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Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas
Mestrado em Engenharia Civil
MECÂNICA I
Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas
Eduardo Pereira
Luís Guerreiro
2009/2010
i
Índice
Índice...................................................................................................................................... i
1 Introdução...................................................................................................................... 1
1.1 Conceitos fundamentais .........................................................................................................1
1.2 Apoios .....................................................................................................................................3
1.3 Articulações ou rótulas............................................................................................................6
2 Equilíbrio estático e estatia ............................................................................................ 7
2.1 Estatia do corpo rígido a duas e três dimensões....................................................................7
2.2 Estatia de estruturas .............................................................................................................13
2.3 Estatia interior e malhas fechadas........................................................................................17
2.4 Método das estruturas arborescentes ..................................................................................20
2.5 Exercícios propostos.............................................................................................................22
3 Estruturas articuladas .................................................................................................. 27
3.1 Definição ...............................................................................................................................27
3.2 Modelo de barra de estrutura articulada...............................................................................27
3.3 Estatia de estruturas articuladas...........................................................................................29
3.4 Cálculo de esforços em estruturas articuladas isostáticas...................................................31
3.5 Método dos Nós ....................................................................................................................33
3.6 Método das Secções ............................................................................................................35
3.7 Estruturas articuladas tridimensionais ..................................................................................37
3.8 Exercícios propostos.............................................................................................................41
4 Esforços em peças lineares ......................................................................................... 47
4.1 Introdução .............................................................................................................................47
4.2 Definição de esforço .............................................................................................................47
4.3 Diagramas de esforços .........................................................................................................50
4.4 Relações entre esforços e forças aplicadas para estruturas reticuladas planas ................52
4.5 Exemplo de aplicação...........................................................................................................54
4.6 Relações entre esforços e forças aplicadas para estruturas reticuladas tridimensionais ....57
4.7 Exercícios propostos.............................................................................................................60
1
1 Introdução
Estes apontamentos destinam-se a guiar a aprendizagem no domínio do Equilíbrio de
Estruturas Isostáticas. A organização adoptada segue de perto as metodologias de
ensino da unidade curricular de Mecânica I, leccionada no 1º ano do curso de mestrado
em Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico. Muitos dos exemplos e exercícios
propostos têm como base os exercícios adoptados em enunciados de problemas e de
exames das unidades curriculares de Estática e Mecânica I, da responsabilidade do
Prof. Ildefonso Cabrita Neves até ao ano lectivo de 2006/2007.
A organização adoptada compreende quatro capítulos:
• o presente capítulo, Introdução, procura introduzir os conceitos fundamentais
ligados à Análise de Estruturas e que serão utilizados ao longo de todos os
apontamentos;
• no capítulo 2, Equilíbrio Estático e Estatia, são apresentados os conceitos de
indeterminação estática;
• no capítulo 3 procede-se ao estudo das Estruturas Articuladas, treliças na
designação brasileira. A análise deste tipo de estruturas, para além do seu
interesse prático, permite a apreensão de muitos dos conceitos ligados ao
equilíbrio de estruturas, tendo como campo de aplicação estruturas simples;
• o capítulo 4 é dedicado aos Esforços e Diagramas de Esforços em estruturas
reticuladas isostáticas. Assunto de inegável interesse no domínio da Análise de
Estruturas, é a base essencial onde assentam muitos dos conceitos que serão
estudados no âmbito da Mecânica Estrutural e Estruturas ao longo de todo o
curso de Engenharia Civil.
Em todo o desenvolvimento destes apontamentos procura-se aliar o rigor dos conceitos
com o recurso a modelos intuitivos que permitam uma mais fácil compreensão. A
apresentação dos diferentes temas fará recurso a exemplos que permitam a aplicação e
demonstração dos conceitos a casos concretos. O estudo das diferentes matérias é
complementado com a apresentação de alguns problemas resolvidos e de um conjunto
de problemas cuja resolução se propõe.
1.1 Conceitos fundamentais
Antes de iniciar o estudo do Equilíbrio de Estruturas Isostáticas, interessará definir alguns
conceitos básicos para que no desenrolar da apresentação das diferentes matérias não
surjam dúvidas sobre qual o seu significado e âmbito. Procuraremos nestes
apontamentos seguir a nomenclatura introduzida no “Vocabulário de Teoria das
2
Estruturas”1, com as necessárias adaptações, do qual transcrevemos desde já o seguinte
conceito:
Estrutura – Elemento ou conjunto de elementos adequado a resistir às causas exteriores
capazes de produzir ou alterar o estado de tensão ou de deformação do corpo.
Tendo em conta esta definição, a estrutura de um corpo será o conjunto de elementos
que garantem a integridade do corpo perante acções externas. Diferentes ópticas
poderão ser adoptadas para a classificação das estruturas. Estes apontamentos centrar-
se-ão no estudo de Estruturas reticuladas isto é estruturas constituídas por peças
lineares, em que:
Peça linear – Corpo que se pode considerar gerado por uma figura plana, de forma e
dimensões não necessariamente constantes, cujo centro de gravidade percorre uma
trajectória ao longo de uma linha de grande raio de curvatura à qual a figura se mantém
perpendicular e cuja extensão da trajectória é largamente superior às dimensões da
figura;
Eixo de uma peça linear – Trajectória do centro de gravidade da figura geradora da
peça linear;
Secção transversal de uma peça linear – Secção de uma peça linear resultante da sua
intersecção por um plano normal ao eixo.
Figura 1.1: Exemplo de peça linear
Pórtico – Estrutura reticulada constituída principalmente por peças lineares horizontais e
verticais.
Estrutura reticulada plana – Estrutura constituída por peças lineares cuja geometria se
pode referir a um mesmo plano (os eixos das peças lineares estão no mesmo plano) e
estão submetidas à acção de sistemas planos de forças, isto é, forças cujas linhas de
acção estão no mesmo plano da estrutura.
1 Vocabulário de Teoria das Estruturas, Especificação E183-1966, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1966.
3
Pórtico Plano – Estrutura reticulada plana constituída principalmente por peças lineares
horizontais e verticais.
De entre os diferentes tipos de peças lineares centraremos a nossa atenção no caso das
peças lineares de eixo recto e mais concretamente no caso das peças prismáticas,
isto é, peças lineares de eixo recto e secção transversal constante.
Na figura 1.2 apresentam-se a título de exemplo representações de diferentes estruturas
reticuladas constituídas por peças lineares de eixo recto. Saliente-se que habitualmente
as peças lineares apenas são representadas pelo seu eixo. Numa estrutura reticulada, os
cruzamentos de peças lineares são habitualmente designados como nós, designando-se
como barras as peças lineares compreendidas entre nós consecutivos.
a) Pórtico plano de dois pisos b) Estrutura reticulada plana com uma articulação
c) Pórtico tridimensional de um piso
Figura 1.2: Exemplos de estruturas reticuladas.
1.2 Apoios
A ligação das estruturas reticuladas ao exterior é materializada por apoios. Nas figuras
1.3a e 1.3b apresentam-se exemplos de diferentes sistemas de apoio, respectivamente
em estruturas reticuladas planas e tridimensionais. Nas mesmas figuras indicam-se quais
as forças de ligação que se podem mobilizar bem como quais os deslocamentos
permitidos.
4
Encastramento – impede todos os deslocamentos, através das forças de ligação generalizadas (M, V, H);
Encastramento deslizante – permite o deslocamento paralelo ao plano de deslizamento (δ), impede a rotação e o deslocamento perpendicular ao plano de deslizamento através das forças de ligação generalizadas (M, F);
Apoio fixo – permite a rotação (θ), impede todas as translações através de duas forças de ligação (por exemplo: V, H);
Apoio móvel – permite a rotação (θ) e o deslocamento paralelo ao plano de deslizamento (δ), impede a translação perpendicular ao plano de deslizamento através de uma força de ligação (F);
Figura 1.3a: Apoios para estruturas reticuladas planas.
5
Encastramento – impede todos os deslocamentos, através das forças de ligação generalizadas (Fx; Fy; Fz; Mx; My; Mz);
Apoio fixo esférico – permite todas as rotações (θx; θy; θz;), impede todas as translações através de três forças de ligação (Fx; Fy; Fz);
Apoio fixo cilíndrico – permite a rotação segundo o eixo do cilindro (θx), impede os restantes deslocamentos através das forças de ligação generalizadas (Fx; Fy; Fz; My; Mz);
Encastramento deslizante – permite as translações segundo o plano de deslizamento (δx; δy), impede todas as rotações e a translação perpendicular ao plano de deslizamento através das forças de ligação generalizadas (Fz; Mx; My; Mz);
Apoio móvel esférico – permite todas as rotações (θx; θy; θz;) e as translações segundo o plano de deslizamento (δx; δy), impede a translação perpendicular ao plano de deslizamento através da força de ligação (Fz);
Apoio móvel cilíndrico – permite a rotação segundo o eixo do cilindro (θx) e as translações segundo o plano de deslizamento (δx; δy), impede os restantes deslocamentos através das forças de ligação generalizadas (Fz; My; Mz);
Figura 1.3b: Apoios para estruturas reticuladas tridimensionais.
6
1.3 Articulações ou rótulas
Na ligação entre as diferentes barras considera-se habitualmente a existência de
continuidade, isto é, obrigando a que sejam iguais todos os deslocamentos, translações e
rotações, nas extremidades das barras a ligar. Contudo por vezes pretende-se que a
ligação entre as barras não seja completa, podendo ser efectuada obrigando apenas à
continuidade de alguns dos deslocamentos.
De entre as diferentes ligações incompletas entre barras as mais habituais são as
articulações, ou rótulas, as quais impedem a translação relativa entre as extremidades
das barras que ligam permitindo no entanto a sua rotação relativa. Nas estruturas
articuladas, como a representada na figura 1.4, a ligação entre as diferentes barras é do
tipo articulação ou rótula.
Figura 1.4: Exemplo de estrutura articulada.
7
2 Equilíbrio estático e estatia
2.1 Estatia do corpo rígido a duas e três dimensões
Considere-se um corpo no espaço tridimensional sujeito a um conjunto de forças como o
representado na figura 2.1. De acordo com a generalização da 1ª lei de Newton para o
caso dos corpos rígidos, ”um corpo manter-se-á em repouso ou em movimento rectilíneo
e uniforme se for nula a resultante das forças aplicadas”, o equilíbrio estático do corpo é
garantido se se verificar o seguinte conjunto de equações:
��
��
�
=
=
�
�0M
0F
i
Pi
ii
��
��
(2.1)
em que os somatórios são estendidos a todas as forças aplicadas no corpo, sendo a
equação de equilíbrio de momentos referida a um qualquer ponto P do espaço. Tratando-
se de um corpo rígido ou de um corpo sujeito a pequenas deformações, as equações de
equilíbrio (2.1) são estabelecidas na posição indeformada do corpo.
Figura 2.1: Corpo rígido sujeito a um campo de forças genérico.
O sistema de equações vectoriais (2.1), quando expresso num sistema de coordenadas
cartesiano (x,y,z) corresponde a um sistema de seis equações escalares do tipo:
�����
�
�����
�
�
=
=
=
=
=
=
�
�
�
�
�
�
0M
0M
0M
0F
0F
0F
i
Pzi
i
Pyi
i
Pxi
izi
iyi
ixi
(2.2)
8
Num corpo rígido em equilíbrio nem sempre são conhecidas a priori todas as forças
aplicadas sobre o mesmo, visto que algumas das forças podem resultar da fixação do
valor de deslocamentos em alguns pontos do corpo. Estas forças, designadas por forças
de ligação, tomarão o valor necessário para que, simultaneamente, seja satisfeito o
equilíbrio do corpo e seja respeitado o valor fixado para os deslocamentos. Nesta
situação, a satisfação do equilíbrio do corpo rígido passa pela obtenção de uma solução
para o sistema (2.2) em termos dos valores das forças de ligação.
Tome-se como exemplo o caso da viga representada na figura 2.2a, sujeita à acção de
duas forças aplicadas e em que se considera a introdução de restrições ao movimento
nas suas extremidades. Assim, considera-se a existência de um apoio fixo na
extremidade A, o qual impede qualquer translação deste ponto. Em contrapartida na
extremidade B, a existência de um apoio móvel que impede a translação desse ponto
segundo a direcção y.
Figura 2.2a: Viga simplesmente apoiada.
Figura 2.2b: Diagrama de corpo livre da Viga simplesmente apoiada
As restrições de deslocamento dos pontos A e B têm como resultado a aplicação nesses
pontos de forças, de valor a priori desconhecido, que garantam o equilíbrio da viga. No
caso do apoio B, esta força terá a direcção correspondente à da translação impedida, δy.
No apoio A, tanto a intensidade como a direcção da força são desconhecidas, pelo que
poder-se-ão considerar como desconhecidas as componentes da força de ligação
segundo o referencial cartesiano considerado x, y. Na figura 2.2b representa-se o
diagrama de corpo livre da viga, o qual corresponde à representação, na posição
indeformada da viga, do conjunto de todas as forças aplicadas na viga.
9
Tendo em conta o facto de se estar a estudar o equilíbrio da viga no plano, o sistema de
equações (2.2), pode ser escrito na forma:
��
�
��
�
�
=+−=
=++−=
=+=
�
�
�
0YLFaM
0YYFF
0XFF
B1i
Azi
BA1i
yi
A2i
xi
(2.3)
O que, como os valores de F1, F2, a e L são conhecidos a priori, corresponde a um
sistema de 3 equações a 3 incógnitas (XA, YA, YB). Este sistema de equações é um
sistema determinado ao qual corresponde a solução:
A 2
A 1
B 1
X F
Y F (L a) / L
Y F a / L
= −��� = −��
=��
(2.4)
O exemplo considerado exemplifica o caso de um corpo rígido para o qual o equilíbrio
estático corresponde à satisfação de um conjunto de três equações sendo que o conjunto
de forças a determinar corresponde a três incógnitas estáticas. Assim, considera-se estar
no caso de um problema dito isostático pois corresponde-lhe um sistema determinado
de três equações a três incógnitas.
Define-se como corpo rígido ou sistema de corpos rígidos isostático aquele para o qual
as condições de equilíbrio estático são descritas por um sistema de equações
determinado.
Considere-se agora a situação da viga representada nas figuras 2.3a e 2.3b, a qual
corresponde à situação da viga simplesmente apoiada (figura 2.2a), mas considerando
agora a existência na extremidade B de um apoio fixo, logo o impedimento das
translações segundo x e y desse ponto.
Figura 2.3a: Viga com dois apoios fixos.
10
Figura 2.3b: Diagrama de corpo livre da viga com dois apoios fixos.
Nesta situação haverá que considerar a existência de duas componentes na força de
ligação em B, XB e YB, tomando as equações de equilíbrio a seguinte forma:
��
�
��
�
�
=+−=
=++−=
=++=
�
�
�
0YLFaM
0YYFF
0XXFF
B1i
Azi
BA1i
yi
BA2i
xi
(2.5)
Este sistema é agora indeterminado pois correspondem-lhe três equações e quatro
incógnitas (XA, YA, XB e YB). Considerando que o grau de indeterminação pode ser
definido como o número mínimo de incógnitas cujo valor é necessário conhecer para que
o sistema se torne determinado, este sistema é indeterminado do 1º grau. O grau de
indeterminação também pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas
e o número de equações disponíveis.
Define-se como corpo rígido ou sistema de corpos rígidos hiperstático do grau n aquele
para o qual as condições de equilíbrio estático são descritas por um sistema de equações
indeterminado de grau n.
Retome-se novamente o exemplo da viga da figura 2.2a mas considerando agora que o
apoio em A apenas impede o deslocamento segundo y (ver figuras 2.4a e 2.4b).
Figura 2.4a: Viga com dois apoios móveis.
11
Figura 2.4b: Diagrama de corpo livre da viga com dois apoios móveis.
Para estas condições de apoio, as equações de equilíbrio tomam a seguinte forma:
��
�
��
�
�
=+−=
=++−=
==
�
�
�
0YLFaM
0YYFF
0FF
B1i
Azi
BA1i
yi
2i
xi
(2.6)
Para além do facto de estarmos em presença de um sistema de três equações a duas
incógnitas, no caso geral, F2 � 0, este sistema é impossível pois não existe nenhuma
solução, par de valores YA e YB, que satisfaça a primeira equação de equilíbrio. Contudo,
é possível obter uma solução que respeite simultaneamente as equações de equilíbrio de
forças segundo y e de momentos.
Define-se como corpo rígido ou sistema de corpos rígidos hipostático do grau n aquele
para o qual as condições de equilíbrio estático são descritas por um sistema de equações
impossível, caracterizado pela existência de um número de equações superior ao número
de incógnitas, tal que: n = nº de equações – nº de incógnitas.
Os casos apresentados anteriormente dizem respeito ao equilíbrio de corpos rígidos no
espaço bidimensional sendo o equilíbrio estático estabelecido através de um conjunto de
três equações de equilíbrio. Nesta situação é necessário, para que se garanta a
existência de uma solução única para este sistema de equações, que o número de
incógnitas, forças de ligação, seja igual a três. Nesta situação considera-se o corpo como
isostático. Se o número de ligações corresponder à existência de mais do que três
forças de ligação, considera-se o corpo como hiperstático. Se o número de ligações
corresponder à existência de menos do que três forças de ligação, considera-se o corpo
como hipostático.
Para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço tridimensional é necessário a satisfação
de seis equações de equilíbrio. Assim, considera-se o corpo como isostático se o
numero de forças de ligação for igual a seis, hiperstático se superior a seis e
hipostático se inferior a seis.
12
Convirá referir que existirão casos em que, apesar das equações de equilíbrio estático e
das forças de fixação serem em igual número, podermos estar na presença de problemas
não isostáticos. Tome-se por exemplo a viga representada nas figuras 2.5a e 2.5b.
Para estas condições de apoio, as equações de equilíbrio tomam a seguinte forma:
��
�
��
�
�
=−=
=+−=
=++=
�
�
�
0FaM
0YFF
0XXFF
1i
Azi
A1i
yi
BA2i
xi
(2.7)
Apesar de estarmos na presença de um sistema de três equações a três incógnitas, este
sistema não tem solução. A primeira equação é indeterminada, a segunda tem solução e
a terceira equação é impossível.
Figura 2.5a: Viga com ligações mal distribuídas.
Figura 2.5b: Diagrama de corpo livre da viga com ligações mal distribuídas.
Estas situações em que simultaneamente o sistema de equações é indeterminado e
impossível correspondem em geral ao caso de corpos com ligações mal distribuídas.
Na verdade, a viga representada na figura 2.5a apresenta um excesso de forças de
ligação na direcção x, enquanto que apresenta uma falta de forças de ligação que lhe
permita o equilíbrio de momentos segundo z. A mesma conclusão poderia ser retirada se
se tivesse em conta que todas as forças de ligação são concorrentes num ponto,
permitindo apenas o equilíbrio de sistemas de forças aplicadas cuja resultante passe
também nesse ponto.
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2.2 Estatia de estruturas
Na secção anterior abordou-se a questão da estatia de um corpo rígido, no entanto uma
estrutura pode ser constituída como a associação de corpos rígidos para os quais se
especificam as condições de ligação entre si e entre si e o exterior. No âmbito destes
apontamentos considerar-se-ão estruturas constituídas pela associação de peças
lineares, isto é, corpos em que uma dimensão é bastante superior às outras, de forma a
poderem ser representados por uma linha, o seu eixo.
Tome-se como exemplo a estrutura representada na figura 6a, constituída por duas
barras de eixo recto ligadas entre si por uma articulação (rótula).
Figura 2.6a: Pórtico de duas barras e uma rótula.
Figura 2.6b: Diagrama de corpo livre do pórtico de duas barras e uma rótula.
Tendo em conta o diagrama de corpo livre da estrutura (figura 2.6b) e adoptando a
metodologia seguida na secção anterior podem-se estabelecer as seguintes equações de
equilíbrio, considerando toda a estrutura como um único corpo:
��
�
��
�
�
=+++=
=++=
=++=
�
�
�
0XHYLFHFLM
0YYFF
0XXFF
CCX1Y1i
Azi
CAYi
yi
CAXi
xi
(2.8)
14
Este sistema é indeterminado pois correspondem-lhe três equações e quatro incógnitas
(XA, YA, XC e YC), podendo classificar-se a estrutura como sendo exteriormente
hiperstática do 1º grau. A designação de exteriormente hiperstática corresponde a
salientar o facto de existirem forças de ligação ao exterior em excesso em relação ao
número de equações de equilíbrio estático disponíveis para a estrutura quando
considerada como um só corpo rígido. Da mesma forma e analogamente ao
procedimento seguido na secção anterior poderemos considerar uma estrutura como
exteriormente isostática quando as equações de equilíbrio estático estabelecidas
considerando a estrutura como um só corpo permitem determinar todas as forças de
ligação exterior e exteriormente hipostática quando este sistema de equações de
equilíbrio estático não tem solução.
Retomemos agora a análise da estrutura representada na figura 2.6a. Apesar de
considerada como constituída por corpos rígidos, a forma como os mesmos estão ligados
não a torna num corpo rígido, a ligação articulada existente em B permite a rotação
relativa das barras, impedindo a transmissão de momento na ligação. Considerem-se
então os diagramas de corpo livre de cada uma das suas barras como representado na
figura 2.6c. Estes diagramas são elaborados tendo em conta que as únicas forças de
ligação entre as barras (XB e YB), pelo princípio da acção-reacção apresentam sentidos
opostos, quando referidas a cada um dos corpos que ligam
Figura 2.6c: Diagrama de corpo livre das barras constituintes do pórtico de duas barras e uma rótula.
As equações de equilíbrio de cada um dos corpos podem ser escritas na forma:
��
�
��
�
�
=+=
=++=
=+=
�
�
�
0FLYLM
0FYYF
0XXF
Y1Bi
Azi
YBAi
yi
BAi
xi
(2.9)
15
��
�
��
�
�
=+−+=
=−=
=+−=
�
�
�
0FHYLYLXHM
0YYF
0FXXF
X1BCCi
Azi
BCi
yi
XBCi
xi
(2.10)
O conjunto de equações de equilíbrio, (2.9) e (2.10) permite estabelecer um sistema de
seis equações a seis incógnitas, o qual é determinado, desta forma podemos afirmar que
este sistema de corpos rígidos é globalmente isostático. De forma a simplificar o
problema, adicionem-se separadamente as duas equações de equilíbrio de forças em X,
as duas equações de equilíbrio de forças em Y e as duas equações de equilíbrio de
momentos presentes nas equações (2.9) e (2.10). Desta operação resulta a eliminação
das forças de ligação (XB e YB), recuperando-se as equações globais de equilíbrio (2.8).
Contudo, o conjunto de equações (2.9) e (2.10) contem mais informação do que a contida
nas equações de equilíbrio global (2.8). Por exemplo, para o sistema de equações (2.9),
é possível reescrever as duas primeiras equações de equilíbrio de forma a determinar as
forças de ligação interiores em função das forças de ligação exteriores:
���
−−=−=
YAB
AB
FYYXX
(2.11)
e, simultaneamente, escrever a equação de equilíbrio de momentos em função apenas
das forças de ligação exteriores:
( ) 0FLLYL Y1A =−+ (2.12)
A equação (2.12) corresponde ao equilíbrio de momentos em B estabelecido para a barra
AB, exprimindo a não transmissão de momentos entre as barras AB e BC através da
ligação em B. A associação da equação (2.12) ao sistema de equações de equilíbrio
global (2.8), permite escrever o seguinte sistema de equações:
( )���
�
���
�
�
=−+=
=+++=
=++=
=++=
�
�
�
�
0FLLYLM
0XHYLFHFLM
0YYFF
0XXFF
Y1Ai
1Bzi
CCX1Y1i
Azi
CAYi
yi
CAXi
xi
(2.13)
Este sistema de quatro equações a quatro incógnitas permite a determinação das forças
de ligação exteriores. Saliente-se mais uma vez que o sistema (2.13) resulta da
associação das três equações de equilíbrio global (2.8) com a equação de equilíbrio
interno (2.12) associada à libertação existente em B. As forças de ligação poderão ser
16
facilmente obtidas, após a determinação da solução do sistema (2.13), bastando para tal
utilizar as equações (2.11).
Da análise deste exemplo pode-se concluir que a estrutura é globalmente isostática
pois tendo como base apenas equações de equilíbrio estático é possível determinar
todas as forças de ligação ao exterior e ainda as forças de ligação internas. Apesar de
hiperstática exteriormente, isto é, na análise da sua ligação ao exterior se identificar um
número maior de forças de ligação externas do que de equações de equilíbrio, a
hipostatia interior, existência de uma ligação incompleta entre os seus elementos
materializada pela articulação em B, permite a resolução da estrutura.
Com base nos resultados anteriores, pode-se concluir que a análise da estatia de corpos
rígidos pode ser feita a diferentes níveis. Assim, a estatia exterior permite classificar
qual o grau de indeterminação estática do sistema tendo em conta as equações de
equilíbrio global e o número de forças de ligação ao exterior. A estatia global permite,
tendo em conta as equações de equilíbrio de cada um dos corpos que constituem o
sistema e o conjunto de forças de ligação interiores e exteriores, classificar o grau de
indeterminação estática do sistema de corpos rígidos. A estatia interior permite
classificar o grau de indeterminação estática do sistema de corpos considerando as
equações de equilíbrio de cada um dos corpos constituintes do sistema e admitindo que o
equilíbrio global do sistema se encontra a priori garantido.
No caso geral, o grau de indeterminação estática exterior (ααααe), isto é, a estatia
exterior pode ser calculada através da diferença entre o número de forças de ligação
exteriores e o número de equações de equilíbrio global disponíveis. No caso de
estruturas tridimensionais o número de equações de equilíbrio será em geral seis,
enquanto que no caso de estruturas planas será igual a três.
O grau de indeterminação estática global (ααααg), isto é, a estatia global pode ser
determinada pela diferença entre o número total de forças de ligação, interiores e
exteriores, e o número de equações de equilíbrio estático, considerando o equilíbrio em
separado de cada um dos corpos que constitui o sistema.
O grau de indeterminação estática interior (ααααi), isto é, a estatia interior pode ser
determinada, considerando o equilíbrio em separado de cada um dos corpos que
constitui o sistema, através da diferença entre o número de forças de ligação interiores e
o número de equações de equilíbrio interior. O número de equações de equilíbrio interior
pode ser determinado, no caso tridimensional, considerando a existência de seis
equações de equilíbrio por corpo rígido ao qual se subtrai o número de equações de
equilíbrio global (seis). No caso plano, o número de equações de equilíbrio interior é igual
17
a três vezes o número de corpos rígidos descontado do número de equações de
equilíbrio global (três)
Alternativamente, o grau de indeterminação estática global (ααααg) pode ser determinado
através da soma do grau de hiperstatia exterior com o grau de hiperstatia interior.
Na tabela 2.1 apresenta-se um resumo destas definições considerando:
nR - o número de forças de ligação exteriores;
nL - número de forças de ligação interiores;
nB - número de corpos constituintes do sistema.
Plano Tridimensional
Estatia exterior 3nRe −=α 6nRe −=α
Estatia interior ( )1n3n BLi −−=α ( )1n6n BLi −−=α
Estatia global BLRieg n3nn −+=α+α=α BLRieg n6nn −+=α+α=α
Tabela 2.1: Definição dos graus de indeterminação estática para sistemas de corpos rígidos
2.3 Estatia interior e malhas fechadas
Como se viu anteriormente, a estatia interior de uma estrutura depende do balanço entre
equações de equilíbrio interior e número de forças interiores de ligação. Considere-se a
propósito a estrutura representada na figura 2.7a.
Figura 2.7a: Estrutura reticulada plana de três rótulas.
De acordo com os critérios definidos anteriormente para estruturas planas, esta estrutura
pode ser classificada como hiperstática exterior do 1º grau pois existem quatro forças de
ligação exteriores e apenas três equações de equilíbrio global. Em relação à estatia
interior considerem-se as subdivisões em barras representadas nas figuras 2.7b e 2.7c.
De acordo com a subdivisão representada na figura 2.7b, considera-se a existência de
18
oito forças de ligação internas generalizadas (forças e momentos) e quatro corpos
rígidos, logo nove equações de equilíbrio interno, e consequentemente uma hipostatia
interior do 1º grau. No caso da subdivisão representada na figura 2.7c, considera-se a
existência de duas forças de ligação internas generalizadas e dois corpos rígidos, logo
três equações de equilíbrio interno, correspondendo também a uma hipostatia interior do
1º grau.
Figura 2.7b: Estrutura reticulada plana de três rótulas – subdivisão em quatro barras.
Figura 2.7c: Estrutura reticulada plana de três rótulas – subdivisão em duas barras.
Conclui-se assim que o número de corpos rígidos em que se subdividiu a estrutura não
teve influência na determinação da estatia internas. Esta conclusão não pode contudo ser
generalizada para todas as estruturas.
Considere-se o caso de uma estrutura contendo uma malha fechada, isto é, uma
estrutura em que existe no seu interior um conjunto de barras que formam uma circulação
fechada, como por exemplo as barras BC, CD, DE e EB do pórtico plano de dois pisos
representado na figura 2.8a.
19
Figura 2.8a: Pórtico plano de dois pisos.
Considerando o pórtico como um único corpo rígido, a estrutura poderia ser considerada
como interiormente isostática, contudo, subdividindo a estrutura em dois corpos rígidos
como os representados na figura 2.8b, conclui-se que para três equações de equilíbrio
interno há a considerar seis forças de ligação generalizadas, logo uma hiperstatia interior
do 3º grau.
Figura 2.8b: Pórtico plano de dois pisos – subdivisão em dois corpos rígidos.
A razão para que o primeiro raciocínio não seja correcto radica no facto desta estrutura
conter uma malha fechada, logo a estrutura “fechar-se” sobre si mesma, tendo ligações
interiores super-abundantes. A mesma conclusão poderia ser extraída se, em vez da
separação do pórtico em dois corpos rígidos, se considerasse apenas a quebra da malha
fechada identificando as forças de ligação internas super-abundantes, como
exemplificado na figura 2.8c.
20
Figura 2.8c: Pórtico plano de dois pisos – consideração de apenas um corpo rígido.
Do que foi exposto conclui-se que na análise da estatia de estruturas que contenham
malhas fechadas há que considerar as forças de ligação correspondentes às ligações
super-abundantes, no caso de estruturas planas corresponderão a três forças de ligação
generalizadas por malha fechada, enquanto que em estruturas tridimensionais
corresponderão a seis forças de ligação generalizadas por malha fechada.
2.4 Método das estruturas arborescentes
Para a determinação da estatia global de uma estrutura é possível o recurso, em
alternativa às metodologias apresentadas anteriormente, ao Método das Estruturas
Arborescentes. O Método das Estruturas Arborescentes tem como base o facto de uma
estrutura encastrada, sem malhas fechadas nem libertações, como a representada na
figura 2.9, ser uma estrutura isostática. Tendo como base este princípio, este método
aplica-se através da introdução de “cortes” ou “ligações introduzidas” na estrutura em
análise até a tornar num conjunto de estruturas arborescentes independentes. O número
de estruturas arborescentes a considerar deverá ser, no mínimo, igual ao número de
apoios da estrutura.
Figura 2.9: Estrutura arborescente.
21
A introdução de um “corte” numa barra de uma estrutura plana corresponde à libertação
de três forças generalizadas de ligação o que corresponde à identificação de três
incógnitas estáticas. No caso de uma barra de uma estrutura tridimensional, um “corte”
corresponderá à identificação de seis incógnitas estáticas.
Cada “ligação introduzida” corresponderá à identificação de uma equação de equilíbrio.
Nas figuras 2.10a, 2.10b, 2.10c e 2.10d apresenta-se a aplicação deste método ao caso
das estruturas apresentadas nas figuras 2.2a, 2.6a, 2.7a e 2.8a, respectivamente. Para
exemplificar a utilização do método das estruturas arborescentes em estruturas
reticuladas tridimensionais, apresenta-se na figura 2.10e a aplicação deste método ao
caso de um pórtico tridimensional de um piso.
3 Ligações cortadas ( || )
3 Ligações introduzidas ( )
Estatia global - isostática
Figura 2.10a: Viga simplesmente apoiada – aplicação do método das estruturas arborescentes.
3 Ligações cortadas ( || )
3 Ligações introduzidas ( )
Estatia global - isostática
Figura 2.10b: Pórtico de duas barras e uma rótula – aplicação do método das estruturas arborescentes.
3 Ligações cortadas ( || )
3 Ligações introduzidas ( )
Estatia global - isostática
Figura 2.10c: Estrutura reticulada plana de três rótulas – aplicação do método das estruturas arborescentes.
22
6 (2x3) Ligações cortadas ( || )
2 Ligações introduzidas ( )
Estatia global - hiperstática do
4º grau
Figura 2.10d: Pórtico plano de dois pisos – aplicação do método das estruturas arborescentes.
24 (4x6) Ligações cortadas ( || )
0 Ligações introduzidas ( )
Estatia global - hiperstática do
24º grau
Figura 2.10e: Pórtico tridimensional de um piso – aplicação do método das estruturas arborescentes.
2.5 Exercícios propostos
P2.1
Analise os corpos rígidos planos indicados, quanto à estatia exterior. Diga se o equilíbrio é possível ou não em face das acções indicadas. (Nota: nas alíneas a, b e c as cargas são complanares e com qualquer direcção)
23
24
P2.2
Analise a estatia exterior, interior e global das estruturas planas seguintes.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j) k)
25
l) m)
n) o)
P2.3
O pórtico tridimensional indicado na figura tem três ligações ao exterior, em A, B e C. O apoio A permite os três movimentos de rotação, o apoio B apenas restringe os movimentos de translação segundo Z e o apoio C restringe os movimentos de translação segundo Y e Z. Analise a estatia exterior, interior e global da estrutura.
27
3 Estruturas articuladas
3.1 Definição
Definem-se como estruturas articuladas, treliças na terminologia portuguesa do Brasil, as
estruturas reticuladas cujas barras estão ligadas entre si e com o exterior por articulações
ou rótulas. Este modelo estrutural procura representar estruturas, tridimensionais ou
planas, constituídas por barras de eixo recto, que estão sujeitas predominantemente a
cargas nos nós e cujos nós têm uma capacidade de transmissão de momentos
desprezável. Em Portugal é possível encontrar inúmeros exemplos deste tipo de
estruturas, nomeadamente no caso das pontes ferroviárias metálicas no final do sec XIX
e em muitos sistemas estruturais associados a coberturas.
3.2 Modelo de barra de estrutura articulada
Tendo em conta a definição de estrutura articulada, é possível estudar o equilíbrio de
uma barra genérica deste tipo de estrutura como a representada na figura 3.1. Sendo
uma barra com articulações em ambas as extremidades, os momentos de ligação iniciais
e finais consideram-se nulos. Assim, apenas haverá que considerar forças de ligação nas
extremidades da barra. Na figura 3.1 representam-se estas forças de ligação através das
suas componentes num referencial cartesiano (x,y,z), em que a direcção do eixo x
coincide com a direcção do eixo da barra.
Figura 3.1: Diagrama de corpo livre de barra de estrutura articulada.
Tendo em conta que nas estruturas articuladas não se considera a existência de forças
aplicadas no vão das barras, as forças representadas na figura 3.1 representam a
28
totalidade das acções a considerar no equilíbrio da barra. Assim, o equilíbrio da barra
pode ser descrito através do seguinte sistema de seis equações de equilíbrio:
�����
�
�����
�
�
==
==
==
=+=
=+=
=+=
�
�
�
�
�
�
0YLM
0ZLM
00M
0ZZF
0YYF
0XXF
Bi
Azi
Bi
Ayi
i
Axi
BAi
zi
BAi
yi
BAi
xi
(3.1)
A resolução deste sistema permite concluir que todas as forças de ligação são nulas à
excepção das forças segundo x que deverão obedecer à condição:
ABAB NXX =−= (3.2)
em que NAB é definido como sendo o Esforço Normal da barra, considerando-se positivo
quando é de tracção e negativo quando é de compressão como indicado na figura 3.2.
Esforço normal de tracção NAB = F > 0 Esforço normal de compressão NAB = - F < 0
Figura 3.2: Convenção de sinal para o esforço normal.
Contudo, tendo-se partido de um sistema de seis equações de equilíbrio com seis
incógnitas, não foi possível a determinação de todas as forças de ligação. Acresce que a
equação de equilíbrio de momentos segundo a direcção do eixo da barra presente no
sistema (3.1) resulta numa identidade 0=0.
O anulamento de todos os momentos de ligação na barra bi-articulada não permite a
resolução completa desta barra, resultando na existência de uma força indeterminada, o
esforço normal na barra, e de uma equação redundante, a correspondente ao equilíbrio
de momentos segundo o eixo. Esta equação redundante está associada à falta de
ligações que impeçam a rotação da barra em torno do seu eixo.
29
Tendo em conta os resultados anteriores, pode concluir-se que nas barras biarticuladas
de eixo recto não sujeitas a cargas de vão, como as constituintes das estruturas
articuladas, é possível exprimir o seu equilíbrio em função de uma única força de ligação,
o esforço normal da barra.
3.3 Estatia de estruturas articuladas
No capítulo anterior analisaram-se diferentes metodologias para a determinação da
estatia de estruturas reticuladas, sendo essas metodologias aplicáveis ao caso das
estruturas articuladas. Contudo tendo em conta a simplicidade de comportamento das
barras constituintes deste tipo de estrutura será possível adoptar uma metodologia mais
simples para a determinação da sua estatia.
Tome-se como exemplo a estrutura articulada representada na figura 3.3. Tendo em
conta as ligações ao exterior desta estrutura, facilmente se conclui como sendo a
estrutura isostática exteriormente.
Figura 3.3: Estrutura articulada plana.
Em relação à determinação da estatia interior, as metodologias anteriormente utilizadas
(Tabela 2.1) consistiam na avaliação do número de forças de ligação e do número de
equações de equilíbrio disponíveis.
O número de forças de ligação internas em cada articulação, nLi, depende do número de
barras envolvidas na articulação. Assim, considerando-se por um lado a existência de
duas forças de ligação por cada barra na articulação e por outro a satisfação das duas
equações de equilíbrio de forças no nó, então apenas se podem considerar como
independentes nLi = 2 x (nº de barras na articulação – 1).
O número de equações de equilíbrio interno será igual a 3x(nº de barras da estrutura -1).
Assim, para a estrutura representada na figura 3.3 ter-se-á:
Articulações ligando 2 barras 2 nº de ligações = 2 x 2 = 4
Articulações ligando 3 barras 2 nº de ligações = 2 x 4 = 8
Articulações ligando 4 barras 5 nº de ligações = 5 x 6 = 30
Total de forças de ligação internas nL = 42
30
Nº total de barras 15, nº de total de equações de equilíbrio interno = 3 x (15 – 1) = 42
Conclui-se assim que o número de forças de ligação é igual ao número total de equações
de equilíbrio interno logo que a estrutura é interiormente isostática. Esta avaliação da
estatia interna não teve em conta o resultado obtido na análise do equilíbrio do elemento
de barra biarticulada, tendo sido usada a metodologia geral de análise da estatia de
estruturas reticuladas.
Na secção anterior, em resultado da análise do equilíbrio do elemento de barra
biarticulada, conclui-se que no caso das estruturas articuladas haverá apenas que
considerar uma força de ligação interna por barra, logo um número de total de forças de
ligação internas igual ao número de barras, 15 no caso considerado. Simultaneamente,
tendo em conta que no equilíbrio do elemento de barra já foram utilizadas algumas das
equações de equilíbrio, não será possível considerar todas as equações de equilíbrio
interno determinadas anteriormente, mas sim apenas duas equações de equilíbrio de
forças por nó (três no caso tridimensional) às quais há que subtrair as três de equações
de equilíbrio global (seis no caso tridimensional) utilizadas para o estabelecimento da
estatia exterior.
Assim, no caso geral de uma estrutura articulada plana, o grau de indeterminação
estática interna resultará da diferença entre o número de incógnitas (nB) e o número de
equações de equilíbrio resultando em:
)3n2(n NBi −×−=α (3.3)
em que nB representa o número de barras da estrutura e nN o número de nós. No caso
tridimensional ter-se-á:
)6n3(n NBi −×−=α (3.4)
Para o caso da estrutura representada na figura 3.3, a aplicação da metodologia
expressa pela equação (3.1) resulta em:
0)392(15i =−×−=α .
Analogamente é possível definir a estatia global, para o caso plano, como,
NRBg n2nn ×−+=α (3.5)
em que nR representa o número de ligações exteriores da estrutura, e para o caso
tridimensional,
NRBg n3nn ×−+=α (3.6)
31
3.4 Cálculo de esforços em estruturas articuladas isostáticas
Nesta secção tratar-se-á apenas do caso particular das estruturas articuladas isostáticas,
isto é, estruturas articuladas para as quais é possível determinar as forças de ligação
exteriores e interiores tendo como base apenas as equações de equilíbrio. Interessará
assim, para uma estrutura articulada sujeita apenas a forças nodais, analisar as
metodologias que possibilitem o cálculo do esforço normal em cada uma das barras.
A forma de proceder ao cálculo dos esforços normais em estruturas articuladas
isostáticas, baseia-se no estabelecimento das equações de equilíbrio para cada ligação
articulada (duas no caso plano e três no caso tridimensional) em função dos esforços
normais das barras e das forças de ligação exteriores, as reacções de apoio. Este
procedimento corresponde à aplicação directa dos conceitos expressos pelas equações
(3.5) e (3.6).
Na figura 3.4a apresenta-se o caso de uma estrutura articulada, sujeita à acção de um
conjunto de forças nodais, para a qual se pretende efectuar o cálculo das reacções de
apoio e dos esforços nas barras.
Figura 3.4a: Estrutura articulada plana.
O cálculo destas diferentes grandezas pode ser feito com base no estabelecimento das
equações de equilíbrio de cada nó. Na figura 3.4b apresenta-se esquematizado o
equilíbrio em cada um dos nós da estrutura, sendo arbitrados como de tracção os
esforços nas diferentes barras.
32
Figura 3.4b: Equilíbrio dos nós numa estrutura articulada plana.
O sistema de equações correspondente às dez equações de equilíbrio de forças nos nós
pode ser escrito na forma:
Axi A AB AD
i
Ayi A AD
i
F H N N cos( ) 0
Nó AF V N sen( ) 0
� = + + α =��
= + α =��
�
�
Bxi AB BD BC BE
i
Byi BD BE
i
F N N cos( ) N N cos( ) 0
Nó BF N sen( ) N sen( ) 0
� = − − α + + α =��
= α + α =��
�
�
Cxi BC CE
i
Cyi C CE
i
F N N cos( ) 0
Nó CF V N sen( ) 0
� = − − α =��
= + α =��
�
�
Dxi DE BD AD
i
Dyi BD AD
i
F N N cos( ) N cos( ) 0
Nó DF N sen( ) N sen( ) 5 0
� = + α − α =��
= − α − α − =��
�
�
Exi DE BE CE
i
Eyi BE CE
i
F N N cos( ) N cos( ) 3 0
Nó EF N sen( ) N sen( ) 5 0
� = − − α + α + =��
= − α − α − =��
�
�
33
A resolução deste sistema de equações permite obter a seguinte solução:
�������
�
�������
�
�
=−=−=
=−=
=−=
==
−=
kN6VkN25,2N
kN5,7NkN25,1N
kN25,1NkN5,4NkN5N
kN6NkN4V
kN3H
C
DE
CE
BE
BD
BC
AD
AB
A
A
3.5 Método dos Nós
O procedimento de resolução de um sistema de equações de equilíbrio para toda a
estrutura, utilizado anteriormente para a estrutura da figura 3.4a, não é aquele que
habitualmente se utiliza. Alternativamente, é resolvida a estrutura através da obtenção e
resolução das equações de equilíbrio nó a nó, obtendo-se o valor dos esforços normais
das barras concorrentes nesse nó. Esta metodologia, designada como Método dos Nós,
só é possível adoptar quando em cada nó, no caso plano, apenas se desconhecem o
esforço em duas barras, três no caso tridimensional. De forma a aumentar o número de
nós onde é possível, a priori, aplicar este método, o procedimento de cálculo inicia-se
com a determinação do valor das reacções de apoio utilizando as equações de equilíbrio
global da estrutura. Seguidamente resolvem-se as equações nó a nó, tendo por base os
nós onde o número de equações de equilíbrio é maior ou igual ao número de esforços
não conhecidos.
A aplicação do Método dos Nós à estrutura representada na figura 3.4a resultaria na
seguinte sequência:
• Determinação das reacções de apoio:
xi Ai
yi A Ci
A Ci
F H 3 0
F V V 10 0
M 12 V 3 5 9 5 4 3 0
� = + =��� = + − =��� = × − × − × − × =��
�
�
�
A
A
C
H 3 kN
V 4 kN
V 6 kN
= −���
� =��
=��
34
• Resolução do Nó C
Cxi BC CE
BC CE BCi
CCE CEyi C CE
i
F N N cos( ) 0N N cos( ) 0 N 4,5 kN
6 N sen( ) 0 N 7,5 kNF V N sen( ) 0
� = − − α = − − α = =� �� � �� �� � �
+ α = = −= + α =� � �� ��
�
�
• Resolução do Nó E
Exi DE BE CE
i
Eyi BE CE
i
F N N cos( ) N cos( ) 3 0
F N sen( ) N sen( ) 5 0
� = − − α + α + =�
��= − α − α − =�
�
�
�
DE BE DE
BE BE
N N cos( ) 4,5 3 0 N 2,25 kN
N sen( ) 6 5 0 N 1,25 kN
− − α − + = = −� �� ��� �
− α + − = =� �� �
• Resolução do Nó B
Bxi AB BD BC BE
i
Byi BD BE
i
F N N cos( ) N N cos( ) 0
F N sen( ) N sen( ) 0
� = − − α + + α =�
��= α + α =�
�
�
�
AB BD AB
BD BD
N N cos( ) 4,5 0,75 0 N 6 kN
N sen( ) 1 0 N 1,25 kN
− − α + + = =� �� ��� �
α + = = −� �� �
• Resolução do Nó D
Dxi DE BD AD
i
Dyi BD AD
i
F N N cos( ) N cos( ) 0
F N sen( ) N sen( ) 5 0
� = + α − α =�
��= − α − α − =�
�
�
�
AD AD
AD AD
2,25 0,75 N cos( ) 0 N 5 kN
1 N sen( ) 5 0 N 5 kN
− − − α = = −� �� ��� �
− α − = = −� �� �
35
3.6 Método das Secções
Em algumas situações de resolução de estruturas articuladas, apenas se pretende obter
os esforços em algumas barras. Tome-se como exemplo a estrutura e acções
representadas na figura 3.5a para as quais se pretende determinar os esforços normais
nas barras CD, ID e IJ. Nesta figura assinalam-se ainda as notações e sentidos utilizados
para as reacções de apoio.
Figura 3.5a: Estrutura articulada plana.
Da mesma forma que para a resolução da estrutura pelo método dos nós, determine-se
em primeiro lugar o valor das reacções de apoio. Para tal, sendo a estrutura
exteriormente isostática, resolva-se o sistema constituído pelas equações de equilíbrio de
forças horizontais, verticais e de momentos referidos ao ponto A. Assim:
xi Ai
yi A Fi
Ai F
i
F H 3 0
F V V 25 0
M 30 V 3 5 9 5 15 5 21 5 27 5 4 3 0
� = + =��� = + − =��� = × − × − × − × − × − × − × =��
�
�
�
donde,
A
A
F
H 3 kN
V 12,1kN
V 12,9 kN
= −��� =��
=��
Para a determinação dos esforços normais nas barras CD, ID e IJ, considere-se agora
uma divisão da estrutura em duas sub estruturas através de um corte que seccione estas
três barras. Na figura 3.5b representa-se uma das sub estruturas resultante.
36
Figura 3.5b: Sub estrutura para cálculo de esforços normais nas barras CD, ID e IJ.
A partir do equilíbrio da sub estrutura representada na figura 3.5b é possível calcular os
esforços pretendidos. Por exemplo utilizando as equações de equilíbrio de forças
verticais, de momentos em I e de momentos em D,
yi IDi
Ii CD
i
Di IJ
i
F 12,1 15 N sen( ) 0
M 4 N 6 5 12 5 4 3 15 12,1 0
M 4 N 3 5 9 5 15 5 18 12,1 0
� = − − × α =��� = × + × + × − × − × =��� = − × + × + × + × − × =��
�
�
�
é possível obter,
ID
CD
IJ
N 3,625 kN
N 25,875 kN
N 20,7 kN
= −��� =��
= −��
O mesmo resultado poderia ser obtido se, em vez da sub estrutura da figura 3.5b, fosse
utilizada a sub estrutura representada na figura 3.5c,
Figura 3.5c: Sub estrutura para cálculo de esforços normais nas barras CD, ID e IJ.
37
yi IDi
Ii CD
i
Di IJ
i
F 12,9 10 N sen( ) 0
M 4 N 6 5 12 5 15 12,9 0
M 4 N 3 5 9 5 4 3 12 12,9 0
� = − + × α =��� = − × − × − × + × =��� = × − × − × − × + × =��
�
�
�
logo,
ID
CD
IJ
N 3,625 kN
N 25,875 kN
N 20,7 kN
= −��� =��
= −��
3.7 Estruturas articuladas tridimensionais
De forma a exemplificar a aplicação dos conceitos apresentados ao caso de estruturas
articuladas tridimensionais, apresenta-se na figura 3.6 o exemplo de uma estrutura
articulada tridimensional.
A estrutura é constituída nove barras e está apoiada nos nós A, C e D. O apoio em A
impede todas as translações, o apoio em D impede o deslocamento segundo x e o apoio
em C impede os deslocamentos segundo x e z. A estrutura está sujeita a uma força
vertical (segundo –z) de 5kN no nó E. Pretende-se determinar o valor dos esforços
normais em todas as barras.
Figura 3.6: Estrutura articulada tridimensional.
38
A determinação da estatia da estrutura é feita tendo em conta os resultados
apresentados no capítulo 2 e na secção 3.3. Assim, em relação à estatia exterior há a
considerar a existência de seis forças de ligação exteriores, logo:
066e =−=α
Para o caso da estatia interior considere-se a equação (3.4) e tendo em conta o número
de barras, nB = 9, e o número de nós, nN = 5, obtém-se para a estatia interior:
0)6n3(n NBi =−×−=α .
Assim a estrutura é considerada como exteriormente e interiormente isostática, logo
globalmente isostática. O mesmo resultado poder-se-ia obter recorrendo à equação (3.6)
e tendo em conta a existência de seis forças de ligação exteriores, nR = 6 :
0n3nn NRBg =×−+=α .
O cálculo de esforços na estrutura, quer pelo método dos nós quer pelo método das
secções, segue um procedimento análogo ao utilizado para o caso das estruturas
articuladas planas. Assim, pode ser iniciado com o cálculo das reacções de apoio
utilizando para tal as equações de equilíbrio global da estrutura. No caso da estrutura
apresentada estas podem tomar a forma:
�����
�
�����
�
�
=×−×−=
=×+×=
=×−×=
=−+=
==
=++=
�
�
�
�
�
�
0X6X3M
054X3M
053Z6M
05ZZF
0YF
0XXXF
CDi
Azi
Di
Ayi
Ci
Axi
CAi
zi
Ai
yi
DCAi
xi
donde,
A
A
A
C
D
C
X 3,333 kN
Y 0
Z 2,5 kN
Z 2,5 kN
X 6,667 kN
X 3,333 kN
=��� =�� =��
=��
= −��� =�
39
Conhecidos os valores das reacções de apoio é possível a aplicação do método dos nós
a partir das equações de equilíbrio para cada nó, em que se consideram à partida as
barras submetidas a esforços de tracção:
A xxi A AE
i
A y y yyi A AB AD AE
i
A zzi A AD
i
F X N 0
Nó A F Y N N N 0
F Z N 0
� = + =��� = + + + =��� = + =��
�
�
�
B xxi BE
i
B y yyi AB BC
i
B zzi BD
i
F N 0
Nó B F N N 0
F N 0
� = =��� = − + =��� = =��
�
�
�
C xxi C CE
i
C y y yyi BC CE CD
i
C zzi C CD
i
F X N 0
Nó C F N N N 0
F Z N 0
� = + =��� = − − − =��� = + =��
�
�
�
D xxi D DE
i
D y yyi AD CD
i
D z z zzi AD CD DE
i
F X N 0
Nó D F N N 0
F N N N 0
� = + =��� = − + =��� = − − − =��
�
�
�
E x x x xxi AE BE CE DE
i
E y yyi AE CE
i
E zzi DE
i
F N N N N 0
Nó E F N N 0
F N 5 0
� = − − − − =��� = − + =��� = − =��
�
�
�
40
As componentes no referencial (x,y,z) do esforço normal para uma barra genérica j ( xjN ,
yjN , z
jN ) podem ser escritas em função do esforço normal da barra ( jN ): x y zj j jx y z
j j j j j jj j j
L L LN N , N N , N N
L L L= = =
em que j
xj
LL
, j
yj
LL
, j
zj
LL
, representam os cossenos directores da direcção da barra e
xjL , y
jL e zjL representam o comprimento da projecção da barra segundo os eixos x, y e z,
respectivamente.
Assim, é possível obter os esforços nas diferentes barras começando o processo pelos
nós para os quais o número de incógnitas é igual ou inferior ao número de equações:
AE
AB AD AE
AD
43,333 N 0
5
3 3Nó A 0 N N N 0
53 2
32,5 N 0
3 2
�+ =�
��� + + + =���� + =��
AE
AB
AD
N 4,167 kN
N 5 kN
N 3,536 kN
= −���
� =��
= −��
BE BE
BC BC
BD BD
N 0 N 0
Nó B 5 N 0 N 5 kN
N 0 N 0
� �= =� �� �− + = � =� �� �
= =� �� �
CE
CE
CE CD CD
CD
43,333 N 0
5N 4,167 kN
3 3Nó C 5 N N 0 N 3,536 kN
5 3 20 0
32,5 N 0
3 2
�� + =� � = −� �� �− − − = � = −� �� �
=� ��� + =��
DEDE
DE
46,667 N 0
5 N 8,333 kN
Nó D 2,5 2,5 0 0 0
3 0 02,5 2,5 N 0
5
�− + =� � =� �� �− = � =� �� �
=� ��+ − =��
41
3,333 0 3,333 6,667 0 0 0
Nó E 2 2 0 0 0
5 5 0 0 0
− + − = =� �� �� �− = � =� �� �
− = =� �� �
Como se pode verificar da análise da resolução dos diferentes nós, existem seis
equações directamente satisfeitas. Estas equações resultam do facto de terem sido
impostas a priori seis equações de equilíbrio global, para a determinação das reacções
de apoio.
3.8 Exercícios propostos
P3.1
Analise a estatia exterior, interior e global das seguintes estruturas articuladas planas. a) b)
c) d) e)
f) g)
42
h) i)
P3.2
Determine os esforços axiais nas barras HD e IE do arco articulado representado na figura, utilizando o método dos nós.
P3.3
Para as estruturas articuladas sujeitas às acções representadas nas figuras seguintes, determine os esforços normais em todas as barras, utilizando o método dos nós.
a)
2,4 m
80 kN
H
A D C B
I J G K
E
L
2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m
3,2 m
60 kN 60 kN
30 kN
F
80 kN
43
b)
c)
d)
A
B
C
D
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
3 kN
2 kN
4 kN
F
G
H
I
J
K
L
M
E 5 kN
N
2,0 m 2,0 m
A
D C
B
E F
H G
I J
30º
2,0 m
2,0 m
2,0 m
2,0 m
3 kN
2 kN
20 kN 4 kN
30º
60 kN
H
B E D C
I J
A
K
F
L
2,8 m
80 kN 80 kN
30 kN
G
60 kN
2,8 m
2,1 m 2,1 m 2,1 m 2,1 m 2,1 m
44
P3.4
Para a estrutura articulada sujeita à acção do problema P3.3a, confirme, utilizando o método das secções, o resultado obtido para o esforço normal nas barras IJ e JC.
P3.5
Para a estrutura articulada sujeita à acção do problema P3.3c, confirme, utilizando o método das secções, o resultado obtido para o esforço normal nas barras EC e FD.
P3.6
Para a estrutura articulada sujeita à acção do problema P3.3d, confirme, utilizando o método das secções, o resultado obtido para o esforço normal nas barras BC e KL.
P3.7
Determine o esforço axial na barra IM da estrutura articulada representada na figura, utilizando o método das secções.
P3.8
Considere a estrutura representada na figura seguinte, sujeita ao carregamento nela indicado.
a) Calcule as reacções de apoio.
b) Calcule o esforço axial na barra diagonal 1.
c) Calcule os esforços axiais nas barras 2 e 3.
45
P3.9
Para a estrutura e acção representadas na figura seguinte, determine:
a) O valor das reacções nos apoios;
b) O valor dos esforços nas barras AI e JK.
P3.10
Determine o esforço axial na barra AB da estrutura articulada representada na figura, utilizando o método das secções. A carga P está aplicada no nó F e os triângulos ABC e DEF são equiláteros.
2,4 m
100 kN I
A D C B
J K H L
E
M
2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m
3,2 m
100 kN 100 kN 50 kN
2,4 m 2,4 m
F G
N O
100 kN
47
4 Esforços em peças lineares
4.1 Introdução
O presente capítulo pretende introduzir as noções básicas de esforços em peças
lineares, bem como as relacionadas com a determinação e traçado de diagramas de
esforços em estruturas isostáticas.
No âmbito do presente capítulo considerar-se-á que as estruturas em análise estão
sujeitas a pequenas deformações e deslocamentos pelo que se considerará que as
equações de equilíbrio podem, sem grande margem de erro, ser estabelecidas na sua
configuração indeformada. Esta hipótese faz com que se possa considerar que, para a
determinação das condições de equilíbrio, os diferentes elementos constituintes das
estruturas se comportam como corpos rígidos.
4.2 Definição de esforço
Considere-se uma estrutura composta por peças prismáticas e sujeita à acção de
diferentes forças como a representada na figura 4.1a.
Figura 4.1a: Pórtico plano.
Em resultado das acções a que a estrutura está sujeita geram-se nos seus diferentes
elementos tensões internas as quais contribuem para que os diferentes elementos da
estrutura se mantenham em equilíbrio. Tome-se por exemplo a secção transversal C da
barra BCD e considere-se os diagramas de corpo livre das duas sub-estruturas que
resultam de um corte ao longo da secção C como representado na figura 4.1b.
Considerando que a estrutura está em equilíbrio, cada uma das sub-estruturas também
deverá estar em equilíbrio. Assim, na secção C deverá estar instalada uma distribuição
de tensões que garanta o equilíbrio de cada uma das sub-estruturas. Esta distribuição de
48
tensões terá como elementos de redução, quando referidos a um ponto de referência,
uma força e um momento. Considerando estarmos na presença de uma estrutura plana
com acções no próprio plano, poder-se-á considerar como elementos de redução duas
componentes cartesianas da força e um momento perpendicular ao plano, como
representado na figura 4.1b.
Figura 4.1b: Pórtico plano – forças de ligação na secção C.
Definem-se como esforços o conjunto de forças generalizadas (força e momento) de
ligação interna numa secção transversal. Saliente-se que, sendo forças de ligação,
apresentam igual direcção e intensidade mas sentidos opostos em cada uma das facetas
da secção.
De forma a uniformizar a designação e convenção de sinais a utilizar na definição dos
esforços, surge a necessidade de considerar, para as peças lineares, um sistema de
eixos de referência. Assim, considere-se a peça linear tridimensional representada na
figura 4.2a, para a qual se define um sistema local de eixos de referência (x,y,z). Este
sistema de eixos de referência é escolhido por forma a que o eixo x coincida com o eixo
da peça linear, sendo a sua orientação arbitrária. Os eixos y e z formam com o eixo x um
sistema de eixos directo. No caso das estruturas planas o eixo y é perpendicular ao plano
da estrutura.
Figura 4.2a: Peça linear tridimensional – sistema de eixos de referência.
49
Como resulta da análise dos sentidos das forças de ligação indicadas na figura 4.b, o
sentido dos esforços depende da faceta considerada para referência. Assim a partir da
orientação adoptada para o eixo da barra (x), considera-se, para uma dada secção
transversal, como faceta positiva aquela que tem a normal exterior orientada no sentido
positivo do eixo x, designando-se como faceta negativa a que tem normal exterior com
orientação contrária à do eixo x (figura 4.2b).
Figura 4.2b: Peça linear tridimensional – definição de faceta positiva e de faceta negativa numa secção
transversal.
Tendo em conta os conceitos de faceta positiva e de faceta negativa, definem-se como
esforços positivos numa secção transversal aqueles que, numa faceta positiva, estão
orientados segundo o sentido positivo dos eixos da barra ou que numa faceta negativa
estão orientados segundo o sentido negativo dos eixos da barra. Simultaneamente
adoptam-se as seguintes designações e abreviaturas:
Força segundo x – Esforço Normal ou Esforço Axial (N)
Força segundo y – Esforço Transverso segundo y (Vy);
Força segundo z - Esforço Transverso segundo z (Vz);
Momento segundo x – Momento torsor (T);
Momento segundo y – Momento flector segundo y (My);
Momento segundo z – Momento flector segundo z (Mz).
Figura 4.2c: Peça linear tridimensional – definição dos esforços positivos numa secção transversal.
50
Para o caso de uma estrutura plana sujeita a forças no plano, representam-se na figura
4.3 os esforços positivos numa secção transversal.
Figura 4.3: Peça linear plana – definição dos esforços positivos numa secção transversal
4.3 Diagramas de esforços
Representando os esforços as forças de ligação internas numa secção transversal de
uma peça linear, será de todo o interesse a determinação dos seus valores, não apenas
em secções transversais arbitrárias, mas sim ao longo de toda a peça linear. É neste
contexto que surgem as noções de funções de esforços e de diagrama de esforços.
Entende-se como funções de esforços as funções que representam cada um dos
esforços em função da coordenada do eixo da peça x: N(x); Vy(x); Vz(x); T(x); My(x);
Mz(x). Sendo os diagramas de esforços a representação gráfica das funções de esforços.
Tome-se como exemplo a consola sujeita à acção de duas forças na sua extremidade,
conforme representado na figura 4.4a. Considere-se para efeitos de definição de esforças
que o eixo da barra AB (x) está orientado de A para B.
Figura 4.4a: Consola sujeita a forças na extremidade.
Figura 4.4b: Consola sujeita a forças na extremidade – esforços numa secção genérica.
Na figura 4.4b representa-se para uma secção genérica C, situada a uma distância x da
secção de encastramento, os sentidos considerados como positivos para os esforços nas
facetas positiva e negativa. Recorrendo ao equilíbrio estático do troço de barra BC, os
51
esforços na secção C poderão ser determinados a partir do seguinte sistema de
equações:
( )���
�
���
�
�
=−−−=
=+−=
=−=
�
�
�
0FxLMM
0VFF
0NFF
2yi
Ci
z2i
Vi
1i
Hi
(4.1)
Donde obtendo-se os seguintes valores para as funções de esforços:
( )��
��
�
−−===
2y
2z
1
FxL)x(MF)x(VF)x(N
(4.2)
Cuja representação gráfica, apresentada na figura 4.4c, constitui os diagramas de
esforços para a barra AB.
Figura 4.4c: Consola sujeita a forças na extremidade – diagramas de esforços.
Saliente-se que a convenção de traçado utilizada para o esforço normal e para o esforço
transverso consiste na representação dos valores positivos sobre o eixo da barra e os
valores negativos sob o mesmo. Contudo no caso da representação dos momentos
flectores é utilizada uma convenção oposta, valores positivos sob o eixo da barra e
valores negativos sobre o mesmo. No caso do momento torsor, a convenção de traçado é
análoga à do esforço axial.
52
4.4 Relações entre esforços e forças aplicadas para estruturas reticuladas
planas
Representando os esforços numa peça linear as forças de ligação ao nível de cada
secção transversal, a sua variação não deverá ser independente das acções que actuam
nessa peça linear. Assim, será de todo o interesse para a determinação das funções de
esforços e para o traçado dos respectivos diagramas de esforços estabelecer as
equações de equilíbrio que relacionam as acções aplicadas na barra com a variação das
funções de esforços. Tome-se como ponto de partida um troço elementar de uma peça
linear plana (dx), a qual se considera sujeita à acção de diferentes forças de vão
conforme representado na figura 4.5.
Figura 4.5: Equilíbrio de um troço elementar de peça linear.
De forma a garantir o equilíbrio estático deste troço elementar deverão ser satisfeitas as
respectivas equações de equilíbrio:
xi xi
zi z z z zi
yi y y y z z yi
F N dN p dx N 0
F V dV p dx V 0
dxM M dM m dx V dx p dx M 0
2
� = + + − =���� = + + − =���� = + + − + − =��
�
�
�
(4.3)
As quais após simplificadas e eliminando infinitésimos de ordem superior podem ser
escritas na forma:
0pdxdN
x =+ (4.4)
0pdxdV
zz =+ (4.5)
zyy Vm
dxdM
=+ (4.6)
53
Este conjunto de equações estabelece, para o caso das estruturas reticuladas planas, a
relação entre forças generalizadas aplicadas na barra e a variação dos esforços. Convém
notar que no caso do momento flector, a sua variação não depende apenas dos
momentos aplicados mas sim também do esforço transverso.
No caso das estruturas reticuladas planas, tendo em conta a existência de apenas um
esforço transverso (Vz) e de um momento flector (My), são habitualmente omitidos os
índices (z e y) na designação destes esforços, passando a ser simplesmente designados
por V e M.
Considerando o equilíbrio de um troço de barra recto compreendido entre as secções
transversais i e j, podem-se escrever as seguintes equações:
� −=−=∆j
i
x
xxij dxpNNN (4.7)
� −=−=∆j
i
x
xzij dxpVVV (4.8)
( )j
i
x
j i yx
M M M V m dx∆ = − = −� (4.9)
que, resultando da integração das equações (4.4) a (4.6), exprimem a variação de
esforços entre duas secções transversais em função das forças aplicadas.
No caso de uma barra de eixo recto sem forças aplicadas no vão como a representada
na figura 4.6, ter-se-á o esforço normal e o esforço transverso constantes. Contudo, o
momento flector apresentará uma variação linear com taxa de variação igual ao valor do
esforço transverso:
0N)x(N = (4.10)
0V)x(V = (4.11)
00 VxM)x(M += (4.12)
Figura 4.6: Equilíbrio de barra de eixo recto sem forças no vão.
54
Nesta situação, o diagrama de esforço normal e o diagrama de esforço transverso serão
constantes enquanto que o diagrama de momento flector apresentará um andamento
linear.
Na generalidade das situações não se verifica a existência de momentos aplicados no
vão, my=0, pelo que, tendo em conta as equações (4.5) e (4.6), é possível estabelecer
uma relação directa entre forças transversais aplicadas, pz, e momento flector:
z2
2
pdx
Md −= (4.13)
Nestas condições poder-se-á relacionar o tipo de carga transversal aplicada e o
andamento dos diagramas de esforço transverso e de momento flector:
Carga - pz Esforço Transverso - V Momento flector- M
nula constante linear
constante linear parabólico (2º grau)
linear parabólico (2º grau) 3º grau
grau n grau n+1 grau n+2
Tabela 4.1: Relação entre carga transversal aplicada e andamento dos diagramas de Esforço transverso e
Momento flector na ausência de momentos aplicados
No caso da existência de cargas concentradas no vão, estas representam uma
singularidade do ponto de vista matemático, visto corresponderem a valores finitos de
resultante aplicadas ao longo de um comprimento nulo logo valores de carga infinitos.
Contudo, é possível a resolução destas singularidades tendo em conta que de acordo
com as equações (4.7) a (4.9) a existência de cargas concentradas corresponde a uma
variação brusca dos esforços na secção onde a carga se encontra aplicada.
4.5 Exemplo de aplicação
A título de exemplo, apresenta-se na figura 4.7 os diagramas de esforços obtidos para a
estrutura e carregamento apresentados na figura 4.1a, considerando H = 3 m, L = 6 m,
p = 3 kN/m e F = 6 kN.
Os diagramas de esforços apresentados foram obtidos através das seguintes etapas:
• determinação das reacções de apoio (figura 4.7a);
• determinação dos diagramas de corpo livre das barras (figura 4.7b);
• determinação dos diferentes esforços nas extremidades das barras;
• determinação de pontos notáveis e traçado dos diagramas.
55
4.7a: Reacções de apoio 4.7b: Diagramas de corpo livre das barras
4.7c: Diagrama de esforço normal 4.7d: Diagrama de esforço transverso
4.7e: Diagrama de momento flector
Figura 4.7: Obtenção dos diagramas de esforços para um pórtico rectangular plano
Determinação das reacções de apoio (figura 4.7a);
Sendo a estrutura hiperstática exteriormente do 1º grau e hipostática interiormente do 1º
grau, as reacções de apoio foram determinadas utilizando para além de três equações de
56
equilíbrio global, a equação de equilíbrio de momentos em B estabelecida para a barra
AB:
���
�
���
�
�
=×=
=×−××−×=
=×−+=
=++=
�
�
�
�
0XHM
0FHpL2L
YLM
0pLYYF
0FXXF
Ai
AB,Bi
Ei
Ai
EAi
yi
EAi
xi
(4.14)
��
�
��
�
�
===
−=
�
��
�
��
�
�
=×=×−××−×
=×−+=++
0XkN12Y
kN6YkN6X
0X3063363Y6
036YY06XX
A
E
A
E
A
E
EA
EA
(4.15)
Determinação dos diagramas de corpo livre das barras (figura 4.7b)
Tendo em conta as cargas aplicadas e as reacções de apoio, cada uma das barras foi
considerada isoladamente, sendo calculadas as diferentes forças generalizadas de
ligação entre elas. De forma a garantir o equilíbrio de momentos nas barras BD e DE foi
calculado o momento de ligação entre estas barras.
Determinação dos diferentes esforços nas extremidades das barras
Com base nos valores das forças de ligação calculadas, a orientação estipulada para
cada barra indicada na figura 4.7a e na convenção adoptada para esforços positivos
(figura 4.3), foram determinados os esforços nas extremidades de cada barra, os quais
foram traçados nos respectivos diagramas de esforços (figuras 4.7c a 4.7e).
Determinação de pontos notáveis e traçado dos diagramas
Tendo em conta as relações entre esforços e cargas aplicadas, equações (4.4) a (4.6) e
as conclusões resumidas na tabela 4.1, foram traçados os seguintes diagramas:
Barra AB
• carga px=0 e esforço normal inicial de -6kN logo esforço normal constante e igual a -6kN;
• carga pz=0 e esforço transverso inicial nulo logo esforço transverso constante e nulo;
• carga my=0, esforço transverso nulo e momento flector inicial nulo logo momento flector constante e
nulo.
Barra BD
• carga px=0 e esforço normal inicial nulo logo esforço normal constante e nulo;
• carga pz=3kN/m e esforço transverso inicial igual a 6kN logo esforço transverso linear com declive
de -3kN/m isto é linear variando entre +6kN e -12kN. O esforço transverso anula-se na secção
transversal situada a 2m da origem;
57
• carga my=0, esforço transverso linear e momento flector inicial nulo e final de -18kNm logo momento
flector de 2º grau variando entre 0 e -18kNm. Sendo o esforço transverso inicial positivo, o momento
flector no início da barra é crescente. Anulando-se o esforço transverso na secção situada a 2m do
início da barra, o momento flector apresenta um máximo nessa secção. Sendo a partir desta secção
o esforço transverso negativo, o momento flector passa a ser decrescente. O valor máximo do
momento flector, +6kNm, é obtido considerando a aplicação da equação (4.9) entre a secção inicial
e a secção onde o esforço transverso se anula.
Barra DE
• carga px=0 e esforço normal inicial de -12kN logo esforço normal constante e igual a -12kN;
• carga pz=0 e esforço transverso inicial de +6kN logo esforço transverso constante e igual a +6kN;
• carga my=0, esforço transverso constante e igual a +6kN e momento flector inicial igual a -18kNm
logo momento flector linear com declive de +6kN isto é linear variando entre -18kNm e 0.
4.6 Relações entre esforços e forças aplicadas para estruturas reticuladas
tridimensionais
Na secção 4.4 foram apresentadas as relações diferenciais de equilíbrio para o caso da
barra de estrutura reticulada plana, interessa agora generalizar estas relações para o
caso da barra de estrutura reticulada tridimensional tendo em conta a definição de
esforços apresentada na secção 4.2 e representados na figura 4.2c. Assim considere-se
a representação do equilíbrio de um troço infinitesimal de barra, apresentada na figura
4.8 através de duas projecções uma no plano x-z e outra no plano x-y.
Figura 4.8: Equilíbrio de um troço elementar de peça linear tridimensional.
58
De forma a garantir o equilíbrio estático deste troço elementar deverão ser satisfeitas as
respectivas equações de equilíbrio:
xi xi
yi y y y yi
zi z z z zi
xi xi
yi y y y z z yi
zi z z z y y zi
F N dN p dx N 0
F V dV p dx V 0
F V dV p dx V 0
M T dT m dx T 0
dxM M dM m dx V dx p dx M 0
2
dxM M dM m dx V dx p dx M 0
2
� = + + − =���� = + + − =���
= + + − =����
= + + − =���� = + + − + − =���
= + + + − − =��
�
�
�
�
�
�
(4.16)
As quais após simplificadas e eliminando infinitésimos de ordem superior podem ser
escritas na forma:
0pdxdN
x =+ (4.17)
yy
dVp 0
dx+ = (4.18)
0pdxdV
zz =+ (4.19)
xdT
m 0dx
+ = (4.20)
zyy Vm
dxdM
=+ (4.21)
zz y
dMm V
dx+ = − (4.22)
As equações 4.17, 4.19 e 4.21, como seria de esperar, são iguais às obtidas no caso da
barra de estrutura reticulada plana (4.4 a 4.6). A equação 4.18 estabelece a relação entre
a carga transversal aplicada e a variação do correspondente esforço transverso, sendo
em tudo idêntica à equação 4.19. A equação 4.20 estabelece a relação entre a variação
do Momento Torsor e os momentos paralelos ao eixo da barra aplicados no vão, sendo
idêntica à equação 4.17. A equação 4.22 relaciona a variação do momento flector
59
segundo z com o esforço transverso segundo y e os momentos segundo z aplicados à
barra, é análoga à equação 4.21 contudo devido à orientação dos eixos apresenta uma
troca de sinal no que toca a Vy.
Considerando o equilíbrio de um troço de barra recto compreendido entre as secções
transversais i e j, podem-se, através da integração das equações 4.17 a 4.22, escrever as
seguintes equações:
� −=−=∆j
i
x
xxij dxpNNN (4.23)
j
i
x
y y j y i yx
V V V p dx∆ = − = −� (4.24)
j
i
x
z z j z i zx
V V V p dx∆ = − = −� (4.25)
j
i
x
j i xx
T T T m dx∆ = − = −� (4.26)
( )j
i
x
y y j y i z yx
M M M V m dx∆ = − = −� (4.27)
( )j
i
x
z z j z i y zx
M M M V m dx∆ = − = − −� (4.28)
que exprimem a variação dos esforços entre duas secções transversais em função das
forças aplicadas.
As conclusões extraídas para o caso das estruturas reticuladas planas e apresentadas na
secção 4.4 podem ser extrapoladas para as estruturas reticuladas tridimensionais,
nomeadamente as apresentadas na Tabela 4.1.
60
4.7 Exercícios propostos
P4.1
Determine os diagramas de esforços (momento flector, esforço transverso e esforço normal) para as seguintes barras, indicando o tipo de função, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
61
P4.2
Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. Ao ponto F liga-se um cabo que passa pela roldana D e em cuja extremidade se suspende um peso de 28 kN.
a) Determine as reacções nos apoios A e E, utilizando o menor número possível de equações de equilíbrio.
b) Trace os diagramas de corpo livre da barra AB e do corpo que é constituído pelas barras BCD e ECF.
c) Trace os diagramas de corpo livre de cada uma das barras BC, EC, CD e CF, explicitando o valor de todas as cargas que as mantêm em equilíbrio.
d) Verifique que o nó C está em equilíbrio.
P4.3
Determine os diagramas de esforços (momento flector, esforço transverso e esforço normal) para as seguintes estruturas planas, indicando o tipo de função, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos.
a) b)
c)
62
d) e)
f) g)
63
h)
i) j)
k) l)
64
m) n)
o) p)
q)
H
65
r) s)
t) u)
P4.4
Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. À articulação B liga-se um cabo que passa pela roldana E e em cuja extremidade se suspende um peso de 80 kN.
a) Determine as reacções nos apoios A e D.
b) Trace o diagrama de corpo livre da barra CE, explicitando o valor de todas as forças e momentos que a mantêm em equilíbrio.
c) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura.
66
P4.5
Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. À extremidade G liga-se um cabo que passa pelas roldanas I e H e em cuja extremidade se suspende um peso de 50 kN.
a) Determine as reacções nos apoios A e B.
b) Trace o diagrama de corpo livre das sub-estruturas ACDH e BEIDG, explicitando o valor de todas as forças que a mantêm em equilíbrio.
c) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura.
P4.6
Sem determinar previamente as reacções de apoio, trace o diagrama de momentos flectores para a viga contínua a seguir esquematizada, indicando o respectivo valor numérico nos pontos de máximo e mínimo.
P4.7
Trace o diagrama de momentos flectores na estrutura esquematizada e determine as expressões analíticas que definem esse diagrama no troço DE.
67
P4.8
Determine, justificando, o diagrama de momentos flectores da estrutura autoequilibrada indicada, indicando os respectivos sinais e os valores máximos e mínimos, com a indicação das secções em que os mesmos ocorrem.
Nota – nos troços curvos, marcar as ordenadas segundo as direcções radiais.
P4.9
Considere a estrutura representada na figura seguinte, sujeita à seguinte acção:
0x
p(x) p senL
π� = ��
a) Determine as reacções de apoio;
b) Determine os diagramas de esforço transverso e de momento flector, indicando as respectivas expressões analíticas.
P4.10
Considere a viga representada na figura, existente no plano XY e sujeita ao carregamento indicado.
a) Calcule as reacções no encastramento A.
b) Trace os diagramas de corpo livre das barras AB, BC e CD.
c) Trace os diagramas de esforços internos.
68
P4.11
A estrutura representada na figura seguinte está contida no plano x1-x2 e é actuada por uma força de 5kN actuando segundo x1 e uma força de 10kN actuando segundo x3. Determine os diagramas de esforços na estrutura.
P4.12
O pórtico tridimensional indicado na figura tem três ligações ao exterior, em A, B e C. O apoio A permite os três movimentos de rotação, o apoio B apenas restringe os movimentos de translação segundo Z e o apoio C restringe os movimentos de translação segundo Y e Z.
a) Calcule as reacções de apoio em A, B e C.
b) Trace os diagramas de corpo livre das barras BF, FI, IH e HD, determinando as forças e momentos nas extremidades dessas barras que garantem o equilíbrio de cada uma delas.
c) Trace os diagramas de todos os esforços nas peças da alínea anterior.
d) Trace os diagramas de corpo livre das barras AE, EI, IG e GC, determinando as forças e momentos nas extremidades dessas barras que garantem o equilíbrio de cada uma delas.
e) Verifique que o nó I está em equilíbrio.
f) Trace os diagramas de todos os esforços nas peças da alínea d).
perspectiva
A
10 kN
B
5 kN
D C
x1
x2
x3
2,0 m
1,0 m
10 kN
B
5 kN
D C
x1
x2
x3
A
2,0 m
planta
69
P4.13
A abertura de um poço circular está protegida por três barras de igual comprimento, c, ligadas entre si e apoiadas, como se mostra na figura, num plano horizontal. A extremidade de uma barra apoia-se no meio da outra, de modo que o triângulo DEF é equilátero com os lados iguais a c/2. Calcular as reacções nos apoios A, B e C e as forças de ligação nos pontos D, E e F, quando a estrutura está solicitada por uma carga vertical P aplicada a meio do tramo DE.
P4.14
Para a estrutura representada na figura, determine:
a) O valor das reacções nos apoios;
b) Os diagramas de esforços em todas as barras.
70
P4.15
Considere a estrutura e acção representadas na figura seguinte:
c) Calcule o valor das reacções de apoio;
d) Determine os diagramas de esforços em todas as barras.
A
50 kN
2,5 m
B
E
D
C
F
4,5 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
G
50 kN
24 kN/m 24 kN/m
