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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes

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EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

Aula 2: Introdução à Teoria do Potencial

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Embora os estudos empíricos sobre o movimento de queda livre

tenham sido iniciados e publicados por Galileu¹ no final do século

XVI, a formulação da teoria da gravitação universal só ocorreu

praticamente um século depois, quando Newton² publicou seus

estudos em 1687.

Com base nas leis de Kepler³, enunciadas em 1610 e 1619,

Newton demonstrou geometricamente em 1687 que um planeta

em seu giro em torno do sol está sujeito a uma força que varia

inversamente ao quadrado da distância 𝐹𝑃 (F = Foco; P =

Planeta) que os separa.

(1) Galileo Galilei (1564 – 1642)

(2) Isaac Newton (1642 – 1727)

(3) Johanes Kepler (1571 – 1630)

Lei da Gravitação Universal

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G é conhecida como: Constante Gravitacional ou Fator de Proporcionalidade e é igual a: 6,672x10-11 m3Kg-1s-2 no Sistema

Internacional

m2

F1 F2

d

m1

De acordo com a lei de Newton se a esfera com massa 𝑚1

estiver fixa e a esfera com massa 𝑚2 puder movimentar-se, 𝑚2

irá se deslocar em direção a 𝑚1, devido à força F.


𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐

𝒅𝟏𝟐𝟐

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Conseguiu traçar a órbita da terra determinando diferentes

posições da terra após cada período sideral de Marte.

Concluiu que essa órbita era muito bem ajustada por um

círculo excêntrico (Sol um pouco afastado do centro).

Determinou também a órbita de Marte mas não teve

sucesso em ajustá-la com um círculo.

Ao tentar representar a órbita de Marte como uma oval,

descobriu que uma elipse ajustava muito bem com os

dados, uma vez que a posição do Sol coincidia com um

dos focos da elipse.

Estudos de Kepler

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Em qualquer ponto da curva, a soma das distâncias desse ponto aos dois

focos é constante. Sendo 𝐹 e 𝐹′ os focos, 𝑃 um ponto sobre a elipse, e a o

seu semi-eixo maior, então:

Propriedades das elipses

𝐹𝑃 + 𝐹′𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2𝑎

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Quanto maior a distância entre os dois focos, maior é a excentricidade (e) da

elipse. Sendo c a distância do centro a cada foco, a o semi-eixo maior, e b o

semi-eixo menor, a excentricidade e definida por:


já que quando o ponto

esta exatamente sobre

b temos um triângulo

retângulo, com:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

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Se imaginamos que um dos focos da órbita do planeta é ocupado

pelo Sol, o ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado periélio, e

o ponto mais distante é chamado afélio. A distância do periélio ao

foco (𝑅𝑝) é: 𝑅𝑝 = 𝑎 − 𝑐 = 𝑎 − 𝑎 ∙ 𝑒 = 𝑎 ∙ 1 − 𝑒

e a distância do afélio ao foco (𝑅𝑎) é:

𝑅𝑎 = 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑒 = 𝑎 ∙ 1 + 𝑒


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Uma elipse é por definição um conjunto de pontos equidistantes

de dois focos separados por 2𝑎𝑒, onde 𝑎 é o semi-eixo maior e

𝑒 a excentricidade.

Equação da Elipse (Coord. Polares)

Seja um Ponto 𝑃 𝑟, 𝜃 ou 𝑃 𝑥, 𝑦 ,

onde 𝜃 é chamado de anomalia

verdadeira. Pela lei dos cossenos tem-

se:

𝑟12 = 𝑟2 + 2𝑎𝑒 2 + 2𝑟 2𝑎𝑒 cos 𝜃

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Equação da Elipse (Coord. Polares)

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Área da Elipse (Coord. Cartesianas)

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Leis de Kepler

1ª Lei: Lei das órbitas elípticas (1609) – a órbita de cada

planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como

consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta

varia ao longo de sua órbita.

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Leis de Kepler

2ª Lei: Lei das áreas (1609) – a reta unindo o planeta ao Sol varre áreas

iguais em tempos iguais. O significado físico dessa lei é que a velocidade

orbital não é uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o

planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira,

essa lei estabelece que a velocidade areal é constante.

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Leis de Kepler

3ª Lei: Lei harmônica (1618) – o quadrado do período orbital dos planetas é

diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Essa lei

estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em

torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta

decresce com a distância ao Sol.

Sendo 𝑃 o período sideral do planeta, 𝑎 o semi-eixo maior da órbita, que é

igual à distância média do planeta ao Sol, e 𝐾 uma constante, podemos

expressar a 3ª lei como:

𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑎3

Se medimos 𝑃 em anos (o período sideral da Terra), e 𝑎 em unidades

astronômicas (a distância média da Terra ao Sol), então 𝐾 = 1, e podemos

escrever a 3ª lei como:

𝑃2 = 𝑎3

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Leis de Kepler

A tabela a seguir mostra como fica a 3ª Lei de Kepler para os

planetas visíveis a olho nu.

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Duas partículas se atraem mutuamente com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

m2

F1 F2

d

m1

Para evitar ambiguidades, uma vez que a atração é recíproca,

devemos considerar umas das partículas como “Atrativa” e

outra como “Atraída”, atribuindo massa unitária a esta última.


𝑭𝟏𝟐 = 𝑲 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐

𝒅𝟏𝟐𝟐

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m2

F1 F2

d

m1

Fazendo 𝑚1 = 𝑚: partícula atrativa de coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′); 𝑚2 = 1: partícula atraída de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧);

𝑑12 = 𝑙: distância entre as duas partículas.

Logo:

𝐹 =𝐺 ∙ 𝑚

𝑙2


𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐

𝒅𝟏𝟐𝟐

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Leis de Newton

Primeira Lei: Inércia, elaborada a partir dos estudos de Galileo

Galilei Em ausência de forças externas, um objeto em

repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento

permanece em movimento, ficando em movimento retilíneo e

com velocidade constante.

A medida da inércia de um corpo é seu momentum. O

momentum de um objeto é proporcional à sua velocidade. A

constante de proporcionalidade que resiste à mudança, é a sua

massa:

𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝐹 = 0

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Leis de Newton

Segunda Lei: Lei da Força Relaciona a mudança de

velocidade do objeto com a força aplicada sobre ele. A força

líquida aplicada a um objeto é igual à massa do objeto vezes a

aceleração causada ao corpo por essa força.

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙𝜕𝑣

𝜕𝑡=

𝜕𝑝

𝜕𝑡

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Leis de Newton

Terceira Lei: Ação e Reação Se um objeto exerce uma força

sobre outro objeto, este outro exerce uma força igual e

contrária.

Como Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal?

Considerando o movimento da Lua em torno da Terra e as leis

de Kepler.

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Leis de Newton

Como Newton descreveu a aceleração centrípeta?

No instante 𝑡 a partícula está

em 𝐷 com velocidade 𝑣 1 na

direção DE. Pela 1ª Lei se

não existe uma força agindo

sobre o corpo ele continuará

em movimento na direção

DE. Após ∆𝑡 a partícula está

em G, e percorreu a distância

𝑣 ∙ ∆𝑡, e está com velocidade

𝑣 2 de mesmo módulo v, mas

em outra direção.

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Leis de Newton

Seja 𝜃 o ângulo entre os pontos D

e G. 𝜃 também é o ângulo entre

𝑣 1 e 𝑣 2.

𝑣 ∙ ∆𝑡 = 𝑟 ∙ 𝜃 → 𝜃 =𝑣 ∙ ∆𝑡

𝑟=

∆𝑣

𝑣

Portanto:

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣2

𝑟

Se a partícula tem massa m, a

força central necessária para

produzir a aceleração é:

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟

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Gravitação Universal

A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa

𝑚, que se move com velocidade 𝑣 a uma distância 𝑟 do Sol é

dada, é dada, portanto por:

𝐹 = 𝑚 ∙𝑣2

𝑟

Considerando, nesse instante uma órbita circular, o período P

do planeta será dado por:

𝑃 =2𝜋𝑟

𝑣→ 𝑣 =

2𝜋𝑟

𝑃

Pela 3ª Lei de Kepler:

𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑟3

onde a constante 𝐾 depende das unidades de 𝑃 e 𝑟.

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Assim, temos:

𝑣2 =4𝜋2𝑟2

𝐾𝑟3=

4𝜋2

𝐾𝑟→ 𝑣2 ∝

1

𝑟

Considerando 𝑚 a massa do planeta e 𝑀 a massa do Sol, tem-

se que a força centrípeta exercida pelo Sol no planeta pode ser

escrito como:

𝐹 ∝𝑚

𝑟2

Pela 3ª Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e

contrária sobre o sol. A força exercida pelo planeta sobre o Sol,

será dada por:

𝐹 ∝𝑀

𝑟2

∝ indica proporcionalidade

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Newton deduziu, então, que:

𝐹 =𝐺𝑀𝑚

𝑟2

onde G é uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol

quanto o planeta experimentam a mesma força mas o sol

permanece no centro do sistema Solar por apresentar uma

massa mil vezes maior que a soma das massas dos demais

planetas. A constante de proporcionalidade G depende das

unidades das massas e da distância.

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Derivação da constante K

Suponha dois corpos de massa 𝑚1 e 𝑚2, com velocidades 𝑣1 e

𝑣2, em órbita circular em torno do centro de massa comum,

cujas distâncias são respectivamente 𝑟1 e 𝑟2 . A atração

gravitacional é dada por:

𝐹𝐺 =𝐺𝑚1𝑚2

𝑟1 + 𝑟22

E as forças centrípetas são dadas por:

𝐹1 =𝑚1𝑣1

2

𝑟1 e 𝐹2 =

𝑚2𝑣22

𝑟2

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Como:

𝑣1 =2𝜋𝑟1𝑃

→ 𝑣12 =

4𝜋2𝑟12

𝑃2

e o mesmo para o corpo 𝑚2,

𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹𝐺 =𝐺𝑚1𝑚2

𝑟1 + 𝑟22

=𝑚1𝑣1

2

𝑟1=

𝑚14𝜋2𝑟2𝑃2

e

𝐺𝑚1𝑚2

𝑟1 + 𝑟22

=𝑚2𝑣2

2

𝑟2=

𝑚24𝜋2𝑟1𝑃2

Eliminando-se 𝑚1 na primeira e 𝑚2 na segunda, e somando-as

tem-se:

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𝐺 𝑚1 + 𝑚2

𝑟1 + 𝑟22

=4𝜋2 𝑟1 + 𝑟2

𝑃2

ou

𝑃2 =4𝜋2

𝐺 𝑚1 + 𝑚2∙ 𝑟1 + 𝑟2

3

Comparando essa expressão com a forma original da 3ª Lei de

Kepler:

𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑎3

vemos que:

𝐾 =4𝜋2

𝐺 𝑚1 + 𝑚2∙

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A “constante” K, definida como a razão 𝑃2

𝑎3, só é constante se

𝑚1 + 𝑚2 permanece constante. No caso do sistema solar,

Kepler não percebeu a dependência com as massas pois todos

os planetas tem massa muito menor que a massa do Sol,

fazendo com que a soma da massa do Sol com a massa do

planeta é sempre aproximadamente a mesma.

Por exemplo, todos os satélites de Júpiter tem praticamente a

mesma razão 𝑃2

𝑎3 = 𝐾𝐽𝑢𝑝, podendo ser consideradas constante

entre elas, mas é diferente da constante 𝑃2

𝑎3 = 𝐾𝑆𝑜𝑙 comum aos

planetas do sistema solar.

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Logo para estabelecermos a igualdade temos que introduzir a

massa:

𝑀𝑆𝑜𝑙 + 𝑚𝑝

𝑃2

𝑎3𝑆𝑜𝑙

= 𝑀𝐽𝑢𝑝 + 𝑚𝑠

𝑃2

𝑎3𝐽𝑢𝑝

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Considerando as massas dos planetas desprezíveis em relação à

massa do Sol e a massa dos satélites desprezíveis em relação à

massa de Júpiter, e considerando a razão 𝑃2

𝑎3 pela letra 𝐾, temos:

𝑀𝑆𝑜𝑙𝐾𝑆𝑜𝑙 = 𝑀𝐽𝑢𝑝𝐾𝐽𝑢𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Que generalizando, temos:

𝑀1𝐾1 = 𝑀2𝐾2 = ⋯ = 𝑀𝑛𝐾𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =4𝜋2

𝐺

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Existem casos de sistemas gravitacionais em que não podemos

desprezar a massa de nenhum corpo em relação ao outro, como

exemplo, muitos sistemas binários de estrelas. Nesses casos o

correto é escrever:

𝑀 + 𝑚 1𝐾1 = 𝑀 + 𝑚 2𝐾2 = ⋯ = 𝑀 + 𝑚 𝑛𝐾𝑛 =4𝜋2

𝐺

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Determinação de massas

Como visto anteriormente, a 3ª Lei de Kepler na forma

derivada por Newton é dada por:

𝑀 + 𝑚 =4𝜋2

𝐺∙𝑎3

𝑃2

No sistema Internacional de unidades: 𝐺 = 6,672 ∗ 10−11𝑁𝑚2/𝐾𝑔2 ou 𝐺 = 6,672 ∗ 10−11𝑚3/𝐾𝑔 𝑠2

que foi medida em laboratório pelo físico inglês Henry Cavendish

(1731-1810) em 1798.

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Determinação de massas

Na astronomia costuma-se utilizar outras unidades diferentes do

SI. Em sistemas onde o corpo maior é uma estrela, costuma-se

determinar suas massas em unidades de massa do Sol, ou

massas solares (𝑀⨀), seus períodos em anos e suas distâncias

em unidades astronômicas (distância Terra - Sol). Já em

sistemas em que o corpo maior é um planeta, expressa-se sua

massa em unidades de massas da Terra (𝑀⊕), seu período em

meses siderais e suas distâncias relativas em termos da

distância entre a Terra e a Lua. Nos dois sistemas o valor de

𝐺 = 4𝜋2 e a 3ª Lei de Kepler fica:

𝑀 + 𝑚 =𝑎3

𝑃2

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Exercícios

1. Deimos, o menor dos 2 satélites de Marte, tem período

sideral de 1,26244 dias e uma distância média ao centro de

Marte de 23459 km. Qual a massa de Marte?

Marte e seus dois satélites - Fobos (esq.) e Deimos (dir.)

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Dados Oficiais dos satélites de Marte

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Exercícios

2. Duas estrelas idênticas ao Sol giram uma em torno da outra a

uma distância de 1 UA. Qual o Período de revolução das

estrelas?

Sistema Binário de Estrelas

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Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,

Curitiba, 1999.

Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e

astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.

Halliday, D., Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física,

volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução e

revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Cientifico S.A - LTC, 2009.

Referências Bibliográficas

Documents

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