Embed Size (px)
Citation preview
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 20
08
Versão On-line ISBN 978-85-8015-039-1Cadernos PDE
VOLU
ME I
1
CONTRIBUIÇÕES DA GEOMETRIA PLANA NO APRENDIZADO DE MATEMÁTICA
LENOAR ELOI CARARO 1 JOSE RICARDO SOUZA2
RESUMO
A finalidade deste trabalho é verificar as possibilidades de contribuição que o estudo da
geometria plana trás para o aprendizado da matemática. A proposta é usar o tangram,
com seu conjunto de peças, para desenvolver atividades relativas à geometria plana e,
posteriormente, utilizá-los como instrumento para o aprendizado de matemática. O
tangram, segundo a história é oriundo da China e há muitas lendas que tentam contar a
sua milenar origem. É um interessante material de apoio que ajuda no desenvolvimento
do raciocínio geométrico, da criatividade e da lógica. O trabalho foi desenvolvido com
uma turma de 34 alunos, da sexta série, durante 24 horas/aula. Com o auxilio do
tangram, procuramos explorar conceitos de geometria durante a construção do quebra
cabeças e, posteriormente, conceitos matemáticos, ao efetuar cálculos com as medidas
obtidas das figuras construídas. Propomos a atividade em pequenos grupos de alunos
possibilitando que estes, ao manusear as peças do jogo, percebam, representem,
construam e concebam formas geométricas, além de explorar as relações entre geometria
e os conceitos matemáticos, a fim de realizar cálculos sem necessariamente iniciar com
fórmulas matemáticas. Procuramos trabalhar a geometria e a álgebra de forma integrada
e os resultados obtidos deixam claro a importância e a necessidade de explorar melhor o
estudo da geometria para facilitar o entendimento da matemática. Pretendemos mostrar
algumas possibilidades de trabalho em sala de aula a partir deste material.
Palavras-chave: geometria plana, tangram, aprendizado matemático
1 Professor PDE, formado em Ciências com Habilitação em Biologia pelo Centro Pastoral, Educacional e Assistencial “Dom Carlos” – CPEA, Faculdades Reunidas de administração, Ciências Contábeis e Ciências Econômicas de Palmas – FACEPAL e pós-graduado em Ciências Morfofisiológicas, pela Universidade estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE). E-mail: [email protected] 2 Orientador: Professor Doutor em matemática da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE) . E-mail: [email protected]
2
ABSTRACT
The purpose of this study is to examine the potential contributions that the study of plane
geometry back to the learning of mathematics. The proposal is to use the tangram, with
its set of parts, to develop activities related to the plane geometry and then use them as a
tool for learning mathematics. The tangram, the story comes from China and there are
many legends that try to tell their ancient origin. It is an interesting supporting material
to aid in the development of geometric reasoning, creativity and logic. The study was
conducted with a group of 34 students, sixth grade, for 24 class hours. With the help of
the tangram, we explore concepts of geometry during construction of the puzzle and then
mathematical concepts to perform calculations with the measurements obtained the
figures constructed. We consider the activity in small groups of students enabling them,
to handle parts of the game, understand, represent, build and design shapes as well as
explore the relationship between geometry and mathematical concepts in order to
perform calculations without necessarily start with mathematical formulas. We strive to
operate the geometry and algebra in an integrated manner and the results make clear the
importance and need to further explore the study of geometry to facilitate the
understanding of mathematics. We want to show some possibilities of work in the
classroom from this material.
Keywords: plane geometry, tangram, learning math
INTRODUÇÃO
A geometria plana consta nos Parâmetros Curriculares Nacionais e nas Diretrizes
Curriculares Estaduais – DCE, documentos que balizam a atuação dos professores. A
geometria é importante na construção de conceitos matemáticos e, mesmo sendo
estudada há tanto tempo, sofre alterações e avanços. Sabemos que a geometria é uma das
ciências mais antigas e que sua origem é contada de várias formas. O famoso historiador
grego, Heródoto, do Século V a.C. disse:
“Esse faraó (Sesótris) realizou a partilha das terras, concedendo a cada egípcio uma porção igual, com a condição de ser-lhe pago todos os
3
anos certo tributo; se o rio carregava alguma parte do lote de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o ocorrido. O soberano enviava agrimensores para o local, para determinar a redução sofrida pelo terreno, passando o proprietário a pagar um tributo proporcional ao que restara. Eis, ao que me parece, a origem da geometria, que teria passado do Egito para a Grécia”. (Garbi, 2007, pág. 12)
A origem provável da geometria seja a medição de terrenos, usada na época para
repartir as terras em partes iguais, para posterior cobrança de impostos.
A proposta deste trabalho é aproveitar toda a história da criação da geometria,
utilizar toda a riqueza da história da matemática com seus aspectos culturais para pensar
estratégias que tornem o aprendizado de matemática significativa, que o aluno tenha
participação efetiva, de forma que o ensinar seja um processo de aquisição e de
construção de conhecimento e não um simples repassar de informações.
Embora a geometria plana esteja contemplada nas DCE do Estado do Paraná, e
faça parte dos currículos escolares, ainda precisamos avançar na recuperação deste
conteúdo. Construções geométricas propiciam a descoberta de valiosas idéias que
auxiliam a compreensão das propriedades geométricas (IMENES E LELLIS, 2001).
Ainda, segundo o autor, a construção geométrica desenvolve o senso estético, as
habilidades motoras, além de ser agradáveis para os alunos. Ainda assim, percebemos
que os tópicos de geometria acabam ficando para o final do período letivo, ou
trabalhados de forma superficial, por muitos professores. Neste momento vamos centrar
a discussão em torno das possibilidades da geometria no aprendizado da matemática.
Essa discussão iniciou na elaboração de um projeto inicial para participar do
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que faz parte do programa de
formação continuada da Secretaria de estado da Educação do Paraná. Pretendemos com
este trabalho, usar a geometria como mais uma ferramenta para demonstrar a
importância e as possibilidades de contribuição da geometria no aprendizado da
matemática, dinamizar as aulas, possibilitando o desenvolvimento integrado e
harmonioso do educando para que este possa lidar com as mais diversas situações de
modo crítico e reflexivo, trabalhar com a geometria visando o entendimento de figuras
planas e as relações entre as formas geométricas e desafiar o aluno a organizar e
demonstrar conceitos matemáticos a forma de pensar e efetuar seus registros. A
preocupação de trabalhar a geometria e a álgebra de forma integrada com certeza é um
desafio, maior ainda é propor que o aluno tenha participação ativa, que ele construa seu
conhecimento. Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno, instigando-o a
refletir, investigar e descobrir, contribuindo assim para um melhor aprendizado da
4
matemática. Utilizamos o tangram como material pedagógico de referência para este
trabalho.
Sobre o tangram, há muitas lendas que tentam contar a história da sua milenar
origem. O certo é que se trata de um quadrado composto por sete figuras geométricas:
cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo que permitem a formação das mais
diversas figuras, o desenvolvimento da criatividade, raciocínio e capacidade lógica do
jogador. O tangram como material de ensino de geometria, auxilia, tem dupla função,
serve de meio para introduzir algumas noções e relações geométricas e desenvolve
habilidades de percepção espacial (SMOLE, 2003, p. 97). Pretendemos mostrar algumas
possibilidades de trabalho em sala de aula a partir deste material. As atividades foram
propostas a alunos da sexta série, mas podem ser modificadas e adaptadas para alunos de
outras séries.
O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que faz parte do programa
de formação continuada da Secretaria de Estado da Educação – SEED, nesta que é a
segunda turma, selecionada através de uma prova de conhecimentos específicos de
matemática, de conhecimentos gerais e de língua portuguesa, aplicada pela Universidade
Estadual de Londrina – UEL, foi distribuído em quatro semestres. Nos dois primeiros
semestres, em 2008, o professor ficou liberado cem por cento de suas atividades
escolares, nos dois semestres finais, em 2009, o professor fica liberado vinte e cinco por
cento de suas atividades escolares. Neste espaço de tempo, cada professor participante
do PDE, com a orientação de um professor da universidade, precisa desenvolver
determinadas atividades, entre elas destacamos:
1 - Elaboração de um plano de trabalho:
A elaboração do plano de trabalho docente, também denominado de projeto
inicial, ocorreu durante o primeiro semestre de participação no Programa de
desenvolvimento Educacional – PDE, sob a orientação de um professor da Universidade
e levando em conta uma problemática educacional levantada pelo professor participante,
na escola onde atua ou desenvolve suas atividades. Este plano de trabalho pode ser
traduzido assim:
Titulo
Problematização
Fundamentação teórica
Desenvolvimento
5
Cronograma
Referências
2 - Estudos Orientados:
Durante os dois primeiros semestres de participação no Programa de
Desenvolvimento Educacional - PDE aconteceram vários estudos sobre a forma de
cursos específicos de matemática, na área de educação matemática, na área da educação,
seminários temáticos e participação em atividades acadêmicas. Estas atividades de
formação, solicitadas pela gestão do programa, foram realizadas pelas universidades
públicas que atuam no estado do Paraná, parceiras do PDE.
3 - Produção didático-pedagógica:
No segundo semestre, após a conclusão do plano de trabalho, a tarefa era
produzir um material didático para ser utilizado na escola quando da aplicação do
projeto na tentativa de sanar a problemática apresentada no projeto inicial. Para a
aplicação neste projeto foi produzido um Objeto de Aprendizagem Colaborativa – OAC,
que está de acordo com as orientações da Secretaria de Estado da Educação – SEED e
avalizados pelo professor orientador, da universidade.
4 - Grupo de trabalho em rede: GTR:
No segundo e terceiro semestre deste programa de capacitação, o grupo de
trabalho em rede – GTR, que consiste em uma forma de disseminar os materiais
produzidos pelos professores PDE para toda a rede de educação paranaense. O GTR, é
uma reunião dos professores da mesma disciplina afim de discutir, via rede de
computadores, o trabalho do professor PDE. Após a elaboração do plano de trabalho,
passou-se a etapa de socialização dos trabalhos realizados. Durante o período de
produção de um material didático e da aplicação do projeto, cada professor participante
do PDE, apresentava, via on-line, através de plataforma, para seus pares, a projeto
elaborado e o material didático produzido, a fim de obter colaborações dos outros
professores, bem como servir de sugestões para os professores utilizarem em suas
escolas. Os professores participantes inscreveram-se espontaneamente.
5 - Implementação da proposta na escola:
6
O terceiro semestre de participação no PDE foi destinado à implementação da
proposta na escola onde o professor atua. A partir do plano de trabalho e a produção
didático-pedagógica elaborada no primeiro ano de participação no programa. A idéia é
por em prática os conhecimentos adquiridos e os projetos elaborados afim de tentar
sanar a problemática apresentada inicialmente. Esta proposta foi aplicada a alunos de 6ª
série da Escola Estadual da Cango – Ensino Fundamental, de Francisco Beltrão, nos
meses de maio e junho de 2009. A coordenação escolar e a direção da escola, além de
prestar total apoio à implementação, acompanharam as atividades desenvolvidas, dentro
de suas possibilidades.
6 – Trabalho Final
Neste último semestre de participação no PDE, o tempo reservado para a
produção escrita do professor. Descrevemos aqui nossa intervenção pedagógica na
escola, os relatos bibliográficos e os resultados obtidos durante a aplicação do projeto.
Este projeto foi desenvolvido com uma turma de alunos da 6ª série, turno matutino, da
Escola estadual da Cango – Ensino Fundamental, localizada na zona urbana de
Francisco Beltrão, durante 24 horas/aula nos meses de maio e junho de 2009.
REFERENCIAL TEÓRICO
A geometria é um instrumento que permite a percepção e a visualização do
espaço, é importante também para desenvolver habilidades em outras áreas do
conhecimento, têm muitas aplicações no mundo real, é rica em possibilidades para fazer
explorações, representações e construções, leva o aluno a investigar, descrever e
perceber propriedades, pré-requisitos estes importantes no desenvolvimento da atitude
científica e na elaboração de uma linguagem escrita clara e sucinta, envolvendo vários
conceitos aprendidos. Mesmo tendo presente toda a grandeza da geometria como auxilio
no desenvolvimento cognitivo e motor do nosso aluno, é tratada com indiferença por
muitos professores. Segundo Sérgio Lorenzato:
“ Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em matemática (por exemplo: algoritmos, medições, valor posicional, séries, seqüências...) como na leitura e escrita”. Ela é uma das melhores oportunidades para aprender a matematizar a realidade, já que as descobertas feitas pelos
7
próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes. (Lorenzato, nº 4, 1º semestre de 1998)
A geometria permite este trabalho com material concreto, pois associa conceitos
matemáticos com a representação necessária para visualizar e manusear, condição
essencial para se entender a matemática.
A geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos,
contudo, é certo que civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza
geométrica, da Babilônia à China, passando pelas civilizações Hindu. Em tempos
remotos, a geometria era uma ciência empírica, uma coleção de regras práticas para
obter resultados aproximados. Apesar disso, estes conhecimentos foram utilizados nas
construções das pirâmides e templos Babilônios e Egípcios. O antigo Egito é um dos
primórdios da geometria como ciência. Segundo Garbi, (2007), “alguns documentos que
chegam até nós mostram que no começo do segundo milênio a.C., o nível de
conhecimentos egípcios já era bastante elevado”. Muitos dos conhecimentos que temos
hoje se baseiam em tais documentos, os papiros, entre os quais podemos citar o papiro
de Rhind e o papiro de Moscou.
Mas é, sem dúvida, com os gregos, baseados nos conhecimentos anteriores, que a
geometria é estabelecida como teoria dedutiva. Estes, procuraram encontrar
demonstrações que pudessem representar o espaço, isso veio a ser denominado de
geometria (medida da terra). O inicio dessa teorização parece se dar com Tales de Mileto
e continuar com Pitágoras. Mais tarde, Platão interessa-se muito pela matemática, em
especial pela geometria, evidenciando a necessidade de demonstrações rigorosas
dedutivas.
Por volta do Século III antes de Cristo, Euclides produziu a memorável obra
denominada “Elementos”, onde estão registrados os princípios da geometria e o futuro
desenvolvimento da mesma. Esta obra contribui a mais de vinte Séculos para o
progresso das ciências, servindo de base para toda a geometria chamada euclidiana.
Existem tantos outros nomes que poderíamos citar, de igual importância para o estudo da
matemática na Grécia antiga que é onde encontramos o manancial para o estudo da
geometria. O trabalho de Euclides, portanto, foi de fundamental importância para o
desenvolvimento da geometria dedutiva, por se configurar em um tratado teórico sobre
as práticas geométricas efetivadas social e historicamente.
Somente no Século XIX é que a geometria passa pela maior reestruturação desde
seus estudos iniciais na Grécia antiga. Anteriormente, todos os raciocínios realizados
8
eram com base no postulado grego. A criação da geometria não euclidiana foi um marco
na história da matemática. Com a evolução da geometria euclidiana para a geometria não
euclidiana, novos conceitos, novas teorias foram descobertas e apresentadas à sociedade,
como exemplo podemos citar a teoria da relatividade de Albert Einstein. Mais
recentemente, ingressamos no estudo da geometria das formas irregulares, ou seja, a
geometria dos fractais.
A seguir, para contextualizar, vamos buscar nos textos oficiais como é tratada a
geometria plana.
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN)
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a matemática é
componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se
utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais
os cidadãos devem se apropriar. Diz ainda que o conhecimento matemático é necessário
em diversas situações da vida cotidiana, como apoio a outras áreas do conhecimento e
como forma de desenvolver habilidade de pensamento, para tanto: “Este conhecimento
deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente
evolução. A atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas,
mas a construção é a apropriação de um conhecimento pelo aluno”.
A GEOMETRA NOS PCN
Os conceitos geométricos constituem parte importante no currículo de
matemática, porque por meio dele, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento
que lhe permite compreender, descrever e representar o mundo em que vive. A
geometria torna-se um campo fértil para se trabalhar com situações problema e é um
tema pelo qual os alunos costumam interessar-se naturalmente quando realizado com a
exploração de objetos concretos. O trabalho com geometria está estritamente ligado às
medidas que fazem a ponte entre o estudo das formas geométricas e os números que
quantificam determinadas grandezas. Para desenvolver esse raciocínio de forma mais
completa o ensino de geometria deve contemplar também o estudo de propriedades de
posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras planas e os sólidos
9
geométricos; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas; análise de
diferentes representações das figuras planas tais como desenho, planificações e
construções com instrumentos.
DIRETRIZES CURRICULARES ESTADUAIS (DCE)
Durante a história da humanidade a matemática desempenhou papel fundamental e,
de acordo com as Diretrizes Curriculares Estaduais, “a matemática deve ser compreendida
desde suas origens até a aplicação científica e é como disciplina no currículo escolar
brasileiro que vai ampliar a discussão acerca destas dimensões”. As DCEs apontam como
proposta uma prática que torne a matemática uma disciplina de conteúdo científico e não
apenas como disciplina de cunho utilitarista. Observamos que:
“Pela educação matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriações de conceitos e formulações de idéias. A efetivação dessa proposta requer um professor que possa analisar criticamente os pressupostos ou as idéias centrais que articulam a pesquisa matemática ao currículo a fim de potencializar meios para superar desafios pedagógicos. (Diretrizes Curriculares Estaduais, 2008, pág. 17)
A GEOMETRIA NAS DCE Em relação a geometria as DCE sugerem a valorização das idéias geométricas existentes na
natureza pois estas sempre influenciaram a vida humana. Acentua também que o rigor das
demonstrações geométricas serve como modelo não só para a matemática, mas para outras
ciências. Diz o documento, “O conteúdo estruturante Geometrias, no Ensino Fundamental,
tem o espaço como referência, de modo que o aluno consiga analisá-lo e perceber seus
objetos para, então, representá-lo”. Enfatiza ainda a importância da associação entre
conhecimentos geométricos, aritmética e álgebra.
METODOLOGIA
Utilizando-se do material pedagógico produzido anteriormente e, com o
acompanhamento da equipe de direção e de coordenação da escola, desenvolvemos
nossas atividades de implementação do projeto.
10
Descrição das atividades
No primeiro momento do trabalho contamos um pouco da história do tangram,
material didático utilizado durante todas as atividades. A exibição de um pequeno filme
e de algumas imagens, principalmente de figuras que podem ser formadas, foram usados
para estimular a curiosidade sobre a história da origem do tangram e também da história
da matemática.
Atividade 1
Para iniciar as atividades, foi sugerida a construção do tangram. Os alunos
distribuídos em grupos de três, recortaram um pedaço de papel de tamanho e forma
diferentes para efetuar a dobradura e construir um tangram, sob a orientação do
professor. De posse do papel, recorte um quadrado e siga as seguintes instruções:
* Nomeie os vértices desse quadrado ABCD, conforme a figura 1.
(figura 1)
* Dobre o quadrado pela diagonal BD. Abra e risque essa linha de dobra, de acordo com
a figura 2.
11
(figura 2)
Neste momento foi possível explorar o conceito de linhas, pontos, vértices, diagonais de
um polígono e ângulos.
* Dobre o quadrado pela outra diagonal, AC. Risque apenas a linha partindo do vértice
A até encontra a diagonal BD, conforme a figura 3. Estão formados os dois triângulos
grandes; AOB e AOD. Com isso podemos começar a fazer comparações entre as figuras
que vão aparecendo.
(figura 3)
* Dobre as duas diagonais do quadrado, AC e BD e nomeie a intersecção dessas
diagonais de ponto O, com base na figura 4.
12
(figura 4)
* Dobre de maneira que o vértice C encontre o ponto O, conforme a figura 5. Abra e
risque na dobra. Está formado o triângulo médio do tangram.
(figura 5)
* Dobre outra vez a diagonal AC e faça um traço até o encontro do segmento EF.
Nomeie o ponto de intersecção G. Dobre agora de modo que o ponto E toque o ponto O.
Passe um traço entre o ponto G e a diagonal BD, com base na figura 6. Apareceram um
triângulo pequeno e um paralelogramo.
13
(figura 6)
* Dobre agora de modo que o ponto D alcance o ponto O. trace essa dobra do ponto F
até a diagonal BD, conforme a figura 7. Um quadrado e um triângulo pequeno foram
formados, completando assim a formação do tangram.
(figura 7)
Observamos que durante a atividade de construção do tangram, realizado em
grupos, a rotina da turma e da escola foi mudada e em alguns momentos ficou um tanto
difícil de entender tudo que estava acontecendo. Em relação à atividade, foi muito
interessante, exploramos os diversos aspectos como “diagonais, ângulos, vértices,
proporção, formas geométricas, ponto, linha e, até termos novos, como intersecção”, os
resultados foram satisfatórios, pois em torno de 80% dos alunos conseguiram construir o
tangram, sem a orientação direta do professor ao realizarem a avaliação. Além disso
observamos que o aluno amplia sua noção de espaço e faz relações com outros assuntos.
Outro fator importante é que o aluno aprende a ler e decodificar símbolos próprios da
14
matemática, quer seja pelas informações recebidas de forma oral, quer seja pelas
informações recebidas por escrito.
Atividade 2
A tarefa a seguir era para que os alunos, utilizando todas as peças do tangram,
sem sobrepor umas às outras, preencher algumas figuras dadas.
(exemplos de figuras repassadas aos grupos para preencher com as peças do tangram)
Cada grupo recebe um jogo de peças do tangram e figuras previamente
selecionadas. O objetivo é preencher o espaço da figura utilizando todas as peças do
jogo sem sobrepor nenhuma delas. As peças foram trocadas entre os grupos para que
todos os grupos preenchessem todas as figuras.. Esta tarefa, aparentemente fácil,
apresentou certas dificuldades. As figuras mais simples foram facilmente preenchidas,
porém, conforme aumentava a complexidade da figura, aumentava a dificuldade de
arrumar as peças. Ao avaliar esta atividade, percebemos a necessidade de algumas dicas
como medidas dos lados e ângulos, para que pudessem reconhecer espaços, de relacionar
figuras e de proporcionalidade.
15
A montagem da figura mostra que para alguns grupos a atividade de reconhecer
espaços é relativamente fácil.
Outros grupos encontraram certas dificuldades como mostra a figura acima
Nesta atividade podemos perceber a noção espacial de cada aluno e avaliar
também a noção de proporcionalidade. Outra importante observação foi de que os
grupos que nominavam as partes da figura e relacionavam com as peças do tangram
tinham mais facilidade de concluir.
Atividade 3
Após o preenchimento das figuras com as peças do tangram, utilizando os
instrumentos de medida, a proposta era medir todos os lados de todas as figuras do
tangram que haviam construído, para utilização em cálculos posteriores. Esta atividade
levou mais tempo do que o planejado, devido às dificuldades dos alunos em entender a
forma de medir, a falta de hábito de uso manuseio de instrumentos de medida (régua,
trena e outros) e o fato de cada grupo ter recortado o papel de um tamanho diferente na
atividade inicial de construção do tangram. Foi um grande desafio trabalhar em grupos,
usando instrumentos de medida e, ao mesmo tempo, construir uma tabela para cada
grupo, com os valores encontrados nas medições.
Como os grupos tinham recortado o papel de tamanhos diferentes, a tabela com
as medidas ficou com uma variação de números, porém, todos com a mesma unidade de
medida. Sugerimos que o tamanho do papel seja igual para todos os grupos.
Atividade 4
16
A próxima atividade foi calcular o perímetro com as medidas obtidas, primeiro o
perímetro da cada figura, depois da figura completa.
Esta atividade foi rápida, pois os alunos tinham todas as medidas realizadas na
aula anterior. Aproveitamos este momento para realizar alguns questionamentos como:
Se o tangram tem cinco triângulos, todos tem o mesmo perímetro? A resposta quase
imediata foi não. Qual parte do tangram tem o maior perímetro? A maioria respondeu
que era o triângulo maior, ainda que alguns ficaram em dúvida entre o triângulo maior e
o paralelogramo.
Neste momento analisamos as formas geométricas da figuras, as unidades de
medida e outros conceitos como, lado, altura, perímetro, espaço.
Atividade 5
Finalmente, com as medidas obtidas na atividade anterior, questionar qual o
“espaço” utilizado por cada uma das partes da figura e comparar com o espaço ocupado
pela figura inteira. Como as partes da figura formam a figura total, exploramos aqui a
noção de tamanho e forma das figuras e iniciamos a relação das fórmulas matemáticas
de cálculo do espaço. As medidas que cada grupo anotou, são aqui utilizadas.
Percebemos que este foi o momento mais gratificante da implementação, pois os alunos
acabam descobrindo que as relações matemáticas são mais simples do que aparentam,
quando iniciam com o material concreto. Sem saber que estavam estudando “área”, os
alunos inventavam fórmulas de calcular o espaço utilizado por uma figura. Exemplo: O
triângulo de dois lados iguais é igual a meio quadrado. Ao avaliar os alunos ficou
evidente que o cálculo de área torna-se mais simples e significativo. Vejamos alguns
exemplos de questões aplicadas:
Qual o espaço utilizado pelos triângulos maiores? A resposta mais freqüente foi
que o espaço era a metade do tangram.
A soma dos espaços das partes é menor, igual ou maior que o espaço da figura
inteira? Trinta dos trinta e quatro alunos responderam que o espaço ou a área é igual.
As respostas obtidas demonstram o quanto foi significativo começar os cálculos
com objetos concretos.
Para entender melhor o que significa o espaço utilizado por uma figura,
ampliamos a atividade para realizarmos medidas de vários locais da escola, como a
quadra de esportes, o prédio das salas de aulas e o próprio terreno da escola. Dentro da
sala de aulas, efetuamos a medida das janelas, portas e quadro-negro. A transformação
de unidades também foi tratada neste momento, pois os cálculos anteriores foram
17
realizados com a unidade de medida em centímetros. Neste momento foi necessário
retornar ao estudo dos múltiplos e submúltiplos do metro. Os alunos percebem uma
maior importância do que estão fazendo, quando o ensino é contextualizado. Um aluno
escreveu, “Para saber quanto de vidro vai para vidraçar a janela inteira, é só medir um
pedaço pequeno e multiplicar por doze”. Observando que uma janela da sala é formada
por doze pequenos retângulos, percebemos que não só o cálculo da área de uma figura
torna-se mais fácil, mas a noção do todo de um calculo também.
Durante a aplicação das atividades do projeto tivemos a preocupação de verificar
o aprendizado e a importância dos conceitos de geometria para o aprendizado de
matemática. Realizamos uma avaliação com as questões voltadas para o entendimento
de conceitos da geometria e outra avaliação com a utilização de cálculos fazendo o uso
de medidas efetuadas em figuras geométricas. Dois aspectos chamam a atenção, a
relação entre as figuras do tangram, não só as peças finais da construção do jogo, mas as
peças que vão sendo formadas durante a construção, com as figuras reais, quer seja de
dentro da sala como de prédios e quadra esportiva e da natureza, e a familiarização com
o cálculo, quando ele obtém o resultado da medida.
Isso ficou demonstrado nos resultados de uma das questões propostas. “Qual o
espaço utilizado pela quadra de esportes?
*Qual a figura formada pelo espaço da quadra esportiva?
Onde 28 de um total de 34 alunos responderam que o espaço era o resultado da
multiplicação entre o comprimento e a largura da quadra de esportes e, que a figura
formada era um retângulo.
COMENTÁRIOS DOS ALUNOS
No final das atividades solicitamos que os alunos escrevessem sobre o que
aprenderam e da forma como aprenderam.
De acordo com uma aluna, “trabalhar cálculos com o auxilio de figuras como o
tangram favorecem porque conseguimos enxergar o que estamos fazendo”. Outro aluno
diz: “aprendemos mais com estes desenhos e contas do que só usando os cálculos”. Estas
revelações fortalecem a idéia de que o concreto é essencial para o aprendizado, além de
proporcionar uma maior interação entre os alunos. Todas as atividades onde os alunos
18
constroem, manipulam objetos ou jogam, são agitadas, mas sem dúvida é muito mais
participativa e proveitosa.
É importante ressaltar que as atividades concretas geram uma grande mudança na
rotina da sala de aula e do funcionamento da escola como um todo. Os horários muitas
vezes precisam ser “quebrados”, ou seja, adaptados às atividades propostas para os
alunos, gerando um certo desconforto.
COMENTÁRIOS DOS PROFESSORES NO GRUPO DE TRABALHO EM REDE
– GTR
Durante o período de permanência no Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE, utilizamos a plataforma moodle para socializar nossas atividades
com outros professores da rede, o grupo de trabalho em rede - GTR. Embora essa seja
uma forma nova de trabalho e que apresentou algumas dificuldades, as interações entre
professores e as contribuições destes professores para a pesquisa sempre foram
satisfatórias.
Podemos perceber que muitos professores utilizaram o tangram para o
desenvolvimento do estudo da geometria, através da proposta sugerida, tendo sido
modificada, ou melhor, adaptada para a turma onde o professor atua. Conforme o
depoimento da professora 1, de Curitiba, no fórum de discussão: Testagem da produção
didático pedagógica, em 20 de junho de 2009, “O Tangram é uma excelente ferramenta
para nós professores quando iremos abordar a geometria, sendo que após realizadas
atividades experimentais com materiais concretos em Geometria, os alunos sentem-se
motivados para o estudo de outras áreas da matemática”.
A professora 2, de Marmeleiro, no Diário: Analise, reflita e Opine..., em 20 de
abril de 2009, relata, “Hoje em dia está tão difícil prender a atenção dos nossos alunos e
acredito cada vez mais, que quando se trabalha com material concreto, no caso
específico, aqui , o Tangram, fica mais fácil de prender a atenção dos alunos, trabalha-se
com a socialização entre eles, os alunos podem sistematizar melhor os conteúdos, podem
estabelecer relações entre um conteúdo e outro”.
Até em outros níveis e modalidades de ensino pode ser aplicado, como escreveu
a professora 3, de Londrina, no Fórum de discussão: Produção didático-pedagógica, em
15 de abril de 2009, “Apliquei a atividade de Tangram com os alunos do EJA, pois
19
estava iniciando o caderno de geometria, fizeram pesquisas sobre a origem do tangram,
construíram o tangram, fizeram comparações entre as formas das figuras do tangram
com a da natureza e suas aplicações. Depois criaram figuras utilizando as peças do
Tangram e calcularam área e perímetro destas. Foi um sucesso entre os alunos.
Quando há articulação entre os conteúdos o aprendizado pode ser facilitado, é o
que diz a professora 4 de Paranaguá, no Diário: Dados Cadastrais, em 29 de novembro
de 2008. “É interessante que os cálculos de matemática tenham uma parceria com a
geometria, pois, ambas possibilitam a visualização de todo o contexto, desenvolvem no
aluno o raciocínio mental, despertam a curiosidade e o interesse, facilitando a
aprendizagem. Percebemos pelos depoimentos que a geometria deve ser melhor
explorada afim de se tornar uma ferramenta para o aprendizado da matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS A oportunidade que o Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE nos
proporcionou de refletir sobre o ensino da matemática, suas contribuições na formação
do indivíduo e a forma que esta ciência é tratada na escola foi fundamental para
concluirmos este trabalho. Embora a geometria esteja colocada como um dos conteúdos estruturantes das
Diretrizes Curriculares Educacionais (DCE) e faça parte de todas as propostas
pedagógicas curriculares (PPP) das escolas, a efetiva utilização deste conteúdo ainda
precisa ser estimulado. Há escolas onde o conteúdo de geometria fica como último item,
outras, utilizam-se da geometria de forma isolada, tornando o ensino da matemática
pronto e acabado o que não contribui para um melhor entendimento da matemática. De
acordo com as pesquisas bibliográficas, o trabalho com o concreto possibilita ao aluno
visualizar a construção do conhecimento auxiliando na aquisição de outros conceitos, daí
a importância do trabalho de geometria, além de ser prático, ser associado aos outros
conteúdos estruturantes. Os depoimentos dos alunos participantes da aplicação desta
atividade e dos professores cursistas do Grupo de Trabalho em Rede (GTR), deixam
claro que o uso do tangram como material concreto para estudar a geometria e aprender
conceitos matemáticos é muito significativo, pois estimula a curiosidade de ver, montar
e manusear as figuras, tornando a ciência matemática mais concreta e atrativa. O
professor ao elaborar seu plano de trabalho docente deve lembrar que a matemática tem
20
história, é uma construção humana, é dinâmica, sofre evolução de acordo com as
necessidades sociais e que, para estudar e aprender matemática, há necessidade de
material concreto e ainda que este seja contextualizado, auxiliando assim ao aluno
compreender de forma significativa e prazerosa. As escolas, através dos professores de
matemática, devem repensar a forma de tratamento dado ao conteúdo geometria, pois
esta pode ser um conteúdo estimulante para que o aluno compreenda outros conteúdos
como a álgebra, a trigonometria, etc..A problematização de certos conteúdos aliados a
geometria faz com que o aluno possa pensar em deduções, desenhar, experimentar.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino da Matemática, Brasília, 1998. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: Arte ou Técnica de Explicar ou Conhecer. São Paulo. Ática. 1990. GARBI , Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo, Livraria da Física. 2008. IMENES, Luiz Marcio e LELLIS, Marcelo, Livro Didático de Matemática, 7ª série, São Paulo, Scipione, 2001 LORENZATO, Sérgio. “Por que não ensinar geometria?” . In: A Educação Matemática em revista. SBEM. Nº 4. 1º semestre de 1998. pp.30-31. MOREIRA, Plínio, C. , DAVID, Maria Manuela M. S. , A Formação Matemática do Professor . Belo Horizonte. Autêntica. 2007. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação – Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba. 2007. PONTE, J. P. , BROCARDO J . , OLIVEIRA H. . Investigações Matemáticas em Sala de Aula. Belo Horizonte. Autêntica. 2006.
21
SMOLE, Kátia S. , DINIZ Maria I. , CÂNDIDO Patrícia , Figura e Formas. Porto Alegre, Artmed, 2003 SOUZA, Eliane Reame de e outros. A Matemática das Sete Peças do Tangram. São Paulo, IME-USP, 1997, 2ª edição.
