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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes

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EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 5

Teoria do Potencial e PVCG

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

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Potencial Gravitacional

Vimos anteriormente que o potencial gravitacional de atração

ou newtoniano é uma função escalar dada pela seguinte

equação:

𝑉 =𝐺 ∙ 𝑚

𝑙

O potencial gravitacional é concebido pela massa 𝑚 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′no ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 . No caso de um sistema discreto de

partículas:

𝑉 = 𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖

Considerando uma distribuição contínua, tem-se:

𝑉 = 𝐺 ∙ න𝑚

𝑑𝑚

𝑙= 𝐺 ∙ න

𝑣

𝜌𝑑𝑣

𝑙= 𝐺 ∙ න

𝑣

𝜌 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′

𝑙

(1)

(2)

(3)

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Considerando o potencial gravitacional de atração V

gerado por um sistema discreto de partículas e introduzindo um

sistema de coordenadas cartesianas na determinação da

distância 𝑙 , as derivadas parciais de primeira ordem serão

dadas por:

𝜕𝑉

𝜕𝑥= −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑥 − 𝑥𝑖′

𝑙𝑖3

𝜕𝑉

𝜕𝑦= −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑦 − 𝑦𝑖′

𝑙𝑖3

𝜕𝑉

𝜕𝑧= −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑧 − 𝑧𝑖′

𝑙𝑖3

(4)

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Já as derivadas parciais de segunda ordem serão dadas por:

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2= 𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖3 − 3𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑥 − 𝑥𝑖′

2

𝑙𝑖5

𝜕2𝑉

𝜕𝑦2= 𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖3 − 3𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑦 − 𝑦𝑖′

2

𝑙𝑖5

𝜕2𝑉

𝜕𝑧2= 𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖3 − 3𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖 ∙ 𝑧 − 𝑧𝑖′

2

𝑙𝑖5

Somando-as membro a membro temos:

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2+𝜕2𝑉

𝜕𝑧2= 3𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖3 − 3𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖3 = 0

(5)

(6)

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Equação de Laplace

Ou simplesmente:

∆𝑉 =𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2+𝜕2𝑉

𝜕𝑧2= 0

A equação (7) é conhecida como Equação de Laplace. Ela nos

diz ser nulo o laplaciano do potencial gravitacional em pontos

externos às massas atrativas (GEMAEL, 1999). Por essa razão

ela é denominada função harmônica, pois satisfaz a equação

de Laplace em todos os pontos no exterior do corpo.

Funções harmônicas são definidas como aquelas que

satisfazem a equação diferencial parcial de segunda ordem

(HEISKANEN & MORITZ, 1967).

(7)

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Equação de Poisson

Vimos que o potencial de atração é uma função harmônica

apenas no espaço vazio (exterior às massas atrativas). Mas

qual seria o valor do laplaciano do potencial no interior das

massas atrativas?

Considerando-se uma esfera homogênea de massa M e de raio

r, temos que:

a) Em um ponto exterior à esfera:

𝑉 =𝐺𝑀

𝑙

b) Em um ponto interior à esfera:

𝑉 =2𝐺𝜋𝜌 3𝑟2 − 𝑙2

3

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Consideremos um ponto P no interior de uma distribuição

contínua de massas, sendo estas divididas em duas partes:

a) uma esfera E, de raio r suficientemente pequeno para que a

densidade 𝜌 no seu interior possa ser admitida constante e

que contenha P;

b) O restante das massas

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O potencial em será: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2, sendo 𝑉1 e 𝑉2 representando

o potencial engendrado pelas massas que circundam a esfera

E, e o potencial engendrado pela esfera E, respectivamente.

Como ao operador de Laplace pode ser aplicado a propriedade

distributiva, podemos escrever:

∆𝑉 = ∆𝑉1 + ∆𝑉2

Exprimindo l em função das coordenadas do ponto P, podemos

calcular o laplaciano da função 𝑉1:

∆𝑉1 = ∆2𝐺𝜋𝜌 3𝑟2 − 𝑙2

3= −4𝐺𝜋𝜌

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Como ∆𝑉2 = 0 temos que:

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2+𝜕2𝑉

𝜕𝑧2= ∆𝑉 = −4𝐺𝜋𝜌

A equação apresentada é a famosa equação de Poisson (1812)

válida para pontos interiores às massas atrativas.

Em resumo:

Exterior: ∆𝑉 = 0 Equação de Laplace

Interior: ∆𝑉 = −4𝐺𝜋𝜌 Equação de Poisson.

Estas duas últimas equações são extremamente importantes

em geodésia. A primeira é utilizada na solução do PVCG no

exterior das massas atrativas. A segunda oferece a

possibilidade de resolver o PVCG no interior das massas desde

que se conheça um modelo de distribuição de densidades.

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Problemas Direto e Inverso

A teoria do Potencial admite:

Problema DIRETO: “determinação do potencial a partir das

massas geradoras”;

Problema INVERSO: “a partir do potencial remontar às massas

geradoras”.

O problema inverso não admite uma solução única, pois

existem infinitas distribuições de massa que conduzem ao

mesmo potencial. Imaginando-se esferas concêntricas de raios

e densidades diferentes pode-se obter a mesma massa. Ao

geodesista interessa o problema inverso.

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Problemas de Contorno

a) Da Teoria do Potencial (Problemas Internos)

Primeiro problema (Dirichlet): a partir do conhecimento dos

valores de uma função V sobre uma superfície S, determina-se

essa função V de tal maneira que ela seja harmônica no interior

de S quando são conhecidos os valores que a função assume

sobre a superfície (contorno):

ቐ∆𝑉 = 0 𝑟 > 𝑅

𝑉 = ത𝑉 𝑟 = 𝑅

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Segundo problema (Neumann): a partir do conhecimento dos

valores da derivada normal da função V sobre a superfície S,

Τ𝜕𝑉𝜕𝑟, determina-se a função V de modo que ela seja harmônica

interna a S:

∆𝑉 = 0 𝑟 > 𝑅

𝜕𝑉

𝜕𝑟= −𝛿𝑔 𝑟 = 𝑅

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Terceiro problema (Hilbert): a partir dos valores da combinação

linear da função V com sua derivada normal sobre a superfície

S, determina-se a função V nas condições anteriores:

∆𝑉 = 0 𝑟 > 𝑅

𝜕𝑉

𝜕𝑟+2

𝑟∙ 𝑉 = −∆𝑔 𝑟 = 𝑅

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b) Da Geodésia Física

Problema 1: “conhecidos os valores do potencial gravífico e de

sua derivada normal sobre a superfície Física da Terra

determinar essa superfície”.

Problema 2: “conhecidos os valores do potencial gravífico e de

sua derivada normal sobre a superfície Física da Terra

determinar o campo gravífico externo à superfície”.

⚫ Se forem conhecidos os valores de 𝑊 sobre o contorno, o

problema se enquadra a DIRICHLET;

⚫ Se forem conhecidos os valores de 𝑔𝑛 , o problema se

enquadra a NEUMANN;

⚫ Se forem conhecidos os valores de 𝑊 e de sua derivada

normal, o problema se enquadra a HILBERT.

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Propriedades do Potencial Gravitacional

➢ é uma função harmônica no exterior das massas;

➢ satisfaz a equação de Poisson no interior de tais

massas;

➢ é uma função escalar de ponto cujo gradiente

representa a força de atração produzida pelas

massas sobre a partícula de massa unitária;

➢ é uma função contínua;

➢ tem derivadas primeiras contínuas;

➢ tem derivadas segundas contínuas exceto sobre a

superfície limitante das massas;

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Propriedades do Potencial Gravitacional

➢ tende a zero quando o ponto se afasta para o infinito;

➢ é uma função harmônica no interior e exterior de

uma superfície material;

➢ é uma função cuja derivada direcional representa a

componente da força de atração nessa direção; e

➢ é constante no interior de uma superfície material

esférica.

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O vetor gravidade, em um ponto

da superfície terrestre, é

resultante da força de atração

gravitacional Ԧ𝐹 e da força

centrífuga Ԧ𝐶 . Estas duas forças

atuam sobre o corpo, onde a

gravidade Ԧ𝑔 é expressa como

resultante da soma vetorial de

ambas ( Ԧ𝐹 e Ԧ𝐶):

Ԧ𝑔 = Ԧ𝐹 + Ԧ𝐶

Potencial Gravífico

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Designando por 𝑥, 𝑦, 𝑧 as coordenadas da partícula de massa

unitária e por d a sua distância ao eixo de rotação, a força centrífugaԦ𝐶 (vetorial) é dada por:

Ԧ𝐶 = 𝜔2 ∙ Ԧ𝑑

𝜔 =magnitude da velocidade de rotação da Terra;

𝑑 = vetor definido pela separação entre o ponto e o eixo de rotação

terrestre, cujo módulo é dado por:

Ԧ𝑑 = 𝑥2 + 𝑧2

A força centrífuga Ԧ𝐶 é devida ao chamado potencial centrífugo (𝑄),

dado por:

𝑄 =1

2∙ 𝜔2 ∙ Ԧ𝑑2


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O potencial da gravidade (𝑊), potencial gravífico ou geopotencial é

expresso pela soma do potencial gravitacional (𝑉) e do potencial

centrífugo (𝑄), conforme equação:

𝑊 = 𝑉 + 𝑄 =𝐺∙𝑚

𝑙+

1

2∙ 𝜔2 ∙ Ԧ𝑑2


Por qualquer ponto do espaço passa uma

superfície cujo potencial de gravidade da

Terra real é constante em todos os seus

pontos. Trata-se de uma superfície

equipotencial ou superfície de nível.

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Logo, o geopotencial será dado pela seguinte equação:

𝑊 = 𝐺 ∙ම𝑀

𝑑𝑚

𝑙+1

2∙ 𝜔2 ∙ Ԧ𝑑2

O gradiente do geopotencial proporciona a aceleração da gravidade:

Ԧ𝑔 = 𝛻𝑊

O potencial centrífugo Q não é uma função harmônica pois:

∆𝑄 = 2𝜔2

Aplicando-se o operador de Laplace (∆) na equação 𝑊 = 𝑉 + 𝑄obtém-se a equação de Poisson Generalizada que permite o cálculo

do potencial no interior das massas atrativas.

∆𝑊 = −4𝜋𝐺𝜌 + 2𝜔2


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Integral de Poisson

O problema de Dirichlet, particularizado para uma esfera de raio R,

encontra solução na chamada Integral de Poisson, dada por:

𝐹 𝑟, 𝑣, 𝜆 =𝑅

4𝜋න𝑠

𝑟2 − 𝑅2 𝐹 𝑅, 𝑣′, 𝜆′

𝑙3𝛿𝑠

𝐹 𝑟, 𝑣, 𝜆 e 𝐹 𝑅, 𝑣′, 𝜆′ são funções

harmônicas no exterior e sobre a superfície

de raio R;

𝛿𝑠 = elemento de área de uma esfera de raio R

A distância 𝑙 é dada por:

𝑙2 = 𝑅2 + 𝑟2 − 2𝑅𝑟 cosΨ

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O valor de cosΨ é dado por:

cosΨ = cos 𝑣 cos 𝑣′ + sen 𝑣 sen 𝑣′ cos 𝜆 − 𝜆′

Integral de Poisson

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Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas

As funções harmônicas

esféricas são importantes em

soluções de problemas da

Geodésia.

No desenvolvimento, faz-se

necessário expressar o

potencial em coordenadas

esféricas. Na figura abaixo, as

coordenadas retangulares

(𝑥, 𝑦, 𝑧) estão relacionadas

com as esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜆) ,

mediante as expressões:

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Lembrando que as

coordenadas Cartesianas

Geocêntricas podem ser

obtidas a partir das

coordenadas geodésicas

𝜑, 𝜆, ℎ .

Com:

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Assim, o laplaciano de uma função escalar 𝐸 = 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧

Δ𝐸 =𝛿2𝐸

𝛿𝑥2+𝛿2𝐸

𝛿𝑦2+𝛿2𝐸

𝛿𝑧2

Expresso em coordenadas esféricas assume a seguinte forma:

Δ𝐸 =𝛿2𝐸

𝛿𝑟2+2

𝑟∙𝛿𝐸

𝛿𝑟+

1

𝑟2∙𝛿2𝐸

𝛿𝑣2+cotg 𝑣

𝑟2∙𝛿𝐸

𝛿𝑣+

1

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝑣∙𝛿2𝐸

𝛿𝜆2

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Assim, a equação de Laplace transformada para coordenadas

esféricas será dada por:

Δ𝑉 =𝛿2𝑉

𝛿𝑟2+2

𝑟∙𝛿𝑉

𝛿𝑟+

1

𝑟2∙𝛿2𝑉

𝛿𝜙2+tan𝜙

𝑟2∙𝛿𝑉

𝛿𝜙+

1

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜙∙𝛿2𝑉

𝛿𝜆2= 0

Onde 𝜙 é a latitude geocêntrica, 𝜆 é a longitude, e 𝑟 é a

distância para a origem (centro de massa da Terra).

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O potencial gravitacional de um corpo que tem distribuição

de massa homogênea e forma geométrica simples, em

geral, permite uma representação matemática exata. Mas o

potencial de um corpo com distribuição de massa

heterogênea e forma geométrica complexa como a Terra,

por exemplo, somente poderá ser obtido por aproximação.

Em geral, as aproximações são expressas na forma de

séries, onde o número de termos depende da resolução dos

dados disponíveis e indica o grau de aproximação.

Polinômios de Legendre

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Os polinômios de Legendre 𝑃𝑛 ou harmônicos esféricos zonais,

pertencem à classe das funções especiais, e foram

desenvolvidos por Legendre, em 1782, quando investigava

expansões em séries de funções potenciais.


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A distância 𝑙 na figura abaixo pode ser dada por:

𝑙 = 𝑟2 + 𝑠2 − 2𝑟𝑠 cos 𝜓

Fazendo t = cos 𝜓 tem-se:

𝑙 = 𝑟2 + 𝑠2 − 2𝑟𝑠𝑡

𝑙 = 𝑟 1 +𝑠2

𝑟2−2𝑟𝑠𝑡

𝑟2= 𝑟 1 − 2

𝑠

𝑟𝑡 +

𝑠

𝑟

2


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Invertendo a posição de cada membro:

1

𝑙=

1

𝑟 1 − 2𝑠𝑟𝑡 +

𝑠𝑟

2

1

𝑙=1

𝑟1 − 2

𝑠

𝑟𝑡 +

𝑠

𝑟

2 −12

Desenvolvendo a equação acima em expansão binomial resulta

em:

1

𝑙=1

𝑟1 +

𝑠

𝑟𝑡 +

𝑠

𝑟

2 3

2𝑡2 −

1

2+

𝑠

𝑟

3 5

2𝑡3 −

3

5𝑡 + ⋯


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Ou ainda:

1

𝑙=1

𝑟1 +

𝑠

𝑟𝑃1 +

𝑠

𝑟

2

𝑃2 +𝑠

𝑟

3

𝑃3 +⋯

Generalizando:

1

𝑙=1

𝑟

𝑛=0

∞𝑠

𝑟

𝑛

𝑃𝑛 𝜓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≥ 𝑠

onde, 𝑃𝑛 𝜓 ≡ 𝑃𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜓 são os polinômios de Legendre, de

grau 𝑛, dados por:


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𝑃𝑜 𝜓 = 1

𝑃1 𝜓 = cos 𝜓

𝑃2 𝜓 =1

23cos2 𝜓 − 1

𝑃3 𝜓 =1

25cos3 𝜓 − 3cos 𝜓

⋮

Ou pela fórmula de recorrência, a partir de 𝑃𝑜 e 𝑃1:

𝑃𝑛 𝜓 = −𝑛 − 1

𝑛𝑃𝑛−2 𝜓 +

2𝑛 − 1

𝑛cos 𝜓 𝑃𝑛−1 𝜓


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𝑃𝑛 pode ainda, ser obtido a partir da fórmula de Rodrigues:

𝑃𝑛 𝑡 =1

𝑛! 2𝑛𝜕𝑛

𝜕𝑡𝑛𝑡2 − 1 𝑛.

Com 𝑡 = cos𝜓.


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Polinômios de Legendre 𝑃0 𝑡 …𝑃25 𝑡 em função do

argumento 𝑡 = sen𝜙.


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Harmônicos Esféricos de Superfície

Os harmônicos esféricos sólidos são um conjunto

ortogonal de soluções para a equação de Laplace

representada em um sistema de coordenadas esféricas

(Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005).

Assim, cada potencial harmônico, isto é, o que satisfaz a

equação de Laplace, pode ser expandido em um conjunto

de harmônicos esféricos sólidos.

Por esta razão, a parte estacionária do potencial gravífico

(ou geopotencial) da Terra W (a parte de atração apenas)

em qualquer ponto (r, λ, ϕ) sobre e acima da superfície da

Terra é expressa em uma escala global convenientemente

somando o grau e a ordem de uma expansão harmônica

esférica.

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Os harmônicos esféricos de superfície, que

caracterizam o comportamento do potencial

gravitacional sobre a esfera unitária, são dependentes

dos polinômios de Legendre, 𝑃𝑛𝑚. Os zeros dessas

funções dividem a superfície em regiões que contêm

valores positivos e negativos, distribuídas como zonas

(faixas de latitude), setores (faixas de longitude) ou

mosaicos (valores alternados tanto na latitude como na

longitude).

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A função Sn, dependente apenas das coordenadas (v, λ)

do ponto P, é denominada harmônico esférico de

superfície de grau n e contém 2n + 1 constantes

arbitrárias, anm e bnm.

Com:

𝑎𝑛𝑚 = 𝑃𝑛𝑚 𝑣′ cos𝑚𝜆′

e

𝑏𝑛𝑚 = 𝑃𝑛𝑚 𝑣′ sen𝑚𝜆′

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As parcelas, função de 𝒗 e 𝝀, que compõem 𝑆𝑛, são também

conhecidas como harmônicos esféricos de superfície

(particulares), recebendo denominações especiais:

a) Pno ou simplesmente Pn são ditos harmônicos

esféricos de zona ou zonais;

b) 𝑃𝑛𝑚 𝑣 cos𝑚𝜆 e 𝑃𝑛𝑚 𝑣 sen𝑚𝜆 são chamados de

funções associadas de Legendre de grau n e

ordem m:

• Se n ≠ m são ditos tesserais;

• Se n = m são ditos sectoriais.

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a) Zonal

b) Tesseral

c) Sectorial

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Os coeficientes das funções de LEGENDRE associadas,

tesserais e sectoriais, podem ser calculados a partir da

Fórmula de Ferrers:

𝑃𝑛𝑚 𝑣 = 1 − 𝑡2𝑚2𝜕𝑚

𝜕𝑡𝑚𝑃𝑛 𝑣

Com 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑣

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Exemplo:

𝑛 = 𝑙

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Exemplo:

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Exemplo:

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Exercício Exemplo:

Exprima os polinômios de Legendre desde 𝑛 = 1 até 𝑛 = 6,

utilizando a Fórmula de Recorrência e a Fórmula de

Rodrigues.

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Referências Bibliográficas

FREITAS, S.R.C.; BLITZKOW, D. Altitudes e Geopotencial. IGeS

Bulletin N.9 – International Geoid Service, June 1999, 47 – 62, Milan.

GEMAEL, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR, Curitiba,

1999.

HEISKANEN, W. A., MORITZ, H. Physical Geodesy. San Francisco:

W.H. Freeman and Company, 1967.

MEDINA, A. S.; GEMAEL, C.; FREITAS, S. R. C. A Altitude e o

Sistema de Referência Vertical. Anais do Simpósio Brasileiro de

Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002. p.001-004.

SEVERO, T. C. Estudo das Altitudes Físicas Aplicado à Rede

Altimétrica Fundamental do Brasil no Estado do Rio Grande do Sul.

Dissertação de Mestrado. Porto Alegre. 2013.

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