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MRIO LEITE PEREIRA FILHO

APLICAO DO MTODO DE IMAGENS COMPLEXAS AOCLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO EM SOLOS COM

ESTRATIFICAO HORIZONTAL

Dissertao apresentada Escola Politcnica daUSP para obteno do ttulo de Mestre emEngenharia Eltrica.

So Paulo

1999

MRIO LEITE PEREIRA FILHO

APLICAO DO MTODO DE IMAGENS COMPLEXAS AOCLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO EM SOLOS COM

ESTRATIFICAO HORIZONTAL

Dissertao apresentada Escola Politcnica daUSP para obteno do ttulo de Mestre emEngenharia Eltrica.

rea de Concentrao:Sistemas de Potncia

Orientador:Prof. Dr. Jos Roberto Cardoso

So Paulo

1999

1. INTRODUO.............................................................................................................1

2. ESTADO DA ARTE NO CLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO.............4

3. FORMULAO GERAL DO MTODO DAS IMAGENS COMPLEXAS PARA

SOLOS MULTICAMADAS......................................................................................12

3.1 Formulao das equaes ntegro-diferenciais .....................................................13

3.2 Discretizao do Domnio ....................................................................................14

3.3 Resistncias mtuas de eletrodos lineares ............................................................16

3.3.1 Eletrodos Verticais - Hastes..........................................................................16

3.3.2 Eletrodos Inclinados ou horizontais - Cabos.................................................19

3.4 Introduo de Eletrodos Passivos .........................................................................21

4. DETERMINAO DAS FUNES DE GREEN ....................................................23

4.1 Fonte pontual em meio homogneo......................................................................23

4.2 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto na mesma

camada .................................................................................................................25

4.2.1 Coeficientes de Reflexo e Transmisso ......................................................27

4.2.2 Soluo para a funo kernel ........................................................................28

4.3 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto em camadas

diferentes..............................................................................................................29

4.4 Soluo por integrao direta ...............................................................................31

5. IMAGENS COMPLEXAS..........................................................................................36

5.1 Imagens Complexas tal como apresentadas por Chow et all [29]........................36

5.2 Generalizao da Tcnica de Imagens Complexas...............................................39

5.3 Separao de variveis..........................................................................................40

5.3.1 Fonte e objeto na mesma camada. ...............................................................41

5.3.2 Fonte e o objeto em camadas diferentes. .....................................................43

5.4 Determinao dos Plos e Resduos das Imagens ................................................45

5.4.1 Mtodo de Prony como apresentado por Chow et all ...................................46

5.4.2 Mtodo de Prony com soluo por autovalores ............................................48

6. ASPECTOS COMPUTACIONAIS ............................................................................50

6.1 Entrada de Dados da Malha e do Solo..................................................................50

6.2 Discretizao do domnio .....................................................................................51

6.3 Determinao das imagens complexas .................................................................51

6.4 Montagem da matriz de resistncias mtuas ........................................................52

6.5 Clculo dos potenciais e explorao dos resultados .............................................53

7. RESULTADOS OBTIDOS.........................................................................................54

7.1 Exemplo de Chow et all [29]................................................................................54

7.1.1 Modelo utilizado ...........................................................................................55

7.1.2 Clculo do potencial na superfcie ................................................................57

7.2 Solo de 2 camadas Exemplo de Li e Dawalibi ..................................................60

7.3 Exemplo de Vujevic e Kurtovic ...........................................................................62

7.4 IEEE-80 / 1986 .....................................................................................................64

7.4.1 Caso C-4 : 2 camadas com espaamento uniforme.......................................64

7.4.2 Caso C-6 : Solo uniforme com espaamento varivel ..................................67

7.5 Anlise de Sensibilidade da Discretizao ...........................................................69

8. CONCLUSO.............................................................................................................74

9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................75

Lista de Smbolos

h : espessura da camada do solo (m)

H : profundidade do final da camada (m)

I, i : Corrente (A)

: Resistividade do solo (.m)

P : Posio de um ponto com coordenadas (x, y, z)

r, r : distncia (raio) entre pontos

: Funo potencial (V)

: Condutividade do solo (.m)-1

J : Vetor densidade de corrente (A / m2)

S, s : Fronteira

f : funo que descreve a condio de contorno na fronteira

Vp : Potencial em um ponto (V)

g : funo que descreve as fontes

G : Funo de Green

, u : variveis auxiliares

: Densidade de corrente linear ( A / m)

L : Comprimento de um eletrodo (m)

Rij : Resistncia mtua entre elemento i e elemento j ()

zm : profundidade mdia de um eletrodo.

rh : raio de uma haste

G~ : Transformada de Fourier da funo de Green

a , b : Resduos e plos respectivamente de imagens complexas

F : Funo kernel para obteno da funo de Green

k0, kz, k : coeficientes de propagao de onda

J0 : Funo de Bessel de ordem 0

rxy ; distncia entre pontos projetada no plano xy

kij : Coeficiente de reflexo da camada i para camada j

tij : Coeficiente de transmisso da camada i para camada j

Kij : Coeficiente de reflexo generalizado da camada i para camada j

Tij : Coeficiente de transmisso generalizado da camada i para camada j

Ak : amplitude do campo na fronteira k

Para Paulo Chaves

in memoria

AGRADECIMENTOS

A meu orientador Jos Roberto Cardoso pelo contnuo incentivo e pela confiana.

A ngelo Pssaro e Nancy Abe pelos clculos com o Ground-3D.

A Jlio Carlos Teixeira pela ajuda na reviso do texto.

A todos os amigos que me concederam apoio e incentivo para a realizao deste

trabalho.

RESUMO

O projeto de malhas de aterramento requer o clculo da resistncia de aterramento e dos

potenciais na superfcie do solo. Quando o mtodo das imagens utilizado para este

clculo o modelo tpico do solo uma estratificao horizontal em 2 camadas.

A extenso do mtodo das imagens para solos com mltiplas camadas horizontais

apresenta problemas numricos importantes, de forma que a tcnica de imagens

complexas foi utilizada para permitir este clculo, porm restringindo a posio dos

eletrodos primeira camada.

Este trabalho objetiva a aplicao do mtodo de imagens complexas a eletrodos situados

em qualquer camada de solos com estratificao horizontal, deduzindo as funes

kernel para posies arbitrrias da fonte e do objeto e determinando os resduos e plos

das imagens utilizando a decomposio em autovalores e autovetores.

Foi desenvolvido um programa que calcula a resistncia de aterramento e os potenciais

na superfcie do solo para solos com at 4 camadas. Foram realizadas comparaes com

outros trabalhos publicados e os resultados obtidos permitem validar o uso do programa

para esta aplicao.

ABSTRACT

Ground grid design requests the evaluation of both ground grid resistance and surface

voltages. When this evaluation is done using image based methods, the soil model is

typically a two-layer horizontally stratified model.

Analyzing ground grids buried in horizontally stratified multilayer soil model presents

major numerical procedures challenges. Complex image approach allowed some

improvement but restricting electrodes position to first layer only.

This work aims modeling ground grid electrodes buried in multilayer horizontally

stratified soil model for any position of the buried electrodes, using complex image

approach to deduct general kernel functions. The image amplitude and location are

determined through an improved Prony method, using singular value technique.

A software package was developed for numerical analysis of ground grid electrodes

buried in multilayer horizontally stratified soil model with 4 layer or less. Some ground

grids with published results was analyzed and the results validate the developed

software package.

11. INTRODUO

O projeto de malhas de aterramento em baixa freqncia deve considerar dois aspectos

bsicos, um de desempenho, associado ao valor da resistncia de aterramento, e outro de

segurana de pessoal, associado distribuio de potencial na superfcie do solo.

Devido s dimenses e complexidade destas malhas este projeto auxiliado por

ferramentas computacionais.

As ferramentas disponveis no mercado mundial podem ser divididas em dois grandes

grupos, um deles utilizando o mtodo dos elementos finitos, com grande flexibilidade

para modelar os eletrodos e o solo e mais encontrado em grupos de pesquisas de

universidades (Cardoso, J. R. et all, [1] - [3]), e outro utilizando o mtodo das imagens,

com maior disseminao entre os projetistas de malhas de aterramento, porm com

maiores limitaes de modelamento.

Os pacotes computacionais mais conhecidos que utilizam o mtodo das imagens so o

SGA do Electric Power Research Institute, o CYMGRD da CYME International e o

CEDEGS da Safe Engineering Services & Technologies. No Brasil a produo de

pacotes computacionais desta natureza para uso por projetistas ainda rara. O autor

desta monografia desenvolveu o cdigo de clculo do programa Tecat IV [4], que

calcula estratificao de solos em at quatro camadas e malhas de aterramento em solos

de duas camadas.

Dentre os pacotes citados que utilizam o mtodo das imagens somente o CEDEGS

executa clculos em solos estratificados em mais de duas camadas. Considerando que

2uma estratificao em duas camadas impe limitaes severas no modelo dos solos em

anlise, justificvel e interessante expandir o domnio de aplicao de tcnicas

baseadas no Mtodo das Imagens para solos com mais de duas camadas.

Em 1992 Chow e Srivastava [29] apresentaram um trabalho sobre imagens complexas

indicando que seria possvel superar algumas dificuldades ligadas ao modelamento de

malhas em solos estratificados em mais de duas camadas. Caso esta abordagem possa

ser utilizada em malhas genricas, um ganho qualitativo importante pode ser obtido na

utilizao do Mtodo das Imagens neste tipo de problema.

O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo das Imagens ao clculo de

malhas de aterramento utilizando a tcnica de imagens complexas, viabilizando a

criao de uma ferramenta computacional que permita o clculo de uma malha de

aterramento em solos estratificados horizontalmente em mais de duas camadas.

O Captulo 2 apresenta uma reviso bibliogrfica e o estado da arte para o clculo de

malhas de aterramento utilizando o mtodo das imagens. No foram considerados

mtodos baseados em frmulas aproximadas e, devido grande quantidade de

publicaes sobre o tema, so citados apenas os trabalhos pioneiros em cada vertente,

ordenados pela data de publicao. As referncias bibliogrficas no Captulo 9 esto

classificadas pela ordem de citao.

O Captulo 3 apresenta a formulao geral do problema com nfase nos aspectos mais

fundamentais tal como equaes ntegro-diferenciais, hipteses do modelo utilizado e

discretizao do domnio.

3O Captulo 4, sobre a determinao das funes de Green, o captulo mais

especificamente ligado tcnica das imagens complexas e tambm onde o autor

apresenta sua maior contribuio ao estado da arte da tcnica, deduzindo funes de

Green para posies arbitrrias da fonte e do objeto em solos estratificados

horizontalmente.

O Captulo 5 mostra as tcnicas numricas para clculo dos coeficientes das imagens

complexas. Neste captulo o autor introduz uma forma de uso da decomposio em

autovalores que aumenta a eficcia e exatido do mtodo e expande a aplicao das

imagens complexas a posies arbitrrias da fonte e do objeto.

O Captulo 6 aborda os aspectos de implementao computacional descrevendo a

arquitetura bsica do programa e os principais algoritmos utilizados.

O Captulo 7 apresenta os resultados obtidos como uma comparao de resultados de

clculo de malhas disponveis na literatura com os clculos efetuados pelo programa

aqui apresentado. H tambm anlise de resultados e finalmente a concluso no captulo

8.

42. ESTADO DA ARTE NO CLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO

Dwight [5] em 1936 apresentou um mtodo de clculo de malhas de aterramento de

grande porte utilizando o mtodo do potencial mdio. Esta abordagem utilizava tcnicas

de clculo empregadas na determinao da capacitncia de antenas. A distribuio de

corrente em cada haste ou cabo era considerada constante.

Em 1953 Gross et all [6] apresentaram o clculo de uma malha de grande porte, no qual

pela primeira vez os eletrodos eram segmentados e a densidade de corrente em cada

segmento era calculada. Embora sua formulao fosse limitada a solos uniformes e,

conforme os autores, originada do mtodo das sub-reas de Maxwell, ela j contm

todos os elementos bsicos utilizados hoje no clculo de malhas de aterramento pelo

Mtodo das Imagens. Em 1963 Thapar e Gross [7] apresentaram uma extenso deste

mtodo para um solo de duas camadas com estratificao exponencial.

Em 1964 Tagg [8] analisou mais detalhadamente a resistncia de aterramento de

eletrodos individuais em solos de duas camadas e em 1965 Sunde [9] apresentou as

funes de potencial geradas por uma fonte pontual em solo de N camadas

estratificadas horizontalmente, evidenciando que a dificuldade importante dos solos

multicamadas a integrao numrica da funo kernel.

Em 1972 Giao e Sarma [10] apresentaram um artigo analisando um eletrodo de

aterramento de corrente contnua situado na primeira camada de um solo estratificado

em duas camadas horizontais. A anlise incluiu a resistncia de aterramento e a

5distribuio de potenciais na superfcie do solo de um eletrodo formado por cabos

retilneos e em anis. Toda a abordagem de segmentao de eletrodos e a montagem do

sistema matricial para determinao das densidades de corrente j est presente.

apresentada pela primeira vez uma forma geral para funes de potencial de eletrodos

no pontuais em solos de duas camadas horizontais.

Entre 1975 e 1979 Dawalibi e Mukhedkar [11] - [17] apresentaram uma srie de artigos

delineando uma nova forma de abordagem dos problemas de malhas de aterramento

onde, embora utilizando as mesmas funes elementares de potencial j vistas em Giao

e Sarma, a soluo das densidades de corrente no estabelecida por meio de um

sistema matricial mas sim de uma funo ponderao dos eletrodos segmentados,

evitando o problema de necessidade de memria associado ao mtodo matricial

clssico. Esta abordagem originou o programa Malt, precursor do atual CEDEGS da

Safe Engineering, permitindo o clculo de hastes profundas atravessando a interface

entre a primeira e a segunda camada. No foram explicitadas funes de potencial de

fontes na segunda camada.

Em 1979 Heppe [18] apresentou um artigo onde foram explicitados as funes de

potencial de cabos situados na primeira e segunda camada de solos estratificados em

duas camadas horizontais, com soluo das densidades de corrente pelo mtodo

matricial. O programa Tecat IV [4] utiliza esta formulao proposta por Heppe para o

clculo de malhas.

Em 1980 Kouteynikoff [19] apresentou um novo mtodo de segmentao de eletrodos

cilndricos horizontais denominado microsegmentao, permitindo uma representao

6mais exata de cabos horizontais na anlise de malhas de aterramento. Sua aplicao

ficou restrita a solos uniformes no ocorrendo desenvolvimentos futuros deste mtodo.

Em 1985 Nagar at all [20] e Loeloeian et all [21] apresentaram uma reviso

bibliogrfica de mtodos de clculo de malhas de aterramento, comparando as

metodologias de Dawalib e Mukhedkar, Heppe e Kouteynikoff. Nesta reviso so

explicitadas funes de clculo de potencial de cabos e fontes situadas em qualquer

camada de um solo estratificado em duas camadas horizontais. Verificou-se que os

resultados dos trs mtodos apresentaram boa concordncia nos casos estudados.

Ainda em 1985 Garret e Pruitt [22] realizaram uma anlise de sensibilidade da

abordagem de potencial constante e densidade de corrente varivel em eletrodos

segmentados, apontando como um fator crtico as dimenses da segmentao utilizada,

particularmente nos valores do potencial prximos ao eletrodo. A segmentao tambm

impacta fortemente as dimenses do sistema linear associado, com a correspondente

demanda de memria de mquina.

Em 1986 foi publicada a segunda edio do ANSI / IEEE Std 80 [23]. Este guia foi

utilizado desde sua primeira edio em 1976 com uma obra de referncia para os

projetistas da rea, utilizando frmulas aproximadas para o clculo de resistncias e

potenciais em solos uniforme. A segunda edio expandiu o domnio de aplicao das

frmulas mantendo a restrio de solo uniforme e inclui o Apndice C que, embora no

faa parte do corpo do Guia, apresenta resultados de clculos em solos uniformes e de

duas camadas utilizando o programa SGA desenvolvido pelo EPRI.

7Em 1986 Joy e Wilson [24] usaram um programa que utiliza o mesmo algoritmo do

SGA do EPRI, realizando uma anlise sistemtica da exatido dos resultados em solos

estratificados em duas camadas horizontais similar ao de Garret e Pruitt [22], na qual

apresentam algumas concluses sobre a exatido e domnio de validade do mtodo.

Em 1988 Kovarski et all [25] calcularam o perfil de potenciais gerados por um eletrodo

toroidal situado na primeira camada de solos multicamadas. As funes potenciais

utilizadas so derivadas do trabalho de Sunde [9]. Os autores expandiram a funo

kernel da integral em uma somatria de exponenciais, transformando a integrao

numrica em uma operao analtica. A dificuldade apresentada residiu na determinao

dos coeficientes das exponenciais, tarefa que foi realizada com uma abordagem

emprica de ajuste de curvas.

Ainda em 1988 Lagace et all [26] estudaram um problema similar ao de Kovarski et all

[25], s que utilizando imagens refletidas nas vrias interfaces da estratificao do solo.

A contribuio de cada imagem foi calculada utilizando coeficientes de transmisso e

reflexo semelhantes aos empregados em linhas de transmisso.

Em 1991 Takahashi e Kawase [27] calcularam a resistncia de aterramento e o potencial

gerado na superfcie do solo por uma haste profunda atravessando vrias interfaces de

um solo multicamada. As funes de potencial foram deduzidas com uma abordagem

semelhante de Sunde mas com todos os potenciais calculados somente na superfcie

do solo. A integral da funo kernel foi efetuada numericamente.

8Ainda em 1991 Dawalibi e Barbeito [28] apresentam pela primeira vez o clculo de

resistncias e de potenciais na superfcie do solo de uma malha de aterramento em solo

multicamadas sem restrio da localizao dos eletrodos. A metodologia declarada

pelos autores foi inspirada em trabalhos de geofsica e teoria de gerao de imagens de

ptica. As frmulas empregadas nas funes potenciais e na gerao de imagens no

foram explicitadas.

Em 1992 Chow et all [29] aplicam a tcnica denominada imagens complexas aos casos

estudados por Kovarski et all [25] e Legace et all [26]. Embora apresente semelhana

com as expanses exponenciais utilizadas por Kovarski esta abordagem provm da rea

de microondas, onde os coeficientes e expoentes da srie exponencial so associados

aos resduos e plos da funo de transferncia do sistema linear, sendo determinados

pelo Mtodo de Prony e no por um simples ajuste de curvas. Os exemplos analisados

continuam restringindo os eletrodos primeira camada de um solo multicamadas.

Em 1994 Dawalibi at all [30] publicam uma extensa anlise paramtrica de malhas de

aterramento em solos estratificados em N camadas horizontais, demonstrando a

robustez dos algoritmos desenvolvidos em [28] e levantando questes de segurana

relacionadas a situaes de alto contraste de resistividades prximo superfcie do solo.

Embora este trabalho no apresente inovaes tcnicas importantes representou a

consolidao do que hoje o pacote CEDEGS da Safe.

Em 1995 Chow et all [31] demonstram que a partir de medidas do potencial na

superfcie do solo possvel calcular a resistncia de aterramento e a distribuio de

potenciais na superfcie do solo, sem necessidade de efetuar explicitamente uma

9estratificao do solo convencional, utilizando o mtodo das imagens complexas. Os

eletrodos devem estar situados na primeira camada de um modelo de estratificao

horizontal em N camadas.

Ainda em 1995 Elsherbiny et all [32] apresentam um mtodo simplificado de clculo de

aterramento de eletrodos formados apenas por hastes de aterramento em solos de duas

camadas, onde cada haste segmentada em apenas dois segmentos. Esta segmentao

simplificada reduz substancialmente a dimenso do sistema linear associado mas s

pode ser empregada para o clculo de resistncias.

Em 1997 Li et all [33] apresentam um clculo de malhas de aterramento utilizando o

mtodo proposto por Chow [29] em solos de duas camadas. Apresentam funes

potencial para fontes na segunda camada e declaram ter desenvolvido esta formulao

tambm para solos de trs camadas. A principal diferena em relao a Chow [28] que

utilizam um algoritmo mais sofisticado para a determinao dos resduos e plos da

expanso exponencial, permitindo estimar o nmero N de termos da expanso.

Em 1998 Vujevic e Kurtovic [34] apresentam um mtodo de clculo de malhas baseado

no mtodo das imagens para solos multicamadas sem restries da posio dos

eletrodos. O princpio bsico a expanso da funo kernel em somatria de

exponenciais mas, ao invs de imagens complexas utilizou-se uma expanso com at 15

imagens reais. As imagens so calculadas com um algoritmo que realiza amostragem da

funo kernel em pontos determinados experimentalmente.

A reviso dos trabalhos publicados permite apontar como principais concluses:

10

a)

O mtodo matricial com segmentao linear dos eletrodos utilizado em todas as

abordagens para eletrodos de grande porte, pois permite calcular a distribuio de

corrente no uniforme entre os eletrodos. A segmentao utilizada tem impacto

importante nos erros e no tamanho do sistema linear associado.

b)

A tarefa principal na montagem do sistema matricial a obteno das resistncias

mtuas e prprias dos segmentos de eletrodos. necessrio realizar a integral de

funes de Green por mtodos analticos ou numricos.

c)

O mtodo das imagens permite representar o problema original por um conjunto de

imagens que reproduz o potencial da fonte sobre uma fronteira especificada,

tipicamente a superfcie dos eletrodos.

d)

Para solos de duas camadas a integral expandida em uma somatria infinita de

imagens refletidas nas interfaces. A exatido da somatria depende do nmero de

termos utilizados que por sua vez funo do coeficiente de reflexo k entre as

camadas e da espessura da primeira camada.

e)

Para solos multicamadas a expanso em somatria mais difcil devido formao

de mltiplas seqncias de imagens infinitas. Sintomaticamente os artigos que

utilizam esta tcnica no explicitam os algoritmos de gerao de imagens utilizados.

f)

O mtodo das imagens complexas ou imagens equivalentes substitui a somatria de

imagens infinitas por um conjunto finito de imagens, quer para um solo de duas

11

camadas quer para solos multicamadas, simplificando substancialmente o clculo

das resistncias mtuas.

g)

O mtodo das imagens complexas para solos multicamadas s aplicado a eletrodos

situados na primeira camada sem uma justificativa explcita para esta limitao. O

domnio do qual extrada a amostragem para a obteno das imagens no

discutido explicitamente, dificultando a verificao de resultados.

12

3. FORMULAO GERAL DO MTODO DAS IMAGENS COMPLEXASPARA SOLOS MULTICAMADAS

A formulao geral do problema ser feita com auxlio do Mtodo dos Momentos e de

funes de Green tal como descrito em Sadiku [35].

O problema ser apresentado em termos de uma equao diferencial e transformado em

uma equao integral.

O domnio ser discretizado e as condies de contorno sero utilizadas para montar um

sistema matricial cujos coeficientes da matriz sero calculados pelo Mtodo das

Imagens. A soluo deste sistema ser a densidade de corrente em cada regio discreta

do domnio.

Uma vez conhecidas as densidades de corrente, o potencial em um certo ponto pode ser

calculado por integrao.

13

3.1 Formulao das equaes ntegro-diferenciais

A Figura 1 mostra uma malha de aterramento constituda por eletrodos cilndricos

imersa em um solo estratificado com N camadas horizontais.

Figura 1 - Malha de aterramento imersa no solo

A equao geral que descreve este arranjo :

0).( = em todos os pontos exceto no interior dos eletrodos. (1)

f= sobre a superfcie dos eletrodos.

IsdJ = . sobre a superfcie dos eletrodos

h1

superfcie

1

2

m

N-1

N

X P

h2

hm

hN-1

Ix

yz

14

Utilizando a funo de Green o potencial gerado pela malha em um ponto P ser:

=R

p 'dv)'r,r(G).'r(gV (2)

g(r') representa a distribuio de corrente das fontes e G(r,r') corresponde resposta do

sistema estimulado por uma funo impulso.

3.2 Discretizao do Domnio

O potencial deve ser determinado na superfcie dos eletrodos e no solo, no havendo

interesse, neste caso, pelo potencial no interior dos eletrodos.

Hipteses assumidas para a discretizao:

a)

A densidade de corrente em cada segmento constante;

b)

A somatria da corrente de cada segmento igual corrente injetada I;

c)

O potencial sobre a superfcie dos segmentos constante em todo o eletrodo;

d)

A distribuio de corrente em eletrodos cilndricos simulada por um filete de

corrente ao longo do eixo do cilindro.

Considerando as hipteses, a distribuio de corrente das fontes ser nula em todas as

regies exceto no eixo de cada segmento de comprimento Li, onde ter o valor i. O

potencial gerado por cada segmento em um ponto P(r) dado por:

15

==ii Li

i

Lii drrrGL

idrrrGr ')',(')',()( (3)

A equao (2) ser aproximada por:

=

=

N

i Li

ip

i

drrrGLi

V1

')',( (4)

O potencial na superfcie de cada segmento j pode ser obtido pela integrao de (4)

sobre a superfcie do segmento. Utilizando a condio de contorno de potencial

constante obtm-se:

==

==

N

1iiij

N

1i L Liji

oj i.Rdt'dr)'r,r(GL.Li

Vj i

(5)

Rij a conhecida resistncia mtua entre os segmentos i e j.

Uma vez calculados os valores de Rij o sistema de equaes lineares em (5) pode ser

resolvido obtendo-se a distribuio de correntes ii, a qual utilizada na equao (4) para

determinao do potencial em qualquer ponto.

16

3.3 Resistncias mtuas de eletrodos lineares

Os elementos tpicos de malhas de aterramento so cabos e hastes. Neste item sero

desenvolvidas as frmulas bsicas de resistncias mtuas entre estes eletrodos.

3.3.1 Eletrodos Verticais - Hastes

A Figura 2 mostra um segmento de haste de comprimento L, situada nas coordenadas

x0, y0 e com profundidade mdia zm injetando uma corrente I em solo uniforme. Se

consideramos um elemento dI da haste o potencial em um ponto P (x,y,z) ser:

Figura 2 - Haste em solo uniforme

superfcie

P

x

y

z

zm

zm-L/2

zm+L/2

dI

r

17

r

dIdV p1

.

4.

pi

= (6)

Se considerarmos o segmento discretizado, tal que a densidade de corrente seja

constante ( dzLIdI .= ), o potencial gerado pela haste ser:

pi

pi

dzzyyxxL

IdzrL

IVL

L m

L

Lp

+++==

2/

2/22

02

0

2/

2/ ))(()()(1

.

..4.1

.

..4. (7)

fazendo 202

02 )()( yyxxa += e )( += mzzu ento

2

1

2

1

u

u

u

u22p a

uharcsen.L..4I.du

ua

1.

L..4I.V

pi

=

+pi

=

+

pi

=

a

)2L

z(zharcsen

a

)2L

z(zharcsen.

L..4I.V

mm

p (8)

Esta a frmula bsica de clculo do potencial de uma haste em um ponto.

Integrando o valor deste potencial sobre a superfcie de uma haste Lh situada em xh, yh ,

a uma profundidade mdia zmh e com raio rh teremos, denominando L0 o comprimento

da haste fonte e zm0 a profundidade mdia:

18

pi

da

Lzz

ha

Lzz

hLI

LV

h

h

L

L

hmhmh

hmhmh

hh

++

+

=

2/

2/ 00

)2

(arcsen

)2

(arcsen.

..4.1

(9)

Fazendo )2

Lz(zu hmhmh += no primeiro integrando teremos:

22)(arcsen.arcsen aua

uhudua

uha

uf +=

=

(10)

usando a definio de f(u/a) em (10) ento a resistncia mtua entre as hastes ser:

+

+

=

a

Lz

Lz

fLL

Rm

hmh

hoh

22.

...4

00

0pi

(11)

+

+a

2L

z2

Lz

f

00m

hmh

+

++

+a

2L

z2

Lz

f

00m

hmh

+

+a

2L

z2

Lz

f

00m

hmh

Para calcular a resistncia prpria de uma haste basta fazer a igual ao raio da haste na

frmula (11).

19

3.3.2 Eletrodos Inclinados ou horizontais - Cabos

Os cabos sero modelados por segmentos lineares em qualquer ngulo com a superfcie

exceto verticais, quando se aplica a frmula anterior para hastes.

A Figura 3 mostra a disposio de um segmento genrico:

Figura 3 - Cabo inclinado em solo uniforme

Para obtermos o potencial gerado pelo cabo faremos uma integrao similar utilizada

para hastes porm empregando uma equao generalizada da reta.

Sendo Pm(xm, ym, zm) o ponto mdio do cabo e x = x2-x1, y = y2-y1 e z = z2-z1 ento,

sendo u uma varivel paramtrica (|u|

20

Usando as coordenadas em (12) para a integrao teremos:

( ) ( ) ( ) +++++=5,0

5,0222 ).().().(

1.

.4. du

zuzzyuyyxuxx

IVmmm

ppi

(13)

O termo sob a raiz de (13) pode ser posto na forma:

( ) ( ) ( ) ( )22222 ).().().(..2.mmmmmm zzzzxxzzzyyyxxxuLut ++++++=

( )cubuL

t ++= ..1 2

2 , com:

( ))zz.(z)yy.(y)xx.(x.L2b mmm2 ++=

( ) ( ) ( )[ ]2m2m2m2 zzzzxxL1c ++=O potencial ser:

++=

5,0

5,02

.

1.

..4. du

cubuLIV p

pi

5,0

5,02

.4.2

arcsen...4

.

+=

bcbuh

LIV p

pi

ou ainda

+= 22

.41

arcsen.4

1arcsen.

..4.

bcbh

bcbh

LIVp

pi

(14)

A resistncia mtua entre cabos e entre cabos e hastes ser calculada por integrao

numrica da frmula (14).

21

3.4 Introduo de Eletrodos Passivos

As malhas de aterramento em situaes prticas sempre incluem elementos passivos tais

como cercas metlicas e eletrodutos no solo. Nestes casos a formulao dada em (5)

deve ser alterada para um caso mais genrico tal como descrito em Haffner et all [36].

A equao (5) em forma matricial pode ser colocada como:

=

0

0

0

0

1

2

1

121

,11,12,11,1

2122221

1111211

.......

...

...

...............

...

...

VV

VV

ii

ii

RRRRRRRR

RRRRRRRR

N

N

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

(15)

Mais a condio de contorno adicional para as correntes :

=

=

N

kk Ii

1(16)

Se agruparmos as frmulas (15) e (16) teremos:

=

IVi

i

ii

RRRRRRRR

RRRRRRRR

N

N

NNNNNN

NNNNNN

NN

NN

00...

00

...

.

011...111...1...

..................

1...1...

0

1

2

1

121

,11,12,11,1

2122221

1111211

(17)

22

A matriz [R] simtrica, pois Rij = Rji.

Observar que a tenso V0 agora uma das incgnitas do sistema, pois conhecemos de

fato a corrente de curto-circuito na subestao e no o potencial mdio nos eletrodos.

Para introduzirmos eletrodos passivos basta observar que a somatria das correntes dos

segmentos do eletrodo nula. Usando o ndice a para eletrodo ativo e p para passivo

teremos:

=

0

0...

00...

0

...

...

.

001...10...0000...01...110......

........................

10......01..............................

01......

1

1

11

111111

11

111111

a

p

a

pNp

p

aNa

a

pNpNppNppaNpNapaNp

NpppNapapa

apNaNpapNaaNNaaNa

NpapapNaaa

IVVi

ii

i

RRRR

RRRRRRRR

RRRR

(18)

Obteremos como soluo da equao (18) a corrente em cada segmento dos eletrodos

ativos e passivos e os potenciais nos dois eletrodos, permitindo, por exemplo, o clculo

da diferena de potencial entre a cerca e a malha.

Veremos no prximo captulo a deduo das funes G(r, r') da equao (4) e a soluo

da integral pelo mtodo das imagens complexas.

23

4. DETERMINAO DAS FUNES DE GREEN

A funo de Green G(r,r') representa a resposta do sistema a uma fonte impulsiva. Para

um campo de correntes estacionrias a funo potencial gerada por uma carga pontual.

O potencial de uma fonte pontual de corrente I, situada na origem em um solo

homogneo sem fronteiras, pode ser calculado integrando-se a densidade de corrente

sobre uma superfcie esfrica a uma distncia r da fonte e aproveitando a simetria

esfrica :

22

4ou 4..

r

IJrJdIS pi

pi === sJ (19)

a funo de Green ser :

r

IJdrrGr

pi

4

'.)( == (20)

Para um solo estratificado em N camadas horizontais no possvel uma integrao

analtica simples como a de (19) e (20) e ser necessrio o uso de abordagens mais

genricas como a utilizada por Chew [37].

4.1 Fonte pontual em meio homogneo

Supondo uma fonte de corrente pontual situada na origem o potencial gerado em um

ponto r ser, usando a identidade de Sommerfeld:

24

pi

pi

dkekJkk

iIeIrV zikz

rik z==0

0 )(44)(0 (21)

onde k e zk so os coeficientes de propagao na direo radial e de z

respectivamente e 2220 zkkk += .

Os estudos de propagao de onda feitos por Chew so voltados para a rea de

microondas, onde o principal componente dos campos est ligado variao com o

tempo. As frmulas devero ser adaptadas para o caso de campo de correntes de

freqncia nula ou muita baixa, como o caso do presente estudo.

Para o caso de freqncia nula o nmero de onda k0 igual a zero. Assumindo que a

fonte est em uma posio x', y', z' teremos que o potencial em um ponto x, y, z:

kikkkkk zzz .0222

===+ , substituindo em (21):

pi

dkeJkik

iIzV zzkii ')...(0

0 )(.4

),( =

Utilizando a varivel de integrao k= teremos:

'

00 )(4),(

zzxyxy erJ

IzrV

= pi , com ( ) ( )22 '' yyxxrxy += (22)

25

A funo ')',( zzezzF = a funo kernel desta integral, e depende apenas dos

parmetros do solo e da posio da fonte e do objeto.

Efetuando esta integral obteremos novamente:

( ) ( ) ( ) rI

zzyyxx

IrV

pi

pi

4

'''

14

)(222

=

++= (23)

Se a fonte estiver em um semiespao, tal como o de um solo uniforme, basta somarmos

a imagem substituindo (z-z')2 por (z+z')2 em (23).

4.2 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto namesma camada

A Figura 4 mostra uma fonte pontual A imersa em uma camada m de um solo

estratificado em N camadas horizontais e um ponto objeto P, situado na mesma camada

m, com o eixo z com origem na superfcie e orientado para cima:

Figura 4- Fonte pontual na camada m de um solo estratificado

h1

superfcie

1

2

m

N-1

N

P A

h2

hm

hN-1

x

yz

-H1

-H2

-Hm

-Hn-1

26

Observar que o ar constitui a primeira camada nesta formulao, com ar=, e o nmero

de camadas total M = N+1.

A soluo do potencial ter a forma:

pi

dzzFrJIzzrV )',()(4

)',,(0

0= (24)

A soluo dever atender s condies de contorno:

-

Corrente na direo z na superfcie nula: 00

=

=zz

V

-

O potencial contnuo em cada interface.

-

O componente normal da densidade corrente contnuo em cada interface:

ii hzihziz

Vz

V

=+=

=

1

11

Chew [37] resolve este problema utilizando abordagem de propagao de ondas entre as

camadas, lanando mo de coeficientes generalizados de reflexo e transmisso.

A soluo geral para a equao (24) em cada camada ser dada pela soma do efeito da

fonte em meio uniforme mais o efeito de ondas viajantes:

pi

dzzFrJIzzrV mimi )',()(4)',,( 00= , com (25)

27

zm

zm

zz

mi eDeBezzF ++= ')',(

O coeficiente Bm est associado reflexo do campo na fronteira Hm-1 e o coeficiente

Dm fronteira Hm. Para explicitarmos a soluo utilizaremos coeficientes de reflexo e

transmisso generalizados.

4.2.1 Coeficientes de Reflexo e Transmisso

Sendo i-1, i, i+1 as resistividades de 3 camadas adjacentes Chew define os

coeficientes:

a)

Coeficiente de reflexo visto da camada i

ascendente : ii

iiiii kk

+

==

1

11, , descendente:

ii

iiiii kk

+

==

+

+++

1

11, (26)

b)

Coeficiente de transmisso visto da camada i para a camada j

ti,j=1+ki,j

c)

Coeficiente de reflexo generalizado visto da camada i

Estes coeficientes so calculados de forma recursiva:

28

1

1

2)1(

2)1(

1,

1

seno , 2i se , 1

+

+

===

i

i

hii

hii

iii

eKkeKk

KK

(27)

1

1

2)1(

2)1(

1,

1

seno , i se , 0

+

+

+++

+++

++

+

+

===

i

i

hii

hii

iii

eKkeKk

MKK

4.2.2 Soluo para a funo kernel

Devemos utilizar as condies de fronteira para determinar Bm e Dm. Olhando na

Figura 4 podemos observar que a onda descendente entre o ponto P e a fronteira Hm-1

totalmente devida reflexo da onda ascendente na fronteira Hm-1:

]..[. 111 .'.1,. += + mmm HmzHmmHm eDeKeB (28)

Analogamente a onda ascendente entre P e a fronteira Hm totalmente devida reflexo

da onda descendente na fronteira Hm:

]..[. .'.1,. mmm HmzHmmHm eBeKeD ++ += (29)

Resolvendo para Fm obtemos:

[ ][ ] z' z se , .)',( 1,)12(1,)2'(' >++= ++++ mmmHmzzmmHmzzm MKeeKeezzF (30)

29

[ ][ ] z' z se , .)',( 1,)2(1,)12'('

30

).(.21,1,

,11

1..1

.

+

++

+=

ii HHiiii

iiii

eKkt

AA (34)

Definindo ).(.21,1,

,1,1

1..1

+

++

+=

ii HHiiii

iiii

eKkt

S ento:

iiii SAA ,11. ++= (35)

A frmula (35) coloca o valor do campo na camada i em funo do valor do campo na

camada imediatamente abaixo i+1. Usando esta frmula recursivamente desde a camada

m at a n teremos:

mmmmmnnnnn ASSSSA ...... 1,2,11,2,1 +++= ou

=

=

1

1,.m

njmmmn SAA (36)

Mas o valor de Am dado pelo primeiro termo entre colchetes da frmula (30), da:

[ ][ ] =

++

++> ++=

1-m

njj1,j

)12(1,

)2'(1,

' S.....)',(m

Hnznn

zHmzmm

znm MeKeeKezzF

(37)

Utilizando o mesmo raciocnio para o ponto P situado em uma camada n abaixo da

camada m da fonte teremos:

[ ][ ] =

++

++< ++=

1-n

j1jj,

)12'(1,

')2(1, S.....)',(

m

mHmz

mmzHnz

nnz

nm MeKeeKezzF

(38)

31

Novamente podemos observar a simetria entre as frmulas (37) e (38).

4.4 Soluo por integrao direta

Fazendo a substituio das funes kernel na funo potencial (25) pode-se observar

que no possvel efetuar integrao analtica direta exceto para o caso de 2 camadas,

quando as frmulas da funo kernel degeneram.

Para o caso de 2 camadas teremos, para o caso da fonte e objeto na primeira camada:

Km,m-1 = 1, pois a resistividade do ar considerada infinita.

Km,m+1 = k12 = k = 12

12

+

: fator de reflexo

Hm = h1 = h : espessura da primeira camada

Hm-1 = 0

1..2.11

hm ekM

=

A frmula (32) ser simplificada para:

( ) ( ) ( )h

zzhzzhzzzz

ekekeeke

zzF..2

'.2'.2''

11.1

..)',(

+++

+++= (39)

rearranjando:

32

( ) ( ) ( )h

zzzzzzzzhhzzzz

ekeeeeekekee

zzF..2

'.'''..2..2''

11.1

).(.).1).(()',(

+++

+++++=

extraindo o termo da fonte e da primeira imagem refletida na superfcie do solo:

( ) ( ) ( )h

zzzzzzzzhzzzz

ekeeeeek

eezzF..2

'.'''..2''

11.1

).(.)',(

+++

+++++= (40)

O termo fracionrio de (40) pode ser posto na forma:

( ) ( ) ).(.1

.)',( '.'''..2

..2

11zzzzzzzz

h

h

eeeeek

ekzztf ++

+++

=

mas 1. ..2 = hekx , da podemos expandir

[ ]...).().().(1..).(1. 3..22..2..2..2

..2

..2

++=+

hhhhh

h

ekekekekek

ek

=

=

+ 1

...2..2

..2.).(1

.

j

hnnh

hek

ekek

(41)

Substituindo (40) e (41) em (25) teremos a funo potencial:

( ) ++= + ''0

01

1 .[)(4)',,(zzzz

xyxy eerJI

zzrV pi

33

( ) ( ) deeeeek zzzzzzzzj

hnn )]).(.( '.'''1

...2 ++

=

++++

Mas 22

.

00

1.).(

baebJ a

+=

, portanto:

+++

++

=

22221

1 )'(1

)'(1

.[4

)',,(zzrzzr

IzzrV

xyxy

xypi

(42)

=

++++

+++1 2222 )2'(

1)2|'(|

1.(

jxyxy

n

nhzzrnhzzrk

)])2|'(|

1)2'(

12222

nhzzrnhzzr xyxy ++

+++

A frmula (42) citada em todas as abordagens de imagens em solos de duas camadas.

34

A Figura 5 mostra a representao fsica da frmula (42) com o posicionamento das

imagens:

Figura 5- Reflexes de uma fonte em solos de duas camadas

Para solos com mais de duas camadas cada uma das imagens da Figura 5 provoca novas

reflexes nas outras interfaces entre camadas tornando o mtodo invivel. A integral

I.k

I

I.k

I.k

I

I.kn

I.kn

I.kn

I.kn

I.k

P xzz'

-2.H

-H

-2.n.H

H

2.H

2.n.H

z

x' xH 1

2

35

deve ento ser obtida atravs de tcnicas numricas tal como a de imagens complexas

que ser apresentada no prximo captulo.

36

5. IMAGENS COMPLEXAS

A tcnica de imagens complexas foi empregada pela primeira vez em sistemas de

aterramento por Chow et all [29] para obter a funo de Green a partir da integral da

funo kernel.

5.1 Imagens Complexas tal como apresentadas por Chow et all [29]

A inovao apresentada por Chow em [29] foi a de utilizar a transformada de Fourier da

funo de Green em (5) na forma:

+

+=

+exp

)'()'(1)(1

)(2.~ S

eRR

eediG h

zzzz

(43)

com:

))2'(())2'(())2'(())2'((exp

1111 hzzhzzhzzhzz eeeeS ++++ +++=

A frmula (43) vlida para a fonte localizada na primeira camada e expandida numa

somatria de exponenciais, podendo tomar duas formas:

a)

Profundidades da fonte e do ponto de clculo constantes:

A expanso ser

=

=

+

N

i

bih

ieaSeR

R

1exp

1)(1)(

(44)

37

Substituindo (44) em (43) e aplicando a transformada inversa obtemos a funo de

Green:

++=

=

N

i i

i

r

a

rr

IG100 '

114pi (45)

com:

2220 )'()'()'( zzyyxxr ++= , 2220 )'()'()'(' zzyyxxr +++=

222 )'()'( ii byyxxr ++=

A Figura 6 mostra a disposio esquemtica das imagens:

Figura 6 - Imagens complexas de fonte pontual

superfcie

ro Ponto P

x

yz

Fonte I

imagem realr'o

r1

r2

Imagem complexa 1

Imagem complexa 2

38

Como G real os ai's e bi's devem ser reais ou em pares conjugados. A parte real dos

bi's deve ser negativa para atender condio do potencial nulo quando z tende a

infinito.

b) Profundidades z e z' variveis

Neste caso a funo Sexp no expandida:

=

=

+

N

i

bih

ieaeR

R

11)(1)(

(46)

Substituindo (46) em (643 e executando a transformao inversa teremos

+++++= =

N

i iiiii

rrrra

rr

IG1 432100

1111'

114pi

, com: (47)

[ ]21221 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr +++=

[ ]21222 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr ++++=

[ ]21223 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr ++++=

[ ]21224 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr +++=

39

Esta frmula corresponde exatamente frmula do potencial de uma fonte pontual em

solo de duas camadas apresentada em [9], exceto pela presena das imagens complexas

e por apresentar uma quantidade finita de imagens, no sendo necessrio efetuar

somatrias infinitas.

Os ai's e bi's so calculados por mtodos de extrao de plos e resduos, como o

mtodo de Prony em [29] ou mtodos baseados em autovalores em [33].

5.2 Generalizao da Tcnica de Imagens Complexas

Para que possamos superar a limitao de eletrodos na primeira camada de Chow [29] e

a de solos de duas camadas de Liu [33] devemos analisar mais detidamente os

fundamentos da tcnica de imagens complexas.

O princpio bsico da tcnica aplicar uma separao de variveis sobre a funo kernel

F(z,z') e em seguida expandi-la em uma somatria de exponenciais:

)',().()',( zzfesolouzzF =

u(solo) funo somente dos parmetros do solo e f(z,z') somente da profundidade da

fonte e do objeto. Fazendo a expanso em u(solo):

=

=

N

j

bj

zzf jeaezzF1

.)',(...)',,( (48)

A integral ser ento:

40

== =

deaerJzzItgdzzFrJN

j

bj

zzfxyxy

j...)..()',()',,()..(

1

.)',(.00

=

= dearJzzItgN

j

bzzfjxy

j..)..()',(

1

))',(.(0

=

+=

N

j jxyj

bzzfrazzItg

1 22 ))',((1

.)',( (49)

A integral da funo kernel ser ento substituda por uma somatria finita, onde os

coeficientes bj e aj representam os plos e os resduos da resposta do solo a uma fonte

pontual de corrente. A soluo do potencial ser dada por:

)))',((

1.

)'(1

)'(1

.(4

)',,(1 222222

= +

+++

++

=

N

j jxyj

xyxy

ixyi

bzzfra

zzrzzr

IzzrV

pi

(50)

Ser necessrio a determinao da funo f(z,z') e dos coeficientes das imagens

complexas para que possamos explicitar a funo potencial. O primeiro passo a ser dado

a separao de variveis.

5.3 Separao de variveis

Efetuaremos a separao de variveis nas frmulas (32) e (37) do captulo 4 para z e z'

como variveis independentes.

41

5.3.1 Fonte e objeto na mesma camada.

A frmula (32) pode ser posta na forma:

( )[ ++++= ++ mmhzzzzzzzzmm KKeeeeezzF m ..)',( 2'')'(' ( ) ( )+++

++ 11 222'

....

mmm Hm

Hmm

Hzz eKeKKee

( ) ] mmHzz MKee m ... 2' +++ (51)

Observar que quando o solo uniforme o termo entre colchetes de (51) nulo,

revelando que este o termo que deve ser expandido na somatria. Veremos alguns

casos particulares.

a)

Fonte situada na primeira camada em solo com 3 ou mais camadas

Neste caso teremos m =2, K-m=1, Hm-1=0, Hm = h1 , obtendo:

( ) ( )( )''''22,1

22,1)'('

11 1

1

1)',( zzzzzzzzh

hzzzz eeee

eKeK

eezzF ++

+ +++

++=

(52)

Esta a formulao de Chow [29].

b)

Fonte situada na ltima camada em solo com 3 ou mais camadas

Neste caso teremos m =N+1, K+m=0, Hm-1= HN, obtendo:

( ) ( )NN HmHzzzzzzmm eKeeeezzF 22')'(' ..)',( ++ ++= (53)Neste caso podemos tambm realizar a expanso da forma proposta por Chow dado que

h apenas 01 termo para u(solo).

42

c)

Para os casos em que a fonte e o objeto ocupam camadas intermedirias entre a

primeira e a ltima camada de um solo de mais de duas camadas, no possvel

efetuar a separao de variveis na forma proposta por Chow [29] com apenas um

conjunto de imagens, sendo este o motivo da restrio dos eletrodos na primeira

camada ou solos com duas camadas. Para levantar esta restrio deve-se considerar

cada linha do termo entre colchetes da frmula (51) como uma expanso

independente, obtendo assim 3 conjuntos de imagens para representar o potencial

dentro desta camada:

( ) mmhzzzzmm KKeeezzF m + += ..)',( 2''1 (54)

( ) ( ) mHmHmmHzzmm MeKeKKeezzF mmm .....)',( 11 222'2 ++ += (55)

( )mm

Hzzmm MKeezzF m ...)',( 2'3 ++= (56)

43

Aps a expanso a funo potencial ser ento:

+++

++

=2222 )'(

1)'(

1.[

4)',,(

zzrzzr

IzzrV

xyxy

mxym

pi

(57)

+++

+++

=

1

1 2122

121

)).2'(

1).2'(

1.(

N

j jmxyjmxyj

bhzzrbhzzra

+++++

=

2

1 22122

)).2'(

1.(

N

j jmxyj

bHzzra

])).2'(

1.(

3

1 2323

= +++

N

j jmxyj

bHzzra

5.3.2 Fonte e o objeto em camadas diferentes.

Faremos a expanso somente para a fonte abaixo do objeto, m > n; para a outra

condio podemos usar a simetria da funo kernel:

Definindo = +

+=

1-m

nj j1,j

j1,j, t

S' nmT e

=

+=

1-m

njj1,j, tnm teremos:

44

++= ++> nmHzzzz

nmneezzF

,

).2'()'( ).()',( 1

+ ).'

11.([,

)'(

mnm

zz

MTe

( ) ++

++ )

.'

1.(

,

.2' 1

mnm

n

Hzz

MTKe n

( ) ++ +++ mHzz Ke m ..2'

( )mnmmnmn

HHzz MTKKe mn ..']....2.2' 1 ++ + (58)

Para o caso geral sero necessrios 4 conjuntos de imagens para representar o potencial

gerado em camada diferente daquela da fonte:

+

++++

+=

21

222, ).2'(1

)'(1

..

4)',,(

nxyxy

nm

m

xymnHzzrzzr

IzzrV

pi

(59)

+

++

=

1

1 2121 )'(

1.(

N

j jxyj

bzzra

+++++

+ =

2

1 22122

)).2'(

1.(

N

j jnxyj

bHzzra

++++

+ =

3

1 2323

)).2'(

1.(

N

j jmxyj

bHzzra

+++

+ =

mnm

N

j jmnxyj MT

bHHzzra .'.)

).2.2'(1

.(,

1 24124

4

45

Pode-se observar na frmulas (51) e (58) que quando K+m / K+n for nulo ou K-n / K-m

for unitrio sero necessrios apenas 02 conjuntos de imagens, que correspondem a

fonte ou objeto na primeira ou ltima camada. Caso a condio seja simultnea ento

ser necessrio apenas um conjunto de imagens.

A Tabela 1 mostra o nmero de conjuntos de imagens necessrios em funo da posio

relativa da fonte e objeto:

fonte / objeto 1 2 --- N-1 N

1 1 2 2 2 1

2 2 3 4 4 2

--- 2 4 3 4 2

N-1 2 4 4 3 2

N 1 2 2 2 1

Tabela 1 - Nmero de conjuntos de imagens

5.4 Determinao dos Plos e Resduos das Imagens

O item 5.4.1 apresenta o Mtodo de Prony clssico usado por Chow et all [29] para a

determinao dos plos e resduos das imagens. Devido a limitaes importantes deste

46

mtodo, ser apresentada no item 5.4.2 uma adaptao do Mtodo de Prony com o uso

de autovalores e autovetores para superar estas limitaes.

5.4.1 Mtodo de Prony como apresentado por Chow et all

Se a funo f(x) pode ser expandida em uma somatria de exponenciais do tipo:

xN

xx NeAeAeAxf .1.1.0 110 ......)( +++ (60)

ento, se f(x) for amostrada em pontos igualmente espaados xj = j.x cada uma das

exponenciais:

( ) 1 ..., ,1 ,0 ,. == Niee jijj ii

satisfaz uma equao linear de diferenas de ordem N com coeficientes constantes:

y(j+N) +CN-1.y(j+N-1) + CN-2.y(j+N-2)+...+ C0.y(j)=0

A equao caracterstica deste sistema um polinmio de grau N :

0..... 02

21

1 =++++

CCC NNN

NN (61)

47

Como cada termo individual satisfaz a equao de diferenas homognea, ento

qualquer combinao linear dos termos tambm satisfar a equao, em particular a

funo expandida original:

f(j+N) +CN-1.f(j+N-1) + CN-2.f(j+N-2)+...+ C0.y(j)=0

Sero ento necessrias 2N amostras para determinao unvoca das 2N incgnitas da

equao (60).

Sendo f1, f2 ... f2N os pontos amostrados da funo f deveremos executar os seguintes

passos:

a)

Encontrar os coeficientes do polinmio caracterstico resolvendo o sistema linear:

=

++ =

1

0.

N

jkNkjj ffC , k =1, 2,...N

Os coeficientes Cj so todos reais pois os fs so reais.

b)

Obter as N razes do polinmio:

0..... 02

21

1 =++++

CCC NNN

NN

As razes j podem ser reais ou complexas em pares conjugados.

c)

Determinar os plos do sistema:

( )x

Ln jj

=

(62)

48

d)

Com os valores obtidos em (62) montar outro sistema linear de ordem N a partir da

frmula (60) e dos primeiros N valores amostrados:

=

=

N

jj

x

j feA j1

.

.

Os valores Aj so os resduos associados aos plos j e podem ser reais ou em pares

conjugados.

Uma das limitaes deste mtodo que o nmero de ordem N no conhecido a priori,

de forma que a estimativa feita pode provocar erros significativos sem que haja uma

forma de quantific-los.

Outra limitao importante que como o nmero de amostras o dobro da ordem do

sistema, se for necessrio aumentar a taxa de amostragem para acompanhar variaes

rpidas da funo a ordem do sistema crescer proporcionalmente, aumentando

desnecessariamente os requisitos de memria e de tempo de processamento.

Para contornar estas dificuldades foi utilizada uma adaptao do mtodo de Prony

proposto por Blaricum e Mittra [39], resolvendo o sistema linear inicial do passo a)

usando o mtodo da decomposio em autovalores e autovetores.

5.4.2 Mtodo de Prony com soluo por autovalores

A diferena neste caso que o sistema linear inicial amostrado com um nmero maior

que o dobro da ordem esperada do sistema resultando em um sistema com mais

equaes do que incgnitas.

49

O valor da taxa de amostragem fixada em funo da maior espessura de camada

existente no modelo, e o ponto final da amostragem em funo do menor valor de

espessura de camada existente, sem dependncia da ordem do sistema, observando-se

sempre que o nmero de amostras deve ser maior do que o de incgnitas.

Estima-se um valor inicial N0 para a ordem do sistema e decompe-se a matriz

retangular, obtendo-se os autovalores e os autovetores. O algoritmo de decomposio

utilizado foi o de Press et all [38].

Se algum autovalor for nulo ou, em casos prticos, for menor que o limite especificado

(10-6 a 10-8), a ordem do sistema reduzida pela quantidade de autovalores nulos e o

sistema recalculado. Se no existirem autovalores nulos ento a ordem do sistema

aumentada de 1 e os autovalores so determinados novamente. Este processo repetido

at que se encontre pelo menos um autovalor nulo.

Uma vez definida a ordem do sistema pode-se continuar no passo b) de 5.2.1 para

determinar os plos e resduos.

50

6. ASPECTOS COMPUTACIONAIS

A implementao da metodologia apresentada envolve alguns aspectos gerais de

arquitetura de software e tambm problemas especficos de cdigo. Sero feitas

consideraes sobre os aspectos principais da implementao.

O programa foi escrito com um compilador Borland Delphi 2.0, com linguagem Pascal

orientada a objetos e ambiente visual para utilizao em PCs com Windows 95 ou

superior e Windows NT 4.0 ou superior .

Todas as matrizes e vetores so armazenadas em variveis dinmicas para otimizar o

uso da memria.

O programa em sua verso final tem cerca de 1,5 Mb e necessita de 12 Mb de memria

livre em sua capacidade mxima para evitar o uso do arquivo de troca do Windows.

6.1 Entrada de Dados da Malha e do Solo

Entrada das informaes relativas aos eletrodos, com posio inicial e final, raio e

tipo , se ativo ou passivo.

As camadas foram limitadas a 4, quantidade suficiente para permitir comparao

com outros resultados da literatura. No h limitaes tcnicas para a quantidade de

camadas.

51

6.2 Discretizao do domnio

A discretizao foi feita dividindo-se os eletrodos de tal maneira a preservar a

hiptese de densidade de corrente constante, implicando em segmentar mais os

trechos na periferia da malha e nos pontos de cruzamento no caso de cabos e sempre

segmentando as hastes com o primeiro segmento da ordem da profundidade de

cravao. Um sintoma tpico de segmentao inadequada a existncia de potenciais

na superfcie maiores do que o potencial mdio sobre os eletrodos.

Para preservar a hiptese de filamento de corrente o menor segmento foi mantido da

ordem de 50 vezes o raio do condutor.

Devido forma de soluo genrica das equaes de potencial em (11) e (14) foram

introduzidas singularidades ao longo do eixo dos segmentos. Estas singularidades so

resolvidas numericamente pelo deslocamento radial do ponto de clculo por um valor

igual ao raio do segmento.

6.3 Determinao das imagens complexas

As funes de Green so amostradas e as imagens so calculadas.

O intervalo da amostragem foi fixado em 1/20 da menor espessura existente. O ponto

final da amostragem foi estabelecido em 20 vezes o valor da maior espessura de

camada. Esta condio implica no clculo de pelo menos 400 pontos, mas garante

52

que todos os componentes de freqncia relevantes sero considerados no clculo

das imagens. O programa pode calcular at 50.000 pontos.

O nmero de imagens inicial foi estimado como o nmero de camadas mais 2. O

valor mnimo dos autovalores foi fixado em 10-6.

Foram implementadas apenas as funes com fonte abaixo do objeto. O clculo

inverso utiliza a simetria das funes de Green.

Foi necessrio implementar bibliotecas de rotinas complexas para o clculo das

imagens pois os plos e resduos podem ser complexos.

6.4 Montagem da matriz de resistncias mtuas

As frmula (9) e (14) so implementadas para calcular as resistncias mtuas da

matriz e o sistema linear de ordem M resolvido.

A ordem M igual ao produto do nmero de eletrodos pela segmentao mdia

utilizada. Por exemplo, se tivermos 50 eletrodos com uma segmentao mdia de 10

teremos M = 500. Esta matriz simtrica e cheia, portanto os requisitos de memria

necessria para o armazenamento dos dados pode ser uma limitao importante para

malhas muito grandes. O programa pode manipular at matrizes de ordem 1000 x

1000, ocupando cerca de 8 Mb de memria RAM.

53

Devido introduo dos eletrodos passivos a fatorao de Cholesky no pode ser

utilizada porque a matriz deixou de ser positiva definida. Foi utilizado o algoritmo de

decomposio LU de Press et all [38] para a soluo do sistema linear.

6.5 Clculo dos potenciais e explorao dos resultados

As frmulas (8) e (14) so implementadas para o clculo do potencial gerado pela

malha.

A sada mais habitual a de traar perfis de potenciais ao longo de algumas linhas,

por exemplo a diagonal da malha, e plotar os valores do potencial de toque,

superfcie e de passo.

O uso dos eletrodos passivos permite a determinao de potenciais de transferncia

para cercas ou eletrodutos e tambm os potenciais de toque na vizinhana destes

eletrodos.

54

7. RESULTADOS OBTIDOS

Para verificao da metodologia apresentada sero feitas comparaes de resultados

com trabalhos publicados.

7.1 Exemplo de Chow et all [29]

O eletrodo toroidal descrito em [29] e [30] ser simulado para verificao dos

resultados.

Este eletrodo um toride de 300 m de raio, seo transversal com raio de 30 cm,

profundidade de 2,75 m, injetando uma corrente de 2.000 A no solo. A hiptese de fonte

linear de corrente utilizada.

O solo foi estratificado em 4 camadas. A Tabela 2 mostra os valores de resistividades e

espessuras:

Camada 1 2 3 4

Resistividade (.m) 200 230 110 20

Espessura (m) 3 15 5

Tabela 2 - Dados do Solo

No caso de um toride a simetria impe que a densidade de corrente seja uniforme, no

sendo necessria a resoluo de um sistema matricial.

55

A Figura 7 mostra a posio do toride.

Figura 7- Toride na primeira camada

7.1.1 Modelo utilizado

A funo de Green derivada a partir da frmula (51) para N =4 :

( ) ( )( )'zz'zz'zz'zzh23,2

h23,2)'zz('zz

11 eeeeeK1

eKee)'z,z(F

1

1++

+ +++

++= (63)

A expanso exponencial de (30) foi feita com o mtodo de Prony usado por Chow [29],

utilizando 8 amostras igualmente espaadas entre =0 e =1 para determinao de 4

imagens.

h1

SUPERFCIE

1

2

3

4

Rh2

h3

Z

56

A Tabela 3 mostra os valores dos ai's e bi's para este caso:

i 1 2 3 4

ai 0,069768 0,0049189 -0,26234 + j0,15429 -0,26234 - j0,15429bi (m) 0 -6,01680 -31,191 + j3,8654 -31,191 - j3,8654

Tabela 3 - Plos e Resduos

Observar que quando h uma imagem complexa existe seu conjugado correspondente.

A Figura 8 mostra o grfico dos valores analticos de (30), os valores reconstrudos com

a expanso de Chow [29], Tabela II e com os valores da Tabela 3.

AnalticoChowTab. 3

0,0001 0,001 0,01 0,1

F

0,1

0,05

0

-0,05

-0,1

-0,15

-0,2

-0,25

-0,3

-0,35

-0,4

-0,45

-0,5

Figura 8- Valores reconstrudos

Analtico

Chow

Tab. 3

(1/m)

57

7.1.2 Clculo do potencial na superfcie

O potencial na superfcie (z=0) foi calculado para R entre 280 m e 315 m para

comparao com a Fig. 4 de [28].

O clculo foi realizado a partir da integrao do potencial da fonte pontual da frmula

(10) sobre o anel situado no centro da seo transversal do toride.

A Figura 9 mostra o potencial calculado com os dados da Tabela II de Chow [28], os

valores retirados das curvas dadas em Legace [25] (marcados com cruz) e os calculados

com os plos e resduos da Tabela 2.

LegaceChowTab. 3

R (m)315310305300295290285280

Vsu

p (V

)

23022021020019018017016015014013012011010090

Figura 9- Potenciais na superfcie do solo sobre o eletrodo.

Tab. 3

Chow

58

A Figura 10 mostra uma comparao com os resultados obtidos para valores de R entre

0 e 600 m:

LegaceChowTab. 3

R (m)6005004003002001000

Vsu

p (V

)

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

Figura 10 - Potenciais na superfcie do solo sobre o eletrodo

Os grficos mostrados nas Figuras 9 e 10 mostram boa reproduo dos potenciais

quando comparados com [29] e [28], evidenciando que as imagens complexas podem

ser efetivamente utilizadas nesta aplicao.

O clculo de potenciais para eletrodos complexos apresentar a mesma seqncia que o

caso do toride, exceto que ser necessrio segmentar o eletrodo e resolver o sistema

matricial.

59

7.1.3 Imagens para o solo de Kovarski

A estrutura do solo citado em Kovarski at all [25] evidencia a limitao do mtodo de

Prony clssico utilizado por Chow et all [29].

A Tabela 4 mostra as 04 imagens usados por Chow e as 7 calculadas pelo AMAICom 4.

Chow AMAICom

N Resduos Plos Resduos Plos

1 +1,1293 -3680,23 -0,33116 -1573395

2 -0,4564 -1995,46 +1,33509 -1069959

3 +0,6049 -1000,0 -2,95778 -558694,6

4 -0,7778 0,0 +1,72283 -131326,3

5 --- --- +1,03496 -35420,8

6 --- --- +0,47384 -1106,67

7 --- --- -0,777778 0,0

Tabela 4 Imagens para o Solo de Kovarski

A Figura 11 mostra a funo kernel analtica, a aproximao de Chow e a do

AMAICom. Observar que para valores pequenos de (1/m) entre 10-5 e 10-6 ,

equivalentes a distncias de 105 e 106 m do eletrodo, a expanso de Chow apresenta

erros de mais de 100%. Notar que a distncia ao ponto com erro mximo cerca de 10

vezes a profundidade da ltima camada.

60

Figura 11 Valores reconstrudos do kernel de Kovarski

Notar que para o clculo das 7 imagens foram usadas 24000 amostras da funo kernel

contra apenas 08 amostras para as 4 imagens de Chow.

7.2 Solo de 2 camadas Exemplo de Li e Dawalibi

Este eletrodo estudado nos trabalhos de Li et all [33] e Dawalibi [17]; constitudo

por uma malha quadrada com lado de 20 metros com 04 meshs e 9 hastes a uma

profundidade de 0,5 m. Cada haste tem 10 m de comprimento e 2 cm de dimetro. Cada

cabo tem dimetro de 1 cm.

A Figura 12 mostra a vista superior da malha. A linha na diagonal do primeiro mesh o

caminho onde foi calculado o potencial de toque.

1E-8 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

Analtico

AMAICom

Chow

(m-1)

F()

61

A resistividade da primeira camada foi fixada em 100 .m e a espessura em 5 m. A

resistividade da segunda camada foi fixada variando-se o fator de reflexo de 0,9 a

+ 0,9.

FIGURA 12 VISTA SUPERIOR DA MALHA

A Tabela 5 mostra os valores da resistncia de aterramento e o valor do potencial de

toque mximo em percentagem em relao elevao de potencial da malha.

A discretizao utilizada foi a padro com 3 subdivises para os cabos e 7 para as

hastes.

Linha de clculo dopotencial

62

Resistncia () Vtoque (%)

k Li Dawalibi AMAICom Li Dawalibi AMAICom

0,9 7,70 7,78 8,02 6,51 6,60 7,04

0,5 3,46 3,50 3,50 12,9 13,4 14,2

0,0 1,79 1,81 1,78 20,8 21,0 21,7

-0,5 0,80 ---- 0,787 27,0 ---- 29,7

-0,9 0,15 0,16 0,153 34,1 35,0 37,1

Tabela 5 Comparao com solos de 2 camadas

Os resultados da resistncia de aterramento e do potencial de toque mostram variaes

menores que 3 % entre os trs conjuntos de resultados.

Para uma verificao adicional destes resultados o Ground-3D foi utilizado com os

valores extremos de k = 0,9 e k = -0,9, obtendo-se respectivamente resistncias de

7,38 e 0,12 e potenciais de toque de 6,3 % e 37 %.

7.3 Exemplo de Vujevic e Kurtovic

Este eletrodo [34] composto por hastes e cabos com 11 mm de dimetro a uma

profundidade de 0,5 m e cabos com 5 mm de dimetro simulando uma cerca metlica.

O solo apresenta uma estrutura de 03 camadas, com resistividades de 10, 100 e 500 .m

respectivamente e espessuras de 2 e 10 m.

63

A Figura 13 mostra uma vista superior da malha. A linha na segunda metade da malha

o caminho de clculo do potencial na superfcie.

Eletrodo passivo

Eletrodo ativo

Linha de clculoDo potencial

Figura 13 - Exemplo de Vujevic e Kurtovic

A Tabela 6 mostra valores da elevao de potencial dos eletrodos ativos e passivos e o

valor do potencial em alguns pontos na superfcie do solo, com referncia 0 no centro da

malha. A corrente injetada no eletrodo interno foi de 1000 A .

64

Grandeza Vujevic e Kurtovic AMAIComElevao de potencial do

eletrodo ativo (V)1968 1972

Elevao de potencial doeletrodo passivo (V)

1765 1766

Potencial x=0 1835 1838





Tabela 6 Comparao com 03 camadas

Os resultados mostram excelente concordncia entre os dois mtodos.

7.4 IEEE-80 / 1986

Sero estudados dois casos do Anexo C do IEEE-80 / 1986, o caso C4, com solo de

duas camadas e espaamento uniforme e o C6, com solo uniforme e espaamento

varivel.

7.4.1 Caso C-4 : 2 camadas com espaamento uniforme

Malha quadrada com lado de 60,96 m, 04 meshs, 09 hastes. Cabos com 10 mm de

dimetro e hastes com 0,5 de dimetro e 9,144 m de comprimento. A profundidade da

65

malha de 0,5 m; a resistividade da primeira e segunda camada de 300 .m e 100

.m respectivamente e a espessura da primeira camada de 4,572 m.

A Figura 14 mostra uma vista superior da malha:

Figura 14 Eletrodo Figura C4 IEEE-80 /1986

A Tabela 7 mostra os valores da resistncia de aterramento e do potencial de toque do

IEEE-80, de Haffner [36] e os obtidos com o AMAICom:


66

Resistncia () Potencial de toque (%)

IEEE-80 / 1986 1,353 49,66

Haffner et all [36] 1,169 45,06

AMAICom 1,141 44,04

Tabela 7 Eletrodo C4 do IEEE-80 / 1986

A diferena percentual do potencial de toque mximo foi de 4,6 % em relao ao

IEEE-80 e de 1 % em relao a Haffner.

A diferena percentual da resistncia de aterramento foi de 16 % em relao ao IEEE-80

e de 2,4 % em relao a Haffner.

A Figura 15 mostra o potencial na superfcie sobre o caminho mostrado na Figura 13.

Potencial da MalhaP1

x (m)302520151050

Pote

nci

al na

Supe

rfci

e (V

)

1.100

1.000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

Figura 15 Potencial na superfcie do solo

67

7.4.2 Caso C-6 : Solo uniforme com espaamento varivel

Malha quadrada com lado de 91,44 m, 08 meshs, 25 hastes. Cabos com 10 mm de

dimetro e hastes com 0,5 e 9,144 m de comprimento. A profundidade da malha de

0,5 m; a resistividade do solo de 300 .m . O espaamento dos meshs varivel. A

Figura 16 mostra uma vista superior da malha:

Figura 16 Eletrodo Figura C4 IEEE-80 /1986

A Tabela 8 mostra os valores da resistncia de aterramento e do potencial de toque do

IEEE-80 e os valores obtidos com o AMAICom:


68

Resistncia () Potencial de toque (%)

IEEE-80 / 1986 C6 1,416 17,08

AMAICom 1,468 15,86

Tabela 8 Eletrodo C6 do IEEE-80 / 1986

O potencial de toque mximo ocorreu no mesh central e no no mesh do canto.

A diferena percentual de 3,6 % entre os valores de resistncia e de 1,2 % para o

potencial de toque.

A figura 17 mostra a curva de potencial na superfcie do solo:

Figura 17 Potencial na superfcie do solo

Podemos observar que a segmentao utilizada produziu um valor de potencial na

superfcie do solo maior do que o potencial sobre os eletrodos, indicando que a

segmentao est inadequada. No caso do IEEE-80, a Fig. C7 mostra potenciais acima

Potencial da MalhaP1

x (m)454035302520151050

Pote

nci

al na

Supe

rfci

e (V

)

1.5601.5401.5201.5001.4801.4601.4401.4201.4001.3801.3601.3401.3201.3001.2801.2601.240

69

do valor dos eletrodos j na passagem sobre o terceiro cabo (x = 12,44 m), indicando

que foi utilizada uma segmentao ainda mais grosseira.

7.5 Anlise de Sensibilidade da Discretizao

Ser utilizado o exemplo da Figura C6 do IEEE-80 /1986, malha em solo uniforme com

espaamento varivel para uma anlise de sensibilidade aos parmetros da

discretizao.

Sero analisadas as variaes do valor da resistncia de aterramento, do valor mximo

do potencial na superfcie e do valor do potencial de toque mximo.

A discretizao dos cabos ser feita em 1, 9, 17 e 33 subdivises, correspondentes a

nenhuma subdiviso, 1, 2 e 4 subdivises por mesh respectivamente.

A discretizao das hastes ser feita em 1, 3, 5 e 11 subdivises.

A Figura 18 mostra a variao da resistncia de aterramento.

Figura 18 - Variao do valor da resistncia de aterramento

1 3 5 111

17

1,455

1,46

1,465

1,47

1,475

R (o

hms)

Sub. hastes

Sub. cabos

1

9

17 33

70

A variao entre o menor valor e o maior foi de 0,7%, indicando que o valor da

resistncia depende pouco da discretizao.

A Figura 19 mostra a variao do valor do potencial de toque mximo.

Figura 19 Potencial de toque mximo

A variao entre o menor e o maior valor foi de 5,8 %, com os valores menores

acontecendo com um nmero maior de subdivises.

Para que o valor fique dentro de 1% do valor assinttico a subdiviso dos cabos deve ser

de 17 ou 2 subdivises por mesh e a subdiviso de hastes deve ser 3, minimizando o

nmero total de segmentos discretos.

Observar que neste caso a concluso de Garret em [22] de que a subdiviso das hastes

tem um impacto maior sobre os potenciais na superfcie no aplicvel, mostrando que

malhas de forma complexa devem ser analisadas caso a caso.

13511

117

220

225

230

235

240

Pot.

Toqu

e (V

)

Sub. hastes

Sub. cabos

1

9

17

33

71

A Figura 20 mostra a variao do valor do potencial mximo na superfcie.

Figura 20 Potencial mximo na superfcie

A variao entre o maior e o menor valor foi de 4,9 % com valores menores

acontecendo com um nmero maior de subdivises. Os valores maiores que 100% so

incorretos, pois a superfcie no pode estar a um potencial maior do que o da prpria

malha.

Para que a diferena fique dentro de 1 % do valor assinttico devemos ter a mesma

condio necessria para o potencial de toque, subdiviso dos cabos de 2 por mesh e 03

subdivises para as hastes.

Esta correlao tem significado fsico, pois como h pequena variabilidade no valor da

resistncia de aterramento e uma discretizao mais grosseira aumenta os valores

mximos e mnimos do potencial na superfcie, se a discretizao reproduz

13511

117

949698

100102104

Pot.

Sup.

(V)

Sub. hastes

Sub. cabos

1

9

17

33

72

adequadamente o valor mximo do potencial na superfcie ela tambm reproduzir

adequadamente o valor mnimo, associado ao potencial de toque.

Uma conseqncia imediata desta correlao que o potencial na superfcie pode ser

usado como um indicador da qualidade da discretizao.

interessante verificar o efeito da discretizao no valor do potencial sobre a superfcie

dos eletrodos, pois uma das hipteses fundamentais que o potencial sobre a superfcie

dos eletrodos constante.

A Figura 21 mostra o potencial sobre a superfcie do cabo central da malha em

percentagem do valor mdio para nenhuma subdiviso de cabos e hastes e para 2

subdivises por mesh para os cabos e 3 subdivises para as hastes, segmentao que

produziu valores dentro de 1% dos valores assntotas.

Figura 21 Potencial sobre a superfcie do cabo central

0

20

40

60

80

100

120

0 9,144 18,288 27,432 36,576 45,72x (m)

V C

abo

(%)

Sem subdiviso

Com subdivisoSem subdiviso

Com subdiviso

73

Pode-se observar que a subdiviso mais fina proporcionou uma melhor aderncia

hiptese, com o potencial da superfcie do cabo se aproximando mais do valor mdio.

A forma dos potenciais na Figura 21 indica que a ocorrncia de potenciais na superfcie

do solo com valores superiores ao valor mdio do potencial da malha decorre

justamente da falta de aderncia hiptese bsica de potencial constante em todo o

eletrodo.

74

8. CONCLUSO

Os resultados apresentados permitem concluir que a tcnica de imagens complexas pode

ser utilizada com sucesso para o clculo de malhas de terra em solos com mltiplas

camadas horizontais.

A anlise terica realizada permitiu uma explicitao indita das funes kernel para

posies arbitrrias da fonte e do objeto, possibilitando que outros trabalhos futuros

possam ser realizados com base nas funes kernel.

O programa AMAICom desenvolvido superou as limitaes existentes em trabalhos

anteriores de imagens complexas, permitindo o clculo de malhas com eletrodos

situados em qualquer camada e a determinao das imagens complexas por um mtodo

mais robusto e estvel.

Ainda existem pontos importantes a serem aprofundados tais como:

-

reduo do nmero de amostras da funo kernel;

-

propagao do erro proveniente do uso das imagens complexas para o clculo dos

potenciais e, consequentemente, para o clculo das resistncias mtuas e

-

efeitos da discretizao dos eletrodos em malhas com topologia irregular.

75

9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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