � '�� � '�� �'�� �

(g)� ���� � � ' � �

� �� �,�,� �(h)

� ���� �

��� � � ' !'

(i)� ���� �

� ' � � ! �'

(j)������ �

� � �' � ���

(k)������ �

� � �' � � ' � �

(l)������ �

� '�� � � !'�� �

2. Determine�

tal que:

(a)�������� � ' � � � ' �

� � � ! ��

(b)� ��

�� � � ' � � ' � �1! � �

(c)������ �

� '�

�' � � � '�� � ! � �

(d)������ �

� �7' �' � � � � �

3. Verifique se são corretas as seguintes afirmações:

(a)' � � '�� �

'�� � � ' �

(b)������ �

' � � '�� �'�� � �

������ �

� ' �!

4. Calcule os seguintes limites:

(a)������ ��,' � � �6' � �' � � ' � ���

(b)������ �

' � � '�� � �6'�� �' � ��'�� �

(c)������ �

'�� � �' � �

'

(d)������ �

� '�� �' ���

'�� �(e)

������ �

'�� ��� �' � � � �+' � � �

(f)������ �

' � � �� � ' � � �

(g)������ �

� � '� � � � '(h)

����� � �

� � ��� ! � � � ��

(i)������ �

' � � �' � � �,' ���

(j)������ �

� �7'��' � � � '

(k)������ � �

' � �� �6' � � � '

(l)������ �� � � 6' � �,' � �

'

(m)������ �� ' � � � �

'

(n)������ �

� � � '��

' � � � �(o)

������ �

� � � � ' � � '5! � ��� � � � ' � �7'5! �'

(p)������ �

' � � ' � �7'�� �' � � �

(q)������ � �

' � �� ' � �

(r)������ �

�� ��� � � � '5! ��� � �

(s)������ � � '�� � �� ' � �7� �

Page 132: calculo I

132 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

(t)������ � � '�� � � � � '�� �

� ' � ��� �(u)

������ �

' � �7'� ' � � '�� �(v)

������ � �

' � ���� ' � �

5. Calcule os seguintes limites laterais:

� ��!����

�� � �

� � � ��� � � � ' !' � �"!

����

�� � ���� � � ' ! � � !

����

�� � � 2 2 ' 3 3

6. Verifique se os seguintes limites existem:

(a)������ �

' � � �� '�� � �(b)

������ � � '��

�(c)

������ �

' � �' � �

'�� �(d)

�������

' � � � '�� � � '�� ' � � '

(e)� ���� � �

' � �'�� �

' � � � ' � �'�� � �

(f)�������

'�� ��� '�� �

(g)������ � � ��� � � '5! ��2 2 � � �$� '5! 3 3 !

(h)������ � � � � �$� '5! ��2 2 ��� � � ' ! 3 3 !

(i)����

�� � �'��� �'��

(j)����

�� � � 2 2 ' � 3 3

7. Calcule os seguintes limites no infinito:

(a)������ ���

� ' � � 6' ���' � � 6' � �

(b)������ ���

' � � �

� ' � �' � �

(c)������ � �

'�� � � ' �

' � � ' ���(d)

������ ���

'' � �

' ���

(e)������ ���

� ' � ���' � �

(f)������ � �

� ' � ���' � �

(g)������ ���

� ' � �� '' � �

(h)

������ ��� � '��

�' � ��� !

(i)������ � �

�� '

' � �

(j)������ ���

�� ' � � � '�� �� ' � � ' ���

(k)������ ��� � � ' ��� � � ' �

!

(l)������ ���

' � � �' � � �

(m)������ ���

' � � ' ����� ' � ���

(n)������ ���

� ' � � �' �

(o)������ ���

�' �

' � � (p)

������ ���

� '�� �� ' � � �

(q)������ ���

� '�� �7' �

' � ���(r)

������ ���

� '�� � �' � � '

(s)������ ���

� '' � � � ' �

Page 133: calculo I

3.9. EXERCÍCIOS 133

(t)������ ���

' � � ' ���' � �

(u)������ � �

' � � ' � � �' � � ' � � �

(v)������ � �

' � � �' � � ' � � ' � ���

(w)������ ���

� ' ��� �� ' � ���

(x)������ � �

� � � '� � ' �

! �

8. Calcule os seguintes limites infinitos:

(a)������ ���

' � � ' ���� ' � � ' ���(b)

����

�� � �' � �

'

' � � �(c)

����

�� � �' � � �

' � � � ' ���(d)

������ ��� � � �,' � ' � �7' � !

(e)������ � �6' � � �6' ����6' � � ' ���

(f)������ ���

� � '

(g)����

�� � ��7'

(h)����

�� � �� ' � �

'

(i)� ��

�� � �� ' �

' � � �

(j)����

�� � �� ' �

' � � �

(k)� ��

�� � �'�� �

'

' � � �6' � �(l)

� ��

�� � �' � � �

' � � �,' � �(m)

� ��

�� � �� � �$� '5!' � ��' �

(n)� ��

�� � �� �$� ' !

'(o)

� ���� � � �$� � ' � !

(p)� ���� �

��� � ' !' �

(q)����

�� � ���� � ' !

(r)������ �� ' �' � � � �$� ' !

(s)� ��

�� ��

' �� � � ' �

(t)����

�� � � � '���� '

(u)����

�� � �'�� �� '�� �

(v)� ��

�� �� ��

'��

9. Se � � ' ! �'�� e � � '5! � ' � �

� , calcule:

(a)������ � � �

� � !#� ' !(b)

������ � � � � � !#� '5!

(c)������ � � � � !#� ' !

(d)������ � � � � � � '5!

(e)������ � � �� � � '5!

(f)� ���� � � � � !#� ' !

(g)� ���� �

� � � � !#� '5!(h)

� ���� �

� ��� � !#� ' !(i)

� ��

�� � � � � � ��� � !#� ' !

(j)� ���� �� �$� � � � ' ! � !

(k)����

�� ����� ��� � � ' !� � ' ! �

(l)������ � ' � � ��� �� � '5! �

(m)������ � ' ��� � �� � '5! �

(n)������ � ' ��� ��� � �� � ' ! �

10. Calcule os seguintes limites:

(a)������ �

� � �$�' !

'

(b)������ �

' �� � �$� ' !

(c)������ �

��� �' !

� � �$� �,'5!

(d)����

�� �

� � � � �$� ' !� '���

Page 134: calculo I

134 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

(e)�������

� � �$� '5!'���

(f)������ ��� ' � � �$�

�' !

(g)������ �

'�� ��� � ' !' � ��� � ' !

(h)������ ��� � � � �

' ! � � �

(i)������ � � � � �

� ' � �(j)

������ � � � � � ' ! �

(k)������ �

� � � � �'

(l)������ �

� � � �'

(m)������ � � � �

'(n)

������ �

� � �' �

(o)������ �

� � � � � � �� � �$� � ' ! � � � �$� � '5! �� �� �

(p)������ � ' ��� � � � ' !

(q)������ �

��� �,� ' !' � � � � � '5!

(r)������ ��� � � � �

' ! � ��

(s)������ � � � � �

�' ! �

11. Calcule� ���� �� � ' ! � � � � !

'�� � e����� � �� � � � ��! � � � � !

� , se:

(a) � � ' ! � ' � � � �

(b) � � ' ! � ' � � � � � �

(c) � � ' ! �'�� �7' � � �

(d) � � ' ! ��� ' � � � � �

(e) � � ' ! � � ' � � �

(f) � � ' ! � ' � � �7' ! � � �(g) � � ' ! � ��� � � '5! � � (h) � � ' ! � � '��

! � � � �

(i) � � ' ! � � �$� ' ! � � �(j) � � ' ! � � � � � � �

12. Se � � � ' ! � � ��� ! � � � '�� ��� � , para todo ' �� �� , verifique que:� ���� �� � '5! � � � ��!

'���� � � .

13. Verifique que������ ��� �

�' � � '��

�'�� � ' ! � � 0

14. No problema 51 do capítulo II, foi visto que o custo para remover ' �de resíduos tóxicos

num aterro é dado por � � ' ! � � 0 � '� �,� �7' , � ��'-� � �,� .

(a) Calcule����

�� � � ��

� � ' ! .

(b) Interprete o resultado obtido.

15. Suponha que� �,�,� reais são investidos a uma taxa de juros anual de � �

e os juros sãocapitalizados continuamente.

(a) Qual é o saldo ao final de � � anos? E de � anos?

Page 135: calculo I

3.9. EXERCÍCIOS 135

(b) Que quantia deveria ser investida hoje a uma taxa anual de� �

de juros capitalizadoscontinuamente, de modo a se transformar, daqui a 20 anos, em

� �,�,�,� reais?

16. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bair-

ro, após � dias é dado por � � �4! �� �,�,�,�,�� � � � � �,� � � �

� �� .

(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.

(b) Esboce o gráfico de � .

17. Esboce o gráfico das seguintes funções:

(a) � ��

� ' ��� ! � ' � � � !(b) � � '

� ' ��� ! � ' � � � !(c) � �

�� '�� � ! � ' � ��� !

(d) ��� '� '�� � ! � ' � ��� !

(e) ����

� '��! � ' � � ! � ' � ��� !

(f) ��� ' �� '��

! � ' � � ! � ' � � � !

18. Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:

(a)�������

��� � � ' � � � �$� ' ! !

(b)������ �� � � '� ' ���

(c)� ��

�� � � ���� ��� ���

(d)������ �

�� � � ��� � '5!

(e)������ �

� � �$� '�� � � � �$� ��� � � ' ! ! !' � ���

(f)������ � � � � ��� � �,� ' ! � �� � � ' � � � ! �

19. Verifique se as seguintes funções são contínuas:

� � ! � � ' ! ��� � � � � �� � � ' ! � �#! � � ' ! � ��� � � � ' !

� � ! � � '5! � '' � � � � � ! � � ' ! � � � � �$� '5! �

� � ! � � ' ! � � � � � ' � ��� ! � ! � � ' ! � ��� � ' � � � !� � ! � � ' ! �

� � ' se '-� �� se '-� �

� � ! � � ' ! ��� � '�� � �

'�� � se ' �� �

� se '�� �

Esboce os gráficos correspondentes.

Page 136: calculo I

136 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

20. Seja � � ' ! � '�� � ' . Verifique que:

� ��! � � � ' ! � � � � ! ��� � ��� '�� � � se ��� '-�

� �"! � é contínua em�.

21. Determine o valor de � para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:

� ��! � � '5! ��� � '�����'

' se ' �� �� se '�� �

, no ponto '�� � .

� �"! � � ' ! ��� � ' � � �

'�� se ' ��

� se '�� , no ponto '��

.

� � ! � � ' ! ��

' � � � se '-� � �� � se '-� � � , no ponto '�� � � .

� � ! � � '5! ��� �

se ')���� � � ' se ')��� , no ponto '�� � .

� � ! � � '5! ��� � � � � �

' se ' �� �� se '�� �

, no ponto '�� � .

� � ! � � ' ! ��� �7' � ' � se � ���� � '�� se '-� � , no ponto '�� � .

22. Verifique se as seguintes funções são contínuas.

� ��! � � '5! ��� � � � �$� '5!

' ' �� �� '�� �

� �"! � � ' ! �

����� ����� '�� � 6' � � �' � � 6' � � ' �� �

� '�� �� '��

� � ! � � ' ! ��� � � � '� �7' � ' �� �� '�� �

� � ! � � ' ! �

����� ����� �7'�� ')� � �� �$� � ��'��/! � � ��'-� �� '�� �

' ��� ')� �

� � ! � � ' ! �

���� ���� � � ' � �

! ')� �

��� 6' � � '-�

'��

')�

� � ! � � '5! �� ��� � � � � �� ��� � � � � �

� � ! � � ' ! ��� � 2 2 ' �

3 3 '-���

� ' ��� ! � � �' '-���

23. Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:

Page 137: calculo I

3.9. EXERCÍCIOS 137

(a) � � '5! � � � � ��� � ��� � � ' ! � � � �$� ' !' � � ' � ��� �

(b) � � '5! � ��� � � � �$� '� � �' � ! !

(c) � � '5! � ' � � ' � �7' � � �� � � � ' � � � !

(d) � � ' ! � � � � � � '��/! � � �$� '�� ��� !' � � � � ��� � '5!

(e) � � ' ! �� � � � � � � � � � � �� ' � � �1!#� � � � � !

(f) � � ' ! ���� � � 2 2 ' 3 3 !

2 2 '3 3

24. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:

(a) ' � � '�� � �,'�� � ���(b) ��� � � '5! � '�� �(c) � � �$� '5! �7' ��� � �

(d)� � � '�� ���

(e) ' � ��' � � ' � ���(f) ' � � ' � ��� � �

25. Seja � � ' !$� � �7' � � � � �' � , ' �� � . Como escolher o valor de � � � ! , para que a função � sejacontínua em '�� � ?

26. Sendo � � ' ! � � � � ��� � �'�� � � , ' �� �

, é possível escolher o valor de � � � ! tal que a função �seja contínua em '�� �

?

27. Determine � � � ! de modo que as seguintes funções sejam contínuas em '�� � :

(a) � � ' ! �� � ��� � � '5!

' � ; (b) � � '5! � ' � �$� ' � � ! �7' � �$� '�� � ! ;c) � � ' ! � ' ��� ��� � '5! .

28. A função sinal de ' é definida por: � � �$� ' ! �

��� ��� se ')� �� se '�� �

� � se ')� � 0

Verifique se � � '5! � � � �$� ' ! e � � ' !$� ' � � �$� ' ! são funções contínuas.

29. Dê um exemplo de duas funções descontínuas cuja soma seja contínua.

30. Verifique que a equação '�� ��� � ' ! tem uma infinidade de raízes reais.

31. Seja � � ' ! � ' �� � � � �$� �' ! �

. A função � atinge o valor

� no intervalo 2 � � � 3 ? Justifiquesua resposta.

Page 138: calculo I

138 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

32. Uma esfera oca de raio � está carregada com uma unidade de eletricidade estática. Aintensidade de um campo elétrico � � '5! num ponto � localizado a ' unidades do centroda esfera é determinada pela função:

� � '5! �

���� ���� se � � ')� ��' � se '�� �

' � � se ')� � 0

Verifique se a função � � � � '5! é contínua. Esboce o gráfico de � .

33. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar osurgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamenteligada e, é definida por:

� � �4! ��

� se � ���� se � ���

(a) Discuta a contínuidade de � � � ! � � � ��� � � ! e de � � � !$� � � � � �$� � ! ! . Esboce os respec-tivos gráficos em 2 �� 3 .(b) A função � � �4! � � � � � � ! ( � ��� ) é chamada rampa e representa o crescimento gradualna voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de � e esboce seugráfico para � � � �

.

(c) Verifique que � � � � ! � � � � � � ! .

(d) Se � � � !$��� � �4! se � � ��� �� � �4! se ��� � , verifique que � � �4! � � � � � � � �4! ! � � � ! � � � � �4! � � � ! .

34. A aceleração devida a gravidade�

varia com a altitude em relação à superfície terreste.�

é função de � (a distância ao centro da terra) e, é dada por:

� � � ! �� ��� �

� � se ��� ����� se ��� �

onde � é o raio da terra, � a massa da terra e � a constante gravitacional. Verifique se�

é contínua. Esboce o gráfico de�

.

35. Seja ���2 � � 3 ��� 2 � � 3 contínua. Verifique que existe ' � �2 � � 3 tal que � � ' � ! � ' � .

36. Sejam � � � 2 ����43 ��� � contínuas tais que � � � ! � � � � ! e � � �"! � � � �"! . Verifique que existe' � 2 ����43 tal que � � ' � ! � � � ' � ! .

Page 139: calculo I

3.9. EXERCÍCIOS 139

37. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, � minutos após a introdução deuma toxina é dada pela função:

� � �4! ��� � � � se � ��� � � � � � se � � 0

Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum momento entre � � �e � � � .

38. Verifique que a função ��� �&� � � definida por � � ' !$� � �� � � � �$� �'5! �

assume o valor� � .

Page 140: calculo I

140 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

Page 141: calculo I

Capítulo 4

DERIVADA

4.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve avariação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremosa definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funçõesderiváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.

4.2 Reta Tangente

Seja:

��� ��� �

uma função definida num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião deintervalos abertos, ou ainda, tal que para todo intervalo aberto � que contenha ' � , se tenha:� � � � %(' � .6! ���� .Considere � � � ' � � � ' � ! ! e � � � � ' � � � ' � ! ! ( � � � �

0 0 0 0 0 0 ) pontos no gráfico de � , � �� � � ;

seja � � a reta secante que passa por � e � � ; seu coeficiente angular é:

� ��� � � '���! � � � ' � !' � ��' � 0

Fixemos o ponto � e movamos � � sobre o gráfico de � em direção a � , até um ponto � � �� ' � � � ' � ! ! tal que � � �� � ; seja � � a reta secante que passa por � e � � ; seu coeficiente angularé:

�� � � � ' � ! � � � ' � !

' � ��' � 0

Suponha que os pontos � � ( � � � � 0 0 0 0 0 0 ) vão se aproximando sucessivamente do ponto �

(mas sem atingir � ), ao longo do gráfico de � ; repetindo o processo obtemos � � � � � � "0 0 0 , retassecantes de coeficientes angulares � �( �

� � � "0 0 0 , respectivamente. É possível provar, rigoro-

samente, que quando os pontos � � vão se aproximando cada vez mais de � , os � � respectivos,variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por � � � .

141

Page 142: calculo I

142 CAPÍTULO 4. DERIVADA

P

x x x x x

QQ

QQ

rr

r

r

f(x)

n1

23

n 3 2 10

n3

2

1

Figura 4.1:

Definição 4.1. A reta passando pelo ponto � e tendo coeficiente angular � � � , é chamada reta tangenteao gráfico de � no ponto � ' � � � ' � ! ! .

Se

� � � �� ���� � �� � '5! � � � ' � !

'��7' �

existe, fazendo a mudança � � '�� ' � , temos:

� � � �� ��� � �� � ' � � � ! � � � ' � !

� 0

Como ' � é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente aográfico de � para qualquer ponto � ' � � ' ! ! :

� � �� ��� � �� � ' � � ! � � � ' !

Assim, � � só depende ' .

Definição 4.2. Se � for contínua em ' � , então, a equação da reta tangente ao gráfico de � no ponto� ' � � � ' � ! ! é:

� � � � ' � !$� � � � � '��7' � !se o limite existe,

Exemplo 4.1.

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! � � �7' � , no ponto � � ! .

Page 143: calculo I

4.2. RETA TANGENTE 143

Denotemos por � � o coeficiente angular da reta tangente à parábola � �� �7' � passando peloponto � � � � � ! !�� � � ! . Seja � � � � ! e � � � ' � �� � '��� ! pontos da parábola; o coeficienteangular da reta secante à parábola passando por � e � é:

����� � � � ' � ! � � � � !' � � � � � � ' � ��� ! 0

Q

1

P

x0

Figura 4.2:

Do desenho, é intuitivo que se � aproxima-se de � ( ' � aproxima-se de � ), os coeficientes angu-lares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

� �+������ � � �

����� � � � 0

A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � � ! é � �

� � � � '�� � ! ou, equivalen-temente, � � � '�� .

-1 1 2

1

2

3

4

Figura 4.3: Reta tangente a � � � ��'�� , no ponto � � ! .[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! �

�' , no ponto � ��

� ! .

Seja � � o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função � ��' passando pelo ponto

��� � ! . Seja � � �

�� � ! e � � � ' �

�' � � pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à

Page 144: calculo I

144 CAPÍTULO 4. DERIVADA

curva passando por � e � é:

� ��� �� � ' � ! � � � �� �

' � ���

� ��' � 0

1/2 0

P

Q

x

Figura 4.4:

Novamente do desenho, é intuitivo que se � aproxima-se de � � ' � aproxima-se de�� � os coe-

ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

� � �����

� � � ������ � � ��0

A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � �� � ! é � � � � � � � '�� �

� ! ou, equivalen-temente, � � � '�� � .

0.5

4

Figura 4.5: Reta tangente a � � �� , no ponto � �� � ! .

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' !�� ' � � ' � � , no ponto � � � ! .Utilizemos agora diretamente a definição:

� ��� � �� � � � �4! � � � � !

� ������ � �� � � � �

� � � !

� ������ � � � � � �

� � � !$� � 0

Page 145: calculo I

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 145

Logo � ��� �. A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � � � ! é � � � '�� � � .

-2 -1 1 2

1

2

3

Figura 4.6:

Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de � no ponto � ' � � � ' � ! ! é:

� � � � ' � ! � ��

� � � � '��7' � � se � � � �� �

4.3 Funções Deriváveis

Definição 4.3. Seja ��� � � � uma função definida num domínio que pode ser um intervalo abertoou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, tal que para todo intervalo aberto � que contenha ' � ,se tenha: � �7� � %(' � .6! ���� . � é derivável ou diferenciável no ponto ' � quando existe o seguintelimite:

�� � ' � !$�

������ � �� � ' ! � � � ' � !

'��7' �

Fazendo a mudança � � '��7' � , temos:

�� � ' � ! �

����� � �� � ' � � � ! � � � ' � !

� 0

� � � ' � ! é chamada a derivada de � no ponto ' � . Como ' � é um ponto arbitrário, podemoscalcular a derivada de � para qualquer ponto ') � � � � ! ;

�� � ' ! �

����� � �� � ' � �4! � � � '5!

Assim � �

é função de ' e � � � ' � ! �� .

Definição 4.4. Uma função � é derivável (ou diferenciável) em� ��� , se é derivável ou diferenciável

em cada ponto '- �.

Outras notações para a derivada de � � �5� ' ! são:� �� ' ou � � .

Page 146: calculo I

146 CAPÍTULO 4. DERIVADA

Exemplo 4.2.

[1] Calcule � � ��� ! e � � � � ! , se � � ' ! � '�� .

�� � ' ! �

����� � �� � ' � �4! � � � '5!

� �� ��� � �

� ' � � ! � ��' �� �

����� � � � � ' � �4! � � ' 0

Logo, � � ��� ! �

�� e � � � � ! � � .

[2] Calcule � � ��� ! se � � ' ! � � � �7' � .

�� � ' !$�

� ��� � �

� � � � ' � �4! � � � � ��' �� �

����� � � �

� ' � �� � ��� ' � � ! � � � � � ' �� � '

� � �7' � 0

Logo, � � ��� ! � � �

.

[3] Calcule � � � � ! se � � ' ! � � ��' � .

�� � ' ! �

����� � �� � ' � � ! � � � '5!

� �� ��� � � � �5� � � � ' !

� ������ � � � � � � � ' !$� � � ' 0

Logo, � � � � !$� � �.

[4] Calcule � � ��� ! se � � ' ! �

�' .

�� � '5! �

����� � �� � ' � � ! � � � ' !

� ������ � �

�' � � �

�'

� ������ � �

� �' � � ' � � �

�' � 0

Logo, � � ��� ! � � � .

Interpretação Geométrica

A função � �� � %(' � .6! � � � , definida por

� � ' ! � � � '5! � � � ' � !'�� ' �

representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de � passandopelos pontos � ' � � � ' � ! ! e � ' � � '5! ! . Logo, quando � é derivável no ponto ' � , a reta de coefici-ente angular � � � ' � ! e passando pelo ponto � ' � � � ' � ! ! é a reta tangente ao gráfico de � no ponto� ' � � � ' � ! ! . Se � admite derivada no ponto ' � , então, a equação da reta tangente ao gráfico de� no ponto � ' � � � ' � ! ! é:

��� � � ' � ! � � � � ' � ! � '��7' � !

A equação da reta normal ao gráfico de � no ponto � ' � � � ' � ! ! é:

� � � � ' � ! � ��

� � � ' � ! � '��7' � ! se �� � ' � ! ����

Page 147: calculo I

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 147

Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de � � � � ' ! .

Exemplo 4.3.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de � � ' ! � ' � ��� , noponto de abscissa ' � � � .Se ' � � � então � � ' � ! � �

; logo, a reta tangente passa pelo ponto � � � ! e seu coeficiente angularé � � � � ! . Temos:

�� � '5! �

����� � �� � ' � �4! � � � ' !

� ������ � �

� ' � � ! � � � � � '�� ��� !� � � ' 0

� � � � ! � �e as respectivas equações são: � � � '���� e

� � � '�� � � .

-1 1

1

2

3

Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de � � � � ' ! .

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! � � ' que seja paralela à reta� '�� � � � � � .

Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto � ' � �� � ! e do coeficienteangular � � � ' � ! . Neste problema, temos que determinar um ponto. Sejam � � a reta tangente,� a reta dada, � � e � os correspondentes coeficientes angulares; como � � e � são paralelas,então � � � � ; mas � � �

e � � � � � � ' � ! , onde ' � é a abscissa do ponto procurado; como

�� � ' � ! �

�� � ' �

, resolvendo a equação � � � ' � ! � �, obtemos ' � �

�� � e � ��� � !��

�� ; a equação é� � '�� � � ��� � � .

Page 148: calculo I

148 CAPÍTULO 4. DERIVADA

1 2

1

Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de � � ' ! � � ' paralela à reta� '�� � � � � � .

[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de � � ' ! � ' � � � que sejam perpen-diculares à reta � � '�� � .

Sejam � � a reta tangente, � a reta dada, � � e � os correspondentes coeficientes angulares; como� � e � são perpendiculares, então � � � � � � ; mas � � � � e � � � � � � ' � ! , onde ' � é a abscissa doponto procurado; resolvendo a equação � � � ' � ! � � , temos � � � ' � ! �&' �� e ' � � � � ; as equaçõessão:

� �

' � � � e

���

' ��� � � .

Figura 4.10:

Teorema 4.1. Se � é derivável em ' � então f é contínua em ' � .

Para a prova veja o apêndice.

Exemplo 4.4.

Seja � � '5! � � ' � . � é contínua em todo � ; em particular em ' � � � . Mas a derivada de � em �não existe; de fato:

�� � � !$�

������ �� � ' ! � � � � !

' ������� �� ' �' 0

Calculemos os limites laterais:

Page 149: calculo I

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 149

������ �����

����

�� � �� ' �' �

������ � � '' � � �

����

�� ��

� ' �' �

������ � � � '' ��� � � 0

Logo, � � � � ! não existe. Para ') �� � %/� . , � � � '5! existe e:

�� � '5! �

� � se ')���� � se '-��� 0

Do teorema segue que não existe a derivada de � no ponto ' � se � é descontínua no ponto ' � .Também não existe a derivada de � no ponto ' � nos eguintes casos:

i) Se existe "quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissa ' � , como no ponto ' � � �do exemplo anterior.

ii) Se � é contínua em ' � e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa ' � .Neste caso,

������ � � � � � � '5! �1� � .

Figura 4.11: Funções não deriváveis.

Exemplo 4.5.

[1] Seja � � '5! ��� � '�� � � �$�

�' ! se ' �� �

� se '�� � 0

�� � � ! �

������ �� � '5! � � � � !

'���� ������� � � ' � � �$�

�' ! ! ��� �

logo, a derivada em � existe; então, � é contínua em � .

[2] � � '5! � �� ' é contínua em todo � e não é diferenciável em '���� . De fato:

�� � � !$�

������ �� � ' ! � � � � !

'�� � ������� �

��� ' �

� � � 0

Page 150: calculo I

150 CAPÍTULO 4. DERIVADA

-2 -1 1 2

-1

1

Figura 4.12: Gráfico do exemplo [2].

4.4 Regras de Derivação

[1] Se � � '5! � � , então � � � ' ! � � .

[2] Se � � '5! � � ' � � � � ��� �� e � �� � , então � � � ' ! � � .

De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto;logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,

� � ' � �4! � � � '5!� �

� �� � � 0

[3] Se � � '5! � ' � ; �� �� , então � � � ' ! � � ' � � � .De fato: � � ' � � ! � � � ' !$� ' � � � � � ' � � � � �5� � ��� � � �� ' � � � � 0 0 0 0 0 � � � � �"! ! �7' � e:

� � � ' ! ������ � �� � ' � � ! � � � ' !

� �� ��� � �

� ' � � ! � � ' �� �

����� � �� � � ' � � � � � � � ��� � � �� ' � � � � 0 0 0 0 0 � � � � � � �

�� � ' � � � 0

Proposição 4.1. Sejam ��� � � ' ! e � � � � '5! funções deriváveis; então:

1. Regra da soma: As funções � � � são deriváveis e

� � � � ! � � ' ! � � � � '5!�� � � � '5!

2. Regra do produto: A função � � � é derivável e

� � � � ! � � '5! � � � � '5! � � � '5! � � � '5! � � � � '5!

3. Regra do quociente: A função�� é derivável, e� �

� � �

� '5! � � � � '5! � � � '5! � � � ' ! � � � � '5!� � � '5! ! � se � � ' ! �� �

Page 151: calculo I

4.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO 151

Veja as provas no apêndice.

Da regra do produto temos: � � � � '5! ! � � � � � � '5! , para toda constante�

. Da regra do quociente,temos: se � � '5! � ' � �' �� � , com ����� , então � � � '5! � � ' � � � .

Exemplo 4.6.

[1] Calcule � � � ' ! , sendo � � ' ! � ' � �' ���

' � ; ' �� � .

Note que: � � ' !$� ' � � � ' � � � ' � � , temos:

� � � ' ! � � ' � � � ' � � � ' � � ! � � � ' � � � � � ' �� � 6' � � 0

[2] Calcule � � � ' ! sendo � � '5! � � ' � � � ' ��� ! � � '�� �! .

Aplicando diretamente as regras:

� � � ' ! � � � ' � � � ' ��� ! ! � � � ' � �! � � ' � � � ' ��� ! � � � ' � �

! ! �

e � � � '5! � � � ' � � � � '�� � � ' � � .[3] Calcule � � � ' ! , sendo � � ' ! � '�� � '

' � ��� .

� � � ' ! � � '�� � '' � ��� �

� � '�� � ' ! � � ' � ��� ! ��� '�� � '5!#� ' � ��� ! �

� ' � ��� ! � �

logo, � � � '5! � � ' � � � ' � � � ' ���� ' � ��� ! � �

� �7'��� ' � �7' ��� ! � .

[4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de:

(a) � � '5! � ' � �' que passa pelo ponto �

(� � ! .

(b) � � ' ! � ' � �7' , paralelas à reta � � � '�� � .

(a) O ponto dado não pertence ao gráfico de � . Por outro lado a equação da reta tangente aográfico de � no ponto � ' � � � ' � ! ! é � � '5! � � � ' � ! � � � � ' � ! � '7��' � ! , onde � � � ' � ! � � ' � �

e

� � ' � ! � '��� �' � . O ponto �

(� � ! pertence à reta tangente, logo, obtemos:

� � � �5�!$� ' �� �

' � � � � ' � �

!#�

�7' � ! � � ' �� � � ' � � � 0

Resolvendo a equação, obtemos: ' � � � e ' � � . Então, as equações obtidas são � � ' ��� � �e � � � ' � � � � .

(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto ' � é �� � ' � ! �

' �� � � e deve ser igual ao

coeficiente angular da reta dada; então' �� � � � �

; logo, ' � � � � . As equações das retastangentes são � � � ' � � ��� e � � � '�� � � � .

Page 152: calculo I

152 CAPÍTULO 4. DERIVADA

3

-4

-1 1

Figura 4.13: Gráficos do exemplo [4].

4.5 Derivada da Função Composta

Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: � � ' !�� � ' � � ' � � � ! � � � �com as regras

dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regrada soma ou escrever como produto de � �,�,� polinômios e usar a regra do produto. Comoambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja � � '5! � ' � � � �

e � � '5! � ' � � ' � ��� ; é claro que � � '5! � � � � � !#� ' ! . Logo, se soubermos derivar a compostade funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma funçãocomposta ��� � em termos das derivadas de � e � , que são mais simples.

Teorema 4.2. Regra da CadeiaSejam � e � funções, tais que � � � esteja bem definida. Se � é derivável em ' e � é derivável em � � ' ! ,então ��� � é derivável em ' e:

� ��� � ! � � '5! � �� � � � ' ! ! � � � � '5!

Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se � � � � '5! e ' � � � � ! , nas hipóteses doteorema, temos que:

� �� � �� �� '

� '� �Para a prova, veja o apêndice.

Aplicação: Seja � � ' !$� � � � '5! ! � , onde �� � . Então: �� � '5! � � � � � '5! ! � � � � � � ' ! .

Exemplo 4.7.

[1] Calcule � � � ' ! se � � ' !$� � ' � � ' � ��� ! � � � �.

Neste caso � � '5! � ' � � ' � ��� ; logo, � � � ' ! � � ' � � � ' � e �-� � �,�,� ; então:

� � � ' !$� � � � � ' ! ! �� � �

! � � � �,�,� � � � '5! !� � � � � � '5! � � �,�,� � '

� � ' � � � ! � � � � � ' � � � ' � ! 0

[2] Calcule� �� � se � � � � ' !$� ' � � ' ��� e '�� ' � � !$� � � � � .

Page 153: calculo I

4.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 153

Pela regra da cadeia:� �� � �

� �� '� '� � � � �5�

' � ��� !$� � � � � � ��� ! � � � � 0

[3] Seja � uma função derivável e � � ' !+� � � '�� � � ! . Calcule �� � � ! se �

� � � !$� .Observemos que � � '5! � � � � � !#� ' ! , onde � � '5!�� ' � � � ; pela regra da cadeia: �

� � ' ! ��

� � � � ' ! ! � � � '5! , e � � � '5!7� � ' . Logo, �� � ' !7� �

� � '�� � � ! � ' . Calculando a última expressãoem '�� � , temos que: �

� � � !+� � � � � � ! � � � .

[4] Se � � � � � ��� � e ��� � '�� � � , calcule� �� ' .

Pela regra da cadeia:� �� ' �

� �� �� �� ' � � ' �

� � � � �5! � � ' �

� � ' � � � ! � � � � � ' � � � ! !

� � � � � ' � � � ' � � ' !��ou, fazemos a composta das funções:

� � � � � � � � � � � ' � � � ! � � � � ' � � � ! � � e �� � � � � � ' � � � ' � � ' ! 0

[5] Determine � � � � ! se � � ' ! � � � � � � � '5! ! ! , � � � !$� � e �� � � ! � �

.

Pela regra da Cadeia: � � � ' ! � � � � ' ! � � � � � ' ! ! � � � � � � � ' ! ! ! ; logo, � � � � !+� � .Teorema 4.3. Função InversaSeja � uma função definida num intervalo aberto � . Se � é derivável em � e � � � ' ! �� � para todo '7 � ,então � possui inversa � � � derivável e:

� � � � ! � � ' !$��

� � � � � � � ' ! !Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida dire-tamente da regra da cadeia. De fato, � � � � � � !#� ' ! � ' para todo ' � . Derivando ambos oslados, temos que:

� � � � � � ! � � ' ! � � � � � � � � ' ! ! � � � � � ! � � ' !$� � 0Exemplo 4.8.

[1] Seja � � ' ! � ' � �' � � ; logo sua inversa é � � � � ' ! � � ' e � � � ' ! � � ' �� � se ' �� � ; logo,� � � � � � � '5! ! � � � ' . Aplicando o teorema:

� � � � ! � � ' ! ��

� � ' �' �� ��0

[2] Seja � � ' ! � '�� ; logo sua inversa é � � � � '5! � �� ' e � � � '5! �' � �� � se ' �� � ; � � � � � � � ' ! !�� �� ' � . Aplicando o teorema:

� � � � ! � � ' ! �� �� ' �

' �� � 0

Page 154: calculo I

154 CAPÍTULO 4. DERIVADA

[3] Se �� � , então: � �� '5! � � ' �� � ��

, para todos os valores de ' tais que �� ' seja definida.

De fato, seja � � ' !���' � ; para � par, ' � � e para � ímpar, ' não tem restrições; a inversa de � é� � � � '5! � �� ' e � � � ' !$� � ' � � � ; � � � ' ! ���� se ' ���� . Aplicando o teorema, temos:

� �� '�� �

� � � � � � '5! ! � ��

� � � � � � � ' ! ! � ' �� � ��

0

Em geral, pela regra da cadeia, se � � � � ' ! é uma função derivável e � � '5! � � � � ' ! ! � , � �;

então, �� � '5! ���� � � '5! ! ��� � � � � ' ! .

[4] Calcule � � � '5! , se � � '5! � � ' � ��� . Escrevemos � � � � � , onde � � '5! � � ' e � � '5! � '�� � � ;logo, �

� � '5! ��

� � ' e �� � ' ! � � ' ; então: �

� � ' !$� �� � � � '5! ! � � � ' !$� '

� ' � � � .

[5] Determine � � � � ! , se � � ' ! � � � ' ! �� � � ' ! ��� , � � � !$� � e �

� � � ! � � . Pela regra da cadeia:

�� � '5! �

� � � ' ! � � � � � '5! !� ��

� � ��� � ' ! ! � �

logo, � � � � !$� � .4.6 Derivadas das Funções Elementares

4.6.1 Função Exponencial

Seja �� �� tal que ����� �� � e � � ' ! ��� � Então,

� � � '5! � � �$� � ! � �

De fato, � � � '5! ������ � �

� � � � ��� �� � � �

����� � �

� � � �� � � �$� ��! � � . Em particular, se ��� � , temos :

� � � ! � � � �

Seja � � � � ' ! uma função derivável e considere a função: � � ' ! � � � � � �Então:

� � � ' ! � � �$� ��! � � � � � � � � ' !

De fato, � � � � � � � � � � � � � � � �; usando a regra da cadeia para � � ' !�� � � e � � '5! � � � '5! � �$� ��! , temos

que � � '5!$� � � � � !#� '5! ; então �� � ' !+� � � e �

� � � � '5! ! � � � � � � � ��� � � ��� � � � �e � � � ' ! � � � � ' ! � �$� ��! ; logo,

em particular,

� � � � � � ! � � � � � � � � � � '5!O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função

� � � ! � � � � � � � � �� � !

Page 155: calculo I

4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 155

tem a propriedade � � � � ! � � � � �4! , isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, istoé o que caracteriza a função exponencial. Nos desenhos, a função exponencial em azul e suaderivada em vermelho; para � ����� � e ��� � , respectivamente:

Figura 4.14:

Exemplo 4.9.

[1] Seja � � �� �

.

Fazendo � � ' ! � � ' , temos �� � � � � � � � ! � � � � � � � � � � ' ! � ��� �

�� � .

[2] Seja � � � �� � �� .

Fazendo � � ' ! � �� , temos �� � � � �$� � ! � �� � �

� � � � ' ! � � �$� � ! � �� � �� �� .

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função ��� � � � no ponto de abscissa � .Derivando �

� � � � ' � � � ; � � � � !7� � � � � � e �5� � !�� � � � ; logo, a equação da reta tangentepassando pelo ponto � � ��5� � ! ! , é � � � ' � � � �

� � � � � .

4.6.2 Função Logarítmica

Seja � � tal que � � � �� � e � � '5! � � � � � � ' ! . Usando o teorema da função inversa para� � � � � e � � ' ! ��� � , temos que:

� � � ' !$� � � � � � � !'

De fato, � � � ' ! � ���� � � � � � � � � � �� � � � � � �

� � � � � � �� . Em particular, se ��� � :

� � �$� '5! ! � ��'

Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de � � '5! � � � � � � � � ' ! ! onde � � ' ! ��� é umafunção derivável. Em tal caso:

� � � '5! � � � � � � � ! � � � '5!� � '5!

Page 156: calculo I

156 CAPÍTULO 4. DERIVADA

Em particular, se � � � :

� � �$� � � ' ! ! ! � �� � � ' !� � '5!

1 1

Figura 4.15: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para ��� � � � e �-� � ,respectivamente.

4.6.3 Aplicações

Para todo � � , se � � ' ! � ' � , '�� � ; então, � � � '5! � � ' � ! � � � ' ��� � . De fato, seja � � � � '5! .Aplicando logaritmo à expressão � � � � '5! � ' � : temos, � �$����! � � �$� � � ' ! ! � � � �$� ' ! . Derivando,temos

� � �$��� ! ! � � � � � '5!� � ' ! � �

� �

ou seja,�

� � �' ; logo,

�� � � � � ' � � � ' �

' �� ' ��� � 0Em geral, se � � ' ! � � � � ' ! ! � , onde � � '5! ��� e � �� , temos:

� � � '5! ���� � � '5! ! ��� � � � � ' ! 0Seja � � � � � '5! ! � � � �

, onde � � '5! ��� . Aplicando logaritmo à expressão � � � � � ' ! ! � � � �; temos que,

� �$����! � � � ' ! � �$� � � ' ! ! . Derivando, temos:

��

� � � � � '5! � �$� � � ' ! ! � � � � ' ! � � ' !� � ' ! e �

� � ' ! � � � '5! � � � � '5! � �$� � � ' ! ! � � � � ' ! � � ' !� � '5!

� 0

Então, se � � � � � ' ! ! � � � �:

�� � � � � '5! ! � � � � � � � � ' ! � �$� � � '5! ! � � � � '5! � � '5!

� � ' !�

Page 157: calculo I

4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 157

Exemplo 4.10.

[1] Calcule a derivada de ���� ' � ' � � � � �� ' � , '-��� .

Aqui �7� �� , �7� �� e �7� �� , respectivamente; logo: �

� � �� ' � � � 6' � � � �� ' � �� .

[2] Calcule a derivada de ��� � ' �� �

� ' � � ' ��� ! � .

Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

� �$����! � � �$� � ' ! � � �$� �� � ! � � � �$� ' � � ' ��� ! � � �$� '5!� � � '�� � � �$� ' � � ' ��� ! 0

Derivando: �

� �� �� ��

� � � �� � �� � � � � ,logo:

�� � �5� ' ! � �� '

� �� � ' �

� ' � �' � � ' ��� ��� � ' �

� �

� ' � � ' ��� ! � ��

� '� �

� � ' �� ' � �

' � � ' ��� � 0[3] Calcule a derivada de ��� ' � ')��� .

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

� �$����!$� ' � �$� ' ! . Derivando:�

� � � �$� '5! ��� e,

�� � � � '5! � � �$� ' ! ��� !$� � � �$� ' ! ��� ! ' � 0

[4] Calcule a derivada de ��� '� � '-��� .

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

� �$����!$� � �$� ' ! � ' . Derivando:�

� � � �$� '5!� � '� �� ' , logo:

�� � �5� ' ! � � �$� '5!� � '

� �� ' � ��� � �$� '5! � �

� � ' �5'� � 0

[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � '5! � ' � , ( ' ��� ) no ponto de abscissa' � � � .Aplicando logaritmo a ambos os lados de ��� ' � , temos que: � �$��� !�� ' � � �$� '5! ; derivando,obtemos �

� � ��� � ' � �$� ' ! � '5! � ' � � � � � � �$� ' ! ��� ! ; � � � � ! � � e a equação da reta tangente é� �7'�� � .

1

1

Figura 4.16: Gráfico de � � ' ! � ' � .

Page 158: calculo I

158 CAPÍTULO 4. DERIVADA

[6] Seja � � ' !$� � �$� ' ! . Sabendo que � � � � !$� � , verifique que:����� � � � � � � ! �

� � � .

�� � � ! �

����� � �� � � ��� ! � � � � !

� ������ � �� �$� � � � !

� �� ��� � � � �$� � � � � ! �

� ! � � � � ��� �� � � � � ��� ! �� � �

então, � � � � � ��� �� � � � � ��� ! �� � ; logo:

����� � � � � � � ! �

� � � .

Tabela

Sejam � � ' ! , � � ' ! funções diferenciáveis e�

uma constante. Se:

[1] � � �, então �

� � � .

[2] � � ' , então �� � � .

[3] � � � � � ' ! , então �� � � � � � '5! .

[4] � � � � ' !�� � � ' ! , então �� � � � � '5! � � � � ' ! .

[5] � � � � ' ! � � � ' ! , então �� � � � � ' ! � � � ' ! � � � '5! � � � � '5! .

[6] � � � � ' !� � '5! � � ' ! �� � , então �

� � � � � '5! � � � '5! � � � ' ! � � � � '5!� � � '5! ! � .

[7] � � � � � � �, então �

� � � � � � � � � �$� � ! � � � � ' ! .

[8] � � � � � � �, então �

� � � � � '5! � � � � �

[9] � � � � � � � � � ' ! ! , então �� � � � � � � � ! �

� � ' !� � ' ! .

[10] � � � �$� � � '5! ! , então �� � � � � ' !

� � ' ! .

[11] � � � � � ' ! ! � , � �� , então �� ���� � � '5! ! ��� � � � � ' ! .

[12] Seja � � � � � '5! ! � � � �, onde � � ' ! ��� , então �

� � � � � ' ! ! � � � � � � � � '5! � �$� � � ' ! ! � � � � ' ! � � ' !� � '5!

� 0

4.6.4 Funções Trigonométricas

Se ��� � � �$� '5! , então � � �$� ' � � ! � � � �$� ' ! � � � � �$� �5! ��� � � ' � � ! , onde ��� �� . Logo:

�� � '5! �

� ��� � �� � �$� ' � � ! � � � �$� ' !

� �� ��

� � �� � �$� � ! ��� � � ' � � !

� �����

� � �� � �$� �5!�

��� � � ' � � ! � ��� � � '5!

onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se � � ��� � � ' ! , sabendo que��� � � '5! � � � �$� � � �7' ! e utilizando a regra da cadeia com � � ' ! � � � ' , temos:

Page 159: calculo I

4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 159

�� � ��� � � � � ' ! ! � � � '5! � � ��� � � � �7'���� � � � �$� '5! 0

Se ��� ��� � '5! , sabendo que ��� � ' ! � � � �$� ' !��� � � ' ! e utilizando a regra do quociente, temos:

�� �

��� � �1� ' ! � � � � �,� ' !��� � � � '5! � � � � � � ' ! 0

Se ��� � � �$� '5! , então �� � ��� � � ' ! .

Se ��� ��� � � ' ! , então �� � � � � �$� ' !

Se ��� ��� � '5! , então �� � � � � � � '5!

Se � � ��� ��� � '5! , então �� � � ��� � � � � � ' !

Se � � � � � � ' ! , então �� � ��� � '5! � � � � ' !

Se � � ��� � � � � '5! , então �� � � ��� ��� � ' ! ��� � � � � ' ! .

Tabela

Sejam � � ' ! , � � '5! funções diferenciáveis e�

uma constante. Se:

[13] Se � � � � �$� � � '5! ! , então �� � ��� � � � � '5! ! � � � '5! .

[14] Se � � ��� � � � � ' ! ! , então �� � � � � �$� � � ' ! ! � � � '5! .

[15] Se � � ��� � � � '5! ! , então �� � � � � � � � � ' ! ! � � � ' ! .

[16] Se � � ��� ��� � � � ' ! ! , então �� � � ��� � � � � � � � '5! ! � � � '5! .

[17] Se � � � � � � � � '5! ! , então �� � ��� � � � ' ! ! � � � � � � ' ! ! � � � � ' ! .

[18] Se � � ��� � � � � � � ' ! ! , então �� � � ��� ��� � � � '5! ! ��� � � � � � � ' ! ! � � � ' ! .

Exemplo 4.11.

[1] Se � � � � �$� � '5! , � �� .

Fazendo � � ' ! � � ' , temos � � � ' ! �� ; utilizando a tabela, temos que �� �� ��� � � � '5! .

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.

[2] Seja � � � � �� � � ' ! , onde � �� ���� %/� . .

Fazendo � � � � �� � � ' !7� � � � �$� � ' ! ! � , derivando como uma potência e usando o exercício

anterior, temos:

�� � � � � � �

� � � � � '5! ��� � � � '5! 0

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.

[3] Seja � � ��� � � � �$� ' ! ! .Fazendo � � ' ! � � � �$� ' ! , temos � � � ' ! � ��� � � ' ! ; logo, temos que �

� � ��� � � ' ! � � � � � � � �$� ' ! ! .[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de � � � � �$� ' ! que tenham o coeficiente angularigual a �

� .

Page 160: calculo I

160 CAPÍTULO 4. DERIVADA

Sabemos que se � � ' ! � � � �$� ' ! , então � � � '5! � ��� � � '5! ; logo, devemos resolver a equação � � � '5! ��� , ou seja, ��� � � ' ! � �

� , que tem soluções '���� � � � , onde� � . As equações são:

� ���' � � � � � � ! ��

� ��� se '�� � � � � � e

� ���' � � � � � � ! � � ��� se '�� � � � � � ��0

-3 3

1

Figura 4.17: Desenho para� � � .

[5] Determine os pontos onde o gráfico da função � � ' � � � � �$� ' ! possui reta tangente hori-zontal.

Devemos resolver a equação �� � � ou, equivalentamente, ��� � � '5! � �

�� ; logo, os pontos tem

abscissas '����� � � � ,

� �� .

Figura 4.18: Desenho para� � � .

4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas

Seja ���&� � � � � �$� ' ! . A função arco seno, definida para ' 2 � � � 3 é a função inversa da função� � ' ! � � � �$� ' ! , se � � ��'-� � . � � � ' !�� ��� � � '5! �� � se ' � � � � ! . Usando a fórmula do

teorema da função inversa, temos: se ��� � � � � ' ! ��� � � � � �$� ' ! , ou seja, � � �$����! � ' , então:

� � � � ! � � ' ! ��

� � � � � � � ' ! ! ��

��� � � � � � � � �$� ' ! ! ��

��� � ��� ! 0

Page 161: calculo I

4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 161

Mas, ��� � ��� ! �� � � � � � � ����! , pois �� � � � � ! . Então:

�� �

�� � � � � � � ����! �

�� � �7' �

se '- � � � � ! 0Seja ����� � � ��� � � ' ! . Como � � ��� � � ' !$� � ��� � � � � �$� '5! , temos: �

� � � � � � � � � �$� ' ! ! �

; logo,

�� � �

�� � �7' � se '- � � � � ! 0

Tabela

Sejam � � ' ! , � � '5! funções diferenciáveis e�

uma constante. Se:

[19] Se � � � � � � � �$� � � ' ! ! , então �� � � � � '5!� � � � � � ' ! .

[20] Se � � � � � ��� � � � � ' ! ! , então �� � � � � � ' !� � � � � � '5! .

[21] Se � � � � � ��� � � � '5! ! , então �� � � � � '5!� � � � � ' ! .

[22] Se � � � � � ��� ��� � � � ' ! ! , então �� � � � � � '5!� � � � � '5! .

[23] Se � � � � � � � � � � � '5! ! , então �� � � � � ' !� � � '5! � � � � � '5! � � � � � ' ! � � � .

[24] Se � � � � � ��� � � � � � � ' ! ! , então �� � � � � � ' !� � � '5! � � � � � '5! � � � � � ' ! ��� � .

4.6.6 Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvemexponenciais. Por exemplo, seja ��� � � �

� � ' ! � �� � � � � � � � ! ; derivando, temos: �

� � ��� � � � '5! 0

Tabela

Seja � � '5! derivável. Usando a regra da cadeia, temos:

[25] Se � � � � �� � � � ' ! ! , então �

� � ��� � � � � � '5! ! � � � '5! .

[26] Se � � ��� � � � � � ' ! ! , então �� � � � �

� � � � '5! ! � � � '5! .

[27] Se � � ��� � � � � ' ! ! , então �� � � � � � � � � � ' ! ! � � � ' ! .

[28] Se � � ��� ��� � � � � '5! ! , então �� � � ��� � � � � � � � � '5! ! � � � '5! .

Page 162: calculo I

162 CAPÍTULO 4. DERIVADA

[29] Se � � � � � � � � � '5! ! , então �� � � ��� � � � � ' ! ! � � � � � � � ' ! ! � � � '5! .

[30] Se � � ��� � � � � � � � ' ! ! , então �� � � ��� ��� � � � � '5! ! ��� � � � � � � � ' ! ! � � � '5! .

Exemplo 4.12.

Calcule as derivadas ��

, sendo:

[1] � � � ��� � � � .Fazendo � � ' ! � ��� � '5! , temos � � � � � � �

; usando a tabela: �� � � � � '5! � � � � �

e �� � � � � � � '5! � ��� � � � .

[2] � � � �$� � �$� ' ! ! .

Fazendo � � ' ! � � �$� '5! , temos � � � �$� � � '5! ! ; logo: �� � � � � '5!

� � ' ! ��

' � �$� '5! .

[3] � � ' ��� ��� �' � . Então �� � ��� � � �' � � ' � ��� � � �' � �

.

Fazendo � � ' !���' , temos que ��� � � �' � � ��� � � � � '5! ! ; como � ��� � � �' � �

��' � �

� � � �' � , temos �� �

��� � � �' � ��' � � ��� �' � .

[4] � � ��� � � � � �$� '5! ! .Fazendo � � ' ! � � � �$� ' ! , temos � � ��� � � � � ' ! ! ; usando a tabela:

�� � � � � � ' ! � � �$� � � ' ! ! � � ��� � � ' ! � � �$� � � �$� '5! ! 0

[5] � � � � � ��� ��� �' � ! .

Fazendo � � ' ! �' � , temos � � � � � ��� ��� � � � ' ! ! ; usando a tabela:

�� � � � � � ' !� � � � � '5! � � �6'� � � ' � 0

[6] � � � � � ��� � �� ! .Fazendo � � ' ! � �� , temos ��� � � � ��� � � � ' ! ! ; usando a tabela:

�� � � � � ' !� � � � � '5! � �

�� � ' � 0

[7] � � � � �$� � �$� ' ! ! .Fazendo � � ' ! � � �$� '5! , temos � � � � �$� � � '5! ! ; usando a tabela:

�� � � � � ' ! ��� � � � � ' ! !��

��� � � � �$� ' ! !' 0

[8] � � � �$� � � � �,� '5! ! .Fazendo � � ' ! � � � � �,� '5! , temos � � � �$� � � ' ! ! ; usando a tabela:

�� � � � � '5!

� � ' ! � � ��� ��� � '5!#0

Page 163: calculo I

4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 163

[9] � � � �$� ��� � � '�� �' ! ! .

Fazendo � � ' ! � ��� � � ��� �� ! , temos � � � �$� � � ' ! ! ; usando a tabela:

�� � � � � '5!

� � ' ! � ��' � ��� � '�� �

' ! 0

[10] ��� � � � � � � � � �$� '5! ! .

Fazendo � � ' ! � � �$� '5! , temos � � � � � � � � � � � '5! ! ; usando a tabela:

�� �

�� � �� � � � � � � � � � � ��� � se ')� �

� �� � ��� � � � � � � � � � � se � � ')� � � � 0

[11] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à

curva ����' no ponto '�� �

.

A reta tangente à curva � � � � ' !7� ' � � no ponto ' � �é: � �

�� � � � � � ! � '�� � ! . Como

�� � � ! � �

�� , a equação da reta tangente é: � � � ' ���)� � . Se '�� � , então � � � ; se � � � ,

então ')� � . A altura do triângulo é igual a � e a base é igual a � . Logo, a área do triângulo é:� � � � 0 ��0

1

1

Figura 4.19:

[12] Uma partícula move-se ao longo da curva ��� � � � ' � . Quando ' �

a partícula escapapela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.

A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa

é ��� � �! � � � �

! � '��

! , onde

� � ' !$� � � � ' � ; logo, � � � '5! � � � ' e � � �! � � � � ; a equação é: � ��� � '�� � � � � 0

Page 164: calculo I

164 CAPÍTULO 4. DERIVADA

3

Figura 4.20:

4.7 Derivação Implícita

Seja � � ' �� ! � � uma equação nas variáveis ' e � .

Definição 4.5. A função ��� � � ' ! é definida implicitamente pela equação � � ' �� ! � � , quando� � ' � � '5! !$� � 0

Em outras palavras, quando ��� � � '5! satisfaz à equação � � ' �� !$� � .

Exemplo 4.13.

[1] Seja a equação � � ' �� ! � � , onde � � ' �� ! � ' � � � � � ; a função � � � � ' ! � � ��' � é definidaimplicitamente pela equação � � ' ���!$� � , pois � � ' � � ' ! ! � ' � � � � �7'��/! � � � � .

[2] Seja a equação � � ' �� ! � � , onde � � ' �� ! � �� � ' � � ; a função � � � � ' ! � �� � �7' é definida

implicitamente pela equação � � ' ���!$� � , pois � � ' � � ' ! ! � � �� � �7'5! � � '�� � ��� .

[3] Seja a equação � � ' �� ! � � , onde � � ' �� ! � '�� � � � � � ; esta equação define implicitamenteuma família de funções; por exemplo � � ' ! � � � �7' � , � � '5! � � � � �7' � ; em geral,

� � � � � ' ! �

��� �� � � ��' � se � �� '-� �

� � � ��' � se � '-� � para cada � � �� 1! .

[4] Seja � � ' �� ! � � , onde � � ' ���! � � � �����' � � ; então, as funções � � '5! �

� � � ' �

�� são

definidas implicitamente pela equação � � ' �� ! � � , pois:

� � ' � � ' ! !+� � � ' � � � ' �

�� ! � � 0

Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, deri-vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação � � ' ���! � � define implicitamente algumafunção. Por exemplo, considere a seguinte equação:

' � � � � ' � ��� � ' � � ! � � �$� ' � � ! � � � �$� ' ! ��� 0

Page 165: calculo I

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 165

4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita

Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente sem necessidade de expli-citá-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que � � ' �� ! � � define im-plicitamente uma função derivável � � � � ' ! . Através de exemplos mostraremos que podemoscalcular �

sem conhecer � .

Exemplo 4.14.

Seja ��� � � ' ! uma função derivável definida implicitamente pela equação ' � � � � � � .[1] Calcule �

.

[2] Verifique que a função � � ' ! � � � � ' � é definida implicitamente por '�� � � � � � e calcule� �

.

Como � � � � ' ! , temos '�� � � � � � ' ! ! � � � . Derivando em relação a ' ambos os lados da igualdadee usando a regra da cadeia, obtemos:

� ' � ! � � � � � � � ' ! ! � ! � � � � ! � � � � ' � � � � ' ! � � � '5! � � � � ' � � � ' ! � � � ' !$� � 0

Então, �� � '5! � � '

� � '5! � � '� . Logo,

�� � � '

� 0

É imediato que a função � � ' !+� � � � ' � é definida implicitamente pela equação ' � � � � � � e�

� � ' ! � � '� � �7' �

� � '� .

Método de Cálculo

Dada uma equação que define � implicitamente como uma função derivável de ' , calcula-se ��

do seguinte modo:

Deriva-se ambos os lados da equação em relação a ' , termo a termo. Ao fazê -lo, tenha emmente que � é uma função de ' e use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar asexpressões nas quais figure � .

O resultado será uma equação onde figura não somente ' e � , mas também ��

. Expresse ��

emfunção de ' e � . Tal processo é chamado explicitar �

.

Exemplo 4.15.

Calcule ��

se � � � � '5! é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas:

[1] '�� �' � � � � � � � � ' ��� .

Note que ' � �'���� � � � � � � ' � � é igual a ' � �

'�� � � � ' ! ! � � � � � '5! ! � � � ' � � ; derivando

ambos os lados da equação, obtemos: � ' �/! � ���' � � � � '5! ! � ! � � � � � � ' ! ! � ! � � � � ' ��� ! �

; então,' � � � ' � � � ' ! !

�� � � ' � � � � ' ! � � � '5! ! � � � � � ' ! � � � ' ! ! � � � 0

Logo,' � � � ' � � � � � ' � � �

� � � � �

� � � � . Expressando ��

em função de ' e � :

Page 166: calculo I

166 CAPÍTULO 4. DERIVADA

�� �

� ��' � � � ' � �

� � � � � � ' � � ! 0

[2] ' � � ' � � ' � � �$��� ! � � � � �$� ' ! . Derivando ambos os lados� ' � � � ' � � � � � �$����! � ' ��� � ����! � � �

��

� � �$� '5! � � ��� � � ' ! . Expressando ��

em função de ' e � :

�� � � ��� � � '5! � � '�� � � � � �$��� !

' � ' ��� � ��� ! � � � �$� ' ! 0

[3] � � �$� ' � � ! � ��� ��� � � ' ! . Derivando ambos os lados � � � � � ! ��� � � ' � � ! � � � � � ��� � � '5!#� ��� � � �$� ' ! .Expressando �

em função de ' e � :

�� � � � � � �$� ' ! ����� � � ' � � !� � ��� � � '5! � ��� � � ' � � ! 0

O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pelaforma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos estaexigência satisfeita.

[4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:

� � � ' � � ' � � !

no ponto � � �� ��

� � � .

Derivando a equação implicitamente:

� � � � � ' �' � � ! 0

Expressando ��

em função de ' e � : �� �'�� � � '� � ; lembrando que ' � � �

� , �� � � � � ' ! e�

��

� � � � � �� � � � , temos que �� � � �� � � � � � � é o coeficiente angular da reta tangente no

ponto � � �� ��

� � � e a equação desta reta é � � � � ��� � '�� � � � .

-2 1

-1

1

Figura 4.21:

Page 167: calculo I

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 167

[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função

implícita definida por: � '�� � ���"! ����� � ' � ' ��� ! !$� � ' ��� no ponto � �� �� � .

Derivando a equação implicitamente

� � �

� � � � � � � ' � �'5! � � � � ' � � � � ' � � ' � �

� � ! 0

Lembrando que ')��� , �

� � � � � ' ! e ����� ,temos que �

� ��� ! � �

é o coeficiente angular da reta

tangente no ponto � �� �� � e a equação desta reta é

� � � � ' ��� � � . A equação da reta normal é� � � � '��

� � .

-1 1

-1

1

Figura 4.22:

[6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da funçãoimplícita definida por:

' �� �� � �

� � � � em qualquer ponto; ( � e � constantes não nulas).

Derivando a equação implicitamente:

� '� �

� � � � �

� � � ��0

Expressando ��

em função de ' e � : �� � � � � '

� � � ; lembrando que '�� ' � , �� � � � � ' ! e � � � � � ' � ! ,

se � � �� � , temos: �� � ' � ! � � � � ' �

� � � � , que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto � ' � �� � !

e a equação desta reta é: � � � � � � � � � ' �

� � � � ��� '��7' � ! . Ou, equivalentemente,

� � �

� � � � � � '�

� � � '�� �

Page 168: calculo I

168 CAPÍTULO 4. DERIVADA

A equação da reta normal é:

� � � � � � � � � �

� � ' � � � '��7' � !

se ' � �� � .

Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer � ' � �� � ! da elipse.Em particular se � � �-� � , temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer� ' � �� � ! de um círculo de raio � .

Figura 4.23: A elipse e suas tangentes.

[7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da funçãoimplícita definida por:

'��� � � ���

� � � � em qualquer ponto; ( � e � são constantes não nulas).

Derivando a equação implicitamente:� '� � �

� � � �

� � � ��0

Explicitando ��

: �� � � � '

� � � e lembrando que '&� ' � , �� � � � � '5! e � � � � � ' � ! , se � � �� � , te-

mos �� � ' � ! � � ��' �

� � � � , que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto

� ' � �� � ! e a equação desta reta é:

� � �

� � � � � � ' �

� � � '�� � �A equação da reta normal é:

� � � � � � � � � � �

� � ' � �$� '��7' � !

Page 169: calculo I

4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 169

se ' � ���� . Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto� ' � �� � ! arbitrário.

Figura 4.24: A hipérbole e suas tangentes.

[8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por:

i) ' � � � � � � ' � , no ponto �! . (Folium de Descartes).

ii)� � '�� � ���"! � � � � '�� � ���(! , no ponto �

� ! . (Lemniscata de Bernoulli).

i) Derivando a equação implicitamente:

�� �

� � ��' �� � � � ' 0

No ponto �! , � � � � � e a equação da reta tangente é ' � � � � .

ii) Derivando a equação implicitamente:

�� � � ' � � � � � ' � � � � � !

� � � � � ' � � � � � ! 0

No ponto � � ! , � � � � �� e a equação da reta tangente é � � � � ')� �1��� � . Desenhos do

Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente:

-2 2 4 6

-2

2

4

6

-2 2 4

-1

1

2

Figura 4.25: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente.

Page 170: calculo I

170 CAPÍTULO 4. DERIVADA

4.8 Famílias de Curvas Ortogonais

As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exem-plo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constantee as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao fluxo do calor.

Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesseponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva deuma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.

Exemplo 4.16.

[1] A família de parábolas � � � � �+' é ortogonal à família de elipses� ' � � � � ��� � .

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam � � oscoeficientes angulares correspondentes à família de parábolas e �

� os coeficientes angularescorrespondentes à família de elipses. Logo,

� �+�� �� � �� ' e �

� � �� '�

e � � � �� � � � .

Figura 4.26:

[2] A família de círculos ' � � � � � �+' é ortogonal à família de círculos ' � � � � ���� .

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam � � oscoeficientes angulares correspondentes à família ' � � � ��� �+' e �

� os coeficientes angularescorrespondentes à família ' � � � � � � � . Logo,

� �+� � � � '� � � � � �7'��� ' � e �� �

� '� � � � �

� ' �' � � � �

e � � � �� � � � .

Page 171: calculo I

4.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 171

Figura 4.27:

4.9 Derivadas de Ordem Superior

Definição 4.7. Seja � uma função derivável. Se a derivada � �

é uma função derivável, então sua deri-vada é chamada derivada segunda de � e é denotada por � � � ! � � � � �

. Se � � �

é uma função derivável, entãosua derivada é chamada derivada terceira de � e é denotada por � � � � ! � � � � � �

. Em geral, se a derivada deordem � ��� � ! de � é uma função derivável, sua derivada é chamada derivada � -ésima de � e é denotadapor � � ��� � � � ! � � � ��� � .

Notações: � �� � � � , � � � � � � � , � � � � � � � � , � � � � � � � � � , etc.

Exemplo 4.17.

[1] Sendo � � '5! � ' � � � ' � � '�� � , calcule � ��� � .

� � � ' ! � � ' � � � '�� � �� � � � � ' ! � � � '�� � � � '

� � � � � '5! � � � ' � � �� �� � � '5! � � �

� � � � � ' ! ��� 0

Logo, � ��� � � '5! � � , se ���� .24

Figura 4.28: Gráficos de ��� � � '5! (verde) e suas derivadas.

Em geral, se � é uma função polinomial de grau � , então, � ��� � � ' ! � �� � � e � � � � � '5! � � para � � .

Page 172: calculo I

172 CAPÍTULO 4. DERIVADA

[2] Sendo � � '5! ��' , calcule � ��� � .

� � � ' ! � � ' � �� � � � � ' ! � � ' � �

� � � � � '5! � ��� ' � �

� �� � � '5! � � � ' � �

� � � � � ' ! � � � � � ' � �

� � � � � ' ! � � � � ' � � .

Logo, � ��� � � '5! � � � � ! � ���� ��� � , para todo �� � .

[3] Sendo � � '5! � �� , calcule � ��� � .

� � � ' ! � � � �

� � � � � ' ! � � � �� � � � � '5! � � �

�� �� � � '5! � � � � �

� � � � � ' ! � � � � �� � � � � ' ! � � � � �

Logo, � ��� � � '5! �� � � � , para todo �� � .

[4] Sendo � � '5! � � � �$� ' ! , calcule � ��� � .

� � � ' ! � ��� � � '5! � � � �$� ' � � � !� � � � � ' ! � � � � �$� ' ! � � � �$� ' � � �� !� � � � � ' ! � � ��� � � ' ! � � � �$� ' � � �� !

� �� � � ' !$� � � �$� ' ! � � � �$� ' �

��� !

� � � � � ' !$� ��� � � ' !$� � � �$� ' � � �� !� � � � � ' !$� � � � �$� ' ! � � � �$� ' � �

�� ! 0

Logo, � ��� � � '5! � � � � � ' � � � � , para todo �� � .

[5] Seja � � � � ' � ��'�� ��� '�� � �$� '5! , � �/ � �� . Verifique que ' � � � � � � '���� � � � ' � � � ' .

Derivando: �� � � ' � � � ' � �$� '5! � � ��' ��� , � � � � � � �

� � � � � �$� '5! e � � � � �� �' ; então:

' � � �' �7' � � � � �

� � � � � �$� '5! ! � ' � � ' � � � ' � �$� '5! � � ��' � � ! � ' 0

[6] Se ��� � � � � ' � � ! satisfaz à equação� � � � � � � � � � � � � � � � � ' � � , determine o valor das

constantes�

e � .

Calculando as derivadas:

�� � � � � � ' � � � � ! �

� � � � � � � ' � � � � � ! e �� � � � � � � � ' �

� � ��!��

logo a equação fica: � � � � � ' � � � � ! � ' � � da qual obtemos� � � � e � � .

[7] Calcule � � � � � �1! , se � � '5! � ' � � � '5! , � � �! � � , � � � �

! � � e � � � � � ! � �

.

�� � ' !$� � � � '5! � � '� �

� � � ' ! �� � � ' ! �

�� � ' �

� � � ' ! � � ' � � � � � ' ! !

� � � � � '5! ��� � ' � � �

� � � ' ! �� ' � � � � � '5! � ' � � � � � � ' ! !��

Page 173: calculo I

4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR 173

logo, � � � � � �1! ��� � .

Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função,estas sejam funções deriváveis.

[7] Seja � � '5! � ' � � ' � . Então,

�� � ' ! �

� ' � se ' ���

�' � se ' � � 0

Logo � � � ' ! �' � ' � , para todo ' � ; analogamente temos que � � � � '5! � � � ' � para todo ' -� ;

mas � � �

não é derivável no ponto ' � ��� . Verifique.

4.10 Aproximação Linear

É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seudomínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.

Por exemplo, consideremos ��� � � '5! � ' � . Estudando � num pequeno intervalo contendo'�� � , por exemplo � � 2 � 0 � � � 0 � � 3 , obtemos:

' � � ' !� 0 � � � 0 � � � �

� 0 � � � � 0 � � � �,� �� �� 0 �,� � � 0 �,�,� � �,� �� 0 � � � 0 � � � �A reta tangente ao gráfico de � no ponto '-� � é dada por ��� � '�� � ; seu coeficiente angularé

�. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos � � 0 � � � � � � 0 � � �1! ! ,

� � � � � ! ! e � � 0 �,� � � � � 0 �,� � ! ! , � � � � � ! ! , respectivamente:

� ��� � � � ! � � � � 0 � � �1!� ��� 0 � � � � � 0 � � � � e �� � � � � 0 �,� � ! � � � � !� 0 �,� � � � � � 0 �,� � � 0

11

Figura 4.29:

Page 174: calculo I

174 CAPÍTULO 4. DERIVADA

� � e �� são valores bastante próximos de

�. Observe que se � '�� � � � � ( ' perto de � ), então

� � ' ! � '�� fica próxima de ��� � '�� � . De fato:������ � � � � ' ! � � �1�

������ � � ' � � � ' ��� �1� � 0

Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:

Definição 4.8. Seja ��� � � ' ! uma função derivável em ' � . A aproximação linear de � em torno de ' �

é denotada por � � ' ! e definida por:

� � ' ! � � � ' � ! � � � � ' � ! � '���' � !

se ' � ' � � �1 ' � � �6! , � � � pequeno.

A função � � ' ! também é chamada linearização de � ao redor do ponto ' � . A proximidadede � � ' ! e � � ' ! nos permitirá fazer algumas aplicações. A notação para � � ' ! próxima a � � '5! é� � ' ! � � � '5! .O erro da aproximação é � � ' ! � � � ' ! � � � ' ! e satisfaz à seguinte condição:

� ���� � ���� � ' !

'��7' �

�� ������� � ��� � � ' ! � � � ' � !

'��7' � � � � � ' � ! �� � � 0

Exemplo 4.18.

[1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamosresolver os seguintes problemas:

i) Se � � '5! ��

� � � � ' ! � representa a temperatura num arame, calcule a temperatura � � � 0 � � ! .ii) Se � � �4! � � �

� � � representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a populaçãode bactérias para � � � � 0 � � � .

iii) Calcule, aproximadamente � � 0 �,� � ! � � � �� � � 0 �,� � ! � � .i) Vamos determinar � � ' !$� � � � ! � � � � � ! ' . Derivando: �

� � '5! � ��

� � � � ' ! � ; então:�� � � � ' ! �

� � � '5! � � � � ' no intervalo � � � �6!

tal que � ��� (pequeno). Como � 0 � � � � �1 � ! , temos, � � � 0 � � ! � � � � 0 � � !$��� 0 � � graus.

ii) Vamos determinar � � '5!$� � � � � ! � � � � � � ! � '�� � � ! , com � � � � ! � �1�0�� � . Derivando, obtemos:

� � � � ! � � 0 � �

� � � ; então:

� �� � � � �1�

0�� � � � � � 0 � � � �$� � � ! no intervalo � � � � �1 � � � �6!

tal que � ��� (pequeno). Como� � 0 � � � � � � � � � � � � ! , se � � � � 0 � � � , então,

� �� � � � �

�� � � � �1�

0�� � ��� � � 0 � � � � 0 � � � � �1� ��0 � � 0

Page 175: calculo I

4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR 175

iii) Considere a função � � '5!$��' � � � �� ' � �

e ' � � 0 �,� � . Então, para ' � � � , temos � � � !+� �,

� � � ' ! � � ' � � � � �� ' e � � � � ! � � �� ; logo,

� � '5! � � � � ! � � � � � ! � '�� � ! �� � � '�� � !

para todo ' próximo de � . Em particular, para '�� � 0 �,� � ,� � 0 �,� � ! � � � �� � � 0 �,� � ! � � � � � � � � � 0 �,� � !$� � ! � � 0 �,� �

0

1

20 1

Figura 4.30: Gráficos de i), ii) e iii), respectivamente:

[2] Considere a função logística ��� � ! ��� � � � �

� . Determine sua aproximação linear no ponto� � :

Derivando: �� � � ! �

� � � � � �

� � � � � � � ! � ; logo,

� � �4! ��� � � � ! � � � � � � � � ��� � � � � ! �1

onde, � � � � !$�� � �

��

� � � � � � �� ! � .

-2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 4.31: Desenhos para � � � � e � � � � , respectivamente.

[3] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de aço de� 0 � � � de espessura sendo seu raio interno igual a

� � � .

O volume de uma esfera é� � �1! � � � � . Seja � � � �

; então, a linearização do volume é:

� � � ! �� � �

�� � � ! 0

Page 176: calculo I

176 CAPÍTULO 4. DERIVADA

Logo,� � � 0 � 1! � � � 0���� � � � . O verdadeiro volume da esfera é

� � � � 0�� � � � � . Note que oerro cometido é: � � � 0 � 1!�� � � � � � 0 � 1!$��� 0 � � � � � � .4.11 Velocidade e Aceleração

Da Física elementar sabemos que a velocidade percorrida por um móvel em linha reta é dadapelo quociente da distância percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definição de deri-vada para determinar a velocidade instantânea de um móvel que se move ao longo de qualquertrajetória derivável.

Suponha que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função ��� � � �4! . Se 2 �����3 é umpequeno intervalo contido no domínio de � , a velocidade média da partícula no intervalo 2 �����3é:

� � � � distânciatempo

� � � �"! � � � ��!�+� � 0

a b c

vab v

ac

Figura 4.32:

� � � é o coeficiente angular da reta passando por � �� � � � ! ! e � � � � �"! ! . � � � não dá informaçãosobre a velocidade da partícula no tempo � � � � . Se estamos interessados na velocidade ins-

tantânea em � � � � , consideremos o intervalo 2 � � � � � � 3 � � � ; então, � � � � � � � � � ! � � � � � !� .

Analogamente para � ��� .

Definição 4.9. A velocidade instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da funçãoderivável ��� � � �4! em �$� � � , é:

� � � � !$� � � � � !�� ��� �

De forma análoga definimos a aceleração média: � � � �� � �"! � � � ��!

�+� � .

Page 177: calculo I

4.11. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 177

Definição 4.10. A aceleração instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da funçãoduas vezes derivável ��� � � �4! em � � � � , é:

� � � � ! � � � � �4! �� ��� ��

� � � � � � ! �� ��� ��

O movimento harmônico simples � � � � � ! é caracterizado por � � � !7� � � � � �4! (� � � ) e o

movimento harmônico amortecido por � � �4! � � � � � ! � � � �4! (� �� ).

Exemplo 4.19.

[1] Uma partícula move-se ao longo da curva � � � !+� � � � � � � � � �. Calcule a aceleração no

instante em que a velocidade é zero.

Se � � �4! � � � � � � � � � �, então � � � ! �

� � � � � � � � ; se � � � !$� � temos que � �

� ou � � � . A

aceleração no instante � é � � �4! � � � � � � ; logo � �� ! � � ou � � � ! � � � .

[2] Uma sonda é lançada para cima verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante� dada por � � � ! � �5� � �,�,� � � ! .i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo.

ii) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?

i) A sonda atinge o solo quando � � �4! � � � � �,�,� � �4! � � ou seja quando �$� � ou � � � �,�,� ; a sondaatinge o solo após � �,�,� � � � e a velocidade é � � � !+� �

� � � !+� � �,�,� � � � e � � � �,�,� ! � � � �,�,� � * � � � .O sinal negativo é porque a sonda está caindo.

ii) Se � � � !$� � , então � � �,� e � � �,� ! � � �,�,�,� � .

[3] Um ponto move-se ao longo do gráfico de � � ' � � � de tal modo que sua abscissa 'varia com uma velocidade constante de

� � * � � � . Qual é a velocidade da ordenada � quando'�� � � � ?

Sejam '&� ' � �4! e � � �5� � ! a abscissa e a ordenada no instante � , respectivamente. Seja � � oinstante tal que ' � � � ! � � . Queremos calcular a velocidade de � no instante � � ; em outras

palavras, queremos calcular� �� � para � � � � . Usando a regra da cadeia:

� �� � �� �� '

� '� � � � '� '� � 0

O ponto tem velocidade constante igual a; logo,

� '� � �

e� �� � � � ' . Para ' � � � ! � � temos que� �� � � � � � � * � � � .

[4] Um homem de � 0 � � � de altura afasta-se de um farol situado a ��0 � do solo, com umavelocidade de � 0 � * � � � . Quando ele estiver a � � do farol, com que velocidade sua sombraestará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?

Page 178: calculo I

178 CAPÍTULO 4. DERIVADA

4.5

1.80

x y

Figura 4.33:

Seja � o comprimento da sombra e ' a distância entre o homem e o ponto do solo acima do qual

está o farol. Pela semelhança de triângulos:��0

' � � �� 0 �� ; logo, � �

� 0 � '� 0 � ; então:

� �� ' �� e

� �� � �� �� '

� '� � 0

Como� '� � � � 0 , temos:

� �� � � � � * � � � e o comprimento da sombra é ��� � � .

4.12 A Derivada como Taxa de Variação

A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável �)� � � �4!no tempo � é � � �4!�� � � � �4! e representa a razão do deslocamento por unidade de variação detempo. � � � � ! expressa a taxa de variação de � � �4! por unidade de tempo:

� � � � !$������ � �

� � � ��� ! � � � �4!� 0

Se ��� � � '5! é função derivável, então � � � '5! é a taxa de variação de � em relação a ' .

A interpretação da derivada como taxa de variação se aplica em diversas áreas da ciência. Porexemplo, se ��� � � �4! mede a concentração de glóbulos vermelhos no sangue no instante � ,� � � � � ��� � � � �

� mede a taxa de variação média da concentração de glóbulos vermelhos durante ointervalo de tempo 2 � � � � 3 e � � � ��! mede a taxa de variação instantânea de glóbulos vermelhosno instante � � � .

Exemplo 4.20.

[1] Uma partícula move-se ao longo do gráfico de � � ' � ��� , de modo que quando '���� aabscissa cresce a uma velocidade de

� � � * � � � . Qual é a velocidade de crescimento da ordenadanesse instante?

Seja '�� ' � � ! a abscissa no instante � e ��� '�� ��� ; devemos calcular:� �� � �

� �� '� '� � 0

Page 179: calculo I

4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 179

Temos:� �� ' �

' � e

� '� � � �; logo,

� �� ��� � � � � � ' � �� � � � � � � � . A ordenada cresce a uma razão de� � � � � * � � �

[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equação ' � � � ��� ��� . Determine os pontos da

elipse que satisfazem à equação� '� � � �

� �� � .

Se '-� ' � �4! e ��� �5� � ! são a abscissa e a ordenada do ponto no instante � , derivando implicita-

mente a equação da elipse:� '

� '� �� � �

� �� � � � e usando a condição dada:

� '� '� �

� � �� �� � � � � '�� � � � � '� � � � �

logo, '�� � � . Da equação da elipse obtemos: � � � � e os pontos são: � � � ! e � � � (� � ! .[3] O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de

��� � *6� �

� esua altura cresce à razão de � � *6� �

� ( � =metros). Determine a taxa de variação do volume dotronco quando o diâmetro é

� � e sua altura é � � .

Seja � � � � � ! o raio no instante � e � � � � � ! a altura no instante � . O volume é� � �4! � � � � ;

devemos calcular� �� � ; derivando implicitamente:

� �� � � � � � � � �� � � � �

� �� � � �

o raio é a metade do diâmetro: � �� , � � �,�,� ; logo,

� � �� � ��� e

� �� � � � �,� ; então:

� �� � � � � �,� � � � *6� �

� 0[4] Uma partícula move-se ao longo da curva de equação � � � ' . Quando a partícula passapelo ponto � �� � ! , sua abscissa cresce à razão de

� � * � � � . Com que velocidade está variando adistância da partícula à origem nesse instante?

Sejam ' � ' � �4! e �7� �#� �4! a ordenada e a abcissa no instante � e � � '�� � � � o quadrado da

distância da origem ao ponto � ' ���! . Derivando implicitamente ambos os lados:

�� � � � � � '

� '� �� � �

� �� � �

logo,� � � �

� � ' � �� � � '� � , pois ��� � ' . Logo

� � ��� � �

� � � �� � � � �

� � * � � � .

[5] Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, emlitros, � horas após o escoamento ter começado é dada por

� � � ! � � � � � � �4! � . Calcule:

i) A taxa de variação do volume da água, após � horas de escoamento.

ii) A quantidade de água que sai do reservatório, nas primeiras horas de escoamento.

i) A taxa de variação é� �� � � � � �,� � � � � �4! ; calculando em � � � , temos que:� �

� � � � � � �,� � * � . O sinal negativo é porque o volume da água está diminuindo com o tempo,já que o reservatório está sendo esvaziado.

Page 180: calculo I

180 CAPÍTULO 4. DERIVADA

ii)� � � ! � � � 1! �

� � � litros.

[6] De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de � � � * � � � . Se o raio da base do funil

é de � � � � e a altura é de� � � � , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo,

quando o nível estiver a � � � do tôpo.

Sejam � o raio do círculo que forma o nível da água e � a altura no tempo � , respectivamente.

� � � � � ! , � � � � �4! e� � �� � � é o volume do cone de raio � e altura � .

h

r 24

12

Figura 4.34:

Pela semelhança de triângulos, temos:�

� � ��

� � ; então� � � � e

� � �� � � � .

� �� � �

� �� �

� �� � �

�� � �� �� � 0

Mas,� �� � � �

, pois o volume está diminuindo e � � � ��� ��� � � ; resolvendo a equação� �

� � � �, obtemos:

� �� � � �

�� � � � * � � � .

[7] Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de � � � * � � � , enquantoos outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com áreaconstante de � �,� � � � . Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimen-to do lado que aumenta é de

� � � � ? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetrodeixar de diminuir?

i) Seja ' o lado que aumenta e � o lado que diminui no tempo � ; logo '�� ' � � ! e � � �5� � ! ; operímetro é � � � � ' � ��! e a área é

� � '��� � �,� . Derivando estas expressões em � , temos:� �� � � � � � '� � �

� �� � � e '� �� �

� �� '� � � � 0

Se ')� � � , então ���� ; como� '� � � � , da última equação, temos que

� �� � � � �'� '� � � � � ; logo:� �� � � � � � * � � � .

ii) O perímetro deixa de diminuir quando� �� � � � , o que é equivalente a

� '� � � �� �� � ; mas� '� � � � ; então, �,' � �4! � � �5� � ! � � ; logo, ' � �4!�� �5� � ! ; e o retângulo é um quadrado de área

Page 181: calculo I

4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 181

� �,� � ' � ; ou seja, um quadrado de � � � � de lado.

[8] Uma escada de � � � de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremidadeinferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de � 0 � * � � � , com que velocidadeo topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade inferior estiver a � � do solo?

x

y 10

Figura 4.35:

Sejam '�� ' � �4! e � � � � �4! os lados do triângulo formado pela parede, a escada e o solo, noinstante � . Pelo teorema de Pitágoras ' � � ��� � � �,� ; derivando implicitamente:

'� '� �

� �� �� � ��� 0

Devemos calcular� �� � . Como ��� � , então '�� � � �,� �

� � � e� '� � ��� 0 ; logo,

� �� � � � � ' � �� '� � � �

� �a escada está deslizando a uma velocidade de �� � * � � � .

[9] A dilatação de um disco de cobre aquecido é tal que o raio cresce com a velocidade de � 0 � �� � * � � � . Com que velocidade cresce a área do disco quando o raio tem� � � ?

Sejam ' � ' � �4! o raio e � � � � �4! a área do disco no instante � , respectivamente. Então � � �' � .Derivando: � �� � � � '

� '� � �

para ' � �e� '� � � � 0 � � , tem-se:

� �� � � � 0 � � � � � * � � � . A área do disco cresce com uma

velocidade de � 0 � � � � �(* � � � .

[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante � é � � � � , onde�

éo volume e � a pressão. Se em certo instante o volume é de � �,� � � � , a pressão é de � � � * � � � ea pressão cresce à razão de

� � � * � � �6* ��� � , com que taxa está variando o volume nesse instante?

Sejam� � � � �4! o volume e � � � � �4! a pressão no instante � , respectivamente. Escrevamos o

volume como função da pressão:� � � !$� �

� .Usando a regra da cadeia:

� �� � � � �

� �� �� � � �

��

� �� � �

Page 182: calculo I

182 CAPÍTULO 4. DERIVADA

para� � � �,� , � � � � e

� �� � � � � , temos:� �� � � � � � � � � * ��� � . O volume decresce à razão de� � � � � * ��� � .

[11] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador sãoutilizados para estudar a interação entre as espécies. Se uma população de lobos siberianos édada por � � ��� � ! e uma população de cervos por

� � � � � ! , a interação das duas espéciespode ser medida pelo sistema: ����� ����

� �

� � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � � onde � , � , � e

�são constantes positivas. Determine

�e � que levem as populações a ficar

estáveis para ��� � 0 � , � � � 0 �,� � , � � � 0 � e� � � 0 �,�,� � .

As populações ficam estáveis quando suas taxas de crescimento são nulas; então devemos re-solver o sistema: ����� ����

� �

� � ��� � � � � � � � � � � � ��! ���� �� � � � � � � � � � � �-� � � � � � !$� �

com� � ���� ; a solução é � � �

� e� �

�� ; logo, para os valores das constantes dados � � � e

� � �,� . As populações ficam em equilíbrio quando tem � lobos e �,� cervos.

[12] Se uma barra é feita de material homogêneo, então sua densidade é uniforme e é dada pelamassa por unidade de comprimento, medida em quilogramas/metros. Se a barra não é homo-gênea, mas se sua massa é dada por � � � � ' ! do início ao ponto ' da barra, então, a massaentre os pontos '�� e ' � é dada por � � ' � ! � � � ' � ! e sua densidade média é dada por

� � � ��� � � � � �� � � � .A densidade linear da barra é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento e é dadapor:

� �� �� ' 0

Sabendo que uma barra de comprimento � � tem massa dada por � � � � '5! � ' � � ' � � ,determine a densidade no centro da barra.

� �� �� '�� � � �

� �� �' � ��� ! �� � � �

� �� � 0 � � � * � 0

4.13 Exercícios

1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abs-cissa dada:

Page 183: calculo I

4.13. EXERCÍCIOS 183

(a) � � � �7' � '��

(b) � � ' � � ' � � '�� �(c) � � ' � � � �$� '5! '�� �(d) � � ' � � � '�� ��� � '�� � '��

(e) � � ' � � ' � �7' '����(f) � �

' � � � �$� ' ! '�� �

(g) � � ' � �6 '�� � �

(h) � � � ' � ' � � '�� �(i) � � � ' � � � ' '�� �(j) � � ' � ���

' � � � '�� �

(k) ��� � �$� ' � ! '�� �(l) ��� ��� � ' � � ! '�� � �

(m) ��� � � �$� � ' ��� ! ! '�� �(n) ��� �� � � '�� �(o) ��� '

' � ��� '�� �(p) ���

�� ' � � � '�� �

(q) ��� ' � � �' � ��� '�� � �

(r) ����

' � � ' � ��� ! '�� �

2. Calcule a constante � para que a reta � � �6' � � ��� seja tangente à curva � � ' � � .

3. Determine as equações das retas tangentes à curva � � ' � , nos pontos de abscissa '�� �.

4. Determine o ponto onde a curva �)� ' � tem tangente paralela à reta tangente à mesmacurva no ponto de abscissa '�� � . Determine a equação da reta tangente nesse ponto.

5. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos deabscissas dadas:

(a) � � ��� � � ' � ��� ! '�� �(b) � � � � �

� '�� � �(c) � � ��� � � ' � ! '�� �(d) � � � � � ��� � � � '5! '�� �

(e) ��� ' � ���' � ��� '�� �

(f) ��� � � �$� � � ! '�� � �$� !(g) ���

�� � '�� � � ! '�� �

(h) ��� � � ' � � ' ��� ! � �$� '5! '�� �6. Determine os pontos da curva ���

' � � � � ' � �

' � � onde as retas tangentes passando

por esses pontos intersectam a origem.

7. Sabendo que as curvas ��� � ' � e �7� � ' � � tem retas tangentes paralelas com abscissacomum, determine-as.

8. Seja � uma função derivável e � � ' !+� � � � � � ! . Calcule �� � � ! se � � � � !$� �

.

9. Seja � uma função derivável e � � ' !+� ' � � ' �"! . Calcule �� � ' ! .

(a) Seja � uma função derivável e � � ' !+� � � � �' � � ! . Calcule �

� � � ! se � � � ! � �e � � � � !$�

.

(b) Seja � � ' !�� � � � � '5! ! em que � e � são funções deriváveis. Se � �! � � , � � �

!�� � e

� � � �1!$� � , determine �� �! .

10. Determine � � � ' ! se � � ' ! � � '5! e � � ' ! são funções deriváveis e:

Page 184: calculo I

184 CAPÍTULO 4. DERIVADA

(a) � � ' ! � � � ' ! � � ' ! � � ' !

(b) � � ' ! � � � '5! � � '5!� � '5!

(c) � � ' ! � � � '5!� � ' ! � � ' !

(d) � � ' ! ��

� � ' ! � � ' ! � � ' !

11. Use [10] para calcular � � � '5! se:

(a) � � ' ! � � '�� � ' ��� ! � ' � � ' ! � ' ��� ! �(b) � � ' ! � � ' � � ' � ��� ! �

(c) � � ' ! � � ' � �' ��� �$� ' � � � !

(d) � � ' ! � � ' � � �' � � �$� '

�� � ' � ��� !

12. Usando a regra da cadeia, determine ��

, sendo:

(a) � � �' � 1! � �

(b) � � � � '�� � '�� � ! �(c) � � � � �

'5! �

(d) � � �' � � � ! �

(e) � ��

' � � ' � � � ' � �(f) � � � '�� ��� ! �1� ' � � � '5! �(g) � � � � � � � � ' � � �1! �/!

(h) ��� �'�� �1! � �

� ' �! � �

(i) ��� �'�� �

� ' � � ! �(j) ���

�' � ' ��� !

(k) ��� � ' � � �' � � � � ' � � ! � �

� ' � � ' � � ! � � � ' � � !

13. Calcule as derivadas das funções:

(a) � � ��� �(b) � � � � � � � � � � � ! �(c) � � � � � � � ' � !(d) � � ' � � � � � ' ! ��'

(e) � � � �$� '' ��� !

(f) � � � �$� ��� � � � ' ! !(g) � � � �$� � � � !

(h) ��� � �$� � � � � � � ' ! !(i) ��� � � �$� � � !(j) ��� � � � � �$� � �$� � '5! ! !

14. Usando a derivada de logaritmo, calcule ��

:

(a) � � � ' � � �

(b) � � � ' � �' � � � �(c) � � ' ��� �(d) � �

� � � � �

(e) � �� � � ' � � � !� � ' � �

(f) � � � '��/! �(g) � � ' �

(h) � � ' ��

(i) ��� � � � �$� '5! � �(j) ��� ' � �

(k) ��� � ��� � � ' ! � � � � � � �(l) ��� � � �$� '5! � � ��� � �

15. Calcule ��

:

Page 185: calculo I

4.13. EXERCÍCIOS 185

(a) � �� � � ��� � � ' !

(b) � �� � � ��� � � � ' !

(c) � ��

��� � � � ' !(d) � � � � � � ' �(e) � � ' ��� ��� � � ' !(f) � ��� � � ��� � � � � � � ! �

(g) ��� � � � � � � ' � !(h) ��� ��� � � � �7' � !(i) � � � ��� � � � � � '5! �

��� ��� � '5! � �(j) ��� ��� � �,� � ' !

(k) ��� � � �$� � ' !� ����� � � � '5!(l) ��� �� � � �$� � � !

(m) � � � � ��� �' � �(n) � � ��� � � � � � '��/! !(o) � � � � � � � �' � �(p) � � ��� ��� � � � � � '�� ! !(q) � � � � � � � � �$� ' ! !(r) � � � �$� � � � � � '5! !

16. Verifique que as derivadas das funções hiperbólicas inversas, são:

(a) Se � � � � � � � �� � � � ' ! ! , então �

� � � � � ' !� � � � � � '5! .

(b) Se � � � � � ��� � � � � � ' ! ! , então �� � � � � ' !� � � � ' ! � � � � � '5! � � � .

(c) Se � � � � � ��� � � � � '5! ! , então �� � � � � ' !� � � � � ' ! � � � ' ! ��� � .

(d) Se � � � � � ��� ��� � � � � ' ! ! , então �� � � � � '5!� � � � � ' ! � � � ' ! ��� � .

(e) Se � � � � � � � � � � � � ' ! ! , então �� � � � � � ' !

� � '5!� � � � � � ' ! � � � � '5! � � .

(f) Se � � � � � ��� � � � � � � � ' ! ! , então �� � � � � � ' !� � � ' ! � � � � � ' ! ��� � � ' ! �� � .

17. Calcule ��

:

(a) � � � � � ��� � �' �(b) � � � � � � � � �$� ' ! � �(c) � � � � � ��� � ' � !(d) � � � � � ��� ��� � �' �(e) � � � � � ��� � '�� �

' ��� �(f) � � � � �

� � ' �(g) � � ��� � � �1�

' ! � � � � �,�

' !

(h) ��� ��� � � � � ' � �! � !

(i) ��� � � � � � � �$� ' ! !(j) ��� ' � � � ��� � � � '5! � � ' � � �

(k) ����� � � ��� � � '��� �(l) ����� � � ��� ��� � � ' � !

(m) ����� � � � � ��� � � � ' � ! � �

(n) ��� ��� � � � � � �� ' � ��� �

18. Usando derivação implícita, calcule ��

:

Page 186: calculo I

186 CAPÍTULO 4. DERIVADA

(a) '�� � � � � (b) ' � � '�� � � ��� � �(c) � ' � � � � � �(d) � � � '�� �

' � �(e) ��� � �1� ' � � ! � �

(f) ��� ����!+� ' �(g) � � ' � �(h) � �$����� � ' ! � � � �7'��(i) � ' � ��! � � � '�� ��! �

(j) � ' � � � � ! � � � � � ' �(k) � � �$� ' � ! � ' ��� � ����!(l) � �$��� �7'5! � � �$��� � '5!

(m) � � � ��� � � � �$� '5!(n) � �$����' !$� � � (o) � � � �' � � �

(p) ��� � ��� ' � ! � � � �$���$' � !(q) ' ��� �

��� ��� !$� ' �

(r) ' � � � ��� ��� ! � � � � � ��� � ' !$� �

19. Determine os pontos da curva '�� � � ' � ������

nos quais as retas tangentes nesses

pontos sejam perpendiculares à reta ' � � � � .20. Em que pontos a curva � � � � ' � é ortogonal à reta �,'��

� ��� � � ?

21. A reta ' � � intersecta a curva � � ' � � � ' �

num ponto � e a curva � � � '�� � 'num ponto � . Para que valor (ou valores) de � as tangentes a essas curvas em � e � sãoparalelas?

22. Determine a equação da reta tangente à curva ' � � � , � constante, no ponto � ' � �� � ! . Ve-rifique que � ' � �� � ! é o ponto médio do segmento de reta determinado pela reta tangenteno ponto e os eixos coordenados.

23. Determine a equação da reta tangente à curva�� ' � � �� � � � � no ponto � ' � �� � ! . Calcule

a distância entre os pontos�

e � , onde�

e � são as interseções da reta tangente com oseixos coordenados.

24. Verifique que as seguintes famílias de curvas são ortogonais:

(a) ' � � � � � � � � '����(b) � � � � � � � ��� ��� � '�� � � �(c) � � � ' ��� � ' � �

� � � � � �

(d) � � � ��� � � � ! � � � � � �$� � !

(e) ��� � '��� �7' � � � ' � � � � ! � � � � � ' � � � � ! ���

25. Determine a segunda derivada de:

Page 187: calculo I

4.13. EXERCÍCIOS 187

(a) � � �� '(b) � � ' �

�(c) � � � � �$� '��(!(d) � � ��� �1� '5!(e) � � � � � �,� '5! ����� � � ' !(f) � � '� � ' ��� !

(g) ��� � � � �' � �(h) ��� '

� ' � � �(i) ���

� �'

(j) ��� ��� � � � � �$� ' ! !

(k) � � � �$� � �$� '5! !(l) � � � � � ��� � � � �$� ' ! !

(m) � � � � � � � '5!(n) � � � � � � � � � '��/!(o) � � � � � ��� ��� � � ' � ��� !

26. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem � dada:

(a) � �' � � � ' �-�

(b) � �' � � � ' �-� �

(c) � � �

�7' � �-�

(d) � ��

'�� � � � �(e) � � � � � � � �-�

(f) � � � �$� � ' ! �-� �(g) � � � � ��� � � ' � � �-� (h) � � � � �$� �+' ! � � � �� ��(i) � � � � � �' � �-�

(j) � � ' � � � � �

(k) ��� ' ��� � � � � � � �$� ' ! ! �-� �(l) ��� ' � � � ��� � � ' ! � � �$� � � �7' � !

� � (m) ��� ��� � � � � '5! � �

(n) ����� � � � � �

� � � � ! �-� �(o) ��� � �$� � � � � � ' ! ! � � (p) ��� � � �

� � ��� � � � ' ! ! �-�

(q) ��� ' � � � �$� � �$� '5! ! � ��� � � � �$� '5! ! � � �

(r) ��� � ��� � � � � �$� '5!� � � � �$� '5! �, � �

27. Seja � uma função duas vezes derivável e � � ' ! � � � � � � ! . Calcule �� � � '5! .

28. Se ��� ' � � � , mostre que �� � � � � � � � � � .

29. Para ��� ��� � � � '5! e ��� � � �$� � ' ! , mostre que �� � � � � ��� � .

30. Se ��� � � � ��� � � � ' ! , mostre que �� � � � � � � � � � .

31. Determine � tal que ��� � � � verifique a equação: �� � � � � � � .

32. Seja ����� � � � � � � � ��� ' � ' � . Verifique que:

' � � � � � � ' � � � � � � � '��7' � ! � � ��� � � ' � ! � � �1� ' � � � ' � 0

33. Calcule �� � � '5! se:

Page 188: calculo I

188 CAPÍTULO 4. DERIVADA

(a) ' � � �� � � �

(b) ' � � � ' � � � � � �(c) '���� � � ��� ��� ! �1��� � ���(!

(d) � � � ' � � � �7'5!(e) � � �$����! � � � �$� '5! � � � �$� ' ��! � '(f) ��� � ����! � � � �$� ' ! � '

34. Calcule � � � � � 1! , se � � ' ! � � '�� � � � ' ! , � � 1!$� � � , � � � 1!$�� , �

� � � 1!$� �e � � � � � 1!$� � � .

35. Calcule � � � � � � ! , se � � '5! �� � � � � '5! , � � � � !$� �

, �

� � � � ! �

e �� � � � � ! �

36. Determine a linearização no ponto ' � ��� , das seguintes funções:

(a) � � �$� ' !(b) ��� � � '5!(c) ��� � ' !

(d) � ' �

(e) � � � �

(f)�� ' � �

(g)'

' � ���(h) � �$� ' � � ' � 1!(i) � � ' � � '�� � ! �

37. Calcule aproximadamente:

(a)�� � 0 � � �

(b) �� � �(c) � � �$� � � � !

(d) � � 0 �,� � ! � � � � �$� � 0 �,� � � !

(e) �� � � 0 � � ! � ��

�� � 0 � �(f)

� � � � � �

38. Polinômio de Taylor de ordem � no ponto � � : Seja � uma função � vezes derivável noponto ' � . O polinômio de Taylor de ordem � , ( � � � � � 0 0 0 0 ), no ponto ' � é denotadopor � � � '5! e definido por:

� � � ' !$� � � ' � ! � � � � ' � ! � '��7' � ! � �� � � ' � !� � '��7' � ! � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � �

��� � � ' � !�

� � '���' � ! � 0

Verifique que o polinômio de Taylor de ordem � , no ponto ' � � � , das funções:

(a) � � ' ! � � � �$� '5! é � � � � � � '5! ���

� � �� � � ! � ' � � � �

� � � � � ! � .

(b) � � ' ! � � � é � � � ' ! ���

� � �

' �� � .

(c) � � ' ! � �� é � � � ' ! ���

� � �� � � ! � � � � '�� � ! � .

(d) Esboce o gráfico de � , � � � ' ! , � � � ' ! e � � � ' ! no mesmo sistema de coordenadas.

(e) Compare � � � '5! e � � ' ! . Que conclusões pode tirar? É possível utilizar � � para fazeraproximações de � ?

Page 189: calculo I

4.13. EXERCÍCIOS 189

39. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada arestavaria de � � � � para � � 0 ��� � .

40. Influências externas produzem aceleração numa partícula de tal forma que a equação deseu movimento é ���

�� � � , onde � é o deslocamento e � é o tempo.

(a) Quais são as equações da velocidade e da aceleração da partícula num tempo � ?

(b) Quando a partícula para de mover-se?

41. Um estoque de sangue é guardado num freezer no instante ��� � . Após � horas, suatemperatura, em graus centígrados, é

� �4! �� � � � ��� ! � � �

� � . Qual é a velocidade de

resfriamento após � � horas?

42. Deve-se drenar uma piscina. Se � é o número de litros de água na piscina � minutos apóso início da drenagem e � � �4! � � �,� �

��� � !�� , qual é a velocidade de escoamento da água

após � � ��� � ?

43. Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: � � � ! �� � � , onde � �

� 0 � � * � � � � , � � � ! é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em � segundos, desde oinício da queda. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em queda livre.

44. Uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade de � � * � � � , atinge a al-tura de � � �4! � � � � ��0 � � � após � segundos. Qual deve ser a velocidade inicial para que apartícula atinja � � � antes de iniciar a queda?

45. O lado de um triângulo equilátero mede � � � e cresce à razão de� � � * � . Com que velo-

cidade crescerá a área do triângulo?

46. Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de� � � * � � � ?

47. O raio da base de um cone cresce à razão de ��� � * ��� � e sua altura decresce à razão de�

� � * ��� � . Como variará o volume total do cone quando o raio é � � � e sua altura � � � ?

48. Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume cresce à razão de � �,� � � � * � � � . Deter-mine a razão com que varia o raio no instante em que o diâmetro é de � � � .

49. Mostre que a função logística ��� � � �4! satisfaz à equação ��

�� � � � � � �

� � . Se ��� ��� � !

representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?

50. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta aníveis normais � dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênioque permanece, após � dias é dada por:

� � � !$� �,� � � � � � � � � �,�� � � � � � � � � �,�

medido em�

do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidadede oxigênio está sendo reduzida, após � , � � ,

� � e � dias após o despejo.

Page 190: calculo I

190 CAPÍTULO 4. DERIVADA

51. Ao meio dia o barco�

está � � � � a oeste do barco � . O barco�

navega para o leste a� � � � * � e o barco � navega para o norte a� � � * � . Qual é a taxa de variação da distância

entre os barcos às � � e � � ��� � ?

52. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por

����

� �

onde � é o comprimento da corda,

é a tensão sobre a corda e � é densidade linear demassa da corda. Determine a taxa de varição de � em relação a � (com

e � constantes);

a taxa de varição de � em relação a

(com � e � constantes); a taxa de varição de � emrelação a � (com � e

constantes) e interprete os resultados.

Page 191: calculo I

Capítulo 5

APLICAÇÕES DA DERIVADA

5.1 Variação de Funções

Definição 5.1. Seja � uma função e ' � � � � � ! .

1. � possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto ' � , se existe um pequenointervalo aberto � que contem ' � tal que:

� � ' � ! � � � ' ! para todo '- � � � � � � !

A imagem de ' � , � � ' � ! , é chamada valor máximo local de � .

2. � possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto ' � , se existe um pequenointervalo aberto � que contem ' � tal que:

� � '5!�� � � ' � ! para todo '- � � � � � � !A imagem de ' � , � � ' � ! , é chamada valor mínimo local de � .

Max

Min

Figura 5.1: Pontos de mínimo e máximo.

Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo.

191

Page 192: calculo I

192 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exemplo 5.1.

[1] Seja � � '5! � � � �$� ' ! , ' �� ; ' � � � � é um ponto de máximo relativo, pois � � �$� ' ! � � para

todo '� )� e � � � ! � � ; ' � � � � � é um ponto de mínimo relativo, pois � � �$� ' ! � � � , para todo

'- �� e � � � � ! � � � . Observe que ' � � � �� � � , para todo� �� , são também pontos extremos

de � . De fato :

� � �$� � � � ! � � ��� � � � !$� � � � ! � � � 0

[2] Seja � � '5! � '�� , ') �� ; ' � � � é um ponto de mínimo relativo, pois ' � ��� para todo '- �� e� � � ! � � . Na verdade ' � � � é o único ponto extremo de � .

[3] Seja � � ' !�� � ' � , '� )� ; ' � �&� é um ponto de mínimo relativo, pois � ' � � � para todo '7 )�e � � � ! � � . Como no exemplo anterior, ' � � � é o único ponto extremo de � .

[4] Seja � � '5! � ' , ' �� . � não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em � . Se � érestrita ao intervalo � � � � � , então � possui o ponto ' � � � de máximo relativo. Se � é restrita aointervalo 2 � � 3 , então � possui o ponto ' � � �

de máximo relativo e o ponto ' � � � de mínimorelativo. Se � é restrita ao intervalo � � � ! , então � não possui pontos de máximo relativo ou demínimo relativo.

Estes exemplos nos indicam a importância dos domínios das funções quando queremos deter-minar pontos extremos.

Proposição 5.1. Se � é uma função derivável no intervalo � ���"! e ' � � ����"! é um extremo relativo de� , então � � � ' � ! � � .

A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função� , a reta tangente ao gráfico de � nesses pontos é paralela ao eixo dos ' . Para a prova veja oapêndice.

Figura 5.2:

A proposição não garante a existência de pontos extremos; por exemplo: � � ' !�� ' � é umafunção derivável em � e � � � ' ! �

'�� ; logo � � � � ! � � , mas ' � � � não é ponto de máximo nem

de mínimo relativo de � ; de fato, � � � � ! � � � � !�� � � � ! . A proposição nos dá uma condiçãonecessária para que um ponto seja extremo.

Page 193: calculo I

5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 193

Definição 5.2. Seja � uma função derivável no ponto ' � � � � � ! . Se � � � ' � ! � � , ' � é chamadoponto crítico de � .

Pela proposição anterior, todo ponto extremo é ponto crítico. A recíproca é falsa. (Veja exemploanterior).

Exemplo 5.2.

[1] Calcule os pontos críticos de � � ' ! � � � �$� ' ! . Para calcular os pontos críticos da função � ,devemos resolver a equação: � � � ' ! � � , ou seja, ��� � � '5! � � . Então, os pontos '�� � �

� � , onde� � , são os pontos críticos.

[2] Seja � � '5! � ' � ; resolvemos � � � '5! �'�� ��� ; então '���� é o único ponto crítico de � .

[3] Seja � � ' ! � ' � �' ; resolvemos � � � '5! �

'�� �

� � ; então, ')� � e ')� � � são os pontos

críticos de � .

-1 1

Figura 5.3: Pontos críticos de � � ' ! � ' � �' .

Na verdade um ponto "candidato"a máximo ou mínimo relativo de uma função derivável �sempre deve satisfazer à equação:

�� � ' ! ���

Mais adiante saberemos descartar dos pontos críticos, aqueles que não são extremais.

Definição 5.3.

1. O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) é chamado máximo absoluto da função.O ponto ' � é de máximo absoluto de � quando para todo ') � � � � ! , tem-se � � ' � !�� � � ' ! .

2. O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) é chamado mínimo absoluto da função.O ponto ' � é de mínimo absoluto de � quando para todo ') � � � � ! , tem-se � � ' � ! � � � ' ! .

Um ponto de máximo absoluto é um ponto de máximo local. A recíproca é falsa; analogamentepara mínimo absoluto.

Page 194: calculo I

194 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

min. abs

max. abs

min. local

max. localmax. local min. local

Figura 5.4: Pontos de máximos e mínimos

Exemplo 5.3.

[1] Seja � � ' !�� � ' tal que '7 2 � � 3 . O ponto ' � � �é um ponto de máximo absoluto de � . De

fato: � � '5! � � � � ! � � , para todo ' 2 � � 3 e ' � � � é um ponto de mínimo absoluto de � , pois� � ' ! � � � � ! � � , para todo ' 2 � � 3 . Se � é definida em � � � ! , � não possui máximos nemmínimos.

[2] Seja � � ' ! � '�� tal que '� &2 � � � 3 . ' � � � � e ' � � �são pontos de máximos locais, mas

' � � �é máximo absoluto de � , pois � � '5! � � � � ! � � , para todo ' 2 � � � 3 e ' � � � é um

mínimo absoluto de � , pois � � ' !�� � � � ! ��� , para todo '- 2 � � 3 .O teorema seguinte, devido a Weierstrass, garante a existência de pontos extremos de umafunção, sem a hipótese de que a função seja derivável. A prova deste teorema será omitida.Para mais detalhes veja a bibliografia avançada.

Teorema 5.1. (Weierstrass)Seja ���2 �����3 � � � contínua. Então existem ' � e ' � em 2 ����3 tais que:

� � ' � !�� � � '5!�� � � ' � ! para todo '- 2 ����3 0

No teorema as hipóteses de que o domínio seja um intervalo do tipo 2 ����43 e de que a funçãoseja contínua são condições essenciais. De fato, a função contínua � � ' ! � ' não possui pontosde máximo nem de mínimo em qualquer intervalo aberto. A função descontínua � � ' ! � �� se' ���� e � � � ! ��� , não possui ponto de máximo nem de mínimo no intervalo 2 � � � 3 .Teorema 5.2. (Rolle)Seja � � 2 ����3$��� � contínua, derivável em � ���"! e tal que � � ��! � � � �"! . Então, existe pelo menos um' � � ���"! tal que � � � ' � !$� � .

Prova: Se � é uma função constante, então para todo ' � ����"! , � � � '5!�� � . Se � não éconstante, então, pelo Teorema de Weierstrass, possui pontos extremos. Suponha que ' � éponto de máximo; então ' � � ���"! , pois, caso contrário, por exemplo se ' � � � , teríamos:� � ��!�� � � ' � ! � � � �"! . Mas pela hipótese, � � ��! � � � �"! e � seria constante; logo, ' � � ���"! .Analogamente se ' � é ponto de mínimo. Portanto, � � � ' � ! � � .

Page 195: calculo I

5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 195

Figura 5.5: Teorema de Rolle.

Aplicação: Seja � � ' ! � ' � � ' � � ! � uma função definida no intervalo 2 � � 3 ; � � � . Verifique-mos que existe um único ponto que divide o intervalo 2 � � 3 na razão

�. A função é contínua

em 2 � � 3 e derivável em � � � ! ; pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um ' � �� � � ! tal que� � � ' � !�� � . Por outro lado, � � � '5! � ' � � � � '�� � ! � � � � � � '�� � ! � � ' ! . � � � ' � ! �&� é equivalentea � � ' � � � ! � � ' � � � , donde, ' � �

� ��

. O ponto ' � divide o intervalo 2 � � 3 em segmentos

de comprimentos ' � e � ��' � ; logo:

' �� �7' � ��

�0

Teorema 5.3. (do Valor Médio)Seja � � 2 ����3 � � � contínua e derivável em � ����"! . Então existe pelo menos um ' � � ���"! tal que:

�� � ' � ! � � � �"! � � � ��!

� ���

Em outras palavras, existe um ponto no gráfico de � , onde a reta tangente nesse ponto é paralelaà reta secante que liga � �� � � � ! ! e � � � � �"! ! . Para a prova do teorema, veja o apêndice.

ba

f(b)

f(a)

x0

Figura 5.6: Teorema do Valor Médio.

Page 196: calculo I

196 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Sabemos que uma função constante tem derivada nula. O Teorema do Valor Médio nos fornecea recíproca desta propriedade, como veremos a seguir.

Corolário 5.4.

1. Seja � uma função contínua em 2 ����43 e derivável em � ����#! . Se � � � ' ! � � para todo ' � ����#! ,então � é constante.

2. Sejam � e � funções contínuas em 2 �����3 e deriváveis em � ����"! . Se � � � ' !�� �� � '5! para todo

') � ����#! , então � � '5! � � � ' ! � �, onde

�é uma constante.

1. De fato. Sejam ' �(�' � 2 �����3 ; suponha que '�� � ' � . Pelo Teorema do Valor Médio, temosque existe ' � � ' � ' � ! tal que � � � ' � !#� ' � ��' � !$� � � ' � ! � � � ' � ! . Como, por hipótese, � � � ' !$� �para todo ' , então � � ' � ! � � � ' � ! . Como '�� e ' � são arbitrários, temos que � é constante.

Para 2, basta considerar � � ' !+� � � ' ! � � � ' ! e aplicar 1.

Exemplo 5.4.

[1] Suponhamos que um carro percorre uma distância de � � � � � em�

horas. Denotando por��� � � �4! a distância percorrida pelo carro após � horas, a velocidade média durante esse períodode tempo é:

� � � ! � � � � !� � � �� � � �7�� � � � � � * � 0

Do Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de �� � � � !-�

� � � � * � pelo menos uma vez nesse período de tempo.

[2] Seja � � ' !$� � '�� �7' � definida em 2 � � 3 . Determine ' � � � �1! tal que � � � ' � ! � � .

Usamos o Teorema de Rolle ( � é contínua em 2 � � 3 e derivável em � � �1! ); � � � ! � � � �1!�� � ;então, existe ' � �� � �1! tal que � � � ' � ! � � ; mas � � � ' ! � � � '��

'�� . � � � ' � ! � � é equivalente a

' � � � �7' � ! � � ; logo, ' � � � ou ' � � � ; mas, somente � � � �1! .[3] Seja � � ' ! � ' � � � '�� ��� definida em 2 �

3 . Determinar ' � � �

! tal que a reta tangente ao

gráfico de � no ponto � ' � � � ' � ! ! seja paralela à secante que liga os pontos � � � � � ! ! e � � �! ! .

Usamos o Teorema do Valor Médio ( � é contínua em 2 � 3 e derivável em � �

! ); então existe

' � � � ! , tal que:

�� � ' � ! � � �

! � � � � !��� � � 0

Mas � � � ' ! �'�� � � ' ; logo, temos

'��� � � ' � � � ; resolvendo a equação, temos que ' � �

ou ' � � �; mas, somente

�� � ! .

Page 197: calculo I

5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS 197

Figura 5.7: .

[4] Verifique que � � � �$� � ! � � � �$� � ! � � � �-� � � ; para todo � � �� .

Se �&� � é evidente. Suponha � � � ; definamos a função � � ' ! � � � �$� ' ! . Pelo Teorema do

Valor Médio, existe ' � � � �� ! tal que �� � ' � !$� � � � ! � � � � !

� � � ; logo:

��� � � ' � ! � � � �$� � ! � � � �$� � !�-� � �

sabendo que � ��� � � ' � ! � � � , obtemos o resultado.

5.2 Funções Monótonas

Seja ��� � � ' ! uma função definida num domínio .

Definição 5.4.

1. � é crescente em se para todo ' � �'�� com ' � � ' �" tem-se � � ' � ! � � � '���! .2. � é decrescente em , se para todo ' � '�� com ' � � '�� , tem-se � � ' � ! � � � '�� ! .3. Em ambos os casos, � é dita monótona.

Figura 5.8: Funções crescente e decrescente, respectivamente.

Page 198: calculo I

198 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exemplo 5.5.

[1] Seja � ��� � ' ! ��' ; � � � %/� . .

Sejam ' � �' � tal que ' � � '�� ; então:�' � �

�' � . Logo, � � '�� !�� � � ' � ! e � é monótona

decrescente.

[2] Seja � ��� � ' ! � � ' ; � 2 � � � ! .Sejam ' � �' � tal que ' � � ' � ; então: � ' � � � ' � . Logo, � � ' � !�� � � ' � ! e � é monótonacrescente.

[3] Seja � ��� � ' ! � '�� ; � � .

Sejam ' � �' � tal que ' � � ' � ; então: ' �� � ' � � , se �7� ' � e �7� ' � e ' � � � ' �� , se ' � � � e' � � � . Logo, � � ' � !�� � � '�� ! em 2 � � � ! e � � '�� !�� � � ' � ! em � � � 4� ! ; � é monótona crescenteem � � � � ! e monótona decrescente em � � � 4� ! .O exemplo anterior nos mostra que, em geral, uma função pode ter partes do domínio onde écrescente e partes onde é decrescente.

Proposição 5.2. Seja � uma função contínua em 2 ����3 e derivável em � ����#! .

1. Se � � � ' ! ��� para todo '- � ���"! , então � é crescente em 2 ����3 .2. Se � � � ' ! ��� para todo '- � ���"! , então � é decrescente em 2 ����3 .

Figura 5.9:

Prova: 1. Sejam ' � �' � � ����#! tal que ' � � ' � ; como � é contínua em 2 ' � ' � 3 e derivável em� ' � '�� ! , pelo Teorema do Valor Médio, existe '- � ' � '�� ! tal que � � '�� ! � � � ' � ! � � � � '5! � ' � � ' � ! .Como � � � ' ! ��� para todo '- � ����"! , temos que � � ' � !�� � � ' � ! .A prova de 2 é análoga.

Exemplo 5.6.

[1] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! � ' � ��� .Derivando � temos � � � ' !$� � ' ; logo, � � � '5! ��� se, e somente se ' ��� e � � � ' ! ��� se, e somentese '-��� . Logo, � é crescente em � � � � ! e decrescente em � � � 4� ! ; note que � � � � !$� � .

Page 199: calculo I

5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS 199

[2] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! � ' � �' ��� .

Derivando � temos � � � ' !$�'��+�

� ' � � ! � ' � � ! ; logo, � � � '5! � � se, e somente se '�� � � .Logo, � é crescente em � � � (� � ! � � � � � ! e decrescente em � � � � ! .

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

Figura 5.10: Gráfico de � � ' ! � '�� �' � � .

[3] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! � ' ��' .

Derivando � temos �� � ' ! � � ' � � !#� '�� � !

' � ; logo, � � � ' !$� � se, e somente se '���� � .Intervalos � '�� � ! � ' � � ! � � '5!� � ')� � ��� decrescente

� � � ')��� ��� decrescente')� � ��� crescente

' ��� � ��� crescente

� é crescente em � � � (� � ! ��� � � � ! e decrescente em � � � 4� ! �7� � � ! .

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

Figura 5.11: Gráfico de � � ' ! � ' ��'

[4] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! � ' �

� � '�� �7' � � .Derivando � temos � � � ' ! � ' � � '�� � � ' � ' � '�� � ! � ' � � ! ; logo, � � � ' ! � � se, e somente se'�� � , '�� �

e '�� � � .

Page 200: calculo I

200 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Intervalos ' � '�� � ! � ' ��� ! � � '5!� � � ')��� ��� crescente

� � ')� � ��� decrescente')� � ��� crescente

' � � � ��� decrescente

� é crescente em � � � 4� ! �7� � � � ! e decrescente em � � � ! � � � � (� � ! .

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

Figura 5.12: Gráfico de � � ' ! � ' �

� � ' � �7' � � [5] A função � � � !�� � � ��� � (

� �� � ) é crescente se� � � e decrescente se

� � � , o que justificaseu nome.

[6] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura � � � ! de um

corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente�

(constante) e a temperatura � � � ! , isto é:� � � � � � � � � � ! ! � � ��� ! 0

Se � �

, então� � � � � , de modo que a temperatura

� � �4! é decrescente. Logo, se atemperatura do corpo é maior que a do ambiente, o corpo está resfriando.

Se � �

, então� � � � � , de modo que a temperatura

� � �4! é crescente. Logo, se atemperatura do corpo é menor que a do ambiente, o corpo está esquentando.

Se � �

, então� � � ��� , de modo que a temperatura

é constante.

[7] Crescimento populacional inibido: Considere uma colônia de coelhos com população inicial� � numa ilha sem predadores. Seja � � ��� � ! a população no instante � . Estudos ecológicosmostram que a ilha pode suportar uma quantidade máxima de � � indivíduos. Sabemos queeste fenômeno é modelado pela função logística que satisfaz à equação:

� �� � � � � � � �$� � ! � � ��� ! 0

Se � � � � , então� �� � ��� , de modo que a população � � � � �4! cresce.

Page 201: calculo I

5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 201

Se � � � � , então� �� � ��� , de modo que a população � � � � �4! decresce.

Se � � � � , então� �� � ��� , de modo que a população � � � � �4! fica estável.

5.3 Determinação de Máximos e Mínimos

Teorema 5.5. Seja � uma função contínua em 2 ����43 e derivável em � ����#! , exceto possivelmente numponto ' � .

1. Se � � � ' ! ��� para todo ' � ' � e � � � '5! ��� para todo '-� ' � , então ' � é ponto de máximo de � .

f’(x )

< 0> 0

0

0

f’(x)

=0

x

f’(x)

+

Figura 5.13: Máximo local.

2. Se � � � ' ! ��� para todo ' � ' � e � � � '5! ��� para todo '-� ' � , então ' � é ponto de mínimo de � .

f’(x)

− +

> 0

f’(x ) x0

f’(x) < 0

0 =0

Figura 5.14: Mínimo local.

Prova: 1. Se � � � ' ! � � para todo ' �&' � e � � � '5! �&� para todo ' � ' � , então � é crescente em� �� ' � ! e decrescente em � ' � ��"! ; logo, � � '5!�� � � ' � ! para todo ' �� ' � .A prova de 2. é análoga.

Page 202: calculo I

202 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Do teorema 5.5 segue que num ponto de máximo ou de mínimo de uma função contínua nemsempre existe derivada.

Exemplo 5.7.

[1] Seja � � ' !�� � ' � , definida em � ; claramente ' � � � é um ponto de mínimo de � , mas � � � � !não existe. De fato. Para todo ' �� � , tem-se:

�� � '5! �

� � se ')���� � se ')��� 0

[2] � � ' ! � ' � . O ponto crítico é a solução da equação � � � ' � ! � � ou, equivalentemente,'��� � � ;

então, ' � �&� . Por outro lado, � � � '5! �'�� ��� , se '��� � ; logo, ' � � � não é ponto de máximo

nem de mínimo de � .

[3] � � '5! � ' � �' � � . As soluções da equação � � � ' � ! � � são ' � � � e ' � � � � . Do exemplo 2

do parágrafo anterior, � � � ' ! ��� , se ') � � � (� � ! �7� � � � ! e � � � '5! ��� , se '- � � � � ! :− − +

−1+

1

Figura 5.15: Esquematicamente

Então, ' � � � � é ponto de máximo e ' � � � é ponto de mínimo de � .

-2 -1 1 2

-1

1

Figura 5.16: Gráfico de � � '5! � '�� �' ��� .

[4] � � '5! � � � �� ' � , '- �� . � não é derivável em � .

De fato, � � � '5!$� � �� �� � se ' �� � . Por outro lado, � � � ' ! ��� se ')� � e � � � ' ! ��� se ')� � . Então,'���� é ponto de máximo e � � � ! � � é o valor máximo.

-2 -1 1 2

-0.5

0.5

1.0

Figura 5.17: Gráfico de � � ' ! � � ��' � � � .

Page 203: calculo I

5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 203

Teorema 5.6. Seja � uma função duas vezes derivável e ' � um ponto crítico de � . Se:

1. � � � � ' � ! ��� , então ' � é um ponto de mínimo relativo de � .

2. � � � � ' � ! ��� , então ' � é um ponto de máximo relativo de � .

Prova: 1. Como � � � ' � ! � � e:

��� � � � � ' � ! ������� � �� � � '5!'��7' �

então existe� � � tal que:

� � � � ���� � � ��� , para todo '� � ' � � � ' � � � ! (veja o apêndice); então,

� � � ' !�� � , se ' � ' � e � � � '5! � � , se ' � � ' . Pelo teorema 5.5, temos que ' � é um ponto demínimo local de � .2. A prova é análoga.

Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de máximos e mínimos são não sópontos críticos, mas também, podem ser os pontos do domínio onde a função não é derivável.

No caso em que o domínio de � é um intervalo do tipo 2 ����43 , após determinar os pontos de má-ximo e de mínimo no intervalo � ���"! , devemos calcular os valores da função nos extremos dointervalo e comparar estes valores com os valores máximos e mínimos obtidos anteriormen-te nos pontos críticos; o maior valor corresponderá ao máximo absoluto e o menor valor aomínimo absoluto da função e os pontos correspondentes serão, respectivamente, os pontos demáximo e de mínimo absolutos.

No caso em que � � � � ' � !�� � , o teorema 5.6 não afirma nada; quando acontecer isto, recomen-damos usar o teorema 5.5.

Exemplo 5.8.

[1] Calcule os pontos extremos de � � ' !7� �+' � � ��' ��� ; �� � � e � �� � . Como � é

diferenciav́el em todo ponto, calculemos os pontos críticos de � . � � � ' ! � � �+' � � e � � � ' ! � � ,se, e somente, se: '�� �

�� � que é o ponto crítico de � . � � � � ' !$� � � ; então,

�� � � '5!���� se ������

� � � '5!���� se ����� 0

Logo, o vértice '�� � �� � é um ponto de máximo absoluto de � se ����� e um ponto de mínimoabsoluto se ����� .

[2] Calcule os pontos extremos de � � ' ! � ' �� � ' �� � �

se '- 2 � � � 3 .Como � é diferenciav́el em todo ponto, calculemos os pontos críticos de � :

�� � '5! � ' � �

'�� � � !� 0

Page 204: calculo I

204 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

� � � ' ! � � se, e somente, se: '�� � , ' � ��� e ' �

�� , que são os pontos críticos de � . A

segunda derivada:

�� � � ' !$�

'��� � ' � � � !$� � � � � � � �

� � ��� e �

� � � �� � � � �

logo, ' � ��� e ' �

�� são pontos de mínimo relativo de � . Como � � � � � !�� � utilizamos o

teorema 5.5: � � � ' ! � � se ��� � ' � � e � � � ' !�� � se � � ' �

�� ; logo, ' � � é ponto de

máximo relativo de � . Por outro lado � � � ! � � � � � ! � � � , � � � ! � �e ���� �

� ��� ���� � ; logo,

� �e

�são pontos de máximo absolutos, �

�� e

�� são pontos de mínimo absolutos. Veja o

desenho:

-2 -1 1 2

2

4

Figura 5.18: Gráfico de � � ' ! � � �� � � ��� �

.

[3] Calcule os pontos extremos de � � ' ! � � '��' � � � �

� .

Calculemos os pontos críticos de � :

�� � ' ! � ��� � ' �

' �� �

� '�� � ! �� 0

Logo, � � � ' !�� � se, e somente se, ' � �, que é o ponto crítico de � . Calculando a segunda

derivada de � :

�� � � ' ! �

'�� � �

� '�� � ! 0

Então � � � � � ! ��� e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisara mudança do sinal da primeira derivada de � . Como � � � ' ! � � , então � é sempre crescente;logo, no ponto ' � �

não muda o sinal da primeira derivada de � ; portanto ' � �não é ponto

de máximo nem de mínimo relativo de � . Veja o desenho:

Page 205: calculo I

5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 205

1 2 3 4

2

4

Figura 5.19: Gráfico de � � ' ! � � '��'�� � � �

� .

[4] Calcule os pontos extremos de � � ' ! � ' � � � � � �� .

Calculemos os pontos críticos de � ; então, � � � ' ! � � ' � � '-��� ! . Logo, � � � ' ! � � se '�� � ou' � � . Calculando a segunda derivada de � : � � � � '5! � � � '�� �

� ' � � ' �' � � ! . Então

� � � � � ! � � ; logo, ' � � é ponto de mínimo relativo de � . � � � � � ! � � e o teorema não pode seraplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal de � �

. Como � � � '5! � �para todo '- 2 � � � 3 , então '�� � não é ponto de máximo nem de mínimo. Veja o desenho:

4

Figura 5.20: Gráfico de � � ' ! � � ' � � � � � �� .

[5] Calcule os pontos extremos de � � ' ! � � � �$� � '5! � � � � �$� ' ! , � 7� '-� .

Calculemos os pontos críticos de � em � �� ! . Derivando,

�� � '5! � � ��� � � � '5! � � ��� � � ' ! � � � � ��� � � � '5! � ��� � � '5! � � ��� � � ��� � � '5! � � ��� ��� � � ' ! �

�� �,0

Então, os pontos críticos são '�� � , '�� �� e '�� � �� . Calculando a segunda derivada de

� : � � � � '5!�� � � � � �$� � ' ! � � � � �$� ' ! . � � � � �� � � � e �

� � � � � � � ; logo, ' � �� é ponto de

máximo relativo e ' �� é ponto de mínimo relativo de � . Por outro lado, � � � � � !�� � , e o

teorema não pode ser aplicado; mas, usamos o teorema A para analisar a mudança do sinal de

� �

. Como � � � '5! � � para todo ' pertencente a um intervalo de centro � contido em � �� � ,

como, por exemplo, � � � � � ��, então '�� � não é ponto de máximo nem de mínimo. Por outro

Page 206: calculo I

206 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

lado � � � ! � � ; logo,� é ponto de mínimo absoluto e �

� é ponto máximo absoluto. Vejao desenho:

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

Figura 5.21: Gráfico de � � ' ! � � � �$� � '5! � � � � �$� '5! , ��7� '-�� .

5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções

Seja � � � � ' ! uma função derivável em , onde é um intervalo aberto ou uma reunião deintervalos abertos.

Definição 5.5.

1. � é dita côncava para cima em se � � � '5! é crescente em .

2. � é dita côncava para baixo em se � � � '5! é decrescente em .

Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função � , da esquerdapara a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horário, isto significaque o coeficiente angular dessa reta tangente cresce à medida que ' aumenta. Neste caso afunção tem a concavidade voltada para cima.

Figura 5.22: Função côncava para cima.

Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função � , da esquerdapara a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horário, isto significa que ocoeficiente angular dessa reta tangente decresce à medida que ' aumenta. Neste caso a funçãotem a concavidade voltada para baixo.

Page 207: calculo I

5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES 207

Figura 5.23: Função côncava para baixo.

Não confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma função. No desenho aseguir, o gráfico de uma função crescente e côncava para cima e o de uma função decrescente ecôncava para cima, respectivamente.

Figura 5.24:

No desenho abaixo, o gráfico de uma função crescente e côncava para baixo e o de uma funçãodecrescente e côncava para baixo, respectivamente.

Figura 5.25:

Proposição 5.3. Seja ��� � � ' ! uma função duas vezes derivável em .

1. Se � � � � ' ! ��� para todo ') , então � é côncava para cima em .

2. Se � � � � ' ! ��� para todo ') , então � é côncava para baixo em .

Page 208: calculo I

208 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

A prova segue diretamente das definições.

Exemplo 5.9.

Considere a função � � '5! � ' � �7' � .[1] Determine, onde � é côncava para cima.

[2] Determine, onde � é côncava para baixo.

Calculando a segunda derivada:

�� � � ' ! � � � � ' � � � ! 0

Logo, �� � � ' !�� � se ' � � � (� �

� � ! �7� �� � � � ! e � � � � ' !�� � se ' � ��� �

�� � ! . Então, � é

côncava para cima em � � � (��� � ! �7�

�� � � � ! . � é côncava para baixo em � �

�� �

�� � ! .

-0.5 0.5

-2

1

Figura 5.26: Gráficos de � �

(vermelho) e � � �

(azul).

Definição 5.6. Um ponto � ' � � � ' � ! ! do gráfico de uma função � é um ponto de inflexão de � , se existeum pequeno intervalo � ����"! � tal que ' � � ���"! e:

1. � é côncava para cima em � � ' � ! e côncava para baixo em � ' � ��"! , ou

2. � é côncava para baixo em � �� ' � ! e côncava para cima em � ' � ��"! .

Se a função é duas vezes derivável, para obter os pontos ' � , candidatos a pontos de inflexão,resolvemos a equação:

�� � � ' ! � �

e estudamos o sinal de � � � � '5! para ' � ' � e ' � ' � ( ' � solução da equação). � � � � ' � ! � � nãoimplica em que ' � seja abscissa de um ponto de inflexão; de fato, � � ' ! � ' � , � � � � ' ! � � � '�� ;logo, � � � � ' !�� � se '�� � e ' � � é um ponto de mínimo (verifique!). Note que se � � � � ' � !�� �e � � � � � ' � ! �� � , então, ' � é um ponto de inflexão. Num ponto de inflexão, não necessariamenteexiste a segunda derivada da função. De fato, seja � � ' ! � ' � ' � ; se ' ��� temos � � � � ' ! � �

e se'�� � temos � � � � ' ! � � �

; então, � é um ponto de inflexão e � � � � � ! não existe. Como exercícioesboce o gráfico de � .

Page 209: calculo I

5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES 209

Exemplo 5.10.

[1] Seja � � ' !+� '�� ; então: � � � � '5!+��� ' . Por outro lado, � � � � '5! � � se '�� � e � � � � ' ! � � se '�� � ;logo, ' � � � é ponto de inflexão de � .

[2] Seja � � '5! � ' � � '�� ; então: � � � � '5! � � � � '�� � � ! 0�

� � � ' ! ��� se '- � � � (��� � � � �

�� � � � �

�� � � ' ! ��� se '- � � �

� � �� � � 0

Então '���� � e '�� �

�� � são os pontos de inflexão de � .

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Figura 5.27: Gráfico de � � '5! � ' � �7'�� .

[3] Seja � � '5! � � � �$� � ' ! � � � � �$� ' ! , ��7��'-� ; então:

�� � � '5! � � ��� � �$� ' ! � � � � �$� � '5! ��� � � � � �$� ' ! � � ��� � � ' ! � � ��

� � � '5! ��� se '- � ��� � � ��� ��� �� � 4� � ��� � � � ��� ����� � �10

�� � � '5! ��� se '- � �� (� � � � ��� � � �� � � � � � 4� � � ��� � � �� � � 0

Então '�� � , '�� � � � � ��� � ��� ! e '���� � � ��� � �

�� ! são os pontos de inflexão de � .

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

Figura 5.28: Gráfico de � � ' ! � � � �$� � ' ! � � � � �$� '5! , ��7� ')� .

Page 210: calculo I

210 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

5.5 Esboço do Gráfico de Funções

Para obter o esboço do gráfico de uma função, siga os seguintes passos:

a) Determine o � � � � ! .

b) Calcule os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados.

c) Calcule os pontos críticos.

d) Determine se existem pontos de máximo e mínimo.

e) Estude a concavidade e determine os pontos de inflexão.

f) Determine se a curva possui assíntotas.

g) Esboço.

Exemplo 5.11.

Esboce o gráfico das seguinte funções:

[1] � � � � '5! � � ' � � � ! � .a) � � � � ! � � .

b) Interseções com os eixos coordenados: Se ' � � , então ��� � � e se � � � , então ' � � ; acurva passa pelos pontos � � 4� ! , � � � 4� ! e � � (� � ! .c) Pontos críticos de � : � � � '5! � � ' � ' � � � ! � ; logo, resolvendo a equação � � � ' ! � � , obtemos'���� , '�� � e '�� � � , que são os pontos críticos de � .

d) Máximos e mínimos relativos de � : � � � � '5! ��� � '�� � � ! � '�� � � ! . Logo, � � � � � ! ��� e � é pontode mínimo relativo de � . � � � � � � ! � � e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas, usamos oteorema 5.5 para analisar a mudança do sinal da primeira derivada de � .

� � � ' ! � � para todo '7� � ; então '-� � � não é ponto extremo de � . � � � ' ! � � para todo '7� � ;então '�� � não é ponto extremo de � .

e) Estudemos a concavidade de � : � � � � ' !�� � � ' � � � ! � ' � � � !�� � implica em ' � � � e'����

��

.

�� � � ' ! ��� se ') � � � � � (� � ! � � � � � ! � � � � � ! 0

�� � � ' ! ��� se ') � � � � � (� � ! � � � � ! 0

� é côncava para cima em�

e côncava para baixo em � . As abscissas dos pontos de inflexãode � são '�� � � e '�� �

��

.

f) A curva não possui assíntotas.

Page 211: calculo I

5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 211

g) Esboço do gráfico: O gráfico de � passa pelos pontos � � 4� ! , � � � 4� ! e � � (� � ! , onde � � (� � ! éo ponto de mínimo de � .

-1 1

-1

1

Figura 5.29: Gráfico de � � � ' � � � ! � .[2] � � � � '5! � � � �$� ' !� ����� � � ' ! , ��7��'-� .

a) � � � � ! � 2 �� 3 .b) Interseções com os eixos coordenados: se ��� � , então � � �$� ' ! � � o que implica em '���� ou '�� � ; a curva passa pelos pontos � � 4� ! , � �� 4� ! e � 4� ! .

c) Pontos críticos de � em � �� ! : � � � '5! � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ; logo, resolvendo a equação � � � ' ! � � ,obtemos '�� � � �� que são os pontos críticos de � .

d) Máximos e mínimos relativos de � em � �� ! : � � � � ' !�� � � � � � � � ��� � � � � ��� � �� � � � � � � � � �� . Logo, � � � � � �� ! � �

e � � � � � � �� ! ��� ; então '�� � �� é ponto de máximo relativo e '�� � � �� é ponto de mínimo relativode � . Por outro lado, � � �� ! � � � ! � � ; logo, � �� é ponto de máximo absoluto e � � �� é pontode mínimo absoluto de � .

e) Estudemos a concavidade de � em � �� ! : � � � � ' !+� � implica em � � �$� ' !$� � ou ��� � � ' !+� � ;logo, ' � � � ; '���� . Então,

�� � � ' ! ��� se ' �� �� 4� !�

� � � ' ! ��� se ' �� � ! 0

� é côncava para cima em � �� 4� ! e � é côncava para baixo em � � ! ; logo, ' � � é a abscissado ponto de inflexão de � .

f) A curva não possui assíntotas.

g) Esboço do gráfico: O gráfico de � passa pelos pontos � � 4� ! , � �� 4� ! , � 4� ! � � �� � � � �� ! !��� � ��

� �� ! , que é o ponto de máximo de � ; � � � �� � � � � �� ! ! � � � � � (�� �� ! , que é o ponto de mínimo

de � ; � � 4� ! é o ponto de inflexão de � .

Page 212: calculo I

212 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

-1-2-3 1 2 3

-0.5

0.5

Figura 5.30: Gráfico de � � ������ � �

� � � � � � � � .

[3] � � � � '5! � ' � � �' � � � .

a) � � � � ! � ��� % � � � . .

b) Interseções com os eixos coordenados: se ' � � , então ��� � � ; logo, a curva passa peloponto � � (� � ! .c) Pontos críticos de � . � � � ' ! � �

� �� � � � � ; logo � � � '5! � � implica em que ' � � , que é o ponto

crítico de � .

d) Máximos e mínimos relativos de � . � � � � '5! � � � � � �� � � � � � . �� � � � ! �&� ; logo, � é ponto de máximo

relativo de � .

e) Concavidade de � . � � � � ' ! � � se '� � � � (� � � ou '� � � � � , � � � � '5! � � se '� � � � � � . �é côncava para baixo em � � � � ! e côncava para cima em � � � (� � ! � � � � � ! . � � * � � � � ! ;logo, o gráfico de � não possui pontos de inflexão.

f) Assíntotas.� ���� � �

'�� ���' � � � � � . Logo, ��� � é uma assíntota horizontal da curva.

����

�� � �'�� ���' � � � � � �

����

�� � �'�� � �' � � � � � � 0

����

�� � � �' � ���' � � � � � �

����

�� � � �' � � �' � � � � � � 0

Logo, '�� � e '�� � � são assíntotas verticais da curva.

g) Esboço do gráfico:

Page 213: calculo I

5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 213

-2 -1 0 1 2 3

-4

-2

0

2

4

Figura 5.31: Gráfico de � � � � �� � � .

[4] � � � � '5! � �� ' � � � �7'��"! .

a) � � � � ! � � .

b) Interseções com os eixos coordenados: Se '���� , então � � � ; logo, a curva passa pelo ponto� � 4� ! . Se � � � , então '�� � ou '�� � � ; logo, a curva passa pelos pontos � � 4� ! , � � � 4� ! e � � 4� ! .

c) Pontos críticos de � : Se ' �� � ; então, � � � '5! � � � � � � � � �� � � � � .

A função � � ' !$� �� ' � � � � ' � ! é contínua para todo ') �� . Mas não existe � � � � ! ; logo, no ponto� � 4� ! do gráfico deve existir uma "cúspide"como foi observado no gráfico do valor absoluto. Se' �� � , os pontos críticos de � são '�� � �

� e '�� �� .

d) Máximos e mínimos relativos de � . Se ' �� � ; então, � � � � ' ! � � � � �� � � � �

� � � � � . � � � � � �� ! � � e

� � � � �� ! � � ; logo, ' � � �� e '-� �

� são pontos de máximos relativos de � . Se ' � � , estudamos osinal da derivada de � para valores à esquerda e à direita de ' � � : � � � ' ! �&� se �)� ' � �

� e� � � ' ! ��� , se � �

� � '-��� ; logo, '�� � é um ponto de mínimo local de � .

e) Concavidade de � . � � � � ' ! ��� para todo '- ���� %/� . . � é côncava para baixo em ��� %/� . .

f) Assíntotas.� ���� � �

�� ' � � ' � � � ! � � � . Logo, � não possui assíntotas horizontais e nem ver-

ticais.

g) Esboço do gráfico:

Page 214: calculo I

214 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Figura 5.32: Gráfico de � � ' ! � ' � � � � � �7' � ! .

[5] � � � � ' !�� � � � ��

� � �, onde �-� � , representa uma família de curvas é e chamada função

densidade de probabilidade normal padrão, que tem um papel relevante em Probabilidade eEstatística.

a) � � � � ! � � .

b) A curva passa pelo ponto � � � �� � ! .

c) Pontos críticos de � : � � � '5! � � � � ��� � �� � � � ��

� � �; logo, '�� � é o ponto crítico de � .

d) Máximos e mínimos relativos de � : � � � � ' ! � � � � �� ��

� � � � � � ��� � � � � � � . � � � � � !�� � ; logo, � éponto de máximo relativo de � .

e) As abscissas dos pontos de inflexão são: '�� � �� ��

f) Assíntotas:� ���� � �

� � � ��

� � � � � . Logo, � � � é a assíntota horizontal da curva.

g) Esboço dos gráficos para ��� � �� � � , � ��� � � , � � � � � � e ��� � �� � �.

1 2

1

Figura 5.33: Gráfico de � � � �� ��

� � �.

[6] � ��

' � � � ' ��� , ( � �� ), que representa uma família de curvas.

Page 215: calculo I

5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 215

a) A solução da equação ' � � � ' ��� � � é � � � � � � � � � � ; então, se � � � , � � � � !+� � , se� � � , � � � � ! � ��� % � � . e se � � � , � � � � ! � ��� % � � . .

b) Se '�� � , então � � �� , se � �� � . Neste caso, a interseção com o eixo dos � é � � �� ! .c) Pontos críticos: � � � '5! � � � � � � � �� � � � � � ��� � � � ' ! � � se '�� � � , ( � �� � ). Neste caso, o ponto crítico é � � � �� � � ! .d) Máximos e mínimos: � � � � ' ! � � � � � � � � � � ������ � � � � � ��� � e � � � � � � ! � � ���� � � � ��� ; logo, ' � � � é pontode máximo relativo se � �� � .e) Resolvendo � � � � ' ! � � , obtemos '��

� � � � � ��� � � �� . Se � � � , temos dois pontos de inflexão.

f) Assíntotas.

Assíntotas horizontais:������ � �

�' � � � ' ��� � � ; então, ��� � é assíntota horizontal.

Assíntotas verticais:Se � � � , ��� ��� � �

�' � � � ' � � � � e se � � � , ���

��� � � � � � ���

�' � � � ' ��� � � .

'�� � � e '�� � � � � � � � são assíntotas verticais da curva, para � � � e � � � , respectivamente.

g) Esboço dos gráficos:

-1-2-3 2 31

-1

1

-3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

Figura 5.34: Esboço dos gráficos para � � � �e � � � , respectivamente.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1

Figura 5.35: Esboço para � � �.

[7] � �� '� ��� � ' � , ( � �� ), que representa uma família de curvas.

Page 216: calculo I

216 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

a) � � � � ! � � .

b) Interseções com os eixos coordenados: � � 4� ! .c) Pontos críticos de � : � � � ' ! � � � � � ��� � � ��� � � � �

� ��� � � � ; se � ��&� , '-� �� e '-� � �� são os pontos críticosde � .

d) Máximos e Mínimos: � � � � ' ! � � � � � � � � � � �� ��� � � � � ; � � � � �� ! � � � � ; logo, '�� �� é ponto de máximo

relativo de � e � � � � � �� ! � � � ; logo, '�� � �� é ponto de mínimo relativo de � . ( � �� � ).

e) Pontos de inflexão: '�� � , '�� �� �� e '��

� �� .

f) Assíntotas: � � � é assíntota horizontal da curva.

g) Esboço dos gráficos. Observe que a função é ímpar.

-3 -2 -1 1 2 3

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-3 -2 -1 1 2 3

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figura 5.36: Esboço dos gráficos para � ��� �� ,� � � � , e � � � �

, � � � �

5.6 Problemas de Otimização

Nesta seção apresentaremos problemas de maximização e minimização aplicados à diversasáreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma precisa, afunção a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressão de duas variáveis, mas usando ascondições adicionais do problema, esta expressão pode ser reescrita como uma função de umavariável derivável e assim poderemos aplicar os teoremas.

Exemplo 5.12.

[1] Determine dois números reais positivos cuja soma é� � e tal que seu produto seja o maior

possível.

Considere ' ����� tal que ' � ��� � � ; logo, ' �� 2 � � �63 ; o produto é: � � ' � 0 Esta é a funçãoque devemos maximizar. Como ��� � � �7' , substituindo em � :

� � '5! � ' ��� ' � � � �7'5! 0� � 2 � � �63 � � � é uma função derivável. Derivando: � � � ' !�� � � � � ' � � �

� '5! ; o pontocrítico é ' �

. Analisando o sinal de � �

, é claro que este ponto é ponto de máximo para

Page 217: calculo I

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 217

� e � � ; logo, � � � �,� é o produto máximo. Os números são '&��� �

. Note que� � � !+� � � � � !$��� .

[2] Determine os pontos da curva '��� � mais próximos da origem.

Seja � ' ���! um ponto da curva e considere:� � � � 4� ! /� ' �� ! !��

�' � � � � . Minimizar

�é equi-

valente a minimizar� �1� � � 4� ! /� ' ���! !�� '�� � ��� ; mas como � ' �� ! pertence à curva, temos que

� � ' � � ; logo, obtemos a seguinte função:

� � '5! � ' � ��' � 0

Derivando e igualando a zero: �� � '5!�� � '��

�' � � � , obtem-se ')� � � . Calculando a segunda

derivada de � : �� � � ' ! � � � �

' � , que é sempre positiva; logo, '-� � � são pontos de mínimo; ospontos mais próximos da origem são � � � ! e � � � (� � ! .

-1 1

-1

1

Figura 5.37: Exemplo [2].

[3] Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse

'��� �� ���

� � � � � ����� � 0

x

y

Figura 5.38: Exemplo [3].

Page 218: calculo I

218 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Pela simetria da figura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremoso resultado por quatro. A área do retângulo é � ' � , mas otimizaremos o quadrado de área� � � � '�� ��� ; como � � ��� � � � � '��

� � � , então:

� � ' !+� � � � � ' � � � � '��� � �, '-��� 0

Derivando e igualando a zero:� � � '5! �

� � �� � � ' � � � � � ' � ! � ��� , obtem-se ' � � � �� . Estudan-

do o sinal da derivada de�

temos que ')� � � �� é ponto de máximo de�

e ��� � � �� ; logo, aárea do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é:

� � � � � . As dimensões do retângulosão

� '�� � � � e� ��� � � � .

[4] Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume � � � . Determine as dimensões da lata,de modo que a quantidade de material para sua fabricação seja mínima.

r

h

Figura 5.39: Exemplo [4].

Devemos minimizar a área. A área do cilindro e da tampa inferior são:� ��� � �� � e

�� � �� � ,

respectivamente, onde � e � são o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:

� � � � � �� � � � � � �� � 0

Mas o volume é ; logo, � � � � � � e � � � � ; substituindo � na expressão a minimizar,

temos:� � �1!$�

� ��� � � 0

Derivando e igualando a zero:� � � � ! � �

� �� �� � � � � , obtem-se � � �

� .

� � � � � ! �� �� � � � 7��� �

� � �� é o ponto de mínimo e � � �

� . Logo, as dimensões da lata são � � � � �

� � � .

Page 219: calculo I

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 219

[5] Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, me-dindo � � � de largura e � � � de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando oslados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortadospara a produção de uma caixa de volume máximo.

x

8-2 x

15

8

15-2 x

x

Figura 5.40: Exemplo [5].

A altura da caixa é ' ; a largura é � � � ' e o comprimento é � � � ' , observando que � � '-� � .Logo, devemos maximizar:

� � ' !$� ' � � � � ' ! � � � � ' ! � � ' � � ��� ' � � � � � ' 0Derivando e igualando a zero:

� � � ' ! � � � '�� � � � ' � � � ��� � '����1! � � � '-� � � ! � � , obtemos

'-��� ou '-� . Mas. �)* � � �� ! ; então, ' � � é o único ponto crítico de�

; logo, estudando o

sinal de� �

, ' � é ponto de máximo. Então, ' � � � 0 � � � e� � � � 0 � � � � � . (Verifique!).

[6] Calcule as dimensões de um cone circular de volume máximo que pode ser inscrito numaesfera de raio � .

a

r

h

Figura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].

Usando o teorema de Pitágoras temos que � � � � � � � � � ��! � � � � � � � � . O volume é� � � �

�� ; logo,� � � ! �

� � � � � � � � � , sendo � � � � � � . Derivando e igualando a zero:

Page 220: calculo I

220 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

� � � � ! � � � � � � �� � � � , obtemos � � � ou � � � � ; � � � não é solução; então, � � � � é o

ponto de máximo e � �� � � � .

[7] Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de � �,�,� � � . Determine as dimensõesdo tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação.

r

h l lh

r

Figura 5.42: Exemplo [7].

A área do cone é:� ��� � � � � � � � ��� � , onde na última igualdade usamos o teorema de

Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de � �,�,� � � ; logo, � �,�,� � � �� � � � e

� ��,�,� � � ; substituindo � na expressão a minimizar:

� ��� ��� � � �

�,�,� ! � � � � 0

Como antes, minimizaremos� � � � � ! � . Logo:

� � � ! � �� � � � � � � � , onde� � �

�,�,� ! � . Deri-

vando e igualando a zero:� � � � ! � � � � � � � �

� � � � , obtemos ����

� �

� � . Usando o teorema

A, temos que � � �� �� � é o ponto de mínimo e � �

��� �

� . As dimensões do tanque são

��� � 0 � � � e �

�� � � 0��1� � � e

� ��� � � � 0 � � � � � � 0

[8] Um pescador está a� � � de um ponto

�de uma praia e deseja alcançar um depósito de

combustível no ponto � , a � � de

�. Sua velocidade na água é de � � por hora e na terra

é de � � � por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador parachegar ao depósito no tempo mínimo .

Page 221: calculo I

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 221

A Bx

2y

Figura 5.43: Exemplo [8].

No desenho ��� � � � ' � . A função a minimizar é:

� � '5! � � � � ' � �

�7'� 0

Derivando e igualando a zero: �� � '5! � �

�� � ' � � � ' �� � , obtemos ' � � e, calculando a

derivada segunda de � : � � � � ' !$��

�� � � � � � ��� . Logo, �

� � � � � ��� e '�� � é o ponto procurado.

[9] Uma folha de aço de � � metros de comprimento e � metros de largura é dobrada ao meiopara fazer um canal em forma de V de � � metros de comprimento. Determine a distância entreas margens do canal, para que este tenha capacidade máxima.

2 2h

α

w/2

Figura 5.44: Exemplo [9].

Observemos que� � � � � � �$� � ! e � � � ��� � � � ! . Então, podemos escrever a área do triângulo

como função de � . De fato,� � � !$� �

�� � � � � �$� � � ! , � � � � ! . Derivando

� �� � � � ��� � � � � !

e igualando a zero, obtemos que ��� � � � � ! � � se � � � � . Calculando a derivada segunda:� � �� � � � � � � � �$� � � ! ��� ; logo, � � � é ponto de máximo e ��� � � � �$� � ! � � � �

metros.

[10] Em que ponto da curva � � � �7'�� , a reta tangente à curva nesse ponto forma no primeiroquadrante um triângulo de área mínima? Determine a área.

Page 222: calculo I

222 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

A

C

B

P

Figura 5.45: Exemplo [10].

Seja � � � ' � �� � ! o ponto procurado. A equação da reta tangente à curva passando pelo ponto� é �)� � � � � � ' � � ' � ' � ! . Como � � � � � '��� , temos � � � � ' � ' � '��� � � . Se ' � � ,

� � � � '��� e se � ��� , '�� ' �� ���� ' � . O triângulo� � � é formado por

� � � � 4� ! , � � � ' �� ���� ' � 4� �e � � � � � � '��� ! . A área é:

� � ' � ! � � ' �� ��� ! �� ' � ' � ��� 0

Derivando,� �� ' � � �

' �� � � ! � ' �� ��� !

� ' �� e igualando a zero, obtemos ' � �� �� . Calculando a se-

gunda derivada: � � �� ' �� �' � � ���� ' �� �

como para todo ' � ��� , �

�� �� '5! ��� , ' � �

� �� é ponto de mínimo. A área é� � � �� � �

� � �� .

[11] Um fóton (raio de luz) parte de um ponto�

para um ponto � sobre um espelho plano,sendo refletido quando passa pelo ponto � . Estabeleça condições para que o caminho

� � �seja o mais curto possível.

A

P

B

a b

x d−xα β

Figura 5.46: Exemplo [11].

Devemos minimizar o comprimento � do percurso: ��� ' ! � � � � � ' � ��

� � � � � � '5! � . Deri-

vando,� �� ' � '

� � � � ' ��

� �7'�� � � � � �7'5! �

e igualando a zero, obtemos:

Page 223: calculo I

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 223

'� � � � ' � �

� �7'�� � � � � �7' ! �

que é equivalente a�' � �� �7' , donde obtemos que � � � . Esta é a condição para que o

caminho� � � seja o mais curto. De fato, o ponto crítico '�� � �

� � � é de mínimo, pois,

� � �� ' � � '5! � � �� ' � � � � !

� � � �

� � � �7' ! � � � � !� ��� �

em particular,� � �� ' � � � �

� � � � ��� .

[12] A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetória que requer tempo mínimo.Suponha que a luz tenha velocidade de propagação � � no ar e �

� na água ( � � � �� ). Se a luz vai

de um ponto � no ar a um ponto � na água, que lei determina este percurso?

O

P

R

Q

x

d−x

b β

a

α

βD

Figura 5.47: Exemplo [12].

Sejam � � � � � � , ��� � � � , � � � � � , ' � � � � � , � � � � � � � ! e �&� � � � � �! . Os temposnecessários para o raio de luz ir de � a � e de � a � são, respectivamente:

� � � ' � � � �� � e

� �

�� � �7'5! � � � �

��

0

O tempo total de percurso de � a � é � � �

� . Minimizemos � '5! , '- 2 � � 3 .

� � ' � '

� � � ' � � � ��

� �7'���

� � �7'5! � � � �� � � �$� � !

� � � � � �$� � !��

0

��

�� � � se �

� � � ��� � � �������� �� , equação conhecida como lei de Snell. Para verificar que a condição:

� � �$� � !� � � � � �$� � !

��

Page 224: calculo I

224 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

corresponde ao percurso de tempo mínimo, mostraremos que

é côncava para cima em todoponto. � � � ' � � � � � � � � � � � � �7' ! �/!

� � � � � � � � � � '��(!�

� � � � � � � � ' � !� � � � �7' ! � � � � !

� 0 � � � ' ! ��� para todo ' , pois todas as quantidades envolvidas são positivas.

[13] Um quadro de altura a está pendurado em uma parede vertical, de modo que sua bordainferior está a uma altura � acima do nível do olho de um observador. A que distância da pa-rede deve colocar-se o observador para que sua posição seja a mais vantajosa para contemplaro quadro, isto é, para que o ângulo visual seja máximo?

Perfil do problema:

a

h

βα

Figura 5.48: Exemplo [13].

Seja � �� � � . Logo, ��� � � !+� ��� � � � � ! ���� � � ��� ��� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� � . Então, ��� � � ! � � � �� e ��� � � !+�

� ; logo:

��� � � !$� �$'' � � � � ��� � 0

Maximizemos a seguinte função:

� � ' ! � �$'' � � � � ��� � 0

Derivando � : � � � '5!7� � � � � � � � � �� � � � � � � � . O ponto crítico é ' � �

� � � � ��� ! ; observe que � e odominador de � �

são positivos; logo, examinemos o numerador de � �

. � é crescente se ' �� � � � � � ! e � é decrescente se� � � � ��� ! � ' ; então, ' � é o ponto de máximo de � . Para que o

ângulo visual seja máximo, o observador deve colocar-se à distância de� � � � ��� ! da parede.

[14] Implante de Vasos Sanguíneos:

Suponha que um cirurgião necessite implantar um vaso sanguíneo numa artéria, a fim de me-lhorar a irrigação numa certa área. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemosconsiderar que vasos e artérias tem formato cilíndrico não elástico. Denotemos por

�e � o iní-

cio e o final da artéria e suponhamos que se deseje implantar o vaso num ponto da artéria, demodo que a resistência ao fluxo sanguíneo entre

�e � seja a menor possível. A lei de Poiseuille

afirma que a resistência � do sangue no vaso é: � � � �� � , onde�

é o comprimento do vaso, �

Page 225: calculo I

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 225

é o raio do vaso e�

uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue. Nossaestratégia será determinar o melhor ângulo do implante. Para isto, consideremos o seguintediagrama:

αA Br

r2

1

C

D

Figura 5.49: .

Sem perda de generalidade, podemos supor que � �-� � � e � � � � � ! . Denotemos por� � o

comprimento do segmento � ,� � o comprimento do segmento

� � ,�� o comprimento do

segmento � , ' o comprimento do segmento � � e � o ângulo � � � :

αβA B

d

xd1

0d2

C

D

Figura 5.50: Esquema.

A resistência total é:

� � � � � �� � � �������,0

Observamos que� � , � � , � � e � são constantes. Escrevamos � em função de � . Do desenho:

� � �$� � ! �� ���

; logo,�� �

� �

� � �$� � ! , ��� � � ! �� �

' � � � e ��� � � ! �� �

' ; logo,� � � � � � �

��� � � ! ��

��� � � ! � .Então, � � � ! � � � � � � �

��� ��� � � !���

� ��� � � � � � !���

� , onde � ��� � � � e � � ���� ��� � � !���

.

�� � � ! � � � ��� � � � � � ! � ��� � � � � � !

���

���� ��� � � !���� � � �

Page 226: calculo I

226 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

então, ��� � � � ! � � � �� � ��

e � � � � � � ��� � � � � �� � �� � é o ponto crítico.

�� � � � ! � � � � � ��� � � � ! � ��

����� � � � � ! � � � � ���

��� ��� �� � � � � ! 0

Sabendo que � � �$� � � � ��� � � '5! !�� � � �7' � , temos que: �� � � � � !��

� ���� �� � � �

� � , onde � �

� � �� � ��. Logo, o melhor ângulo para fazer o implante é � � � � � � ��� � � � ! . Por exemplo, supondo

que � � é 3 vezes � � , obtemos � ��� � e �7� � � � ��� ��� �

� � � .5.7 Teorema de L’Hôpital

Comumente, ao estudar limites, aparecem expressões indeterminadas. Por exemplo:������ �

'� � � �

onde a expressão indeterminada é do tipo ��� ! . O teorema de L’Hôpital nos indica um método

para fazer desaparecer estas indeterminações e calcular limites de uma forma mais eficiente.

Teorema 5.7. (L’Hôpital)Sejam � e � funções deriváveis num domínio que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião deintervalos abertos, exceto possivelmente num ponto � e � � ' ! �� � , para todo ' �� � .

1. Se������ � � � ' ! �

������ � � � '5! � � e

������ �� � � '5!� � � ' ! ��� , então:

������ �� � ' !� � ' ! �

� ���� �� � � '5!� � � '5! ���

2. Se������ � � � ' ! �

������ � � � '5! � � e

� ���� �� � � ' !� � � ' ! ��� , então:

������ �� � ' !� � ' ! �

� ���� �� � � '5!� � � '5! ���

Para a prova do teorema veja o apêndice. O teorema também é válido para limites laterais e

para limites no infinito. Se � �

e ��

satisfazem às hipóteses do teorema e������ �� � � � '5!� � � � ' ! ��� , então:

������ �� � � ' !� � � ' ! �

� ���� �� � � � '5!� � � � '5! ��� �

logo;������ �� � ' !� � ' ! �

������ �� � � � '5!� � � � ' ! ��� .

Em geral se � ��� � e � ��� � satisfazem às hipóteses do teorema e������ �� ��� � � ' !� ��� � � '5! ��� , então:

Page 227: calculo I

5.7. TEOREMA DE L’HÔPITAL 227

������ �� � '5!� � '5! �

������ �� ��� � � ' !� ��� � � '5! ��� 0

Se a função da qual estamos calculando o limite é � vezes derivável, podemos derivar suces-sivamente até "eliminar"a indeterminação. Para indicar o tipo de indeterminação, denotamos� �

� ! , � �� ! , etc.

Exemplo 5.13.

[1] Calcule� ���� ���

'�� � � ' � �' � �7'�� � . Primeiramente observamos que o limite apresenta uma inde-

terminação do tipo � �� ! . Aplicando o teorema, derivamos o numerador e o denominador dafunção racional duas vezes; então:

������ ���

' � � � ' � �' � �7'�� � �

� ���� ���

� '�� �� '�� � ������� ���

�� � � 0

[2] Calcule� ���� �

� � � �' . O limite apresenta uma indeterminação do tipo � �

� ! . Aplicando o teore-ma:

������ �

� � � �' �

������ �

� � � �$� � !� � � �$� ��! 0

[3] Calcule������ �

� � �$� '5!' . O limite apresenta uma indeterminação do tipo � �

� ! . Aplicando o teore-ma:

� ���� �

� � �$� ' !' �

������ �

��� � � ' !� � � 05.7.1 Outros tipos de indeterminações

O teorema de L’Hôpital nos indica somente como resolver indeterminações do tipo � �� ! e � �� ! .

Outros tipos, como � � � � ! , � �, � � � , � �

e � � , podem ser resolvidos transformando-os nostipos já estudados no teorema.

Caso���������

[1] Calcule����

�� � � ' � �$� '5! . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ; então fazemos:����

�� � � ' � �$� ' ! �� ��

�� � �� �$� '5!�

'0

����

�� � �� �$� '5!�

'é uma forma indeterminada do tipo � �� ! . Aplicando o teorema:

� ��

�� � � ' � �$� ' ! �����

�� � �� �$� ' !�

'�� ��

�� � �� � �$� ' ! � �

� �' ��

�� ��

�� � � �

�' �' �

�� ��

�� � � � � ' ! ��� 0

Page 228: calculo I

228 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

[2] Um objeto de massa � é deixado cair a partir do repouso. Sua velocidade após � segundos,tendo em conta a resistência do ar, é dada por: � �

� �� � � � � ����

� ! , onde � é aceleração devidaà gravidade e � ��� . Calculemos

� ��

� � ���� . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ;

então fazemos:

����

� � ���� � � �

����

� � ���� � � ���

���

que é uma forma indeterminada do tipo � �� ! . Aplicando o teorema:

����

� � ���� � � �

� ��

� � ���� � � ���

���

� � �����

� � ���� � � ���

� � � � 0

Como exercício, interprete este limite.

Caso���

����

[1] Calcule� ���� � � �' � �

�' � � � � � ' ! � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ; então

fazemos:������ � � �' � �

�' � � � � � ' ! � �

������ �

� � � � ' ! � �' � � � � � '5! 0

������ �

� � � � ' ! � �' � � � � � ' ! é uma forma indeterminada do tipo � �

� ! . Aplicando o teorema:� ���� � � �' � �

�' � � � � � ' ! ���

������ �

� � � � ' ! � �' � � � � � ' ! �

������ �

��� � ' !� ' � ' � ��� � ' ! 0

Observamos que������ �

��� � '5!� ' � ' � ��� � '5! é uma forma indeterminada do tipo � �� ! e novamente apli-

camos o teorema ao último limite:������ �

��� � '5!� ' � ' � ��� � ' ! �� ���� �

� � � �,� ' !� � � ' ��� � '5! � ' � � � � � � '5! ��� 0

[2] Calcule����

�� � �� � � � � ' ! � ��� � '5! � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ; então

fazemos:����

�� � �� � � � � ' ! � ��� � ' ! � �

����

�� � �� ���� � � '5! � � � �$� '5!��� � � ' ! � �

����

�� � �� � � � �$� ' !��� � � ' ! 0

� ��

�� � �� � � � �$� '5!��� � � '5! é uma forma indeterminada do tipo � �

� ! e novamente aplicamos o teorema:����

�� � �� � � � �$� ' !��� � � '5! �

����

�� � ���� ��� � ' !$��� 0

Page 229: calculo I

5.7. TEOREMA DE L’HÔPITAL 229

Caso�����

[1] Calcule������ � � � � ' � � � ��� � � � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; fazendo:

� � '5! � � � � � � � ' � � � ��� � � � � � ��� ��� � ' ! � �$� ' ��� ! temos:

������ � � � ' ! �

������ ���� ��� � '5! � �$� ' ��� ! . Este limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ;

então, aplicamos o caso A:������ ���� ��� � '5! � �$� ' � � !+�

������ �� �$� ' ��� !��� � ' ! �

������ �� �$� ' � � !��� � ' ! é uma forma indeterminada do tipo � �

� ! . Aplicando o teorema:������ �� �$� ' ��� !��� � '5! �

������ �

�� � � ' ! � � � � � ' ! � � �

logo;������ � � � '5! �

������ � � � � � � � ' � � � ��� � � � � � � . Como � �$� ' ! é uma função contínua em seu domí-

nio, temos:������ � � ��� � � � '�� � � ��� � � � � � � ��� � � ��� � � � � '�� � � ��� � � � � � � 0

Da última igualdade:������ � � � � '�� � � ��� � � � � � .

[2] Calcule������ ��� � � �

�' � � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; então fazemos:

� � ' ! � � � � � � � �' � � � � ' � � � � � �' � �então,

� ���� ��� � � ' ! �

� ���� ��� ' � � � � � �' � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! ;

então aplicamos o caso A:

� ���� ��� ' � ��� � � �' � �

������ ���

� � � � � �' ��'

0

O limite é uma forma indeterminada do tipo � �� ! . Aplicando o teorema:

������ ���

� ��� � � �' ��'

������� ���

'� � ' 0

O limite é uma forma indeterminada do tipo � �� ! e novamente aplicamos o teorema:� ���� ��� � � ' !$�

������ ���

'� � ' ������� ���� � � 0

Como � �$� ' ! é uma função contínua em seu domínio, temos:

Page 230: calculo I

230 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

� ���� ��� � ��� � � � �' � � � � � ��� � � ��� ��� � � �

�' � � � � � 0

Da última igualdade:������ ��� � � �

�' � � � � .

Caso����� �

[1] Calcule������ ��� � ' ! � �

. O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; fazemos:

� � '5! � � ���4� ' ! � �� ��� � �$� ' !

� � �

então,������ ��� � � '5! �

������ ���

� �$� '5!� � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � �� ! e novamen-

te aplicamos o teorema:������ ��� � � '5! �

������ ���

� �$� '5!� � �

������ ���

�' � � � � 0

Como � �$� ' ! é uma função contínua em seu domínio, temos:������ ��� � � � � ' ! � �

� � � � � � ��� ��� ��� � ' ! � �� � � � 0

Da última igualdade:������ ��� � ' ! � �

� � .[2] Calcule

����

�� � � � �' ���� � � �

. O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; fazemos:

� � '5! � � � � � �' ���� � � � � �

� ��� �' ���� ��� � '5! �

então,� ��

�� � � � � ' ! �� ��

�� � �� ��� �' ���� ��� � ' ! . O limite é uma forma indeterminada do tipo � �� ! e novamen-

te aplicamos o teorema:

����

�� � � � � ' ! �� ��

�� � �� ��� �' ���� ��� � ' ! �

����

�� � �� � � � � ' !

' � � 0

Sendo � �$� ' ! uma função contínua em seu domínio, temos:� ��

�� � � � ��� � �' ���� � � � � � � ��� � � ��� � � � �' �

��� � � � � � � 0

Da última igualdade:����

�� � � � �' ���� � � �

� ��

� � .Caso

��� � �

[1] Calcule������ � ' � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; fazemos:

Page 231: calculo I

5.8. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO 231

� � ' ! � � �$� ' � ! � ' � �$� ' !��então:

������ � � � ' ! �

� ���� � ' � �$� ' ! . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � ! e novamente

aplicamos o teorema:� ���� � � � ' !$�

������ �� �$� ' !�

'�� ���� � � � ' ! � � 0

Sendo � �$� ' ! uma função contínua em seu domínio, temos:� ���� � � �$� ' � ! � � �$�

������ � ' � ! � � 0

Da última igualdade:������ � ' � � �

�� � .

[2] Calcule����

�� � � ��� � � ' ! � � � � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � ! ; fazemos:

� � ' !$� � �$� � ��� � � '5! � � � � !��então:

����

�� � � � '5! �

����

�� � � � �7' � � � � ��� � � '5! � . O limite é uma forma indeterminada do tipo � � � � !

e novamente aplicamos o teorema:����

�� � � � ' !$�

����

�� � � � �7'�� � ��� ��� � � ' ! ���

� ��

�� � � � � ��'�� � � � �$� '5!��� � � ' ! � � 0

Sendo � �$� ' ! uma função contínua em seu domínio, temos:����

�� � � ��� � ��� � � ' ! � � � � � � � ��� ��� ��� � � ��� � � ' ! � � � � � � � 0

Da última igualdade:����

�� � � ��� � � ' ! � � � � � �

�� � .

Em geral, nos casos de potências indeterminadas, usamos a função logarítmica ��� � �$� '5! parapoder aplicar o teorema de L’Hôpital. A continuidade da função logarítmica � � � �$� ' ! e de suainversa ��� � � permite resolver este tipo de limite.

5.8 Diferencial de uma Função

A diferencial de uma função será introduzida de maneira formal. Ao leitor interessado reco-mendamos a bibliografia avançada. Seja � � � � ' ! uma função definida num domínio ediferenciável no ponto ' � . Denotemos por

� ' o número (não nulo), tal que� ' � ' � .

Definição 5.7.

1. Para cada ' � , a diferencial de ��� � � ' ! no ponto ' � é denotada por� � ou

� � � ' � ! e definidapor

� � � � � � ' � ! � ' .

2. O incremento de ��� � � ' ! em ' � é denotado por � e definido por ��� � � ' � � � '5! � � � ' � ! .

Page 232: calculo I

232 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

Para ' � fixado,� � é uma função linear sobre o domínio de todos os valores possíveis de

� ' e � é uma função sobre o domínio de todos os valores possíveis de

� ' . Seja� '�� '�� ' � , então:���

��� � � � � � �'�� ' � � � 0 Se � � � ' � ! �� � :

������ � �

�� � � � 0 temos que� � é uma "boa"aproximação para � :

� � ' ! � � � ' � ! � � � � ' � ! � ' � � � ' ��' � ! , onde � � ' ��' � ! é uma função tal que������ � �

� � '�� ' � !'��7' � � � .

Compare com linearização.

Exemplo 5.14.

Seja � � � � ' ! � '�� ; � � � � ' � ' ; no ponto ' � :� � � � ' � � ' e � � ' � � � ' ! � � � ' � ! � � ' � � ' � � � ' ! � ;

logo ��� � ' � � ' � � � '5! � . Então:������ � �

� � � �'��7' � �

������ � � � '���' � ! � �

� ���� � �

�� � ������� � � �� � '��7' �

� ' � ! � � 0Por outro lado, ' � � ' �� � � ' � � ' � � � '��7' � ! , então

� � '��7' � !'��7' � � '�� �7'��� � � ' � � '

'��7' � ��'���' � e������ � �

� � '���' � !'���' � �

������ � � � '��7' � ! � � .

Propriedades

Sejam � � � � '5! e ��� � � ' ! funções definidas num domínio e diferenciáveis no ponto ' � ,então:

1.� � � � � !#� ' � ! � � � � !#� ' � ! � � � � !#� ' � ! .

2.� � � � !#� ' � ! � � � ' � ! � � � !#� ' � ! � � � ' � ! � � ��!#� ' � ! .

5.9 Exercícios

1. Verifique as condições do teorema de Rolle e determine os ' � correspondentes à conclusãodo teorema:

(a) � � ' ! � '�� � � ' ��� � , no intervalo 2 � � 3(b) � � ' ! � '�� � � ' , no intervalo 2 � � 3(c) � � ' ! � ' � � '�� � � � ' � � � , no intervalo 2 �

� 3

(d) � � ' ! � � � �$� ' ! ����� � � ' ! , no intervalo 2 � � � 3

2. Verifique as condições do teorema do valor médio e determine os ' � correspondentes àconclusão do teorema.

(a) � � ' ! � ' � � � ' � , no intervalo 2 � 3(b) � � ' ! � ' � � � ' � , no intervalo 2 � � � 3

Page 233: calculo I

5.9. EXERCÍCIOS 233

(c) � � '5! � ' � � ' � � , no intervalo 2 � � 3(d) � � '5! � � � �$� � ' ! , no intervalo 2 � 3

3. Calcule os pontos críticos (se existem) de:

(a) � �' � �

(b) � � '�� �' � �

(c) � � � � � '��7' �(d) � � � '�� � !#� ' � � !(e) � �

�7'��

(f) � � ' � � � '�� � 6' � (g) � � ' � � �,' �(h) � � � � �$� ' !

(i) ��� ��� � � ' !(j) ��� � � �$� ' ! � ��� � � '5!

(k) ��� � � �7'(l) ��� �� � ' � � �1! �

(m) ��� '' � � �

(n) ����� � '�� �

(o) ��� � � '�� �'�� � ! �

(p) ��� ' � � � ��' ! � , � � � e ��� �

4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimentodas seguintes funções:

(a) � � '5! � � ' � � � � ' � � � ' � � � � ' ��� �(b) � � '5! � � ' � �

'

(c) � � '5! � � � ��'(d) � � '5! � � �$� ' � ��� !(e) � � '5! � '�� � �$� '5!(f) � � '5! �

�� ' � ���

(g) � � � '�� �(h) � �

� 6'

(i) ���' � � �6' � �

(j) ��� ' � � � '�� � �,' � �

(k) ��� � '�� � !#� '�� � !#� ' �!

(l) ��� � � �$� ' ! � ' �(m) ��� � �

(n) ��� � � �

(o) ��� ' � � �

(p) ��� '��'�� �

5. Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:

(a) � � � '�� � �6' � �

(b) � � �,'���'��

(c) � � ' � � ' � � � ' � �(d) � � ' �

�� ' � � �,' �

(e) � � �� � ' � � � '(f) � � � �� � '�� � ! �

(g) ��� � �� � � ' �

! �

(h) ��� � '' � � �

(i) ��� ' ���' � � � ' ��� � � '

(j) ��� � ' � � ! �1� '�� � ! �(k) ��� '�� � � � �7'

(l) ��� ' � � � ' � � ' �

Page 234: calculo I

234 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

(m) � � '�� � �

' ���(n) � � '�� �

�7' �

(o) � � ' � � � '

(p) ��� �� ' � ' � � ! � �

(q) ��� � ' � � ! � '�� � ! �(r) ��� � '�� �

�' �

6. Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:

(a) � � � '�� � ' � � � '(b) � �

' � � � � ' � � � � ' � ��� � ' � �

(c) � ��

' � �(d) � � � ' � � � �(e) � � '�� �

�' �

(f) � � '�� � �� '��

! �

(g) � � � � �

(h) ��� � ' � � ! � � � �

(i) ��� ' ���'

(j) ��� ' � � �7' �(k) ��� � � �$� �'5!(l) ��� � �$� '�� � � ' � � !

(m) ��� ��� � � ' !(n) ��� � � � �

7. Esboce os gráficos de:

(a) � � � '�� � �,' � �

(b) � � � ' � �7' � � � ' �(c) � �

' ���

� ' � � !#� '��!

(d) � � � �$� ' � � � !(e) � � �

� ' � �

(f) � � '��'��

(g) � � � � '��7'(h) � � ' � �

'��

(i) � � ' ��'

(j) � ��' � �

�'

(k) � � ' � �7'��(l) � � ' � �7' � 0

(m) � � ' ���' � � � '

(n) � � � ' ��� ! � '��! �

(o) � ��

� ' � ���(p) � � '�� � �

' � �7'�� �

(q) � � � ' ��� ! �� '�� � ! � ' � � ! �

(r) ��� '�� � � '�� '��

(s) ��� � '�� � � ! �(t) ��� � ' � � �1� '5!

(u) ��� ' � '�� � !' � � �

(v) ��� ' �� �

(w) ��� � ' � ��'��(! � �$� ' !(x) ��� �� ' � � �� ' �

(y) ��� �� � '�� � ! �8. Determine o valor de

�tal que a função � � ' � � � '�� � ' � � admita um ponto de inflexão

em '�� � .9. Seja � � � '�� � ��' � ��� ' � �

� � �/ � � �� e � �� � .

(a) Determine o único ponto de inflexão de � .

(b) Verifique que � tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo se � � �� � ��� .

Page 235: calculo I

5.9. EXERCÍCIOS 235

10. Seja ��� ' � � � ��' � ! , onde � � são números naturais. Verifique:

(a) Se � é par, � tem um ponto de mínimo em '�� � .

(b) Se � é par, � tem um ponto de mínimo em '�� � .11. Esboce o gráfico da família de curvas � � ' � � ' � ��� '�� , � �� .

Problemas de Otimização

1. Determine a área do retângulo máximo, com base no eixo dos ' e vértices superioressobre a parábola ��� � � �7'�� .

2. Com uma quantidade�

de material dada deve-se construir um depósito de base quadra-da e paredes verticais. Determine as dimensões que dão o volume máximo.

3. Uma reta passando por � � � ! corta o eixo dos ' em� � � �4� ! e o eixo dos � em � � � � ��"! .

Determine o triângulo� � � de área mínima para � e � positivos.

4. Um cartaz deve conter � � � � de matéria impressa com duas margens de � � � cada, naparte superior e na parte inferior e duas margens laterais de

� � � cada. Determine asdimensões externas do cartaz de modo que sua área total seja mínima.

5. Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa � em torno de um de seus catetos,gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo.

6. Determine o ponto da curva � � � � � � ��' ! situado a menor distância da origem.

7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera deraio � .

8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a � � � � . Deter-mine os valores do raio � e da profundidade � (altura), de modo que a piscina possa serconstruida com a menor quantidade de material possível.

9. Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triânguloretângulo de hipotenusa igual a

� � � em torno de um dos catetos.

10. Determine o ponto do eixo dos ' cuja soma das distâncias a � ��(��1! e � � � ! é mínima.

11. Entre todos os retângulos de área dada � , qual o que tem menor perímetro?

12. Determine os catetos de um triângulo retângulo de área máxima sabendo que sua hipo-tenusa é � .

Page 236: calculo I

236 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

13. Uma janela tem formato retangular com um semi-círculo no topo. Determine as dimen-sões da janela de área máxima, se o perímetro é de � � metros.

14. Determine a área do maior retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados e quepode ser inscrito na região limitada pelas curvas � � � � �7' � e � � � .

15. Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordasparalelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento � aolongo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e olado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume máximo.

16. Um sólido é construido, colando um cilindro circular reto de altura � e raio � a umasemi-esfera de raio � . Se a área do sólido é , determine � e � para que o volume sejamáximo.

17. Suponha que a resistência de uma viga retangular é dada pela fórmula: � � � � � , onde �e � são, respectivamente, a largura e a altura da seção da viga. Determine as dimensõesda viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de árvore cilíndrico de raio � .

18. Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilátero. Sabendoque o perímetro da janela é igual a � metros, determine as dimensões do retângulo queproporciona a área máxima para a janela.

19. A diferença de dois número é� � . Determine os números de modo que o produto seja o

menor possível.

20. A soma de duas vezes um números e cinco vezes um segundo número é� � . Determine

os números de modo que o produto seja o maior possível.

21. Determine as dimensões do retângulo de maior perímetro que pode ser inscrito na elipse

centrada'��� �� ���

� � � � ; ��� ���� .

22. Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de dados:

� '��(���� ! � ' � �� � ! "0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �� ' � � �"�� � � � ! � ' � �� � ! , tais que os ' � não são todos iguais.A teoria subjacente à experiência sugere que os dados devem estar ao longo de uma reta� � � ' . Devido a erros experimentais, os pontos não são colineares. O problema consisteem determinar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar �

de modo que a soma dos desvios verticais seja mínima. O ponto sobre a reta � � � ' queestá mais próximo (distância vertical) dos pontos dados tem coordenadas � ' � � ' � ! ; logoo quadrado da distância vertical a estes pontos é: � � � � � ' � � � � ! � � � � � � .

(a) Minimize a função: � � � ! � � � � � �� 0 0 0 0 0 0 0 0 ��� � �

��� � �

� � ' � � � � ! � .

(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos � � � (� � ! , � � 4� ! , � � � ! , � � ! e � ��

! .

Page 237: calculo I

5.9. EXERCÍCIOS 237

23. Se a velocidade de uma onda de comprimento � , em águas profundas, é dada por:

� � ����� ��

onde � e � são constantes positivas, qual é o comprimento da onda que minimiza avelocidade?

24. A taxa aeróbica de uma pessoa com ' anos de idade é dada por:

� � '5! �� � � � � �$� ' ! � � !

'

sendo '-� � � . Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima?

25. Com um fio de comprimento� � constroi-se um arco de círculo de modo que a área do

segmento circular que determina seja máxima. Qual é o raio?

26. Se uma droga é injetada na corrente sanguínea, sua concentração � minutos depois é dadapor � � �4! � � � � � � � � � � � � ! , onde

�é uma constante positiva.

(a) Em que instante ocorre a concentração máxima?

(b) Que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo?

27. Determine o maior comprimento que deve ter uma escada para passar de um corredorde metros de largura a outro, perpendicular, de � metros de largura?

28. Usando L’Hôpital, calcule os seguintes limites:

(a)������ � �

' � � �' � � �,' �

(b)

������ ���

'�� � �6' � �' � � � '�� �

(c)������ ���

� �$� '5!� � �

(d)����

�� � � � � �$� ' ! � �$� ' !(e)

����

�� � � � � � ��� � � '5! ! � �$� ' !

(f)������ ��� � ' � ��� ! �

(g)����

�� � � ' � ��

(h)����

�� ��

� � � ��� � � ' ! ! �

(i)������ ��� ' � � �

� �

(j)����

�� � � ' ��� � � �

(k)������ � � �$� ' ! � �$� '�� � !

(l)����

�� � � ' � � ��� � �

(m)����

�� � � ' ��� ��� ���

(n)����

�� � � � � � �$� '5! ! ��� � � �

(o)������ � � � � � ' ! �

(p)������ � � ��� � � � � ' ! �

�' !

(q)������ ���

� � �� � ' !'

(r)������ ���

' � �$� ' !' � � �$� ' !

(s)������ � � � � � � �

� � ' ! ! �

Page 238: calculo I

238 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA

(t)������ � � �

� ��� � � ' ! !�

� �

(u)������ ��� � � ' � �

' � � � ! �� �7'5!

(v)������ ���

� �$� � �$� ' ! !� �$� ' � � �$� ' ! !

(w)������ �

� � �$� � ' ! ��� � ' !'

(x)������ ���

'�� � '��' �

(y)������ � � ��� ��� � � ' ! �

�' � !

(z)������ ���

� �$� � �$� ' ! !� �$� ' � � � �$� '5! !

Page 239: calculo I

Capítulo 6

INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

6.1 Introdução

Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a suaderivada. Este problema é chamado de integração indefinida.

Definição 6.1. Uma função � � ' ! é chamada uma primitiva da função � � ' ! no intervalo � se para todo' � , tem-se:

� � � '5! � � � '5!

Muitas vezes não faremos menção ao intervalo � , mas a primitiva de uma função sempre serádefinida sobre um intervalo.

Exemplo 6.1.

[1] Seja � � ' !�� ' � , então � � ' !�� ' �

� é uma primitiva de � em � , pois �� � '5!�� ' � � � � ' ! .

� � '5! � ' �

�� é também uma primitiva de � em � , pois �

� � '5! � ' � � � � '5! . Na verdade,

� � '5! � ' �

���� , para todo � �� é primitiva de � pois �

� � ' ! � ' � � � � ' ! .[2] Seja � � '5! � ��� � � ' ! , então � � ' !$� � � �$� ' ! � � , para todo � �� é uma primitiva de � . De fato,� � � ' !$� ��� � � ' !$� � � ' ! .[3] Seja:

� � ' ! �� � ') 2 ����3

� ' * 2 ����3 0

Não existe função definida em todo � cuja derivada seja igual a � � '5! . Por outro lado, considerea seguinte função:

� � '5! �

��� �� � '-���'���� '- 2 �����3� ��� '-��� 0

239

Page 240: calculo I

240 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

� � '5! é uma função contínua em todo � e �� � ' ! � � � '5! se ' �� ���"! . Logo, � é uma primitiva

de � em � ���"! .Em geral, uma função � admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o queassegura a seguinte proposição:

Proposição 6.1. Seja � uma primitiva da função � no intervalo � . Então,� � '5!+� � � '5! ��� , � � , é

também primitiva de � no intervalo � .

A pergunta natural que surge, a seguir, é: se � e�

são primitivas de uma função � sobre umintervalo, será que � e

�estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada

pela seguinte proposição:

Proposição 6.2. Se � e�

são primitivas de uma função � num intervalo � , então existe � -� tal que� � '5! � � � '5! ��� , para todo ') � .Prova: Seja � � ' !$� � � ' ! � � � ' ! ; então, para todo '- � , temos que: �

� � ' ! � � � � '5! � � � � ' !$�� � � '5! � � � '5! � � . Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo ' � , � � ' ! � � ;então, para todo '- � , � � '5! � � � '5!$� � 0Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se co-nhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato,basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras.

Exemplo 6.2.

[1] Seja � � ' !�� ��� � � ' ! . Uma primitiva desta função é � � '5! � � � �$� '5! ; logo, toda primitiva de �é do tipo

� � ' !+� � � �$� ' ! ��� � �� .

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

3

Figura 6.1: Gráficos de � e algumas primitivas de ��� � � ' ! .

[2] Seja � � '5!$� � � � � �� � . Uma primitiva desta função é � � '5!+� � � �

� ; logo, toda primitiva de �é do tipo

� � ' !+� � � �

� ��� , � �� .

Definição 6.2. Seja � � '5! uma primitiva da função � � '5! no intervalo � . A expressão � � '5! ��� � �é chamada a integral indefinida da função � e é denotada por:

�� � ' ! � '�� � � ' ! ���

Page 241: calculo I

6.1. INTRODUÇÃO 241

Note que

�� � ' ! � '�� � � '5! ��� � � � � � '5! � � � '5!

em particular:��

� � '5! � ' � � � ' ! ��� 0

Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam � ,�

primitivas de � e � , respectivamente, numintervalo e � � �� . Então, � � � � �

é uma primitiva de � � � � � , e:

� � � � � '5! � � � � '5! � � '�� ��� � ' ! � ' � �

�� � ' ! � '

Prova: Se � e�

são primitivas de � e � , respectivamente, então � � � ' ! � � � � ' ! é primitiva de� � � ' ! � � � � ' ! ; logo:

� � � � � ' ! � � � � ' ! � � '���� � � � '5! � � � � ' ! � ��� �� � � � '5! � � � � � � � � � ' ! ��� � ���

�� � ' ! � ' � �

�� � '5! � ' 0

Exemplo 6.3.

Calcule as seguintes integrais:

[1]� ��� � � � '5! ��� � '5! ����� � � ' ! � � ' .

[2]� � � � � � � �

�� ' � � ' .

[3]�� � � � � ' ! � ' .

[1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais:� � � � � � '5! ��� � ' ! ����� � � ' ! � � '��

�� � � � ' ! ��� � '5! � ' �

� ��� � � '5! � ' 0

Sabemos que � � � � � '5! � �

� � � � � ' ! ��� � ' ! e � � � �$� ' ! ! � � ��� � � '5! , então:� � � � � � '5! ��� � '5! ����� � � ' ! � � '��

�� � � � ' ! ��� � ' ! � ' �

� ��� � � '5! � ' � � � � � ' ! � � � �$� ' ! ��� 0

[2] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como:� � � � � � � �

�� ' � � '�� � � �� � � ' �

� � '�� ' 0

Page 242: calculo I

242 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Como � � � � �

� � � e� � � �� ' � � �

� ��� � , então:

� � � � � � � ��� ' � � '�� � � � � � � �� ' � ��� 0

[3] Observe que � � � � � '5! � �� � � � ��� � � � ' ! ! ; logo:

�� � � � � ' ! � '��

��

�� � � ��� � � � ' ! ! � '-� ' � � � � �$� � '5!

�� � 0

Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua deriva-da; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadasimediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultandoa tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que:

� � � � ��� � '5! ! � ��� � ' � � então

� � '� � ' � � � � � ��� � ' ! � � 0

No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo � � �$� ' ! � ' , pois nãoé evidente encontrar uma função que tem como derivada � �$� '5! . Para resolver este impasse,estudaremos os chamados métodos de integração, que nos permitirão calcular integrais nãoimediatas.

6.2 Tabela

Usaremos como variável independente � .

1.� � ��� � ���

2.� � �

� � � �$� � � � ! ���3.

�� � � ��� � � � �

� ��� ��� �� ���� % � � .4.

�� � � ��� � �

� �$� ��!��� ����� , ( � �� � )

5.�� � � ��� � � ���

6.�� � �$� � ! � ��� � ��� � � � ! ���

7.� ��� � � � ! � ��� � � �$� � ! ���

8.�� � � � � �5! � ��� ��� � � ! ���

9.� ��� � � � � � �5! � ��� � ��� ��� � � ! ���

10.�� � � � � !���� � � ! � ��� � � � � � ! ���

11.� ��� � � � � �5! ��� ��� � �5! � ��� � ��� � � � � � ! ���

12.� � �� � � � � � � � � � � �$� �5! ���

13.� � �� � � � � � � � ��� � � ! ���

14.� � �� � � � � � � � � � � � � � �5! ���

15.�� � �� � �5! � ��� ��� � � � � ! ���

Page 243: calculo I

6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 243

16.� ��� � � � �5! � ��� � � �

� � � ! ���

17.�� � � � � � � ! � ��� ��� � � � ! ���

18.� ��� � � � � � � � ! � ��� � ��� ��� � � �5! � �

19.�� � � � � � !���� � � � ! � ��� � � � � � � � ! ���

20.� ��� � � � � � � ! ��� ��� � � � ! � ��� � ��� � � � � � �5! � �

21.� � �� � � � � � � � � � � �

� � � ! ���

22.� � �� � � � � � � � � ��� � � � �5! ���

23.� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ���

Métodos de Integração

Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determi-nar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia naregra da cadeia.

6.3 Método de Substituição

Sejam � uma primitiva de � num intervalo � e � uma função derivável tal que � � � estejadefinida. Usando a regra da cadeia; temos, � � � � � ' ! ! � �

� � � � � � ' ! ! ��� � � ' ! � � � � � ' ! ! ��� � � ' ! . Logo,� � � � '5! ! é uma primitiva de � � � � ' ! ! � � � � ' ! , então:�� � � � '5! ! � � � � '5! � '�� � � � � '5! ! ��� �

fazendo ��� � � '5! , tem-se� ��� �

� � ' ! � ' ; substituindo na expressão anterior:

�� � � � ' ! ! ��� � � '5! � ' �

�� � �5! � ��� � � � ! � �

Exemplo 6.4.

Calcule as seguintes integrais:

[1]� � '� � ' �

� ' 0 Fazendo ��� � � '�� , então� ��� � ' � ' . Substituindo na integral:

� � '� � ' �� '��

� � �� � � �$� � � � ! ��� � � �$� ' � ��� ! ��� 0

[2]�� � � � � ' ! ��� � � '5! � ' 0 Fazendo ��� � � �$� ' ! , então

� ��� ��� � � ' ! � ' . Substituindo na integral:

�� � � � � ' ! ��� � � ' ! � '��

�� � � ��� � � ��� � � � � � � '5! ��� 0

Page 244: calculo I

244 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

[3]� � '

�' � � ! � . Fazendo �)�

' � � , então

� �)� � ' ou, equivalentemente, �

�� � � ' . Substi-

tuindo na integral:

� � '�' � � ! � �

� � �� � �

� � � �� � � �

�� � � � ��� � ��� � �

' � � ! � ��� 0

[4]� � � � � � � ' !

� '� ' . Fazendo ��� � ' , então

� ��� ��

�� � . Substituindo na integral:

� � � � �,� � '5!� '

� '�� � �� � � � � �5! � ��� � ��� � � ! ��� � � ��� � � ' ! ��� 0

[5]� � �$� ' !

'� ' . Fazendo ��� � �$� ' ! , então

� ��� ��� . Substituindo na integral:

� � �$� ' !'

� '���� � ��� ���� ��� � � � �$� ' ! � �� ��� 0

[6]���� � � ' ! � ' � � � . Reescrevemos a integral fazendo: ��� � � '5! � �

������� � �� ����� � � . Se � � ��� � � � '5! ,

então� ��� � � � � �$� � ' ! � ' ou, equivalentemente, � �

� � � � �$� � ' ! � ' . Substituindo na integral:

���� � � '5! � '��

� � � �$� � ' !��� � � � '5!� '�� �

��

� � �� � �

�� � �$� � � � ! ��� � �

�� � �$� � ��� � � � ' ! � ! ��� 0

[7]� � '

' � � � � � � �� � . Reescrevemos a integral como:� � '

' � � � � ��� �

� � '� � � � .

Fazendo ��� � � , então� ��� �

�� . Substituindo na integral:

� � '' � � � � �

��

� � �� � ��� �

�� � � � ��� � �5! ��� �

�� � � � ��� � ' � � ��� 0

Muitas vezes, antes de efetuar uma substituição adequada, é necessário fazer algumas mani-pulações, como, por exemplo, o completamento de quadrados.

[8] Calcule� � '

' � � � ' � . Completando os quadrados ' � � � ' � � � ' � � ! � � � � ; então,

� � '' � � � ' � �

� � '� ' � � ! � � � � 0

Fazendo ��� ' � � , teremos� ��� � ' . Substituindo na integral:

� � �� � � � � �

�� � � � ��� � � � � ��� �

�� � � � ��� � ' � �� � ��� 0

Page 245: calculo I

6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 245

6.3.1 Outros Tipos de Substituições

Exemplo 6.5.

Calcule as seguintes integrais:

[1]� ' � '� ' ��� . Fazendo ��� � ' � � , então '�� ��� � � e

� � ��� ��

� � � � ;� ' � '� ' ��� � � �

� � � � � ! � ���� ��� � � � ��� �

� � ' � � ! � � � � � � ' ��� ��� 0[2]

� � '� � � �� ' . Fazendo ��� � � �� ' , então '�� � ��� � ! � e� '��

� ��� � ! � � � ;

� � '� � � �� ' ��

� ��� � ! �� �

� ��� �

� � � � � � � � ! � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � � � ���

� � � ��

� � � �� ' ! � �� �

� � � �� '5! � � � � � �� ' � ��� 0[3]

� '�� � ��� ' �

� ' . Seja ��� �� � ' �! ; então, '�� � � �

e� '��

��� � � ; '�� ��� � � � � ��� � ��� � .

� '�� ����� ' �

� '�� �

� � � � � � � ��� � ! � � ��� �

� � � � � � � ��� � � ! � ������� �

� � � � ��� �� � �����1�

�� � ' �! � � ' � � � � ' ��� � � ! ��� 0

[4]� � �

��� � � � . Fazendo � �

�� � � � , � � � � ��� � e � � � � � ��� . Logo,

� � � ���� � � � e

� � � � � �� � � � .� � �

��� � � � �

� ���� � � � � � � � � �

� � � �� � ��� �

� � � � ��� � �5! � � �� � � � ��� �

�� � � � ! � � 0

6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas

Exemplo 6.6.

Calcule as seguintes integrais:

[1]�� � �$� � ' ! � � �$� � '5! � ' . Se � �� � , utilizamos :

� � �$� � '5! � � �$� � ' ! ���� ����� �)� � ! '5! � ��� � � � � � � ! ' !� �

então: �� � �$� � ' ! � � �$� � ' ! � '��

��

� � ��� � � � �)� � ! ' ! � ��� � � � � � � ! '5! � � '��� � � � � � � �)� � ! '5!

�-� � � � � � � � � � � ! '5!� � � � 0

Page 246: calculo I

246 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Se � � � , utilizamos � � � �,� � ' ! � � ��� ��� � � � �� ; então:

�� � � � � � ' ! � '��

��

� � � � ��� � � � � '5! � � '���� � '�� � � �$� � � '5!� � �

[2]�� � � � � ' ! ��� � � � '5! � ' . Como � � � � � '5! ��� � � � ' ! � � � � � � '5! � � � � � � � � '5! � � ��� � � '5! , fazendo

��� � � �$� ' ! , temos� ��� ��� � � ' ! � ' e:

�� � � � � ' ! ��� � � � '5! � '��

�� � � � � ' ! � � � � � � � � ' ! ! � ��� � � '5! � '��

�� � � � � � � ! � � �

��

� � � � � � � � � � ! � ��� � � �� � � � � �� ���

� � � � � � ' ! �� � � � � � '5! � � � � � � ' !� ��� 0

[3]���� � � ' ! � ' . Fatorando ��� � � ' ! � ��� � '5! ��� � � ' ! � ��� � '5! � � � � �1� ' ! � � � ;

���� � � ' ! � '��

� � ��� � ' ! � � � � � ' ! � ��� � '5! � � '���� � ��� � � ' ! � � � ��� �� ��� � � ' !

�� � � ��� 0[4]

�� � � � ' ! � ' 0

�� � � � '5! � '��

�� � � � ' ! � ��� � ' ! � � � � � '5!

��� � ' ! � � � � � '5! � � '��� � � � � '5! ��� � '5! � � � � � � '5!

��� � '5! � � � � � ' !� ' 0

Fazendo ��� � � � � ' ! � ��� � '5! , temos� ��� � � � � � '5!���� � ' ! � � � � �1� ' ! ! � ' . Substituindo na integral:

� � � � � ' !���� � '5! � � � � � � ' !��� � ' ! � � � � � '5!

� '��� � �

� � � �$� � � � ! ��� � � �$� � � � � � '5! � ��� � ' ! � ! ��� 0Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolveprodutos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transfor-mar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usaralguns dos métodos.

6.5 Método de Integração por Partes

Sejam � e � funções deriváveis no intervalo � . Derivando o produto � � � :

� � � ' ! � � '5! � �

� � � � ' ! � � '5! � � � '5! � � � ' !

ou, equivalentemente, � � ' ! � � � '5! � � � � ' ! � � ' ! ! � � � � � ' ! � � '5! . Integrando ambos os lados:�� � '5! � � � ' ! � '���� � '5! � � ' ! �

��

� � ' ! � � '5! � ' �

fazendo: ��� � � ' ! e� � � �

� � ' ! � ' , temos:� ��� � � � '5! � ' e � � � � '5! . Logo:

Page 247: calculo I

6.5. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 247

�� � '5! � � � ' ! � '��

�� � � � � � �

�� � �

Este método de integração nos permite transformar a integração de � � � na integração de � � � .É importante saber “escolher” a substituição � e

� � na integral de partida. Devemos escolher� �

tal que permita determinar � . As expressões de � �

e � devem ser mais simples que as de � e� �

, respectivamente.

Exemplo 6.7.

Calcule as seguintes integrais:

[1]�� �$� ' ! � ' . Façamos ��� � �$� ' ! e

� � � � ' ; então,� ���

� '' e � � ' ; logo:

�� �$� ' ! � '��

�� � � � � � �

�� � ��� ' � �$� ' ! �

� � '�� ' � �$� '5! �7' ��� 0

[2]�

' � � � � ' . Façamos ��� ' e� � � � � � � ' ; então,

� ��� � ' e � �� � �� ; logo:

�' � � � � '��

�� � � � � � �

�� � ��� ' � � �� �

��

�� � � � '�� ' � � �� �

� � ����� 0

[3]�

' � � � �$� '5! � ' . Façamos ��� ' � e� � � � � �$� '5! � ' ; então,

� ��� � ' � ' e � � � ��� � � '5! ; logo:�

' � � � �$� '5! � '���� � � � � � �

�� � ��� � ' � ��� � � '5! � � �

' ��� � � ' ! � ' 0

Calculemos agora�

' ��� � � '5! � ' , novamente por partes. Fazendo ��� ' e� � � ��� � � ' ! � ' , temos

� ��� � ' e � � � � �$� '5! ; logo:

�' ��� � � ' ! � '��

�� � � � � � �

�� � ��� ' � � �$� ' ! �

�� � �$� ' ! � '�� ' � � �$� ' ! ����� � � '5! 0

Então:�

' � � � �$� '5! � '�� � ' � ��� � � ' ! � � � ' � � �$� ' ! ����� � � ' ! ! ��� 0

[4]�� � � � � �$� ��' ! � ' ; ���� �� � . Façamos � � � � � e

� � � � � �$� � '5! � ' ; então,� � � � � � � � ' e

� � � � ��� � � �� ; logo:

�� � � � � �$� ��' ! � '��

�� � � � � � �

�� � ��� � � � � ��� � � ��'5!

�� �

��� � � ��� � � ��' ! � ' 0 (6.1)

Calculemos�� � � ��� � � ��' ! � ' , novamente integrando por partes. Fazendo ��� � � � e

� � � ��� � � ��'5! � ' , temos� ��� � � � � � ' e � � �

� � � � � �� ; logo:�� � � ��� � � ��' ! � '��

�� � � � � � �

�� � ���

� � � � � �$� ��' !� � �

��� � � � � �$� ��' ! � ' 0 (6.2)

Page 248: calculo I

248 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Denotemos por � ��� � � � � �$� ��' ! � ' . Então, de 6.1 e 6.2, temos:

� � � � � � � � �$� ��' !� � �

� � � ��� � � ��'5!� � � �

� � �

Pois a última integral é exatamente a integral procurada e podemos passá-la ao outro lado daigualdade:

� � � � �� � ��� � � � � � � � �$� ��' !

� � �� � � ��� � � �'5!

� � ��� �� � �

� � � � � � � � � �$� �'5! � � ��� � � ��' ! ! 0

Logo,�� � � � � �$� � ' ! � '��

� � �� � � � � � � � � �$� �'5! � � ��� � � ��' ! ! ��� .

[5]�

' � ��� � � ' � ! � ' . Aqui usamos os dois métodos:

Substituição: seja � � '�� ; então,� � � � ' � ' ou �

�� � ' � ' ;

�' � ��� � � ' � ! � '��

��

�� ��� � � � ! � � 0

Integrando por partes, fazemos ��� � e� � � ��� � � � ! � � ; então,

� ��� � � e � � � � �$� � ! :

�' � ��� � � ' � ! � '��

��

�� ��� � � � ! � � �

��

�� � � �

�� � � � �

�� � � �

��� � � � � �$� �4! �

�� � �$� � ! � � ! �

�� � ��� � � ' � ! � ' � � � �$� ' � ! ! � � 0

[6]�

' � � � � ' . Aqui usamos, novamente, os dois métodos:

Substituição: seja � � '�� ; então,� � � � ' � ' ou �

�� � ' � ' ;

�' � � � � '��

��

�� �

� � � 0

Integrando por partes: fazemos ��� � e� � � � � � � ; então,

� ��� � � e � � � � :�

' � � � � '����

�� �

� � � ���

�� � � �

�� � � � �

�� � ��� �

�� � � � � �

�� � � � �

��� � � �

�� �

�! �

� � � � ' � � � ! ��� 0

[7]�

' � � � �$� � ' � ! � ' . Aqui usamos, novamente, os dois métodos:

Substituição: seja � � � '�� ; então,� �$� �,' � ' ou �

�� � ' � ' e '�� � �� ;�

' � � � �$� � ' � ! � '���� �

� � � �$� �4! � � 0

Page 249: calculo I

6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 249

Integrando por partes: fazemos ��� � e� � � � � �$� � ! � � ; então,

� ��� � � e � � � ��� � � � ! :�

' � � � �$� � ' � ! � '���� �

� � � �$� � ! � �$��� �

� � � ��� � � � �

�� � � �

��� � � � �$� � ' � ! � � ' � ��� � � � ' � ! ! ��� 0

6.6 Método de Substituição Trigonométrica

Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos deradicais:

�� � � � �

�� � � � �

�� � ��� �

onde ����� .

Caso 1:� �

� ��� �Para � � � � � � � � , seja � � � � � �$� � ! ; então,

� � � � ��� � � � ! � � . Logo � � � � � � � � ��� � � � ! .Denotando por � � � � � � � � :

θ

ua

c

Figura 6.2: Caso 1

Caso 2:� �

��� � �Para � � � � � � � � , seja � � � ��� � � ! ; então,

� � � � � � � � � � ! � � . Logo � � � � � � � � � � � � � ! .Denotando por

� � � � � � � � :

θa

ud

Figura 6.3: Caso 2

Page 250: calculo I

250 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Caso 3:� � � �

��

Para � � � � � � ou �� ��� � �� , seja ����� � � � � � ! ; então,� ��� � � � � � � ! ��� � � ! � � . Logo

� � � � � � � � ��� � � ! . Denotando por � � � � � ��� � :

θa

u e

Figura 6.4: Caso 3.

Exemplo 6.8.

Calcule as seguintes integrais:

[1]� �

� � �7' � � ' .

Seja '�� � � � �$� � ! ; então,� '�� � ��� � � � ! � � ; �4� � � � ��� � � � e � � � �7' � � � ��� � � � ! .

� �� � �7' � � '���� �

� ��� � � � � ! � � � � �� � �� � ��� � � � � !� � � � � � �� � � � � � �$� � � !� �

� � �� � � � � � �$� � ! ��� � � � ! � 0

' � � � � �$� � ! e � � � � � � � � ; então, � � � � � � � �$� ' � ! ; estamos no caso 1: θ

xa

c � onde� � � � � �7' � ; logo, � � �$� � ! � � � e ��� � � � ! �

� � � � � . Substituindo no resultado da integral:� �

� � �7' � � '�� � �� � � � � � � � � ' � � � '� ��

� � �7' � � ��� 0[2]

� � '�� ' � �

! � . Seja '�� �

��� � � ! ; então,

� ' � �� � � � � � ! � � ; � � � � � � � � � � . Em tal caso

�� ' � �

! � � � �

� � � � � ! ! � :

� � '�� ' � �

! � �

� �� � � � � � ! � � � � � � � !

� � �� � � �

� � � � � ! �� � ��� � � � ! � � �

� � � �$� � ! ��� 0

Estamos no caso 2: θ

d

a

x

; onde � � �

e� � � ' � �

. Logo, � � �$� � ! � �

� � � � . Substituin-do: � � '�

� ' � �! � � '

� ' � � ��� 0

Page 251: calculo I

6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 251

[3]� � '� � � ��� ' �

. Seja ' �� � � � �$� � ! ; então,

� ' �� � ��� � � � ! � � ; � � � � � ��� � � � . Neste caso,

� � � � � ' � � � ��� � � � ! :� � '� � � � � ' �

�� � � � � � ��� 0

Estamos no caso 1: θ

xa

c � onde � �� � � � � � � ; logo, � � �$� � ! � � �� ; então, ��� � � � � � �$� � �� ! .

Substituindo no resultado da integral:� � '� � � � � ' �

�� � � � � � ���

'� � ��� 0

[4] ���� � '� ' � � � . Reescrevendo a integral: ���

� � '� � ' � � �

� ! . Seja '7� �� � � � � � ! ; então,� '��

�� � � � � � ! ��� � � ! � � ; � � � ��� � � � ou ( 7� � � � �� ). Neste caso, ' � � �� � �

� � � � � � � � ! � � ! � �� ��� � � � ! :

� � '� ' � � � �

� � � � � � � !��� � � !

� � �� � ��� � � � � � ! � � �

� � � � � ��� � � � � � ! � ��� ��� � � ! � � ��� 0

Estamos no caso 3: θ

x e

1/3 � onde � ��

' � � �� ; logo, ��� � � � � � ! � � �� � � � � e ��� ��� � � ! � �

� � � � � .Substituindo no resultado da integral:

� � '� ' � � � �

� � � � � ��� � � � � � ! � ��� ��� � � ! � � ��� ��� � � � �� '�� �

' � � �� � ��� 0[5]

� � '' � � ' � � � � . Seja ')� � � � � � � ! ; então,

� ' � � � � � � � ! ��� � � ! � � ; � ������� � � ou � ��� � �� � .Neste caso � ' � � � � � � ��� � � ! e:

� � '' � � ' � � � � �

�� �

� � �� � � � � � ! �

�� � � � � � � � �$� � ! ��� � � � ! � � � 0

Estamos no caso 3: θ

x

4

e

� onde � � � ' � � � � ; logo, � � �$� � ! ��� � � � ! �� � � � � �� . Para calcular

� , devemos ter cuidado, pois � ' � � � � é definida para ')��� e ')� � � .Se '�� � , então � � � � � !�� � � � � e ��� � � � � � � � � � � , onde � � �-� � � . Se '�� � � , então � � � � � !��� � � � � e � � � � � � � � � � � � , onde � � � ��� . Mas ����� � �� e � � � � � )� � !�� � � � � � ! ; logo, para' � � � , � � � ���� � � � � � � � � � , onde �� ��� � �� ; substituindo no resultado da integral:

i) '-��� :� � '

' � � ' � � � � ��� � � � � � � � � � � ' � � � � � ' � � � �

' � � ��� 0ii) '-� � � :

� � '' � � ' � � � � �

�� � � � �7� � � � � � � ' � � � � � ' � � � �' � � ��� � onde � � � � � ��� .

Page 252: calculo I

252 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

[6]� � '

� � � '��7' � !� . Primeiramente completamos os quadrados: � � '��7' ��� � ��� ' � � ! � ;

fazendo ��� ' � �, temos

� ��� � ' . Substituindo na integral:� � '

� � � '��7' � !� �

� � �� � � � � !

� 0

Seja ���� � �$� � ! ; então

� ��� ��� � � � ! � � ; � � � � � � � � e � � � � � ! � � � � ��� � �1� � ! .

� � '� � � '��7' � !

� ���

�� � � � � � ! � � � ��� � � !

���� 0

Estamos no caso 1: ��� � � ! � �

� � � � � � � ��

�� � ��� � . Substituindo no resultado da integral:

� � '� � � '��7' � !

� � ' � �� � �� � '��7' �

� � 0

[7]� '� � ' � ��� ' � � ' . Completando os quadrados: �,' � � � ' � �� �� ' � � ! � � � ; fazendo

��� ' ��� , temos� ��� � ' . Substituindo na integral:

� '� � ' � ��� ' � � '��

� � ��� � !� � � � � � � � 0

Seja ������ ��� �� ; então

� ��� �� �� � � � � ! � � e � � � � ��� � � � � � � ! :

� � ��� � !� � � � ��� � ���

��

� � ��� � � ! � � � � � ! � � � � � � � ! � � � ��� �� � � � ! �

�� � ��� � � � � � � ! � ��� � � ! � � ��� 0

Estamos no caso 2: ��� � � ! � � ��� � � ' � � ! e � � � � � ! � � � ' � � � ' � . Substituindo no resultadoda integral:

� '� � ' � ��� ' � � '��

���� ' � � � ' � ��

�� � ��� � � � ' � � � ' � � � � ' ��� ! � � ��� 0

6.7 Método para Integração de Funções Racionais

Um polinômio ��� ' ! de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatoreslineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do graude � � '5! .i) � � ' ! � � '���� � ! � '���� � ! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � '�� � � ! ou

ii) � � ' !$� � '�����! � � '�� � � ! 0 0 0 0 0 0 0 0 � '�� ��! ou

iii) � � '5! � � �+'�� � ��' ��� ! � '�� � � ! 0 0 0 0 0 0 � '�� � � ! ou

iv) � � ' !$� � �$' � � � ' ��� ! � � '�� � � ! 0 0 0 0 0 0 � '�� � � ! .

Page 253: calculo I

6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 253

Exemplo 6.9.

[1] ��� ' ! � '�� �' � � � � '�� � ! � '�� � ! .

[2] ��� ' ! � ' � � �,'�� � 6' � � � � ' � � ! � � ' � � ! .[3] ��� ' ! � ' � � '�� � '�� � � � '�� ��� ! � '�� � ! .[4] ��� ' ! � ' � � ' � � �6' � � ' � �

' � �

' � �

6' � � '�� � � � � ' � � � ! � � '��! � ' � � ! .

Seja uma função racional� � '5!� � ' ! . A decomposição de uma função racional em frações mais

simples, depende do modo em que o polinômio � � '5! se decompõe em fatores lineares e/ouquadráticos. Se numa função racional o grau de � � '5! é maior ou igual ao grau de � � '5! , entãopodemos dividir os polinômios. De fato, se � �,� � � � � ' ! ! � � �,� � � � � '5! ! então

� � ' ! � � � ' ! � � ' ! � � � ' !

onde � �,� � � � � '5! !�� � �,� � � � � '5! ! ; então,� � ' !� � ' ! � � � '5! � � � '5!

� � '5! 0 Logo, basta estudar o caso emque:

� � � � � ��� ' ! ! � � �,� � � � � ' ! !

pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.

Caso 1: � ��� � se decompõe em fatores lineares distintos.

Então:

� � ' ! � � '���� ��!#� '���� � ! 0 0 0 0 0 0 � '���� � !

onde � � �� são distintos dois a dois; então

� � ' ! � � � ' !� � ' ! �

� �� '���� � !

� ��� '���� � !

� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �� �

� '���� � !

onde� �# � � 50 0 0 0 0 0 0 � � são constantes a determinar.

�� � ' ! � '��

� ��� ' !� � ' !

� '�� � �� � '

� '���� � !� �

�� � '

� '���� � !� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � �

� � '� '�� � � ! 0

Calculemos � �� � '

� '���� � ! .

Fazendo ��� '��7� � ; então, � �� � �

� � � �$� � � � ! ��� � � �$� � '���� � � ! ��� ; logo:

�� � '5! � '�� � � � �$� � '���� � � ! � �

� � �$� � '���� � � ! � 0 0 0 0 0 0 0 � � � � �$� � '�� � � � ! ���onde

� � � � 50 0 0 0 0 0 0 � � são constantes a determinar.

Page 254: calculo I

254 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Exemplo 6.10.

Calcule as seguintes integrais:

[1] � �� '�� � 6' � �7'�� �,�

' � �'�� � � � ' . Observe que � � � � � ��� ' ! !�� � � � � � � � ' ! ! . Dividindo os polinô-

mios:' � � 6'�� �7'�� �,�

' � �'�� � � � � ' � � ! �

'�� �

' � �'�� � � 0

A seguir, aplicamos o método à última parcela da direita:

� ��

� ' � � ! � ' ��

'�� �' � �

'�� � � � '�� ' �� � � ' �

� '�� �

' � �'�� � � � ' 0

Calculemos�

'�� �' � �

'�� � � � ' . Fatorando: ' � �

'�� � � � � ' � 1! � '�� � ! ; temos:

'�� �' � �

'�� � � �

� �' � �

��'�� � �

� � � '�� � ! � �� � ' � 1!

' � �'�� � � 0

Comparando os numeradores:'�� � � � �/� '�� � ! � � � � '

� 1! . As raízes do polinômio � � '5! são' � �

e '7� �� ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se '7� �teremos ��� � � �

e�� �

�� . Se '-� �� , então � � � � � � � � e

� � � � �� . Logo, podemos decompor a fração inicialem:

'�� �' � �

'�� � � �

� �� � ' � 1!� �� � '�� � ! 0

Então, pelo Caso 1:�

'�� �' � �

'�� � � � '��

� �� � �$� � ' � � ! � � ��� �$� � '�� � � ! 0 A integral procurada é:

� � ' �� � � ' �� �� � �$� � ' � � ! � � � � �$� � '�� � � ! ��� 0

[2] � �� 6' � � �6'�� � � � '�� � �

' � � � ' � � � ' � ' . Note que � �,� � � � � ' ! ! � � �,� � � � � '5! ! . Dividindo os polinô-

mios:

' � � � ' � � � � '�� � '��� � ' � � � ' � � � '5! � � � ' � � � � '�� � �1! 0Então: �

� � � � � � ����� � �� � � � � � � � � � � � � � � ��� � �� � � � � � � � 0

� �� � ' � � � ' � � � � '�� � �

' � � � ' � � � '� '�� ' �

� � ' � � � � '�� � �' � � � ' � � � '

� ' 0

Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos � � �� �,'�� � � � '�� � �

' � � � ' � � � ' � ' . Primei-

ro observemos que ' � � � '�� � � '�� ' � '�� � ! � ' � � ! :

� ' � � � � '�� � �' � � � ' � � � ' �

� �'� �

�'�� �� � �' � � �

� � � '�� � ! � ' � � ! � �� ' � ' � � ! � � � ' � '�� � !

' � � � ' � � � ' 0

Page 255: calculo I

6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 255

Comparando os numeradores: � ' � � � � ' � � � � � � � ' � � ! � ' � � ! � � � ' � ' � � ! � � � ' � ' � � ! ;as raízes do polinômio � � ' ! são '�� � , '��� e '�� � �

; agora substituimos cada raiz na últimaexpressão.Se ')�&� , então,

� � � �; se '-� � então,

�� � � �� e se ')� � �

, então,� � � � �� . A fração inicial

pode ser decomposta em:

� '�� � � � '�� � �' � � � ' � � � ' �

�' �

�� '�� � !

� � �� ' � � ! 0

Pelo Caso 1, temos: � � � � � �$� � ' � ! � �� � �$� � '�� � � ! � � �� � �$� � ' � � � ! ��� . A integral procurada é:

� � ' � � � �$� � ' � ! �� � �$� � '�� � � ! � � � � �$� � ' � � � ! ��� 0

Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver umsistema de equações.Consideremos o exemplo 2. � ' � � � � '�� � � � � � � ' � � ! � '�� � ! � �

� ' � ' � � ! � � � ' � '�� � ! .Ordenando o segundo membro em potências de ' , temos: � ' � � � � ' � � � � � � � � � �

� � � ! '�� �� � � � � � � � �� � � � � ! ' � � � � Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são

iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolvero seguinte sistema: ��� ��

� � � ��� � � � �� � �$� � ��� � � � � � �� � � � � �

que tem como solução:� ��� �

,�� � � �� e

� � � � �� .

[3]� � �� � � � � � �� � .

� �,� � � � � �5! ! � � �,� � � � � � ! ! ; e ��� ��� � � � ��� � ! � � � ��! ; aplicando o método:�� � ��� � �

� ������

� ��� � � �

� � � � � ��! � �� � ������!

� � � � � 0Comparando os numeradores: � � � � � � � ��! � �

� � � � ��! ; as raízes do polinômio � � � ! são� � � e � � � � ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se � � � , então,

� � � �� � e

se ��� � � , então,�� � � �

� � . A fração inicial pode ser decomposta em:�� � � � � �

�� ��� ����� ! �

�� ��� � � ��! 0

Pelo Caso 1, temos:

� � �� � � � � �

�� � � � �$� � ������� ! � � �$� � � � ��� ! � ��� �

�� � � ��� �� �����

� � ��� � ���

Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados.

Page 256: calculo I

256 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Exemplo 6.11.

Calcule as seguintes integrais:

[1]� � '

' � � �,' . Como ' � � �,'�� � '�� � ! � � � :� � '

' � � �,' �� � '

� '�� � ! � � � 0 Fazendo ��� ' � �,

temos� ��� � ' . Substituindo:

� � '' � � �,' �

� � �� � � � �

�� � ��� �� ��� �

� � ��� � ��� �

�� � ��� �� '�� �

'�� � � �

onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.

[2]� � ' �7' � � �,' . Completando os quadrados � '���� �,'�� ����� ' � � ! � e fazendo ��� ' � �

,

temos� ��� � ' . Substituindo:

� � '��7' � � �,' � �� � �� � � � � �

�� � ��� �� ���

� �

�� � ��� � ��� � ��� �� '�� �

' � �� � ��� onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.

Caso 2: � ��� � se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.

Seja '�� � � o fator linear de � � ' ! de multiplicidade � e � a maior potência da fatoração. Então,a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo:

� �� '���� � !

� � �� '�� � � ! �� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � �

� '���� � ! �

onde � �# � � 50 0 0 0 0 0 0 � � são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte-mos:

� � � �$� � '�� � � � ! � � �'���� �

� 0 0 0 0 0 0 0 � � �

� � � � !#� '�� � � ! ��� �

Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1.

Exemplo 6.12.

Calcule as seguintes integrais:

[1]�

' � � � ' � �' � � � ' � � '

� ' . Como � �,� � � � � ' ! ! � � � � � � � � ' ! ! e ' � � � '�� � '7� ' � ' � � ! � . O fator

� ' � � ! tem multiplicidade 2 e o fator ' é como no caso 1.' � � � ' � �

' � � � ' � � ' �� �'� � �

' ��� � � �� ' ��� ! � 0

Comparando os numeradores:' � � � ' � � � � � � ' � � ! � � � � ' � ' � � ! � � � ' . As raízes do

polinômio � � '5! são: '�� � e '�� � � ; agora, substituimos cada raiz na última expressão. Se' � � , então

� � � �e se ' � � � , então � � � � � . Falta determinar � � . Para calcular o valor

Page 257: calculo I

6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 257

da constante � � , formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dospolinômios.

'�� � � ' � � � � � � � � � ! '�� � � � � � � � �

� � ��! ' � � � ; então:��� ��� � � � � �

� � � � � �

� � � � �� � � �

Como sabemos os valores de� � e � � obtemos, facilmente, � ��� � ; então:'�� � � ' � �

' � � � ' � � ' ��'� �

' ��� ��

� ' ��� ! � �logo,

� ' � � � ' � �

' � � � ' � � '� '�� � � � �� ' � � ' � �� � � �

' ��� ��� 0[2]

� ' � � '�� �' � � � ' �

� ' .

Como � �,� � � � � '5! ! � � �,� � � � � ' ! ! ; ' � � � '���� '�� � '�� � ! � ' � � ! . O fator ' tem multiplicidade 2e os fatores '�� � ' � �

são como no caso 1.

' � � '�� �' � � �,' � �

� �'�� � �

��' � � � � �

'� � �' � 0

Comparando os numeradores:

' � � ' � � � � � ' � � ' � � ! � �� ' � � ' � � ! � � � ' � ' � � ! � ' � � ! � � � � ' � � ! � ' � � ! ; as

raízes do polinômio � � ' ! são: '-� � , ')� �e ')� � �

. Agora substituimos cada raiz na últimaexpressão. Se ' � � , então � � � �� ; se ' � �

, então� � � � �� � e se ' � � �

, então�� � � �� � . Falta

determinar � � . Para calcular o valor da constante � � , formamos o sistema de equações obtidoda comparação dos coeficientes dos polinômios.

' � � '�� � � � � � � ��� � � ! ' � � � � � �+� � �

�� � � ! ' � � 0 0 0 0 �

note que o coeficiente da potência cúbica nos dá o valor de � � . De fato, sendo� � � � �

� � � � � ,então � ��� � �� .

' � � '�� �' � � � ' � �

� � � � '�� � !� � � � � ' � � ! �

� '

� �� ' � �

logo:� ' � � '�� �

' � � � ' �� '��

� � � � � � �� '�� � �� � � � � � � � � �� ' � � �� � �� � � � �� ' �� � �

�� '

� � .

Caso 3: � � � � se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen-do que os fatores quadráticos não se repetem

A cada fator quadrático � '�� � � ' ��� de � � '5! associamos uma expressão do tipo:

��' � �$' � � ��' ���

onde �� são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2.

Page 258: calculo I

258 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Exemplo 6.13.

Calcule as seguintes integrais:

[1] Calcule � �� � '�� �

' � � �

' � � ' � � � ' � �� ' .

Primeiramente observamos que � �,� � � � � '5! ! � � �,� � � � � ' ! ! . Fatorando ' � � '�� � � ' � � �� � ' � � ! � ' � � � ! . O único fator quadrático irredutível é ' � � � ; o fator ' � � é como no caso 1.

� '�� � ' � � �' � � ' � � �,' � � �

� �' ��� � � ' �

' � � � 0

Comparando os numeradores:� ' � �' � � � � � � � ' � � � ! � � � ' � �! � ' � � ! � � � � � � ! ' � � � � � �! ' � � � � � . A raiz

real do polinômio � � ' ! é '�� � � ; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se '�� � � ,então

� ��� . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dospolinômios:

� � � � � � , logo � �

e � � �

implica em � � .

� '�� �' � � �

' � � ' � � � ' � � � ' ��� �

'

' � � � 0

Portanto: � � � �$� � ' ��� � ! � � '' � � �

� '�� � �$� � � ' ��� ! � � � ' � � � ! � � ! ��� , onde a última inte-

gral é resolvida usando substituição simples.

[2] Calcule � �� � '�� � ' � �

' � � ' � � '�� � ' .

Primeiramente observamos que � �,� � � � � '5! ! � � �,� � � � � ' ! ! . Fatorando ' � � ' � � '��

�� � ' � � ! � '�� � � ' �

! . O único fator quadrático irredutível é ' � � � ' �

. O fator ' � � é como

no caso 1.

� ' � � ' � �' � � ' � � '��

�� �

'�� � � ��' � ' � � � ' �

0

Comparando os numeradores:� '�� � ' � � � � � � '�� � � ' �

! � � � ' � �! � ' � � ! � � � � � � ! '�� � � � � �5� � � �! ' �

� � � ;a raiz real do polinômio � � '5! é '�� � ; substituindo esta raiz na última expressão: Se '�� � ,então

� ��� � �� . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dospolinômios:

� � � � � �; logo � � �� e

� �$� � � ; logo � �� . Então:

� '�� � ' � �' � � ' � � '��

�� �

� � '�� � ! ��� � ' � �

' � � � ' � � �

logo:

� �� �� � ��� �� '�� � �� � � ��

� ' � �' � � � ' �

� '

onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato: ' � � � ' �

� � ' ��� ! � � �.

Então, considere ��� ' � � ; logo� ��� � ' e:

Page 259: calculo I

6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 259

� ' � �' � � � ' �

� '��� � ���� � � � � ���

� �� � � � � � �

� �� � � � � � 0

A segunda integral é imediata, pois:

� �� � � � � ���

�� � � � � ��� � �� � � ��� ���

�� � � � � ��� � ' ���� � � ��� �(0

Na primeira integral fazemos � � ��� � �; logo �

�� � � � � :

� �� � � � � ���

��

� � �� �

�� � �$� � � � ! ��� � �

�� � �$� � ' � � � ' �

� ! ��� �e: � �

� �� � ��� �� '�� � �� � � �� � � ��� �� ' � � � ' �

�� � � � � � � � � ��� � ' ���� � � ��� .

[3] Calcule � ��

' � ��� � '�� � �� ' � ��� !#� ' � � � ' ��� ! � ' . Observemos que � �,� � � � � ' ! ! � � �,� � � � � '5! ! ; ' � � �

e '�� � � ' � � são fatores quadráticos irredutíveis. Temos:

' � ��� � '�� � �

� ' � ��� ! � ' � � �,' ��� ! � � � ' � �' � ��� � � � ' � �' � � � ' � � 0

Comparando os numeradores:'�� ��� � '�� � � � � � � � � � ! ' � � � � � � � � � � ! ' � � � � � � � � � � � � ! ' � � � � � � ! .

Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios:

������ ������ � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

Resolvendo o sistema: � �+� � , ��� � � , � � � �e � � �

; logo:

' � � � � '�� � �

� ' � ��� ! � ' � � � ' � � ! � '�� �' � � � �

� '��

' � � � ' ��� 0

Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira éresolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas porcompletamento de quadrados.

� � � �$� � ' � � � ' ��� ! � ' � ��� ! �� � � � ��� � ' � � � ��� � � ��� � '5! ��� 0

Page 260: calculo I

260 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Caso 4: � � � � se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen-do que alguns dos fatores quadráticos se repetem

Se um fator quadrático � '�� � ��' � � de � � '5! tem multiplicidade�

, a esse fator quadráticoassociamos uma expressão do tipo:

� ��' � ��$' � � ��' ���

� � � ' � �� �$' � � ��' ��� ! �� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � ' � �

� �+' � � ��' ��� ! �onde � � � são constantes a determinar, � � � "0 0 0 0 �

. Os outros fatores são tratados como noscasos 1, 2 e 3.

Exemplo 6.14.

Calcule as seguintes integrais:

[1] Calcule� ' � � ' � �

' � ' � ��� ! � � ' .

Primeiramente observamos que � �,� � � � � '5! ! � � �,� � � � � ' ! ! e ' � � � é o único fator quadráticoirredutível, de multiplicidade 2.

' � � ' � �' � ' � � � ! � �

'� � � ' � �

' � ��� � � � ' � �� ' � � � ! � 0

Comparando os numeradores:

' � � ' � � � � � � � ��! ' � � � ' � � � � � � � � � � � ! ' � � � � � � ! ' � � . Formando e resolvendoo sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios e lembrando que� � '5! tem uma raiz real ' � � , obtemos,

� � �, � � � � �

, � � � , � � � � �e � � � 0 Logo:� � � � � �� � � � � � � �� � � ��� �� � � � � �� � � � � . Calculando as integrais correspondentes:

� ' � � ' � �' � ' � ��� ! � � '�� � �$� '��

' � ��� ! � � � � ��� � '5! ��

' � � � ��� 0[2] Calcule � �

� ' � � ' � � � ' � � � ' � ��� ' � �� ' � � � ! � � ' .

Primeiramente observamos que � �,� � � � � '5! ! � � �,� � � � � ' ! ! e ' � � �é o único fator quadrático

irredutível, de multiplicidáde 3.

' � � ' � � � '�� � � ' � ��� ' � �� ' � � � ! � �

� ' � �' � � � � � ' �

� ' � � � ! �� � ' ���

� ' � � � ! � 0Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos po-linômios; obtemos,

� � � , B=1 � � � e � � � � � � 0 Logo:

� �� '

' � � � � ' �� � '

' � � � � �� '

� ' � � � ! � � '

e � � � �$��

' � � � ! � ��

� � � � ��� � '� � � �

�� ' � � � ! �

��� .

Page 261: calculo I

6.8. MUDANÇA: TANGENTE DO ÂNGULO MÉDIO 261

6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio

Se a função integranda envolve expressões do tipo: � � � � � �$� ' ! , � � � ��� � � ' ! ou combinaçõesdestas, utilizamos a mudança ��� ��� � � � � ; logo:

� � �$� '5! �� �� � � � ��� � � ' ! �

� � ���� � � � e� '��

� � �� � � � 0

Por exemplo:� � '

� � � � � �$� ' ! �� � � �

��� � � � � ! � � � � � � '

� � � ��� � � ' ! �� � � �

��� � � � � ! � � � � � � � ! 0

Exemplo 6.15.

[1] Calcule� � '� � � � �$� '5! . Neste caso � � �

e � � � ; logo:

� � '� � � � �$� ' ! �� � �� � � � ��� �

� � �� � � �� � � �

�� � � � � ��� � � � � � ��� ! � ���

�� � � � � ��� � �

� � ��� � ' � � ��� ! � ��� 0

[2] Calcule� � '� � ��� � � '5! � � � �$� '5! .

Utilizando as mudanças: ��

� ��� ��� � � �

������ � � � �

� � � � � � � � �� � �� � � ! � � ; logo:

� � '� � ��� � � ' ! � � � �$� '5! �� � �� �

�� ��� � � ��� � � � �

� ��� � ��� � � � � � � ��� � � ' !� � ��� � � '5! � � � �$� '5! � ��� 06.9 Aplicações da Integral Indefinida

6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas

Seja ��� � � '5! uma função derivável. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de �no ponto � ' � � ' ! ! é � � � '5! . Inversamente, se um coeficiente angular é dado por � � � � � ' ! ,por integração determina-se uma família de funções: ��� � � '5! �� , onde � é uma constantearbitrária.

Exemplo 6.16.

[1] Obtenha a equação de uma família de curvas, sabendo que o coeficiente angular da retatangente à cada curva, num ponto, é igual a menos duas vezes a abscissa do ponto. Obtenha aequação da curva que passa pelo ponto � � � ! .

Page 262: calculo I

262 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Temos �� � � � ' ; integrando: � � �

� � ' � '�� � ' � ��� 0 No ponto � � � ! , tem-se � � �5� � ! �� � ��� ; então, � � �

e � � � ' � � �.

[2] Em todos os pontos de uma curva ��� � � '5! tem-se que �� � � ' � � � . Obtenha a equação da

curva, se esta passa pelo ponto � � � ! e a reta tangente nesse ponto é paralela à reta ' � � � � � � .Temos �

� � � ' � � � ; integrando:

�� �

�� ' � � � ! � ' � ' � �7' ��� 0

O coeficiente angular da reta: ' ��� � � � � é � �� � e a reta tangente à curva no ponto (1,1)é paralela a esta reta: � �� � � �

� � � ! � �� � � ��� ; logo, � � �� � e �� � � �� ��' � �� � . Integrando

novamente: � � � �� � � �

�� � �� �

��� (azul). Usando o fato de que � � � !�� � temos � � �� e � �� �� � � �

�� � �� �

� �� (verde).

-2 -1 1 2

-1

1

2

Figura 6.5:

6.9.2 Outras aplicações

Exemplo 6.17.

[1] A taxa de produção de uma mina de cobre � anos após a extração ter começado foi calculadacomo � � � ! � � � � �

� � � mil toneladas por ano. Determine a produção total de cobre ao final doano � .Seja � � � � �4! a produção total ao final do ano � ; então, a taxa de produção é � � � � � � � ! ; logo,� � � � !$� � � � !$� � � � �

� � � ; integrando:

� � �4! � � �� �

�� � � � � ��� � �,�,� �

�� � � � � 0 � � � � ! ��� 0

Ao final do ano zero a produção é zero; logo, ��� � ! � � , donde obtemos � � �,�,� ; portanto, aprodução total de cobre ao final do ano � é dada por:

� � �4! � �,�,� ��� � � � � 0 � � � � ! � �,�,� 0

[2] A temperatura de um líquido é� � . Coloca-se o líquido em um depósito cuja temperatura,

mantida constante é igual a� � . Passados minutos a temperatura do líquido é � �

. Sabendo

Page 263: calculo I

6.9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 263

que a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a temperatura dolíquido e a do depósito, qual é a temperatura do líquido após � minutos?

Seja � � �4! a temperatura do líquido no instante � , � � !�� � � e

� 1! � � �. A velocidade

de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a tenperatura do líquido e a dodepósito. Então,

� � �4! � � � � � ! � � 1! , � ��� . Devemos determinar � �4! .� � � �4! � �4! � � � � � �

� � � ��� . Como� � � � �4! � � , então:

� � � �4! � �4! � � � � �� �

� � � � �$� � � ! � � 1!��

logo, � �$� � � ! � � 1!$� � � ��� ; então:�� �$� � � ! � � 1!$� � �$� � ! � �� �$� � 1! � � 1!$� � �$� � 1! � � � � �$� � !

donde� � �

� � �$� � ! ; logo, � �$� � �4! � � 1! � � �$� � � � � �

� ! e � �4! � � � � � � � �

� ; então:

� � 1!$� � � � � 0

[3] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura � � � ! de um

corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente�

(constante) e a temperatura � � � ! , isto é:� � � � � � � � � �4! ! � � ��� ! 0 � � !

Para determinar

, integramos � � ! em relação a � :� �

� � � � �� � � ��� � obtendo � �$� � � ! � � � � ��� �

logo, � �4! � � � � � � � � . Se a temperatura inicial é

� � ! � � ; então, �&� � � �e:

� �4! � � � � � � � ! � � � � 0[4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colônia de coelhos com populaçãoinicial

� � numa ilha sem predadores. Se a população� � � � � ! é pequena, ela tende a crescer

a uma taxa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, há uma competiçãocrescente por alimento e espaço e

�cresce a uma taxa menor. Estudos ecológicos mostram que

a ilha pode suportar uma quantidade máxima de� � indivíduos, se a taxa de crescimento da

população�

é conjuntamente proporcional a�

e a� �$� �

; logo:� �� � � � � � � �$� � ! � � ��� ! 0 � ��� !

Para determinar�

, integramos � ��� ! em relação a � , aplicando o método de frações parciais:� � �

� � � � � � ! � �� � � ��� � logo,

�� �

� � � ��

� � � �� � � � � � � � ��� �

Page 264: calculo I

264 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

e:

� �$��

� �$� � ! � � � � � ��� �(0

Como� � � ! � � � , � ��� � �$�

���

� � �� ! ; então,

� �$��

� � � ��! � � � � � � � �$�� �

� �$� � � ! �

logo,�

�� � � �

�� ��� ���

�� � �

� donde:

� � �4! �� � � �

� � � � � �$� � � ! � � �� � �

que é uma função logística de população limite� � .

6.10 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados paraconferir as respostas:

(a)�

' � ' �!#� ' � � ! � '

(b)�

�' � � 1! � � '

(c)� �

' ��� '

(d)�

� ' � ��� ! � � '(e)

�� ' � '�� � ' � � ! � '

(f)� � '�� ��� !#� '�� � � !

' �� '

(g)� � ' � �7' � ! �

� '� '

(h)� �

' � � � � '(i)

� �� ' � � �

� '

(j)� � '� � ��' �

(k)���� � � ' ! � '

(l)�� ' � � � � � '5! � � '

(m)� � � � � '

(n)� � � � �

� �� '

(o)� � � � � '

(p)�

� � � � ��� � � !

� �

(q)�

��� '

� ' � ' ! � '

(r)�

' � �� ' � '

(s)� ' �

' � ��� � '(t)

� � ' � � � ' � � � ! � '' �

2. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:

(a)� '

�� ' � � � � '(b)

� '

' � ��� � '(c)

�� ' � � '

(d)� � �� ����� �

(e)��5� � ��� � � ! � �

(f)� �,' �� ' � ��� � '

(g)� �6'

� �' � ! �

� '

(h)� � �

� � � � � ! �(i)

�' � � � � � ' � � '

Page 265: calculo I

6.10. EXERCÍCIOS 265

(j)� � �$� ' ! � �

'� '

(k)�� � �$� � ' ! ��� � � � � '5! � '

(l)���� � ' � ! � � � � � ' � ! � '

(m)� ��� � � � ' ! � '�

� � � � �$� � ' !(n)

� �' � � �$� ' ! ! �

� '

(o)� ' �� � � ' �

� '

(p)�

' � � �� � '

(q)� � � � � � �$��� !� � � � � �

� �

(r)� � �� � � � � � � '

(s)� � � �$� � !

� � ��� � � � ! ! � � �(t)

� ' �

� ' � � �6' ! �� '

(u)� � '

' � �$� '5!

(v)� � � � �

�� � � � �

� � �7' �� '

(w)� � � �$� � �$� '5! !

'� '

(x)� ��� � � � ' � � !

� � � '� '

(y)� ' ��� ' � � �

� '

(z)� � ��� � � � ! � '

3. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:

(a)� � '

' � ' � � � use '�� � � � � � � � !

(b)� � '� � ��� use '�� � � �$� �4!

(c)� ' � '� ' � � use � � � ' ���

(d)� ' � '� � �7' �

use '�� � � �$� �4!

(e)� � '� � � ' use � � � � � '

(f)� � '� � � ' ��

use � � � � �� '

4. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:

(a)�

' � � � '

(b)�

' � � � �$� ' ! � '

(c)� ' � �

� � � '5! �� '

(d)�� � � ��� � � �4! � �

(e)�� � �$� � �$� ' ! ! � '

(f)�

� � � ��� � � � '5! � '

(g)� � ��� � � ' ! � '

(h)�

' � � � ��� � '5! � '

(i)�� � � � � '5! � '

(j)�

� '�� � ! � � � � '(k)

� � ��

' � � '(l)

� ' �� � ��' �

� '

(m)�

' ��� � � � � � ' ! � '

(n)�

' � � � � '5! ��� � ' ! � '

(o)�

' � � � �$� '5! � '

(p)�

'� ��� � � � ' ! � '

(q)�

'� � � � '

(r)�

� ' � �7' � � '5! � � � � '

(s)�

' � � � �� � '5! � '

(t)�

' � � � � � �� � � ' ! � '

(u)�

'� � � � � '

(v)� ' � � � � � �$� '5!

� � ��' �� '

(w)�

' � � � � � ' ! � '

(x)�� � � � '5! � '

(y)�� ' � �$� ' ! � '

(z)�

' � ' ��� � '

Page 266: calculo I

266 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois,integração por partes:

(a)� � � � ' � � '

(b)�

' � � ��� � � '�! � '

(c)� ��� � � � �$� ' ! ! � '

(d)�� � � � '

(e)�� � �$� � '5! � '

(f)�

' � � � � '

6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas:

(a)� � � � � � '5!��� � � � ' !

� '

(b)���� � � '5! � � � � � ' ! � '

(c)�� � � � � '5! ��� � � � ' ! � '

(d)� � � � � � '5!� ��� � � ' !

� '

(e)� � � �$� ' !

��� � � '5!� '

(f)�

� ��� ��� � � � ' ! ����� ����� � ' !�! � '

(g)� ��� � � � ' !

� � �� � ' !

� '

(h)�� � �

�� � ' ! � '

(i)�� � � � ��� ! ��� �

�����! � �

(j)� � � �

� � ' !��� � � � ' !� '

5. Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:

(a)� � � � �7' �

' �� '

(b)� � '

' � � ' � � �(c)

� � '' � � �7' �

(d)� � '� ' � � �

(e)� � '

' � � ��' �(f)

� ' �� � '���' �

� '

(g)� � � � � � ' � !

� ' �

� '

(h)� � '

� �,'��7' � !�

(i)� �

' � � � � '

(j)� � '

� � � ' � ! � � �7' �(k)

� � '� � �7' � ! � � � ' �

(l)� � '

' � � ' � � �

(m)� � ' �

� �,' � � �1!� � '

(n)�

�� � � ' � � � '5! � '

(o)� � �

� � � ��� � '(p)

� ' � �� ' � � � � '

(q)� � '

' � � ' � � �

6. Usando primeiramente o método de substituição simples, seguido do método de substi-tuição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:

� ��!� � � �$� '5!

� � � ��� � � � ' ! !� � ' � �#!

� � '' � � � �$� ' ! ! � � � !

� � � !� ��� � � ' !�

� � � � � � � ' !� '

Page 267: calculo I

6.10. EXERCÍCIOS 267

[

7. Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes inte-grais:

(a)� � '� � ��� '�� �,' �

(b)� '� � �7' �

' �

� '

(c)� � '

� ' � �' � � ! �

� '

(d)� � '� ' � �

' �

(e)� � '� ' � �7'�� �

(f)� ' �

� � ' � �

' � � � '

(g)� � '� � '��7' � �

(h)

� � � � '� � '��7' � �

� '

(i)� '� ' � �

' � �

� '

(j)� ' � �

� ' � � � ' ��� '

8. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:

(a)� � '

' � ���(b)

� � � '' � � �

(c)� ' � � �,'��

� ' � � � ! � � '(d)

� ' � � '� ' � ��� ! � � '

(e)� � '

' � � ' �(f)

� ' � � '�� �� ' � � � ! � � '

(g)� ' � ��� '�� �7' � � � ' ���

� ' � � ' !#� ' � � � ! � '

(h)� � '

' � � ' � � � !(i)

� ' ���� ' � � �,' � 1! �

� '

(j)� ' � � ' ���

' � � � ' � !� '

(k)� ' � � �

� ' � � �,' � 1! �� '

(l)� � '

� ' ��� !#� ' � � ' ��� ! �(m)

� � '' � � ' �

(n)�

' ���' � �7' ��� � '

(o)� � '

' � �' � � ' � �7'

(p)� '

' � � � � '(q)

� 6'�� �' � � � '�� �

' � � �6' �� '

(r)� ' � � �,' � � ' � �7' � �

' � � �,' � � �,'� '

(s)� � ' � �

' � ' � � � ' � � ! �� '

(t)� � '

' � � ' � � � ' � (u)

� '�� �' � �

' � � � ' � � '� '

(v)�

' � � '�� � '�� �' � � � � '

9. Calcule as seguintes integrais:

Page 268: calculo I

268 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

(a)� ��� � � ' ! � �$� � � �$� ' ! ! � '

(b)�

' � � '(c)

�' � ��� � � ' � ! � '

(d)���� � '5! � � � � � ' ! � '

(e)� ��� � �

' ! ��� � � � '5! � '

(f)� '�

� ' � � � ! �� '

(g)� � '� ' � � � ' ���

(h)�� � � � � � � � � �

(i)� ' � � � '

' � � ' � � �� '

(j)� '��

� ' � � � ' � � ! �

� '

(k)� ' � ���

' � ' � � � ! � '(l)

� � � �$� ' ! ��� ���1� '5! ����� � � � '5!� '

(m)� '��

� ' ��� ! � � '(n)

� � '� ' � ��� � '�� �

(o)� � ' �

' � � '

� '

(p)�

'�� � � ' � � '�� � ! � ' � � � ! � '

(q)� ' ��� ' � ��� � '

(r)� � '

' ��� � '(s)

� � '� ' � � �1! � ' � � �

(t)� � '

� '�� � ! � ' � � � '�� �

(u)�

��

��� � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � �

(v)� � ��� � � � � � !' � � � �$� ' !

� '

(w)� � � ��� � � '5!

� � � � � ' ! � ��� � ' !� '

(x)� � '

� ' �! � '�� � � '

10. Calcule as seguintes integrais:

(a)� � '

� � �$� ' ! � ��� � � ' !(b)

� � '� � �$� ' ! ����� � � ' !

(c)� � ' ����� � � ' !

(d)� ��� � � '5! � '

� � �$� '5! � ��� � � '5!

11. Verifique, utilizando exemplos, se é verdadeiro ou falso que se �&� ��� ' ! é um polinômio

de grau � , então:���� ' ! � � � '��

��� � �

� � � ! �

� � � � � ' ! � � .

12. Em todos os pontos de uma curva � � � � ' ! tem-se que �� � � ��� � � � ' ! � � � �$� ' ! . Obte-

nha a equação da curva, se esta passa pelo ponto � � � ! e a reta tangente nesse ponto éperpendicular à reta � ��'�� � .

Page 269: calculo I

6.10. EXERCÍCIOS 269

13. Em alguns estudos, a degradação ambiental produzida por detritos tóxicos é modeladapela equação de Haldane:

� �� � � � �� ��� � � � �

onde �� � ��� , � � � � �4! é a concentração do substrato ( a substância do resíduo na qualas bactérias agem). Determine ��� � � �4! .Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após � �,� horas?

Page 270: calculo I

270 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Page 271: calculo I

Capítulo 7

INTEGRAÇÃO DEFINIDA

7.1 Intodução

Neste capítulo introduziremos a noção de integral definida, cuja origem foi a formalizaçãomatemática da idéia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de fun-ções. Observemos que somente "sabemos"calcular, efetivamente, a área de regiões limitadaspor segmentos de retas como retângulos, triângulos ou composições destes. Como motivação,começaremos com um problema.

Problema: Sejam � � � 2 ����43���� � funções contínuas.. Calcule a área da região plana �delimitada pelo gráfico das funções contínuas � � � � '5! , � � � � '5! , ��� '-� � .

a b

f

g

Figura 7.1: Área da região dada no problema.

Solução do Problema: O subconjunto � � %(' � '��("0 0 0 0 0 0 ' � . � 2 ����3 é chamado de partiçãode ordem � do intervalo 2 �����3 se:

��� ' � � ' � � ' � ��0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ' � � � � ' � ��� 0Subdividamos o intervalo 2 �����3 em � subintervalos, escolhendo os pontos da partição � . For-memos os seguintes subintervalos:

2 ' � '�� 3 2 ' �( ' � 3 "0 0 0 0 0 0 0 0 /2 ' � � � ' � 3 0

271

Page 272: calculo I

272 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Denotemos qualquer destes subintervalos por 2 ' � � �" ' � 3 , � variando de � até � . Seja ' � �' � � ' � � � o comprimento do subintervalo 2 ' � � �" ' � 3 , � variando de � até � . Note que estes su-bintervalos não tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada � , variando de � até � ,consideremos o retângulo � � limitado pelas retas ')�&' � � � , ')� ' � , ��� � � � � ! e ��� � � � � ! , onde� � 2 ' � � � ' � 3 .

Figura 7.2: Subdivisão da região.

Obtemos assim � retângulos � � . É intuitivo que a soma das áreas dos � retângulos é uma"aproximação"da área da região � . Se � é muito grande ou, equivalentemente, se � cresce,então ' � ou seja a base do retângulo correspondente é muito pequena e a soma das áreas dos

� retângulos aproxima-se cada vez mais da área da região � .

Figura 7.3: Subdivisão da região.

A área de cada � � é � � � � � !�� � � � � ! � � ' � (base por altura); a soma � � das áreas dos � retângulosé:

� � ���

� � �� � � � � ! � � � � � ! � ' � 0

� � é chamada soma de Riemann da função � ��� ��� . Denotemos por � �' � � o maior dos �' � . Aárea de uma região plana � delimitada pelo gráfico das funções contínuas ��� � � ' ! , ��� � � ' !definidas no intervalo 2 ����43 e pelas retas '�� � e '���� é:

Page 273: calculo I

7.1. INTODUÇÃO 273

� � � ! �����

� � ��� � � �

��� � �� � � � � ! � � � � � ! � �' � 0

É possível provar, com rigor matemático que este limite sempre existe e é igual a área de � ;mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo 2 ����3 ou da escolha dospontos � � . Para mais detalhes veja a bibliografia intermediária e avançada.

Exemplo 7.1.

[1] Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função ��� � � ' !$� ' � , o eixo dos ' e pelasretas '�� � e '�� � .

1

1

1

1

Figura 7.4: Área limitada por � � � � ' ! � ' � .

O intervalo de integração é 2 � � 3 , � � ' ! � '�� e � � ' !+� � ; então � � ' !$��� � � ' ! � � � '5! � � '�� .

a) Consideremos a seguinte partição de ordem � de 2 � � 3 :' � ����� ' ���

�� � ' � �

�� ��' � �

� � ' � � � �

' � � �� , para cada � . Os subintervalos são: 2 � �� 3 , 2 �� �� 3 , 2 �� �� 3 e 2 �� � 3 . Se escolhemos � � � � ,�� � �� , � � � �

� e � � � �� , então, � � � � ! � � , � � � � ! � �� � , � � � � !$� �� , � � � � ! ��

� � ; logo:

� � ����

� ���� �� � �

��� ��� ��� �� � �

� � 0

Se escolhemos � ��� �� , � � � �� ,� � � �� e � � � � :

Page 274: calculo I

274 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

0.25 0.5 0.75 1

1

Figura 7.5: Partição da região.

� � � �#! � �� � , � � � � ! � �� , � � � � ! ��

� � , � � � � ! � � ; logo:

� � ���� �� � �

��� ��� ��� �� � �

��� � �

� � 0

É intuitivo que

� � � � � � ! �� � 0

b) Consideremos a seguinte partição de ordem � :

' � � � � '��$��

�� ' � �

��

� ' � �

���0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ' � � �

�� � 0

' � � �� . Se escolhemos � ��� �� , � � � �� , � � � �� ,............, � � � �� :

� � ��

� �� �

� ��

� � �� �

� ��

� �� �

� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ��

� � �� � �

�� � � � � � � � �

� � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � !

� � ���� ! � � �

� � !� � � 0

Se escolhemos � � � � , � � � �� , � � � �� ,............, � � � � � �� :

� � ��

� � � � � � � � �� � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � ��� � ! � ! � � ��� � ! � � �)� � !� � � 0

Page 275: calculo I

7.1. INTODUÇÃO 275

1

1

Figura 7.6: Nova partição da região.

Então,��� � � � � � � � � �� � � � � � ! � ��� � � � � � � � � �� � 0 Por outro lado:

� ��

� � ���� ��� � ! � � �-� � !� � � �

����

� � ���� ���� ! � � �

��� !� � � �� �

então,� � � !$� �� .

[2] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções � � '5! � ' � , � � '5! � � ' e pelasretas '�� � e '��

.

33

Figura 7.7: Área limitada por � � ' ! � ' � , � � ' ! � � ' e pelas retas '���� e '��.

O intervalo de integração é 2 � 3 ; então, � � ' !+� � � � ' ! � � � ' ! � � � '��7' � , se '- � �

�.

a) Consideremos a seguinte partição de ordem � de 2 � 3 :

' � ��� � ' ����� � ' � � � � ' � �

� ��' � � � � ' � � � � ' � �

' � � �� , para cada � . Se escolhemos � ��� � , � � � �

� ,� � � � , � � � �� , � � � �

e � � � �� , obtemos:� � � � ! ��� , � � � � ! � � ��

, � � � � ! � � , � � � � ! � � ��

, � � � � ! � � � e � � � � ! � � ��

e,

� � ��� � � � � � � �� ��� � � � ! �

� � � 0

Page 276: calculo I

276 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

b) Consideremos a seguinte partição de ordem � :

' � � � � ' ���

�� ' � � �

�� ' � � �

���0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ' � �

��0

' � � �� . Seja � � � � �

� , para todo � � � � 0 0 0 0 0 � . Logo: � � � � !+� � � �� � �

� � � , � � � � !+� � � �� � �� � � ,� � � � ! �

� � �� � � �� � � , � � � � ! � � � �� � � �

� � � . Em geral:

� � � � ! � � � �

��� �

� � �

e:

� � ���

� � �� � � � !

� ' � �

��� � � � � �

��� �

� � � �

��

��� � �

�� �

�� �

� �� � � 0

Lembrando que

��� � �� � � � �

��� !� e

��� � �� � � � � � �

��� ! �� , temos � � �

� ��� � �

�� � � . Então, a

área procurada é:

� � � !$�����

� � ��� � � �����

� � ���� �� � � �

�� � ! �

� �� 0

7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida

Definição 7.1. Sejam � uma função definida no intervalo 2 ����3 , � uma partição qualquer do intervalo2 ����43 e � � um ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partição. A integral definida de � de� até � é denotada por:

� �� � � ' ! � '

e definida por:� �� � � ' ! � '��

����

� � ��� � � �

��� � �� � � � ! ' �

se o limite existe.

Se o limite da definição existe, é independente das escolhas feitas, como no caso da definiçãode área. Portanto, deve ter sempre um único valor.

Se � é contínua e não negativa em 2 ����3 a definição de integral definida coincide com a defini-ção de área da região � delimitada pelo gráfico de � , pelas retas ' � � , ' �&� e pelo eixo dos '( ��� � ):

Page 277: calculo I

7.2. DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 277

Figura 7.8: A região � .

� �&% � ' ���!�*6����'-��� � � ��� � � '5!�.Neste caso teremos:

� � � !$�� �� � � ' ! � '

Os números � e � são chamados limites inferior e superior de integração.

Definição 7.2. Uma função � definida em 2 ����3 é dita integrável em 2 �����3 se sua integral definidaexiste.

Algumas das provas deste capítulo serão omitidas, pois fogem do objetivo destas notas. Umleitor interessado pode recorrer à bibliografia indicada.

Teorema 7.1. Se a função � é contínua em 2 �����3 , então é integrável em 2 ����3 .

Observemos que a recíproca deste teorema é falsa. Por exemplo, considere a função:

� � ' ! �� � se ') �2 � � 3

� se ') �� � � 3 0

1 2

1

1 2

1

Figura 7.9: Gráfico de � .

Page 278: calculo I

278 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

� é descontínua, mas a região limitada pelo gráfico de � , possui área igual a � no intervalo 2 � � 3e zero no intervalo � � � 3 ; logo, � é integrável.

Proposição 7.1. Se � e � são funções integráveis em 2 �����3 , então:

1. Linearidade da Integral. � � � � � é função integrável em 2 ����3 , para todo �$ � �� e:

� �� � � � � '5! � � � � ' ! � � '���

� �� � � ' ! � ' � �

� �� � � ' ! � '

2. Monotonicidade da Integral. Se � � '5! � � � '5! em 2 ����43 ; então,

� �� � � ' ! � ')�

� �� � � ' ! � '

3. � � � é integrável e:

����� �� � � ' ! � '

���� �� ���� � � '5!

�� � '

4. Sejam ��� � ��� e � uma função integrável em 2 �� � 3 e 2 � ���3 respectivamente. Então � é integrávelem 2 ����43 e:

� �� � � ' ! � '��

� �

� � � ' ! � ' �� �� � � '5! � '

Para a prova, veja o apêndice. Até agora conhecemos a definição e as propriedades mais im-portantes da integral definida. Mostraremos, a seguir, como calculá -la.

Teorema 7.2. Fundamental do Cálculo.

Se � é uma função integrável em 2 �����3 e admite uma primitiva � � ' ! em 2 ����43 , então:

� �� � � ' ! � '�� � � �"! � � � � !

O teorema nos diz que para calcular a integral definida de uma função, basta procurar umaprimitiva da função e avaliá-la nos limites de integração. A integral definida é um númeroreal. Para a prova do teorema, veja o apêndice.

Notação: � � '5!�����

� � � � �"! � � � � ! .

Corolário 7.3. Na hipótese do teorema 7.2 temos:

Page 279: calculo I

7.2. DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 279

1.� �� � � ' ! � '�� �

� �� � � ' ! � ' .

2.� �� � � ' ! � '���� .

Exemplo 7.2.

Calcule as seguintes integrais definidas:

[1]� �

� � � � � � ��� ' � � ' . Usando a linearidade, podemos escrever a integral como:

� ��

� � � � � � ��� ' � � '�� � � � �

�� � � ' �

� ��

� '�� ' 0

Como:

� � � ' ! ��� � � '�� � � e � � � ' !$�

� � '�� ' �

�' � ���

� � '�� � � �� ' � �Logo,

� ��

� � � � � � ��� ' � � '�� � � � �

�� � � ' �

� ��

� '�� ' � � � � �6� '5!

���������

� � '5!������

� � � � � � � � ! � � � � � ! � � � � � � � � ! � � � �� ! �

� � � � � � � � ! � � � �� � � � ! 0[2]

� �

� � �$� '5! � ' . Utilizamos integração por partes:

��� � �$� ' ! � � � � '� ��� ��� � � ' �

então: � � ' !$��� �$� '5! � '�� ' � �$� '5! �7' ; logo:

� �

� � �$� ' ! � '�� � � ' !�����

�� � � 0

[3]� �� � � � � �$� �' ! � � ' . Observamos que � � �$� �' ! ��� se ��� ' � � e � � �$� �' ! ��� se � � � ')��� .

�� � �$� '5! � '�� �

��� � � �'5!

��� 0

Page 280: calculo I

280 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Logo, � � ' ! � � � ����� �

�, então:

� �� � � � � �$� ' ! � � '��

� �� � � �$� �'5! � '��

� �

� � �� �$� �' ! � '�� � � ' !

�����

�� � � ' !

�����

� �� � � � � ! � � � � ! ! ��� � � � ! � � � � � ! !� � 0

[4]� �

� '� � ' � �

� ' . Se ��� � '�� �, então �

�� � ' � ' .

�'� � ' � �

� '����

�� � � ��� � � � �

�� � ' � �

! �� ��� 0

Logo, � � ' ! � � � � � � � � �� ; então,

� �� '

� � ' � � � '�� � � � ! � � � � ! � � � � �

� 0

[5] Seja

� � ' ! ��� � � �� � � � � se ' �� � �� ��� �� � se '�� � � 0

Verifique se � é contínua em � � . Calculando diretamente:�� � � � � � � � �

' ��� ��� . Logo,� � '5! � � � � �� � � ; então: � �

� � � � � � � � �"! � � � ��! � � � � � �7� � � �' ��� 0

Por outro lado, aplicando L’Hôpital:������ � � � � '5! �

� ���� � � � �

� � � � �$� �#! � � � � � � �$� ��! !� � � � � !��

logo, � é contínua em � � .7.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas

Método de Substituição

Se ��� � � '5! , então� ��� �

� � '5! � ' ; logo,

� �� � � � � '5! ! � � � ' ! � '��

� � � � �� � � � � � � ! � �

Page 281: calculo I

7.3. MÉTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 281

Integração por Partes

� �� � � ' ! � � � ' ! � ' � � � ' ! � � '5! ��

�� �

� �� � � ' ! � � � ' ! � '

Exemplo 7.3.

[1] No exemplo [4] da página anterior, fizemos � � � ' � �; logo, �

�� � ' � ' . Se: '7� � , então���

; se '�� � , então ��� . Assim:

� �� '

� � ' � � � '��

��

� �� � �

� ��� � � ������

� � � � � �

� 0

[2] Calcule� �

� � � '� � � � � � � � � .

Fazamos ��� � � , então � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � . Se '���� , então ��� � ; se '�� � ,então ��� � . Utilizando frações parciais:

� ��

� � � '� � � � � � � � � �

� �

� �� � � � ! � � �

�� � �

�����

��

� � �� � � � ! 0

[3] Calcule� �

� '� � � ' .

Se ��� � ' � � , então � '�� � � � e� ��� �

��

� � ; logo,� � ��� � ! � � � � ' . Se: '�� � , então, ��� � ; se

'�� � , então, ���. Assim:

� ��

� '� � � ' � � � ��

� ��� � !�

� ��� � � ��� � �$� � � � ! � ���� � � � � � � � �$�! 0

[4] Calcule� �

� ' � �$� ' ! � ' .

Usando o método de integração por partes temos: � � � �$� ' ! e� � � ' � ' ; então,

� � � �� � ' e� � �

� . Assim � ' � �$� ' ! � '�� � � � � � �� � � � . Logo:

� �

� ' � �$� ' ! � '�� ' � � �$� ' !� � ' �������

�� � � � �$� � ! �

� � 0

[5] Calcule� �

� � � �$� � �4! � � ������ � � � .

Como � � �$� � �4! � � � � �$� �4! ��� � � �4! , fazemos '�� � � �$� � ! ; logo,� '�� ��� � � �4! � � . Se � � � , então '���� ;

se � � � � , então '�� � . Assim:� �

� � � �$� � �4! � � � � �� � � � � � � �

� ' � � � ' 0

Integrando por partes: ��� ' e� � � � � � ' , então

� ��� � ' e � � � � ; logo:� �

� � � �$� � �4! � � � � �� � � � � � � �

� ' � � � '�� � ' � ������

�� � � �

�� � � '�� � � ' � � � � � � ���� �� � � 0

Page 282: calculo I

282 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

[6] Calcule� �

� �� '

' � ' � � � .

Usaremos o método de substituição trigonométrica. Seja '����� � � ! ; observamos que

��� � � !$�

� �

e��� � � ! �

, implicam em � � � � e � � � � ;

� '��� � � � � � ! � � ; então, �

�� � � � � � � �

�� � ��� �� � � .

� �� �

� '' � ' � � � �

� � ��

� ���� � � � � � ! � � �

� � �

� � � � � � � � � 0

[7] Verifique que� �

�� � ' !

� � '5! � � � � �7' !� '�� � � , sendo � tal que o integrando seja definido.

Seja � �� �

�� � ' !

� � '5! � � � � �7' !� ' . Fazendo ��� � � ' , então

� ��� � � ' :

� � �� �

�� � � � �5!

� � � � � ! � � � �5!� ���

� ��

� � � �7' !� � � �7' ! � � � ' !

� ' �

logo,� ���

� ��

� � '5!� � ' ! � � � � �7'5!

� ' �� �

�� � � �7' !

� � � �7' ! � � � ' !� '��

� ��

� '�� �0

[8] Usemos [7] para calcular� �

�'��

' � � � ' � � � ' .

� ��

'��' � � � ' � � � '�� � � �

�'��� ' � � � ' � �

� '�� � � ��

'��' � � � '�� � ! �

� '�� � 0

Consideramos � � '5! � '�� em [5].

[9] Calcule� �

� ' � � � ��� � ' ! � ' .

Integrando por partes ��� � � � ��� � '5! , � � � ' � ' ; então,� ��� �

�� � � e � � � � ;

� �� ' � � � ��� � '5! � ' � '�� � � � ��� � '5!�

�����

����

� ��

'��' � ��� � ' 0

Agora calculamos � ��� � � �

� ' . Integramos a função racional. Logo,

� ��

'��' � ��� � '��

� ��

� � ��

' � ��� � � '�� '���� � � ��� � '5!�����

�� � � � 0

Então: � �� ' � � � ��� � '5! � '�� ' � � � � ��� � '5!�

�����

���� � � � � � �

�� � �� � ! 0

Aplicação : Seja � uma função integrável sobre 2 � ��4� 3 . Se � é uma função par:

� �� � � � '5! � '�� � � �

� � � ' ! � '

Page 283: calculo I

7.3. MÉTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 283

Se � é uma função ímpar:

� �� � � � '5! � '�� �

De fato:

� �� � � � ' ! � '��

� �

� � � � ' ! � ' �� �

� � � ' ! � '�� �� � �

� � � '5! � ' �� �

� � � '5! � ' 0

Façamos a seguinte substituição ��� � ' , então:

�� � �

� � � ' ! � '��� �

� � � � �5! � � 0

Se � é uma função par, segue a) e se � é uma função ímpar, segue b).

Exemplo 7.4.

[1] Calcule� �

� ��

��� � ' !' � � � ' � ��� � ' .

A função � � '5! ���� � � �

� � � � � � � � é ímpar, logo:� �

� ��

��� � '5!' � � � ' � ��� � '�� � 0

-0.75 0.75

-0.3

0.3

-0.75 0.75

-0.3

0.3

Figura 7.10: Gráfico da função � � ' ! ���� � � �

� � � � � � � .

[2] Calcule� �� � � ' �

����� � � ' ! ��� ! � ' .

A função � � '5! � '�� ����� � � �'5! ��� é par, logo:

� �� � � ' �

����� � � �' ! � � ! � '�� � � �� � ' � ����� � � ' ! � � ! � ' �

� 0

Page 284: calculo I

284 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

-1 1

2

-1 1

2

Figura 7.11: Gráfico da função � � '5! � '�� ����� � � ' ! ��� .7.4 Construção de Primitivas

Seja ����2 ����3 � � � uma função contínua. Definamos a função:

� � '5!$�� �

� � � �4! � � 0

Por exemplo, se � � '5!�� ��� � � ' ! , então � � ' !�� � �� ��� � � �4! � �$� � � �$� '5! ; por outro lado, �� � '5!����� � � '5! � � � ' ! . Este fato pode ser generalizado. É o que estabelece o seguinte teorema.

Teorema 7.4.Seja ���2 �����3 � � � uma função contínua. A função � � ' !$�

� �

� � � �4! � � é derivável e:

�� � '5! � � � ' ! ou � � � ' ! �

�� '

� �

� � � �4! � � � � � '5!

Este resultado implica que toda função contínua possui uma primitiva. Veja o apêndice paraa prova. Existem funções integráveis que não possuem primitivas (não podem ser contínuas).Por exemplo, a função definida por � � ' !$� � se ' �� � e � � � !$� � ; � não é derivada de nenhumafunção ( � � ' !$� � �� � � �4! � � � � para todo ' ).

Corolário 7.5.

Seja � � ' ! �� � � � �

� � � � ! � � , onde � � ��� � � é contínua e � � � � � � derivável; � e�

são intervalos

tais que ��� � ! � � . Então � é derivável e:

�� � ' !$� � � �+� '5! !�� � � '5!

De fato. Seja ��� � � � tal que � � ' !��� �

� � � � ! � � . Pelo teorema � é uma função derivável.

Utilizando a regra da cadeia e o teorema novamente

�� � '5! �

� �� ' � ��� ' ! !�� � � ' ! � � � ��� ' ! !�� � � ' ! 0

Page 285: calculo I

7.4. CONSTRUÇÃO DE PRIMITIVAS 285

Exemplo 7.5.

[1] Calcule�� '

� �� � � � � � � ��� ! � � . A função � � �4! � � � � � � ��� é contínua em � , pelo teorema

anterior: �� '

� �� � � � � � � ��� ! � �$� � ' � �7' ��� 0

[2] Calcule� �� ' se ���

� �

� � � � � ! � � � � .Como � � �4! � � � � � ! � � é contínua em � ; ��� ' !+� ' � é derivável em � e � � � � ! � � � � � ! . Pelocorolário anterior: � �� ' � � � ��� ' ! !�� � � ' ! � � ' � � ' � ! � � ' � ' � � � ! � � 0[3] Calcule �

se � �� �

� ��� � ��� � � � � � � � �

�� � ��� � � .

Como � � �4!�� � � � � � é contínua em � , � �(� '5! � � ' e � � � ' !��' � �

são funções deriváveistais que � � � � � ! � � � � � ! �

� � � � ! , pelo corolário anterior:

�� � � � � � �/� '5! !�� �

� � '5! � � � � � � ' ! !�� �

� � ' ! ��

' � ��� � � �' � � ! � ��� 0

[4] Seja

� � ' !$�� �

� �� � � �� � �

� �� � � � ' �� � 0

Mostre que � � ' ! é constante em � � � 4� ! e em � � � � ! . Calcule tais constantes.

i) Seja� � '5!��

� ��

� �� � � � ; então, � � ' !�� � � ' ! � � � �� � . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,� � � ' ! � ���� � e �

� � '5! � � � � '5! � �� � � � �� � ��� � ' �� � ! . Logo �� � '5! � � e � � '5! � � � se ' ��� e� � '5! � �

� se ')��� .

ii) � ��� � � � !+� � � ��

� �� � � � � � ; analogamente, � � � � � � 0

[5] A função :

� � '5! �� �

� � � ��� � �� � � � é chamada de Fresnel e aparece no estudo da difração de ondas de luz: Calcule

������ �� � '5!' � .

O limite apresenta uma indeterminação do tipo � �� ! ; aplicamos L’Hôpital,

� � � '5! � � � ��� �'��� � � logo � ���� �� � '5!' � �

������ �� � � ' !

' � � � 0

Page 286: calculo I

286 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 7.12: Gráfico de � � '5! .

[6] A função:

� � � � '5! ��

� � �

�� � � � �

é chamada função erro. Calcule a derivada de:

i) ' � � � � '5! .ii) � � � � � '5! .i) Pela regra do produto:

�� ' � ' � � � � ' ! ��� � � � � ' ! � '

�� '� � � � ' ! � � � � � ' ! �

� '�

� � � 0

ii) � � � ! � � � � e �+� '5!$� � ' ; então, � � �+� '5! ! � � � � e � � � '5! � ��

� � . Logo:

�� '� � � � � ! �

�� � � ��� ' ! !�� � � ' !$�

� � �

� �' 0

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 7.13: Gráfico de � � � � '5! .

[7] Calcule ��

se � � ' !+�� �

�� � � � � .

Denotemos por � � �4! � � � � e ��� ' !+� ' � ; então, � � ��� ' ! ! � � � ' � !$� � � � � ; logo: �� � '5! � � ' � � � � .

Page 287: calculo I

7.5. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 287

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 7.14: Gráfico de � e ��

.

[8] Se ' � � �$� �'5! �� �

� � � �4! � � , onde � é uma função contínua, calcule � � � ! . Derivando a ambos

os lados da igualdade:

�� ' � ' � � �$� �'5! � �

�� '

� � � � � � �4! � � � � � � �$� �' ! ���' ��� � � ' !$� � � � ' � ! ' 0

Para '�� �, temos: � � �$� � ! � � ��� � � � !$� � � � � ! , logo � � -� � � � � ! . Então, � � � ! � � � � .

7.5 Aplicações da Integral Definida

7.5.1 Aceleração, velocidade e posição

A relação entre aceleração, velocidade e a posição de uma partícula pode ser obtida utilizandodiretamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivadacontínua '�� ' � � ! com velocidade � � � � �4! , de classe � � e aceleração, ��� � � �4! em cada instante� . A aceleração da partícula é: � � �4! � �

��� . Pelo Teorema:

� �

��

� � � ! � � �� �

��

� �� �

� � � � � � ! � � � � � ! �

então:

� � ! � � � ! �� �

��

� � � ! � � � � � � � ! 0

Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidadeem cada instante � . A velocidade da partícula é: � � �4! � �

��� . Pelo Teorema:

� �

��

� � �6! � ���� �

��

� '� �� ��� ' � �4! �7' � � � !��

então:

Page 288: calculo I

288 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

� � ! ' � � ! �� �

��

� � � ! � � � ' � � � ! 0

� � ! � ' � � !�� ' � � � ! é chamado o deslocamento da partícula. Logo, conhecendo a velocidadee a posição inicial da partícula, podemos obter sua posição em cada instante � . Um dos movi-mentos mais simples é quando a partícula tem aceleração constante: � � � ! � � � , para todo � . Écomum nas aplicações considerar que o tempo inicial seja � � � � . Denotando a velocidade eposição inicial respectivamente por � � � !$� � � e ' � � !+� ' � , obtemos:

De (1): � � � ! �� �

� � � � ��� � � � � � � e de � � ! : ' � � ! �� �

�� � �6! � � � ' � �

� �

� � � � � � � � ! � � � ' � .

Logo,

' � �4! � � �� � � � � � � � ' � 0

Neste caso, conhecendo a velocidade e a posição inicial da partícula obtemos sua trajetória.

No deslocamento vertical de uma partícula, escolhemos o eixo dos � do sistema de coordenadaspara a posição. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos � . O efeito da gravidadena partícula é diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistência doar, a aceleração é constante � � � ! � � � , onde � � � � 0 � � * � � � � é a aceleração gravitacional nasuperfície da terra. Então:

� � � ! � � � 0 � � � � � e ' � � ! � � ��0 � � � � � � � � ' �

' � �4! medido em metros.

Exemplo 7.6.

[1] A velocidade de um foguete é de � �,�,� � � * � após os primeiros� � � � de seu lançamento.

Determine a distância percorrida pelo foguete. Primeiramente, fazemos a conversão de� � * �

para � * � � � multiplicando pela fração � � � �� � � � , donde obtemos:

� � �� �,�,�

� � �,�,��� � �,�

� * � � � � � � 0 � � � * � � � � 0

� � � � ; logo � � � !$� � 0 � � � e obtemos: )�� !+� � 0 � � � � � �

� � � � � � 0 � . O foguete nos primeiros� � � � percorre uma distância de � � � � 0 � .

[2] Se uma bola é jogada diretamente para cima a partir do chão com velocidade inicial de� � � * � � � . Determine seu deslocamento. Primeiramente, ' � � � e � � � � � ; logo, � � �4! � � � 0 � � �� � . A bola atinge sua altura máxima quando � � � ; então, a altura máxima é atingida no tempo:� � � �

�� ��� � 0 � � � � � . Logo,

' � � 0 � �1!$� � ��0 � � � � 0 � �1! � � � � � � 0 � � � � � � 0 � � 0

Page 289: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 289

7.6 Cálculo de Áreas

O cálculo da área de uma região plana pode ser feito via integral definida. A seguir, estudare-mos as situações mais comuns.

Teorema 7.6.Sejam � � � 2 �����3+� � � funções contínuas. A área de uma região plana � delimitada pelo gráfico dasfunções contínuas � � � � '5! , ��� � � ' ! e pelas retas '�� � e '�� � é:

� � � !$�� �� � � � ' ! � � � ' ! � � '

Se � � ' ! ��� e � � '5!$� � , para todo '- 2 �����3 , então:

� � � !$�� �� � � ' ! � '

onde:� �&% � ' ���!�* ����')��� � � ��� � � '5!�.

b

R

a

y=f(x)

Figura 7.15: � � % � ' �� !�* ��� '-��� � � ��� � � ' !�. .

Se � � ' ! ��� e � � '5!$� � , para todo '- 2 �����3 , então:

� � � ! � �� �� � � '5! � '

onde� �&% � ' ���!�* ����')��� � � '5!�� ����� .

a

R

b

Figura 7.16: � �&% � ' �� !�* ��� ')��� � � ' ! � ����� .

Page 290: calculo I

290 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Se � � ' !�� � � '5! , para todo ') 2 ����43 , então:

� � � ! �� �� � � � ' ! � � � ' ! � � '

onde� �&% � ' �� !�* ��� ')��� � � ' ! � ��� � � ' !�.

a b

f

g

R

Figura 7.17: � �&% � ' ���!�* ��� ')��� � � '5! � ��� � � ' !�. .

Se � � ' !�� � � '5! , ��� '-� � e � � '5! � � � '5! , � ��'-��� ; então, � � � � � � � , onde:

� ���&% � ' ���!�* ����'-� � � � '5! � ��� � � '5!�. e

� � �&% � ' ���!�* � � ')� �/ � � '5!�� ��� � � ' !�.

� � � ! �� �

� � � � ' ! � � � ' ! � � ' �� �� � � � ' ! � � � ' ! � � '

a b

f

c

g

Figura 7.18: � � � � � � � .

Page 291: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 291

Exemplo 7.7.

[1] Se em 1970, foram utilizados 20.3 bilhões de barris de petróleo no mundo todo e se a deman-da mundial de petróleo cresce exponencialmente a uma taxa de � �

ao ano, então a demanda� � � ! anual de petróleo no tempo � é� � �4! � � � 0

� ��

� � �( ��� � em 1970). Se a demanda continua

crescendo a uma taxa de � �ao ano, qual será a quantidade de petróleo consumida entre os

anos de 1970 e 2005?

A quantidade de petróleo utilizada nesse período de tempo é a área sob a curva de demandaentre � ��� e �$�

.� � 0 � � �

�� �

�� � � � � � �,� 0 � � �

�� � � ����� ��

�� � � 0 � � 0

Logo, foram consumidos 5038.02 barris de petróleo.

5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

Figura 7.19: A região do exemplo [1].

[2] Calcule a área da região limitada pelo eixo dos ' e pelo gráfico de ��� �5��' � . Neste problema� � � e não são dados claramente os intervalos de integração; mas, as interseções com os eixossão os pontos: � � �� ! , � � 4� ! e � � � 4� ! .

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figura 7.20: A região do exemplo [2].

Logo, � �&% � ' �� ! �� � * � � ��'-� � � � ����� � ' � . . Usando o fato de que a função é par:

Page 292: calculo I

292 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

� �� �� �

� � �7' � ! � '�� � � �� � � �7' � ! � '�� � � � '�� ' � !

������

� � � 0 �0

[3] Calcule a área da região limitada pelo eixo dos ' e pelo gráfico de � � � ' � �� '�� � � .Determinemos a interseção da curva com os eixos coordenados:

i) Fazendo '���� ; então, � � � ; o ponto de interseção é � � � ! .ii) Fazendo ��� � ; então, � ' � � ' � ��� � � , clarametente ' � � � e ' � � são raizes dopolinômio; logo, � ' � � '�� � � � � '�� � ! � ' � � ! � � '���� � ! ; os pontos de interseção são � � 4� ! ,� � � 4� ! , � �� 4� ! e � � �

� 4� ! .É fácil verificar que ' � � é ponto de máximo local e ' � �

���

são pontos de mínimo local de� . Logo, � � � � � � � � � � onde:

� ���&% � ' ���! �� � *)� � ��'-� ��� � '

�� ' � ��� � ����� . �

� � �&% � ' ���! �� � *)��� ��'-�

�� � � ����� '

�� ' � ��� . e

� � �&% � ' ���! �� � *�� � ')� � � '

�� ' � � � � ����� .10

-0.5-1 10.5

1

-0.5

-0.5-1 10.5

1

-0.5

Figura 7.21: Gráfico de � � � � � � � � � � .Logo,

� � �� � �� � � � '

�� ' � � � ! � ' � � �

� �� � '

�� ' � ��� ! � '��

� ��

� � '�

� ' � ��� ! � ' .

A função � é par. Usando a simetria da região, calculamos a área da região no primeiro e quartoquadrantes e multiplicamos o resultado por

�:

� � � � � �� � � '

�� ' � � � ! � '��

� ��

� � '�

� ' � ��� ! � ' � � � � 0 �0

[4] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de ��� ' � e � � ' � �.

Page 293: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 293

-2 -1 1 2

1

2

-2 -1 1 2

1

2

Figura 7.22: A região do exemplo [4].

Novamente neste problema não são dados, claramente, os intervalos de integração.i) Calculemos as interseções dos gráficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equações: �

� � ' � �� � '��6

ou seja, resolvamos '�� �7'�� � � � ; temos: '�� � � e '�� �. Os pontos de interseção são � � � � !

e � � �� ! .ii) Notemos que ' � � � '�� se ' 2 � � � 3 ; logo:

� �� �� � � '

� � �7' � ! � '�� � ' �� � � '�� ' � � ���� � � ��� � 0 ��0

[5] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de ��� ' � �7' � e ��� '�� � � .

-1 1

-1

-1 1

-1

Figura 7.23: A região do exemplo [5].

i) Calculemos as interseções dos gráficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equações: �

� � '�� �7' �

� � ' � � �

Page 294: calculo I

294 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

ou seja, resolvamos ' � � � � � ; temos: ' � � � e ' � � . Os pontos de interseção são � � � 4� ! e� � 4� ! .ii) Notemos que '�� �7' � ��'�� � � se ') 2 � � � 3 ; utilizando a simetria da região:

� �� �� � � � '

� ��� ! � '�� � � �� � � '

� � � ! � '��� � 0 ��0

[6] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: � � � �+' , � � � ' � ,��� � � �$' e � � � � '�� se ����� . As curvas são parábolas.

Figura 7.24: A região do exemplo [6].

Pela simetria da região, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado por � .i) Observemos primeiro que � � � �+' não é função de ' .

ii) Calculemos a interseção das curvas, resolvendo o sistema: 5

�� � � �+''�� � � � 0

Então, ' � � � ��� � ; logo ' � � � � '�� � , cujas raízes: '�� � e '�� � são os limites de integração.

iii) A região no primeiro quadrante, cuja área queremos calcular é limitada superiormente pelafunção ��� � �+' e inferiormente por ��� �+' � , logo:

� � �� �

�� �+'�� '��

� � � '�� �� � � � � ' � ��' �

� � ���� �� � � � � � 0 ��0

[7] Calcule a área da região limitada pelas curvas: ��� ��� � � ' ! e ��� � � � ��

.

Page 295: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 295

-1-1

Figura 7.25: A região do exemplo [7].

i) Calculemos as interseções das curvas:

�� � ��� � � ' !� � � � � �

�0 Se '-�&� , então ��� � , se '-� � � , então

� � � e se '�� , então � � � � ; logo, temos os pontos � � � ! e � � � 4� � e � (� � ! .ii) Pela simetria da região, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado po

�.

� � � !$� � � � �

� ��� � � '5! � � � � ' � � '�� � � � � �$� '5! � ' � '��� !

� ������ �

�� � � � � �

� � 0 �0

Observação Importante

Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relação a � e nãoem relação a ' . Podemos repetir o processo de partição num intervalo que fica no eixo dos � ea obtenção das somas de Riemann.

Seja � a região plana limitada pela direita pela função ')� � ��� ! , pela esquerda por '-� � ����!e pelas retas � � � e ��� �

.

c

M(y)N(y)d

Figura 7.26: .

Page 296: calculo I

296 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Não é difícil provar que se as funções � ��� ! e� ��� ! são contínuas em 2 � � 3 , então:

� �� �� � � ��� ! � � ����! � � �

Por isso, para resolver os problemas de área é sempre indicado fazer o desenho da região cor-respondente.

Exemplo 7.8.

[1] Calcule a área da região limitada pelas curvas ��� � � ' e � � '�� � .

i) As interseções das curvas são � � (� � ! e � � �� ! .ii) Sejam '�� � ����!$� � � � e '�� � ��� ! �

� .

-2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

-2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

Figura 7.27: A região do exemplo [1].

Então:

� �� �

� �� � � � � ����

� � � � � ���� � � ��� � �� ������

� �� � � � 0 � 0

Sugerimos ao aluno fazer este problema integrando em relação a ' , para "sentir"as dificuldades.

[2] Calcule a área da região limitada pelas curvas� � � � ' � � e � � � ' .

i) As interseções das curvas são � �� � ! e � ��(� � ! .

ii) Sejam '�� � ����!$� � � e '�� � ����!$� � � � � � .

Page 297: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 297

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Figura 7.28: A região do exemplo [2].

Então, pela simetria:

� �� �� �

2 � � � � 3 � � � � � �� 2 � � � � 3 � � �

� � 0 ��0

Exemplos Diversos

[1] Calcule a área da região limitada pelos gráficos de ��� � � �$� '5! e ��� � � �$� � ' ! , ��� '-� .

3

-1

1

3

-1

1

Figura 7.29: A região do exemplo [1].

Resolvendo � � �$� ' !�� � � �$� � ' !�� � � � �$� '5! ��� � � ' ! para ' 2 � 3 , temos que ' � � , '�� � � e'�� . A interseção das curvas ocorre em � � 4� ! , � � �

� �� ! e � 4� ! . Dividamos a região em duas:

� ���&% � ' ���!�* ��� '-� � � �$� ' ! � ��� � � �$� � '5!�.1� � �&% � ' ���!�* � '-� � � �$� � ' ! � ��� � � �$� '5!�.10

Então,� �

� � �� � � � �$� � ' ! � � � �$� ' ! � � ' �

��

� �� � � �$� ' ! � � � �$� � ' ! � � '�� � � 0 � .

[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico das curvas: � � ' � �7' � e � � '��7' � .

Page 298: calculo I

298 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

1

0.5

1

0.5

Figura 7.30: A região do exemplo [2].

Determinemos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:�� � '�� ��' � � '�� � � �7'��(!� � '���' � � ' � � �7' � ! 0

Logo, '�� � e '�� � ; então, o intervalo de integração é 2 � � 3 .� �

� �� � '��7'

�� � ' � �7'

� � � � '��� �

� � '��7' � � � '�� � ' �� � ' � � ���� �� ��� � 0 ��0

[3] Calcule a área comum a ' � � � � ��� ' e ' � � � � ��� .

-2 1 2 4

-2

2

Figura 7.31: A região do exemplo [3].

Determinamos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:�'�� � � � � �'�� � � � � �,' 0

Então, '-� � e ��� � �. A equação '�� � ����� �,' corresponde a um círculo de raio

�centrado

em � � 4� ! ; de fato, completando os quadrados obtemos: � ')� � !�� � ��� � � . Pela simetria daregião, calculamos somente a área da região:

% � ' �� !�* ��� ��� � � � ')�

�� �7' � .

Page 299: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 299

no primeiro quadrante (em verde) e multiplicamos o resultado por quatro. Integrando emrelação a � :

� � �� � �

� ��� � � � � � ! � � � � � � � �

� � � � � �� ����

� ��

� � � � � � � � 0 �0

[4] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das curvas: '�� � ��� � � e � ��'�� � ��� .

Determinemos o intervalo de integração, resolvendo o sistema:

�'�� � � � � � � �� �7'�� � � � 0

Então, � � � � e ��� �. A interseção das curvas ocorre em � �

(� � ! e � � � ! .

� �� �� � ��� � � � � � ! � � � � � �� � � � � � � �

������ �

� � � � 0 ��0

-3 -2 -1 1

-1

1

2

-3 -2 -1 1

-1

1

2

Figura 7.32: A região do exemplo [4].

[5] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: ��� � ' � � � '���' � e� � � ' .

��� � '�� � � '���' � ��' � � ��'5! � '�� �1! ; a curva intersecta o eixo dos ' nos pontos � � 4� ! , � � 4� ! e� � 4� ! . Por outro lado, considerando ��� � ' � � � ' � ' � , temos �

� � � � ' � � �'�� e �

� � � � � � � ' ;então, os pontos críticos � �

� �� e � �� �� são, respectivamente, de máximo local e de mínimo local.

Para obter as interseções das curvas, resolvemos o sistema:�� � � '�� � � '��7' �� � � ' �

logo,� '�� � � � '���' � � � ' � ' � � ! � '�� 1! ��� ; as curvas se intersectam nos pontos de abscissas

'�� � , '�� �e '�� .

Page 300: calculo I

300 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

2 52 5

Figura 7.33: A região do exemplo [5].

A região é subdividida em duas regiões � � e � � , onde:

� � �&% � ' ���!�* ��� ')� � � ' � � � '��7' � � ����� ' .1� � �&% � ' ���!�* � � ')�� �� '7� ��� � ' � � � '��7' � .10

Logo:

� �� �

� � � � '�� � ' � � ' � ! � ' � � ��� � ' � � � � '��7' � � � '

� ' � �� ' � � ' �

�������

� ' � �� ' � � ' �

������

��� � � �

� �� � � � 0 ��0

[6] Calcule a área da região limitada pelos gráficos das seguintes curvas: � � ' � ��� ' � � e� � � � �7'�� .

-1 2 31

1

10

-1 2 31

1

10

Figura 7.34: A região do exemplo [6].

As curvas se intersectam nos pontos de abscissas '�� � � e '��; então:

� �� �� � �� � �7' � ��' � � �,'�� � ! � ' �

� �� � � � � � '�� � ' � ! � '�� � � � 0 ��0

Page 301: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 301

[7] Calcule a área limitada pela curva ��� � � ! � � '�� � , pela tangente a esta curva no ponto deordenada � �

e pelo eixo dos ' .

-4 -2 2 4

1

2

3

-4 -2 2 4

1

2

3

Figura 7.35: A região do exemplo [7].

Se � � �, então ' � � �

. A equação da reta tangente no ponto � � ! é a equação da reta

tangente é ������ � ' � ! � '�� � ! �

; para obter �

, derivamos implicitamente em relação a ' aequação ����� � ! �-� ' � � ; temos:

� ����� � ! � � � � . No ponto � � ! , temos: �

� � � ! � �� ; logo,� � � '�� � � � . Integrando em relação a � , teremos: '�� � ��� ! � ��� � � ! � � � , '�� � ����! � � � � �

e� �

� �� � ����� � ! � ��� ��� � ��� � ! ! � ���

� �� ��� � � � � � �1! � � � ��� 0 ��0

[8] Determine a área da região limitada pela curva: � � � � � � �� �� � � � � � ; ������� .

Figura 7.36: A região do exemplo [8].

As interseções com os eixos são � ��4� ! , � � ��4� ! , � � ��#! e � � (� �"! . Como a curva é simétrica em re-lação aos eixos coordenados, podemos calcular a área da região situada no primeiro quadrantee multiplicar o resultado por � . Então, consideramos:

��� �� ��

� � � �7' � ! � no primeiro quadrante. A área desta região é:

� � �� �

� ��

�� � � �7' � ! � � ' �

Page 302: calculo I

302 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

fazendo a mudança de variáveis: '�� � � � �$� �4! , temos ��� � � � � e� '�� � ��� � � � ! � � :

� � �� �

� ��

�� � � �7' � ! � � '�� � �

� � ���� �

�� �4! � � �

usando a identidade ��� � � � �4! � ��� � �

�� � � ��

� � ��� � � ��

,

� � � �� �

���� �

�� �4! � �$� � �

� � �

� � � ��� � � � �4!� � ��� � � � �4!� � � �$� � �� � � 0 ��0

A área pedida é:� � � � �

5� �� � 0 ��0

[9] Calcule a soma das áreas limitadas pela curva ��� ' � � � � ' � � e o eixo dos ' , sabendo que

'- 2 � � �13 , sendo � �� � .

Figura 7.37: A região do exemplo [9].

� �� �

�� ' � � � � ' � � � '��

� � � ���

' � � � � ' � � � ' � 0 0 0 0 0 0 � � � � ! � � � � � ��

��� � � � ��

' � � � � ' � � � ' 0

Vemos que� � � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � , onde

� � é a área limitada pela curva, o eixo dos ' , se� � �� '-�&� � ��� ! � e

� ��� � 0 0 0 �-� � , ou seja,

� � �� � � � � � � �� � � ' � � � � ' � � � '

considerando:� � �

���� � � � � � � � �� � � ' � � � � � � � � ' ���� , se�

é ímpar. Integrando por partes temos:

� � �� � � � � � � �� � � ' � � ��� ' � � � '�� � � � ��� ! � � ��� � � � ! 0

Logo,� � � � � � � � � 0 0 0 0 0 � � � � � � ! ! � � � � � �� 0 ��0 , pois, � � � � 0 0 0 0 0 � � � � � � ! é soma

de termos de uma P.A.

[10] Calcule a área da região limitada pela astróide�� ' � � �� � � � �� � � , ����� .

Page 303: calculo I

7.6. CÁLCULO DE ÁREAS 303

As interseções da curva com os eixos coordenados são � ��4� ! , � � �4� ! , � � 4� ! e � � (� � ! . Pela sime-tria da curva, calculamos a área da região no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor � .

Figura 7.38: A região do exemplo [10].

Seja ��� � �� � � � �� ' � � � ; logo,

� � �� �

� � �� � � � �� ' �� � � ' 0

Fazendo a mudança '�� � � � � � � �4! , obtemos � � � ��� � �,� � ! , � '��

� � � � � � �4! ��� � � � ! � � ; então,

� �� � � � �� ' � � � � '��

� � ��� ��� � ! � � � � � �4! � �+�

� � ��� �

�� �4! � � � ��� � � � �4! ! � � �

logo:� �

� �� � �

� � � � ��� � � � �4! ����� � � � � ! � � � ��� � � � �4! � � � �

� �� �� 0 ��0

Page 304: calculo I

304 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

7.7 Volume de Sólidos de Revolução

Se giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos o que é chamado um sólido derevolução. A reta em torno da qual a região é girada chama-se eixo de revolução. Por exemplo,considere a seguinte região no plano:

Figura 7.39:

Girando a região em torno do eixo dos ' , obtemos:

Figura 7.40: Sólido gerado pela região.

Exemplo 7.9.

[1] Seja � a região limitada pelas curvas �-� ' , '�� � � e o eixo dos ' . Se giramos a região �em torno do eixo dos ' , obtemos:

-1 1

-1

1

-1 1

-1

1

Figura 7.41: A região e o sólido, respectivamewnte.

Page 305: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 305

[2] Seja � a região limitada pelas curvas ��� ' � e � � � . Se giramos a região � em torno do eixodos � , obtemos

-1 1

1

-1 1

1

Figura 7.42: A região e o sólido, respectivamente.

[3] Seja � a região limitada pelo gráfico de � � � � �$� ' ! para ') 2 � � 3 e o eixo dos ' .

Se giramos a região � em torno do eixo dos ' obtemos o sólido do desenho à esquerda e segiramos a região � em torno do eixo dos � , obtemos o sólido do desenho à direita:

1 3 6

-1

1

1 3 6

-1

1

Figura 7.43: A região e os sólidos, respectivamente.

[4] Seja � a região limitada pelos gráficos de � � ' � , '�� � , '�� �e pelo eixo dos ' . Se giramos

a região � em torno do eixo dos ' , obtemos:

1 2

1

4

1 2

1

4

Figura 7.44: A região e o sólido, respectivamente.

Page 306: calculo I

306 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos

Sejam ���2 ����3 ��� � uma função contínua tal que � � ' !���� em 2 �����3 e a região:

� �&% � ' ���!�* ����'-��� ��� ��� � � '5!�.

Figura 7.45: A região e o sólido, respectivamente.

Fazendo girar a região � ao redor dos eixo dos ' , obtemos um sólido de revolução � . Considerea seguinte partição do intervalo 2 �����3 : � � ' � � ' � � ' � � 0 0 0 0 0�� ' � � � . Como antes, ' � � ' � � ' � � � é o comprimento de cada subintervalo 2 ' � � �( ' � 3 , � variando de � até � . Emcada subintervalo 2 ' � � �" ' � 3 , escolha � � , � variando de � até � . Seja � � o retângulo de altura � � � � !e base ' � , � variando de � até � .

a b

f(x)

x xc ii-1 i

R i

Figura 7.46:

Girando � � em torno do eixo dos ' obtemos um cilindro circular reto � � de volume � � � � ! ��

' � .

Page 307: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 307

R i

∆ i

Ci

x

Rj

Cj

∆xj

Figura 7.47:

A soma dos volumes dos � cilindros é:

� � � ��

� � �� � � � ! � ' � 0

� � é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ' � aproxima-se de � , ou,equivalentemente, se � cresce. Intuitivamente estamos “preenchendo” o sólido de revoluçãopor cilindros de altura pequena, dos quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindoo mesmo raciocínio utilizado quando definimos área de uma região plana, temos:

� � � ! �����

� � ��� � � � ��

� � �� � � � ! � ' � �

� �� � � ' ! � � '

se o limite existe.É possível demonstrar que este limite sempre existe e é independente das escolhas feitas. Se afunção � é negativa em algum subconjunto de 2 ����3 , o sólido de revolução obtido a partir daregião limitada pelo gráfico de � , o eixo dos ' e as retas '�� � e '���� coincide com o sólido derevolução obtido a partir da região limitada pelo gráfico de � � � , o eixo dos ' e as retas ')� � e'���� . O fato de que o integrando � � '5! � ��� , implica em que seja válida a mesma fórmula paraambos os casos.

11

11

Figura 7.48:

Proposição 7.2. Sejam ���2 ����3 � � � uma função contínua tal que � � ' !���� em 2 �����3 e a região:

� �&% � ' ���!�* ����')��� � � ��� � � '5!�.

Page 308: calculo I

308 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Considere o sólido de revolução � obtido girando a região ao redor do eixo dos ' . Então o volume� � �$!

do sólido � é:� � �$! �

� �� � � ' ! � � '

Em geral, este processo, pode ser feito para qualquer região limitada pelos gráficos de funçõescontínuas.Sejam � � � 2 ����3 � � � funções contínuas tais que � � ' ! � � � ' !�� � para todo ' 2 ����3 e aregião:

� �&% � ' �� !�* ��� ')��� � � ' ! � ��� � � ' !�.

a b

f

g

R

Figura 7.49: � �&% � ' ���!�* ��� ')��� � � '5! � ��� � � ' !�. .

O volume do sólido de revolução � obtido girando � em torno do eixo dos ' é:

� � � ! � � �� � � � ' ! � � � � ' ! � � � '

De forma análoga, sejam � � � 2 � � 3 � � � funções contínuas tais que � ����!�� � ��� ! paratodo �� 2 � � 3 e a região:

� �&% � ' �� !�* � � ��� � � ��� !�� ')� � ��� !�.

c

d

M(y)

N(y)

R

Figura 7.50: � �&% � ' �� !�* � � ��� � � ��� ! � ')� � ����!�. .

Page 309: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 309

O volume do sólido de revolução obtido girando � ao redor dos eixo dos � é:

� � �$! � � �� � � ����! � � � ��� ! � � � �

Em particular, para a reta '�� � ��� ! � � , ou seja, o eixo dos � .

� � � !$� � �� � ����! � � �

Exemplo 7.10.

[1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a regiãolimitada pela curva ��� � � �$� '5! , '- 2 � � 3 e o eixo dos ' .

1 3 6

-1

1

1 3 6

-1

1

Figura 7.51: Região e o sólido do exemplo [1].

Pela simetria do sólido, calculamos o volume da metade do sólido e multiplicamos o resultadopor 2:

� � �$! � � ��

� � � � � � ' ! � ' � � � 0 � 0

[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a regiãolimitada pela curva ��� � ��� � � � � � � , ' �2 � � ��43 e o eixo dos ' , ( ������� ).

Figura 7.52: Região e o sólido do exemplo [2].

Page 310: calculo I

310 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Pela simetria do sólido, calculamos o volume da metade do sólido e multiplicamos o resultadopor 2:

� � � !$� � � � � �

���� � � � � ' � � � '�� � � �

� ��

�� � � � � � � � � � � � � � � � '

� � � � � � � � � � � �� � � �

� � � � 0 � 0

[3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a regiãolimitada pela curva ��� � � � �7' � , � ��� ')��� e o eixo dos ' .

� � � !$� � �� � 2

�� � �7' � 3 � � '�� � � � � 0 � 0

Observe que o volume de revolução é o de uma esfera de raio � .

-1 1

1

-1 1

1

Figura 7.53: Região e o sólido do exemplo [3].

[4] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a regiãolimitada pelos gráficos de � � � � �7' � e

� � � ' � .

1-1 2-3

1

4

1-1 2-3

1

4

Figura 7.54: Região e o sólido do exemplo [4]

Os limites de integração são '�� �

e '�� � .� � � ! �

� �� � � 2

� �7'��� 3 � ��2 '

� � 3 � � � '�� � �� �� � 2 � � �

� ' � � '

�� �1� ' 3 � ' � � � � 0 � 0

[5] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos � a regiãolimitada pelo gráfico de � '�� �"! � � � � � � � , ��������� .

Page 311: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 311

b

a

y

a

-a

Figura 7.55: Região e o sólido do exemplo [5].

Sejam � ����! � � ��

� � � � � e� ����! � ���

�� � � � � . Os limites de integração são � � � � e

� � � ; então:

� � � ! � � �� � � ��� ��� ! � � � � � ��� ! � � � � � � �$�

� �� �

�� � � � � � � 0

Note que� � �

� ��

� � � � � � � é a área da região limitada por um círculo de raio � ; logo,� � � ! � � � � � � . A superfície de revolução obtida é chamada toro.

[6] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos ' a regiãolimitada pelo gráfico de � � � � , � � � ')� � e o eixo dos ' .

1-1

1

4

1-1

1

4

Figura 7.56: Região e o sólido do exemplo [5].

� � � ! � � �� �� � � � '�� � � � � � � �/!� � 0 � .

7.7.2 Outros Eixos de Revolução

Sejam ���2 �����3 ��� � uma função contínua tal que � � ' !���� , ') 2 ����3 e � a região limitada pelográfico de � , pelas retas '�� � , '���� e ��� � . Considere o sólido de revolução � obtido girandoa região ao redor da reta ��� � . Então, o volume

� � � ! do sólido � é:

� � � ! � � �� � � � ' ! � � ! � � '

Page 312: calculo I

312 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Analogamente, se a região � é determinada pelo gráfico da função contínua ' � � ��� !�� � ,� 2 � � 3 e pelas retas ��� � , ��� �

e '�� � , então o volume do sólido de revolução obtidogirando � ao redor da reta '�� � é:

� � � ! � � �� � � ����! � � � � � �

Exemplo 7.11.

[1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta ��� � , a regiãolimitada pela curva ��� ' � , � ��')� �

e pela reta � � � � .

1 2

2

4

1 2

2

4

Figura 7.57: Região e o sólido do exemplo [1].

� � �$! � � �� 2 ' � � � 3 � � '��

� � � � � 0 � 0

[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta '7� � � a regiãolimitada pelo gráfico de '��

�� � e pelas retas � � � �

.

1 2

-1

1

1 2

-1

1

Figura 7.58: Região e o sólido do exemplo [2].

Os limites de integração são � � � �.

� � �$! � � �� �� � �� ��� ��� � � ! � � � ���

�� �� �

2 � � � � 3 � � � � � � � � � � � � � �� �� ������ �

� � � � � � 0 � 0

Page 313: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 313

[3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da reta '�� � a regiãolimitada pelo gráfico de � '�� � � e pela reta '�� � .

1 4 6

-4

4

1 4 6

-4

4

Figura 7.59: Região e o sólido do exemplo [3].

Os limites de integração são � � � � .

� � � ! � � �

� � � ��� � � � �1! � ��� � � �1! � � � � � � �

� �

� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � 0 � 0

[4] Determine o valor de ����� tal que se a região limitada pelas curvas � � � � � ' � � , ��� � e'�� � , girar em torno da reta � � � , o sólido gerado tenha volume igual a

� .Para obter � , devemos resolver a equação:

� -� � �

� ' � � � � ' � � ! 0

Fazendo ��� � '�� , � ��� � ' � ' em (*), obtemos:

� ���

� � � �

� � � ���� � � � �

donde � � � � � e ����� �$�! 0

1

4

1

4

Figura 7.60: A região do exemplo [4].

Page 314: calculo I

314 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

7.7.3 Método das Arruelas

Sejam ���2 ����3 ��� � função contínua tal que � � '5! ��� em 2 ����3 e a região:

� �&% � ' ���!�* ������� '-��� � � ��� � � '5!�.10Fazendo girar a região � ao redor dos eixo dos � , obtemos um sólido de revolução � . Se ����� ,o sólido possui um espaço vazio internamente.

b

y=f(x)

R

xa

y

Figura 7.61:

Como antes, considere a seguinte partição do intervalo 2 ����3 : ��� ' � � ' � ��' � ��0 0 0 0 0���' � � � . ' � � ' � � ' � � � é o comprimento de cada subintervalo 2 ' � � �( ' � 3 , � variando de � até � . Em

cada subintervalo 2 ' � � �( ' � 3 , escolha � � � ' � � ' � � �� , o ponto médio do subintervalo 2 ' � � �( ' � 3 ,� variando de � até � . Seja � � o retângulo de altura � � � � ! e base �' � , � variando de � até � .Fazendo girar � � em torno do eixo dos � obtemos uma arruela cilíndrica

�� de raio médio � � e

altura � � � � ! .

R

y

i

Figura 7.62:

O volume de�

� é� � � � � � � !� ' � . A soma dos volumes dos � cilindros é:

� � � � ��

� � �� � � � � � !� ' � 0

� � é uma aproximação do volume do sólido de revolução, quando ' � aproxima-se de � , ouequivalentemente, se � cresce. Intuitivamente estamos “fatiando” o sólido de revolução por

Page 315: calculo I

7.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 315

inúmeras arruelas de altura pequena, das quais sabemos efetivamente calcular o volume. Se-guindo o mesmo raciocínio anterior, temos:

� � � ! �����

� � ��� � � ��

��� � �

� � � � � � !� ' � � � � �� ' � � ' ! � '

se o limite existe. É possível demonstrar que este limite sempre existe e é independente dasescolhas feitas. Em geral, este processo pode ser feito para qualquer região limitada pelosgráficos de funções contínuas. Sejam � � � 2 �����3�� � � funções contínuas tais que � � '5! �� � '5! ��� para todo ' �2 ����3 , ����� e a região � � % � ' �� !�* ��� '-� �/ � � ' ! � ��� � � '5!�. .

a b

f

g

R

Figura 7.63: � �&% � ' ���!�* � � '-��� � � '5! � ��� � � '5!�.

O volume do sólido de revolução � obtido girando � em torno do eixo dos � é:

� � �$! � � � �� ' � � � ' ! � � � ' ! ! � '

Exemplo 7.12.

[1] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos � a regiãolimitada pelo gráfico de � � � � �$� ' ! , � � '-�� e o eixo dos ' .

3

1

3

1

Figura 7.64: Região e o sólido do exemplo [1].

O volume é:� � �

��

� ' � � �$� ' ! � '�� � � � 0 � 0

Page 316: calculo I

316 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

[2] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos � a regiãolimitada pela curva ��� ��� � � ' ! ; � � � '-��� e o eixo dos ' .

1 2 6 9 12

-1

1

1 2 6 9 12

-1

1

Figura 7.65: Região e o sólido do exemplo [2].

O volume é� � � � � , onde:

� ��� �� � ��

' ��� � � ' ! � ' �� ��

� �' ��� � � ' ! � '��

� � ���

' ��� � � ' ! � ' �� �

� �' ��� � � ' ! � ' 0

Como�

' ��� � � '5! � '�� ��� � � ' ! � ' � � �$� '5! ��� , então,� � � � � � � � �� ! � 0 � 0

[3] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos � a regiãolimitada pelas curvas ��� � �7' � e ��� ' � � � , � ��'-� � .

1

-1

1

1

-1

1

Figura 7.66: Região e o sólido do exemplo [3].

� � � � �

� ' � � �7' � �7'�! � '��

� � � � � 0 � 0

[4] Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos � a regiãolimitada pela curva ��� � '�� � ! � , � � ')� �

e o eixo dos ' .

Page 317: calculo I

7.8. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 317

1 2

1

1 2

1

Figura 7.67: Região e o sólido do exemplo [4].

� � � � �

� ' � '�� � ! � � '�� � � 0 � 0

7.8 Cálculo do Comprimento de Arco

Seja ����2 ����3 � � � uma função derivável. A porção� � do gráfico de � , comprendida entre os

pontos:� � � �� � � � ! ! e � � � � � � �"! ! é chamado arco. Nosso interesse é medir o comprimento

deste arco. Se a curva é uma reta, para calcular o comprimento de arco � da reta, compreendidoentre os pontos � ' �# � � '�� ! ! e � ' � � � ' � ! ! , usamos o Teorema de Pitágoras e obtemos:

�� ' � �7'�� ! � � � � � ' � ! � � � '���! ! � 0

Generalizando esta idéia para o gráfico da função contínua � , fazemos uma partição de ordem� do intervalo 2 ����3 : ��� ' � � ' � � 0 0 0 0 0 0�� ' � ��� ; denotamos por � � � � ' � � � ' � ! ! , � � � � � .

x b=0 i-1 i n

n

i

i-1

1

Q

Q

0Q

a=x x x

Q

Q

Figura 7.68:

Ligando cada � � � � a � � ( � � � � � ) por um segmento de reta, obtemos uma linha poligonalformada pela reunião dos segmentos de reta. Como sabemos calcular o comprimento de cadasegmento de reta, sabemos calcular o comprimento da poligonal. Intuitivamente, o compri-mento da poligonal é bastante próximo do comprimento do arco da curva; então:

� � ���

� � ��

� ' � ��' � � � ! � � � � � ' � ! � � � ' � � � ! ! �

Page 318: calculo I

318 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

é o comprimento da poligonal. Aplicando o Teorema do Valor Médio a � em cada subintervalo2 ' � � �( ' � 3 , vemos que existe � � � ' � � �" ' � ! tal que � � ' � ! � � � ' � � ��! � � � � � � ! � ' � � ' � � � ! , para cada� de � até � ; logo,

� � ���

� � ��

� ' � �7' � � � ! � � � � � � � � !#� ' � �7' � � � ! ! � ���

� � �� � � � � � � � � ! ! � � ' � ��' � � � !

���

� � �� � � � � � � � � ! ! � ' �

onde ' � � ' � � ' � � � . Novamente observamos que quando � cresce muito, ' � aproxima-sede zero e � � aproxima-se do comprimento do arco. Se para cada partição do intervalo 2 ����43 , os� � são escolhidos como antes, temos que o comprimento do arco

� � da curva é:

� � �� ��

� � ��� � � �

��� � �

� � � � � � � � � ! ! � ' � 0

Se � � � ' ! é uma função contínua em 2 �����3 , é possível provar que o limite anterior sempre existee é igual a � , para qualquer escolha da partição e dos � � . Em tal caso, temos que:

� �� ��� � � � � � � '5! ! � � '

Se a curva é o gráfico de uma função ' � � ����! definida no intervalo 2 � � 3 , com as hipótesesanteriores, temos que:

c

g(y)d

Figura 7.69:

� �� ��� � � � � � ����! ! � � �

Exemplo 7.13.

[1] Calcule o comprimento de arco da curva � � �� ' � entre os pontos � � �� ! e � � � �1! .Temos que:

Page 319: calculo I

7.8. CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 319

-30 -20 -10 10 20 30

2

4

6

8

10

Figura 7.70: Gráfico de ��� ' � � � .Então:

� � ' ! � �� ' � �� � ' ! �

� �� ' e� � � � � � � '5! ! � �

�� ' � � � �� ' �

logo: � �� � � �

�� ' � � ��� '

� ' . Seja ��� � �� ' � � � ; logo,� ��� �

�� �� ' .

� ��� � � � �

� � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � ! � 0 � 0

( � 0 � 0 unidades de comprimento.)

[2] Calcule o comprimento de arco da curva � � � �� � ��� tal que � � '-� �

.

Primeiramente: �� � � � � ' ! � ' � � �� � � ; logo, � � ��� � ! � � � ' � � �� � � ! � e

� � � ��� � ! � � ' � � �� � � ;então:

� �� �� � ' � �

�� ' � � � '��

� ' � � �� ' �

������

�� � � � 0 � 0

[3] Calcule o comprimento de arco da catenária � � � ��� � � � � � � no intervalo 2 � � ���3 , tal que( � ��� � ).

Figura 7.71: Gráfico da catenária.

�� � � � �

� � � � � ; logo,� � � � � � � ��� � � � � � � ; então:

� �� �� ���� � � � ' � � � '�� � � � � �

� � �� � � 0 � 0

Page 320: calculo I

320 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

[4] Calcule o comprimento de arco da curva � � � �$� ��� � � ' ! ! tal que � � ')� � � .

0.2 0.4 0.6 0.8

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

Figura 7.72: Gráfico de � � � �$� ��� � � '5! ! .

�� � � ��� � '5! . Logo,

� � � ��� � ! � � � � � � '5! . Então:

� �� �

� � � � � ' ! � '�� � �$� � � � � '5! � ��� � ' ! !������

�� � �$� � � ��� ! � 0 � 0

7.9 Definição de Logaritmo Natural

Definição 7.3. A função � ����� � � � ! ��� � é definida por:

� �$� ' ! �� �

� ��

� �$� ' ! é chamado logaritmo natural de ' .

Proposição 7.3. Das propriedades da integral definida e do Teorema Fundamental do Cálculo, segueque:

1. � �$� � ! � �2. � �$� ' ! ��� se � � ')� �3. � �$� ' ! ��� se '-� �

4. 2 � �$� '5! 3 � ��'

5. A função logarítmica é crescente.

7.9.1 Logaritmo como Área

Seja � � a região limitada pelo gráfico da função � � �4! � � � , o eixo dos x e as retas � � � e � � ' .

Page 321: calculo I

7.10. TRABALHO 321

11 11

Figura 7.73: A região � � .

Geometricamente, � �$� ' ! é definido por

� �$� ' ! ��

área ��� � ! se � � '� área ��� � ! se � � ')� � 0

Se ' � � , � � é um segmento de reta; logo, a área ��� � ! � � e � �$� � !7� � . Por outro lado,verefiquemos que � �$� ' ��! � � �$� '5! � � �$����! , para todo ' �� �� � � � ! . De fato:

� �$� ' � ! �� �

� �� �

� �

� ��� � �

� �� � � �$� ' ! �

� �

� �� 0

Fazendo � � ' � , tem-se,� � � ' � � e:

� �

� �� �

� �

� �� � � �$��� ! 0

� �$� ' � ! �� � �$� ' !��'-��� e � �� . De fato � �$� ' � ! � � � �� ��� . Fazendo � � � � , tem-se,

� � �� � ��� � � �e: � � �

� �� ��

� �

� �� �� � �$� ' ! 0

Em particular, � � � �� � � �$� ' ! � � �$��� ! ; ' ����� .

� ��� ' � � � � ��� ' � � � ��� � �$� ' ! � � �$��� � � !$� � �$� ' ! � � �$��� ! 0

Podemos agora definir a função exponencial assim: � � � � se, e somente se '�� � �$��� ! . Todas aspropriedades da função exponencial podem ser demonstradas a partir desta definição.

7.10 Trabalho

Consideremos uma partícula de massa � que se desloca ao longo de uma reta sob a influênciade uma força � . Da segunda lei de Newton, sabemos que � é dada pelo produto da massa pelasua aceleração � : � � �

�� . Se a aceleração é constante, então a força também é constante. O

trabalho�

realizado pela partícula para deslocar-se ao longo de uma reta, percorrendo umadistância

�é dado pelo produto da força pela distância:

� � �� �

,�

medido em�

(Joule).

Page 322: calculo I

322 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Se uma força variável �-� � � ' ! ( � função contínua ) atua sobre um objeto situado no ponto 'do eixo dos ' , o trabalho realizado por esta força quando o objeto se desloca de � até � ao longodeste eixo, é dado por:

� �� �� � � ' ! � '

�medido em

�(Joule).

De fato, suponhamos que a partícula desloca-se ao longo do eixo dos ' de ' � � até ' � � .Consideremos a função contínua � ��2 ����3 ��� � . Subdividamos o intervalo 2 ����3 efetuandouma partição de ordem � tal que os subintervalos 2 ' � � �" ' � 3 tem o mesmo comprimento '��' � � ' � � � , para � � � � � . Seja � � 2 ' � � �" ' � 3 ; a força no ponto � � é � � � � ! . Se ' � � , a funçãocontínua � restrita ao subintervalo 2 ' � � �( ' � 3 é quase constante (varia muito pouco); então otrabalho

�� realizado pela partícula para mover-se de ' � � � até ' � é:

���� � � � � !

� ' e o

trabalho total� � , é

� ��� � �

� � � � � � � ! �' . É possível provar, com rigor matemático, que oseguinte limite sempre existe e é igual ao trabalho

�realizado pela partícula:

� �����

� � ���� � �

� ��

� �� �

��� � �� � � � ! �' 0

E mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo ou da escolha dospontos � � .

Exemplo 7.14.

[1] Uma partícula é localizada a uma distância de ' � � da origem. Uma força de � ' � � � ' � �' � ! �

age sobre a partícula quando a mesma se move de ' � � até '7� �. Qual é o trabalho

realizado pela partícula para deslocar-se?

� �� �� � '

� � � ' � � ' � � � '��� � �� � � 0

[2] Qual é o trabalho realizado ao se esticar uma mola em � � � sabendo que a força de � � aestica em ��� � ? (

�=Newton)

De acordo com a lei de Hooke, a força de � � que estica em ' � a mola é dada por � � � ' ,onde

�é uma constante. Como '���� 0 � � � e � � � � � , temos

� � � �,� e � � � �,� ' . O trabalhorealizado será:

� �� �

���

�� �,� ' � '-� � 0

� � 0[3] Energia Cinética: O trabalho realizado por uma força � atuando sobre uma partícula demassa � que se move de ' � até ' � é

�. Usando a segunda lei de Newton, a regra da cadeia e

considerando que � � e �� são as velocidades da partículas em ' � e ' � , obtemos:

� �� � � �� � ' ! � '��

� � ������

� � �

�� � � �� � � �� !�

pois, � � � � � � ��

�� � � � �

��� . A expressão � �

� é chamada energia cinética do corpo emmovimento com velocidade � . Logo, o trabalho realizado por uma força � é igual à variação daenergia cinética do corpo e o cálculo desta variação dará o trabalho realizado.Qualquer fenômeno que possa ser estudado utilizando partições pode ser modelado por inte-grais definidas. Outras aplicações da integral definida podem ser encontradas nos exercícios.

Page 323: calculo I

7.11. EXERCÍCIOS 323

7.11 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:

(a)� �� � �

� ' � � '

(b)� � ���

� � � � � ' !��� � � '5!

� '

(c)� �

� � � � ����� � � ' !� � � � � � �$� '5!

� '

(d)� � �

�� � � �1� � ' !� � � ��� � � '5!

� '

(e)� �

� � � �$� '5! ��� � � ' ! � '

(f)� �

� � �� � � ��� � '

(g)� �

� � � �$� '5! � �$� ��� � � ' ! ! � '

(h)� �

�� � � � � ' !� ��� � � �

� '

(i)� �

�� � �

� '� '

(j)� �

� � � '�� � ! � � � � '

(k)� �

� '� ' �

(l)� � �

� ''�� �$� '5!

(m)� �

�' �

� ' � ��� � '(n)

� ��� � � � �$� � � ! � '

(o)� ��

'�� ��' � � � � ' ��� ! � � '

(p)� �

� ' � � �� � '

(q)� ��

'�� ' � � � � '

(r)� �

�� � � � � �$� '5!� � ��' �

� '

(s)� �

� '� � � '

(t)� �

�� � �$� � ' ��� !� ' ��� � '

(u)� �

� � '�����!� � �+'���' � � ' � � �� �

(v)� �

��� � � '5!��� � � �$� ' ! � � � � � � ' !� '

(w)� ��� � �$� � �$� ' ! !

'� '

(x)� �

�' �

� ' � � �� '

2. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:

(a)� �

� ' � � � � '

(b)� �

�� � � � � �$�

'5! � '

(c)��

� ��� � � '5! � '

(d)� �

� '� � � � � '

(e)� �

�' � �$� � '5! � '

(f)� �

� � � � ��� � ' ! � '

(g)� �

�'��

� � � ' �� '

(h)� � ��

' ��� � � � � � '5! � '

(i)� �

�' � �

� ' � � ! � � '(j)

� � �� ' � � � � '5! ��� � '5! � '

(k)� �

� � �$� � '5! � '

(l)� � �

���� � � � �$� '5! ! � '

Page 324: calculo I

324 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

(m)� �

� � ' � � � ! � � � '(n)

� �

�� � � � '

(o)� �

� � � � � ' ! � '

(p)� �

���� � � � '5! � '

(q)� �

� ' � � � � � ' ! � '

(r)� �

� � � � � � �$� '5! � '

(s)� � �

� � � � � � '5! � '

(t)��

��

' ��� � � ' ! � '

(u)� �� � '�� �$� ' ! � '

(v)� �

� '�� � � � � �$� � ' ! � '

(w)� �

���� � � � ' ! � '

(x)� �

� � ' � ' ��� � '

3. Calcule as seguintes integrais:

(a)� � ��

��� � � '5! � �$� � � �$� '5! ! � '

(b)� �

� ' � � '(c)

� ���

� ' � ��� � � ' � ! � '(d)

� � �� ��� � ' ! � � � � � '5! � '

(e)��

���� � �

'5! ��� � � � ' ! � '

(f)� �

�' � '�

� ' � � � ! �(g)

� ��

� '� ' � � � ' ���

(h)� � ��� � �

�� � � � � � � � � �

(i)� ��

� ' � � � '5! � '' � � ' � � �

(j)� �

�� '��

! � '

� ' � � � ' �! �

(k)� ��

� ' � ��� ! � '' � ' � ��� !

(l)� �

�� � � �$� ' ! ��� � �1� ' ! ! � ' ����� � � � ' !

(m)� �

�'�� � '

� ' ��� ! �(n)

� ��

� '� ' � ��� � '�� �

(o)� ��

� � ' �! � '

' � � '

(p)� ��

�'�� � � ' � 1! � '

� '�� � ! � ' � ��� !(q)

� ��

' � � '�� ' � ���

(r)� �

�� ' � '' ���

(s)� �

��� ' � '�� � ! � '

(t)� � �

�� '

� � ' �

(u)� �

� '�� � � ' � ! �

(v)� �

�� � ' � ��� ! � '

� ' ��� ! � � ' � � !

(w)� �

� '�

� � �7' �� � � ' �

� '

(x)��

�' � '

� � ��� � � � ' !

4. Calcule as seguintes derivadas:

Page 325: calculo I

7.11. EXERCÍCIOS 325

(a)�� '

� �� � � � ��� ! �� � �

(b)�� '

� �� � � � �$� �4! � �

(c)�� '

� �

� � � �$� � ! � �

(d)�� '

� ��

� � � �� � �

(e)�� '

� � �

�� � � � � � �

(f)�� '

� �

�� � �$� � � ! � �

(g)�� '

� �� � � � � � � ! � �

(h)�� '

� � �

��

� � � � � � �

5. Seja � uma função contínua em 2 ����43 e suponha que� �

� � � �4! � � � ' , para todo ' 2 ����3 .Determine � e � .

6. A seguinte função é utilizada em Engenharia Elétrica:

� � � ' ! �� �

�� � �$� �4!�

� � � � ')��� ! 0

Determine os pontos extremos e esboce seu gráfico.

7. O número �)��

� ���� �� � � ' ! � ' é chamado valor médio da função � no intervalo 2 ����3 .

Calcule o valor médio das funções nos intervalos indicados:

(a) � � '5! � � � � � � ' ! ; 2 � 3(b) � � '5! � ��� � � ' ! ; 2 �� 3

(c) � � ' ! � � �$� ' ! ; 2 � � 3(d) � � ' ! � �

��� � ; 2 � � 3(e) � � ' ! � � �

�� � �

� � ����� � �; 2 � � � 3

(f) � � ' ! � ' � � � ; 2 � � 38. Diga qual das integrais é maior, sem calculá-las:

(a)� �

� � � ' � � ' ou� �

� ' � '

(b)� ��� � � ' ou

� ��� � � ' .

9. Seja � � � e suponha que � é uma função contínua no intervalo 2 � �4� 3 . Defina � em2 � �4� 3 por:

� � '5! �� � �

� � � �4! � � �� �

� � � � �4! � �

para todo '- 2 � �4� 3 .(a) Verifique que �

� � '5! � � , para todo '- 2 � ��4� 3 .(b) Use a parte a) para verificar que � � ' !$��� , para todo '- 2 � �4� 3 .

(c) Conclua que:� �

� � � � � ! � � �� �

� � � � � ! � � 0

Page 326: calculo I

326 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

10. Calcule as seguintes integrais sem utilizar métodos de integração:

� ��!� � �

� � �

�' � � � '

� � � � � � � ' !� ' � � ' � � ' � ��� ! � � � ' � �#!

��

��

� � �$� �� ' � � ' � � ' � !' � ����� � � ' !

� '

11. Verifique que para todo � � � :

� ��!��

��� � �$� � ' ! ��� � � � ' ! � '�� � � �#!

��

��� � �$� � '5! � � �$� � ' ! � '��

�� se � �� �

se �-� �

(c)��

��

��� � � � ' ! ��� � � � ' ! � ' ��

� se � �� �

se �-� �

12. Calcule � ���� � '5! � ' , onde � � ' ! �

�� � �$� ' ! se '-���� � ��� � � '5! se '-���

13. Seja � � '5! �� � � � �

� � � � �� � � ! � � , onde � � � � � � é contínua e � � �

� � � � são funções

deriváveis ( � � � �); � e

�intervalos tais que � � � � ! � � . Verifique que:

�� � ' ! � � � � � � ' ! !��

� � ' ! � � � � � � ' ! !���� � '5! 0

14. Calcule �� � '5! se � � '5! �

� � � �

� � �� � � � � .

15. Calcule �� � �� ! se � � ' !$�

� � �

� ��� � .

16. Seja ���,� ��� � contínua. Sabendo que� �� � � � �4! � � � � , calcule

� �

� � � � � ' ! � '

17. Seja � � '5! �� �

� � � � � �� � . Verifique que � é uma função contínua ímpar e que � � ' !��&' ,

para todo '-��� .

18. Esboce o gráfico de � � '5! �� �

�� � � � � � �

Áreas

Calcule a área sob o gráfico de � � � � ' ! entre '�� � e '���� , esboçando cada região, se:

Page 327: calculo I

7.11. EXERCÍCIOS 327

1. � � '5! � � �7' � �'�� � � '�� �2. � � '5! � ' � ��' '�� � � '�� �3. � � '5! � ' � � � '�� �

' '���� '�� �

4. � � '5! � ��� � �� �'�� � � '�� �5. � � '5! � � �$� ' ! �'�� � '�� �

6. � � '5! � ��� ���,� '5! '���� '�� � 7. � � '5! � � � '�� � �'�� � '�� � �

8. � � ' ! � ' � '�� 1! � '�� � '�� �9. � � ' ! � �� � � � '�� � '��

10. � � '5! � ' � � ' � � � �'���� '�� �

11. � � '5! � � ' � '�� � � �'�� �12. � � '5! � � ' ��� ! � ��� '�� � � '�� �13. � � '5! � '�� � � ' '�� � � '��

14. � � '5! � ' � �7' � '�� � � '�� �

Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:

1. � � '��6 ��� � ' � ��

2. � � � ' � � �� � � � �3. � � ��7' � � � ' �

4. '�� ���6 ��� ' �

� � � � ���

5. � � � ' ��� '6. � � � '�� � � � � � � '�� �7. '�� ��� ��� � � '�� �8. � � � �7' � � � ' � � � �9. � � '��6 ��� �� '

10. � � '��6 ��� ' �

11. '�� ��� � � '�� � � ���12. � � ' � ' � � � ' �13. � � ' � �� ��� �

�14. � � � � � ' � � � � � '15. � � � � �$� ' ! � � ��� � � '5! '�� � '�� � �16. � � ��� � � '5! ��� � � ��� � � '5! '�� � '�� � �17. � � '�� ��� � � ' ���18. � � ' � �7' � � � � �$� �'5! '�� � � '�� �19. � � ' � ��� � ' � �

20. � � � ' � ��� � ' ��� ! � � � '�� � �21. � � � �$� � ' � ! � ���1�

22. � � ��� � � � ' ! ��� � � �

� � ' ! '�� � �23. � � � �$� ' ! '�� � � � �24. � � ' � � � ' � ��� � ' �25. � � ��� � � '5! � � ��� � � � '5! � � ')� 26. � � � � � � � � ��� � �'�� �27.

� � � � � ���"! � ��'�� � � � � � � �28. � � �� ��� ' � � � ' ')���29. � � ' � '��

! ��� ' �

�7'5!

30. � �� � � ���� � '���� '�� � ��� �

31. � � �� � � � � �� ��� �

� � � � � ��� � � �$� � ' ! ,

� � ')� 32. � � '�� � � ! � �� � � ' ! e os eixos

coordenados

33. � � � � � ��� � e o eixo dos '

34. '���� � � � �

� � � e o eixo dos �

35. � � �� � � � � � �'�� � '�� �

36. � � ��

� � � � , '�� � '�� �

Page 328: calculo I

328 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

37. � � � � � ��� ' ��� '�� � �38. � � � � � ��� � ' ��� '�� �39. � � � � ��� � � � � � �

40. � � � ' � � � '�� �' � � �� '

41. ' � ��� � ' �

� � � � �

42. '�� �������! � '�� �

43. � � ' � �' � � � ' �

44. '�� � � ���6 '�� � � � �

45. ����' � � � ��� � '�� � ' � � , onde � é aabscissa do ponto de inflexão da curva

46. � � ' � � � � � � '�� � , onde � é o máxi-mo

47. �-�� � � � �� � � � ' � � , onde � é o máxi-

mo

48. '�� � � � � ��� � � '�� � � � � �49. '��

� ' � � � � e

� ' �� � � �

50. '�� � � � � � �� � �

Volumes de Revolução

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos ' , daregião limitada pelas seguintes curvas:

1. � � ' � � '���� '�� � ��� �2. � � '�� ��� '���� ����� '�� �

3. � � '�� ��� ' �4. � � ��� � � '5! � � � � �$� ' ! �'�� � '�� � �

5. ' � ��� � '���� �����6. � � ' � ��� � '�� �

7. ' � � � '�� � � �

8. '�� � � � e ' � � ���

9. ��� ��� � � � ' ! � � '-��

10. ��� ' � � , � � � e '�� �11. O triângulo de vértices � � 4� ! , � � � ! e � �� � !

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos � ,da região limitada pelas seguintes curvas:

12. � � � �$� ' ! � � � � � � � '�� �13. � � � �7'�� , no primeiro quadrante

14. '�� � � � � �$��� ! '�� � ��� � � ��15. ��� � �,' , ��� � e '�� �16. � � � � ���� , '�� � , � � � e ��� � �� �

17. � ' � � � � � � � � � �18. ��� '�� ��� '�� � e '�� �

19. � � � ' �'�� � �20. ��� � ' � � � , '�� � e '�� �

21. ��� �� � �7' � , '�� � e '�� �Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada,da região limitada pelas seguintes curvas:

Page 329: calculo I

7.11. EXERCÍCIOS 329

22.� ' � ��� �

e o eixo do

23. � � � � � � '-� �; a reta � � �

24. � � ' � ��� � ; a reta ��� �

25. � � � ' � � � a reta ��� �

26. ��� ��� ' � , no primeiro quadrante; a reta'�� �

27. ��� � '��7'�� ; a reta � � �28. ��� � �7' � , � � �

; a reta ��� �

29. ��� � ' , � � � e '�� � ; a reta '�� �

Comprimento de Arco

Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:

1. � � '�� �; � � � (� � � ! e � � � !

2. � � ' � � � ' � �; � � �� � ! e �

� � �� � !

3. '�� �� � ��

� � ; � �� �

� ! e � � �� � !

4. � � � �$� ' ! ; � ' ���! tal que �

� ')� � �5. � � �� � ' � � �� � ; � � �� ! e �

��� !

6. ' � � �� � � �

7. � � �� � ' � � � !� ; � ' �� ! tal que � ��'-� �

8. � � � �� � � � � � � , do ponto � ��4� ! até� � �

� � � � � � �4!9. � � � �� � � � � � � � � , do ponto � � 4� ! até

� � � �� � � � � ��� � � !10. � � � �� � �

� � � � � � � � , do ponto � � 4� ! até� � �� � � � � � � � � � � !

11 ��� � ' � , do ponto � � 4� ! até � � � !11. � � �� ' � , do ponto � � 4� ! até � � � !12. � � � �

�� �� � , de '�� � até '��

13. � � �� ' � �

� �� , de '�� � até '�� �

14. � � � �$� � � �$� ' ! ! , de '�� � � até '�� � �15. � � � �$� � � � � ' ! ! , de '�� � até '�� � �16. � � � � ��' � !

� , de '�� ��

até '�� �17. � � � �$� ��� � � '5! ! de '�� � a '�� � �

18. � � � � ' de '�� � a '�� �

19. � � � � � � � �$� � � � ! de '�� � a '�� �Logaritmo

1. Verifique que: � �$� '5! �� ��� �

� �� ��� .

2. Verifique que: � �$� '5! ��� � '5! � � � ' ! , onde ��� ' ! � � '�� � ! � �� � '�� � ! � � �� � '�� � ! � e

� � ' !$�� ��� �

����� ��� � � .

3. Se '-� � e � � �)� '�� � , mostre que: � � '5! � �� � '�� � ! � . ( � � ' ! do exercício [2]).

4. Usando os exercícios anteriores conclua que: � �$� '5! � � � ' ! com � � ' !�� � � �$� '5! � ��� ' ! ����� � ' � � ! � . Equivalentemente, ��� ' ! aproxima � �$� '5! superiormente, com erro � � ' ! não superiora �� � '�� � ! � .

Page 330: calculo I

330 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

5. Calcule aproximadamente � �$� � 0 � ! e � � � 0 � ! .6. Repita os exercícios 2, 3, 4 e 5 escrevendo: �

� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��

� � � .7. Verifique que: � �$� '5!�� '�� � . Quando vale a igualdade?

8. Verifique que���� � � � �$� ' ��� ! � ' , para todo ')� � .

Trabalho

1. Uma partícula move-se ao longo do eixo dos ' do ponto � até o ponto � sob a ação deuma força � � ' ! , dada. Determine o trabalho realizado, sendo:

(a) � � ' ! � '�� � � ' � � � '�� � ; ��� � , � � �

(b) � � ' ! � � � � '��7'�� ; ��� � , � �

(c) � � ' ! � �� ��� � � ; � � � , � � �

(d) � � ' ! � � '�� � � ' � ��� ! �' � � � ! ; ��� � , � � �

(e) � � '5! � '�� � � �$� ' ! ; � � � , � � � �(f) � � ' ! � � � �$� '5! ����� � � '5! ; � � � , � � (g) � � ' ! � � � � � � �$� '5! ; ��� � , � � �

2. Uma bola de ferro é atraída por um imã com uma força de � � ' � � � quando a bola estáa ' metros do imã. Qual o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao doimã, do ponto onde '�� �

ao ponto onde '�� � ?3. Uma partícula está localizada a uma distância de ' metros da origem. Uma força de � ' � �� '5! � é aplicada sobre a partícula. Qual é o trabalho realizado para mover a partícula de

'�� � até '��?

4. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo dos ' atua uma força cuja componentena direção do deslocamento é � � '5!+� �� . Calcule o trabalho realizado pela força quandoa partícula se desloca de '�� � até '�� �

.

5. Uma mola tem comprimento de� � � e uma força de � � a estica � 0 � � . Qual é o

trabalho realizado para esticar a mola de� � � a �� � � ?

6. Um imã atrai uma bola de ferro com uma força de � � '5! � � �� � quando a bola está a 'metros do imã. Calcule o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao doimã de um ponto onde '��

a um ponto onde '�� .

7. Uma mola suportando um carro tem comprimento de � � � e uma força de

� �,�,� � acomprime � 0 � � . Calcule o trabalho realizado para comprimi-la de

� � � a � � � � .

Page 331: calculo I

7.11. EXERCÍCIOS 331

8. Duas cargas elétricas � � � � �,� e � � � � �,� se encontram no eixo dos ' , respectivamentenos pontos ' � ��� e '�� � ��� � . Calcule o trabalho realizado para mover a segunda cargaaté o ponto ' � � � � � � . Sugestão: Use a segunda lei de Coulomb.

9. Quando um gás se expande mum pistão cilíndrico de raio � , em qualquer instante detempo a pressão é função do volume � � ��� � ! . A força exercida pelo gás sobre o pistãoé o produto da pressão pela área do pistão � � �� � � .

Figura 7.74:

Verifique que o trabalho realizado pelo gás quando o volume se expande de� � a

�� é:

� ���� � �

� � � 0

10. Centro de massa: Intuitivamente o centro de massa � de uma lâmina fina é o pontoda lâmina onde, se a levantamos a partir de � paralelamente a um plano horizontal elapermanece paralela (em equilíbrio) em relação ao plano onde foi levantada. � � �� � � .

P

Figura 7.75:

Considere uma lâmina com densidade uniforme no plano dada por:

� �&% � ' ���! �� � * ����'-��� �� � '5!�� ��� � � ' !�.1onde � e � são funções contínuas em 2 �����3 . Pesquise na bibliografia e verifique que ocentro de massa da lâmina, chamado de centróide de � , é o ponto � ' �! tal que:

'����

� �� ' � � � ' ! � � � ' ! � � ' � �

�� �

� �� � � � � ' ! � � � � ' ! � � '

onde�

é a área de � . Determine o centróide da lâmina � , determinada por:

Page 332: calculo I

332 CAPÍTULO 7. INTEGRAÇÃO DEFINIDA

(a) � � ' , � � ' �(b) � �

' � , ����� , '�� � � e '�� � (c) ��� ��� � � � ' ! , � � � e '���� � �

Page 333: calculo I

Capítulo 8

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

8.1 Introdução

Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalofechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:

Funções definidas em intervalos do tipo 2 � � � ! , � � � ��43 ou � � � � � ! , ou seja para todo' ��� ou ' ��� ou para todo '- �� , respectivamente.

A função integranda é descontínua em um ponto � tal que � 2 �����3 .As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias sãode grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa-ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, emEstatística.

8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados

Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região �determinada pelo gráfico de ���

�' � , ')� � e o eixo dos ' .

Primeiramente note que a região � é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma talregião.

11

Figura 8.1: Gráfico de � � �� , ')� � .333

Page 334: calculo I

334 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Seja � � a região determinada pelo gráfico de � ��

' � e � ��'-��� , acima do eixo dos ' .

11

Figura 8.2: Gráfico de � � �� , � � '-� � .

A área de � � é:� � � � ! �

� �

� '' � � �

�'�� � � � � �

�� 0

É intuitivo que para valores de � muito grandes a região limitada � � é uma boa aproximaçãoda região ilimitada � . Isto nos induz a escrever:

� � � ! ������ � ���

� � � � !

quando o limite existe. Neste caso:

� � � ! ������ � ���

� � � � ! ������ � ���

� �

� '' � �

����� � ��� � � �

�� ! � � � 0 ��0

É comum denotar� � � ! por:

� ���

� '' � 0

Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivadospelo raciocínio anterior temos as seguintes definições:

Definição 8.1.

1. Se � é uma função integrável em 2 � � � ! , então:

� ���� � � ' ! � '��

����� � ���

� �� � � ' ! � '

2. Se � é uma função integrável em � � � ���3 , então:

� �� �� � ' ! � '��

����� � � �

� �� � � '5! � '

Page 335: calculo I

8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 335

3. Se � é uma função integrável em � � � � � � � ! , então:

� ���� �

� � ' ! � '��� ��� � � �

� �

� � � '5! � ' ������ � ���

� �� � � '5! � '

Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;caso contrário são ditas divergentes.

Exemplo 8.1.

Calcule as seguintes integrais impróprias:

[1]� ���

� '� � ' � .

� ����

� '� � ' � ������ � ���

� ��

� '� � ' � ������ � ��� � � � ��� � ' !

������

������ � ��� � � � ��� � �"! � � 0

[2]� ���

�� � � � ' .

� ����

� � � � '������� � ���

� ��� � � � '��

� ��� � ��� � � � � � !

������

�� ��� � ��� � � � �

� ��� !$� � 0[3]

� ���� �

� � � � ' .

� ���� �

� � � � '������� � � �

� �

�� � � � ' �

����� � ���

� ��� � � � '��

����� � � � � � � � � !

�����

���� � � � 0

[4]� ���� �

' � '� ' � � � ! � . Seja ��� ' � ��� ; logo

� ��� � ' � ' :

� ' � '� ' � ��� ! � �

��

� � �� � � �

�� � � �

�� � ' � � � ! 0

Então, � ���� �

' � '� ' � ��� ! � �

����� � � �

� �

�' � '

� ' � ��� ! � ������ � ���

� ��

' � '� ' � � � ! � � � 0

[5] Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de � � � � �, o

eixo dos ' e à direita do eixo dos � .

� � � ! �� ���

� '� � �� ��� � ���

� ��

� '� � ������ � ���

��

� � �� �$� � ! �

������

��

� �$� � ! � 0 ��0

[6] Seja �� . Calcule

� ���

� '' � .

� �

� '' � �

�� � � � � � � � � ! �� �

Page 336: calculo I

336 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

a) Se � � temos:

����� � ��� � � � � � � ; logo,

� ���

� '' � �

� � � 0

b) Se � � temos:

����� � ��� � � � � � � ; logo,

� ���

� '' � � � 0

c) Se � � , temos:

� ���

� '' �

����� � ���

� �

� '' �

����� � ��� � �$� �"! � � 0 Em geral:

� ���

� '' � �

� � se � �

���� � se � � 0

Portanto, a integral converge para � � e diverge para

� � .

41

1

41

1

41

1

41

1

Figura 8.3: Gráficos de ��� �� e � � �� , para ')��� , são,respectivamente.

[7] Calcule a área da região limitada por � � '5! ��

' � ��� e o eixo dos ' .

11

Figura 8.4: Gráfico de � � ' ! � �� � � .

Page 337: calculo I

8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 337

� �� ���� �

� '' � ��� �

� �

� �

� '' � ��� �

� ����

� '' � ���

������ � � �

� �

�� '

' � � � ������ � ���

� ��

� '' � ��� 0

������ � � � � � � � � ��� � �"! ! �

����� � ��� � � � ��� � �"!

� � � � � �� 0 �0

Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemosindagar se uma integral imprópria converge ou diverge.

Proposição 8.1. Sejam � e � funções integráveis em 2 �� � � ! tais que � � ' !�� � � '5!-� � para todo' ��� .

1. Se� ���� � � '5! � ' converge, então � ���� � � '5! � ' converge.

2. Se� ���� � � ' ! � ' diverge, então

� ���� � � ' ! � ' diverge.

A prova, segue diretamente das definições. Seja � � '5! ��� , para todo '-��� . Para mostrar a con-vergência da integral de � , é preciso que � seja menor que uma função cuja integral converge.Para mostrar a divergência da integral de � , é preciso que � seja maior que uma função cujaintegral diverge.

Exemplo 8.2.

[1] Analise a convergência da integral:� ���

�� � �$� ' ! � �� '

� ' .

Considere a seguinte desigualdade:

�� ' � � � � �

� ' � � � �$� ' ! � �� ' 0

Por outro lado:� ���

�� '

� ' diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada

diverge.

[2] Analise a convergência da integral� ���

�� � � � ' .

Page 338: calculo I

338 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

1

1

1

1

Figura 8.5: Gráfico de � � � em azul e de � � � em vermelho, respectivamente.

Claramente�� � �

�� � , para todo '-� � ; então, como

� ���

�� � � � '��

� ��� � ��� � � � �

� � � � � ! ���

temos que a integral dada converge.

8.2.1 Aplicação

Uma função positiva integrável em � é chamada densidade de probabilidade se:

� ���� �

� � ' ! � '�� �Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número ' estar comprendido entre � e �( ����� ); por:

��� ��� ' ���"! �� �� � � '5! � '

Analogamente definimos as outras possibilidades. Também podemos definir o valor esperadodo número ' , como

� � ' ! �� ���� �

' � � '5! � ' 0

Exemplo 8.3.

Seja � ��� , a função

� � ' ! ��� � � � � se '-���� se '-���

é de densidade de probabilidade. De fato:

� ���� �

� � '5! � '�� �� ���

�� � � � � '���

����� � ���

� ��� � � � � '��

� ��� � ��� � � � � � �

�!$� � 0

Page 339: calculo I

8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 339

Por outro lado,

� � � � ')� � ! ��� �

�� � � � � '�� � � � � �

e

� � ' !+��� ���

� ' � � � � � '���� 0

8.3 Integrais de Funções Descontínuas

Problema: Calcular a área da região � determinada pelo gráfico de ����� ' , '-��� e o eixo dos

' . Notamos que a região � é ilimitada pois a função � nem é definida no ponto '�� � . Seja � �

a região determinada pelo gráfico de � ��� ' e � � '-� � , � ��� pequeno.

99

Figura 8.6: A região � � .

A área de � � é:� � � � ! �

� �

� '� ' � � � '

�����

� � � � � � � � � 0 ��0

É intuitivo que para valores de � muito pequenos a região limitada � � é uma boa aproximaçãoda região ilimitada � . Isto nos induz a escrever:

� � � ! �����

� � � �� � � � ! �

����

� � � �� �

� '� ' �

����

� � � � � ��� � � � � � ��� 0 �0

� �

� '� ' é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio-

cínio anterior, temos as seguintes definições:

Definição 8.2.

Page 340: calculo I

340 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

1. Se � é uma função integrável em � ����3 , então:

� �� � � ' ! � '��

����

� � � �� �

� � ' ! � '

2. Se � é uma função integrável em 2 ���"! , então:

� �� � � ' ! � '��

� ��

� � � �� �

� � � '5! � '

a

y=f(x)

b

+ -

Figura 8.7:

3. Se � é uma função integrável em 2 ����3 exceto em � tal que ��� � � � , então:

� �� � � ' ! � '��

� �

� � � ' ! � ' �� �� � � '5! � '��

����

� � � �� �

� � � ' ! � ' �����

� � � �� �

� � ' ! � '

Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;caso contrário, são ditas divergentes.

Exemplo 8.4.

Calcule as seguintes integrais impróprias:

[1]� �

��� � � ' !�� � �$� ' !

� ' .

Fazendo ��� � � �$� ' ! temos:� ��� � � '5!�

� � �$� ' ! �� � �� � � � � � � �$� ' ! . Logo,

� � �

��� � � ' !�� � �$� '5!

� '������

� � � �� � � � �$� ' !

�����

�� ��

� � � � � � � � � � � �$� �6! ! � � 0

[2]� �

� '� � �7' �

.

� ��

� '� � �7' �

�����

� � � �� �

� '� � ��' �

�����

� � � �� � � � � �$� ' � !

�����

������

� � � �� � � � � � �$� �� ! ! � � 0

Page 341: calculo I

8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 341

[3]� �� �

� '�� ' � � .

Observe que a função integranda não é definida em � � 2 � �� � 3 .� �� �

� '�� ' � � �

����

� � � � �� �

� �� '

�� ' � � �� ��

� � � � �� �

� '�� ' � �

��

� ��

� � � � �� ' � � ! �

�����

� ���

� ��

� � � � �� ' � � ! �

�����

�� � ��� �

� � � � �� � �� � � � � ! �

����

� � � � �� �� ��� � � ! �

�� � �� � � �� � ! 0

[4] Calcule o comprimento da astróide�� ' � � �� � � � �� � � , ����� .

Figura 8.8: A astróide.

A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados; pela simetria,calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultadopor 4. Derivando implicitamente a equação da astróide

�� ' � � �� � � � �� � � em relação a ' :

�� � �

�� ��� ' � então � � � ��� � ! � �

�� ��� ' 0

Na última igualdade usamos o fato de que�� ' � � �� � � � �� � � ; logo,

� � � �� �� �

� '�� ' � � �� �

����

� � � �� �

� '�� ' � � �� �

� ��

� � � � �

� � � � � � !� � � � � � 0 � 0

[5] Calcule a área limitada por � � ' !$��

� '�� � , e pelas retas '�� �e '�� . ����� .

Page 342: calculo I

342 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

21 3 4 5

1

21 3 4 5

1

Figura 8.9: Gráfico de � � '5! � �� ��� � .

� �� ��

� '� '�� � �

� ��

� � � �� �

� '� '�� � � � ���

�� � � �

� '�� � �����

� � �� 0 ��0

Numa integral imprópria com limite superior infinito e cuja função integranda não é definidano limite inferior, procedemos assim: Se � é integrável em � �� � � ! então

� ���� � � ' ! � '��

����

� � � �� �

� � ' ! � ' �� ��� � ���

� �� � � ' ! � '

onde ��� � ; analogamente nos outros casos.

Exemplo 8.5.

[1]� ���

� '' � ' � � � .

� ���

� '' � ' � � � �

����

� � � �� �

� '' � ' � � �

� ����� � ���

� �

�� '

' � ' � � ��������

� � � �� � � � � � � ' � !

�����

� �� � ��� � ��� � � � � � � � ' � !

�����

���� � ��� �

� � � �� � � ��� � �

�' !�����

� ����� � ��� � � � ��� � �

�' !�����

��

� � 0

[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de ����

� ' � ' ��� ! e o eixo dos ' .

Page 343: calculo I

8.4. EXERCÍCIOS 343

1 3 6 9

1

1 3 6 9

1

Figura 8.10: Gráfico de � � '5! � �� � � � � � � .

Como� � '� ' � ' ��� ! � � � � � ��� � � ' ! , então:

� ����

� '� ' � ' ��� ! �

� ��

� � � �� �

� '� ' � ' ��� ! �

����� � ���

� �

� '� '�� ' ��� !

�� ��

� � � �� � � � ��� � � '5!

�����

� ����� � ���

� � � � ��� � � ' !�����

� � � ��� �� � � �

�� � � � � ��� � � �,!�

� ����� � ���

� � � � ��� � � �"! ��� �

� �� 0 �0

8.4 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

(a)� ���

� '' � '

(b)� ���

�� '

' � � �

(c)� ���

� '� ' ��� !#� ' � � !

(d)� ���

� ' � � � � '

(e)� ���� �

� ' � � � � � '(f)

� ���

� '' � �$� ' !

(g)� ���

��� � � � '5!� � � � �� � '5!

� '

(h)� �

� �' � � � '

(i)� �

� �' ��� � � � '5! � '

(j)� ���

�� �$� ' !

'� '

(k)� ���� �

� '' � ���

(l)� ���

� � � �$� � ! � � � � �

(m)� �� �

� '� � '��

! �

(n)� ���� �

'' � ��� � '

Page 344: calculo I

344 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

(o)� ���� �

� '' � � � ' �

(p)� ���

� '' � � '

(q)� ���

�� � � � � �$� ' ! � '

(r)� ���

�'

� ' � ��� ! � � '(s)

� ����

' �� � ' �� '

(t)� ����

� '' � � � � '5!

(u)� ���

� ' � � �$� ' ! � '

(v)� �

� �

� '' � � �

(w)� ���

� '�� ' �

(x)� ���

� '' � � � � '5!

2. Calcule a área das regiões determinadas por:

� ��! � � � � � � � � � ! � � � �"! ��� ' � � ��� � � � � e ')� �� � ! ��� ���� � � e o eixo dos ' .

3. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

(a)� �

� '� '

(b)� �

��� � � ' �� !' �

� '

(c)� �

� '� � � �7' �

(d)� �

� � � �

� '� '

(e)� �

� '' ��

� � �$� ' ! ! �(f)

� �� �

� '' �

(g)��

��

� '� � ��� � � '5!(h)

� ��

� '� � '��7' �

(i)� ��

� '�� � �7'5! �

(j)� ��

� '' � � � �7' �

(k)� �

� '� � �7' �

(l)� �

� '� '�� � ! �

(m)� �

� '��� � � ' !

(n)� ��

� '� � '��7' � �

(o)

� ��

'�� � ��� ' �

� '

(p)� � �� �

� '' � ' � � �

(q)� ��

� '' � � � � '5!

(r)� ��

� ''�� �$� ' !

(s)� �

� � � '� ��'� '

(t)� �

�' � �

� �$��' ! � '

(u)� �

� '� � ��' � !

Page 345: calculo I

8.4. EXERCÍCIOS 345

(v)� �

� '' ��� �$� ' !

4. Determine o valor de � tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:

(a)� ���

�� � �

� � �

(b)� ���

�� � �

�� � �$� � ! � �

(c)� ���

�� � �

� � � � �

(d)� ���

� � � � � �� � �

(e)� ���

�� � �

�� � �� � � ! � �

(f)� ���

�� � �

� ��� � � � � ! � �

(g)� �

� � ��� � � '5!' �

� '

(h)��

� '� � � �$� ' ! ! �

5. Seja� � '5! � � ���

� � ��� � � � � � � , '-��� ; esta função é chamada função gama. Verifique:

(a)� � ' ��� ! � ' � � '5! , '-��� .

(b) Se �� �� ,� � �

��� !$� ��

6. Seja � � '5! ��

�+'�� se � ' ���

� se � ' ��� . Determine � de modo que � seja função de densidade

de probabilidade.

7. Determine�

para que � � �4! � � � � � � seja função de densidade de probabilidade.

8. Verifique que� ���

�� � � ' � � � � � '�� �

� ; �7 � .

9. Se � é função de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um número ' sermaior que � , ser menor que � .

10. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuiçãodescrita pela densidade de probabilidade � � ' ! � � 0 �,� � � � �

�� � � � se '-��� , onde ' é medido

em horas.

(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de � �,� horas?

(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após � �,� horas?

Page 346: calculo I

346 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Page 347: calculo I

Capítulo 9

EXEMPLOS DIVERSOS

Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,por ceder, gentilmente estes exercícios.

9.1 Limites

[1] Determine o valor da constante � � para que exista������ �� � � '���� � � �+' !

' � e calcule o

limite.

Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:

� � � '���� � � �+' !' � � � � � '���� � � �+' !

' �� � � ' � � � � �$'5!� � � ' � � � � �$'5! �

� � '���� � � �$'5! �' � � � � � ' � � � � �+' ! !

� ' � � � � � ��� � '' � � � � � ' � � � � �$'5! !

�� � � �

' � � � � ' � � � � �$'5! ! � � �� � � � ' � � � � �$'5! ! 0

Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,� � �

� ; então: ������ �� � � '���� � � �+' !

' � ������� �

� �� � � � � ' � � � � �$'5! ! � �

�� 0

[2] Calcule:������ � � � � �$� ' !

'� � � � � ���

��

��� ��� ��� .

Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:

� � �$� '5!'�� � � �$� ' ! � �

� ��� � ��� � �� � � � ��

0

Fazendo � � � � �� ��� � �� , temos que � � � � �

����� � �� . Por outro lado observamos que se ' � � ,

então � � � e:� � �$� ' !

'�� � � �$� '5! �� � �� �

�� � � 0

347

Page 348: calculo I

348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Logo: ������ � � � � �$� ' !

'� � � � � ���

��

��� ��� ��� ������ � � � � � �4! �

� � � �� ��� � � � � � � ! �

� � � � � ! � � � � � � 0

[3] Calcule:����

�� ��� ��� � '5! �

��� � � � � .

Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo � � � � �����1� '5! , temosque ��� � ' ! � � � � � e

��� � � '5!$�� ��� � ' !� � ��� � � '5! �

� � � � �� 0

Por outro lado observamos que se ' � � � , então � � � e:����

�� ��� ��� � ' ! �

��� � � � � ������ � � � � � � �

� � � � �� �

����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0

[4] Determine as constantes� ��� �� tais que

������ ��� � � ' � ��� ' � � � � ���

' � � � ��� � � � 0

Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:

� � ' � ��� ' � � � � � �' � � � ��� � �

� ' � � � � � � ' � ��' � � � � ���7' � � � � � �' � � � � �

� ' � � � � � � � � ! � ��' � � � � � ' � � � �' � � � � � 0

Sabemos que������ ���

��� ' !� � ' ! � � se � �,� � � � !�� � �,� � � � ! . Logo,

� � � � � e � � � , ou seja� � � e

� � � .

[5] Calcule:

������ ���

�' �

�' � � '�� � ' 0

Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:

�' �

�' � � '�� � '�� �

�' �

�' � � '�� � ' � �

�' �

�' � � ' � � '�

' ��

' � � ' � � '�

� ' ��

' � � '�� '�' �

�' � � ' � � '

��

' � � '�' �

�' � � ' � � '

�� � � � �

� �� � � � � � � �

� � ��� �

� � � � ��

� � ��� �

� �� � ���0

Page 349: calculo I

9.1. LIMITES 349

Logo:

������ ���

�' �

�' � � '�� � '��

������ ���

� � � � ��

� � ��� �

� �� � � ���� 0

[6] Determine a função definida por:

� � '5! �� ��

� � ���' � � �

� � � � � ' � �� '-��� 0

Solução : Observe que, se '�� � , então � � � !$� � ; se '�� �temos:

� � � ! �����

� � ���� � � �

� � � � � � � � �����

� � ���� � � �

� � � � � � � � 0

Se � � '-� �, temos: ���

�� � ���

' � � �� � � � � ' � �

�����

� � ���

� � � � �� � � � � � � � �

� �

logo � � '5! � � se ��� '-� �. Agora estudemos o caso '-� �

:

����

� � ���' � � �

� � � � � ' � � �� ��

� � ���

� ��� � �� � � � �� � � � �����

� � ���' �� � � � �� � � � � ' � 0

Então:

� � ' ! �

��� �� � se � � ')� �� � �

se '�� �'�� se ')� � 0

[7] Calcule: � ���� �

' � � ' � � � � ' � � � � 0"0"0(0"0"0 � '�� � '�� �

'�� � 0

Solução : Dividindo os polinômios:

' � � ' � � � � ' � � � � 0"0"0/0"0"0 � ' � � '�� � � � '�� � ! � � � '5!

onde � � � ' !$� ' � � � � � ' � � � �' � � � � 0"0"0 � � ��� � ! '�� � � �-� � ! ' � � . Logo:

������ �

' � � ' � � � � ' � � � � 0"0"0(0"0"0 � ' � � '�� �

'�� � �� ���� � � � � ' ! � � � � � ! 0

Por outro lado, � � � � !+� � � � � � 0"0"0(0"0"0 � � ��� � ! � � ��� � ! � �-� � ��� � � �� .

[8] Calcule:������ � � ��� � � ' ! ��2 2 � � �$� ' ! 3 3 � � � � ')� � .

Page 350: calculo I

350 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Seja � � '5! � ��� � � ' ! ��2 2 � � �$� ' ! 3 3 . Se � � � ��')��� , então � � � � � �$� '5!���� e 2 2 � � �$� ' ! 3 3 �� � � , logo � � '5!�� ��� � � '5! ��� . Se � � ' � � � então � � � � �$� '5!�� � e 2 2 � � �$� ' ! 3 3 � � , logo� � ' ! � ��� � � ' ! . Se '�� � � , então 2 2 � � � � � � � 3 3 � � e � � � � � � � � . Logo

� � '5! �

��� ����� � � '5! ��� se � � � � '-������ � � '5! se � � '-� � �� � se '�� � � 0

Então ����

�� � � � � '5! �����

�� � ���� � � ' ! � � ���

��� �

� � '5! �����

�� ��

��� � � ' ! � � � � 0

Consequentemente,������ � � ��� � � ' ! ��2 2 � � �$� '5! 3 3 � não existe.

[9] Calcule: ����

�� � �� � � � ' � � �� ���� ��� � � ' ! �

��� ��� � '5! 0

Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:

� � ��� ' � � � � � � �$� ' ! ��� � � � � � � � ��� � � ��� � � '5! ��� � ��� � � ' ! � � � � �$� ' ! �

� � � �$� ' !� � ��� ��� � ' ! � � � pois � � �$� ' ! ���� , então:

� � ��� ' � � �� ���� ��� � � '5! � ��� ��� � '5! � � � �$� ' ! � ��� ��� � '5! � �

�� ��� ��� � ' ! � ��� ��� � ' ! � � ��� ��� ��� � ' ! � �

� � � � �$� ' !� ��� ��� � ' ! � ��� ��� � '5! � � � 0

Logo:����

���� �� � � � ' � � �� ���� ��� � � ' ! �

��� �"� ' ! �����

���� �� � �$� '5!� ��� ��� � ' ! � ��� ��� � '5! � �

� ��� � 0

9.2 Continuidade

Analise a continuidade das seguintes funções:

[1] � � '5! �������� � �� � � se ' �� �

se '�� � 0Solução : Claramente, o problema é determinar se � é contínua em � . Reescrevamos a função:

� � '5! �

��� �� � �� � � � �� se ' ���

se '�� ��� � � � �� se ' ��� 0

Page 351: calculo I

9.2. CONTINUIDADE 351

Logo,����

�� ��

� � '5! � �����

�� � �� � �$� '5!

' � � � e����

�� � � � � ' ! �����

�� � �� � �$� ' !

' � � 0Então � não é contínua em � .

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura 9.1: Gráfico de � .

[2] � � '5! �� ��� � � �� ��� � � � .

Solução : Reescrevamos a função:

� � ' ! �� ��� � � �� ��� � ��� � � � ��� � � � � � �

� ��� � ��� � � ��

� ��� � ��� 0Sabendo que

���� �� �

�� � � � e���� �� � � �� � � � , temos:

����

�� ��

� � '5! �����

�� ��

� � ��

� ��� � � � � � � � e����

�� � � � � '5! �����

�� � � � � ��

� ��� � ��� � � � 0Então, � não é contínua em � .

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

Figura 9.2: Gráfico de � � '5! � � ��� � � �� ��� � � � .

[3] � � '5! ������ � ���

�� � � � � � � ��

� � � � � � �

Page 352: calculo I

352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Se ')��� , então,����� � ���� � � � � e

� ��� � ��� � � � � � ! � � � . Logo,

� ��� � ���

�� � � � � � � ��

� � � � � � � � � 0

Se '-��� , então:�

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � �� � � � � �

�� � � � � � � � � � � � �

� � � � � ' � ��

� � � � �� � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � �� � � � �

�� � � � � � � � � � � �

� � ��� � ��

� � � � �� � �,0

Logo:����� � ���

�� � � � � � � ��

� � � � � � � ������ � ���

' ����� � ��� �� � � ��

� ����� � ��� �� � ��

� ' 0

Se '�� � , então����� � ���

��� � � � � � � ��� . Reescrevendo a função:

� � ' ! ��

� se '-���' se '-��� 0

Então, � é contínua em � .

-3 3

3

Figura 9.3: Gráfico de � .

Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:

[1] � � '5! �

��� ��� ' �

se '-� �

��� � � � �� � se �

� ')�

� ' �

se '-�

0

Solução : Se '�� �, então � � �

! � ��� � � �� ! � � � . Por outro lado:

� ��

�� � � � � � '5! �� ���� � � � � ' �

� � �

� � e����

�� � � � � � ' ! ������� � � ��� � �

' � � � � 0

Page 353: calculo I

9.2. CONTINUIDADE 353

Como os limites laterais devem ser iguais, temos que �

� � � � � , isto é, � �� � . Se ')�

,

então � �! � ��� � � ! � � � . Por outro lado:����

�� � � � � '5! ������� � ��� � �

�' ��� � � e����

�� � � � � '5! ������� � � � ' �

���

�� 0

e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que

�� � � � , isto é, �-� �

� � . Logo:

� � '5! �

��� ��� �� �

se ')� �

��� � � � �� � se �

� '-�

�� �� �

se ')�

0

-3 3

-1

1

Figura 9.4: Gráfico de � .

[2] � � '5! �

��� �� �� � � � � ��� ��� �� ��� � se '-� �

� se '�� �� � � � �

� � � � � � �� � � � � � � se '-� � 0Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:

' � � '�� � � ' �

�' � �

' � � � � � '�� � ! � � ' � �1!

� '�� � ! � � ' ��� ! 0

Por outro lado: �� � � � � ��� ��� �� ��� � � �

��� � � � � ��� � � �� � ��� � � , fazendo �$� '�� �, temos que ' � � �

, então � � � � ,e:

� � �$� � � '�� �,� !'�� � � � � ��� � � � '�� � ! !

� '�� � ! � � � ��� � � � �� �

� � � � � ��� � � � �� � � � 0

Se '�� �, então � � � ! � � . Logo:

����

�� � �� � ' ! �

����

�� � �� � ��� � � � '�� � ! !

� '�� � ! ������ � ��

� � � � � ��� � � � �� � � � �� �

� ��

�� � �� � ' ! �

� ��

�� � �' � � '�� �

� ' � �

' � �' � � � �

����

�� � �' � �' ��� �

� � 0

Page 354: calculo I

354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Então, � � � �� e:

� � ' ! �

��� �� ������ � � ��� ��� �� ��� � se ')� �� �� se '�� �� � � � �

� � � � � � �� � � � � � � se ')� � 0

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

Figura 9.5: Gráfico de � .

[3] � � '5! �

��� ��� � � � � ��� � �� se '-���

� ��� � � �' ! � � se � � ')�

� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � se '-�0

Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:

' � ��� � '�� � � ' ��� ' � � � ' � �

' ��� � � � '��

! �$� ' ��� � !

� '��! � � ' � � ! 0

Se '�� � , então � � � ! � � �� , e:

����

�� ��

� � ' ! �����

�� ��

� � � � � � � � �' �

����

�� ��

� � � ����� � � � �� � �$� '5!

� � � � �$� ' !'

� � � � ��

�� � � � � ' ! �� ��

�� � � � � ��� � � '5! � � � � � ��

logo, � �� � � . Se '��

, então � �

! � � � �

� , e:����

�� � � � � '5! �����

�� � � � � ��� � � �' ! � � � � � � ��

����

�� � � � � ' ! �����

�� � �� '��

! � � ' ��� � !

� '��! � � ' � � ! �

����

�� � �' ��� �' � � � ��

logo, � � ��-� � . Então, temos o sistema:�

� �� � �

� � �� � ��

que tem soluções � � � �� e �-� �� .

� � '5! �

��� ��� ��� ��� ��� � �� se ')���� � � � � � � � ��

� �� se ����')�

� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � se ')�0

Page 355: calculo I

9.2. CONTINUIDADE 355

-2 2 4 6

1

2

3

4

Figura 9.6: Gráfico de � .

[4] � � '5! �

���� ���� � � � � � �� � � � � ��� � � � � � se ')� �

� � � se '�� ��������� � �

��� � ��� � � � � � se ')� � 0Solução : Se '�� � , então � � � ! � � � � . Logo, necessáriamente devemos ter que:

����

�� ��

� � '5! �� � � �

� � � � � !$� � � � isto é, � � � . Por outro lado:� �

��� � � � � ' ! �

� ��

�� � � � � � �$� � '5!� '

� � � '�� � � ��� �,� '5!

� � �

����

�� � � � '�� � � ��� �,� '5!

� �

� ��

�� � � � ��� � � ��� �,� ' ! �

� 0

Como:����

�� � ��

� � � � � �,� '5! �� �

�� � ��� ��� � � � � ��� �,� ' ! �

� ����

� � � �� �

!$� � �,� , temos,� ��

�� � � � � ' ! � �� �,� ;

por outro lado,����

�� � � � � ' ! � � � � ! , temos que �-��,� e:

� � ' ! �

���� ���� � � �� � � � � ��� � � � � � se ')���

se '�� ��� � � � � � � ���� � ��� � � � � � se ')��� 0

-0.1 -0.05 0.05 0.1

Figura 9.7: Gráfico de � .

Page 356: calculo I

356 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

9.3 Derivada

[1] Considere a função � � '5! � � � � ��� � � � ' ! � ����� � � � ' ! , onde ���� � �� . Sabendo que � � � � � � � ,� � � !�� � � � � !�� � � � � � !�� � � � � � � !�� � e que � pode ser escrita na forma � � ' ! � � � �

� � ' ! , � � ,determine � �/ � e � .

Solução : Primeiramente note que � � � !�� � � � � � , � � � � � !�� � � � � e � � � � � � � � � � � ; logo,obtemos o sistema: ��� �� � � � ��� ���

� � � ��� � �� � � � ���

cuja solução é ��� ��, � � � �

� e � � ��; então:

� � ' ! �� �

��� � � � '5!� � ��� � � � '5!� 0

Por outro lado, ��� � � � ' !+� � ��� � �1� � ' ! � � e ��� � � � '5! � � � � � � � �,� ' ! , logo:

� � ' ! �� �

��� � � � ' !� � ��� � � � ' !���� �

��� � � � ' !� � ��� � � � � ' !�

� � � ��� ' ! 0

Então � � ��, � � � �

� ,� � �

�e �-� � .

[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva ��� � � � � � � � ��� �� �no ponto onde a curva intersecta o eixo dos ' .

Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos ' . Se � � � , temos:

� � � � � ��� '�� �� � � � �'�� �� � � � '�� � 0

Logo, o único ponto de interseção é � � 4� ! . Por outro lado, os coeficientes angulares da retatangente e da reta normal à curva são, respectivamente:

� �+� �� �

�� � � '��7' �

� � �/� � !$���

�� � �

�� � � �

� � � '��7' � � �� �� ! � � � 0

Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:

� ��� � '�� � ! � '�� � � � �

� � � � � '�� � ! �� ' � ��� � 0

[3] Determine a equação da reta normal à curva � � ' � �$� ' ! , que é paralela à reta� ' � � � �

� � .

Page 357: calculo I

9.3. DERIVADA 357

Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficienteangular da reta

� '�� � � �

� � é � ��� � . O coeficiente angular da reta normal à curva é:

�� � �

�� � � �

�� � � �$� ' ! 0

Como as retas são paralelas, temos que � ��� �� , isto é:

��� � � �$� ' ! � � � � �$� ' !$� � �

� ' � � � � � �

logo, temos que � � � � � � � �$� � � �/! � � � � � � . A equação da reta normal à curva que passa peloponto � � � � (� � � � � ! é:

� � � � � � � '�� � � � � � �7'�� � � � � 0

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 9.8: A reta � �7'�� � � � � .

[4] Determine os parâmetros � , � e � -� tais que a parábola ��� �+' � � ��' ��� tangencie a reta� � ' no ponto de abscissa � e passe pelo ponto � � � 4� ! .Solução : Como o ponto � � � 4� ! deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temosque:

� � ! � � � ��� ��� 0Como a parábola deve tangenciar a reta � � ' no ponto de abscissa � , temos que se ��� � , então'�� � . Isto é, o ponto � � � ! é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:

� � ! � � � ��� � � 0O coeficiente angular da reta é � � � � e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é�� � �

� � � �$' � � , logo �� �� ! � � � � � . Como � �+� �

� :�! � � � � � � 0

Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema: ��� �� � � � ��� ���� � � ��� � �� � � � � �

Page 358: calculo I

358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

cuja solução é: ��� � � �� e � � �� .

1

1

2

Figura 9.9: Exemplo [4].

[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação� � � ' � ��� � '-��� � , sendo � � ' � � � . Um caçador, munido de um rifle está localizado noponto � � 4� ! . A partir de que ponto da colina, a fauna estará � �,� �

segura?

Solução : Denotemos por � � � � ' � �� � ! o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelocaçador, situado no ponto � � 4� ! . A fauna estará a salvo, além do ponto � � onde a reta que liga� � 4� ! à colina seja tangente à mesma.

2

Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.

Observe que �� � � � ' � � � é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,

no ponto � � , temos �� � � � ' � � � � e a equação da reta tangente é:

� � � � � � � � ' � ��� � ! � '��7' � ! 0

Como a reta passa por � � 4� ! , temos:

� � ! � � � � � � � ' � � � � ! � � �7' � ! 0

O ponto � � também pertence à parábola; então:

� � ! � � � � ' �� ��� � ' � � � � 0

Page 359: calculo I

9.3. DERIVADA 359

Igualando (1) e (2):

' �� � � ' � � � � � ' � � � ! � ' � � � ! � � � ' � � � e � � � � 0

Então, � � � � � �1! e a fauna estará a salvo a partir de '-� � .[6] A reta tangente à curva �-� � ' � � � '�� � ' no ponto � � � ! é também tangente à curva emum outro ponto. Ache este ponto.

Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é �� � � � ' � � � ' � � , como � � � !

é um ponto comum à reta e a curva, temos �� � � ! � � . A equação da reta tangente que passa

pelo ponto � � � ! é: � � ' ��� . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,resolvemos o sistema: �

� � � ' � � � '�� � '� � ' � �

obtendo ' � � � '�� ��� � � '�� � � ! � � � e '���� � . O ponto procurado é � � � 4� ! .

-1 1

2

Figura 9.11: Exemplo [6]

[7] O ponto � � � � �1! pertence à parábola ' � �� � . Determine todos os pontos � da parábolatais que a normal em � passe por �

Solução : Um ponto arbitrário da parábola é �&� � �� � � � e o coeficiente angular da reta normalà curva é: � � � � �

� � � �� . A equação da reta normal à curva no ponto � é:

� � � �� � �

�� � '�����! 0

Mas a normal passa pelo ponto � � �1! , logo:

� � � �� � �

�� � � ����! � � � � � � ��� � � � � � � �1! � � � � ! � � � � ! � � 0

Os pontos procurados são � �+� � � ���� ! , � � � � � � � ! e � � � � � �1! .

Page 360: calculo I

360 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

-4 -2 6

1

4

9

Figura 9.12: Exemplo[7].

[8] Nos pontos de interseção da reta '�� � � � � � com a curva ���&' � � � ' � , traçam-se asnormais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseção.

Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta '�� � ��� � � com a curva:

�� � ' � � � ' � � � ' ��� 0

Obtemos ' � � ' � � � � '�� � ! � '�� � !�� � ; então '�� � e '�� � ; logo temos os pontos � � � � � � !e � � � � �� 1! . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:

� � ��� � � �

�� '�� � �

� � � ! � �� e � � � !$� � �� . As equações das normais em � � e � � , são respectivamente:

� ���7'��

� � � '�� � ��0

Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:

� � � � ' �

� � � � ' � � � �

obtemos � ��

� e '�� � . Seja � � � � � �� � . A área do triângulo de vértices � � , � � e � � é dada por� �

��

� , onde:

������

� � �� � �� �1* �

����� � �� � �

� �� � � 0 ��0

Page 361: calculo I

9.3. DERIVADA 361

1 4 6

2

4

6

Figura 9.13: Exemplo [8].

[9] Esboce o gráfico da curva � � � '�� � ' �! .

Solução : Primeiramente observamos que se mudamos � por � � , a equação da curva não muda;logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos ' . Por outro lado, ��� � � '5!+� ��' � ' �

, logo

� � � � ! � 2 � � � ! . Se '�� �

, então � � � e se � � � , então '�� � ou '�� �

. A curva

intersecta os eixos coordenados nos pontos � � 4� ! e � �4� ! . Determinemos os pontos críticos,

derivando � ��� � ' ! e igualando a zero:

�� �

� ' � � !� � ' � ��� � '�� � � 0

Note que �� � �! não existe e � é contínua em '�� �

; como � � � � ! � 2 �

� � ! , no ponto

'�� �

a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinalde �

ao redor do ponto '�� � �:

�� ��� � ')� � ��

� ��� � ')� � �

logo, ' � � �é ponto de mínimo local e � � � �

. Pela simetria em relação ao eixo dos ' , seconsideramos � � � ' � ' �

, o ponto � � � � ! é de máximo. A curva não possui pontos de

inflexão ou assíntotas.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Figura 9.14: Exemplo [9].

[10] Dada uma circunferência de raio � , determine o comprimento de uma corda tal que a somadesse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?

Page 362: calculo I

362 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução :

yy

rx

Figura 9.15: Exemplo [9].

Com as notações do desenho, ' � � � � � � � ; então ��� � � � �7' � . O comprimento da corda é� � � � ; logo �&� � � � � �7' � . Logo, a função que devemos maximizar é: � � ' ! � ' � � � � � �7' � .Derivando e igualando a zero:

�� � ' ! � � �

� '� � � �7' �

� � �� '��

�� � �7' � � ' � � � � � � '�� �

� 0

Derivando novamente:

�� � � ' ! �

� � �� � � �7' � ! � � � � �

� � � �� � � � � � � ��� 0

Logo,�

�é ponto de máximo e ��� �

�� � � � .

[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num conecircular reto.

Solução :

B E C

D

A

x

y

Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.

Com as notações do desenho, sejam � e � o raio e a altura do cone, respectivamente; ' e � o raioa altura do cilindro. Por outro lado, o � � � é semelhante ao � � ; temos:

� � �

� � �� �

��

� � ���� ' � ���

� � � �7' ! � � ! 0

Page 363: calculo I

9.3. DERIVADA 363

O volume do cilindro é� � �' � � ; logo, de � � ! temos que a função a maximizar é:

� � '5! � �� � � ' � �7' � ! 0

Derivando e igualando a zero:

� � � '5! � �� � � ���

' ! ' � � � '�� � ou '��

� � 0

como ' �� � , o único ponto crítico é '�� � �� . Estudemos o sinal de� � �

' :

� � �'-��� � � � '-�

� �� � �

'-��� � ')�

� � 0

Então ')� � �� é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone temraio da base igual a

� *

do raio da base do cone e altura igual a � * da altura do cone.

[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio� .Solução :

B

CD

An

2r

y

x h

Figura 9.17:

O triângulo� � é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que �7� � � � �

� . Sabe-mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e suaprojeção sobre a hipotenusa; logo:

' � � � � � � �-� ' �� � e � � � � � ��-� � � � ' �

� 0

Então, o perímetro � , é:

� � ' ! � � ' � � � � '���� � � � ��� ' ! � � � � � '�� '��

� 0

Derivando e igualando a zero:

�� � '5! � �

� '�� � � � � '�� � 0

Page 364: calculo I

364 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Derivando novamente:�

� � � ' !$� ��� � �

� � � � !���� 0Logo, � �� � . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio� tem base maior igual a

� � , base menor igual a � e lados não paralelos iguais a � .

9.4 Integração

[1] Calcule � �� �

� � ��� � '5! �� � �$� ' ! ��� � � ' !

� ' .

Solução : Fazendo : ����

� � ��� � ' ! � �� ��� �

� � � � ���� � � � � ' �� ��� �

������� � ��� �

�� � � . Então:

� ��� � ��� � �� ��� �

�� � � ��� � ' ! �� ��� 0

[2] Calcule � �� � � �$� ' ! ��� � � ' !� � � � �

� � ' !� ' .

Solução : Fazendo : � � � � �$� ' ! �� � � ��� � � '5! � ' . Então:

� �� �� � �

� � �$�� �� � � � � � �

� � � � � � ��� � � �/!� ��� � � � � ��� ��� � � �,� '5! �� ��� 0

[3] Calcule � �� '� � � ' � �

�� � � ' � ! �

� ' .

Solução : Note que � � ' � ��

� � � ' � ! � � � � ' � � � � � ' � ! � � � ' � � � � � ' � ! � � � � � � ' � ! ,então; � � � ' � �

�� � � ' � ! � �

� � � ' �� � � � � � ' � 0

Agora, fazendo:

��� � � � � � ' � �� ��� '

� � � ' �� ' �

logo,

� �� � �� � � � � � ��� � � � � � � � � ' � � � 0

[4] Calcule � ��

' � � � ��� � '5! � �$� ' � ��� ! � ' .

Solução : Integramos por partes:

��� � �$� ' � � � ! �� ���

� '� � ' �� '

� � � ' � � � ��� � '5! � ' � � ��

'�� � � ��� � ' ! � ' 0

Page 365: calculo I

9.4. INTEGRAÇÃO 365

Denotemos por � � ��

' � � � ��� � '5! � ' . Para achar � , novamente integramos por partes:

��� � � � ��� � ' ! �� ���

� '� � ' �� � � ' � ' � � � '��� 0

Logo:

� ��� '�� � � � ��� � ' !� ���

� '��� � ' �� '�� '�� � � � ��� � '5!� �

��

� � � ��� � ' � � � '

� '�� � � � ��� � ' !� ��� � '���� � � ��� � '5! � � � '�� ��� ! � � � ��� � '5!� � ' � 0

Voltando a � : �� ��� �

� � � � � '�� ��� ! � � � ��� � ' ! �7' � � '�� � � ��� � ' ! � � � � � e:

�� � ��� � � � � � � ��� � ' ! ��'

Então:

� � � � ��

� � ����� � � � � ' � ! � � � ��� � ' ! �7' � � � �$� ' � ��� ! � � � � � � � ��� � ' ! � ' ��� 0

[5] Calcule � ���

�' � � �$� '5!� ����� � � � ' !

� ' .

Solução : Fazendo ' � �� � , � ' � � � � ; se ' ��� , então �+� e se ' � , então �+� � . Por ourolado:

' � � �$� ' !� ����� � � � ' ! � � �� �4! � � �$� �� �4!� ����� � � � �� �4! � � �� �4! � � �$� � !� ����� � � � �4! 0

Logo:

� � �� �

� �� �4! � � �$� �4!� ����� � � � � ! � � ���

� � � �$� � !� ����� � � � �4! � � � � �

� � ���

� � � �$� ' !� ����� � � � ' !

� ' 0

Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo � � ��� � � ' ! ,então

� ��� � � � �$� ' ! � ' e:

� � � ��� � ��

� �� � � � � � �� �

� �� � � � � � � � � ��� � � ! ��� � � ��� � � � ! � � ��� 0

Logo � � �� .

[6] Verifique que: � �� � � �7' � ! � � '��

� � � � �� � �� � �

��� ! � �� �� 0

Page 366: calculo I

366 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Fazendo '�� � � �$� �4! , � ' � ��� � � � ! � � ; se ' ��� , então �+� � e se ' � � , então �+� � � . Poroutro lado, � � �7'��/! � � '���� � � � � � � � �4! � � ��� � � �4! � �$� ��� ��� � � � � � ! � � , então:

� � �� �

� � � �7' � ! � � '����� �

���� � � � � � � � ! � ���

integrando por partes:

� � � ��� � � � � �4! � � �$� � !������ �

�� �

��� �

���� � � � � � � � ! � � � � � �4! � �

� ��

��� �

���� � � � � � � �4! � � � �

��� �

���� � � � � �4! � �

� ��

��� �

���� � � � � � � �4! � � � �

� � �

isto é � � ��

������ � � � � , como � � �

��� �

���� � � � ! � � � � , logo:

� �+�� � � �

� �� � �� �

� � � � � �$�� � � � �� � �

� � � � � � � �� � � � �

� �� � � � �� � �

�� � � �

� � � � �� � � �� � � � � � �

...

� � �� � � � �

� � � 0"0"0�

� � � � � !� �

�� � � � � � 0"0"0�

� � � � � ! � � � ���� ! � � ! 0

Multipliquemos � � ! por� � � � �

� � � 0"0"0�

� � ��� � !� �

�� � � � �� � � 0"0"0

�� � ��� � !

� ��

, então:

� � � �4� � � � ! � �� � ! � �

� ! � �

�� !�0"0"0

� � � � � � ! � �� � �� � � � � � � � 0"0"0

�� � ��� � !

� �� � � �

��� !�

� � � � � � � � � � � � 0"0"0�

� ��� � ! � � � �� � �� � � �

�� � � � �

� � �� � ���� ! � 0

[7] Determine a área da região limitada pelas curvas ' � � �� � e '���� � � � � � ! , onde � .

Solução : Se mudamos ' por � ' , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas emrelação ao eixo dos � . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se

Page 367: calculo I

9.4. INTEGRAÇÃO 367

' � � , então �-� � e � � � ��! � � ; se �-� � , então ' � � ; logo os pontos � � 4� ! e � � ! são os

pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo � � � � � e ��� � �

� � � ,determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:�

� � � � �

� � � �� � �

donde, ' � � ��'�� � �� � � � ; fazendo � � '�� temos ��� � � � � �� � � � e ' � � . Note que'�� � é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e paraa outra curva é um ponto de máximo.

Figura 9.18: Região do exemplo [7].

Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2:

� � � � ��

� �' � � � � '���� � � '�� � � � �

� � � 0 ��0

[8] Determine a área da região limitada pela curva ' � � ' � � � � � � e pelos eixos coordenados.

Solução : Se mudamos ' por � ' e � por � � , a equação não muda, logo a curva é simétricaem relação ao eixo dos ' e dos � . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixoscoordenados. Se '�� � , então ����� e se � � � , então ' � � '�� � � ! � � ; logo os pontos � � 4� ! , � � � 4� !e � � 4� ! são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ����' � � � �7' � ; logo' 2 � � � 3 . Não é difícil ver que em ' � � a curva possui um ponto de mínimo local e que'�� �

� �� são pontos de máximo local.

-1 1

0.4

-1 1

0.4

Figura 9.19: Região do exemplo [8].

Page 368: calculo I

368 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor

�.

� � � � �� ' �

� � �7' � � ' 0

Fazendo '�� � � �$� �4! , então� '�� ��� � � �4! � � e '�� � � �7' � � '�� � � � �,� �4! ��� � �1� �4! � � ; então:

� � � ��� �

� � � � � � � ! ��� � � � � ! � � ���

��� �

� � � � � �$� � ! ��� � � � ! � � � ����

��� �

� � � � � � � � ! � �$���

��� �

� � � � ��� � � � � ! � � �� � � 0 ��0

[9] Determine a área da região limitada pelas curvas � � � ' � � � � � � , � �-� '�� � � ��� � ,� �7' � � � ��� e o eixo dos � .

Solução : Determinemos as interseções das curvas:

� � !�� � �7'�� � � �� � �7'�� � � � � � !

�� � �7'�� � � �� �7'�� � � �

!�� ���7'�� � � ���� '�� � �

De � � ! obtemos ��� � , logo ')� � ; de � � ! obtemos ��� � � , logo ')�

e de �! obtemos ���� ,

logo '�� �.

1 2 3 4 5 6

4

5

9

10

1 2 3 4 5 6

4

5

9

10

Figura 9.20: Região do exemplo [9].

Logo:

� � � � ���� � � � � �

� � �

�� � � � � � �

� � �

�� � � � � � � ��� 0 �0

[10] Determine o volume da calota esférica de altura � se a esfera tem raio � .

Page 369: calculo I

9.4. INTEGRAÇÃO 369

h

R

Figura 9.21: Região do exemplo [10].

Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos � � � � � �7' � e aseguinte região:

RR-h

Figura 9.22:

Logo:

� � � �

� � � � � � � �7' � � � � '�� � �

� � � � � � �7' � � � '�� � � � '�� ' � �����

� � �� � � � �

� � � ! � 0 � 0

Em particular, se � � � , então� � � � � �� é o volume da semi-esfera de raio � ; se � � � � então� � �

�� �� é o volume da esfera de raio � .

[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelascurvas � � � � � � � � , � � � � � � � e o eixo dos ' , em torno do eixo dos ' .

Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:

�� � � � � � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� '�� � � �$� � ! 0

Page 370: calculo I

370 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

1

2

3

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

1

2

3

Figura 9.23: Região do exemplo [11].

Logo:

� � � �

� � ��� � �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � '��

� �

� � ��� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � '

�� � � � 0 � 0

[12] Calcule o comprimento de arco da curvas � � � '�� situado dentro do círculo '�� � � � � � .Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:� � � � '��

' � � � � � � � � � � � � � � � ����� � ! � � � � � � � �1! ��� � � � � 0

-1-2 1 2

-1

-2

1

2

Figura 9.24: Região do exemplo [12].

Pela simetria da curva, consideremos '�� � � � � � , derivando ' � � � �

�� � ��� � ; então:

� � � � ��

� � � �� ��

� � 0

Fazendo ��� � � �� � , obtemos:

� ����

� ��� � � ��

� � � � ���� �� � � 0 � 0

Page 371: calculo I

9.4. INTEGRAÇÃO 371

[13] Calcule a área da região determinada por � � � � �� ��� � e sua assíntota, � �� � .

Solução : Se mudamos � por � � , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação aoeixo dos ' . Note que a curva intersecta os eixos na origem.

Figura 9.25: Região do exemplo [13].

A equação da assíntota é '�� � � ; então consideramos � �� � �� ��� � e:

� � � � � ��

�' �� � �7'

� '�� � ����

� � � ���� �

�' �� � �7'

� ' 0

Fazendo '�� � � � � � �1� �4! , temos que� '�� � � � � �$� �4! ��� � � �4! � � . Por outro lado:

�' �� � �7'

� '�� ' � '� � � �7'

� '�� � � � � � ��� �4! � � 0

Temos, '�� � � � � � e '�� � � � � � �,� �4! � �

� � ; se � � � � � � � � � � . Então:

� � �

�' �� � �7'

� '�� � �� � � � �$� � � ! � � � � �$� � � ! � � � � � �

� � �� � � � �$� � �6! � � � � �$� � �6! � � � � � 0Logo:

� �����

� ��� �

� �� � � � �$� � �6! � � � � �$� � �6! � � � � � �

� � �� 0 � .

[14] Calcule a área da região limitada pela curva � ��

' � � ' ��� ! , ')� � e o eixo dos ' .

Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:

Page 372: calculo I

372 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Figura 9.26: Região do exemplo [14].

Logo:

� �� ���

� '' � � ' � � ! �

����� � ���

� �

� '' � � ' � � !

�� ��� � ���

� �

���'� �

' �� �

' ��� � � '������� � ��� � � � �$� �"! �

����� � � �$� � ��� ! � � �$� � ! �

�� ��� � ��� � � � � � ���� � �

����� � � �$� � ! � �

� ��� � ��� � � � � � � �� � �

����� � � �$� � ! �

��� � � � �$� � ! � � 0 �0

Page 373: calculo I

Capítulo 10

APÊNDICE

10.1 Limites

Proposição 10.1. (Unicidade do limite)Se ���������� � ��������� e ���������� � ��������� ; (

��������� �"!), então

�����#���. Em outras palavras se o limite existe (é um

número real), ele é único.

Prova: Se ���������� � ��������� , então para todo $ %'&)( existe * � &)( , tal que se (,+.- �0/21 -3+)* � então

- � ����/0�4� -5+76� . Se ���������� �8�����9��� , então para todo 6� &�( existe * � &�( , tal que se (:+,- �;/"1 -<+�* � então

- � ����/"� � -�+ 6� . Seja * o menor entre * � e * � . Em particular,=1�/ * ��1�> * �@?0BA9/DCE1�F��3G�,H ; logo, existeI �JA tal que (K+L- I /M1 -N+D* e - � � /O� � - � - � � /M� I �P>Q� I �@/O� � -SRL- � � /0� I � - > - � I �@/M� � -S++T6� > 6� � $ ; logo, - ����/O��� -S+ $ , para todo $ &D( ; consequentemente,

���U�����.

Proposição 10.2.

1. Se ���������� � ������� &V( , então existe *W&V( tal que� ��� &7X � , para todo

�Y�MB1�/ * ��1Z> * �P?Q[=A�/\CE1�F�] .2. Se ��������3� �8�����9� +V( , então existe *W&V( tal que, para todo

�Y�MB1�/ * �^1_> * �`?J[8Aa/bCE1�F�] tem-se� ��� + � % .

Prova: 1. Seja $ �� % ; então, existe *K&Q( tal que para todo

�a�0B1�/ * ��1�> * �P? [ A�/QC�1�F ] ; logo,

- � ���Z/O� -S+ � % ou� % + � ��� +dc �%,e

2. Exercício.

Proposição 10.3. Se ���������f �8��� e ���������fhg ��� , existem, então para todo i �5jO�a! :

1. ���������flk i � ���m>0j g ���onp� id���������f �8���q>"j ���������fhg ��� e2. ���������f k �8��� g ���onp� k ���������f � ���rn k ���������f g ���rn e

3. ���������f�8���g ���

� ���������f �8������������f g ��� , se ���������f g 8���sG� ( e

4. ���������f k �8��� nut � k ���������f �8��� nut , se v �Jw .

373

Page 374: calculo I

374 CAPÍTULO 10. APÊNDICE

5. ���������f��� �8���l�

�� ���������f � ��� , se ���������f � ����� ( e v é qualquer natural, ou ���������f � ��� +2( e v é um natural

ímpar.

6. ���������f�� v k �8��� n � � v k ���������f �8��� n � se ���������f � ��� &Q( e7. Se ���������f� 8��� � ���������fhg ���p�d� e existe *J&,( tal que � 8��� R �8��� R g 8��� , para (a+ - � /� -q+,* , então

���������f �8������� .

Prova: Provaremos%

e � . As demais propriedades ficam como exercícios.

2. Sejam ���������f � ������� e ���������f g 8������ , de definição:

- � ��� g 8���Z/M�� - � - �8��� g ���Z/0� ���� >Q� ���� /O�� -NRL- � ��� -u- g 8����/� - > - - - �8����/M� - .Como ���������f � ���O�)�

, dado $ & ( existe * � & ( tal que - � ���s/9� - + $ se ( + - �M/� - + * � ; logo,

- � ��� -<+ - � - >��se (K+ - �;/� -S+Q* � . Por outro lado também existe * � &Q( tal que - � ����/M� -S++ 6����� ��� �m��� se ( + - �J/� -@+#* � ; analogamente, existe * �b&#( tal que - g 8���4/! -q+ 6�"��� X � �m��� . Seja * um

número menor que * ��� * � e * � ; então: - �8��� g ����/M�� -NR - � ��� - - g ���Z/� - > - -u- � ���@/O� -SRR [ - � - >#� ]%$ �Z> - - $ � + 6 � > 6� � $ , se (K+ - �;/� -S+V* , onde$ �U� [ 6����� X � �@�&� ] e

$ �l� [ 6�"��� ��� �m��� ] .7. Para todo $ &7( , existem * �E� * � &T( tal que se (M+'- �a/� -Z+7* � , então,

�V/ $ + � ��� + �"> $ e se(J+7- �b/' -�+ * � , então,�"/ $ + g ��� + �0> $ ; considere * menor que * � e * � ; logo, se (J+7- �b/( -P+2* ;

então,�O/ $ + � 8��� R � ��� R g ��� + � > $ .

Teorema 10.1. Seja�8���

uma função com domínio ) nas condições das definições. Então ���������f �8�����9� se e

somente se os limites laterais existem e ���������f+* � ����� ���������f-, � ������� .

Prova: A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e���������f * � ����� ���������f , �8�����9� , temos que dado $ &2( existem * �E� * � & ( , tais que se + � + �> * � então

- � ���q/Y� -N+ $ e ses/ * � + � +

, então - � ���q/Y� -N+ $ . Note que * � e * � podem ser iguais ou diferentes,(arranje exemplos). Caso * �3G� * � , considere * � mín

C * ��� * �EF ; então se - ��/. -_+V* temos que - �8����/ � -<+ $ .

10.2 Funções Deriváveis

Teorema 10.2. Se

é derivável em��/

então f é contínua em�"/

.

Prova: Como

é derivável em� /

, temos:�0= � / ��� ���������� 1

�8����/0� � / ��;/O��/ . Devemos provar que

�������� � 1 � ����� � � / � , o que é equivalente a �������� � 1 B�8����/0� � / � ��� ( .�������� �-1 B�8����/M�8��/�� ��� �������� �-1 8�;/O��/��`[

� ���Z/M�8��/��� / � / ]l� �������� �-1 8�;/O��/E� �������� �-1�8����/0� �"/���;/O� / � (�2

logo, �������� �-1 � ����� � � / � . A recíproca do teorema é falsa.

Proposição 10.4. Sejam 3 � 3 ��� e 4 � 4 8��� funções deriváveis; então:

1. Regra da soma: As funções 365(4 são deriváveis e

365�4 �&0o8����� 3 0= ��� 5(4 0= ���

Page 375: calculo I

10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 375

2. Regra do produto: A função 3�� 4 é derivável e

3�� 4 � 0 ����� 3 0 8��� �+4 8���m> 3 ��� �+4 0 8���3. Regra do quociente: A função

34 é derivável, e� 3

4�� 0 8����� 3 0 ��� �+4 ����/ 3 8��� � 4 0 ��� 4 ��� � � se 4 ���sG� (Provaremos a segunda propriedade; as outras provas são análogas.

3��+4 � 0 ����� ������ � / 3�� 4 �u �:>� ��/D 3��+4 � ���� e

3�� 4 � �:>� �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W>� � �+4 �K>� ��/ 3 8��� � 4 ��� ; somando e subtraindo o termo3 �K>� � � 4 ��� , obtemos: 3�� 4 � �:>� �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W>� � �+4 �K>� ��/ 3 8�W>� � � 4 8���q> 3 �K>� � � 4 ���Z/ 3 8��� � 4 8��� ; logo, 3�� 4 � �:>� �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W>� � � 4 � >� ��/ 4 �����q> 4 8��� � 3 �K>� ��/ 3 8��� � eEntão:

3�� 4 � 0 ����� ������ � / 3 8�K>� � 4 �:>� ��/ 4 ��� �m> 4 8��� 3 8� >� �@/ 3 ��� �� ; logo,

3�� 4 � 0 ����� 3 ��� � ������ � / 4 8�K>� �Z/ 4 ���� > 4 8��� �`������ � / 3 �K>� ��/ 3 8���� �pois, ������ � / 3 �W>� ��� 3 ��� ( 3 é derivável, logo contínua). Logo

3��+4 � 0 ����� 3 8��� � 4 0 ���m> 4 8��� � 3 0 ��� .Teorema 10.3. Regra da CadeiaSejam

e g funções, tais que g�� esteja bem definida. Se

é derivável em

�e g é derivável em

� ���, então g �

é derivável em�

e: g � �&0= ����� g 0B=� ��� � � �0B8��� eProva: Se

� / � )���� B � , provaremos que g�� � 0 � / �;� g 0 B�8� / � � � 0 � / � . Consideremos a seguinte

função: ��� ������ � g �� ��/ g =� � / � ���/0� �"/�� se

�pG���8��/E�g 0 =� ��/E� � se

�����8��/E� e�é contínua em

� / �9�8� / �, de fato:

������ ��� � �-1 ���� ��� ������ ��� � � 1 � g �� �@/ g B�8��/E� ��@/M�8� / � � g 0 B�8��/E� ���

�B� �"/�� � e�

também é contínua em���9�8���sG�9� � / �

, pois para � G���8� / � , temos:

������ � �� � ��� ������ � � g � ��/ g =� ��/�� �� /0� ��/�� � g �� ��/ g =� ��/�� ���/0� ��/�� �

��� � e

é diferenciável, logo contínua; então,

�� é contínua em )���� = � , e:

���������� 1

�=� ��� ���

�B�8� / � ��� g 0 B�8� / � � e

Page 376: calculo I

376 CAPÍTULO 10. APÊNDICE

Por outro lado, se�MG���"/

: g B�8��� ��/ g B�8� / � ��;/ �"/ ��B�8��� � [ �8����/0� � / ��;/O��/ ]

.

No caso que� �����9�8�"/��

se�0G���"/

, ambos os lados da ultima igualdade são nulos.

g � � 0 8� / ��� �������� �-1 g=� ��� �Z/ g B� �"/�� ��;/O��/ � �������� �-1

�B�8��� � [ �8����/0� �"/���;/O��/ ] � g 0 B�8� / � �_ 0 � / � e

Proposição 10.5. Se

é uma função derivável no intervalo�h�^1 �

e� / �M ���1 �

é um extremo relativo de

, então 0 ��/E��� ( .Prova: Suponha que

�"/é um ponto de máximo relativo de

; como

é derivável em

��^1 �, temos:

0 �"/���� �������� � 1� ���Z/M�8��/��� / � / e

Mais ainda: 0 8��/E��� �������� �-1 *

� ����/0� � / ��;/O� / � �������� �-1 ,� ����/0� � / ��;/O� / .

i) Se��� � �/ , então

�;/ � / &V( e�8����/0� � / � RD( , logo

0 8� / � RQ( .ii) Se

��� �"/��, então

�;/O�"/ +V( e� ����/0� ��/�� RV( , logo

0 �"/�� � ( .De i) e ii) temos que

0 8��/E��� ( . A prova para mínimo é análoga.

Teorema 10.4. (do Valor Médio)Seja

���� ���1�m/� !contínua e derivável em

���1u�. Então existe pelo menos um

��/ �0�h�^1 �tal que:

0 8��/E��� �=1 �@/0� <�1�/�

Prova: Considere a função � 8�����9� ���Z/0� <�@/V8�;/�S�:[ �B1u�@/M��S�1�/ ]. � é contínua em

� ���1��, derivável

em����1 �

e � �<�s� � =1 � ; � 0 ������ 0 ���Z/ �B1 �@/0� <�1�/� . Pelo Teorema de Rolle aplicado a � , existe� / �

��^1 �tal que � 0 8� / ��� ( ; então: 0 � / ��� �B1u�@/M��S�1�/ e

Interpretação geométrica da função auxiliar i) A equação da reta que passa pelos pontos

A9�,����� <� �e � �,B1��^�B1 � � é:

� � � � <��/0�B1u�1�/ � � / <�P>Q� <� eii) � �����9�8���E/ � , ou seja, � ��� representa a diferença das ordenadas do gráfico de

e da reta que passa

pelos pontosA

e � para os pontos de mesma abscissa. Observe que no desenho anterior, � ��� RV( , paratodo

�Y��� ���1��, pois o gráfico de

está abaixo da reta que passa por

Ae � .

Teorema 10.5. (Teorema do Valor Médio Generalizado )

Sejam

e g funções contínuas em� ���1��

e deriváveis em ���1u�

. Se g 0 ���sG� ( para todo�a�0�h�^1 �

, então existe pelomenos um

�"/��0�h�^1 �tal que: 0 �"/��

g 0 8� / �� �B1u�@/M��S�g B1u�@/ g <� e

Page 377: calculo I

10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 377

Prova: i) Observemos, primeiramente, que a expressão do enunciado do Teorema está bem definida. Defato, se g �S�U� g =1 � , considerando � ��� � g 8����/ g �<� , obtemos � �S� � � =1 � � ( ; como � é contínua em� h�^1�

e derivável em ��^1 �

, pelo Teorema de Rolle temos que existe��/;������1 �

tal que � 0 �"/��l� ( ; entãog 0 8��/E��� ( , o que é uma contradição com a hipótese do Teorema. Logo, g <�pG� g B1u� .ii) Definamos a seguinte função: � ����� [ �=1 �@/M��<� ] [ g ���Z/ g <� ] / [ � ����/0� <� ]l[ g B1 �@/ g <� ] e� é contínua em

� h�^1�e derivável em

���1 �, � <��� � B1 � e:

� 0 8����� g 0 8���Z[o�B1 �Z/M��S� ]�/0 0 8���Z[ g B1 �@/ g �<� ] ePelo Teorema de Rolle, existe

��/\�7 ���1u�tal que � 0 �"/�� � ( . Usando a expressão da derivada de �

obtemos o resultado.

Teorema 10.6. (L’Hôpital)Sejam

e g funções deriváveis num domínio ) que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos

abertos, exceto possivelmente num ponto

e g ���pG� ( , para todo�MG�#

.

1. Se ���������f �8����� ���������fhg ����� ( e ���������f 0 ���g 0 ���

���, então:

���������f� ���g 8���

� ���������f 0 ���g 0 ���

��� e2. Se ���������f �8����� ���������fhg ������� e ��������3f

0 ���g 0 8���

�9�, então:

���������f� ���g 8���

� ���������f 0 ���g 0 ���

��� eProva: 1. Provaremos que: ��������3f *

� ���g 8���

� ���������f * 0 ���g 0 8��� , o outro caso é analogo. Consideremos as funções:

� ������ � ���

se�MG��

( se� �� e

� ����� � g ��� se

�MG��( se

� �� eSeja

j & , � e

�são deriváveis em

�� jm�e

���������f * � 8����� ���������f * � ����� ���������f *

�8����� ���������f * g ����� ( e

� 0 �7 0e

�0 � g 0 em

�� jm�. Se

�D� �h� jm�; então � e

�são contínuas em

� �� ���; logo, pelo teorema do

valor médio generalizado, existe� / �0 �� ���

tal que:

� ����/ � �<�� ����/

��<� � � 0 �"/���

0 � / � �

como � �S���� <��� ( , temos

� ���� ��� � � 0 8� / ��

0 8��/E� se�"/��M �� ���

. Então:

��������3f *� ���g 8���

� ���������f * �8����8��� � ������ 1 ��f * �

0 8��/E��0 8��/E� � ���������f * �

0 ����0 ��� � ���������f+*

0 8���g 0 ��� 2

pois se� � �

; então� / � �

.

Fazendo��� �� ; então

0 ����� /l 0 [ � � ] �� � e g 0 �����L/ g 0 [� � ] �� � ; logo

�������� ��� �8���g ���� ������ � / *

[ � � ]g [

� � ] � ������ � / * 0 [ � � ]g 0 [

� � ] � �������� ��� 0 ���g 0 8��� e

Page 378: calculo I

378 CAPÍTULO 10. APÊNDICE

10.3 Funções Integráveis

Proposição 10.6. Se

e g são funções integráveis em� h�^1�

, então:

1. Linearidade da Integral. i >0j g é função integrável em� ���1�

, para todo i �_j0�b! e:� �f [ i � ���m>0j g ��� ]��`� � i � �

f � ����� � >"j � �f g ����� � e

2. Monotonicidade da Integral. Se�8��� � g 8��� em

� ���1�; então,� �

f � �����`� � � �f g �����`� e

3. - - é integrável e: ���� � �f � ����� �

����R � �f

�� �8��� �� � � e4. Sejam

+��p+ 1 e

uma função integrável em� �� � � e

� � ��1�� respectivamente. Então

é integrável em� ���1�

e: � �f �8����� �b� ���

f � �����`� > � �� �8����� � eProva: 1. Provaremos que para toda partição de

� ���1�e para todo �� � � � � � � � � teremos que

������ � �� � � / t� �� � [ i >0j g ] � ���W� existe. De fato:

������ � � � � / t� �� � [ i K>"j g ] � ���3� � ������ � � � � /� t� �� � i � � ���3� > t� �� � j g � ���3� � �

� i ������ � �� � � / t� �� � � � ���W� >"j ������ � �� � � /t� �� � g � ���3� � i

� �f � �����`�:>0j � �

f g �����`�m�pois

e g são integravéis em

� ��^1�; logo:� �

f [ i � ���q>0j g 8��� ] �`�J� i � �f �8����� �K>"j � �

f g 8����� � e2. Por 1. provaremos que se � �2 / g ; então,

� �f � �����`� � ( . Para toda partição de

� ���1��e para todo

� ��� � � � � � � temos que � � � � ( ; logo,t� �� � � � ���W� � ( e:

� �f � ����� �J� ������ � � � � /

t� �� � � �� ���3� � ( e4. Para toda partição de

� ���1�tal que � �D� para algum � ; então

� �� � � é subdividido em � subintervalose� � ��1�� em v / � subintervalos; logo:

Page 379: calculo I

10.3. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS 379

t� �� � � �� ���W� � �� �� � � � ���W� >t � �� �� �

� � ���W� eEntão:

� �f � ����� �b� ������ � � � � / t� �� � � � ���W� � ������ � � � � / �� �� � � � ���W� > ������ � � � � /

t � �� �� �� � ���W� ; logo:

� �f � �����`�b� � �

f � ����� � > � �� � �����`� e

Teorema 10.7. Fundamental do Cálculo.

Se

é uma função integrável em� h�^1�

e admite uma primitiva � 8��� em� h�^1�

, então:� �f � ����� �b� � =1 ��/ � <� e

Prova: Suponhamos que

seja uma função integrável em� ���1�

e que existe uma primitiva � 8��� de� ���em

� ���1�. Consideremos a seguinte partição de

� ��^1�: � ��/ + ��� + ��� + e�e�e�e�e�e�e�e�e + � t �)1

.

Não é difícil ver que: � B1 �Z/ � �S��� t� �� � � � �Z/ � 8� � � � � . (Por exemplo, faça v ���e desenvol-

va a soma). Do teorema do Valor Médio para � 8��� em� � � � � � � , temos que para cada � existe � � � � �`� � � tal que � 8� �l/ � � � �u�a� � 0 � � 8� /�� � � �a� � � ���W� , pois � é primitiva de

. Logo:

� B1u��/ � �<��� t� �� � � � ���W� e Se para cada partição do intervalo os � são escolhidos como antes; então,

������ � � � � / t� �� � � � � �3� � � B1 ��/ � <� e:� �f �8����� �b� � =1 ��/ � <� .

Teorema 10.8.

Seja ��� ���1�m/ � !

uma função contínua. A função g ������ �f ��� ��� � é derivável e:

g 0 ������� ��� � ou� g 0 8�����

��`� � �f ��� ��� �Z� � ��� e

Prova: Seja � �J! tal que�K> � ��� ���1� :

g 8�W> � ��/ g 8������ � ���f ��� ��� �m/ � �

f ��� ��� �Z� � � ���f ��� ��� �q> � f

� ��� ��� �Z� � � ���� ��� ��� � e

Suponha que � &7( . Como

é contínua no intervalo� �q� �b> � � , pelo teorema de Weierstrass, existem

3 � 4 � � �q� �K> � � tal que� 3 � R ��� � R � 4 � , então� � ���

� � 3 ��� � R � � ���� ��� ��� � R � � ���

� � 4 ��� � 2logo, � � 3 � R

� � ���� ��� ��� � R � � 4 � , e

� 3 � R ��� � ���� ��� ��� � R � 4 � . Por outro lado, se � � ( , então

3 � �e 4 � �

, e:

������ � / � 3 ��� ������E� � � 3 ���9�8��� � ������ � / � 4 ��� ������ � � � 4 �����8��� �pois

é contínua; então:

�8��� RT������ � / g8�K> � �@/ g 8���

� R � ��� , donde g 0 ���a� � ���. Analogamente se

� +D( .

Page 380: calculo I

380 CAPÍTULO 10. APÊNDICE

Page 381: calculo I

Capítulo 11

RESPOSTAS

11.1 Capítulo 1

[1]<� /.�`� ( ���U ( �+���51 � / ���u/.� ��� � % �^> �Q� � � / ��� / % ���U&� �^> �Q���N�P / ���u/.� ( ���4C��<F����P / c � /.���h � % �^> �Q�

g � / c ��� � � � ( ���S� � � / ���u/ % ��3�5�^> �Q���S� / ��� /.������ /.�`�+������&� �^> �Q�� _� ��/ % �+� � � � / �� � �� � � � ���� �^> �Q�v � � ��� � �� � ��� � � �� � � � ( � �� ��� � � �^> �Q�����<!�� � / �� � �� � � � / % � ( � [2]

<� � ( � > �\�m1 � � �`�^> �Q� � � / ���+� ��S�<!����<�d� ( �S� � % 5�� % 2 �2� ( g �S� � /��� � �S� � (�2 �2���[3]

<�Falso

�2� � � �e I �)/.�31 �

Falso� � ( � � � �

. [4]<� % � ���q1u� c � � � � � c � � �N� � � �E� � % � � ��l> %! � g � � c c � � � � % �"� � �#� ,

�S� c / � c[8] Os pontos situados sobre a reta�:> � �$�

, por exemplo c � ��� , ( �%�N� , etc. [10] As retas são paralelas,�9� � ( . [11]

<� % � /��a> �"� ( 1u� � / % �O/ �0� ( � �&� � /��O/ % ( � ( �S�S�Y> � � ( �E� � / % �J> �0�( � � /D� � ( . [12] c � > % �Y/'�\� ( , [13]

% � /(�E�b> c � ( , [15]S� � �S�

parábola,1 � �h � �)�S�

hipérbole,� � � � � �* _� � � � � v � círculo,�E� � � � � g � elipse, � � um ponto. [17]

S�K/ c � % + + c � % �h1 �& ;� 5 c � % , [18] ;�

5 �� , [19]<� � � � �+ �_1 �K/ � � v ,+ � � � � � � ,+ ���S� � � v ,+ �&��� � � � ,+ �_ �K/ � � v ,+ � � � � =H�� [24]

<� � �� � % 1 � �� � % � � �� �N��� ([25]

<� � /W�U/ c � ( 1u� � >;�U/ � � ( � �S�U/K� / � ( �S� � / � / � ( �E� c � � � c �U/����q � � ����> � g � � / � c �b� (� � � � �[26] a) - � R i�R � -� b)

�-� R i�R � -� [27] a) - � > % R �.� -� � > % e

� � -� � > % R ��/ -� > % b)- � >0 R � - � >1 e - � >0 R � � -� >1 c) - � > % R � � -� > % e

� -� > % R � � � -� > % d) - � R � R � -�[28] - � [29]

�� [30] c � % milhas

11.2 Capítulo 2

[1]<�S� � 1 � � �32 -� � �S� � �S� �&/ �2 -� [2]

<�<!4� � ( �^> �Q�q1u���E� �!���<!4�q! � �<!Q/QC3�_FN�_!\/QC ( F �S� � ( �^> �Q� �q ( � � ��E�<!4� ��/.�`� � �S � � ( �+� �o� � ( �+� � g � / ���+� �4� � c �^> �Q� � � ( � > �\� � � � �`� > �\� , � ( �^> �Q�� � / ���u/ % ��� � c � > �\� � � ( �^> �Q�&�S�<!4� � ( �+� � � �_!;/ C � � FN�5!;/ C3�5F5 _� / ��� / % ��� &�`� > �\� � ( � > �\� � � ��`�6�`���7�_�^> �Q� �5! v � � / % � ( �8� ( � % �=�_!� � / ���%�N�9�J7_� > �\� � � ( �+���9�a&� �^> �Q�#���<!4�q! [3]!

,�&�����,/.�

e� / �� ��� % . [4]

!O/MCN/ �� F , � � �� � � � � � � � �� � � [5]<�S�4> ��1 �S� � / % ��>�� � �<� �N��/ �� �E� % �4/ � �q�� �: g �<� � > % �4>;� � �4/ � : � � � � /� � � 2 � � 2� � �m� �<2� �� � � �S��/ � � � � � � � : �@� � �� ��� �>= [6]<�S�p> s1 �<� � / N�p> � � �<�p> �>�� �S�p/ �f � ��� % �p/ � � ff?:��3: g �S�� > N�p> � >�� � �p/ � :

� f � � f :f 2 � 2 � � 2� f �m� � 2� �&� �f � ��S�K/ � � � f � � � : � f : �f = � = [7]

<�-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

1 �0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

� � -2 -1.5 -1 -0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

�N� -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

381

Page 382: calculo I

382 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

�E�-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�-1 1 2 3

-2

-1

1

2

g � -2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

� � 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

� � 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�S�-2 -1 1 2 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

_�-1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

� �-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

� � -2 -1 1 2 3 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

v �-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

[8] Não, )���� = ����!Q/QC ( F [9]

<�-2 -1 1 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1 �-2 -1 1 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

� �1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�N� 1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

[10]<� % > % � >Q� � � % � /0� � / % � % �@ % >Q� � � � � �� : �P� 1 � c � / % > - �:> % - � c � / % / - �;> % - �q c � / % � - �;>% - � � � � �� � �P� � se

�0G�,/ % �E� ��� ����>= � � �&� ����>= � �`�<� � � ��� �32� � � � �2� �_�m� �� 2 se�MG� ( g �

�� � >0� � >"� � �q/ �� � >"� � >� � � � �m���� �5� �&/ 8�b> ���se�,G� ( � �

�&� � =� � � � � =� �%�`� ��3= se�,G� ( [11]

<� � � 1 � 1^� � � 5 � � / c � > � ��S� 2� � � v ��� [12]K� c �51U�L/ �� � � / c �51�� ��

[13]�� � � � � 2 ,�h�^> �Q� 2 4 6 8

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

[14]<� c �a> � 1u� � � � > % � � � : � �� : �@� �S� / � � > �� � / � � � �E� �� � � se

� G� �W � / �3/ % �[15]<� � ����� � � >�� � g 8�����2� � 1u� � ���U�2� � / _� g 8�����2� �

� � � � ����� c �K>'�_� g 8���U� =� � �N� �8���U�� v 8��� � g 8����� � g 8��� �E� � ����� �� � g 8�����(� � � �8����� ��3: � g 8����� � v 8��� [16]

�K> c v > c [17]

<�-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1 �-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

� �-6 -4 -2 2

-4

-2

2

4

6

�N� 1 2 3 4 5 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�E�-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

�-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Page 383: calculo I

11.2. CAPÍTULO 2 383

[18]<��C�� �2!��E� G� - � > v � v � w�F 1 � � � �^> �Q� � � � �S�<!2/2C ( F �E��C �2� !�� � � G� - � > v � v � w 2 � G� ( F � ��/.�`� � � g � ��/

�� � �� � � �<! � �!�S� ��/.�`�+� �" _�<!:/ C ( F _� / � c �u/ � % �#�; ( � � % �4� � c �^> �Q� [19]<� �� 1 � � � �� � � � � =� ��S���4> � � > �.���W/ ��> �� � � , � % > � ��>0� g � �� � � � : � � �

�P�� � � � � � � �� � � �S� � � � �� � � � , _� � � � � ��f :��

�m�f :�� � � [23]

<�-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

1 �-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

� � -1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

�N�-1 -0.5 0.5 1

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

[25]

<�-2 -1.5 -1 -0.5

-1

-0.5

0.5

1

1 �-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

� �0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

�N� 0.5 1 1.5 2

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�E�0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

[27]<� ( 1u� - � � - � � ( [29] a)

� g � � v � ��� é a função inversa da função � � v � 8��� ; � � � g � � v � ��� se esomente se

�b� � � v � � � ; então:�b����� � � , �� , que é equivalente a:

� � / % � �;/ �p� ( equação quadráticaem

� , cujas soluções são:

� �D� 5 � � � >#�. Mas

� &V( ; então� �D�W> � � � >#�

e � � � v 8�3> � � � >#���;

analogamente obtem-se as outras funções hiperbólicas inversas. Os respectivos gráficos são:

<�-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

1 �1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

� �-1 -0.5 0.5 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

�S� -4 -2 2 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

�E�0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

�-1 -0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

2

3

[30] � é a identidade [31]

�8�����#�� 2 S� ��1 � � � � não. [32] � � ����� � ��� �� � � f [34] )���� = ����!4�� � B �����

-1-2-3 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

[35]

S� -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

1u� � �

Page 384: calculo I

384 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

[36]<� �� / �� � 1 � � ��� � � � ��&� ��� � : � � � � � � �

[37]<� % �+��� 1 � ,�h�u/ �N� � � �� �u/�/� � [38]

� ���0� / �`�Y> �e

g ���U� % �� / � � > � [41]

��/ �� � ( � [42] ( �% � 2 �7 ��� ( [43] � � ���� [46] Sim, periódica de periódo

J���,#G� ( . [52]

� % ( � g [53] Aprox.� c ��� % anos. [54] � �� � � � (`( � � /�� / � / � , �E( e � g [55]

% c e c dias [66]�3 e ( c �anos [57]

��� c �4� e % c , ��)� % e �" e�� �"� � e ��� [58] a) � c e � % doentes, c �!�)� � e � � doentes, b)

� � e ( c dias. [60]� e % � ,� � %`% e ( �3��� � ( � �

11.3 Capítulo 3

[1]<�3/1� 1 �� � � % �N� % �E� � % ��� g ��/ ��&/ / / � �#� � ��.�S���. _� ( � � % [2]

<�& :� �� / � 1 �9 K� % � c � �& :� �E( �N�& � ([3]

<�Não, os domínios são diferentes.

1 �Sim. [4]

<�#�l1 � � �� � � � % �S��� �E�U/ �`�^ �U/ � g � % � � % � � � % �S��/ � 5���� � � � � � �� v � / ���� � � % � ��� c � � ( � � � % > � � � ( � � �� � f 3 � �/ 4 � ( [5]

<� 5�� % 1 � não existe � � /(� � ( [6] a) não

existe b) existe ( c) existe/.� �N� �^�� �E�4/ �� � ��� % g ��� � ��/ � � � � � �f �S� ( [7]

<� ( 1u� c � � �� �S� ( �E� �� �4/ �� g � ( � � (� � ( �N�� 5� ( � � ( � �� v � ( � � ( ��� ( � � ( � ��� � � ( � � c 3 � ( 4 ����p� % ��� ( [8]<� �h1 � � � � �h � � � � � � �* _� � � � �!��� � � �3>� �S� �*��� � g � �)�S� � � � � v � � � � �9� �m/ � � �m/ � � �m/ � 3 � ( 4 � / � [9]

<�m/ � �� 1 � � �� � � �� �S��� % ��� �� � �#� g �q/ � � �q/�� � � / � �� �S� ( 5��� � � ( � � (Zv � ( [10]<� c 1 � ( � � �� �S� ( �E� / � �� g � ( � �&�

� � � � �*�S��� � _� % � � ( � � � v 7�`� v �W>� � ������ ( � ��� � ��� � � � �&��� � [11] Ambos os limites são iguais:<� �h1 � ���N��� � � �� �s/�� g � ( ���

�� � �s/ � � ���*�S� %[15] a) c �!�"� e % � e

� ( � � � e � b)�" c � e !� [16] a)

� (`( (`(`( [17]

<�-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1 �-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

� �-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

�N� -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

���-4 -2 2 4

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

[18]<�J/ �31 � �� � � ��� �N� �- ��� � � v � � v ���� �U � t ��� �� [19]

<� �51 � � � ���S� � � � contínuas�E� �5 � � g � descontínuas.

Desenhos correspondentes:

<�-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1 �-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

� �-2 -1 1 2

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

�N�-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

���0.5 1 1.5 2 2.5 3

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

�-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

g �-1 1 2 3

-2

-1

1

2

[21]S�K/ �m1 � � � � �*���� �N� % �&� . [22]

<� �h1u� � � � �9�E� �h � , g) não d) sim [23]<� � � � �9�E�<! 1 � , �N�<!V/QC ( F � / ��� ( � � � �`�^> �Q�

[24]<� ��1 � � � �9�E�_ � sim. [25]

� ( �;� �. [26]

� % �:� - � [27]<�_� ( �;� �� 1 �_� ( �:�( � �5� ( �s� �

[28] g é contínua pois g ��� � - � - [29] Por exemplo:�� e

� : � �� [31] Sim, considere a funçãog ������� ����/ �� [33]

Page 385: calculo I

11.4. CAPÍTULO 4 385

<� b�9��� �-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

g � g �� � -4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 �-4 -2 2 4

2

4

6

8

10

12

14

[35] Tome g ����� � ����/O� e aplique o TVI a g . [36] Tome � ����� � ���Z/ g ��� e aplique o TVI a � .

11.4 Capítulo 4

[1]<� � > �`� /�� ( � ( 1u� % �;> � > �K� ( � � � / � �:> �J� ( �N� % �J/ � / � � ( ��� � >V�0� ( � � / �`�"� (

g �#� � /D� / c � ( � � % � >9� / �"� ( � � � c � / % � / � � ( �S� � > � � ( 5� � / % �b> % � ( � � � /D� /�M� ( � � � > �L� ( v � c � /�� / c � (�� �#� � > � / c � ( ��� % � % � > � / c � ( � � % � /��a> �0� (� � % � > �`�Y/ �0� ( [2]1b� 5 � . [3] � / �`�b> 0� ( � � > �`�b> M� ( . [4]

� � / �h� � /'�"�`�a/ � % �M� ([5]

<� � > % �Y/ % � ( � % � /Q�J> �a� ( �51u� � /'���Y/ % �Y� ( �&� � >��Y/'� � > �a� ( � � � � /��Y� ( �<�9� ( ��S� � > % �s/ - � � ( � % � /;�s/ � ( �E� % � /;�s/ �l� ( � � > % �p/ c � ( � � > �p/ � v ��� ( � � / �U> � v �Z�( g � � /��Y> �W/ � v % �J� ( � � > � / �3/ � v % �J� ( � � � / � �Y>$�D� ( �&� � >2�O/ �\� ( [6] Uma retapassando pela origem é da forma � � 4�

; use o fato que� � 0 / � � ( . /.� �+� �N� � � � � � � �/ � �q / % � c �S� . [7]� /<� �4> �l� ( � � /��`��>��3� ( . [8] g 0 ( ���(�

. [9] g 0 8�����9� �� �`> % � � 0 � � �

. [10]S� g 0 ( ��� � ��1 � � 0 c ��� % � .

[11]<� 4 � 3 0 > 3 � 4 0 > 3 4 � 0 1 � �� : 4 � 3 0 / 3 � 4 0 > 3 4 � 0 �

c)� ��� ��� � � � � ��� � ����� �

� : � : [12]S�P&�N>3���u&�N><� �@>�� ( � � >�>� � � >�� � � � > � � � ��1 � c �

� 7� � � > c �u �� >Q� � >���� � � � � �2 � / � : � � � � �&/� � � �m��� : �S� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � = � � � �32 � / � : � � �� � : � � � :

[13]<���� ( c � > � � � / 1 � � &� % � � > c � ��`� � > c �a/���� � � � / % �� �K/ c ��� � �N� c ( �@ c � � > �S� � �E� � � � � � � � :� � � � � � � � : � � 2 � : � 8� � > ��� 8� � / % ���u % 8� � > ��� c �

� / % �U>��`�m8� � / % ��� � g ��3� �� 8� � / �N� � � � � � 8� � / �N� � � � g � � / �N� � �

� � Z�� �� � � � �uu� � �� � � � � � ��� � � � � � � ���� � �m��� �S�3/ ���P� �� : � � �m��� : 5� � : � � � �@�&� : � � = �m��� 2� � 2 � � � � � � ��3� % > % � � �W> � c �

� > % � � > % )`� � > ��� � � � >� � �u� � >!�3� � � > % � � � �[14]

S�9� � � � � v 7� �q1 � %� � � � � � � � � v &� ( � �� ( � /'��� &� ( � >!��� &� ( � � >!��� � � �� t � � � �N� �&� t � � = � t � � ��E� �� � � : � � g�� 8��� g � � v �� ( � � � �� t � � � � ��� � � � � �� � � �S� �� �� � � � � � v ��� �m>"� � � v � v ��� � �

[15]<� � � :� � � 2 �P� 1u���3�

� � � � � �� � � � � � � �<� � � � 8� � v ���N> �l/ ��� �N� �� c t � � � � v c ����� � � � � � �P� � ��� � : �q� � � ������ � �m��� 2: � � � � � % > � v �� � �

g �S� � :�@� &��> � v 8�

� � � � �<���� �� ��U/ � v ��� � � � � � v � � � 8���u � � � � 8���Z> � v � � v ��� � � � v 8��� ��S�S� � � � � � � ���> � � v 8��� �8 _� � � � � � t � � � � � ���u � � � � ��� � v � � � ��� �S/ � � v � 8��� � � � � t � � � �� � � ���� &��> � v � v 8��� � � [16]

<�4/� � � : � � � ��� � � �� � � ��� : � � � 1 � ��� � � � � � � t � � �� � � ��� � : � � � � � % � � � % ��� � g % ��� �S� ��� � � � 2 ���E� � � � g % ����/ % � � � � � � � % ���@ � � /� � � � � � � � � � v � � �u � � � � u� � ��/���� g ��� % � � � � � % � � � � g % � � �� �l/ � � � � : � � � � � : �� � � � : � � % � � � g 8����/ � � � � � % ��� �u % � � � g % ��� � � � � � % ����/ � � � � � � 8��� � �S�p/ �� � � � � v % � � �� _� � � � � ���� �� � ��� � � � : �� � � t : 2 � � : � � �K/ �� 2 � � � �� : � v � % � � � � 8� � � � � � � � � � 8� � � � � g � � �� �K/ �� 2 � � � � ��: � � g ��: �9���K/ % � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � g 8� � ��� � �� t � f � t � � � � � �� t � � � [18]

S�W/ ��: �m�1 � % f � � � � t � � �� � � � : � � � �� = �m� �N�K/ �� : �m��E� �� : �m� �:/ �� : � � � � �� � g � �5 � � � � c ��� � � v � c ����/ � � � c ��� � � v c ��� � � ��� � �@,�`� � / c � � � � � � ,� � � / c � � � � � /�+� � : � ���� �: �@�&� : �S� � g � � � � ��� _� � �� � �3= � �� �� � �3= � � � � f � � ��� � � � � : �� �3= � �

v � �� ��� � : � 2: � � � � � � �� �&� �3: � � � � g�� �

� �&� �3: � [19]<�s/J� � � � � �h1 �s/ � � : �q� � � : �P� � � � / � � �S� �� � � � � : : � � � 2 � � = �E�s/

�m �s/ � � � � � : � � g � �� � � � � �

���P� � : �P� � : � � 2 � � � � � � � �s/ � �S� � ��� � : � � : � ��� �q� �: � � 2 _� ��� � � � � ��� � � � +�� � ��� � � � � � � � t � +� � � � � � � / % / � : � * �� v �s/� � � � ���K/ �� � � � :� � +� � � � � : � � � � � �K/ �&� :��� �: � � ��� � : � f � � ��� � �� � � �&� : � f�� ��� � � � � [20]

/ % �+��� � % �u/.��� �P ( �u/.���e ( �+���

[21] �� �u/ �� � � . [22]

K� �ou

� c [23] � � / >"� � / � % . [24] � 2� � / >"� 2� � / � 2� � / � / � �hBA�� � ��� �[26]

<� / �� � � ���� 1 � � /� � � � % � � � � � �p/ % � � � � v � � � � �S� % � � � � ��� � � � � ��� > % � g � ��� � �E� % � � � % ���l/ � � � ���

Page 386: calculo I

386 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

�W/ �� � �m��� 2 g � �� � ��3= � � � �� � : � ��� �: � ��� �� 2 % / % �W>0� � �

�S�K/ � � � � ��� � � � � � v ��� �@> � � v ��� � � v � � v ��� � _�W/V t � � � �@��3: � : � � � � � �W/V � � t � � � � ���P� ��� � : � � � � � � t : � � � �� ��� � � t : � � � � : �� � � � � � � � �� � 2: � � � � � � � ����/ � g � ���q> � � � g � � ��� � v � �+� � � � � = �� : � � = � ��� 2:� � � ��� �2 �@�&�� : ��� � � 2 � : [27]<� ( 1 � � % � � / / �� � � � : � �: �S� � �� � � ��� � �E���"� � � �m� �b/ �� = g �

�� � � � v u� � � � �b/ � � � � �N��� � �J/ �� 2�S� � > � � � � _� Antes de derivar simplique a expressão.

� �+� � � = �m�&/ � : �m���� � : � �&� � � �W/V� � � � � = �P��/ � : �m���&�� � : � ��� � �� � � � � � � ��� � � v � 8��� %`% � � � � � � ���m> � ( � � � v � � 8��� � v � � � � � � �&/ � :�� � � � = � �� � : � �@�&� �:� �K/0� � � � � � ��� � g � ��� % � � � � � ����/ � g � � 8��� ���� � � v � ��� � � � � 8���u � � � � ��� � � � � � � � � 8��� �Z> c � � v � � � � � 8��� � �� �K/ �� : � � v � v 8��� �q> � � � � v 8��� � � � � �+��� � ��� � : � � ���� � 2 � � � [28]

�"� � � = 0 7� � � �m>�� � � 0 0 7� � � � �. [32] i � 5 %

[34]S�K/ � 2 � � > � � � 0

� �@1 �W/ �&� � � � � :� � � � �K/ �+� � : � ��� � : � � � � � � � � � � : � ��� � � : �� 2 � � : �P�+� � : � ��� � � �S� � � � � � � � � � :�E� / � � � � t � � � �P� ��� � � � � � � � � t � � � : � � � t � � +� � � � � � : ���� � � +� � � ��� � � � � � � � � � � � �u � � v ����/ � � � � � � 0 � � [35]

� � / �� ��� [36]/ � /� � [37]<�S�q� 1 ��`� � �S�q� �S� � c > � �� � ,

�E����/ % �q� �Z� � > � � g �S�m� � � � v 7�`� >0�q� � � % �u� /��[38]

S� ( e � ( � c �<1 � % e ( c � � � ( e � � �5���N�� e (`( � � % �4�E����� e � % �"_�S �#� e (`( �)� [40]� ( c ( � � � [41] i)/ � � � � >#� � % � � � � � � � ��� % [42] Aprox.

� ( / � � [43]� ( (`( � � � [44] g � � g [45]

% e � � � � � g [46] � �� � � � � � [47]% � % � � � � � g . [48] Aprox.

� � e � � � � � � � g . [49] % � � � � � � � � � g [51]

% � e � � , � e � � , � e � % e( e � � [52]/.� $ � � �

11.5 Capítulo 5

[1]<� �� 1 � % � � ��� � � � /� �S� - �

[2]<� � � � � �� 1 � ( � � � � �S� - � � � -�

[3] a) Não existe, b) �� , c)�, d)

/.�, e) ( , f) Não existe, g) ( � / c , h) - � >'

, i)

, j) � -� >' , k) ( , l) ( , m)

Não existe , n) Não existe. o)� � � �<�b�,/ �� �_� � �� p)

�J� ( , �J� e� ����f

�� t

[4] a) Cres. em /.�`� � � �*�Y % � > �\� , decres. em

/ ���u/.���9�a � � � % � , b) Cres. em / ���u/ �� �a �� � > �\� , decres.

em / �� � �� � , c) Cres. em

( � > �\� , decres. em / ��� ( � , d) Cres. em

( �^> �Q� , decres. em / ��� ( � , e)

Cres. em �� � � > �\� , decres. em

( � �� � � , f) Cres. em / ��� ( � , decres. em

( � > ��� , g) Cres. em!

, h)Decres. em

!, i) Cres. em

/.�`�^> �Q�, decres. em

/ ���u/.���, j) Cres. em

/ ���u/ % � �V �� �^> �Q� , decres.

em / % � �� � , k) Cres. em

/ ��� / � �� �#� �� �� �^> �Q� , decres. em

/ � �� � � �� � , l) Cres. em / � -� � � -� � , decres / ���u/ � -� � �9 � -� �^> �Q� m) Cres. em

!, n) Dres. em

!o) Cres.

/ ��� ���, decres.

&�`� > �\�, p) Cres. / ��� ( �8�O % � > �\� decres.

( � ���8�O&� � % � .[5] a) Mín. �� , não existe máx. b) Máx

%, não existe mín. c) Mín.

�. máx.

/ � , d) Mín ( , não existe máx. e)Máx

�/ , f) Não existem, g) Mín.

/ �� h) Mín./ %

, máx%, i) Não existem, j) Mín.

/ � � , máx./ %

, k) Mín. ( ,máx

� �� , l) Mín. ( . m) Mín. � % /!�, máx

/ � % / �, n) Mín. ( , máx 5 � % , o) Mín. ( , máx

/ �p) Máx

%, não

existe mín. q) Mín./.�

, não existe máx. r) Mín. 5 �, não existe máx.

[6] a) Inf.�� , côncava para cima em

/ ��� �� � , côncava para baixo em �� � > �\� . b) Inf.

/ �� � % , côncavapara cima em

/ ���u/ �� � �q % �^> �Q� , côncava para baixo em / �� � % � . c) Não existem; côncava para cima

em / �5�^> �Q�

, côncava para baixo em / ��� / �N�

. d) Inf.�� , côncava para cima em

�� �^> �Q� , côncavapara baixo em

/ ��� / �� � . e) Inf. 5 �, côncava para cima em

/ ���u/.��� �Q��`� > �\�, côncava para baixo

em / ���u/.���8�M /.�`� > �\�

. f) Inf./ �

, côncava para cima em / �_� / c �8�O c �^> �Q� , côncava para baixo em / ���u/ �N�

. g) Inf. 5 ��� , concava para cima em

/ ��� / � �� �3� � �� �^> �Q� ;côncava para baixo em / � �� � � �� �

h) Inf./ �

, côncava para cima em / �_� > �\�

, côncava para baixo em / ���u/ � �

. i) Não possui pontos de

inf. côncava para cima em ( � > �\� , côncava para baixo em

/ ��� ( � . j) Inf. ( e 5� �� , côncava para cima

Page 387: calculo I

11.5. CAPÍTULO 5 387

em /.�`� ( � , côncava para baixo em

( � ��� . k) Inf. � �

, côncava para cima em % �/ �`� % _�

, côncava parabaixo em

% �� % �> ���. l) Inf. ( e

%. côncava para cima em

( � % � ; côncava para baixo em / ��� ( ���� % �^> �Q� .

m) Inf. > �� com

� �, côncava para cima em

% s/ �� � % p/ �� � ; côncava para baixo em % s/ �� � % p/ �� � .

n) Não possui pontos de inf. côncava para cima em todo!

.

[7]

1u�

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-8

-6

-4

-2

� �-6 -4 -2 2 4 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

�S�-10 -5 5 10

1

2

3

4

g �1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

�S� -6 -4 -2 2 4 6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

_�-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

� �-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

v � -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

���-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

� �-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

� � -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

� �0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3 � -3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

1.5

2

4 �-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

�s�-3 -2 -1 1 2 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

���0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

0.2

� �-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

I � 0.5 1 1.5 2

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

[8] :�L/ c , [9] a)

��/p�,/,�� f .

[11]

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Exercicios de Otimização

[1] c % 3 e e , [2] Cubo de volume� � 2� 2 , [3]

� 3 e e , [5]� � � - � 2/ � � [6]

��`� ( � , [7]� � �/ � � , [8] � �$� � e � �$� � ,

[9]�� � c , [10]

�� � ( � , [11] Quadrado de lados � , [12] Comprimento de cada cateto

�� � , [13] � � � �� �

-� � � , [14]

�, [15]

� g i �s� � �� , [16] � � � � �. [17]largura

� f � �� , altura� f � �� � [18] largura

�� ��� � , altura

Page 388: calculo I

388 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

� � � � �� �8� � [19]� ( e

/.� ( , [20]� /� e � , [21]

� f :� f : � � : e� � :� f?: � � : [22] a) � � � � � � � : : � � � � � � � � � � � � � �� : � � � :: � � � � � � � � � � � �:� b) � � � / �� / . [23]�9� � . [24] Aprox. aos 20 anos. [25]

� � - � e � � � f- [26] a) � v c �Z/ � v % � , b) a droga é completamenteeliminada. [27]

�3� e % % �[28]

L’Hôpital:

1)/.�

, 2) ( , 3)] ( , 4) ( , 5) ( , 6)�, 7)> �

, 8)�, 9) ( , 10)

�, 11) ( , 12)

�, 13)

� �, 14)

�, 15)

� �, 16) ( , 17)

> �, 18)> �

, 19)� �

, 20)� � �2 , 21)

�� , 22) ( , 23) ( , 24)/ %

, 25)/ �� , 26) ( , 27) ( , 28) t : � t� .

11.6 Capítulo 6

[2] a)�� 8� � /#��� =

�> � b) �� � v 8�

� >�����> � c)�� 8�;>(�`� 2: > � d)

/ �f � 1�/� � > � 2 QG� ( e)�� % 1 � � /' � � ��> �

f)�� � � � >�� > � g)

�� � � � : > � h)

/ �� f � � � f � : > � 2 MG� ( i)�� � �3>D1^� � � 2 : > � 2 1 G� ( j)

t : � � �� > % � v ���m> � k)/ �� � � � � % ���q> � l) � � � � u� � �q> � m)�f � 1Z> � � v �N���q> � 2 G� ( n)

/ � t � � � > � o)

�� � ��>"� � > � p)�� � �2 > � q)�� � � � � v � � �u> � r)

/ �� � � � g ,�"� � � �u> � s)/ ��+� ��� � ��� � � � � : > � t)

/ �� �� : � � � �u> � u) � v � v ��� �u> � v)� f�� � � t � � � > � w)/ � � � � v ��� �`> � x)

% � � v � �K>#� �`> � y)�� &��> � � � : 2 > � z)

� � t � � � � t � � � > � [3] a)% � % � � � � � l�� � �`> � b)

� / � v �� � >��� > � c)�� � �K>#�` �U/ % � > � d)

/ � �U/O� � > � e)% &��> � ���N/ % � v � �4> ��� > � f)

�� � ��>0� �2 ���/<�`� �2 > c � :2 � > �

[4] a)� � �l/ ��� > � b)

% � � � v ���</Y � � / % � � � � ��� > � c)� ��&� � > � d)

� ,�� � - � � t � - � � � ��� � � - � � �- :�m� > � e)

�� �m � � v � v 8��� �_/� � � � v ��� � ��> � f)/ �� � �U/1�`� � >V� � � � � � % ����> � g)

� � � � � t � � � � ��� � � � � t � � � ��&� � t � � � � : > � h)� � : �m��� f

�� ��� � � �� /#�� > � i)�� � � � ��� � g ���_> � v - � � � 8���_> � g 8��� - � �_> � j)

/U�*� � � > � k)� ��� � / ���_> � l)

/ �� � �U/O� � � � > % �_> � . Sugestão:faça 3 ��� � . m)

/U� � � � g 8��� > � v - � � v ��� - � > � n)� � � � 8���q/ � v - � � � ����> � g 8��� - � > � o) � � � 7� ��� � �� � � / �2� ��>� � v 7�E��� � � :� � / �� � � �`> � p) � � v % ��� � =� / � � :� > �� �`> � � � % ���u � � / � �� � > � q)

� � � � /��`� � > � % � � / % �`�4> % �S�`> �r)/ � � � 8� � > �E� � > � � � > � � � � > � �� � > � ��`�U> � s) � � � � ���P � � > % �s/ % � � � v � ��� > � t)

�� � &�W>� � � �� � g � � v � % ��� / % � � ��>��`� � ��> � u)/ � � � � � > �`� � >�� % � � > % � ��> % �N� > � v)

��/ � � � � v 8��� � �U/O� � > � w)� � g ����> � v � � � 8��� ��> � x)�3 � v � 8���`/ c � v

� 8����> � � v ���`/ �N��> � y)� � 2:/ c � v 8���`/ % ��> � z)

�� � 8�Z>���� 2 : c ��/ % ��> �[5] a)

�� 8� � � � > �l>! � g � � v � ��� ��> � b)�� � � v � � �u � � / % �Z> % � � � � � � � � ��> � . Sugestão: use

� � � �. c)� � � � � � v 8��� � > � � v � v 8��� � � > � d)

% � � � � �p/ ��� > � e)% � � v � ���_/ � � � � � � ��� �N> � f)

� � : � =� /:� � > ��� > � .[6] a)

�� � g � ���E> � b)

� � � � � � �� � / c � � � � ��`���`/ % � � � � % ���E>�� � �E> � c)� � / � � t � � � �� � > � d)

/ % � � � � 8��� &��/ � � � � � � 8���E>�/ � � � � ��� �m> � e) � � � 8���m> � v - � � � � � 8����/ � � � g ��� - �m> � f)

/ �� � � � g � % ���q> � g)/ �� � � � g � ���@> � h)

�� f c N�;/c � � � �N��� � � v N���4/ % � � v � � ��� � � � � ��� ��> � 2 DG� ( i)

/ ��� ��� � �� � � v � � ��> �� �Z> � j)��� � � � �� [7] a)

/ � � � � �3:� / � � � � v � � ��> � b)

� � : � /� � � : / �� � � � � g �� � : � / ��> � c)/ � � � � :� � > � d) � v - ��> � � � / �_- � > � e)

�� � v - �� � � � � � � : - � > � f)/ �� � � � � v &�S/p��� / �� 8�P> c � � % �:/ � � > � g)/ � � � � / � : � � :� / � � > � h)

� � �� � � � � �3: > � i)� � � � � > % > � v - �q> � � � > % - � > � j)� �� � � � g M� � �� � � �: � > � k)

� �� � v - ��&� �: � � � �� ��� � : � � � � - � > � l)

� �: � �� � > � m)�� � � : � /� � �3: � / > � n)

�� � � ��>0� � > � � > �� � � � � v 8��� >� o)% � � � >#� > � p) � � � /�� > � v - �m> � � � / � - � > � q)

/ � � : � �� � [8] a)/ ��� � � � �� � � � � � ��� � : � � � > � b)

/ t � � �� � � t � � � � : � � > �c) � v - � � t � � � � � � � t : � � � � �� - �4> � � � � � � v � � � t � � �� �4> � [9] a)

�� � � � � v % � / % �4> � b)/ �� � c �

� /O�K>#�s>� ���� � v - � c �

� / �K>#� > � c �J/ � �� - �Z> � c)�� / / � � � � ��� �� : � � � � � / � � � � � � g � �q� �� � � �Z> � d)

� g � � v � � � � �� � � �Z> � e)

� v % �m/.��> % � � � / �;/ ����> � f)�� � �`� � > c �K>#��> /� � � g ���ov � � � � �� � � > � g)

/ � � � � v % /U��� h)% � c > % �K>"�

� > � g � � v u� � �� � > � i) � � / c �W>"�

� > �� � g � � v � � � � �� � �U> � j) � � � > � �K> c �b/� � g � � v � � � �� �U> � [10] a)�� � � v � � �P� � :� : � � � � � �q> � �� � � � � g u� � �� � �q> � b) � v - � �

�� �m� - ��/ % � � � g 8���q> � c)�� � v �

� > % �q> �� � : �P� � : > � d)�� � v �

� >����/ ��3: �m� > � e)

/ �� /� � � � g ����> � f) � v � � � >#����/ �� � � � g 8����/ �� � �3: �m�&� > � g) � v - �2 � � :� �� � �@�&� : - �4/ �� �m� >

Page 389: calculo I

11.7. CAPÍTULO 7 389

�� � � � � g � � � �� � � > � h)

/ �� �: / � v ��� >�� � v 8�

� > ��� > � i)/ � � ��+� �: � � � � � � / �� � � � g ��> % � > � j)

��> � v - �� �3: �m� - � > �k)�� � � � � �� � � � � �: / ��� � � � g % /"��� ��> � v � /��`�:>Q� � �@> � l) � v - � �m�� � : � � �m� - �@> � �� � � � g � � �m�� � �@> � m)

/ �� � � >�� � 2 / �� / � � � g ���l> � n) �� � v�- �

� /9�M> � - > � � �� � � � g � � � �� � � > � o) � v�- � ��� - > �� � � / �� � � � ��� : > � p)�� � v - � : �

�� : �m� - ��> � q) � v�- � : �� >� � = 2� � - > �/ � / � �� � � � � g � � �E> � r)

�� 7� ��/ �+� � � � � �� : �P� /�� � % � � � g s�� � �E> � v � =� � : �P� � : ��> �s) � v�- � �� �: �P� � �q� � �= - > � �q�� � � : �P� � �P� � > � t)

�� � v�- � :�P� � �m�� : �P� � � � - > � u)

�� � v - � - �u>�^�� / � v - �@><� - ��/ �� � v - ��> � - � > � v) � v - �

� /��� � � � >�� - � >6 � � � g ����> � [11]

<� � � v 8��� � v � � v 8��� � / ����> � 1 � � � t : � � � � � v 7� �E/ ��� > � � � �� � � � � � � >� � � � v � � � > � �S� � � � 2 � � �� > � ��� �� � � v ��� > � � t � � � �� � > � � / �

� � � : � � � 2 : > � g � � g � � v � � � > ��� > �� �

�� 7� � � /0� � � >� � � � � v � �� � � > � � � �� � v � � > c �

� >��N� > � �S� �� � v �� > % ��>��N�N/ � � �� � � � g � �m�� � � >� _� � :� > � v - ��: �m� - �S> � � � � � � � � g � �� � � � ��� �h/ � � � 8���<> � � � �� �m� / ��+� � �@�&� : > � v - �l>�� - �<> �

v � �� � � v % �@/ ���u/ � v % �P> � � ��> � � � � v ��� /�� � v 8�

� > c �^>� � �� � � � g � �� ���^> � ��� % � v �@/ ���^> �� � v �

� >6��� /c � � � g ��� > � � � �� / % � � / c �u �

� > ��� :2 > � � � % � �U/ % � � � g � ��� > � s)�� � � � � v

��� � � � : � � � � � � �: � �� ��� � � � : � � � � � � � : � � � > �t) � v � /����m/ � v % � / ��> � � � > % �:/ % �P> � u)

� � � g � � t � � ���� � � � � � � � t � � � �P> � v) � v - �W> � � v ��� - �m> � w) � v - % >� � v % ��� - �`> � x)/ � % � � � g � � � �� �`> � [12] a)

/ � �� � v � % � g ��� % �`> � % > % �S/ � v / � % � g ��� % �S/ � % > % � �`> �c)� �� � � � g � �� � g 8��� % � �P> � . [14] � �,/ ��� � ��� � �� > � � v ���q> % �K> �� , [15]

� :� f > � �f > � t ��� � � �f � �q> .

11.7 Capítulo 7

[1] Método de substituição:

a)� �� b)

�� c) � v 7� - >����

d) � % /#�e)�� f)

�� � v � :�m�� � g)

� � t ��� �� � � /��h)

�s/ � � �i)% � � / % �

j)�� / � k)

t � � �� l)��/ % � � v % � m)� � n) � � � &���h/ � � � ��E� o) ( p)

�� ���/ ���

q) �� 7� :2 / % :2 � r) - :� s)% ���/ � v % � � t)

% � � � % �h/ � � � c � �u)/ f?2� v) � v �� � w)

�U/ � � � � v % � � x)�� � v

�&� � �� �[2] Método de integração por partes:

a)�p/ % � � �

b)�� � c / % � - � c)

/ � v c � ��� �m���� t : � � � � d)% �3/ �4�!� � �

e) � v &� % � ��/ �� f)�� / % � v % � � g)

�� / � � ��

h)�� > � v ,�S� � i)

�� /��j)�-� > � v � � �

�� � �@� � k)

� � v % �Z/ �� l)/ �� �� - >����

m)/.�

n)% � �

o)�3/ % �

p) / %

q)�� / � v ,�S� � r) - � /��s) � c /

�� � v � ��m�

� � � � � t) ( u)� / ��U/ % � % > � % � v 7� � � v) -� � w)

�� x)

/ �� �[3] a)

� � t ��� �� � � / �b)

� t � � � � � t : � � � c)/ �� d)

�� e) ( f)�� � / � �� � g)

� g ���=v � % ��/# � g ���ov � ���� h)�� � /'� � % /

�3� � � ���ov �� � � i) � v � :2� � j)�� � v �� �Z/ � � k) �� > % � v % �q/ � v �`� l)

�U/ � � � � � g � �� � m)/ �� > � v % � n)

�� � � v � ���� �

o)�� � v c ��> � �/

p)�� � v % �P/ c � � � g c ��> c � � � g % � q) �� / c / 2� �N� r)

% / - � s) � / /� t)%

u)� �� v)

�� / � � v 7� ��/ � v % �@> � � � v c � w)f :� / % � x) -� � � / � � � � � � � � [4] a) 2� � � >#�

b)� � � v ��� c)

� � v ��� d) � � � >#�e)� � � ��>�� � � / � �U/O� �

f)% � � � v 8� � � g)

% � >b� � / c h) � ���� �&� � [5] � ( ��� ����� �

[6] Pontos críticos:� � v .

Se v par v é ponto de mínimo; se v ímpar v é ponto de máximo. [7]S� �� � 1 � %

c)% � v % �q/(�

d) t ��� �� e)�

- f)��/ %

[8] Use<�S� � >'� & � � [10] a) ( , b) ( , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12]

/ %[14]

% � > ��� % � � : � � �@�&� : /"� % � � � : �@�&� : �m�[15] g 0 8��� �

�� � g 0 �� �s� % [16] Use o método de substituição.

%[18]

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Page 390: calculo I

390 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

Áreas

� � � �c

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� % � �%-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

� c � c %

0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

� � � ��

-1 -0.5 0.5 1

-0.1

-0.05

0.05

0.1

� � � �0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� � � 1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� � � c � 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

� � � � � c� % 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.5

5

7.5

10

12.5

15

� � � ( � � / � % � 1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

� � ( � �� % &� � � � � / ���

0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

� � � � % ( -2 2 4 6

1

2

3

4

5

6

� � % � %-2 -1.5 -1 -0.5 0.5

0.5

1

1.5

2

� � c �� �c

-1 1 2 3

2.5

5

7.5

10

12.5

15

� �>��� ���

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

-0.1

0.1

Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:

[1]/� [2] � �� [3]

/� [4]� � �� [5]

�� [6] � �� [7]� � �� [8] � % [9]

�[10]

�� � [11]� �� [12]

�� [13]�3�

[14]�� [15]

% � % / % [16]% � c / % / - � [17]�� [18]

�-> �

[19]/� [20] c � [21]

% �� � / � � � � [22]� /�� � �

[23]� � / �

[24]� �%�� � [25]

%[26]�� ��l> � � � / % � [27]

� �� [28]�

[29]

[30] - � / �[31]

%[32]

/ % � v % � [33] / %

[34]� �� [35]

�� � [36]%

[37]�s/ �� [38]�� �� � % / � �m> � � � [39]

t � � / � � � t � �&/ � [40]� � �� [41]

� � [42]� �� [43]

� ���� � [44]�� [45] � � % ��l/ c � � � [46]� � � �� � �� &�U/ �

� � � [47] � �(�N� �� [48]�-� / � �� [49]

� %[50]

% / �� �Volumes

[1]� �� [2]

��/ �� � [3]�� � [4] - � [5]

� � � -� [6]�&/-/ [7]

�%� -� [8]� -��� [9] - :� [10] -

� � : � ���� [11] � � -� [12] - � �� � / � � � �[13]

� [14]

� � - :� [15]� ���� [16] � -� [17]

�!� [18]

� [19]

� � -� � [20]� � � -� [21]

� � � � -� [22]�-� [23] - � [24] - � �� � /�!� � >��"��> % �

[25]� � �-� � [26] - � [27]

�-� [28]

� �� � [29]� � � � -� � [30]

� � � -�

Comprimento de Arco

[1]� � % � [2]

� �� [3]� �� [4]

� > �� � v �� � [5]� �� [6]

� %[7]

� � [8] � �� [9]� �� [10]

� � �� � � ��/����[11]

� � � � � � �� � [12]� � � � � � �� � [13]/ �/ [14] � �� [15] � v � c � [16] � v % > � c � [17]

/� [18] � v � % >����[19] � �4/ � % > � v

� � �P� � �� �P� � � � [20]

� v 7�4> � � � / ���

Page 391: calculo I

11.8. CAPÍTULO 8 391

Logarítmos

[2] Sugestão: Escreva�� �m� � �U/ 3 > 3

� / ��2� �@� . [5] � v �� e % ��� ( e �� % � e� &� e % � RQ( e (`( ( � . [7]

�b� �.

Trabalho

[1]<� � /%�� � 1 � % � � � �� / �S� � ���� / �E� / % � % g �

�� &�s/ � � � / - � [2]� e [3]

� /�

[4]�

[5]% � % [6]%

[8] Da segunda lei de Coulomb� ��� � � � � :�3: então

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[1] a)%

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[4] a) �:&2( b) Para todo �;& ( c) �;& �d) �:& ( e) � & �

f) �;& �g) Sugestão: Faça

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� �� � � t � � � � � e na segunda integral faça�a� / �

. Utilizelimites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprópias. ��+ �[6]

a� ���� [7] Utilize que a função��� �l� ��� � � �

é par. a� / %

[9] � & <�l� �� �f �8����� �

, � + <�l�� f� � �8����� � [10] a)

�)�b) c ( �

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392 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

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