LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS

Professor Marcelo Renato

1) (Fuvest-SP) Em um vestibular Fuvest exigia-se dos candidatos à carreira de Administração a nota mínima 3,0 em Matemática e em Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em Matemática e 76 candidatos foram eliminados em Redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados apenas em Redação?

a) 25 b) 143 c) 32 d) 44 e) 99 2) (UFSC modificada) Numa escola com 1030 alunos, foi feita uma pesquisa. Cada aluno poderia optar por até

duas áreas de estudo. A tabela seguinte indica o resultado: O número de alunos que optaram somente pela área Y foi:

a) 250 b) 200 c) 150 d) 100 e) 50

Área Optantes X ........... 598 Y ........... 600 Z ........... 582

X e Y ........... 250 Y e Z ........... 300 X e Z ........... 200

3) (Fuvest-SP) Sendo A = { 2, 3, 5, 6, 9, 13 } e }baeAb,Aa|a{B b ≠∈∈= , o número de elementos de B que são números pares é:

a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13

Resolução:

43421 44x175219x

=−=

Alternativa d.

Resolução:

43421 50x550600x

)300250()Y(nx

=−=

+−=

Alternativa e.

Resolução: IMPORTANTE: “a” tem que ser “par” para a

b ser par também.

⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒∈⇒=

⇒∈⇒=

⎩⎨⎧

∈⇒=∈⇒=

elementos5}6,6,6,6,6{a6a:2Caso

elementos5}2,2,2,2,2{a2a:1Caso

}13,9,5,3,2{b6ase}13,9,6,5,3{b2ase

139532b

139653b

Conclusão: total de 10 elementos. Alternativa c.

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 4) (PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de

samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock? a) 800 pessoas b) 730 pessoas c) 670 pessoas d) 560 pessoas e) 430 pessoas 5) (FCMSC-SP) Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68

receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?

a) 11 b) 18 c) 22 d) 23 e) 46 6) (U. Uberaba-MG) Em uma pesquisa realizada em um colégio sobre o gosto musical dos alunos, foram feitas

duas perguntas: Você gosta de rock? Você gosta de música clássica? Após a tabulação, foram obtidos os seguintes resultados:

Com base nesses dados, determine o número de alunos consultados. a) 540 b) 544 c) 444 d) 412 e) 284

Número de alunos

Rock 458 Música clássica 112

Ambos 62 Nenhum 36

7) (Unifor-CE) Dois clubes X e Y possuem um total de 3.000 sócios. Sabe-se que 1.850 são sócios de X e 2.500

são sócios de Y. O número de sócios de X que não são sócios de Y é: a) 350 b) 500 c) 1.150 d) 1.350 e) 1.500

Resolução:

43421 430x370800x

)17013070(800x

=−=

++−=

Alternativa e.

Resolução:

46x72x118

)SASB(nx)SA(n)SB(n

)1284(5068

==−

∪=−+

−44 344 214342143421

Alternativa e.

Resolução:

44 344 21

321

544)U(n

3650)R(n)U(n?)U(n

458

=

++==

Alternativa b.

Resolução:

43421 500x50020003x

)Y(n)YX(nx

=−=

−∪=

Alternativa b.

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 8) (FGV-SP) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em

relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:

210 pessoas compram o produto A; 100 pessoas não compram nenhum dos três produtos; 210 pessoas compram o produto B; 60 pessoas compram os produtos A e B; 250 pessoas compram o produto C; 70 pessoas compram os produtos A e C; 20 pessoas compram os três produtos;

50 pessoas compram os produtos B e C; Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510 9) (FGV-SP) No problema anterior, calcule quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B;

apenas o produto C. a) 210, 210, 250 b) 150, 150, 180 c) 100, 120, 150 d) 120, 140, 170 e) 120, 150, 150 10) (UFMG) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos

um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês matricularam-se 22 alunos; e em inglês:

a) 9 alunos b) 23 alunos c) 32 alunos d) 35 alunos e) 36 alunos

Resolução:

44 344 21

321

610)U(n100)300(210)U(n

100)15030120()A(n)U(n?)U(n

210

=++=

++++==

Alternativa d.

Resolução: Respectivamente: 100, 120 e 150. Alternativa c.

Resolução:

443442136)I(n

945)I(n9)FI(n)I(n

=−=

−∪=

Alternativa e.

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 11) (USP-SP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 Resolução:

Considerando os conjuntos M (dias de chuva pela manhã), T (dias de chuva à tarde) , U (dias de férias) e as variáveis x = n(M), y = n(T) e “z” representando o número de dias que não chove nem pela manhã nem pela tarde, o cálculo de n(U) = n será:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

)3(...6zy)2(...5zx)1(...7yx

Foi pedido n(U) = x + y + z Fazendo-se ( 2 ) – ( 3 ): x – y = – 1 ... ( 4 )

Resolvendo o sistema ⎩⎨⎧

−=−=+

1yx7yx

Encontramos x = 3 e y = 4.

Em ( 2 ): z = 5 – x ⇒ z = 2 Assim, n(U) = 3 + 4 + 2 ⇒ n(U) = 9

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 12) (TERRA) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número

de pessoas que gostavam de B era:

I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.

Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37 Resolução: Cuidado!

As pessoas que não gostavam dos dois produtos correspondem ao total ( a + b + c ), ou seja, somente a quantidade “d” de pessoas gostavam dos dois produtos.

Em outras palavras, a quantidade de pessoas que não gostavam dos dois produtos será ( 52 – d ). Assim, pelos dados do enunciado e pela nomenclatura utilizada no diagrama de Venn:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=++⋅=+

=+

)4(......52dcba

)3(..............2/cbd)2(.....)da(2bd)1(................d4bd

Na equação ( 4 ), a quantidade procurada a + b + c = 52 – d ; Vamos procurar a quantidade “d” resolvendo o sistema acima: Em ( 1 ): )A1(......d3b 43421= ;

Fazendo-se ( 1 ) → ( 2 ): )A2(......dad2a2d4 321=⇒+= ;

Fazendo-se ( 1 ) → ( 3 ): )A3(......d8c2/cd4 43421=⇒= ;

Substituindo-se (1A), (2A) e (3A) em ( 4 ):

434214d52d13

52d)d8()d3()d(52dcba=⇒=

=+++⇒=+++

Conclusão: a + b + c = 52 – d ⇒ 44 344 21 48cba452cba =++⇒−=++

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 13) (UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador.

Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 Resolução: Maneira 1:

Foi pedido ?)SPMA(n =∪ Pelas informações do enunciado e pelo respectivo preenchimento de dados do diagrama de Venn:

444 3444 2129)SPMA(n

133211)SPMA(n=∪

+++=∪

Maneira 2:

Foi pedido ?)SPMA(n =∪ Pelas informações do enunciado e pelo respectivo preenchimento de dados do diagrama de Venn:

444 3444 2129)SPMA(n

31616)SPMA(n)3()SP(n)MA(n)SPMA(n

=∪−+=∪

−+=∪

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 14) (PUC-SP) Se A = ∅ e B = {∅ }, então: a) A ∈ B b) A ∪ B = ∅ c) A = B d) A ∩ B = B e) B ⊂ A Resolução: Atenção:

Informação-1: “∅” é o único elemento do conjunto B (encontra-se entre chaves); Informação-2: Sabemos, também, que “∅” (conjunto vazio) é subconjunto de qualquer conjunto;

Analise das alternativas:

a) Como A é o conjunto vazio e o único elemento de , pela informação-1, A ∈ B (verdadeira); b) A ∪ B = ∅ (somente se A = B = ∅ ), entretanto, A ∪ B = B ( pois ∅ ∪ { ∅ } = { ∅ } ) c) A ⊂ B (informação-2) d) A ∩ B = B é impossível pois A é vazio B não é vazio, assim, A ∩ B = ∅ e) Impossível pois A = ∅ e B é um conjunto unitário

15) (FGV-SP) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B é 30, o número de elementos de

A ∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ B ∩ C é 15. Então o número de elementos de A ∩ (B ∪ C) é igual a:

a)35 b)15 c)50 d)45 e)20 Resolução:

16) (TERRA) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto

A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5 Resolução: Se a = b = 0 ⇒ A = { 0, { 0 } } ............... 2 elementos

Se a = b ⇒ A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } ..... 5 elementos

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 17) (FGV-SP) Considere as afirmações a respeito da parte em destaque do diagrama seguinte:

I) )CB(A ∪∩

II) )CB(A ∩∩

III) )CB(A ∪∩

IV) )CB(A ∩∩

A(s) Afirmação(ões) correta(s) é(são):

a) I b) III c) I e IV d) II e III e) II e IV

Resolução:

Este tipo de questão é facilmente resolvido utilizando-se de elementos exemplos para os conjuntos envolvidos, da seguinte forma: (1º passo)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

}6,5,4,3{Ce}7,6,3,2{B

;}4,3,2,1{A;}8,7,6,5,4,3,2,1{U

2º passo: Verificar as afirmações presentes no enunciado, uma a uma, da seguinte forma:

I) ⇒∪∩ )CB(A }8,7,5,4,2,1{}4,3,2,1{)CB(A

)}8,7,2,1{}8,5,4,1{(}4,3,2,1{

CB

∩=∪∩

∪∩4342143421

44444 344444 21}4,2,1{)CB(A =∪∩

II) ⇒∩∩ )CB(A

VERDADEIRA }8,1{}4,3,2,1{)CB(A

)}8,7,2,1{}8,5,4,1{(}4,3,2,1{

CB

∩=∩∩

∩∩4342143421

444 3444 21}1{)CB(A =∩∩

III) ⇒∪∩ )CB(A

VERDADEIRA }8,1{}4,3,2,1{)CB(A

}8,1{CB

}7,6,5,4,3,2{CBe}4,3,2,1{A

∩=∪∩

=∪

=∪=

444 3444 21}1{)CB(A =∪∩

IV) ⇒∩∩ )CB(A

4444 34444 21}2,1{)CB(A

}8,7,5,4,2,1{}4,3,2,1{)CB(A

}8,7,5,4,2,1{CB

}6,3{CBe}4,3,2,1{A

=∩∩

∩=∩∩

=∩

=∩=

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 18) (IBMEC-SP modificada) Pesquisa feita, com 500 pessoas, sobre os refrigerantes das marcas A, B, C, concluiu

que: 84 dos entrevistados não compram nenhuma dessas três marcas; 108 só compram a marca A, 96 só a B e 62 só a C; 73 dessas pessoas compram A e B, 66 compram A e C e 31 compram B e C, mas não compram o da marca A. O total de entrevistados que compram as três marcas citadas é?

a) 25 b) 24 c) 20 d) 21 e) 19

Resolução: Seja x o total dos entrevistados que compram A, B e C;

Se 73 compram A e B, ( 73 – x ) compram A e B e não compram C; Se 66 compram A e C, ( 66 – x ) compram A e C e não compram B;

Como o total de pessoas entrevistadas foi 500, temos:

321 20x500x520

500)x73(x)x66(31629610884

==−

=−++−+++++

19) (AMAN-RJ 2004) Sendo X e Y subconjuntos de A, considere as seguintes afirmações:

1. Se ∅=XAC , então A = X.

2. Se A = X e YX ≠ , então Y)YA()XY( =−∩∩ . 3. Se X e Y são disjuntos, então AYX ⊄∩ .

4. YA

XA

)YX(A CCC ∪=∩

5. Se YXA ⊃⊃ , então AYX =∪ .

Associe peso 1 (um) às afirmações verdadeiras e, 2 (dois) às falsas. Multiplique o número da afirmação pelo respectivo peso e some todos os produtos assim obtidos. O valor encontrado é:

a) 23 b) 22 c) 20 d) 25 e) 29

Resolução: Verificando cada afirmação através de exemplos:

1. Se A = { 1, 2 } e X = { 1, 2 } , realmente ∅=XAC . VERDADEIRA.

2. Se A = { 1, 2, 3 }, X = { 1, 2 } e Y = { 3 }, {

Y}2,1{

)YA()XY(≠∅

∅=−∩∩ 321321 . O enunciado dado está FALSO.

3. Se X = { 1 }, Y = { 1, 2 } e A = { 1, 2, 3 }, AYX}1{

⊂∩321 . O enunciado dado está FALSO.

4. Se A = { 1, 2, 3 }, X = { 1, 2 } e Y = { 2 ),

{ { 321444 3444 21

)YX(AC)3,1{

YA

}3{

XA

)YX(A }3,1{CC,}3,1{C},2{YX

∩

∩ =∪==∩ VERDADEIRA.

5. Se A = { 1, 2, 3 }, X = { 1, 2 } e Y = { 2 ) 43421A

}2,1{YX

≠

=∪⇒ , O enunciado dado está FALSO.

Resposta: 4342144444444444 344444444444 2125Total)2()5()1()4()2()3()2()2()1()1(Total

PONTOSDOSPONDERAÇÃO

=⇒⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

LISTA DE EXERCÍCIOS – CONJUNTOS 20. (UFC 2003) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de

subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto NM ∪ é:

a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de M. Resolução:

Considerando n(M) o número de elementos do conjunto M, n(N) o do conjunto N e 1)NM(n =∩ o número de elementos da intersecção dos conjuntos M e N:

Considerando, também, y)N(nex)M(N == , teremos que:

o número de subconjuntos de M é x2 e o número de subconjuntos de N e y2

434211yx22222 1yxyx +=⇒=⇒⋅= +

Assim, como sabemos que:

444 3444 21y2)NM(n

1y)1y()NM(n1yx)NM(n

)NM(n)N(n)M(n)NM(n

=∪−++=∪

−+=∪∩−+=∪

Extra.(Mack-SP 2005 adaptada) Em uma eleição para prefeito de Iconha-ES, com dois candidatos, A (Lelinho Lá)

e B (AidiMin-e-diti) , uma pesquisa mostra que 40% dos eleitores votarão no candidato A e 35% em B. Os 35.000 eleitores restantes estão indecisos. Para A vencer, necessita de, pelo menos, 50% dos votos mais um. Logo, ele precisa conquistar “ k ” votos ( *INk ∈ ) entre os indecisos. O menor valor de “ k ” é:

a) 10.201 b) 14.001 c) 17.501 d) 20.001 e) 12.101 Resolução: Seja x a quantidade de eleitores.

0,40.x + 0,35.x + 35 000 = x x – 0,75.x = 35 000 0,25.x = 35 000 x = 140 000

Para o candidato A (Lelinho lá) vencer, ele precisa de 50% − 40% = 10% do total de votos mais um, isto é:

444 3444 21.votos00114k1)000140(1,0k1x1,0k =⇒+⋅=⇒+⋅=

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