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* Bolsista de Mestrado CAPES
Comportamento Dinâmico Não-Linear de um Sistema “Mono-
Pendular Invertido”, Modelado Matematicamente com Atuação
Externa de uma Fonte de Energia de Potência Limitada
Carlos E. Marques*
Depto de Engenharia Mecânica, FEB, UNESP
17033-360, Bauru, SP
E-mail: [email protected]
José M. Balthazar
Depto de Estatística, Matemática Aplicada e Computação, IGCE, UNESP
13506-900, Rio Claro, SP
E-mail: [email protected]
Bento R. Pontes Jr.
Depto de Engenharia Mecânica, FEB, UNESP
17033-360, Bauru, SP
E-mail: [email protected]
Jorge L. P. Felix
Universidade Federal do Pampa, Depto de Matemática
96413-170, Campus Bagé, Bagé - RS
E-mail: [email protected]
Angelo Marcelo Tusset
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Depto de Engenharia Mecânica
84019-919, Ponta Grossa, PR
E-mail: [email protected]
RESUMO
A procura por fontes de energia sempre foi mais que primazia para as civilizações, foi e é
uma necessidade básica da sociedade humana, que impulsionada por guerras e revoluções
industriais, sempre viveu uma necessidade crescente de energia, mas nenhuma delas é tão
amplamente utilizada no mundo, quanto o petróleo e seus derivados.
A busca por petróleo transcendeu então as barreiras continentais e estendeu-se para o
oceano. Frente a esse novo panorama, a engenharia naval obrigou-se a desenvolver navios
petroleiros e navios perfuradores de petróleo, e ao analisar os equipamentos instalados no navio
perfurador, constatou-se que a plataforma da perfuratriz que está acoplada ao deck, apresenta
características vibratórias que causam grandes prejuízos às companhias de petróleo, sejam eles
na forma de quebras de brocas e eixos, danos estruturais à torre de perfuração ou até mesmo
acidentes com trabalhadores, entre outros.
Sendo assim, na tentativa de entender melhor o comportamento dinâmico envolvido na
extração de petróleo efetuada por navios perfuradores, Xu et al. 2007, bem como Lee 2007,
criaram modelos matemáticos para tal, em contrapartida a modelagem matemática proposta por
Balthazar et al. 2010 e Balthazar et al. 2011 torna o estudo mais próximo do real, dada a riqueza
de características dinâmicas consideradas. Na modelagem feita por Xu et al 2007, um pêndulo
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ISSN 1984-8218
* Bolsista de Mestrado CAPES
invertido é posicionado em cima de um “Shaker” e não há movimentação no eixo horizontal, ao
passo que Lee 2007, apenas considera uma massa suspensa por uma mola na vertical e
estabilizada por um conjunto de molas na horizontal, onde nesse bloco suspenso tem-se dois
pêndulos simples fixados em sua base, considera-se o movimento do bloco nos eixos horizontal
e vertical. O modelo matemático adotado para este trabalho é novo, pois considera aspectos
relevantes de ambos os trabalhos, colocando-os em um único modelo, concebido na forma de
um sistema “mono-pendular invertido”, estabilizado por mola torcional não-linear, fixado em
uma plataforma suspensa por molas também não-lineares e excitado por uma fonte de energia
de potência limitada, na forma de uma força harmônica. A parte elétrica do MED (Motor
Eletrodinâmico) consiste de um resistor R , um indutor L , um condensador 0C e uma fonte de
tensão senoidal, conectados em série. O acoplamento entre o PPS (Plataforma Pendular
Suspensa) e o MED (Motor Eletrodinâmico) é através de uma força eletromagnética, devido a
um ímã permanente, criando uma força de Laplace na parte mecânica e a tensão eletromotriz de
Lenz na parte elétrica.
Os resultados obtidos através do uso de simulações numéricas são novos em relação aos
obtidos por Xu et al 2007, e Lee 2007, principalmente no que se referem à transferência de
energia entre o pêndulo e o “shaker” e mostram influências das condições iniciais do suporte,
além de evidenciar a característica do fenômeno não-ideal, que pode ser visualizada através da
busca por soluções quasi-periódicas (Balthazar et al., 2003). Os efeitos da não linearidade
cúbica também se mostram presentes, bem como o efeito do amortecimento que deve ocasionar
transferência de energia entre o “shaker” e o pêndulo e por fim a presença de caos no sistema
em estudo.
Palavras-Chave: Vibrações Mecânicas, Pêndulo Invertido, Modelagem Matemática, Não-
linearidades, Caos
Referências
[1] J.M. Balthazar e J.L.P. Felix em: Revisited Nonlinear Non-ideal Vibrations. In: Vibration
Problems ICOVP(Supplement), Technical University of Liberec, Prague, Czech Public,
pp.84-89, 2011.
[2] J.M. Balthazar, J.L.P. Felix e R.M.L.R.F. Brasil, em “On an Energy Transfer and Nonlinear,
Non-Ideal and Chaotic Dynamics of a Macro Tuning Fork Beam (TFB, Under an Electro-
Dynamical Shaker Excitation (EDS)” - Pan-American Congress of Applied Mechanics,
Foz do Iguaçu, PR – Brasil, 2010.
[3] J.M. Balthazar, D.T. Mook, H.I.Weber, R.M.L.R.F. Brasil, A. Fenili, D. Belato e J.L.P.
Felix, em: An overview on Non-Ideal vibrations with limited power supply - Mecannica
V.38, pp.613-621, 2003.
[4] Y. Lee, “A Study of Parametric Excitation Applied to a MEMS Tuning Fork Gyroscope”,
Tese de Doutorado, Faculty of the Graduate School – University of Missouri – Columbia,
2007.
[5] X. Xu, E. Pavlosvskaia, M. Wiercigroch, F. Romeo, S. Lenci em: Dynamic Interactions
Between Parametric Pendulum and electro-dynamical shaker – ZAMM, 87, nº2, pp. 172-
186, 2007.
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