O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2008

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-040-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

TÍTULO: O problema de Guthrie como metodologia no ensino da Análise Combinatória e Probabilidade

Autora: Neuza Pintoneuzapin@seed.pr.gov.brParanavaí – PrAno 2008

PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

TÍTULO: O problema de Guthrie como metodologia no ensino da Análise Combinatória e Probabilidade

AUTORA: Neuza PintoNRE: Paranavaí IES: UEM/FAFIPAMUNICÍPIO DE REALIZAÇÃO: Paranavaí

NRE DE ATUAÇÃO: Paranavaí

PROFESSOR ORIENTADOR: Daniel de LimaESCOLA: Colégio Estadual Prof. Bento Munhoz da Rocha Neto – EFMPDISCIPLINA: Matemática Ensino MédioDISCIPLINA DE RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR: Arte e BiologiaCONTEÚDO ESTRUTURANTE: Tratamento da Informação CONTEÚDOS ESPECÍFICOS: Análise Combinatória e ProbabilidadeCONTEÚDO BÁSICO: Princípio Multiplicativo, Combinações e Probabilidade.TIPO DE ATIVIDADE: Atividades ExperimentaisPERÍODO DOS EXPERIMENTOS: 1º. Semestre de 2009

2

1 – JUSTIFICATIVA/FUNDAMENTAÇÃO...

“A teoria das probabilidades, no fundo, não é mais doque o bom senso traduzido em cálculo; permite calcular com exatidão aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto... ë notável que tal ciência, que começou nos estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento humano.”

Laplace (1749 – 1827)

“O Tratamento da Informação é instituído conteúdo estruturante diante da necessidade do estudante dominar um conhecimento que lhe dê condições de realizar leituras críticas dos fatos que ocorrem em seu entorno, interpretando informações que se expressam por meio de tabelas, gráficos, dados percentuais, indicadores e conhecimentos das possibilidades e chances de ocorrências de eventos. Isso se revela necessário, pois vivemos um momento histórico caracterizado pela facilidade e rapidez no acesso às informações e que exigem o desenvolvimento do espírito crítico e a capacidade de analisar e tomar decisões, diante de diversas situações da vida em sociedade.” (Diretrizes Curriculares da Educação Básico do Paraná – 2006).

Há muito tempo o homem vem transformando a natureza com objetivo único e exclusivo de sobrevivência. Será este de fato o seu propósito? Mas para isto ele criou ferramentas adequando-as às suas necessidades. Das necessidades e curiosidades surgiram às ciências, dentre tantas a MATEMÁTICA.

A matemática é uma ferramenta desenvolvida pelo homem que auxilia nas mais variada tarefas do seu cotidiano. Perguntas como:

• Qual a quantidade máxima de números de telefone de uma cidade que podem ser formados com prefixo 3322, utilizando além do prefixo, quatro outros algarismos?

• Quais as chances de se acertar as seis dezenas da MEGASENA, apostando com um único cartão com seis dezenas?

• No lançamento de dois dados equilibrados, quantos são os resultados possíveis? Destes resultados, quantos apresentam soma igual a nove?

• Quais são as possibilidades possíveis no lançamento sucessivo de três moedas comuns?

De perguntas como estas, surgiu a necessidade do estudo de problemas de contagem. Estas perguntas podem ser respondidas usando conceitos de Análise Combinatória e Probabilidade, porém este trabalho procura responder as tais, instigando a pesquisa e o raciocínio lógico. Livros didáticos em sua maioria priorizam o estudo de fórmulas, tais como arranjos, combinações e permutações. Procura-se aqui além destes conceitos, principalmente mostrar aplicabilidade destes conceitos levando-se em conta o uso do princípio fundamental de contagem..

3

2 – PROBLEMATIZAÇÃO:...

Fig.1 Fonte: http://www.o-parana.com/diretorio/catimages/mapa-estado-parana.gif Acesso em: 04/12/2008

A figura 1 mostra o mapa do estado do Paraná dividido em regiões: Noroeste, Norte Central, Norte Pioneiro, Centro Ocidental, Centro Oriental, Centro Sul, Oeste, Sudoeste, Sudeste e Mesorregião Metropolitana de Curitiba.

I) É possível colorir estas regiões do mapa, utilizando apenas quatro cores, mas respeitando a condição de que regiões que possuem linhas de fronteiras comuns tenham cores diferentes?

II) O conceito usado para este caso pode ser estendido à outros mapas?

3 – QUAL A RELAÇÃO ENTRE O PROBLEMA PROPOSTO E A MATEMÁTICA???

Vamos entender...Em 1852, o matemático Francis Guthrie, colorindo o mapa dos condados da

Inglaterra, nas condições similares às do problema acima, percebeu que apenas quatro cores eram suficientes para colori-lo. A princípio, a exposição de tal problema possa nos levar mais a pensar em Arte do que Matemática, porém o fato de Guthrie ser professor de Matemática, nos leve a procurar conceitos Matemáticos que venham a resolver tal situação. A técnica em questão é conhecida como “Teoria dos Grafos”, embora este não seja o nosso objeto de estudo. Vale ressaltar que procura-se buscar aqui uma solução para tal problema empregando conceitos de COMBINATÓRIA.

Retornando ao problema proposto, pode-se indagar:

4

- De quantas maneiras pode-se colorir o mapa das regiões do estado do Paraná, usando apenas quatro cores, de forma que municípios com fronteira comum tenham cores diferentes?

Para responder a esta pergunta, procura-se aqui interagir arte com matemática, desta forma necessita-se o conhecimento de algumas características relativas às cores..

Vamos apreciar abaixo os quadros.

Fig. 2 Fig. 3 Óleo sobre tela de: ”Persil”1 Óleo sobre tela de: “Persil”

Fig. 4 Fig, 5Óleo sobre tela de: “Persil”1 Óleo sobre tela de: Persil

1 Persil – Roberto Pereira da Silva é pintor parnavaiense já expôs seus trabalhos em inúmeras exposições por várias cidades brasileiras, em 2006 foi reconhecido internacionalmente com o projeto Arte na Escola. Persil é também professor da rede pública de ensino, recentemente homenageado com a “Comanda da Ordem Estadual do Pinheiro no Grau de Cavaleiro, troféu este destinado aqueles que se destacaram por serviços relevantes prestados ao Estado do Paraná.

5

A ciência que estuda a medida das cores é chamada de colorimetria. A colorimetria desenvolve métodos de quantificação da cor e estuda o tom, a saturação e a intensidade da cor. O tom da cor, é que faz com que ela seja identificada como azul, verde, amarela, etc. A saturação da cor mostra se a cor é natural ou pigmentada artificialmente. A intensidade caracteriza a força da cor.

Durante muito tempo, as cores tinham finalidades apenas estéticas, hoje acredita-se que elas têm grandes influências psicológicas nos seres humanos, tais como: estimular, alegrar, tranqüilizar, entre outras.Foram cientistas e artistas do séc. passado que se dedicaram ao estudo da harmonia cromática, surgindo assim a “Teoria da Cor” por Goethe e Newton, um sistema composto de figuras bidimensionais (circulares ou poligonais) formados por cores puras e suas misturas.

Isaac Newton no ano de1666 fez uma experiência onde concluiu que a luz do Sol tem grande influência das cores, explicando inclusive, que aquilo que considera branco é, na verdade, uma luz composta de várias cores, comprovando isto através de um aparelho chamado disco de Newton. Um dos mais importantes trabalhos desenvolvidos por Isaac Newton sobre luz foi o surgimento de uma nova ciência a ESPECTROSCOPIA.

A cor está presente em nossas vidas muito mais do que imaginamos. A cor é assimilada através da nossa visão, logo por nossos olhos, embora não possamos esquecer do cérebro, pois os olhos funcionam como sensores e o cérebro processa todas essas informações. É no olho humano que se ajustam à intensidade da luminosidade, formando a imagem na retina provocando impulsos nervosos que vão até ao cérebro. A visão é um dos cinco sentidos que mais rapidamente leva informações ao cérebro. Assim sendo a cor através dos nossos olhos pode ser descrita pela quantidade de luz (saturação), reflexão (luminosidade) e emissores de luz (brilho).

“É através dos olhos que as crianças tomam contato com a beleza e o fascínio do mundo...” Rubem Alves.

Tipos de cores:

Várias são as classificações e denominações usadas para as cores. Entre elas, pode-se citar:

• Cores Primárias ou Cores-pigmento primárias são cores puras, pois não derivam da mistura de outras: Amarelo, Azul Ciano e o Vermelho Magenta. Da mistura destas três cores primárias obtém a cor preto (mistura subtrativa).

• Cores Secundárias resulta da mistura de duas cores primárias: Verde, Laranja e o Violeta. A mistura destas três cores secundárias obtém a cor branco (mistura aditiva).

• Cores Terciárias resultam da mistura de uma cor primária com uma cor secundária.

Holisticamente as cores são divididas em quentes e frias, conforme a sensação que elas nos fornecem. Desta forma, tem-se:

6

• Cores frias são aquelas associadas à sensação de frio, ao gelo, ao mar, ao céu, dentro de um conceito psicológico, são todas as cores que derivam do Violeta, Azul e do Verde.

• Cores quentes são aquelas associadas a sensação de calor, adrenalina, ao sol, ao fogo, a vulcões em erupções, são todas as cores que derivam do Amarelo, Laranja e Vermelho.

• Cores Neutras: Branco, Preto e o Cinzento, são assim chamadas devido as suas origem, o Branco é a junção de todas as cores, indicando presença de luz, o preto e o Cinzento vêm da mistura do Branco com o Preto.

O homem aprendeu a usar as cores como estímulos para encontrar determinadas respostas e, a cor que durante muito tempo só teve finalidades estéticas, passou a ter também finalidades e funcionalidades práticas. É possível pois, compreender a simbologia das cores e através delas dar e receber informações. A seguir, alguns exemplos de cores e sua simbologia:

• Preto – morte, luto, terror, mistério, fantasia, sofisticação e luxo.• Branco – Paz, calma, pureza, frio, limpeza, inocência e pureza.• Cinzento – medo, depressão, estabilidade, sucesso e qualidade.• Bege – calma, passividade, melancolia, clássica.• Vermelho – paixão, sentimento, amor, desejo, orgulho, violência,

agressividade, poder, elegância, requinte e liderança.• Verde – vigor, juventude, frescor, esperança, calma, masculino, grandeza,

viril, contentamento e proteção.• Amarelo – calor, luz, descontração, prosperidade, otimismo, verão.• Laranja – movimento e espontaneidade.• Azul – lealdada, fidelidade, personalidade, ideal, sonho, tranqüilidade,

compreensão e frescor..• Castanho – terra, maturidade, consciência, responsabilidade, conforto,

estabilidade, resistência e simplicidade.• Roxo – tristeza, prosperidade, nobreza e respeito.• Lilás – espiritualidade e intuição.• Rosa – beleza, saúde, sensualidade, romantismo, feminino, amoroso,

carinhoso, terno, suave, fragilidade, delicadeza e compaixão.• Salmão – felicidade e harmonia.• Prateado ou Prata – moderno, tecnologias, novidade e inovação.• Dourado ou Cor Ouro – riqueza, majestoso.

4 – UM POUCO DA HISTÓRIA...

Era uma vez um imperador romano de nome Cláudio, que adorava jogar dados em suas viagens,... foi através dele e dos gregos que se popularizou este tipo de jogo de azar.

É sabido que a Teoria das Probabilidades existem desde 1500 – 1400 a.c.. Embora há quem diz que o cálculo das possibilidades surgiu com os italianos

7

Paccioli (1445 – 1510), Cardano (1501 – 1576), Tartaglia (1449 – 1557) e Galileu (1564 – 1642).

Mas, a origem das probabilidades mais aceita é atribuída às cartas trocadas entre o matemático francês Blaise Pascal (1623- 1662) e pelo Cavaleiro De Meré (1607 – 1684). Nos questionamentos De Meré, um jogador profissional que entrou para história das Probabilidades, sempre propondo situações inusitadas e interessado em lucrar com as opiniões de seu amigo Pascal. As indagações De Meré entusiasmaram Pascal que passou a trocar correspondência com Fermat (1601 – 1665). Destas correspondências e com as “perguntas” De Meré, Pascal desenvolveu a “Ciência do Acaso”.

A Pascal foi colocado o seguinte problema:

“Dois jogadores jogam um jogo de dados. Cada jogador põe sobre a mesa à mesma quantia, 32 pistolas, moedas da época. O total seria ganho pelo jogador que primeiro obtivesse três vezes, seguidas ou não, o número em que apostou, de entre as 6 faces do dado. O Cavaleiro De Meré apostou 6 e o outro jogador apostou no número 5. O jogo foi interrompido quando De Meré já tinha duas saídas de 6 e o outro jogador apenas uma saída de 5. Como dividir de maneira justa as 64 moedas apostadas?”

Como Pascal resolveu o problema:

Supondo que De Meré tenha duas saídas favoráveis e o outro jogador apenas uma, seguindo o jogo, se De Meré ganha, ganha também as 64 moedas apostadas, mas se o segundo jogador ganha, a partida ficará empatada. Interrompendo o jogo neste momento, cada jogador deverá ficar com 32 moedas, isto é, a mesma quantidade que apostou.

Continuando o jogo, ambos terão 50% de probabilidade de vencer a partida. Porém, se interronpendo o jogo quando o primeiro jogador tiver duas saídas favoráveis e o segundo somente uma saída favorável, o primeiro terá ¾ de vantagens o que significa 75% o mesmo que 32 moedas mais 16 moedas num total de 48. Numa próxima jogada, o primeiro jogador tem a chance de ganhar metade das moedas restantes, o que dá um total de 56 moedas (48 + 8), sobrando somente 8 moedas para o segundo jogador.

Os dois matemáticos, Pascal e Fermat obtiveram a solução correta, ambos perceberam a necessidade de utilizar técnicas da Análise Combinatória para resolver estes e tantos outros problemas de probabilidade. A partir deste problema as técnicas de resolução hoje conhecidas foram desenvolvidas, surgindo a chamada “Teoria dos Jogos”.

Uma outra resolução do Problema de Pascal:

Considerando que De Meré tenha duas saídas de “6” favoráveis e que o segundo jogador apenas uma saída de “5” favorável, com a interrupção do jogo tem-

se que há 16

de probabilidade do segundo jogador tirar o “5”.

8

16

saída do número 6

16

saída do número 5

Se vier a ocorrer o “6’, como De Meré já tinha duas saídas de 6 o jogo acaba.Porém se houver uma saída de 5 o jogo continua com ambos tendo chances

iguais de vencer a disputa.Desta forma, teríamos:

16

(ocorrer o nº. 6) = fim de jogo

16

(ocorrer o nº. 6) = fim de jogo

16

( ocorrer o nº. 5)

16

(ocorrer o nº. 5) = fim de jogo

Conclui-se então que o segundo jogador tem a probabilidade de vitória de:

16

X 16

= 136

Desta forma De Meré teria também 136

mais 16

de probabilidade de

encerramento na rodada anterior, ficando com: 136

+ 16

= 736

Então a forma mais justa de repartir as 64 pistolas seria na proporção de um

para sete, pois temos probabilidades de vitória de: 136

e 736

. Então 64 : 8 = 8,

com 8 pistolas para o segundo jogador e 8 x 7 = 56 pistolas para De Meré.

5 – ATIVIDADES...

Materiais: desenhos das figuras (mapas) abaixo em papel sulfite para cada aluno da turma, lápis de cor.

Enunciado do Problema:

Utilizando apenas quatro cores, pinte as figuras abaixo obedecendo ao critério de que espaços que possuem segmento de retas comuns tenham cores diferentes.

9

Ponto de Parada do

jogo

5a) 5b)

Fig. 6 Fig. 7Traçado da bandeira do Acre Traçado da bandeira de Alagoas

5c) 5d)

Fig. 8 Fig. 9Traçado da bandeira do Paraná Traçado da bandeira do Amazonas

5e) 5f)

Fig. 10 Fig. 11Bandeira do Estado da Bahia Projeção de um tetraedro em um plano

10

5g)

Fig. 12Mosaico feito a partir da dobradura do Cubo

6 – A MATEMÁTICA NA BIOLOGIA...

Um dos ramos da Biologia é a Genética que estuda as leis da transmissão dos caracteres hereditários e as propriedades das partículas que asseguram essa transmissão.

Para entendermos melhor esta estrutura, abaixo estão alguns conceitos básicos de genética.

• Gene – partícula da cromossomo em que se encerram os caracteres hereditários;

• Genótipos – constituição hereditária de um indivíduo;• Alelos – uma das formas alternativas que um gene ocupa determinado lócus

no cromossomo ou diferentes formas que um gene pode apresentar;• Homozigoto – indivíduo que herdou par de alelos idênticos, de ambos os

genitores;• Heterozigoto – indivíduo que herdou par de alelos diferentes, proveniente de

pais portadores de caracteres genéticos também deferentes;• Código genético – forma os modelos hereditários dos seres vivos.

É na genética que mais se utilizada uma parte da Matemática, a Probabilidade, no entanto é possível estudar a Análise Combinatória.

Veja um exemplo: para saber quais casais terão filhos com cabelos crespos fazendo uma análise da combinação dos seus genes.

11

7 – ATIVIDADES...

Materiais: Papel e lápis, quadro-negro e giz, equipamentos de desenho, calculadora.

Enunciado do Problema:Estudo genético das possibilidades do cabelo ser crespo, não levando em

consideração o grau de ondulação e nem a influência do meio ambiente ou cabelo liso, depende do gene herdado dos pais. Pode-se chamar de C o gene para cabelo crespo e c o gene para cabelo liso. É importante saber que o cabelo crespo é dominante em relação ao cabelo liso, isto no ser humano, portanto, fica claro o motivo de EU ter cabelo crespo: herdei da minha mãe um gene liso (c), e do meu pai um gene (C) crespo. Fiquei com a combinação Cc.

a) Faça um esquema, montando uma tabela, dos resultados possíveis, dos pares de genes para os filhos;

b) Liste as possibilidades de cada um dos possíveis resultados dos descendentes de um casal, considerando a possibilidade de ambos não terem genes para cabelo liso;

c) Em que caso a probabilidade será de 100% para os descendentes não terem cabelos lisos?

Resolvendo...a) No cruzamento do casal, tendo um deles cabelos crespos (heterozigoto) o outro cabelos lisos (homozigoto). A probabilidade era de 50% dos filhos terem cabelos lisos e 50% dos filhos terem cabelos crespos:

Tabela:

PAI/MÃE c cC Cc Ccc cc cc

Para saber quais casais terão filhos com cabelos crespos, fazemos à análise da combinação dos genes. Pai (CC) e mãe (CC) só terão filhos (CC) Pai (Cc) e mãe (CC) terão filhos (CC) ou (Cc) Pai (CC) e mãe (Cc) terão filhos (CC) ou (Cc) Pai (CC) e mãe (cc) terão filhos (Cc) Pai (cc) e mãe (CC) terão filhos (Cc)

Portanto, são 5 (cinco) possibilidades.

b) Para a possibilidade de ambos não terem genes cabelos lisos Pai (CC) e mãe (CC) só terão filhos (CC) Pai (Cc) e mãe (CC) terão filhos (CC) ou (Cc) Pai (CC) e mãe (Cc) terão filhos (CC) ou (Cc) c) A Probabilidade de todos os descendentes de um casal será de 100% se não existir a possibilidade de ambos terem gene para cabelo liso, isso ocorrerá, quando:

Pai (CC) e mãe (CC) só terão filhos (CC).

12

8 – ATIVIDADES...

Materiais: Papel e lápis, quadro-negro e giz, calculadora.

Enunciado do Problema:(UEM – 2006) O gene que codifica a cor dos olhos em Drosophila

melanogaster2 pode apresentar 32 (trinta e dois) alelos. Sabendo-se que cada indivíduo recebe um alelo do pai e um da mãe, é correto afirmar que, o número de genótipos heterozigoto é:

Lócus Gênico

D1

D2

Genes

Alelos

Cnp =

n !

p ! n-p !

=C322 32 !

2 ! 32 2- !

C322

= 496

D3

D4

D5

D32

Heterozigotos

Cromossomos Homólogos

CT= Combinações totais

CT =n n+ 1

2

CT = 32 33

2

CT = 528

Fig. 13

9 – RESOLUÇÀO DA PROBLEMATIZAÇÃO INICIAL...

O problema das quatro cores e o mapa do Paraná

Fig.14 Fig. 15Neste caso, utilizamos uma cor para a Neste caso, utilizamos uma cor para a região 1 entre 4 cores disponíveis. região 4 entre 3 cores disponíveis

2 Drosophila melanogaster é conhecida popularmente como mosca da fruta, inseto muito comum em nossa região.

13

Fig. 16 Fig. 17 Neste caso, utilizamos uma cor para a Neste caso, utilizamos uma cor para aregião 5 entre 2 cores disponíveis região 2 entre 2 cores disponíveis, pois ela não faz fronteira com a região 1.

Desta forma, o problema proposto chega a solução pelo princípio multiplicativo, ou seja:

Regiões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Números de Possibilidades 4 3 3 3 2 3 1 1 1 2

Com isso, podemos concluir que o número de maneiras para colorir se colorir o mapa usando apenas quatro cores disponíveis é:

N = 4 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 x 2

N = 24 X 34 X 13

N = 16 x 81 x 1

N = 1 296

Portanto, teríamos 1 296 possibilidades de colorir o mapa das principais regiões do Paraná com apenas quatro cores.

10 – INDICAÇÃO DE TEXTOS E SITES...

http://mscabral.sites.uol.com.br/mauro/index.htm

http://ditizio.ecn.br/biografia/Biografias.html

http://priberam.pt/depo/dlpo.aspx

http://educar.sc.usp.br/experimentoteca/matematica/matematica médio/3 tabua da fortuna p.pdf

http://notapositiva.com/trb professores/textos apoio/matematica/escancombprob.pdf

http://educacao.uol.br/matematica/ult1705u23.jhtm

14

11 – POSSÍVEIS RESULTADOS E CONCLUSÕES...

Esta Produção Didática Pedagógica aqui elaborada, não é somente mais uma lista de exercícios estruturados relacionando a matemática com arte e biologia e sim um documento importante que apresenta fatos essenciais dentro da nova proposta curricular de melhoria e qualidade de ensino da rede pública do estado do Paraná. Mostrando aos demais professores uma opção de trabalho possível de ser desenvolvida nas salas de aula, e ao mesmo tempo servindo de reflexão para a prática pedagógica dos docentes.

O conteúdo Análise Combinatória e Probabilidade devem ser apresentados aos alunos de forma desafiadora, para que se possam desenvolver vários aspectos do raciocínio lógico-matemático como: o combinatório, a percepção de padrões, as regularidades e por fim fazendo um elo com generalização nos estudos dos conceitos e das fórmulas.

Para que não haja falha na seqüência dos temas que abrange a Análise Combinatória e Probabilidade, recomenda-se a elaboração dos materiais manipuláveis necessários às práticas descritas, bem como um roteiro prévio seguindo ou não, ao livro didático adotado pela instituição de ensino ou a do próprio professor que apropriar-se desta idéia.

Na seqüência, promove-se uma aula de resolução de problemas em grupo, favorecendo entre os educando as discussões, troca de idéias e a busca de soluções, sempre chamando a atenção dos alunos à presença da matemática em vários ramos do nosso cotidiano como: senha de banco, código de barra, números de telefone, placa de carro, etc..

Deseja-se que os alunos possam cada vez mais aproximar os conceitos trabalhado com a realidade e através de problemas progressivos construírem noções básicas da Análise Combinatória e Probabilidade sem memorização de fórmulas, tão tradicionalmente repassados nos dias atuais.

“A Matemática não é exclusivamente o instrumento destinado à explicação dos fenômenos da natureza, isto é, das leis naturais. Não. Ela possui também um valor filosófico de que, aliás, ninguém duvida; um valor artístico, ou melhor, estético, capaz de lhe conferir o direito de ser cultivada por si mesma, tais as numerosas satisfações e júbilos que essa ciência nos proporciona.” (SOUZA, 2008, p.43).

12 – MAIS PROBLEMAS...

12a) Materiais: Disponibilizar aos alunos através de transparência ou impresso o versos abaixo.

Enunciado do Problema:

Após a leitura dos versos os alunos, em dupla, deverão apresentar as soluções no quadro de giz, com intervenções do professor sempre que houver necessidade, enfatizando a resolução através da Análise Combinatória. Pode-se pedir aos alunos a produção de um texto semelhante e propor a troca entre eles.

15

Versos:Num armário tem cinco gavetas;Em cada gaveta há duas caixas;Em cada caixa há 7 chaveiros;

Em cada chaveiro tem 3 chaves.Quantas chaves estão guardadas no armário?

Numa sala tem oito estantes;Em cada estante tem seis prateleiras;

Cada prateleira tem dez livros;Quantos livros há na sala?

Num prédio tem seis andares;Em cada andar há quatro apartamentos;

Em cada apartamento tem 2 vagas na garagem;Quantas vagas há na garagem desse prédio?

12b) Materiais: Cinco blocos cilíndricos, podendo ser feito em madeira, pintados com cores diferentes, todos com cinco centímetros de raio. Desses blocos, quatro com altura de dez centímetros e o outro com altura de 20 centímetros.

Enunciado do Problema:

Empilhar os blocos, formando um novo cilindro, a altura depende da quantidade de blocos utilizados. De quantas maneiras distintas podem-se formar cilindros que tenham a altura de sessenta centímetros?

12c) Materiais: 100 (cem) palitos de fósforo sem a cabeça, numa folha de papel desenhar linhas paralelas que distam entre si, o dobro do comprimento do fósforo.

Enunciado do Problema:

Deixar cair sobre a folha de papel desenhada as linhas paralelas, a uma altura de 30 centímetros, os 100 (cem) palitos de fósforo em seguida calcular o quociente: número de fósforos que caíram por número de fósforo que intersectam alguma das linhas.

12d) Materiais: Geoplano quadrado, pode-se construir o geoplano formado por 25 pregos dispostos em cinco filas de cinco pregas cada uma, mantendo-se horizontalmente e verticalmente uma distância sempre constante, fios de linha coloridos.

Enunciado do Problema:

- Construir todos os quadriláteros possíveis, que tenham sempre a mesma superfície. Desenho no caderno, identificando-as;

16

- Definir dois pontos distantes no geoplano, vértice A e o vértice B, movimentando-se para a horizontal e vertical, quantas são as possibilidades de chegar ao vértice B, saindo do vértice A, sem passar duas vezes pelo mesmo caminho?

12e) Materiais: Papel e lápis, quadro negro e giz, calculadoraObs: nesta atividade fica interessantíssima à dramatização dos alunos à frente da sala, deixar que eles encontre as respostas, só depois, faz-se a dramatização pela equipe que primeiro concluir a tarefa.

Enunciado do Problema:

Em uma confraternização de fim de ano, todos apertaram a mão de cinco pessoas. Se uma pessoa aperta a mão da outra, conta-se um aperto de mão para cada uma.

Qual é o número de pessoas que estavam na festa?Quantos apertos de mão tiveram ao todo?

12f) Materiais: Peças do Tangran, cada uma delas pintadas com cores diferentes contendo o nome delas e saco ou urna.

Enunciado do Problema:

Dispor as peças do Tangran dentro do saco ou urna. Cada aluno retira uma peça e anota o resultado no caderno ou no quadro de giz, ao final, observar:

- o espaço amostral;- calcular as possibilidades de:

- sair uma peça com menos de 6 lados;- sair um quadrado;- sair um triângulo;- sair uma peça que não seje triângulo;- sair uma peça que não seje quadrado

12g) Materiais: Papel carta e envelope, caneta, lápis e calculadoraObs: A resolução deste problema, o aluno deverá organizar as soluções como se fosse enviá-las por escrito a um amigo que mora em uma outra cidade, portanto a redação precisa ser clara, acrescidas de comentários que justifiquem cada passo e estratégia de cálculos.

Enunciado do Problema:

Você vai retirar de um caixa eletrônico de um banco a quantia de R$450,00. O banco disponibilizou neste caixa eletrônico cédulas de R$5,00, R$10,00, R$20,00 e R$50,00. De quantas maneiras diferentes você pode retirar esta quantia? (adaptado – IMENES, 2007, p. 183. 5ª série).

17

12h) Materiais: Disponibilizar aos alunos o traçado do quadro abaixo “O Pescador” de Tarsila do Amaral, lápis de cor.

Fig. 18 Esboço do quadro “O Pescador” de Tarsila do Amaral, (AZEVEDO, 2005, p. 18)

Enunciado do Problema:

Cada aluno deverá pintar o quadro como quiser o professor não deverá apresentar à classe a pintura original, ao final fazer um painel das diferentes maneiras de como o quadro foi pintado.

12i) Materiais: papel, lápis e calculadora

Enunciado do Problema:

A anemia falciforme é uma doença hemolítica grave cujas manifestações clínicas incluem anemia, icterícia, obstrução vascular e infartos dolorosos em vários órgãos como os ossos, o baço e os pulmões, podendo ser fatal se não tratada no início da infância. Devido a sua importância, a detecção de portadores de anemia falciforme está sendo incluída no Rio Grande do Sul, no teste do pezinho. O seu padrão de herança é autossômico recessivo. Um casal normal que pretende ter um filho consulta um geneticista, já que cada um dos cônjuges tem um irmão com anemia falciforme. Se você fosse geneticista, antes de realizar qualquer exame, qual a resposta correta que daria à pergunta sobre a probabilidade de nascimento de uma criança com este tipo de anemia?

Obs:POSSIBILIDADES ESTATÍSTICAS DE SE HERDAR UMA DOENÇA: No caso de uma doença autossômica recessiva: Quando os pais são portadores de uma DOENÇA autossômica recessiva, há uma possibilidade de 25% de uma criança herdar os dois genes anormais (desenvolvendo a doença). Há uma possibilidade de 50% de uma criança herdar um gene anormal (ser portadora).Resp. 1/9

18

12j) Materiais: papel, lápis e calculadora

Enunciado do Problema:

A acondroplasia é a forma mais comum de nanismo rizomélico, ocorrendo em 1 em cada 15 000 recém-nascidos. A doença tem herança autossômica dominante, mas mais de 90% dos casos são esporádicos, causados por mutações novas. Estudos comprovam que essa mudança genética está associada ao aumento da idade paterna na época da concepção. Qual é a probabilidade de um casal de acondroplásticos, que já tem uma menina normal, vir a ter um menino acondroplástico?Resp. 3/8

12k) Materiais: papel, lápis e calculadora

Enunciado do Problema:

Um casal, em que ambos são polidáctilos, mais de cinco dedos nas mãos ou nos pés e em humanos é determinado por gene dominante, tem uma filha polidáctila e um filho normal. A probabilidade de o casal vir a ter uma filha normal é de:Resp. 1/8

13 – OUTROS RECURSOS DA MÍDIA...

Ao usar as mídias como: software, calculadoras ou aplicativos da internet, em muito tem motivado e favorecido as experimentações matemáticas. Os jogos aqui sugeridos deverão potencializar diferentes maneiras de resolução de problemas, favorecendo inclusive a formação de comunidades multiculturais.

JOGO DOS SAPINHOS

Neste jogo, devem-se trocar as posições dos sapos, machos para a direita e fêmeas para a esquerda. Com sete pedras em um lago, eles devem pular em pos cima do outro, sem voltar para trás, utilizando apenas a pedra que esta sem o sapo.Disponível no site: http://quizes.com.br/jogos/leap_frog

RIO

Neste jogo, devem-se atravessar o leão, o coelho e as cenouras para a outra margem do rio, somente com um barco, como o barco é muito velho, só agüenta levar um deles de cada vez, tomando o cuidado de não deixar o leão sozinho com o coelho, nem o coelho com as cenouras. Quantas são as possibilidades de fazer esta travessia? Disponível no site: http://www.rafaelcaetano.com.br/jogos

TESTE DE Q.I.

19

Neste jogo, devem-se atravessar todos para a outra margem do rio, porém, o barco comporta somente duas pessoas de cada vez.

Regras:- Somente o pai, mãe e o policial sabem pilotar o barco;- A mãe não pode ficar sozinha com os filhos;- O pai não pode ficar sozinho com as filhas;- O prisioneiro não pode ficar sozinho com nenhum integrante da família,

somente com o policial;- O barco pode ir e vir quantas vezes for necessário.

Disponível no site: http://www.aulavaga.com.br/jogos/raciocinio/travessia-do-rio/

14 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...

Disponível em: http://adam.sertaoggi.com.br/encyclopedia/ency/article/002052.htmacesso em 25/11/2008

http://alea-espt.ine.pt/html/galvirt/html/galv0012-2/docs/mat.ppsacesso em 13/10/2008

http://www.bienalsbm.ufba.br/M35.pdfacesso em 06/11/2008

http://ccet.ucs/bracesso em 10/08/2008

http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/nanismo/acondroplasia.phpacesso em 25/11/2008

http://educacao.uol.com.br/matematicaacesso em 10/08/2008

http://esdica.com.sapo.pt/pagnet/curiosidades.htmacesso em 15/11/2008

www.fisica.net/cor/disco.htmacesso em 15/10/2008

http://mathematikos.psico.ufrgs.bracesso em 11/08/2008

http://www.mundoeducacao.uol.com.br/biologia/codigo_genetico.htmacesso em 17/10/2008

http://notapositiva.com/trab professores/textos apoio/matematica/escancomb.pdfacesso em 30/07/2008

www.saladefisica.cjb.netacesso em 15/10/2008

20

www.somatematica.com.bracesso em 08/09/2008

www.vestibulandoweb.com.bracesso em 11/08/2008

AZEVEDO, Heloiza de Aquino. Tarsila do Amaral A Primeira-Dama da Arte Brasileira Telas e Conceitos. Campinas – SP: Educação & Cia, 2005

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1ª. ed. São Paulo: Editora Ática, 2008

DEWDNEY, A. K. 20 000 Léguas Matemáticas Um passeio pelo misterioso mundo dos números. Rio de Janeiro: Jorge Zahar ed., 2000

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3ª. reim. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2008.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Coleção Matemática Uma nova abordagem. São Paulo: Editora FTD S.A., 2000.

GUELLI, Oscar. Matemática série brasil. 1ª. ed. São Paulo: Editora Ática, 2003.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Coleção Matemática para todos. 3ª. ed. São Paulo, 2007.

KISHIMOTO, Tizuko Morchida (org.). Jogo, Brinquedo, Brincadeira e a Educação. 8ª. ed. São Paulo: Editora Cortez, 2005.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da Educação Básica no Paraná: Matemática. Curitiba: SEED, 2006.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Orientações Curriculares: Matemática. Curitiba: SEED, 2006

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Livro Didático Público: Matemática Ensino Médio. Curitiba: SEED, 2006.

SOUZA, Prof. Júlio César de Mello e. Matemática Divertida e Curiosa. 25ª. Ed. Rio de Janeiro: 2008.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco, KIYUKAWA, Roku Saburo. Coleção Matemática. 1ª. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 1998.

TROTTA, Fernando. Matemática por assunto 4. São Paulo: Editora Scipione Ltda, 1988.

21